Grulla de papel: pliegue a pliegue, modelo interactivo

Qué muestra el modelo

Con un cuadrado de papel de origami puedes hacer una grulla sin tijeras ni pegamento. Si preguntas cómo, casi todo el mundo recuerda el final, un pájaro de cuello fino y alas planas, pero no los treinta pasos más o menos que hay en medio. Esta pieza pliega un cuadrado en 3D hasta formar la grulla tradicional, paso a paso, y luego la despliega para que veas cada pliegue que ha usado.

La barra bajo el modelo avanza y retrocede un paso cada vez. El botón de rebobinar devuelve el papel al cuadrado plano reproduciendo todos los pliegues al revés. Los accesos de arriba saltan a las ocho etapas de la «Guía». Cuando un paso está a punto de empezar, una línea de rayas marca un pliegue valle y una línea de raya y punto marca un pliegue monte, y una flecha naranja traza el camino real de la esquina que se mueve. Arrastra para girar el modelo y mirarlo desde abajo. En «Controles» puedes cambiar la velocidad de plegado, recorrer los 30 pasos con un deslizador, ocultar las flechas, las líneas de pliegue o las marcas, separar más las capas apiladas y cambiar el color del papel. La lista de «Piezas» nombra las cuatro esquinas, el centro, los pliegues principales y la cabeza, el cuello, la cola, las alas y el cuerpo de la grulla terminada. Al elegir una, se ilumina sobre el papel.

Por qué primero se marcan los pliegues

Los diez primeros pasos pliegan y despliegan el cuadrado cuatro veces y lo dejan casi como estaba. Están ahí porque el paso siguiente, hundir la hoja hasta la base preliminar, pliega ocho marcas a la vez. El papel solo lo hace limpiamente si las marcas ya existen.

Vistas desde la cara de color, las dos diagonales son pliegues valle: el papel se dobla hacia ti a lo largo de ellas. Las dos medianas, plegadas desde la cara blanca, son pliegues monte. Al empujar los lados hacia dentro, el centro sube, las cuatro esquinas se deslizan juntas por debajo y la hoja se aplana en un cuadrado con lados de la mitad de largo que el original. En el modelo se ve en tres fases. Primero el centro se eleva mientras las ocho marcas se pliegan a la vez. Luego, con las cuatro marcas de las esquinas apuntando hacia abajo, las cuatro solapas giran por parejas hasta quedar planas. Por último, el cuadrado pequeño se apoya sobre la mesa.

Esta forma plana tiene varios nombres. Los libros de origami la llaman pliegue preliminar, base preliminar o base cuadrada. Si le das la vuelta de dentro afuera obtienes la base de la bomba de agua, que tiene las mismas marcas con cada monte y cada valle intercambiados.

Dos clases de pliegue y cómo se dibujan en los diagramas

Cada paso de esta pieza se construye con dos acciones sencillas. Un pliegue valle dobla el papel hacia ti, de modo que la línea de pliegue queda en el fondo de una V. Un pliegue monte lo dobla alejándolo, y la línea queda como una cresta. Si das la vuelta al papel, cada valle se convierte en monte; por eso la misma marca puede llamarse de una forma o de otra según el lado desde el que la mires.

Los diagramas de origami los dibujan con el sistema que Akira Yoshizawa presentó en su libro de 1954 Atarashi Origami Geijutsu. Una línea de rayas es un pliegue valle y una línea de rayas con puntos es un pliegue monte. Samuel Randlett y Robert Harbin añadieron símbolos como «girar» y «ampliar», y Randlett describió el sistema en The Art of Origami en 1961. Hoy se conoce como sistema Yoshizawa-Randlett y se usa en libros de origami de casi todos los idiomas. Las líneas de pliegue de esta pieza lo siguen.

El pliegue pétalo forma la base del pájaro

A partir de la base preliminar, la grulla necesita dos puntas largas que serán las alas y otras dos que serán el cuello y la cola. El pliegue pétalo las forma. Primero vienen tres pliegues de práctica: los dos bordes inferiores de la capa superior se llevan a la línea central (los pliegues de cometa), el triángulo de arriba se baja sobre ellos y los tres se vuelven a abrir. Después se levanta la esquina inferior de la capa superior por la marca horizontal. Mientras sube, los dos lados giran hacia dentro por las marcas de cometa y la solapa queda plana como un rombo alargado.

El pliegue pétalo es el paso más difícil de la grulla, porque cuatro trozos de papel se mueven a la vez y ninguno puede quedarse quieto. En el modelo, cada extremo de la marca horizontal es un punto donde se juntan cuatro pliegues: la bisagra sobre la que gira la solapa, la marca de cometa de la solapa, la marca entre el triángulo lateral y la capa de debajo, y la marca de cometa de esa capa inferior. Como el papel se mantiene plano entre pliegues, esos cuatro trozos se comportan como un mecanismo articulado de cuatro placas unidas por bisagras. Levantar la solapa un ángulo cualquiera fija dónde deben estar el triángulo lateral y la capa interior, así que el modelo calcula sus posiciones en cada fotograma. Los triángulos laterales giran por detrás de la solapa que sube y terminan por fuera de ella; por eso la base del pájaro terminada muestra una costura en el centro de cada solapa larga.

Repite los pliegues de cometa y el pliegue pétalo por detrás y tendrás la base del pájaro, también llamada base de la grulla: dos solapas largas arriba y dos solapas separadas abajo. Es una de las bases clásicas de la tabla de más abajo.

Cuello, cola y cabeza son pliegues invertidos

Las dos solapas inferiores son demasiado anchas para un cuello, así que sus bordes inferiores se pliegan hasta la línea central por las dos caras. Cada solapa queda con más o menos la mitad de ancho.

Para girar una punta fina hacia arriba no basta con plegarla, porque quedaría por fuera del cuerpo y estorbaría al ala. En su lugar se hace un pliegue invertido interior. Abre un poco las dos mitades de la punta, empújala hacia arriba entre ellas siguiendo una línea de pliegue y aplana. La punta se da la vuelta sobre su borde plegado y queda encajada entre las capas del cuerpo. El cuello y la cola son un pliegue invertido cada uno, girados en sentidos opuestos. En el modelo el cuello gira 152 grados. La cabeza es un tercer pliegue invertido, más pequeño, aquí de 100 grados, cerca del extremo del cuello.

Por último, el pájaro se pone de pie y cada ala se baja por la línea que une la base del cuello con la base de la cola. Al levantar las alas hasta la horizontal, la grulla queda terminada.

Números que puedes comprobar en el modelo

Toma el lado del cuadrado como 1.

• La base preliminar es un cuadrado de lado 1/2, así que ocupa la cuarta parte del área original.
• Las marcas de cometa forman un ángulo de 22,5 grados con una diagonal. Cada una corta una mediana a una distancia de 1 − 1/√2 del centro, unos 0,293.
• Las cuatro bisagras pétalo forman alrededor del centro un cuadrado pequeño de lado √2 − 1, unos 0,414.
• La base preliminar y la base del pájaro miden ambas 1/√2, unas 0.71 veces el lado del papel, desde el centro cerrado hasta una punta abierta.
• En el punto más grueso de la grulla plegada y plana, el modelo apila 20 capas de papel.
• Cuando se dibuja el patrón de pliegues, se han plegado 111 tramos de pliegue. Su longitud total es de unas 15,7 veces el lado del cuadrado, y los pliegues monte suponen cerca del 60 % de ella.

Los teoremas de Maekawa y Kawasaki

El cuadrado desplegado de la última etapa es el patrón de pliegues. En cada punto interior donde se cruzan pliegues se cumplen dos reglas, siempre que el papel pueda quedar plano allí.

El teorema de Maekawa dice que el número de pliegues monte y el de pliegues valle difieren exactamente en dos. El teorema de Kawasaki dice que, si das la vuelta al punto sumando y restando por turnos los ángulos entre pliegues vecinos, el resultado es 0. Dicho de otro modo, los ángulos se reparten en dos grupos alternos que suman 180 grados cada uno.

El centro del cuadrado es un buen sitio para comprobar los dos. En la base preliminar sus ocho pliegues son cuatro medianas en monte, dos diagonales en valle y dos diagonales que acaban abiertas y planas en las caras delantera y trasera. Cuatro menos dos es dos, como exige el teorema de Maekawa. Sin contar las dos planas, los ángulos entre los seis pliegues restantes son 90, 45, 45, 90, 45 y 45 grados. Tomando uno sí y otro no, los dos grupos dan 90 + 45 + 45 = 180, como exige el teorema de Kawasaki.

Las dos reglas son locales. Marshall Bern y Barry Hayes demostraron en 1996 que decidir si un patrón de pliegues completo con muchos puntos puede quedar plano es un problema NP-completo, así que no existe una prueba general rápida de ese tipo.

El patrón propio del modelo tiene 62 puntos dentro del cuadrado donde se cruzan pliegues hechos. 46 de ellos pasan la prueba de Kawasaki. Los que fallan están en la parte alta de los pliegues de estrechamiento y en los extremos de los pliegues invertidos, los lugares donde el modelo simplifica lo que hace el papel (ver la sección siguiente).

En qué se diferencia el modelo del papel real

El modelo nunca estira el papel. Está cortado en 80 piezas planas a lo largo de todas las líneas que en algún momento se van a plegar, y cada paso hace girar piezas alrededor de líneas de pliegue. El hundimiento hasta la base preliminar se resuelve de forma exacta en el punto central, y el pliegue pétalo se resuelve como el mecanismo de cuatro placas descrito arriba. Las capas apiladas se dibujan a una distancia fija entre sí, 0,0016 del lado (0,24 mm en un cuadrado de 15 cm), y se unen por cada borde común con una tira fina, de modo que la hoja nunca muestra huecos. Un programa de comprobación recorre los 30 pasos en 25 puntos cada uno y confirma que ninguna pieza atraviesa a otra.

Quedan tres simplificaciones.

• Los pliegues invertidos se muestran como la punta girando dentro de las capas alrededor de un único punto de su borde plegado. El papel real abre un poco las capas y la punta se da la vuelta de dentro afuera. La posición final tiene el mismo contorno, en espejo.
• Donde una solapa estrechada se encuentra con la capa del ala que tiene encima, el papel real se curva un poco. El modelo dibuja una tira pequeña de papel sobre el hueco.
• El modelo mantiene el cuerpo plano. En una grulla real, separar las alas hincha el cuerpo hasta darle forma tridimensional.

Breve historia de la grulla de papel

La orizuru (grulla plegada) es uno de los diseños de origami japonés más conocidos. El Origami Resource Center señala una xilografía de Torii Kiyotada, fechada entre 1720 y 1750, en la que una mujer sostiene una grulla de papel, señal de que el modelo ya era familiar en Japón a comienzos del siglo 18. El Hiden Senbazuru Orikata de 1797 es uno de los libros de origami más antiguos que se conocen. Muestra renzuru, grupos de grullas plegadas en una sola hoja que se ha cortado en parte en cuadrados más pequeños, de modo que los pájaros siguen unidos por las alas, los picos o las colas.

En Japón la grulla es símbolo de larga vida, y plegar mil de ellas, senbazuru, se asocia al deseo de curarse de una enfermedad o al deseo de paz. Los juegos que se venden para senbazuru suelen traer unas mil hojas e hilo, y las grullas se cuelgan a menudo en 25 hilos de 40. La costumbre se conoció en todo el mundo gracias a Sadako Sasaki, que recibió la radiación del bombardeo atómico de Hiroshima a los dos años y murió de leucemia el 25 de octubre de 1955. Muchas versiones de su historia cuentan que plegó menos de mil. Su familia y el Museo Memorial de la Paz de Hiroshima dicen que terminó las mil y siguió plegando, hasta más de 1300. El Monumento a la Paz de los Niños, en el Parque Memorial de la Paz de Hiroshima, inaugurado el 5 de mayo de 1958, la muestra sosteniendo una grulla sobre la cabeza, y allí se dejan grullas de papel llegadas de todo el mundo.

Otros modelos con los mismos pliegues

La grulla comparte sus primeros pasos con una gran familia de modelos. Las bases clásicas de abajo son las formas que los libros dan por sabidas antes de empezar un modelo. Casi todos los modelos de la lista parten de una de ellas o modifican la propia grulla.

Elegir el tamaño del papel

Una hoja más grande produce una grulla más grande solo si la posición de los pliegues y los ángulos finales de apertura mantienen las mismas proporciones. Sea s el lado del cuadrado original y w la distancia entre las puntas de las alas de la figura terminada. La razón w/s no tiene unidades. Si una grulla concreta mide 12 cm de ancho al plegarla desde un cuadrado de 15 cm, su razón medida es 0.8. Una grulla geométricamente semejante hecha con un cuadrado de 20 cm abarcaría entonces 16 cm. Son una medida supuesta y su predicción escalada, no una dimensión garantizada de todas las grullas tradicionales. Abrir las alas cambia la envergadura proyectada sin cambiar el tamaño del papel. Una foto tomada en ángulo también puede hacer que una grulla correcta parezca más estrecha.

Varias dimensiones se pueden calcular sin adivinar el ángulo final de las alas. La base cuadrada tiene lado s/2, así que una hoja de 15 cm da una base de 7.5 cm de lado. Su área visible es de 56.25 cm², frente a los 225 cm² del cuadrado original. El papel no ha desaparecido: varias capas se superponen en la misma huella. El cuadrado de la bisagra del pétalo tiene lado (√2 − 1)s, unos 6.21 cm para esta hoja. Con esta hoja de 15 cm, ambas bases miden unos 10.6 cm desde el centro hasta una punta abierta. No es la altura final ni la envergadura con las alas abiertas.

Si un cuadrado de 7.5 cm sustituye a uno de 15 cm, cada longitud ideal se reduce a la mitad y el área original cae a una cuarta parte, de 225 a 56.25 cm². El número de pliegues no se reduce a la mitad. Tampoco el grosor de una hoja cortada del mismo papel. Por eso una grulla en miniatura es más difícil de plegar con limpieza aunque la construcción geométrica sea la misma. La comparación práctica es el grosor dividido por el ancho de la hoja, que se duplica cuando el ancho se reduce a la mitad.

Veinte capas no se comportan como una sola hoja

La pila más gruesa de este modelo contiene 20 capas. Supongamos, solo para estimar el grosor, que una hoja tiene 0.10 mm. Veinte capas perfectamente apretadas ocuparían 2.0 mm. Con papel de 0.15 mm la misma cantidad da 3.0 mm. Los pliegues reales también contienen huecos de aire y curvas redondeadas, así que esta multiplicación es una estimación de orden inferior de la pila, no una predicción del grosor exacto del cuerpo. No confunda la masa del papel por área, que suele imprimirse en g/m², con el grosor en milímetros: papeles con la misma masa por área pueden tener densidades y estucados distintos.

La pantalla separa las capas vecinas 0.0016 veces el lado del cuadrado. Con 15 cm, esa separación visual es de 0.24 mm. Es una convención de dibujo para que las superficies superpuestas se puedan leer, no una afirmación de que todo el papel de origami mida 0.24 mm de grosor. Aumentar la separación de capas en «Controles» ayuda a ver el cuello entre las capas del cuerpo, pero no convierte el modelo en una simulación de papel más grueso. El programa no calcula la fricción, la resistencia al desgarro ni la fuerza necesaria para aplanar un pliegue.

Cuando un pliegue de pétalo real se atasca, compruebe primero si los dos bordes inferiores llegaron a la línea central antes de levantar la solapa. Forzar un pliegue mal colocado hasta aplanarlo crea otro pliegue y cambia el patrón previsto. Con papel grueso suele servir más abrir un poco la solapa mientras se invierten los pliegues laterales que apretar con más fuerza. El mecanismo ideal explica dónde deben ir los paneles; no prescribe la presión de un pulgar ni el radio de curvatura de una hoja real.

Reglas de plegado plano y naves desplegables

En un vértice interior con cuatro pliegues activos, Maekawa permite tres montes y un valle, o al revés. Dos montes y dos valles no cumplen su condición de diferencia de dos. Para Kawasaki, considere cuatro ángulos de sector consecutivos de 60, 80, 120 y 100 grados. Suman 360 grados, y las sumas alternas son 60 + 120 = 180 y 80 + 100 = 180. Que cuatro ángulos sumen 360 no basta: 60, 80, 110 y 110 suman 360, pero sus sumas alternas son 170 y 190. Son ejemplos didácticos, no mediciones de un vértice elegido en la grulla.

Las hipótesis importan. Un pliegue que queda abierto no se cuenta como monte o valle activo. Un punto del borde de la hoja no tiene un anillo completo de papel a su alrededor, así que la misma prueba de vértice interior no se puede aplicar sin más. Incluso pasar ambas comprobaciones locales no demuestra que solapas lejanas puedan cruzarse durante un movimiento de plegado continuo. Una disposición final plana y una ruta sin colisiones hasta ella son preguntas distintas.

La ingeniería espacial añade aún más restricciones. El patrón Miura-ori usa una disposición repetida de paralelogramos en lugar de la base de pájaro de la grulla. Su movimiento acoplado sirve cuando hay que empaquetar una superficie grande de forma compacta y desplegarla. No toda nave plegada usa ese patrón. El IKAROS de JAXA, lanzado el 21 de mayo de 2010, desplegó una vela solar de 14 m por 14 m mediante la fuerza centrífuga. Su vela también llevaba células solares de película delgada, y la misión demostró la aceleración con vela solar. El problema de ingeniería compartido es guardar una superficie grande en un volumen menor, no fabricar un pájaro de papel ampliado. Una vela debe resistir las cargas del lanzamiento y funcionar en el espacio; la exposición de la grulla no modela ninguna de esas condiciones. IKAROS no se muestra aquí como un modelo adicional seleccionable.

Pruebas para hacer en pantalla

Pause la reproducción y use el deslizador de pasos para comparar la base cuadrada con la base de pájaro. Mantenga fija la dirección de vista para no confundir un cambio de perspectiva con un cambio de longitud. El contorno de la base cuadrada se encoge porque las capas se superponen, no porque se haya eliminado área de papel. Luego gire la vista por debajo del pliegue de pétalo y aumente la separación de capas lo suficiente para distinguir la solapa interior. Devuelva la separación a su ajuste original antes de juzgar la silueta final.

En el pliegue del cuello, oculte las flechas y siga el propio punto estrecho. Vuelva a mostrar las líneas de pliegue si cuesta localizar la bisagra. La cabeza es otro pliegue invertido en una parte más pequeña del mismo punto; no es una pieza separada unida al cuello. Rebobine hasta la hoja plana y compare las marcas de pliegue restantes con los pliegues que recuerda. Una marca registra una doblez anterior, pero no tiene por qué seguir siendo un monte o un valle totalmente cerrado en la etapa final. Ninguno de estos controles mide la envergadura de una grulla real. Para eso, pliegue una hoja física y anote junto a la medida tanto su tamaño como la posición de las alas.

Seis modelos más en la misma escena

El botón «Modelos» abre una lista de siete modelos, incluida la grulla. Todos se pliegan con el mismo programa que la grulla: la hoja se divide por cada pliegue que llegará a tener, cada paso gira un conjunto de facetas alrededor de una línea de pliegue y las capas mantienen una pequeña distancia fija. Busca por nombre o filtra por animales, objetos y juguetes; después elige un modelo para plegarlo en la escena. El enlace «Diagrama» de cada entrada abre el diagrama publicado o las instrucciones que sigue la secuencia.

El pájaro aleteador es la grulla sin los pliegues que estrechan sus puntas. Como las puntas inferiores quedan anchas, los pliegues inversos del cuello y la cola mueven mucho más papel, y la cola se convierte en un asidero: al tirar de ella, las alas oscilan alrededor del cuerpo. El casco de samurái, o kabuto, el vaso y la cara de perro empiezan igual, con la cara blanca hacia arriba y el cuadrado girado en rombo y doblado en triángulo. Después solo cambia adónde van las esquinas. El avión de papel es el dardo de las instrucciones del Museo Nacional del Aire y el Espacio del Smithsonian. Aquí se pliega a partir de un cuadrado en vez de una hoja rectangular, por lo que una pequeña esquina de cada solapa lateral sobresale por detrás de la cola. El comecocos empezó como salero: las esquinas van al centro por una cara y luego por la otra, y cada vez la superficie se reduce a la mitad.

Los recuentos proceden del patrón de pliegues de cada modelo y son los mismos que aparecen bajo la lista. Un vértice interior es un lugar apartado del borde del cuadrado donde se juntan dos o más pliegues realizados. El tamaño final es la mayor extensión de la última postura, medida sobre el plano de la mesa. Así, un cuadrado de 15 cm da una grulla de unos 14 cm de ancho con las alas abiertas como en la escena, y un vaso de unos 9 cm de ancho.

Los cuatro modelos sencillos superan ambas pruebas en todos sus vértices. El casco falla en la mayoría, y el motivo ayuda a entender sus pliegues. Varios atraviesan solo algunas capas: los cuernos giran la capa superior de cada solapa y la banda gira solo la delantera. Un pliegue hecho así acaba en el borde doblado de esa capa; por eso, en la hoja abierta termina en otro pliegue en vez de cruzarlo, y el vértice tiene un número impar de pliegues. El papel real lo compensa curvándose un poco en esos extremos. La grulla y el pájaro aleteador fallan por el motivo explicado antes: el modelo simplifica los pliegues inversos.

Retos

El botón «Retos» enumera siete tareas. La lista indica cuántas has resuelto y el progreso se guarda solo en este dispositivo. Una pide plegar toda la grulla con el botón › en 150 segundos. Cinco hacen preguntas cuyas respuestas están en la escena: los pliegues del centro, los dos teoremas del plegado plano, la esquina que se convierte en cabeza y el tamaño de la grulla terminada. La última pide plegar cada modelo hasta su último paso. Las respuestas se comprueban con los mismos datos de pliegues y la misma postura final que usa el panel numérico, de modo que un cambio del modelo también cambiaría las respuestas.

Tipos de papel

El botón «Papel» alterna entre tres superficies. El papel de origami es fino y liso, con una cara de color. El washi se dibuja con largas fibras vegetales y una superficie más suave, como el papel de corteza de kozo a contraluz. El papel metalizado tiene una capa de metal en la cara de color y papel por detrás; por eso solo brilla el anverso. La geometría no cambia: la escena sigue plegando una hoja ideal sin grosor propio, por lo que un papel más grueso necesitaría en la práctica más espacio en cada pliegue.

La base preliminar y la base del pájaro miden ambas unas 0.71 veces el lado del papel desde el centro cerrado, que es el centro de la hoja, hasta una punta abierta. Es la mitad de la diagonal de la hoja, 1/√2. El ancho de la grulla terminada es distinto: la última postura mide unas 0.95 veces el lado, o 14.2 cm con un cuadrado de 15 cm, que el reto redondea a 14 cm. El panel numérico y la tabla usan esa misma postura final.