काग़ज़ का सारस: इंटरैक्टिव मॉडल, मोड़-दर-मोड़

मॉडल क्या दिखाता है

ओरिगामी का एक वर्गाकार काग़ज़ उठाइए, और बिना कैंची या गोंद के उससे सारस बन सकता है। पूछें कैसे, तो ज़्यादातर लोगों को आख़िरी रूप याद रहता है, पतली गर्दन और सपाट पंखों वाला पक्षी, पर बीच के लगभग तीस चरण नहीं। यह प्रदर्शनी एक वर्ग को 3D में, एक-एक चरण करके, पारंपरिक सारस में मोड़ती है और फिर उसे दोबारा खोल देती है, ताकि आप उसमें इस्तेमाल हुई हर सिलवट देख सकें।

मॉडल के नीचे की पट्टी एक बार में एक चरण आगे या पीछे ले जाती है। पीछे लौटाने वाला बटन हर मोड़ को उल्टे क्रम में चलाते हुए काग़ज़ को वापस सपाट वर्ग बना देता है। ऊपर के शॉर्टकट «गाइड» में दिए आठ पड़ावों पर सीधे ले जाते हैं। जब कोई चरण चलने वाला होता है, तो डैश वाली रेखा घाटी मोड़ और डैश-डॉट रेखा पर्वत मोड़ दिखाती है, और नारंगी तीर हिलने वाले कोने का असली रास्ता बनाता है। मॉडल को घसीटकर घुमाइए और नीचे से भी देखिए। «नियंत्रण» में आप मोड़ने की गति बदल सकते हैं, स्लाइडर से सभी 30 चरणों में आगे-पीछे जा सकते हैं, तीर, मोड़ की रेखाएँ या सिलवटें छिपा सकते हैं, एक-दूसरे पर रखी परतों को थोड़ा दूर कर सकते हैं और काग़ज़ का रंग बदल सकते हैं। «पुर्ज़े» सूची में चार कोने, केंद्र, मुख्य सिलवटें और तैयार सारस के सिर, गर्दन, पूँछ, पंख और शरीर के नाम हैं। किसी को चुनें तो वह काग़ज़ पर चमक उठता है।

सिलवटें पहले क्यों

पहले दस चरण वर्ग को चार बार मोड़ते और खोलते हैं, और काग़ज़ लगभग पहले जैसा ही दिखता है। ऐसा इसलिए, क्योंकि अगला चरण, वर्ग आधार में समेटना, एक साथ आठ सिलवटें मोड़ता है। काग़ज़ यह साफ़-सुथरे ढंग से तभी करता है जब सिलवटें उसमें पहले से हों।

रंगीन तरफ़ से देखें तो दोनों विकर्ण घाटी मोड़ (वैली फ़ोल्ड) हैं: इनके साथ काग़ज़ आपकी ओर मुड़ता है। दोनों मध्य रेखाएँ सफ़ेद तरफ़ से मोड़ी गई हैं, इसलिए वे पर्वत मोड़ (माउंटेन फ़ोल्ड) हैं। जब आप किनारों को भीतर दबाते हैं, तो केंद्र उठता है, चारों कोने नीचे सरककर मिल जाते हैं और काग़ज़ दबकर ऐसा वर्ग बनता है जिसकी भुजा मूल की आधी है। मॉडल में यह तीन हिस्सों में होता दिखता है। पहले केंद्र उठता है और आठों सिलवटें साथ-साथ मुड़ती हैं। फिर, जब कोनों की चारों सिलवटें सीधी नीचे की ओर होती हैं, चारों फ़्लैप जोड़ियों में घूमकर सपाट हो जाते हैं। आख़िर में छोटा वर्ग मेज़ पर रख दिया जाता है।

इस सपाट आकार के कई नाम हैं। ओरिगामी की किताबें इसे प्रारंभिक मोड़, प्रारंभिक आधार या वर्ग आधार कहती हैं। इसे अंदर से बाहर पलट दें तो वॉटरबॉम्ब आधार मिलता है, जिसमें सिलवटें वही हैं पर हर पर्वत और घाटी आपस में बदल गए हैं।

दो तरह के मोड़ और चित्रों में उन्हें कैसे बनाते हैं

इस प्रदर्शनी का हर चरण दो सरल क्रियाओं से बना है। घाटी मोड़ काग़ज़ को आपकी ओर मोड़ता है, जिससे मोड़ की रेखा V के तल में आती है। पर्वत मोड़ उसे आपसे दूर मोड़ता है, जिससे रेखा एक उभरी धार बनती है। काग़ज़ पलट दें तो हर घाटी पर्वत बन जाती है, इसलिए एक ही सिलवट को किस तरफ़ से देख रहे हैं, उसी के हिसाब से दोनों में से कोई भी नाम मिल सकता है।

ओरिगामी के चित्र इन्हें उस पद्धति से बनाते हैं जिसे अकिरा योशिज़ावा ने 1954 की अपनी किताब Atarashi Origami Geijutsu में शुरू किया था। डैश वाली रेखा घाटी मोड़ है और बिंदुओं वाली डैश रेखा पर्वत मोड़। सैम्युअल रैंडलेट और रॉबर्ट हार्बिन ने «घुमाएँ» और «बड़ा करके देखें» जैसे चिह्न जोड़े, और रैंडलेट ने 1961 में The Art of Origami में इस पद्धति का वर्णन किया। आज इसे योशिज़ावा-रैंडलेट पद्धति कहते हैं और ज़्यादातर भाषाओं की ओरिगामी किताबें इसी का उपयोग करती हैं। इस प्रदर्शनी की मोड़ रेखाएँ भी इसी के अनुसार हैं।

पंखुड़ी मोड़ से पक्षी आधार बनता है

वर्ग आधार से सारस को दो लंबी नोकें चाहिए जो पंख बनेंगी, और दो जो गर्दन और पूँछ बनेंगी। पंखुड़ी मोड़ यही बनाता है। पहले तीन अभ्यास वाले मोड़ आते हैं: ऊपरी परत के दोनों निचले किनारे बीच की रेखा तक मोड़े जाते हैं (पतंग मोड़), ऊपर का त्रिभुज उनके ऊपर नीचे मोड़ा जाता है, और तीनों फिर खोल दिए जाते हैं। फिर ऊपरी परत का निचला कोना आड़ी सिलवट पर उठाया जाता है। जैसे-जैसे वह उठता है, दोनों बगलें पतंग सिलवटों पर भीतर की ओर घूमती हैं और फ़्लैप एक लंबे समचतुर्भुज की तरह सपाट बैठ जाता है।

पंखुड़ी मोड़ सारस का सबसे कठिन चरण है, क्योंकि काग़ज़ के चार टुकड़े एक साथ हिलते हैं और किसी को भी स्थिर नहीं पकड़ा जा सकता। मॉडल में आड़ी सिलवट का हर सिरा ऐसा बिंदु है जहाँ चार सिलवटें मिलती हैं: वह कब्ज़ा जिस पर फ़्लैप घूमता है, फ़्लैप पर की पतंग सिलवट, बगल के त्रिभुज और उसके नीचे की परत के बीच की सिलवट, और उस निचली परत की पतंग सिलवट। सिलवटों के बीच काग़ज़ सपाट रहता है, इसलिए ये चार टुकड़े कब्ज़ों से जुड़ी चार प्लेटों वाली कड़ी (लिंकेज) की तरह चलते हैं। फ़्लैप को किसी भी कोण तक उठाने से तय हो जाता है कि बगल का त्रिभुज और भीतरी परत कहाँ होंगे, इसलिए मॉडल हर फ़्रेम में उनकी जगह गणना करता है। बगल के त्रिभुज उठते फ़्लैप के पीछे से घूमकर उसके बाहर आ जाते हैं, इसीलिए तैयार पक्षी आधार के हर लंबे फ़्लैप के बीच में एक जोड़ दिखता है।

पीछे पतंग मोड़ और पंखुड़ी मोड़ दोहराइए, तो पक्षी आधार मिलता है, जिसे सारस आधार भी कहते हैं: ऊपर दो लंबे फ़्लैप और नीचे दो बँटे हुए फ़्लैप। यह नीचे की तालिका में दिए क्लासिक आधारों में से एक है।

गर्दन, पूँछ और सिर उल्टे मोड़ हैं

नीचे के दोनों फ़्लैप गर्दन के लिए बहुत चौड़े हैं, इसलिए दोनों तरफ़ उनके निचले किनारे बीच की रेखा तक मोड़े जाते हैं। हर फ़्लैप लगभग आधा चौड़ा रह जाता है।

किसी पतली नोक को ऊपर करना हो तो उसे सीधे ऊपर नहीं मोड़ सकते, क्योंकि तब वह शरीर के बाहर बैठेगी और पंख का रास्ता रोकेगी। इसकी जगह अंदरूनी उल्टा मोड़ बनाया जाता है। नोक के दोनों आधों को थोड़ा खोलिए, नोक को एक मोड़ रेखा पर उनके बीच से ऊपर धकेलिए और दबा दीजिए। नोक अपने मुड़े किनारे पर उलट जाती है और शरीर की परतों के बीच दब जाती है। गर्दन और पूँछ एक-एक उल्टा मोड़ हैं, आपस में उल्टी दिशा में। मॉडल में गर्दन 152 डिग्री घूमती है। सिर तीसरा, छोटा उल्टा मोड़ है, यहाँ 100 डिग्री, जो गर्दन के सिरे के पास बनता है।

आख़िर में पक्षी खड़ा होता है और हर पंख उस रेखा पर नीचे मोड़ा जाता है जो गर्दन की जड़ को पूँछ की जड़ से जोड़ती है। पंखों को सीधा बाहर उठाने पर सारस पूरा हो जाता है।

मॉडल पर जाँचने लायक़ संख्याएँ

वर्ग की भुजा को 1 मानिए।

• वर्ग आधार 1/2 भुजा वाला वर्ग है, इसलिए यह मूल क्षेत्रफल का चौथाई घेरता है।
• पतंग सिलवटें विकर्ण से 22.5 डिग्री का कोण बनाती हैं। हर एक मध्य रेखा को केंद्र से 1 − 1/√2, यानी लगभग 0.293, की दूरी पर मिलती है।
• चारों पंखुड़ी कब्ज़े केंद्र के चारों ओर √2 − 1, यानी लगभग 0.414, भुजा वाला छोटा वर्ग बनाते हैं।
• वर्ग आधार और पक्षी आधार दोनों में बंद केंद्र से खुले सिरे तक लंबाई 1/√2, यानी काग़ज़ की भुजा की लगभग 0.71 गुनी होती है।
• मुड़े हुए, सपाट सारस के सबसे मोटे हिस्से पर मॉडल में काग़ज़ की 20 परतें होती हैं।
• सिलवटों का नक्शा बनने तक सिलवटों के 111 खंड मोड़े जा चुके होते हैं। इनकी कुल लंबाई वर्ग की भुजा की लगभग 15.7 गुना है, और इसका लगभग 60% हिस्सा पर्वत मोड़ों का है।

माएकावा और कावासाकी के प्रमेय

आख़िरी पड़ाव में खुला वर्ग ही सिलवटों का नक्शा (क्रीज़ पैटर्न) है। इसके भीतर जिस भी बिंदु पर सिलवटें मिलती हैं, अगर वहाँ काग़ज़ सपाट मुड़ सकता है, तो दो नियम लागू होते हैं।

माएकावा का प्रमेय कहता है कि पर्वत मोड़ों और घाटी मोड़ों की संख्या में ठीक दो का अंतर होता है। कावासाकी का प्रमेय कहता है कि बिंदु के चारों ओर घूमते हुए पड़ोसी सिलवटों के बीच के कोणों को बारी-बारी से जोड़ें और घटाएँ, तो नतीजा 0 आता है। दूसरे शब्दों में, कोण बारी-बारी वाले दो समूहों में बँटते हैं और हर समूह का जोड़ 180 डिग्री होता है।

दोनों को जाँचने के लिए वर्ग का केंद्र अच्छी जगह है। वर्ग आधार में इसकी आठ सिलवटें हैं: पर्वत मोड़ वाली चार मध्य रेखाएँ, घाटी मोड़ वाले दो विकर्ण, और दो विकर्ण जो आगे और पीछे के फलकों पर सपाट खुले रह जाते हैं। चार में से दो घटाएँ तो दो बचते हैं, जैसा माएकावा का प्रमेय कहता है। सपाट वाले दोनों को छोड़ दें तो बाक़ी छह सिलवटों के बीच के कोण 90, 45, 45, 90, 45 और 45 डिग्री हैं। एक छोड़कर एक लेने पर दोनों समूहों में 90 + 45 + 45 = 180 आता है, जैसा कावासाकी का प्रमेय कहता है।

दोनों नियम स्थानीय हैं। मार्शल बर्न और बैरी हेज़ ने 1996 में दिखाया कि बहुत-से बिंदुओं वाला पूरा सिलवटों का नक्शा सपाट मुड़ सकता है या नहीं, यह तय करना NP-पूर्ण है, इसलिए इसकी कोई तेज़ सामान्य जाँच नहीं है।

मॉडल के अपने नक्शे में वर्ग के भीतर 62 बिंदु हैं जहाँ मुड़ी हुई सिलवटें मिलती हैं। इनमें से 46 कावासाकी की जाँच में पास होते हैं। जो पास नहीं होते, वे पतला करने वाले मोड़ों के ऊपरी सिरे पर और उल्टे मोड़ों के सिरों पर हैं, यानी वहाँ जहाँ मॉडल काग़ज़ के असली व्यवहार को सरल बनाता है (अगला खंड देखें)।

मॉडल असली काग़ज़ से कहाँ अलग है

मॉडल काग़ज़ को कभी नहीं खींचता। उसे हर उस रेखा पर, जिस पर कभी भी सिलवट पड़ेगी, काटकर 80 सपाट टुकड़ों में बाँटा गया है, और हर चरण टुकड़ों को मोड़ रेखाओं पर घुमाता है। वर्ग आधार में समेटने का हल केंद्र बिंदु पर ठीक-ठीक निकाला गया है, और पंखुड़ी मोड़ का हल ऊपर बताई चार प्लेटों वाली कड़ी की तरह। एक-दूसरे पर रखी परतें भुजा के 0.0016 (15 cm के वर्ग पर 0.24 mm) की तय दूरी पर बनाई जाती हैं और हर साझा किनारे पर एक पतली पट्टी से जुड़ी रहती हैं, ताकि काग़ज़ में कभी दरार न दिखे। एक जाँच प्रोग्राम सभी 30 चरणों को 25-25 बिंदुओं पर चलाकर पक्का करता है कि कोई टुकड़ा किसी दूसरे के आर-पार न जाए।

तीन सरलीकरण बाक़ी हैं।

• उल्टे मोड़ों में नोक को उसके मुड़े किनारे के एक बिंदु के चारों ओर परतों के भीतर घूमते हुए दिखाया गया है। असली काग़ज़ में परतें थोड़ी खुलती हैं और नोक अंदर से बाहर उलट जाती है। आख़िरी स्थिति की रूपरेखा वही रहती है, बस दर्पण-प्रतिबिंब की तरह।
• जहाँ पतला किया गया फ़्लैप ऊपर की पंख वाली परत से मिलता है, वहाँ असली काग़ज़ थोड़ा मुड़ता है। मॉडल उस ख़ाली जगह पर काग़ज़ की एक छोटी पट्टी बना देता है।
• मॉडल शरीर को सपाट रखता है। असली सारस में पंखों को अलग खींचने से शरीर फूलकर त्रिआयामी आकार ले लेता है।

मोड़े गए सारस का छोटा-सा इतिहास

ओरिज़ुरु (मोड़ा हुआ सारस) जापानी ओरिगामी की सबसे जानी-मानी आकृतियों में से एक है। Origami Resource Center तोरी कियोतादा के एक काष्ठ-छापे (वुडब्लॉक प्रिंट) का ज़िक्र करता है, जिसका समय 1720 से 1750 के बीच है और जिसमें एक स्त्री काग़ज़ का सारस थामे है। इससे पता चलता है कि 18वीं सदी की शुरुआत में ही यह मॉडल जापान में परिचित था। 1797 की Hiden Senbazuru Orikata सबसे पुरानी ज्ञात ओरिगामी किताबों में से एक है। इसमें रेनज़ुरु दिखाए गए हैं: एक ही काग़ज़ को आंशिक रूप से काटकर छोटे वर्ग बनाए जाते हैं और उनसे सारसों के समूह मोड़े जाते हैं, ताकि पक्षी पंखों, चोंचों या पूँछों से जुड़े रहें।

जापान में सारस लंबी उम्र का प्रतीक है, और उनमें से एक हज़ार मोड़ना, सेनबाज़ुरु, बीमारी से ठीक होने या शांति की कामना से जुड़ा है। सेनबाज़ुरु के लिए बिकने वाले सेट में आम तौर पर लगभग एक हज़ार काग़ज़ और धागा होता है, और सारस अक्सर 40-40 की 25 लड़ियों में टाँगे जाते हैं। यह रिवाज़ सादाको सासाकी के ज़रिए दुनिया भर में जाना गया। हिरोशिमा पर परमाणु बम गिरने के समय वह दो साल की थीं और विकिरण की चपेट में आईं, और 25 अक्टूबर 1955 को ल्यूकीमिया से उनकी मृत्यु हुई। कई कहानियों में बताया जाता है कि वह एक हज़ार से कम ही मोड़ पाईं। उनका परिवार और हिरोशिमा शांति स्मारक संग्रहालय कहते हैं कि उन्होंने एक हज़ार पूरे किए और मोड़ती रहीं, 1,300 से भी ज़्यादा तक। हिरोशिमा शांति स्मारक पार्क में बाल शांति स्मारक, जिसका अनावरण 5 मई 1958 को हुआ, उन्हें सिर के ऊपर एक सारस उठाए दिखाता है, और दुनिया भर से आए मोड़े गए सारस वहाँ रखे जाते हैं।

इन्हीं मोड़ों से बने दूसरे मॉडल

सारस के शुरुआती चरण मॉडलों के एक बड़े परिवार में साझा हैं। नीचे दिए क्लासिक आधार वे आकार हैं जिन्हें किताबें मानकर चलती हैं कि आप कोई मॉडल शुरू करने से पहले जानते हैं। सूची के ज़्यादातर मॉडल इन्हीं में से किसी एक से शुरू होते हैं या ख़ुद सारस को बदलते हैं।

काग़ज़ का आकार चुनना

बड़ा काग़ज़ तभी बड़ा सारस देता है, जब सिलवटों की जगहें और अंत में खुले कोण उसी अनुपात में रहें। मान लीजिए मूल वर्ग की भुजा s है और तैयार सारस के पंखों के सिरों के बीच की दूरी w है। अनुपात w/s की कोई इकाई नहीं होती। अगर कोई सारस 15 सेमी के वर्ग से मोड़ने पर 12 सेमी चौड़ा निकलता है, तो उसका मापा हुआ अनुपात 0.8 है। 20 सेमी के वर्ग से बना ज्यामितीय रूप से समरूप सारस तब 16 सेमी चौड़ा होगा। ये एक मान ली गई माप और उससे निकला अनुमान हैं, हर पारंपरिक सारस की गारंटीशुदा माप नहीं। पंख खोलने से काग़ज़ का आकार नहीं बदलता, पर प्रक्षेपित चौड़ाई बदल जाती है। तिरछे कोण से खींची तस्वीर में भी सही सारस ज़्यादा संकरा लग सकता है।

कई माप अंतिम पंख-कोण का अंदाज़ा लगाए बिना निकाले जा सकते हैं। वर्ग आधार की भुजा s/2 होती है, यानी 15 सेमी के काग़ज़ से 7.5 सेमी का आधार बनता है। उसका दिखने वाला क्षेत्रफल 56.25 सेमी² है, जबकि मूल वर्ग का 225 सेमी² था। काग़ज़ ग़ायब नहीं हुआ है: कई परतें उसी जगह पर एक-दूसरे के ऊपर आ गई हैं। पंखुड़ी-कब्ज़े वाले वर्ग की भुजा (√2 − 1)s है, जो इस काग़ज़ के लिए लगभग 6.21 सेमी बैठती है। इस 15 cm के काग़ज़ से दोनों आधारों में केंद्र से खुले सिरे तक लंबाई लगभग 10.6 cm होती है। यह तैयार सारस की ऊँचाई या खुले पंखों की चौड़ाई नहीं है।

अगर 15 सेमी के वर्ग की जगह 7.5 सेमी का वर्ग लें, तो हर आदर्श लंबाई आधी हो जाती है और मूल क्षेत्रफल चौथाई रह जाता है, यानी 225 से 56.25 सेमी²। मोड़ों की संख्या आधी नहीं होती। उसी काग़ज़ से कटी शीट की मोटाई भी आधी नहीं होती। इसीलिए छोटा सारस साफ़-सुथरा मोड़ना ज़्यादा कठिन है, भले ही ज्यामितीय बनावट वही रहे। व्यावहारिक तुलना मोटाई को शीट की चौड़ाई से भाग देकर होती है, और शीट की चौड़ाई आधी होने पर यह अनुपात दोगुना हो जाता है।

बीस परतें एक शीट की तरह व्यवहार नहीं करतीं

इस मॉडल में सबसे मोटे हिस्से पर 20 परतें होती हैं। मोटाई के अनुमान के लिए ही मान लीजिए कि एक शीट 0.10 मिमी मोटी है। बीस परतें बिल्कुल सटकर बैठें तो 2.0 मिमी घेरेंगी। 0.15 मिमी के काग़ज़ के साथ यही गिनती 3.0 मिमी देती है। असली मोड़ों में हवा की जगहें और गोल मोड़ भी होते हैं, इसलिए यह गुणा ढेर का मोटा अनुमान है, शरीर की ठीक मोटाई की भविष्यवाणी नहीं। काग़ज़ के द्रव्यमान प्रति क्षेत्रफल (अक्सर g/m² में छपा) को मोटाई (मिलीमीटर) से न मिलाइए: बराबर g/m² वाले काग़ज़ों का घनत्व और कोटिंग अलग हो सकती है।

स्क्रीन पर पास-पास की परतों के बीच वर्ग की भुजा का 0.0016 गुना अंतर रखा गया है। 15 सेमी पर यह दृश्य अंतर 0.24 मिमी है। यह चित्र बनाने की एक रीति है, ताकि एक-दूसरे पर आई सतहें पढ़ी जा सकें। यह दावा नहीं कि हर ओरिगामी काग़ज़ 0.24 मिमी मोटा होता है। «नियंत्रण» में परतों की दूरी बढ़ाने से शरीर की परतों के बीच गर्दन को देखना आसान होता है, पर मॉडल मोटे काग़ज़ का अनुकरण नहीं बन जाता। सॉफ़्टवेयर घर्षण, फटने की ताक़त या सिलवट को सपाट करने के लिए ज़रूरी बल नहीं निकालता।

असली काग़ज़ पर पंखुड़ी मोड़ अटक जाए तो पहले देखिए कि फ़्लैप उठाने से पहले दोनों निचले किनारे केंद्र रेखा तक पहुँचे थे या नहीं। ग़लत जगह की सिलवट को ज़बरदस्ती दबाने से एक और सिलवट बन जाती है और इरादा किया हुआ पैटर्न बदल जाता है। मोटे काग़ज़ में अक्सर ज़्यादा ज़ोर लगाने से बेहतर होता है कि बग़ल की सिलवटें पलटते समय फ़्लैप को थोड़ा खोल दिया जाए। आदर्श कड़ियों का ढाँचा बताता है कि पटलें कहाँ बैठनी चाहिए। वह यह तय नहीं करता कि अँगूठे का दबाव कितना हो या असली शीट के मोड़ की त्रिज्या कितनी हो।

सपाट मोड़ने के नियम और खुलने वाले अंतरिक्ष यान

चार सक्रिय सिलवटों वाले किसी भीतरी शीर्ष पर माएकावा का नियम तीन पर्वत और एक घाटी की अनुमति देता है, या इसका उलटा। दो पर्वत और दो घाटी इसकी «अंतर दो» वाली शर्त पूरी नहीं करते। कावासाकी के लिए लगातार चार कोणीय खंड लीजिए: 60, 80, 120 और 100 डिग्री। इनका जोड़ 360 डिग्री है, और एकांतर जोड़ 60 + 120 = 180 तथा 80 + 100 = 180 हैं। सिर्फ़ चार कोणों का जोड़ 360 होना काफ़ी नहीं है: 60, 80, 110 और 110 का जोड़ भी 360 है, पर उनके एकांतर जोड़ 170 और 190 हैं। ये समझाने वाले उदाहरण हैं, सारस के किसी चुने हुए शीर्ष की माप नहीं।

शर्तें मायने रखती हैं। जो सिलवट खुली रहती है, उसे सक्रिय पर्वत या घाटी नहीं गिना जाता। शीट की सीमा पर स्थित बिंदु के चारों ओर काग़ज़ का पूरा घेरा नहीं होता, इसलिए भीतरी शीर्ष की वही जाँच वहाँ सीधे नहीं लगाई जा सकती। दोनों स्थानीय जाँचें पास होने पर भी यह सिद्ध नहीं होता कि दूर के फ़्लैप लगातार मोड़ने की गति में एक-दूसरे के पास से निकल सकते हैं। अंतिम सपाट रूप होना और उस तक टकराव-रहित रास्ता होना दो अलग सवाल हैं।

अंतरिक्ष इंजीनियरी में और भी बंदिशें जुड़ती हैं। मिउरा-ओरी पैटर्न सारस के पक्षी आधार की जगह समांतर चतुर्भुजों की दोहराई जाने वाली व्यवस्था इस्तेमाल करता है। जब कोई बड़ी सतह कम जगह में बाँधकर फिर खोलनी हो, तब उसकी जुड़ी हुई गति काम आती है। हर मुड़ा हुआ अंतरिक्ष यान इसी पैटर्न का उपयोग नहीं करता। JAXA का IKAROS, जिसे 21 मई 2010 को छोड़ा गया, 14 मी × 14 मी का सौर पाल अपकेंद्री बल से खोलता था। उसके पाल पर पतली परत वाली सौर कोशिकाएँ भी थीं, और मिशन ने सौर पाल से त्वरण दिखाया। साझा इंजीनियरी समस्या एक बड़ी सतह को छोटे आयतन में रखना है, कागज़ की चिड़िया को बड़ा करना नहीं। पाल को प्रक्षेपण का भार झेलना और अंतरिक्ष में काम करना होता है; सारस वाली प्रदर्शनी इनमें से किसी का मॉडल नहीं बनाती। IKAROS यहाँ चुना जा सकने वाला अतिरिक्त मॉडल नहीं है।

स्क्रीन पर आज़माने लायक जाँचें

चलना रोक दीजिए और चरण-स्लाइडर से वर्ग आधार की तुलना पक्षी आधार से कीजिए। देखने की दिशा स्थिर रखिए, ताकि दृष्टिकोण का बदलाव लंबाई का बदलाव न लगे। वर्ग आधार की बाहरी रेखा इसलिए सिकुड़ती है कि परतें एक-दूसरे पर आ गई हैं, इसलिए नहीं कि काग़ज़ का क्षेत्रफल हटा दिया गया। फिर दृश्य को पंखुड़ी मोड़ के नीचे ले जाइए और परतों की दूरी इतनी बढ़ाइए कि भीतरी फ़्लैप अलग दिखे। अंतिम आकार का आकलन करने से पहले दूरी को पहली स्थिति में लौटा दीजिए।

गर्दन के मोड़ पर तीर छिपा दीजिए और केवल उस संकरे बिंदु को देखिए। कब्ज़ा खोजना कठिन हो तो मोड़ की रेखाएँ वापस दिखाइए। सिर उसी बिंदु के छोटे हिस्से पर एक और उल्टा मोड़ है; वह गर्दन से जुड़ा अलग टुकड़ा नहीं है। सपाट शीट पर लौटिए और बची हुई सिलवटों की तुलना अपने याद किए मोड़ों से कीजिए। सिलवट पहले हुए मोड़ का निशान रखती है, पर अंतिम चरण में उसका पूरी तरह बंद पर्वत या घाटी रहना ज़रूरी नहीं। इनमें से कोई नियंत्रण असली सारस की पंख-चौड़ाई नहीं नापता। उसके लिए असली शीट मोड़िए और माप के साथ उसका आकार और पंखों की स्थिति दोनों लिखिए।

उसी दृश्य में छह और मॉडल

«मॉडल» बटन सारस सहित सात मॉडलों की सूची खोलता है। हर मॉडल उसी प्रोग्राम से मुड़ता है जो सारस बनाता है: काग़ज़ को उन सभी सिलवटों पर बाँटा जाता है जो कभी बनेंगी, हर चरण फलकों के एक समूह को मोड़ रेखा पर घुमाता है, और परतों के बीच छोटी स्थिर दूरी रहती है। नाम से खोजें या जीव-जंतु, वस्तुओं और खिलौनों में छाँटें, फिर दृश्य में मोड़ने के लिए मॉडल चुनें। हर नाम के पास «मोड़ का चित्र» लिंक उस प्रकाशित चित्र या निर्देश को खोलता है जिसका चरणक्रम अनुसरण करता है।

पंख फड़फड़ाता पक्षी सारस ही है, बस उसमें नोकें पतली करने वाले मोड़ नहीं हैं। नीचे की नोकें चौड़ी रहने से गर्दन और पूँछ के उल्टे मोड़ बहुत अधिक काग़ज़ घुमाते हैं। पूँछ हत्था बनती है: उसे खींचने से पंख शरीर के चारों ओर घूमते हैं। समुराई का शिरस्त्राण, यानी काबुतो, कप और कुत्ते का चेहरा एक ही तरह शुरू होते हैं: सफ़ेद तरफ़ ऊपर, वर्ग का कोना ऊपर घुमाया हुआ, फिर त्रिभुज में आधा मोड़ा हुआ। आगे अंतर केवल इसमें है कि कोने कहाँ जाते हैं। काग़ज़ का हवाई जहाज़ स्मिथसोनियन के राष्ट्रीय वायु और अंतरिक्ष संग्रहालय के निर्देशों वाला तीर आकार है। यहाँ आयत के बजाय वर्ग लिया गया है, इसलिए हर बगली फ़्लैप का छोटा कोना पूँछ से आगे निकलता है। काग़ज़ का भविष्यवक्ता पहले नमकदानी था: एक तरफ़ के कोने केंद्र तक, फिर दूसरी तरफ़ भी, जिससे हर बार क्षेत्रफल आधा होता है।

ये गिनतियाँ हर मॉडल की सिलवटों के नमूने से आती हैं और सूची के नीचे पैनल में भी यही आँकड़े दिखते हैं। भीतरी बिंदु वर्ग के किनारे से दूर वह जगह है जहाँ दो या अधिक मुड़ी सिलवटें मिलती हैं। तैयार आकार आख़िरी स्थिति का मेज़ के तल में मापा गया सबसे बड़ा फैलाव है। इसलिए 15 cm के वर्ग से बना सारस, दृश्य की तरह पंख फैलाने पर, लगभग 14 cm चौड़ा और कप लगभग 9 cm चौड़ा होता है।

चार सरल मॉडल हर बिंदु पर दोनों जाँचों में खरे उतरते हैं। शिरस्त्राण के अधिकतर बिंदु नहीं उतरते, और कारण से उसकी बनावट समझ आती है। उसके कई मोड़ कुछ ही परतों में जाते हैं: सींग हर फ़्लैप की ऊपरी परत घुमाते हैं और पट्टी केवल सामने की परत। ऐसा मोड़ उस परत के मुड़े किनारे पर रुकता है। इसलिए खुले काग़ज़ पर वह दूसरी सिलवट को पार करने के बजाय वहीं समाप्त होता है और बिंदु पर सिलवटों की संख्या विषम होती है। असली काग़ज़ इन सिरों पर थोड़ा झुककर ढल जाता है। सारस और पंख फड़फड़ाता पक्षी पहले बताए कारण से जाँच में खरे नहीं उतरते: मॉडल उल्टे मोड़ों को सरल करता है।

चुनौतियाँ

«चुनौतियाँ» बटन सात काम दिखाता है। सूची बताती है कि कितने पूरे हुए, और प्रगति केवल इसी उपकरण में रहती है। एक काम में › बटन से 150 सेकंड में पूरा सारस मोड़ना है। पाँच में ऐसे सवाल हैं जिनके उत्तर दृश्य में मिलते हैं: केंद्र की सिलवटें, सपाट मोड़ के दोनों प्रमेय, सिर बनने वाला कोना और तैयार सारस का आकार। आख़िरी काम हर मॉडल को आख़िरी चरण तक मोड़ना है। उत्तर उन्हीं सिलवटों के आँकड़ों और आख़िरी स्थिति से जाँचे जाते हैं जिन्हें आँकड़ों का पैनल इस्तेमाल करता है, इसलिए मॉडल बदले तो उत्तर भी बदलेंगे।

काग़ज़ के प्रकार

«काग़ज़» बटन तीन सतहों के बीच बदलता है। ओरिगामी काग़ज़ पतला, चिकना और एक तरफ़ रंगीन होता है। वाशी को लंबे वनस्पति रेशों और अधिक मुलायम सतह के साथ दिखाया गया है, जैसे कोज़ो की छाल का काग़ज़ रोशनी के सामने दिखता है। धातु-परत वाले काग़ज़ की रंगीन तरफ़ धातु और पीछे काग़ज़ होता है, इसलिए केवल सामने की तरफ़ चमकती है। ज्यामिति नहीं बदलती: दृश्य अपनी मोटाई से रहित आदर्श काग़ज़ मोड़ता रहता है। व्यवहार में मोटे काग़ज़ को हर मोड़ पर अधिक जगह चाहिए।

वर्ग आधार और पक्षी आधार दोनों में बंद केंद्र बिंदु, यानी काग़ज़ के केंद्र, से खुले सिरे तक लंबाई काग़ज़ की भुजा की लगभग 0.71 गुनी होती है। यह काग़ज़ के विकर्ण का आधा, 1/√2 है। तैयार सारस की चौड़ाई अलग है: आख़िरी स्थिति की चौड़ाई भुजा की लगभग 0.95 गुनी, यानी 15 cm के वर्ग से 14.2 cm है, जिसे चुनौती में 14 cm किया जाता है। आँकड़ों का पैनल और तालिका उसी आख़िरी स्थिति को इस्तेमाल करते हैं।