মন্টি হল সমস্যা: দরজা বদলালে কেন বেশি জেতা যায়

রবিবারের পত্রিকায় একটি প্রশ্ন

9 সেপ্টেম্বর 1990, Parade পত্রিকার Ask Marilyn কলামে একজন পাঠক মেরিলিন ভস স্যাভান্টকে একটি টিভি গেম শো নিয়ে প্রশ্ন করেন। আপনার সামনে তিনটি দরজা। একটির পেছনে গাড়ি, বাকি দুটির পেছনে ছাগল। আপনি একটি দরজা বাছলেন, ধরা যাক 1 নম্বর। উপস্থাপক, যিনি জানেন প্রতিটি দরজার পেছনে কী আছে, আরেকটি দরজা খোলেন, ধরা যাক 3 নম্বর, আর একটি ছাগল দেখান। তারপর জিজ্ঞেস করেন, আপনি কি দরজা 2-এ বদলাতে চান? বদলানো কি আপনার পক্ষে লাভের?

তিনি উত্তর দিলেন, হ্যাঁ: বদলালে তিনবারে দুবার জেতা যায়। এরপর হাজার হাজার চিঠি আসে, আর অনেক পেশাদার গণিতবিদ জোর দিয়ে বলেন তিনি ভুল। টরন্টো বিশ্ববিদ্যালয়ের জেফ্রি রোজেনথাল তাঁদের ব্যবহার করা কিছু কথা জড়ো করেছিলেন, তার মধ্যে ছিল "আপনি পুরোপুরি ভুল" আর "ছাগলটা আপনিই"। তর্কের শেষ হয় শ্রেণিকক্ষে। তিনি স্কুলের গণিত ক্লাসগুলোকে কাগজের কাপ আর পয়সা দিয়ে খেলাটা খেলতে বলেন, আর তারা কিছুটা অবাক হয়েই লিখে জানায় যে তিনিই ঠিক।

ধাঁধাটির একটি সরল উত্তর আছে আর একটি একগুঁয়ে ভুল উত্তর, আর দুটোর পার্থক্য একটিমাত্র খুঁটিনাটিতে: উপস্থাপক কী জানেন। এই প্রদর্শনীতে আপনি 3 থেকে 100টি দরজা নিয়ে খেলতে পারেন, এক-দুই সেকেন্ডে দশ হাজার খেলা চালাতে পারেন, আর উপস্থাপককে বদলাতে পারেন যতক্ষণ না উত্তরও বদলায়।

মঞ্চ কীভাবে ব্যবহার করবেন

একটি দরজা বাছতে তাতে ট্যাপ করুন। ডান দিকের রোবট বাহু উপস্থাপকের কাজ করে: যে দরজা খোলে তার দিকে লেজার তাক করে, আর দরজাগুলো ঘুরে খুলে গিয়ে আলোকিত বুথে একটি ছাগল দেখায়। যখন শুধু আপনার দরজা আর অন্য একটি বন্ধ থাকে, দুটি বোতাম আসে। «বদলান» আপনার বাছাই অন্য দরজায় নিয়ে যায়, «থাকুন» তা রেখে দেয়। আপনি যে দরজায় শেষ করেন সেটা খোলে, আর বাল্বগুলো গাড়ির জন্য সবুজ আর ছাগলের জন্য লাল জ্বলে।

মঞ্চের নিচে তিনটি বোতাম সরাসরি 3, 10 বা 100টি দরজায় নিয়ে যায়। «নিয়ন্ত্রণ» প্যানেলে «উপস্থাপক» স্লাইডার বদলায় উপস্থাপক কী জানেন আর কেমন আচরণ করেন, «সম্ভাবনা» প্রতিটি বন্ধ দরজার ওপরে গাড়ির সম্ভাবনা দেখায়, আর «দরজার পেছনে দেখুন» দরজাগুলো স্বচ্ছ করে দেয় যাতে আপনি গাড়িটা দেখতে পান। স্লাইডারের নিচের অংশ একসঙ্গে অনেক খেলা খেলে, এই ভিজিটে আপনার হাতে খেলা খেলাগুলোর হিসাব রাখে (কিছুই সংরক্ষিত হয় না), আর সামনের খেলার বেইজ সারণি দেখায়।

আপনার প্রথম বাছাই কেন তিনে একেই থাকে

আপনি একটি দরজা বাছলে, তিনটি খেলার একটিতে গাড়ি তার পেছনে থাকে। এ নিয়ে কারও আপত্তি নেই। মতভেদ শুরু হয় দরজা খুললে। অনেকের মনে হয়, দুটি দরজা বাকি, তাই এখন প্রতিটির অর্ধেক হওয়া উচিত।

দরজার বদলে উপস্থাপককে লক্ষ করুন। তাঁকে এমন দরজা খুলতে হবে যা আপনার নয় আর যার পেছনে গাড়ি নেই। আপনার দরজার পেছনে গাড়ি থাকলে তিনি বাকি দুটির যেকোনোটা খুলতে পারেন। আপনার দরজার পেছনে ছাগল থাকলে তাঁর কোনো উপায়ই নেই: অন্য দরজাগুলোর একটিতে গাড়ি, তাই তাঁকে দ্বিতীয় ছাগলের দরজাটাই খুলতে হবে।

এবার সেই খেলাগুলো দেখুন যেখানে আপনি ছাগল বেছেছিলেন। এটা ঘটে তিনবারে দুবার। তার প্রতিটিতে উপস্থাপকের বাধ্য চাল গাড়িকে রেখে দেয় একমাত্র অন্য বন্ধ দরজার পেছনে, আর বদলালে জয়। তিনটির যে একটি খেলায় আপনি গাড়ি বেছেছিলেন, সেখানে বদলালে হার। তাই বদলানো তিনটি খেলার দুটিতে জেতে আর থাকা একটিতে।

উপস্থাপকের কাজ আপনার নিজের দরজা সম্পর্কে নতুন কিছু বলে না, কারণ তার পেছনে যা-ই থাকুক তিনি ছাগলের দরজাই খুলতেন। কিন্তু যে দরজা তিনি এড়িয়ে গেছেন, তার সম্পর্কে অনেক কিছু বলে। তিনি দরজাটা এলোমেলোভাবে বন্ধ রাখেননি; তিনটি খেলার দুটিতে তিনি তা করতে বাধ্য ছিলেন।

একশো দরজায় ব্যাপারটা স্পষ্ট হয়

অনেক দরজার একটি রূপ অনেককে সাহায্য করে। ভাবুন 100টি দরজা। আপনি একটি বাছলেন। উপস্থাপক, যিনি জানেন গাড়ি কোথায়, বাকিগুলোর 98টি খোলেন, প্রতিটিতে ছাগল, আর একটিমাত্র দরজা বন্ধ রাখেন। আপনি কি নিজের দরজায় থাকবেন, না তিনি সযত্নে যে দরজা এড়িয়েছেন সেটায় যাবেন?

বাছাইয়ের সময় আপনার দরজার সম্ভাবনা ছিল একশোয় এক, আর তারপর তার কিছুই হয়নি। বাকি 99টি দরজার মিলিত সম্ভাবনা ছিল একশোয় 99। উপস্থাপক গাড়ি না ছুঁয়ে তার 98টি সরিয়ে দিয়েছেন, তাই পুরো 99/100 এখন তাঁর রেখে দেওয়া একটিমাত্র দরজায়। 100 দরজার বোতাম চেপে কয়েকটি খেলা খেলুন: দেয়ালটা সারি সারি খোলে, আর এত ছাগলের মাঝে দাঁড়িয়ে থাকা দরজাটাকে ঠিক ততটাই সন্দেহজনক দেখায় যতটা দেখানো উচিত।

সাধারণ নিয়মটা সহজেই পড়া যায়। n-টি দরজা আর এমন উপস্থাপক থাকলে যিনি আপনার আর অন্য একটি ছাড়া সব দরজা খোলেন, থাকা জেতে 1/n বার আর বদলানো জেতে (n − 1)/n বার। 3টি দরজায় এটা 1/3 বনাম 2/3, 10টিতে 10% বনাম 90%, আর 100টিতে 1% বনাম 99%। «নিয়ন্ত্রণ» প্যানেলের নিচের সারণি আপনার বাছা উপস্থাপকের জন্য দরজার সাতটি সংখ্যাই দেখায়।

প্রতিটি ঘটনা গোনা

যুক্তিতে মন না মানলে গুনে দেখুন। দরজাগুলোকে 1, 2 আর 3 নম্বর দিন আর ধরে নিন আপনি সবসময় দরজা 1 বাছেন (প্রতিসাম্যের কারণে অন্য বাছাইও একই ফল দেয়)। গাড়ি যেকোনো দরজার পেছনে থাকার সম্ভাবনা সমান, আর উপস্থাপকের বাছার সুযোগ থাকলে তিনি দুটির যেকোনোটা সমান সম্ভাবনায় বাছেন।

প্রথম দুটি সারি সেই এক-তৃতীয়াংশ ভাগ করে নেয় যেখানে গাড়ি আপনার দরজার পেছনে। থাকলে জয়ের সম্ভাবনা 1/6 + 1/6 = 1/3, বদলালে 1/3 + 1/3 = 2/3।

সারণিটি প্রশ্নের আরও নির্দিষ্ট রূপেরও উত্তর দেয়, যেটা পাঠক আসলে জিজ্ঞেস করেছিলেন: আপনি উপস্থাপককে দরজা 3 খুলতে দেখেছেন। এখন শুধু সারি 2 আর 3 সম্ভব। সারি 2-এর সম্ভাবনা 1/6 আর সারি 3-এর 1/3, তাই আপনার মতো দেখতে খেলাগুলোর মধ্যে গাড়ি দরজা 2-এর পেছনে থাকে দরজা 1-এর তুলনায় দ্বিগুণ বার। শর্তসাপেক্ষ উত্তর আবারও 2/3।

প্রস্তাবের মুহূর্তে বেইজের নিয়ম

একই গোনা সাধারণত বেইজের নিয়ম দিয়ে লেখা হয়, যা বলে নতুন প্রমাণ এলে সম্ভাবনা কীভাবে বদলানো উচিত। গাড়ি থাকতে পারে এমন প্রতিটি জায়গা লিখুন, প্রমাণের আগের সম্ভাবনা লিখুন (পূর্ব সম্ভাবনা), তাকে গুণ করুন এই সম্ভাবনা দিয়ে যে সেটা সত্যি হলে ঠিক এই প্রমাণটাই দেখা যেত (সম্ভাবিতা), তারপর প্রতিটি গুণফলকে তাদের মোট দিয়ে ভাগ করুন।

আপনি দরজা 1 বেছেছেন আর উপস্থাপক দরজা 3 খুলেছেন:

গুণফলগুলোর যোগফল 1/2, অর্থাৎ উপস্থাপককে দরজা 3 খুলতে দেখার মোট সম্ভাবনা। তা দিয়ে ভাগ করলে শেষ কলামটি পাওয়া যায়। «নিয়ন্ত্রণ» প্যানেলের সারণি মঞ্চের খেলার জন্য একইভাবে তৈরি হয়, আর দরজার সংখ্যা ও উপস্থাপকের সঙ্গে বদলায়। জানা উপস্থাপক আর n-টি দরজায় গুণফল আপনার দরজার জন্য 1/(n(n − 1)) আর তাঁর রেখে দেওয়া দরজার জন্য 1/n, যা থেকে আসে 1/n বনাম (n − 1)/n।

মাঝের কলামেই উপস্থাপকের বাস। তাঁর নিয়ম বদলান, সম্ভাবিতা বদলাবে, আর তার সঙ্গে উত্তরও।

উপস্থাপক কী জানেন, তা-ই উত্তর ঠিক করে

ক্লাসিক উত্তর উপস্থাপক সম্পর্কে তিনটি তথ্যের ওপর দাঁড়িয়ে: তিনি সবসময় দরজা খোলেন, তিনি সবসময় ছাগল দেখান কারণ জানেন গাড়ি কোথায়, আর তিনি সবসময় বদলানোর প্রস্তাব দেন। যেকোনো একটি সরিয়ে দিন, সংখ্যাগুলো সরে যাবে। «উপস্থাপক» স্লাইডারে পাঁচটি অবস্থান।

জানেন (ক্লাসিক)। ওপরের ঘটনা: থাকা 1/n, বদলানো (n − 1)/n।

জানেন না। রোজেনথাল একে বলেন Monty Fall: উপস্থাপক কলার খোসায় পিছলে ধাক্কায় এলোমেলো একটি দরজা খুলে ফেলেন, আর ঘটনাচক্রে ছাগল বেরোয়। তিনটি দরজায়, আপনার দরজা বাদে এলোমেলো একটি দরজার পেছনে তিনবারে একবার গাড়ি থাকে। সেই খেলাগুলো নষ্ট। বাকি খেলায় আপনার দরজা আর অন্য বন্ধ দরজার সম্ভাবনা সমান, তাই থাকা আর বদলানো দুটোই অর্ধেক বার জেতে। মঞ্চে, যে খেলায় বাহু গাড়ি দেখিয়ে ফেলে তা একটি বার্তা দিয়ে শেষ হয় আর গোনা হয় না, আর অনেক খেলা চালালে জানানো হয় কতগুলো বাদ গেল। 100টি দরজা আর এলোমেলোভাবে 98টি খোলা উপস্থাপকের সঙ্গে 100টির মধ্যে মাত্র 2টি খেলা টেকে, তবে সেগুলোতেও উত্তর অর্ধেকই।

প্রস্তাবের মুহূর্তে মঞ্চের দরজাগুলো হুবহু একই দেখায়, তবু পার্থক্য কেন? কারণ প্রমাণ আলাদা। যে জানা উপস্থাপক 98টি ছাগল দেখান, তিনি এমন কিছু করেছেন যা তিনি সবসময়ই পারতেন। যে অন্ধ উপস্থাপক ঘটনাচক্রে 98টি ছাগল দেখান, তিনি খুবই অসম্ভাব্য কিছু করেছেন, যদি না গাড়ি তাঁর না-ছোঁয়া দুটি দরজার একটির পেছনে থাকে। ওই দুটি দরজা একসঙ্গে আর সমানভাবে লাভবান হয়। বেইজ সারণিতে অন্ধ উপস্থাপকের চালের সম্ভাবিতা একই থাকে, 1/(n − 1), গাড়ি আপনার দরজার পেছনে থাকুক বা অন্যটির, তাই পরবর্তী সম্ভাবনা সমান হয়।

প্রিয় দরজা। রোজেনথালের Monty Crawl এমন উপস্থাপক যিনি জানেন গাড়ি কোথায়, কিন্তু বাছার সুযোগ থাকলে সবসময় সবচেয়ে ছোট নম্বরের ছাগলের দরজা খোলেন, কারণ তিনি ক্লান্ত আর সেটাই সবচেয়ে কাছে। মঞ্চে এটা একটা স্লাইডার: বাছার স্বাধীনতা থাকলে উপস্থাপক সবচেয়ে ছোট নম্বরের অন্য দরজাটি বন্ধ রাখবেন, তার সম্ভাবনা। সব খেলার গড় নিলে কিছুই বদলায় না, বদলানো এখনো 2/3 বার জেতে। কিন্তু তাঁর রেখে দেওয়া দরজা এখন তথ্য বহন করে। তিনটি দরজা আর সবসময় ছোট দরজা বন্ধ রাখা উপস্থাপকের সঙ্গে, তাঁকে বড় দরজা বন্ধ রাখতে দেখা মানে তাঁর উপায় ছিল না: গাড়ি তার পেছনে, আর বদলালে প্রতিবার জয়। ছোট দরজা বন্ধ রাখতে দেখা মানে শুধু 1/2। যেকোনো পছন্দ p-এর জন্য দুটি উত্তর হলো 1/(1 + p) আর 1/(2 − p), আর বদলানো কখনো থাকার চেয়ে খারাপ নয়।

শুধু জয়ীদের প্রস্তাব। উপস্থাপক যদি শুধু তখনই বদলানোর প্রস্তাব দেন যখন আপনার প্রথম বাছাই গাড়ি, তাহলে প্রস্তাব মানেই খারাপ খবর। প্রস্তাব পেলেই বদলালে কখনো জেতা যায় না।

শুধু পরাজিতদের প্রস্তাব। উল্টোটা: আপনি ছাগল বাছলে তবেই তিনি প্রস্তাব দেন, তাই প্রস্তাব পেলে বদলালে প্রতিবার জয়। দুটোই দেখায়, উপস্থাপক যে নিয়ম মানেন তা মঞ্চে দেখা যেকোনো কিছুর চেয়ে বেশি গুরুত্বপূর্ণ।

দশ হাজার খেলা

«চালান» বোতামগুলো কয়েক সেকেন্ডে 100, 1,000 বা 10,000টি খেলা খেলে। প্রতিটি খেলায় গাড়ি রাখা হয়, এলোমেলো প্রথম বাছাই হয়, উপস্থাপক চাল দেন, তারপর একই বণ্টনে তিনজন খেলোয়াড়ের হিসাব হয়: একজন সবসময় বদলান, একজন সবসময় থাকেন, আর একজন মুদ্রা ছোড়েন। বারগুলো প্রত্যেকের জেতা ভাগ দেখায়, সঠিক মানে একটি সরু দাগ। নিচের গ্রাফ খেলা জমার সঙ্গে জয়ের হার অনুসরণ করে, খেলার সংখ্যার লগারিদমিক স্কেলে।

10টি খেলার পর রেখাগুলো যেকোনো জায়গায় থাকতে পারে। এটা সিমুলেশনের দোষ নয়; এত কম খেলায় শুধু সম্ভাবনাই জয়ের ভাগকে 15 শতাংশ বিন্দু বা তারও বেশি সরিয়ে দেয়। N-টি খেলায় মাপা জয়ের হার p-এর সাধারণ বিস্তার হলো p(1 − p)/N-এর বর্গমূল। p = 2/3 হলে তা 100টি খেলায় প্রায় 4.7 শতাংশ বিন্দু, 1,000-এ 1.5 আর 10,000-এ 0.47। তাই দশ হাজার খেলার পর বদলানোর রেখা প্রায় প্রতিবারই 66.7%-এর এক শতাংশ বিন্দুর মধ্যে থাকে।

ক্লাসিক উপস্থাপকের সঙ্গে মুদ্রা ছোড়া খেলোয়াড় সবসময় অর্ধেকের কাছে পৌঁছান। অর্ধেক সময় তিনি বদলান আর 2/3 জেতেন, অর্ধেক সময় থাকেন আর 1/3 জেতেন। পুরো খেলার জন্য অন্তর্দৃষ্টি এই সংখ্যাটাই দেয়, আর এটা অন্য একটি প্রশ্নের সঠিক উত্তর: দুটি বন্ধ দরজাকে সমান ধরলে আপনি কতবার জেতেন।

3, 4, 5 আর 10টি দরজা ও প্রতিটি উপস্থাপকের জন্য গাড়ি, বাছাই আর উপস্থাপকের চালের প্রতিটি বিন্যাস গুনলে সঠিক সম্ভাবনা পাওয়া যায়। দরজার সাতটি সংখ্যা আর পাঁচজন উপস্থাপকের প্রত্যেকের জন্য 1,00,000টি গোনা খেলা খেললে প্রতিটি কৌশল সঠিক মানের আধা শতাংশ বিন্দুর মধ্যে থাকে, সব 292টি ক্ষেত্রেই। প্রিয় দরজাওয়ালা উপস্থাপকের বেইজ সারণিও সিমুলেশনের খেলার সঙ্গে মেলে, যেমন উপস্থাপক p = 0.8-এ ছোট দরজা পছন্দ করেন আর বড়টা বন্ধ রাখেন, তখন 40,014টি খেলার 83.1%, যেখানে সঠিক মান 5/6।

অন্তর্দৃষ্টি কেন অর্ধেক বলে

মনোবিজ্ঞানীরা কয়েক দশক ধরে এই ধাঁধা নিয়ে গবেষণা করছেন, কারণ অনেক সতর্ক মানুষও ভুল করেন আর বুঝিয়ে বলার পরও ভুলে অটল থাকেন। বেশিরভাগ মানুষ প্রথম অনুমানেই থাকা বেছে নেন, যদিও বদলালে জেতার সম্ভাবনা দ্বিগুণ হয়।

কয়েকটি ব্যাখ্যা পরীক্ষা করা হয়েছে। ক্রাউস ও ওয়াং (2003) দেখেন, সমস্যাটি স্বাভাবিক কম্পাঙ্কে বলা হলে, অর্থাৎ সম্ভাবনা না বলে খেলা গুনে, আর উপস্থাপকের দৃষ্টিকোণ থেকে বলা হলে, মানুষ অনেক বেশি বার এর সমাধান করেন। বার্নস ও ভিথ (2004) যুক্তি দেন, সমস্যাটা কার্যকারণ কাঠামোয়। গাড়ি কোথায় আর আপনি কোন দরজা বেছেছেন, এ দুটি স্বাধীন, কিন্তু দুটি মিলেই ঠিক করে উপস্থাপক কোন দরজা খুলবেন, তাই তাঁর বাছাই জানলে দুটি যুক্ত হয়ে যায়, যা মানুষ আশা করে না। খেলাটা একটা প্রতিযোগিতা হিসেবে বলা হলে, যাতে এই কারণগুলো দেখা সহজ হয়, বেশি মানুষ ঠিক উত্তর দেন।

হার্ব্রানসন ও শ্রোডার (2010) পায়রা দিয়ে পরীক্ষা করেন। একটি পরীক্ষাকক্ষে তিনটি ঠোকরানোর চাবি দরজার কাজ করত আর পুরস্কার ছিল শস্যদানা। অনেকবার চেষ্টার মধ্যে পায়রারা বদলানোর হার এমনভাবে ঠিক করে নিল যে তারা সেরা কৌশলের কাছে পৌঁছে গেল; একই অনুশীলন পাওয়া মানুষ স্বেচ্ছাসেবকেরা পৌঁছাননি। পাখিদের কোনো সম্ভাবনাতত্ত্ব ছিল না, ছিল শুধু কীসে লাভ হলো তার অভিজ্ঞতা, আর «চালান» বোতামগুলো আপনাকে ঠিক সেটাই দেয়।

সংক্ষিপ্ত ইতিহাস

কাঠামোটি গেম শোর চেয়ে পুরোনো। জোসেফ বার্ট্রান্ডের 1889 সালের সম্ভাবনার পাঠ্যবইয়ে ছিল বাক্স প্যারাডক্স: তিনটি বাক্সে দুটি সোনার মুদ্রা, দুটি রুপোর মুদ্রা, আর একটি করে দুটোই। আপনি এলোমেলো একটি বাক্স থেকে একটি সোনার মুদ্রা তোলেন। সেই বাক্সের অন্য মুদ্রাটিও সোনার হওয়ার সম্ভাবনা 2/3, 1/2 নয়, কারণ দুই-সোনার বাক্স মিশ্র বাক্সের তুলনায় সোনা দেওয়ার সম্ভাবনা দ্বিগুণ রাখে। 1959 সালে Scientific American-এ মার্টিন গার্ডনারের Mathematical Games কলাম তিন বন্দির সমস্যা তোলে, যাঁদের একজন ক্ষমা পাবেন। যে বন্দি জানতে পারেন আরেকজনের মৃত্যুদণ্ড হবে, তাঁর নিজের সম্ভাবনা 1/3-ই থাকে, আর তৃতীয় বন্দির সম্ভাবনা ওঠে 2/3-এ। এ হলো ছাগলের জায়গায় বন্দি নিয়ে তিনটি দরজা।

গেম শোর রূপটি আসে 1975 সালে, জৈব-পরিসংখ্যানবিদ স্টিভ সেলভিনের The American Statistician-এর সম্পাদককে লেখা চিঠিতে, যিনি এর নাম রাখেন মন্টি হলের নামে, এক বাস্তব মার্কিন টিভি গেম শোর উপস্থাপক। 1990 সালে Parade-এর কলাম একে বিখ্যাত করে।

তর্ক শ্রেণিকক্ষেই শেষ হয়নি। কিছু পরিসংখ্যানবিদ দেখান, ছাপা প্রশ্নটি বলে না উপস্থাপক সবসময় দরজা খোলেন কি না, বা সুযোগ থাকলে কীভাবে বাছেন, আর শর্তহীন উত্তর (বদলানো সব খেলার 2/3 জেতে) ও শর্তসাপেক্ষ উত্তর (যে খেলাগুলোতে তিনি দরজা 3 খুলেছেন তার 2/3 বদলানো জেতে) আলাদা যুক্তি চায়। লাইডেন বিশ্ববিদ্যালয়ের রিচার্ড গিল লিখেছেন, ধাঁধাটিকে কয়েকটি আলাদা গাণিতিক সমস্যা হিসেবে পড়া যায়, আর এটা একটা কারণ যে এ নিয়ে গবেষণাপত্র আসতেই থাকে। মঞ্চ «উপস্থাপক» স্লাইডার দিয়ে এই পাঠগুলো আলাদা করে।

মডেল কী সরল করে

মানক সমস্যার মতোই গাড়ি এলোমেলোভাবে রাখা হয়, আর উপস্থাপকের এলোমেলো বাছাই ন্যায্য মুদ্রা ছোড়া। একজন বাস্তব উপস্থাপক গাড়ি এমন জায়গায় রাখতে পারেন যেখানে প্রতিযোগীরা কমই তাকান, বা শুধু নিজের সুবিধামতো বদলানোর প্রস্তাব দিতে পারেন, আর তখন কোনো নির্দিষ্ট উত্তর খাটে না।

অ্যানিমেশনের জন্য রোবট বাহু একের পর এক দরজা খোলে। গণিতে ক্রমের কোনো গুরুত্ব নেই; শুধু কোন দরজা বন্ধ রইল সেটাই গোনা হয়। অন্ধ উপস্থাপকের সঙ্গে বাহু এলোমেলো ক্রমে দরজা খোলে, তাই গাড়ি মাঝপথেও দেখা দিতে পারে।

অনেক খেলা চালানোর অংশটি ঘড়ি থেকে বীজ নেওয়া একটি দ্রুত ছদ্ম-এলোমেলো সংখ্যা উৎপাদক ব্যবহার করে, তাই দুবার চালালে কখনো হুবহু একই সংখ্যা আসে না। তিনজন খেলোয়াড়েরই হিসাব একই বণ্টনে হয়, তাই ক্লাসিক উপস্থাপকের সঙ্গে বদলানো আর থাকার বার সবসময় মিলে 100% হয়: প্রতিটি গোনা খেলায় দুটি বন্ধ দরজার ঠিক একটির পেছনে গাড়ি থাকে।

আপনার নিজের খেলার হিসাব শুধু খোলা পাতাতেই থাকে। পাতা আবার লোড করলে তা মুছে যায়।

শুধু দরজা গোনা নয়, প্রমাণের হিসাব

ধরা যাক C1 মানে গাড়ি 1 নম্বর দরজার পেছনে, আর H3 মানে উপস্থাপক 3 নম্বর দরজা খুলে বদলের প্রস্তাব দেন। ধরুন আপনি 1 নম্বর দরজা বেছেছেন, গাড়ি সমান সম্ভাবনায় রাখা হয়েছে, উপস্থাপক সবসময় গাড়ি এড়িয়ে চলেন, এবং অন্য দুই দরজার পেছনেই ছাগল থাকলে তিনি নিরপেক্ষভাবে বাছেন। বেইজের নিয়ম হলো P(C1 | H3) = P(H3 | C1) × P(C1) / P(H3)। হর শুধু 3 নম্বর দরজার পেছনে ছাগল থাকার সম্ভাবনা নয়। এটি বলা নিয়মের অধীনে উপস্থাপকের ঠিক এই কাজটির সম্ভাবনা।

আপনার দরজার জন্য লব (1/2) × (1/3) = 1/6। 2 নম্বর দরজার জন্য 1 × (1/3) = 1/3। 3 নম্বর দরজা শূন্য যোগ করে। তাই P(H3) = 1/6 + 1/3 = 1/2 এবং P(C1 | H3) = (1/6)/(1/2) = 1/3। একইভাবে P(C2 | H3) = (1/3)/(1/2) = 2/3। বার্কলের ব্যাখ্যা একটি পার্থক্যের ওপর জোর দেয়: কোনো দরজার পেছনে পুরস্কার নেই জানা এক কথা, আর উপস্থাপক পুরস্কার নেই দেখাতে সেটি বেছেছেন জানা আরেক কথা। আলভারাদোর আলোচনাও গাড়ি, প্রথম বাছাই ও দরজা খোলার মধ্যকার নির্ভরতা অনুসরণ করে।

একটি কাজের যাচাই হলো একই প্রথম বাছাইয়ের 600টি স্বাধীন খেলার কল্পনা করা। প্রায় 200টিতে গাড়ি প্রতিটি দরজার পেছনে থাকে। প্রথম 200-এর মধ্যে প্রায় 100টিতে 3 নম্বর দরজা দেখানো হয়; দ্বিতীয় 200-এর সবগুলোতে দেখানো হয়; শেষ 200-এর একটিতেও নয়। এখন প্রায় 300টি মিলে যাওয়া পর্যবেক্ষণ থাকে, যার 100টিতে গাড়ি আপনার দরজার পেছনে আর 200টিতে অন্য দরজার পেছনে। এগুলো প্রত্যাশিত গণনা, কোনো নির্দিষ্ট 600 খেলার দলের জন্য নিশ্চয়তা নয়।

বাতিল খেলা কেন গুরুত্বপূর্ণ

এবার ধরুন উপস্থাপক না জেনে একটি না-বাছা দরজা বাছেন। প্রথম বাছাই 1 নম্বরে স্থির রাখুন এবং শুধু সেই সময়গুলো দেখুন যখন তিনি 3 নম্বর দরজা খুলে ছাগল দেখান। গাড়ি 1 নম্বর দরজার পেছনে থাকলে এই পর্যবেক্ষণের সম্ভাবনা 1/2। গাড়ি 2 নম্বর দরজার পেছনে থাকলেও 1/2। টিকে থাকা দুই লবই 1/6, তাদের যোগফল 1/3, আর প্রতিটি উত্তর-সম্ভাবনা 1/2। একই দৃশ্যমান ছাগল ভিন্ন হিসাব দিয়েছে, কারণ তাকে বাছার প্রক্রিয়া ভিন্ন ছিল।

খোলা দরজার নাম না নিয়েও গোনা যায়। 600 খেলার মধ্যে প্রায় 200টি শুরু থেকেই আপনার দরজা ঠিক থাকে; এই সবগুলো অন্ধ খোলার পরও টিকে থাকে। প্রায় 400টিতে আপনার দরজা ভুল থাকে; এর মধ্যে মাত্র প্রায় 200টি টিকে থাকে, কারণ উপস্থাপকের গাড়ি দেখিয়ে ফেলার সম্ভাবনা 1/2। তাই প্রায় 400 খেলা গোনা হয়: থাকলে 200 জেতে আর বদলালে 200 জেতে। বদলের জয়কে 600টি চেষ্টার সবটা দিয়ে ভাগ করলে 1/3 আসবে। সেই সংখ্যা অন্য প্রশ্নের উত্তর, যেখানে নষ্ট খেলাকে ব্যর্থতা ধরা হয়। হর কী, তা সবসময় বলুন।

100টি দরজায় আপনার প্রথম বাছাই 1/100 চেষ্টায় ঠিক হয়, আর সেই চেষ্টাগুলো সবসময় টিকে থাকে। ভুল হলে অন্ধ উপস্থাপককে গাড়িকে একমাত্র না-বাছা বন্ধ দরজা হিসেবে রেখে দিতে হবে, যার সম্ভাবনা 1/99। ভুল প্রথম বাছাই নিয়ে টিকে থাকা অংশ (99/100) × (1/99) = 1/100। দুই দলই সমান অবদান রাখে: চেষ্টার 2/100 টিকে থাকে এবং সেই টিকে থাকাদের 1/2-এ বদল জেতে। এটি জানা উপস্থাপকের 99/100 নয়।

সিমুলেশনের ত্রুটির অর্থ

স্বাধীন ক্লাসিক খেলায় বদলে জয়ের সংখ্যা p = 2/3 সহ দ্বিপদী বণ্টন মানে। পর্যবেক্ষিত অনুপাতের আদর্শ ত্রুটি sqrt(p × (1 − p) / N)। N = 1000-এ এটি 0.0149, অর্থাৎ 1.49 শতাংশ পয়েন্ট। আনুমানিক 95% নমুনা পরিসর হলো প্রত্যাশিত অনুপাত যোগ-বিয়োগ 1.96 আদর্শ ত্রুটি: প্রায় 66.67% ± 2.92 শতাংশ পয়েন্ট, অর্থাৎ 63.75% থেকে 69.59%। হাজার খেলার প্রায় তিন শতাংশ পয়েন্টের ব্যবধান বলতে এটাই বোঝায়, প্রতিটি চালানো যে এর ভেতরেই পড়বে এমন প্রতিশ্রুতি নয়।

স্যান হোসে স্টেটের নোট অনুপাতের জন্য এই স্বাভাবিক আসন্নকরণ ব্যাখ্যা করে। N-কে 4 দিয়ে গুণ করলে আদর্শ ত্রুটি অর্ধেক হয়; 100 দিয়ে গুণ করলে ত্রুটি প্রায় দশ গুণ ছোট হয়। তাই 10,000 খেলার চালানো 1000-এর চেয়ে স্থিতিশীল, কিন্তু দশ গুণ নিখুঁত নয়। ফলাফল আরও ধরে নেয় যে খেলাগুলো স্বাধীন ও সঠিকভাবে তৈরি। প্রোগ্রামিংয়ের ভুল বারবার করলে সেটি মুছে যায় না।

এই মঞ্চে দুই কৌশলই একই বণ্টন ব্যবহার করে। তাদের ফল জোড়া, দুটি স্বাধীন নমুনা নয়: বদল জিতলে থাকা হারে। অন্ধ উপস্থাপকের ক্ষেত্রে N হিসেবে সব চেষ্টা নয়, গোনা খেলা নিন। 100টি দরজায় 1000 অন্ধ খোলার চেষ্টায় গড়ে মাত্র প্রায় 20টি গোনা খেলা মেলে, যা ওপরের তিন শতাংশ পয়েন্টের বক্তব্যের জন্য খুবই কম।

পর্দায় চেষ্টা করার মতো একটি পরীক্ষা

3টি দরজা ও «জানেন (ক্লাসিক)» বেছে নিন, তারপর «1000 চালান» চাপার আগে একটি অনুমান করুন। «সবসময় বদলান»-কে শুধু আগের চালানোর সঙ্গে নয়, সঠিক চিহ্নের সঙ্গেও তুলনা করুন। শুধু উপস্থাপককে «জানেন না» করে আবার চালান। বাতিল খেলার সংখ্যা গোনা মোটের সঙ্গে একসঙ্গে পড়ুন। শেষে 100টি দরজা বাছুন: ক্লাসিক উপস্থাপকের সঙ্গে বদলের হার 99%-এর কাছাকাছি যাওয়া উচিত, আর অন্ধ উপস্থাপক চেষ্টার শুধু ছোট একটি অংশ রাখেন। এই তুলনাগুলো উপস্থাপকের নিয়মকে আলাদা করে, না বুঝে একসঙ্গে কয়েকটি ধারণা বদলে ফেলে না।

কবুতরের গবেষণা ও পরবর্তী মনোবিজ্ঞানের পর্যালোচনাগুলো আলাদা করে: কোন কাজে লাভ হয় তা শেখা এক জিনিস, কেন লাভ হয় তা ব্যাখ্যা করা আরেক জিনিস। একজন দর্শক প্রতিক্রিয়া থেকে «বদলান» চাপতে শিখতে পারেন, অথচ সম্ভাবনার সারিটি আবার গড়তে পারেন না। পরীক্ষার পর ব্যাখ্যা করুন কেন অন্ধ উপস্থাপক সঠিক প্রথম বাছাইয়ের চেয়ে ভুল প্রথম বাছাইয়ের বেশি খেলা বাদ দেন। ভাগ্যের জয়ের ধারা নয়, এই ব্যাখ্যাই বোঝার পরীক্ষা। লি-র ডেটা বিশ্লেষণের সঙ্গে তুলনাও একই কথা বলে: শেষ পর্দায় দুটি সম্ভাবনা দেখালেও ক্রম ও বাছাইয়ের পদ্ধতি গুরুত্বপূর্ণ।

ধাঁধার মঞ্চ: অন্য টেবিলে একই প্রশ্ন

মঞ্চের «ধাঁধা» বাটন 17টি মঞ্চ খোলে। আটটি দরজাতেই থাকে, শুধু উপস্থাপকের নিয়ম বা দরজার সংখ্যা বদলায়; নয়টি ফেল্টে ঢাকা গোল টেবিলে যায়, যেখানে বাক্স, মুদ্রা, মানুষ বা খাম দরজার জায়গা নেয়। সব মঞ্চে «একবার খেলুন» আর 100,000 খেলা চালানোর বাটন আছে (শর্ত কম মেলে এমন দুই ধাঁধায় 1,000,000)। বাঁয়ের পাঠে সঠিক মানের পাশে পরীক্ষায় পাওয়া অনুপাত থাকে।

অন্য নিয়মের উপস্থাপক

মন্টি ফল পিছলে এলোমেলো দরজা খোলেন। ঘটনাচক্রে ছাগল বেরোলে থাকা ও বদলানো দুটিই 1/2 সম্ভাবনায় জেতে: গাড়ি দেখানোর খেলাগুলো বাদ পড়ে, আর ঠিক সেগুলোতেই বদলালে জেতা যেত। মন্টি ক্রল সুযোগ থাকলে অন্য দরজাগুলোর সবচেয়ে ছোট নম্বর বন্ধ রাখেন। আপনি 1 বাছলে আর তিনি 2 খুললে তাঁর উপায় ছিল না: গাড়ি 3-এর পেছনে, বদলালে সবসময় জয়। 3 খুললে বদলানোর জয় শুধু 1/2। দুই ঘটনা মিলিয়ে সবসময় বদলানো এখনো 2/3 জেতে। Grinstead ও Snell মাঝের ঘটনাটি দেখেন: সুযোগে 4 বারে 3 বার বড় নম্বর খুললে, 3 খোলার পর বদলানোর সম্ভাবনা 4/7।

নরকের মন্টি ও দেবদূত মন্টি ঠিক করেন আদৌ বদলাতে দেবেন কি না। মন্টি হল 1991 সালে সাংবাদিককে বলেন, আসল অনুষ্ঠানে তিনি বাধ্য ছিলেন না। শুধু গাড়ি বাছলে প্রস্তাব এলে বদলানো নিশ্চিত হার; শুধু ছাগল বাছলে এলে নিশ্চিত জয়। প্রস্তাব নিজেই প্রমাণ।

অনেক দরজায় শুধু একটি খোলা

«অন্য বন্ধ দরজা» স্লাইডার ঠিক করে আপনার দরজা ছাড়া কতগুলো বন্ধ থাকবে। 5 দরজায় একটি ছাগলের দরজা খুললে অন্য তিনটি বন্ধ থাকে। থাকার জয় 1/5। তিনটির একটি এলোমেলো বেছে বদলানোর জয় (5 − 1) / (5 × 3) = 4/15, প্রায় 26.7%। সাধারণভাবে n দরজার kটি খুললে বদলানোর জয় (n − 1) / (n (n − 1 − k)), সবসময় 1/n-এর বেশি। k = n − 2 হলে চেনা (n − 1)/n মেলে: তিনটিতে 2/3, একশোতে 99/100।

দুই খেলোয়াড়

«দুই খেলোয়াড়» একই দরজায় পালা করে খেলা দুজনের আলাদা স্কোর রাখে। একজন সবসময় থাকলে আর অন্যজন বদলালে, 30 খেলা করে প্রত্যাশিত স্কোর 10 ও 20 গাড়ি। ছোট ম্যাচ উল্টোও হতে পারে; 10 গাড়ির তফাতে দুই দিকে প্রায় 3.7 গাড়ির বিচ্যুতি আছে।

বাক্স, বন্দি ও সন্তান

বের্ত্রাঁর তিন বাক্সে দুটি সোনার মুদ্রা, দুটি রুপোর, আর একটি করে দুটো আছে। এলোমেলো মুদ্রা তুলে সোনা দেখলেন: তিনটি সোনার মুদ্রার ওঠার সম্ভাবনা সমান, আর দুটি পুরো সোনার বাক্সে আছে। তাই অন্য মুদ্রাটি সোনার সম্ভাবনা 2/3, 1/2 নয়। তিন বন্দি দরজার সমস্যার অন্য পোশাক। B-এর মৃত্যুদণ্ডের কথা বলা রক্ষী উপস্থাপক হন; A-এর 1/3 থাকে, C-এর 2/3 হয়।

সন্তানের দুই ধাঁধা দেখায় ভাষা কত গুরুত্বপূর্ণ। দুই সন্তানের অন্তত একজন ছেলে হলে দুজনই ছেলের সম্ভাবনা 1/3: চার সমান সম্ভাব্য পরিবারে (ছেলে ছেলে, ছেলে মেয়ে, মেয়ে ছেলে, মেয়ে মেয়ে) শেষটি বাদ, বাকি তিনটির একটিতে দুজন ছেলে। বড় সন্তান ছেলে বলা হলে সম্ভাবনা 1/2। একটি ছেলে মঙ্গলবারে জন্মালে 13/27: লিঙ্গ ও দিনের 196 সমান সম্ভাব্য জোড়ার 27টিতে মঙ্গলবারের ছেলে আছে, আর সেগুলোর 13টিতে দুজন ছেলে।

জন্মদিন

টেবিলে 23 জন হলে দুজনের জন্মদিন এক হওয়ার সম্ভাবনা 50.7%; 22 জনে 47.6%, 57 জনে 99.0%। আসল বিষয় জোড়ার সংখ্যা: 23 জনে 253 জোড়া, প্রতিটি জোড়ার মেলার সম্ভাবনা 365-এ 1। «মানুষ» স্লাইডার 2 থেকে 70; প্রতিটি খেলার পর মিলে যাওয়া মানুষ সোনালি জ্বলেন।

পজিটিভ পরীক্ষা

পরীক্ষার টেবিলে 1,000 জন। প্রতি 1,000-এ 1 জন অসুস্থ, আর সুস্থদের 5% মিথ্যা পজিটিভ হলে, সেই 1 রোগীর সঙ্গে প্রায় 50 সুস্থ পজিটিভ হন। তাই পজিটিভের রোগ থাকার সম্ভাবনা 51-এ 1, প্রায় 2.0%। 2014 সালের সমীক্ষায় 61 ডাক্তার ও শিক্ষার্থীর মধ্যে 14 জন এই উত্তর দেন। দ্বিতীয় স্বাধীন পজিটিভ সম্ভাবনা প্রায় 28.6% করে, তখনো অর্ধেকের কম। দুই স্লাইডার রোগীর অনুপাত ও মিথ্যা পজিটিভ হার বদলায়।

স্মৃতিহীন মুদ্রা

টানা 5 হেডের পর পরেরবার হেডের সম্ভাবনা 1/2। মঞ্চে 32 প্রচেষ্টার মাত্র 1টি পাঁচ হেড দিয়ে শুরু, তাই এই ধাঁধা দশ লাখ বার চলে। ধারাবাহিকতার পরীক্ষা আরও সূক্ষ্ম। 4টি মুদ্রা ছুড়ে হেডের পরের ছোড়াগুলোয় হেডের অনুপাত লিখুন। সব 16 বিন্যাসে, যেখানে গোনার মতো আগে হেড এসেছে, গড় অনুপাত 17/42, প্রায় 40.5%, 50% নয়। Miller ও Sanjurjo 2018 সালে দেখান, বাস্কেটবলের «হট হ্যান্ড»-এর 1985 সালের পরীক্ষায় এমন গড় নেওয়া হয়েছিল, ফলে সত্যিকারের ধারাবাহিকতাও অনুপস্থিত লাগতে পারত।

দুই খাম

খামের মঞ্চে ছোট টাকার অঙ্ক 10, 20, এভাবে 100 পর্যন্ত; অন্য খামে দ্বিগুণ। বদলালে অর্ধেক খেলায় বেশি মেলে, টাকার গড় পরিবর্তন 0। অন্য খামের গড় মূল্য আপনার 1.25 গুণ বলার যুক্তি দুই অবস্থাতেই আপনার টাকার পরিমাণ একই স্থির মান ধরে, যা সম্ভব নয়।

সম্ভাবনার গাছ

«সম্ভাবনার গাছ» সুইচ গাছটিকে মঞ্চে আনে; «নিয়ন্ত্রণ» প্যানেলে সবসময় দেখায়। বিন্দুর প্রতিটি শাখা গাড়ি (বা মুদ্রা বা রোগ)-র সম্ভাব্য স্থান, মোটা-পাতলা তার সম্ভাবনা অনুযায়ী। তা দেখা ও না-দেখা প্রমাণে ভাগ হয়। যা ঘটেনি কেটে বাকিদের যোগফল 1 করা বেইজের নিয়ম। MIT-এর কম্পিউটার বিজ্ঞানের গণিতের পাঠে ঠিক এই চার ধাপের গাছ ব্যবহৃত হয়। Andrew Vazsonyi 1995 সালে Paul Erdős-কে সমস্যাটি দেখালে, গণিতবিদ 100,000 কম্পিউটার খেলা দেখে উত্তর মানেন, তবু কারণ চান; গাছই সেই কারণ।