O problema de Monty Hall: por que trocar de porta compensa

Uma pergunta numa revista de domingo

Em 9 de setembro de 1990, um leitor perguntou a Marilyn vos Savant, na coluna Ask Marilyn da revista Parade, sobre um programa de auditório. Você está diante de três portas. Atrás de uma há um carro; atrás das outras duas, cabras. Você escolhe uma porta, digamos a 1. O apresentador, que sabe o que há atrás de cada porta, abre outra, digamos a 3, e mostra uma cabra. Depois pergunta se você quer trocar para a porta 2. Vale a pena trocar?

Ela respondeu que sim: trocar ganha duas vezes em três. Vieram milhares de cartas, e muitos matemáticos profissionais insistiram que ela estava errada. Jeffrey Rosenthal, da Universidade de Toronto, reuniu algumas das frases usadas, entre elas "você está completamente errada" e "a cabra é você". A discussão terminou nas salas de aula. Ela pediu a turmas de matemática de escolas que jogassem com copos de papel e moedas, e elas responderam, com certo espanto, que ela tinha razão.

O enigma tem uma resposta simples e uma resposta errada muito teimosa, e a diferença entre as duas se resume a um detalhe: o que o apresentador sabe. Esta exposição deixa você jogar com 3 a 100 portas, rodar dez mil partidas em um ou dois segundos e trocar de apresentador até a resposta também mudar.

Como usar o palco

Toque numa porta para escolhê-la. O braço robótico à direita faz o papel do apresentador: aponta um laser para cada porta que abre, e as portas giram para mostrar uma cabra numa cabine iluminada. Quando só restam fechadas a sua porta e mais uma, aparecem dois botões. "Trocar" passa a sua escolha para a outra porta, "Manter" a conserva. A porta em que você termina se abre e as lâmpadas piscam em verde para carro ou em vermelho para cabra.

Abaixo do palco, três botões levam direto a 3, 10 ou 100 portas. No painel "Controles", o controle "Apresentador" muda o que o apresentador sabe e como ele se comporta, "Probabilidades" mostra a chance do carro sobre cada porta fechada e "Ver atrás das portas" deixa as portas transparentes para você acompanhar o carro. A seção abaixo dos controles joga muitas partidas de uma vez, registra as partidas que você jogou à mão nesta visita (nada fica salvo) e mostra a tabela de Bayes da partida à sua frente.

Por que a sua primeira escolha fica em uma em três

Quando você escolhe uma porta, o carro está atrás dela em uma partida de cada três. Isso ninguém discute. O desacordo começa quando uma porta se abre. Muita gente sente que sobraram duas portas e que, portanto, cada uma agora deve valer metade.

Acompanhe o apresentador, e não as portas. Ele precisa abrir uma porta que não seja a sua e que não esconda o carro. Se a sua porta esconde o carro, ele pode abrir qualquer uma das outras duas. Se a sua porta esconde uma cabra, ele não tem escolha nenhuma: uma das outras portas tem o carro, então ele precisa abrir a da segunda cabra.

Agora olhe para as partidas em que você escolheu uma cabra. Isso acontece duas vezes em três. Em cada uma delas, o movimento forçado do apresentador deixa o carro atrás da única outra porta fechada, e trocar ganha. Na partida em três em que você escolheu o carro, trocar perde. Então trocar ganha duas partidas em três e manter, uma.

A ação do apresentador não diz nada de novo sobre a sua própria porta, porque ele abriria uma porta com cabra fosse o que fosse que houvesse atrás dela. Mas diz muito sobre a porta que ele pulou. Ele não a deixou fechada ao acaso; em duas partidas de cada três, ele foi obrigado a isso.

Com cem portas fica evidente

Uma versão com muitas portas ajuda muita gente. Imagine 100 portas. Você escolhe uma. O apresentador, que sabe onde está o carro, abre 98 das outras, todas mostrando cabras, e deixa uma única porta fechada. Você fica com a sua porta ou passa para aquela que ele evitou com tanto cuidado?

A sua porta tinha uma chance em cem quando você a escolheu, e nada aconteceu com ela desde então. As outras 99 portas juntas tinham 99 chances em cem. O apresentador eliminou 98 delas sem nunca tocar no carro, então os 99/100 inteiros estão agora na única porta que ele deixou. Aperte o botão de 100 portas e jogue algumas partidas: a parede se abre fileira por fileira, e a porta que fica de pé no meio de tantas cabras parece tão suspeita quanto deve.

A regra geral é fácil de ler. Com n portas e um apresentador que abre todas menos a sua e mais uma, manter ganha 1/n das vezes e trocar ganha (n − 1)/n. Com 3 portas isso é 1/3 contra 2/3; com 10 portas, 10% contra 90%; e com 100 portas, 1% contra 99%. A tabela no fim do painel "Controles" mostra os sete números de portas para o apresentador que você escolheu.

Contando todos os casos

Se os argumentos não convencem, conte. Numere as portas 1, 2 e 3 e suponha que você sempre escolhe a porta 1 (por simetria, as outras escolhas dão o mesmo resultado). O carro tem a mesma chance de estar atrás de qualquer porta, e quando o apresentador pode escolher, ele pega qualquer uma das duas com a mesma chance.

As duas primeiras linhas dividem o terço em que o carro está atrás da sua porta. Manter ganha com probabilidade 1/6 + 1/6 = 1/3, e trocar com 1/3 + 1/3 = 2/3.

A tabela também responde à versão mais precisa da pergunta, aquela que o leitor de fato fez: você viu o apresentador abrir a porta 3. Agora só as linhas 2 e 3 são possíveis. A linha 2 tem probabilidade 1/6 e a linha 3, 1/3; então, entre as partidas parecidas com a sua, o carro está atrás da porta 2 duas vezes mais que atrás da porta 1. A resposta condicional é de novo 2/3.

A regra de Bayes no momento da oferta

A mesma contagem costuma ser escrita com a regra de Bayes, que diz como uma probabilidade deve mudar quando chega uma evidência nova. Liste todos os lugares onde o carro pode estar, anote a chance antes da evidência (a probabilidade a priori), multiplique pela chance de ver exatamente essa evidência se aquilo fosse verdade (a verossimilhança) e divida cada produto pelo total deles.

Você escolheu a porta 1 e o apresentador abriu a porta 3:

Os produtos somam 1/2, a chance total de ver o apresentador abrir a porta 3. Dividir por ela dá a última coluna. A tabela do painel "Controles" é montada do mesmo jeito para a partida do palco e muda com o número de portas e com o apresentador. Com n portas e o apresentador informado, os produtos são 1/(n(n − 1)) para a sua porta e 1/n para a que ele deixou, o que dá 1/n contra (n − 1)/n.

A coluna do meio é onde mora o apresentador. Mude a regra dele e as verossimilhanças mudam, e com elas a resposta.

O que o apresentador sabe decide a resposta

A resposta clássica depende de três fatos sobre o apresentador: ele sempre abre portas, sempre mostra cabras porque sabe onde está o carro e sempre oferece a troca. Tire qualquer um deles e os números se mexem. O controle "Apresentador" tem cinco posições.

Sabe (clássico). O caso acima: manter 1/n, trocar (n − 1)/n.

Não sabe. Rosenthal chama este caso de Monty Fall: o apresentador escorrega numa casca de banana e empurra uma porta qualquer, que por acaso mostra uma cabra. Com três portas, uma porta qualquer que não seja a sua esconde o carro uma vez em três. Essas partidas se perdem. Nas que sobram, a sua porta e a outra porta fechada são igualmente prováveis, então manter e trocar ganham, cada um, metade das vezes. No palco, as partidas em que o braço revela o carro terminam com uma mensagem e não contam, e uma rodada de muitas partidas informa quantas foram descartadas. Com 100 portas e um apresentador que abre 98 ao acaso, só 2 partidas em 100 sobrevivem, mas nelas a resposta continua sendo metade.

Por que a diferença, se as portas do palco parecem exatamente iguais no momento da oferta? Porque a evidência é diferente. Um apresentador informado que mostra 98 cabras fez algo que sempre podia fazer. Um apresentador às cegas que, por acaso, mostra 98 cabras fez algo muito improvável, a não ser que o carro estivesse atrás de uma das duas portas que ele não tocou. Essas duas portas ganham juntas e por igual. Na tabela de Bayes, a verossimilhança do gesto do apresentador às cegas é a mesma, 1/(n − 1), esteja o carro atrás da sua porta ou da outra, então as probabilidades a posteriori saem iguais.

Porta favorita. O Monty Crawl de Rosenthal é um apresentador que sabe onde está o carro, mas, quando pode escolher, sempre abre a porta com cabra de menor número, porque está cansado e ela é a mais próxima. No palco isso é um controle deslizante: a chance de o apresentador, quando livre para escolher, deixar fechada a outra porta de menor número. Na média de todas as partidas nada muda, e trocar continua ganhando 2/3 das vezes. Mas a porta que ele deixa agora carrega informação. Com três portas e um apresentador que sempre deixa a menor fechada, vê-lo deixar a maior fechada significa que ele não teve escolha: o carro está atrás dela, e trocar ganha toda vez. Vê-lo deixar a menor fechada significa só 1/2. Para uma preferência geral p, as duas respostas são 1/(1 + p) e 1/(2 − p), e trocar nunca é pior que manter.

Oferece só a quem acertou. Se o apresentador só oferece a troca quando a sua primeira escolha é o carro, uma oferta é má notícia. Trocar sempre que oferecido nunca ganha.

Oferece só a quem errou. O contrário: ele só oferece quando você escolheu uma cabra, então trocar quando oferecido ganha toda vez. Os dois casos mostram que a regra que o apresentador segue importa mais do que qualquer coisa que você vê no palco.

Dez mil partidas

Os botões "Rodar" jogam 100, 1000 ou 10.000 partidas em poucos segundos. Cada partida sorteia o carro, faz uma primeira escolha ao acaso e deixa o apresentador agir; depois pontua três jogadores na mesma distribuição: um sempre troca, um sempre mantém e um tira cara ou coroa. As barras dão a fração que cada jogador venceu, com uma marca fina no valor exato. O gráfico de baixo acompanha as taxas de vitória à medida que as partidas se acumulam, numa escala logarítmica de partidas.

Depois de 10 partidas, as linhas podem estar em qualquer lugar. Isso não é falha da simulação; com tão poucas partidas, só o acaso já desloca a fração de vitórias em 15 pontos percentuais ou mais. A dispersão típica de uma taxa de vitória p medida em N partidas é a raiz quadrada de p(1 − p)/N. Para p = 2/3, isso dá cerca de 4,7 pontos percentuais com 100 partidas, 1,5 com 1000 e 0,47 com 10.000. Por isso, depois de dez mil partidas, a linha de trocar fica quase sempre a menos de um ponto percentual de 66,7%.

Com o apresentador clássico, quem tira cara ou coroa sempre termina perto da metade. Metade das vezes ele troca e ganha 2/3, metade das vezes mantém e ganha 1/3. Esse é o número que a intuição dá para o jogo inteiro, e é a resposta certa para outra pergunta: quantas vezes você ganha se tratar as duas portas fechadas como iguais.

Contando todos os arranjos de carro, escolha e gesto do apresentador para 3, 4, 5 e 10 portas e para cada apresentador, obtêm-se as probabilidades exatas. Ao jogar 100.000 partidas contadas para cada um dos sete números de portas e dos cinco apresentadores, cada estratégia fica a menos de meio ponto percentual do valor exato, nos 292 casos. A tabela de Bayes do apresentador com porta favorita também coincide com partidas simuladas, por exemplo 83,1% de 40.014 partidas contra o exato 5/6 quando o apresentador prefere a porta menor com p = 0,8 e deixa a maior fechada.

Por que a intuição diz metade

Psicólogos estudam este enigma há décadas, porque muita gente cuidadosa erra e continua errando depois de ouvir a explicação. A maioria prefere manter o primeiro palpite, embora trocar dobre a chance de ganhar.

Várias explicações foram testadas. Krauss e Wang (2003) viram que as pessoas resolviam o problema muito mais vezes quando ele era contado em frequências naturais, contando partidas em vez de citar probabilidades, e do ponto de vista do apresentador. Burns e Wieth (2004) argumentaram que a dificuldade está na estrutura causal. Onde está o carro e qual porta você escolheu são independentes, mas os dois decidem qual porta o apresentador abre; por isso, conhecer a escolha dele liga os dois, o que as pessoas não esperam. Quando o jogo foi contado como uma competição, o que torna essas causas mais fáceis de ver, mais gente acertou.

Herbranson e Schroeder (2010) testaram com pombos. Três teclas de resposta numa câmara de teste faziam o papel das portas, e o prêmio era grão. Ao longo de muitas tentativas, os pombos ajustaram a frequência com que trocavam até chegar perto da melhor estratégia; voluntários humanos com o mesmo treino não chegaram. As aves não tinham nenhuma teoria da probabilidade, só a experiência do que dava recompensa, e é isso que os botões "Rodar" lhe dão.

Um pouco de história

A estrutura é mais antiga que o programa de auditório. O livro de probabilidade de Joseph Bertrand, de 1889, trazia o paradoxo da caixa: três caixas guardam duas moedas de ouro, duas de prata e uma de cada. Você tira uma moeda de ouro de uma caixa ao acaso. A chance de a outra moeda daquela caixa ser de ouro é 2/3, e não 1/2, porque a caixa de duas moedas de ouro tem o dobro de chance da caixa mista de lhe dar ouro. Em 1959, a coluna Mathematical Games de Martin Gardner na Scientific American propôs o problema dos três prisioneiros, um dos quais será perdoado. O prisioneiro que fica sabendo que outro será executado mantém a sua chance de 1/3, enquanto a do terceiro sobe para 2/3. São as três portas, com prisioneiros no lugar das cabras.

A versão do programa de auditório apareceu em 1975, numa carta ao editor da The American Statistician escrita pelo bioestatístico Steve Selvin, que lhe deu o nome de Monty Hall, apresentador de um programa de auditório real da televisão americana. Em 1990, a coluna da Parade o tornou famoso.

A discussão não terminou nas salas de aula. Alguns estatísticos apontaram que a pergunta, tal como foi publicada, não diz se o apresentador sempre abre uma porta nem como ele escolhe quando pode escolher, e que a resposta incondicional (trocar ganha 2/3 de todas as partidas) e a condicional (trocar ganha 2/3 das partidas em que ele abriu a porta 3) pedem argumentos diferentes. Richard Gill, da Universidade de Leiden, escreveu que o enigma pode ser lido como vários problemas matemáticos diferentes, e esse é um dos motivos de ele continuar rendendo artigos. O palco separa essas leituras com o controle "Apresentador".

O que o modelo simplifica

O carro é posto ao acaso e as escolhas aleatórias do apresentador são lançamentos de uma moeda honesta, como no problema padrão. Um apresentador de verdade poderia colocar o carro onde os participantes raramente olham, ou oferecer a troca só quando lhe convém, e aí nenhuma resposta fixa vale.

O braço robótico abre as portas uma depois da outra por causa da animação. Na matemática a ordem não importa; só conta qual porta fica fechada. Com o apresentador às cegas, o braço abre as portas em ordem aleatória, então o carro pode aparecer no meio do caminho.

O simulador de muitas partidas usa um gerador pseudoaleatório rápido com semente tirada do relógio, então duas rodadas nunca dão exatamente os mesmos números. Os três jogadores são pontuados na mesma distribuição, e é por isso que as barras de trocar e manter sempre somam 100% com o apresentador clássico: em cada partida contada, exatamente uma das duas portas fechadas tem o carro.

O registro das suas próprias partidas só existe na página aberta. Recarregar apaga tudo.

Calcular a evidência, e não só contar portas

Seja C1 o fato de o carro estar atrás da porta 1 e H3 o fato de o apresentador abrir a porta 3 e oferecer a troca. Suponha que você escolheu a porta 1, que o carro foi colocado de modo uniforme, que o apresentador sempre evita o carro e que escolhe com igualdade quando as outras duas portas têm cabras. A regra de Bayes é P(C1 | H3) = P(H3 | C1) × P(C1) / P(H3). O denominador não é apenas a chance de a porta 3 ter uma cabra. É a chance desta ação específica do apresentador sob as regras indicadas.

Para a sua porta, o numerador é (1/2) × (1/3) = 1/6. Para a porta 2, é 1 × (1/3) = 1/3. A porta 3 contribui com zero. Portanto P(H3) = 1/6 + 1/3 = 1/2 e P(C1 | H3) = (1/6)/(1/2) = 1/3. Da mesma forma, P(C2 | H3) = (1/3)/(1/2) = 2/3. A explicação de Berkeley destaca a diferença entre saber que uma porta não tem prêmio e saber que o apresentador a escolheu para mostrar que não tem prêmio. A discussão de Alvarado também segue a dependência entre o carro, a primeira escolha e a revelação.

Uma verificação útil é imaginar 600 partidas independentes com a mesma primeira escolha. Em cerca de 200 o carro está atrás de cada porta. Nas primeiras 200, cerca de 100 mostram a porta 3; nas segundas 200, todas as 200 mostram; nas últimas 200, nenhuma. Restam cerca de 300 observações compatíveis, com 100 carros atrás da sua porta e 200 atrás da outra. São contagens esperadas, não uma garantia sobre um lote específico de 600 partidas.

Por que as partidas descartadas importam

Agora suponha que o apresentador escolha às cegas uma porta não selecionada. Mantenha a primeira escolha fixa na porta 1 e considere apenas as ocasiões em que ele abre a porta 3 e mostra uma cabra. Se o carro está atrás da porta 1, a chance dessa observação é 1/2. Se está atrás da porta 2, também é 1/2. Os dois numeradores que sobrevivem valem 1/6, a soma é 1/3 e cada probabilidade a posteriori é 1/2. A mesma cabra visível produziu um cálculo diferente porque outro processo a escolheu.

Há outro modo de contar sem nomear a porta aberta. Em 600 partidas, cerca de 200 começam com a sua porta certa; as 200 sobrevivem a uma revelação às cegas. Cerca de 400 começam com a sua porta errada; só cerca de 200 sobrevivem, porque o apresentador tem chance de 1/2 de expor o carro. Assim, contam cerca de 400 partidas: manter ganha 200 e trocar ganha 200. Dividir as vitórias por troca por todas as 600 partidas tentadas daria 1/3. Esse número responde a outra pergunta, que inclui as partidas estragadas como fracassos. Declare sempre o denominador.

Com 100 portas, a sua escolha original está certa em 1/100 das tentativas, e essas tentativas sempre sobrevivem. Se estiver errada, o apresentador às cegas precisa deixar o carro como a única porta fechada não escolhida, o que tem probabilidade 1/99. A parcela que sobrevive com primeira escolha errada é (99/100) × (1/99) = 1/100. Os dois grupos contribuem, portanto, igualmente: 2/100 das tentativas sobrevivem e trocar ganha em 1/2 desses sobreviventes. Não é o 99/100 do apresentador que sabe.

O que significa o erro de uma simulação

Para partidas clássicas independentes, o número de vitórias por troca tem distribuição binomial com p = 2/3. O erro padrão da proporção observada é sqrt(p × (1 − p) / N). Com N = 1000, é 0,0149, ou seja, 1,49 ponto percentual. Uma faixa amostral aproximada de 95% é a proporção esperada mais ou menos 1,96 erro padrão: cerca de 66,67% ± 2,92 pontos percentuais, ou de 63,75% a 69,59%. É neste sentido que mil partidas têm margem de cerca de três pontos percentuais, e não como promessa de que toda execução fique dentro dela.

As notas da San José State explicam essa aproximação normal para uma proporção. Multiplicar N por 4 reduz o erro padrão pela metade; multiplicar por 100 o torna cerca de dez vezes menor. Uma execução de 10.000 é, portanto, mais estável que uma de 1000, mas não dez vezes mais precisa. O resultado também supõe partidas independentes e geradas corretamente. Repetir um erro de programação não o faz desaparecer.

Neste palco, as duas estratégias usam a mesma distribuição. Os resultados são pareados, não duas amostras independentes: quando trocar ganha, manter perde. Com o apresentador às cegas, use as partidas contadas como N, e não todas as tentativas. Com 100 portas, 1000 revelações às cegas tentadas rendem em média só cerca de 20 partidas contadas, muito poucas para a afirmação de três pontos percentuais acima.

Um experimento para fazer na tela

Escolha 3 portas e Sabe (clássico) e faça uma previsão antes de apertar Rodar 1000. Compare Sempre trocar com a marca exata, e não apenas com a execução anterior. Mude somente o apresentador para Não sabe e repita. Leia a contagem de partidas anuladas junto com o total contado. Por fim, escolha 100 portas: com o apresentador clássico, a taxa de troca deve chegar perto de 99%, enquanto o apresentador às cegas mantém apenas uma pequena fração das tentativas. Essas comparações isolam a regra do apresentador, em vez de mudar várias suposições sem perceber.

O estudo com pombos e as revisões psicológicas posteriores distinguem aprender qual ação compensa de explicar por que ela compensa. Um visitante pode aprender a apertar Trocar pelo retorno que recebe, sem conseguir reconstruir a coluna das verossimilhanças. Depois do experimento, explique por que o apresentador às cegas descarta mais partidas de primeira escolha errada do que de primeira escolha certa. Essa explicação, e não uma sequência de sorte, é o teste de compreensão. A comparação de Li com a análise de dados aponta no mesmo sentido: importam a ordem e o procedimento de seleção, mesmo quando a tela final oferece duas possibilidades.

Palcos de enigmas: a mesma pergunta em outras mesas

O botão «Enigmas» abre 17 palcos. Oito mantêm as portas e mudam só as regras do apresentador ou o número de portas; nove passam a uma mesa redonda de feltro, onde caixas, moedas, pessoas ou envelopes substituem as portas. Todos têm «Jogar uma vez» e uma execução de 100,000 partidas (1,000,000 nos dois enigmas em que poucas atendem à condição). A leitura à esquerda compara o valor exato com a proporção obtida.

Apresentadores com outras regras

Monty Fall escorrega e abre uma porta ao acaso. Se ela mostra uma cabra, manter e trocar ganham com chance 1/2 cada: as partidas em que ele mostraria o carro são descartadas, justamente aquelas em que trocar ganharia. Monty Crawl sempre deixa fechada a outra porta de número menor quando pode escolher. Se você escolhe a 1 e ele abre a 2, não tinha escolha: o carro está atrás da 3 e trocar sempre ganha. Se abre a 3, trocar ganha só com chance 1/2. Na média dos dois casos, trocar sempre ainda ganha 2/3. Grinstead e Snell estudam o caso intermediário: se ele abre o número maior 3 de cada 4 vezes quando pode, trocar após a abertura da porta 3 ganha com chance 4/7.

Monty infernal e Monty angelical decidem se oferecem a troca. Monty Hall disse a um repórter em 1991 que no programa real nunca foi obrigado a fazer a oferta. Quem oferece só quando você escolheu o carro transforma a troca em derrota certa; quem oferece só quando escolheu uma cabra a transforma em vitória certa. A própria oferta é a evidência.

Só uma porta aberta entre muitas

O controle «Outras portas fechadas» muda quantas o apresentador deixa fechadas além da sua. Com 5 portas e só uma com cabra aberta, restam outras três fechadas. Manter ganha com chance 1/5. Trocar ao acaso para uma das três ganha com (5 − 1) / (5 × 3) = 4/15, cerca de 26.7%. Em geral, com n portas e k abertas, trocar ganha com (n − 1) / (n (n − 1 − k)), sempre mais que 1/n. Quando k = n − 2, surge o conhecido (n − 1)/n: 2/3 com três portas e 99/100 com cem.

Dois jogadores

O palco «Dois jogadores» mantém um placar para cada pessoa que se reveza nas mesmas portas. Se uma sempre mantém e a outra sempre troca, após 30 partidas cada os resultados esperados são 10 e 20 carros. Uma disputa curta ainda pode inverter o resultado; a diferença de 10 carros tem uma dispersão de cerca de 3.7 carros para cada lado.

Caixas, prisioneiros e filhos

As três caixas de Bertrand contêm duas moedas de ouro, duas de prata e uma de cada. Tire uma moeda ao acaso e veja ouro: as três moedas de ouro tinham a mesma chance de sair, e duas ficam na caixa com duas de ouro. Logo, a outra moeda é de ouro com chance 2/3, não 1/2. Os três prisioneiros são as portas com outra roupa. O guarda que cita B para execução faz o apresentador; A mantém 1/3 e C sobe a 2/3.

Os dois enigmas dos filhos mostram a importância das palavras. Uma família com dois filhos, pelo menos um menino, tem dois meninos com chance 1/3: das quatro famílias equiprováveis (menino menino, menino menina, menina menino, menina menina), a última é excluída e uma das três restantes tem dois meninos. Se o mais velho é menino, a chance é 1/2. Se um filho nasceu na terça, é 13/27: dos 196 pares equiprováveis de sexo e dia da semana, 27 incluem um menino de terça e 13 desses têm dois meninos.

Aniversários

Com 23 pessoas à mesa, a chance de duas compartilharem aniversário é 50.7%; com 22 é 47.6%, e com 57 é 99.0%. Importa o número de pares: 23 pessoas formam 253 pares, cada um com chance de 1 em 365 de coincidir. O controle «Pessoas» vai de 2 a 70; após cada partida, quem coincide acende em dourado.

Um teste positivo

A mesa do teste mostra 1,000 pessoas. Com 1 doente por 1,000 e 5% de falsos positivos entre os saudáveis, cerca de 50 saudáveis testam positivo junto ao único doente. Um positivo indica doença com chance de 1 em 51, cerca de 2.0%. Numa pesquisa de 2014, 14 de 61 médicos e estudantes deram essa resposta. Um segundo positivo independente eleva a chance a cerca de 28.6%, ainda abaixo da metade. Os dois controles mudam a proporção de doentes e a taxa de falsos positivos.

Moedas sem memória

Após 5 caras seguidas, o próximo lançamento tem chance 1/2 de dar cara. No palco, só 1 em 32 sequências começa com cinco caras, por isso esse enigma roda um milhão de vezes. O teste de sequências é mais sutil. Lance 4 moedas e registre a proporção de caras nos lançamentos logo após uma cara. Na média das 16 sequências, considerando as que têm uma cara cedo o suficiente para contar, a proporção é 17/42, cerca de 40.5%, não 50%. Miller e Sanjurjo mostraram em 2018 que o teste de 1985 sobre «mão quente» no basquete usava esse tipo de média, fazendo um efeito real de sequência parecer inexistente.

Dois envelopes

No palco dos envelopes, o menor valor é 10, 20 e assim até 100; o outro envelope contém o dobro. Trocar dá mais em metade das partidas e muda o valor em 0 na média. O argumento de que o outro envelope vale em média 1.25 vezes o seu trata o valor que você tem como fixo nos dois casos, o que não pode ocorrer.

A árvore de probabilidades

A opção «Árvore de probabilidades» põe a árvore no palco; o painel «Controles» sempre a mostra. Cada ramo do ponto é um lugar possível do carro (ou da moeda, ou da doença), com espessura proporcional à chance. Ele se divide entre a evidência vista e a não vista. Cortar os ramos que não ocorreram e ajustar o restante para somar 1 é a regra de Bayes. O curso do MIT de matemática para computação ensina as portas com essa árvore de quatro passos. Quando Andrew Vazsonyi mostrou o problema a Paul Erdős em 1995, o matemático só aceitou a resposta após 100,000 partidas de computador, mas ainda pediu uma razão; a árvore fornece essa razão.