Das Ziegenproblem (Ziegenparadoxon): Warum Wechseln öfter gewinnt

Eine Frage in einer Sonntagsbeilage

Das Ziegenproblem, auch Ziegenparadoxon oder Drei-Türen-Problem genannt, geht so: Hinter drei Türen stehen zwei Ziegen und ein Auto. Sie wählen eine Tür, der Moderator öffnet eine andere mit einer Ziege, und wer dann wechselt, gewinnt in zwei von drei Fällen.

Am 9. September 1990 fragte ein Leser Marilyn vos Savant in ihrer Kolumne Ask Marilyn im Magazin Parade nach einer Spielshow. Sie stehen vor drei Türen. Hinter einer steht ein Auto, hinter den anderen beiden je eine Ziege. Sie wählen eine Tür, sagen wir Nummer 1. Der Moderator, der weiß, was hinter jeder Tür ist, öffnet eine andere, sagen wir Nummer 3, und zeigt eine Ziege. Dann fragt er, ob Sie zu Tür 2 wechseln möchten. Ist es für Sie von Vorteil zu wechseln?

Sie antwortete mit Ja: Wechseln gewinnt zwei von drei Malen. Tausende Briefe folgten, und viele Berufsmathematiker beharrten darauf, dass sie sich irre. Jeffrey Rosenthal von der University of Toronto sammelte einige ihrer Formulierungen, darunter „Sie liegen völlig falsch“ und „die Ziege sind Sie“. Der Streit endete in Klassenzimmern. Sie bat Mathematikklassen an Schulen, das Spiel mit Pappbechern und Münzen zu spielen, und die meldeten, einigermaßen verblüfft, dass sie recht hatte.

Das Rätsel hat eine einfache Antwort und eine hartnäckige falsche, und der Unterschied zwischen beiden läuft auf ein Detail hinaus: was der Moderator weiß. In diesem Exponat können Sie mit 3 bis 100 Türen spielen, zehntausend Spiele in ein, zwei Sekunden laufen lassen und den Moderator so lange austauschen, bis sich auch die Antwort ändert.

So benutzen Sie die Bühne

Tippen Sie eine Tür an, um sie zu wählen. Der Roboterarm rechts spielt den Moderator: Er richtet einen Laser auf jede Tür, die er öffnet, und die Türen schwingen auf und zeigen eine Ziege in einer beleuchteten Kabine. Wenn nur noch Ihre Tür und eine weitere geschlossen sind, erscheinen zwei Knöpfe. „Wechseln“ verlegt Ihre Wahl auf die andere Tür, „Bleiben“ behält sie. Die Tür, bei der Sie landen, öffnet sich, und die Glühbirnen blinken grün für ein Auto oder rot für eine Ziege.

Unter der Bühne springen drei Knöpfe direkt zu 3, 10 oder 100 Türen. Im Bereich „Steuerung“ ändert der Regler „Moderator“, was der Moderator weiß und wie er sich verhält, „Wahrscheinlichkeiten“ zeigt über jeder geschlossenen Tür die Chance auf das Auto, und „Hinter die Türen sehen“ macht die Türen durchsichtig, damit Sie das Auto verfolgen können. Der Abschnitt unter den Reglern spielt viele Spiele auf einmal, zeichnet die Spiele auf, die Sie bei diesem Besuch von Hand gespielt haben (nichts wird gespeichert), und zeigt die Bayes-Tabelle für das Spiel vor Ihnen.

Warum Ihre erste Wahl bei eins zu drei bleibt

Wenn Sie eine Tür wählen, steht das Auto in einem von drei Spielen dahinter. Das bestreitet niemand. Der Streit beginnt, wenn sich eine Tür öffnet. Viele haben das Gefühl, es seien zwei Türen übrig, also müsse jede jetzt die Hälfte haben.

Folgen Sie dem Moderator statt den Türen. Er muss eine Tür öffnen, die nicht Ihre ist und hinter der nicht das Auto steht. Steht hinter Ihrer Tür das Auto, kann er jede der beiden anderen öffnen. Steht hinter Ihrer Tür eine Ziege, hat er überhaupt keine Wahl: Hinter einer der anderen Türen steht das Auto, also muss er die mit der zweiten Ziege öffnen.

Betrachten Sie jetzt die Spiele, in denen Sie eine Ziege gewählt haben. Das passiert zwei von drei Malen. In jedem davon lässt der erzwungene Zug des Moderators das Auto hinter der einzigen anderen geschlossenen Tür, und Wechseln gewinnt. In dem einen Spiel von dreien, in dem Sie das Auto gewählt haben, verliert Wechseln. Wechseln gewinnt also zwei Spiele von drei und Bleiben eines.

Die Handlung des Moderators verrät nichts Neues über Ihre eigene Tür, denn er hätte eine Ziegentür geöffnet, ganz gleich, was dahinter steht. Über die Tür, die er ausgelassen hat, verrät sie dagegen viel. Er hat sie nicht zufällig geschlossen gelassen; in zwei von drei Spielen war er dazu gezwungen.

Hundert Türen machen es offensichtlich

Eine Fassung mit vielen Türen hilft vielen Menschen. Stellen Sie sich 100 Türen vor. Sie wählen eine. Der Moderator, der weiß, wo das Auto steht, öffnet 98 der übrigen, hinter jeder eine Ziege, und lässt eine einzige geschlossen. Sollten Sie bei Ihrer Tür bleiben oder zu der wechseln, die er so sorgfältig gemieden hat?

Ihre Tür hatte bei der Wahl eine Chance von eins zu hundert, und seither ist ihr nichts passiert. Die übrigen 99 Türen hatten zusammen 99 Chancen von hundert. Der Moderator hat 98 davon weggenommen, ohne je das Auto zu berühren, also liegen die ganzen 99/100 jetzt auf der einen Tür, die er übrig ließ. Drücken Sie den Knopf für 100 Türen und spielen Sie ein paar Runden: Die Wand öffnet sich Reihe um Reihe, und die Tür, die zwischen all den Ziegen stehen bleibt, wirkt genau so verdächtig, wie sie sollte.

Die allgemeine Regel lässt sich leicht ablesen. Bei n Türen und einem Moderator, der alle Türen außer Ihrer und einer weiteren öffnet, gewinnt Bleiben in 1/n der Fälle und Wechseln in (n − 1)/n. Bei 3 Türen sind das 1/3 gegen 2/3, bei 10 Türen 10% gegen 90% und bei 100 Türen 1% gegen 99%. Die Tabelle unten im Bereich „Steuerung“ listet alle sieben Türzahlen für den gewählten Moderator auf.

Alle Fälle abzählen

Wenn Argumente Sie nicht überzeugen, zählen Sie. Nummerieren Sie die Türen 1, 2 und 3 und nehmen Sie an, Sie wählen immer Tür 1 (aus Symmetriegründen ergeben die anderen Wahlen dasselbe). Das Auto steht mit gleicher Wahrscheinlichkeit hinter jeder Tür, und wenn der Moderator die Wahl hat, nimmt er jede der beiden mit gleicher Wahrscheinlichkeit.

Die ersten beiden Zeilen teilen sich das Drittel, in dem das Auto hinter Ihrer Tür steht. Bleiben gewinnt mit Wahrscheinlichkeit 1/6 + 1/6 = 1/3, Wechseln mit 1/3 + 1/3 = 2/3.

Die Tabelle beantwortet auch die genauere Fassung der Frage, die der Leser tatsächlich gestellt hat: Sie haben gesehen, wie der Moderator Tür 3 öffnet. Jetzt sind nur noch die Zeilen 2 und 3 möglich. Zeile 2 hat die Wahrscheinlichkeit 1/6, Zeile 3 hat 1/3, also steht das Auto unter den Spielen, die wie Ihres aussehen, doppelt so oft hinter Tür 2 wie hinter Tür 1. Die bedingte Antwort ist wieder 2/3.

Der Satz von Bayes im Moment des Angebots

Dieselbe Zählung schreibt man meist mit dem Satz von Bayes, der sagt, wie sich eine Wahrscheinlichkeit ändern soll, wenn neue Indizien eintreffen. Listen Sie jeden Ort auf, an dem das Auto stehen könnte, notieren Sie die Wahrscheinlichkeit vor dem Indiz (die A-priori-Wahrscheinlichkeit), multiplizieren Sie mit der Wahrscheinlichkeit, genau dieses Indiz zu sehen, falls das zuträfe (die Likelihood), und teilen Sie dann jedes Produkt durch ihre Summe.

Sie haben Tür 1 gewählt, und der Moderator hat Tür 3 geöffnet:

Die Produkte ergeben zusammen 1/2, die Gesamtwahrscheinlichkeit, den Moderator Tür 3 öffnen zu sehen. Teilen durch diese Summe ergibt die letzte Spalte. Die Tabelle im Bereich „Steuerung“ wird auf dieselbe Weise für das Spiel auf der Bühne gebildet und ändert sich mit der Zahl der Türen und dem Moderator. Bei n Türen und wissendem Moderator sind die Produkte 1/(n(n − 1)) für Ihre Tür und 1/n für die Tür, die er übrig ließ, was 1/n gegen (n − 1)/n ergibt.

In der mittleren Spalte wohnt der Moderator. Ändern Sie seine Regel, dann ändern sich die Likelihoods und mit ihnen die Antwort.

Was der Moderator weiß, entscheidet die Antwort

Die klassische Antwort beruht auf drei Tatsachen über den Moderator: Er öffnet immer Türen, er zeigt immer Ziegen, weil er weiß, wo das Auto steht, und er bietet immer einen Wechsel an. Nehmen Sie eine davon weg, und die Zahlen verschieben sich. Der Regler „Moderator“ hat fünf Stellungen.

Weiß Bescheid (klassisch). Der obige Fall: Bleiben 1/n, Wechseln (n − 1)/n.

Weiß nichts. Rosenthal nennt diesen Fall Monty Fall: Der Moderator rutscht auf einer Bananenschale aus und stößt eine zufällige Tür auf, hinter der zufällig eine Ziege steht. Bei drei Türen verbirgt eine zufällige Tür, die nicht Ihre ist, in einem von drei Fällen das Auto. Diese Spiele sind verdorben. In den übrigen sind Ihre Tür und die andere geschlossene Tür gleich wahrscheinlich, also gewinnen Bleiben und Wechseln je in der Hälfte der Fälle. Auf der Bühne enden Spiele, in denen der Arm das Auto aufdeckt, mit einer Meldung und werden nicht gezählt, und ein Lauf mit vielen Spielen meldet, wie viele verworfen wurden. Bei 100 Türen und einem Moderator, der 98 zufällig öffnet, überleben nur 2 von 100 Spielen, doch auch in diesen bleibt die Antwort die Hälfte.

Warum dieser Unterschied, wenn die Türen auf der Bühne im Moment des Angebots genau gleich aussehen? Weil die Indizien verschieden sind. Ein wissender Moderator, der 98 Ziegen zeigt, hat etwas getan, das er immer tun konnte. Ein blinder Moderator, der zufällig 98 Ziegen zeigt, hat etwas sehr Unwahrscheinliches getan, außer das Auto stand hinter einer der beiden Türen, die er nicht angerührt hat. Diese beiden Türen gewinnen gemeinsam und gleichermaßen. In der Bayes-Tabelle ist die Likelihood des Zugs des blinden Moderators dieselbe, 1/(n − 1), ob das Auto hinter Ihrer Tür oder der anderen steht, daher kommen die A-posteriori-Wahrscheinlichkeiten gleich heraus.

Lieblingstür. Rosenthals Monty Crawl ist ein Moderator, der weiß, wo das Auto steht, aber wenn er die Wahl hat, immer die Ziegentür mit der kleinsten Nummer öffnet, weil er müde ist und sie am nächsten liegt. Auf der Bühne ist das ein Regler: die Wahrscheinlichkeit, dass der Moderator bei freier Wahl die andere Tür mit der kleinsten Nummer geschlossen lässt. Über alle Spiele gemittelt ändert sich nichts, und Wechseln gewinnt weiterhin in 2/3 der Fälle. Doch die Tür, die er übrig lässt, trägt jetzt Information. Bei drei Türen und einem Moderator, der immer die kleinere Tür geschlossen lässt, heißt es, wenn Sie ihn die größere geschlossen lassen sehen, dass er keine Wahl hatte: Das Auto steht dahinter, und Wechseln gewinnt jedes Mal. Sehen Sie ihn die kleinere geschlossen lassen, bedeutet das nur 1/2. Für eine allgemeine Vorliebe p lauten die beiden Antworten 1/(1 + p) und 1/(2 − p), und Wechseln ist nie schlechter als Bleiben.

Bietet nur Gewinnern an. Bietet der Moderator einen Wechsel nur an, wenn Ihre erste Wahl das Auto ist, dann ist ein Angebot eine schlechte Nachricht. Wer bei jedem Angebot wechselt, gewinnt nie.

Bietet nur Verlierern an. Das Gegenteil: Er bietet nur an, wenn Sie eine Ziege gewählt haben, also gewinnt Wechseln auf Angebot jedes Mal. Beide Fälle zeigen, dass die Regel, der der Moderator folgt, mehr zählt als alles, was Sie auf der Bühne sehen.

Zehntausend Spiele

Die Startknöpfe spielen 100, 1000 oder 10.000 Spiele in wenigen Sekunden. Jedes Spiel verteilt das Auto, trifft eine zufällige erste Wahl und lässt den Moderator handeln; dann werden drei Spieler bei derselben Verteilung gewertet: einer wechselt immer, einer bleibt immer, und einer wirft eine Münze. Die Balken zeigen den Anteil, den jeder gewonnen hat, mit einem dünnen Strich beim exakten Wert. Das untere Diagramm verfolgt die Gewinnquoten mit wachsender Spielzahl, auf einer logarithmischen Skala der Spiele.

Nach 10 Spielen können die Linien überall liegen. Das ist kein Fehler der Simulation; bei so wenigen Spielen verschiebt allein der Zufall den Gewinnanteil um 15 Prozentpunkte oder mehr. Die typische Streuung einer über N Spiele gemessenen Gewinnquote p ist die Quadratwurzel aus p(1 − p)/N. Für p = 2/3 sind das etwa 4,7 Prozentpunkte bei 100 Spielen, 1,5 bei 1000 und 0,47 bei 10.000. Nach zehntausend Spielen liegt die Wechsellinie deshalb fast immer weniger als einen Prozentpunkt von 66,7% entfernt.

Der Münzwerfer landet beim klassischen Moderator immer nahe der Hälfte. Die Hälfte der Zeit wechselt er und gewinnt 2/3, die andere Hälfte bleibt er und gewinnt 1/3. Das ist die Zahl, die die Intuition für das ganze Spiel liefert, und sie ist die richtige Antwort auf eine andere Frage: wie oft Sie gewinnen, wenn Sie die beiden geschlossenen Türen als gleichwertig behandeln.

Zählt man für 3, 4, 5 und 10 Türen und jeden Moderator jede Anordnung von Auto, Wahl und Zug des Moderators, ergeben sich die exakten Wahrscheinlichkeiten. Spielt man für jede der sieben Türzahlen und jeden der fünf Moderatoren 100.000 gezählte Spiele, landet jede Strategie weniger als einen halben Prozentpunkt vom exakten Wert entfernt, in allen 292 Fällen. Auch die Bayes-Tabelle für den Moderator mit Lieblingstür passt zu simulierten Spielen, zum Beispiel 83,1% von 40.014 Spielen gegen die exakten 5/6, wenn der Moderator die kleine Tür mit p = 0,8 bevorzugt und die große geschlossen lässt.

Warum die Intuition „die Hälfte“ sagt

Psychologen untersuchen dieses Rätsel seit Jahrzehnten, weil so viele sorgfältige Menschen es falsch lösen und auch nach einer Erklärung dabei bleiben. Die meisten entscheiden sich, bei ihrer ersten Wahl zu bleiben, obwohl Wechseln die Gewinnchance verdoppelt.

Mehrere Erklärungen wurden geprüft. Krauss und Wang (2003) fanden, dass Menschen die Aufgabe weit häufiger lösten, wenn sie in natürlichen Häufigkeiten erzählt wurde, also mit gezählten Spielen statt genannten Wahrscheinlichkeiten, und aus der Sicht des Moderators. Burns und Wieth (2004) argumentierten, die Schwierigkeit liege in der kausalen Struktur. Wo das Auto steht und welche Tür Sie gewählt haben, ist voneinander unabhängig, doch beides bestimmt, welche Tür der Moderator öffnet; seine Wahl zu kennen verknüpft die beiden also, und das erwarten Menschen nicht. Als das Spiel als Wettkampf erzählt wurde, was diese Ursachen leichter sichtbar macht, lagen mehr Menschen richtig.

Herbranson und Schroeder (2010) versuchten es mit Tauben. Drei Pickscheiben in einer Versuchskammer dienten als Türen, der Preis war Futterkörner. Über viele Durchgänge passten die Tauben an, wie oft sie wechselten, bis sie der besten Strategie nahe kamen; menschliche Freiwillige mit derselben Übung schafften das nicht. Die Vögel hatten keine Wahrscheinlichkeitstheorie, nur die Erfahrung, was sich auszahlte, und genau das liefern Ihnen die Startknöpfe.

Eine kurze Geschichte

Die Struktur ist älter als die Spielshow. Joseph Bertrands Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitsrechnung von 1889 enthielt das Schachtelparadoxon: Drei Schachteln enthalten zwei Goldmünzen, zwei Silbermünzen und je eine von beiden. Sie nehmen aus einer zufälligen Schachtel eine Goldmünze. Die Wahrscheinlichkeit, dass die andere Münze in dieser Schachtel ebenfalls Gold ist, beträgt 2/3, nicht 1/2, denn die Schachtel mit zwei Goldmünzen liefert doppelt so wahrscheinlich Gold wie die gemischte. 1959 stellte Martin Gardners Kolumne Mathematical Games in Scientific American das Problem der drei Gefangenen, von denen einer begnadigt werden soll. Ein Gefangener, der erfährt, dass ein anderer hingerichtet wird, behält seine Chance von 1/3, während die des dritten auf 2/3 steigt. Das sind die drei Türen, mit Gefangenen statt Ziegen.

Die Spielshow-Fassung erschien 1975 in einem Leserbrief an The American Statistician des Biostatistikers Steve Selvin, der sie nach Monty Hall benannte, dem Moderator einer echten amerikanischen Fernsehspielshow. 1990 machte die Kolumne in Parade sie berühmt.

Mit den Klassenzimmern endete der Streit nicht. Einige Statistiker wiesen darauf hin, dass die gedruckte Frage nicht sagt, ob der Moderator immer eine Tür öffnet oder wie er wählt, wenn er die Wahl hat, und dass die unbedingte Antwort (Wechseln gewinnt 2/3 aller Spiele) und die bedingte (Wechseln gewinnt 2/3 der Spiele, in denen er Tür 3 geöffnet hat) verschiedene Begründungen brauchen. Richard Gill von der Universität Leiden schrieb, das Rätsel lasse sich als mehrere verschiedene mathematische Probleme lesen, was ein Grund dafür sei, dass es immer neue Aufsätze hervorbringt. Die Bühne trennt diese Lesarten mit dem Regler „Moderator“.

Was das Modell vereinfacht

Das Auto wird zufällig platziert, und die Zufallsentscheidungen des Moderators sind faire Münzwürfe, wie im Standardproblem. Ein echter Moderator könnte das Auto dorthin stellen, wo Kandidaten selten hinschauen, oder den Wechsel nur anbieten, wenn es ihm passt, und dann gilt keine feste Antwort.

Der Roboterarm öffnet die Türen für die Animation nacheinander. In der Mathematik spielt die Reihenfolge keine Rolle; es zählt nur, welche Tür geschlossen bleibt. Beim blinden Moderator öffnet der Arm die Türen in zufälliger Reihenfolge, so dass das Auto mittendrin auftauchen kann.

Der Simulator für viele Spiele nutzt einen schnellen Pseudozufallsgenerator, der von der Uhr initialisiert wird, daher liefern zwei Läufe nie genau dieselben Zahlen. Alle drei Spieler werden bei derselben Verteilung gewertet; deshalb ergeben die Balken für Wechseln und Bleiben beim klassischen Moderator immer zusammen 100%: In jedem gezählten Spiel steht das Auto hinter genau einer der beiden geschlossenen Türen.

Die Aufzeichnung Ihrer eigenen Spiele lebt nur in der geöffneten Seite. Neu laden löscht sie.

Die Evidenz berechnen, nicht nur Türen zählen

C1 bedeute, dass das Auto hinter Tür 1 steht, und H3, dass der Moderator Tür 3 öffnet und den Wechsel anbietet. Angenommen, Sie haben Tür 1 gewählt, das Auto wurde gleichverteilt platziert, der Moderator meidet immer das Auto und wählt fair, wenn hinter beiden anderen Türen Ziegen stehen. Die Bayes-Formel lautet P(C1 | H3) = P(H3 | C1) × P(C1) / P(H3). Der Nenner ist nicht bloß die Wahrscheinlichkeit, dass hinter Tür 3 eine Ziege steht. Er ist die Wahrscheinlichkeit dieser bestimmten Handlung des Moderators unter den genannten Regeln.

Für Ihre Tür ist der Zähler (1/2) × (1/3) = 1/6. Für Tür 2 ist er 1 × (1/3) = 1/3. Tür 3 trägt null bei. Also gilt P(H3) = 1/6 + 1/3 = 1/2 und P(C1 | H3) = (1/6)/(1/2) = 1/3. Ebenso ist P(C2 | H3) = (1/3)/(1/2) = 2/3. Die Darstellung aus Berkeley betont den Unterschied zwischen der Information, dass hinter einer Tür kein Preis ist, und der Information, dass der Moderator sie gewählt hat, um zu zeigen, dass dort kein Preis ist. Auch Alvarados Diskussion folgt der Abhängigkeit zwischen Auto, erster Wahl und Enthüllung.

Eine nützliche Probe ist, sich 600 unabhängige Spiele mit derselben ersten Wahl vorzustellen. In etwa 200 steht das Auto hinter jeder Tür. Von den ersten 200 zeigen etwa 100 Tür 3; von den zweiten 200 zeigen alle 200 sie; von den letzten 200 keines. Es bleiben etwa 300 passende Beobachtungen, davon 100 mit dem Auto hinter Ihrer Tür und 200 hinter der anderen. Das sind erwartete Anzahlen, keine Garantie für einen bestimmten Satz von 600 Spielen.

Warum verworfene Spiele zählen

Nun wähle der Moderator blind eine nicht gewählte Tür. Die erste Wahl bleibt Tür 1, und betrachtet werden nur die Fälle, in denen er Tür 3 öffnet und eine Ziege zeigt. Steht das Auto hinter Tür 1, beträgt die Wahrscheinlichkeit dieser Beobachtung 1/2. Steht es hinter Tür 2, ist sie ebenfalls 1/2. Die beiden verbleibenden Zähler sind je 1/6, ihre Summe ist 1/3, und jede A-posteriori-Wahrscheinlichkeit ist 1/2. Dieselbe sichtbare Ziege hat eine andere Rechnung ergeben, weil ein anderer Vorgang sie ausgewählt hat.

Man kann auch zählen, ohne die geöffnete Tür zu nennen. Von 600 Spielen beginnen etwa 200 mit richtiger Tür; alle 200 überstehen eine blinde Enthüllung. Etwa 400 beginnen mit falscher Tür; nur etwa 200 überstehen sie, weil der Moderator mit Wahrscheinlichkeit 1/2 das Auto aufdeckt. Es zählen also etwa 400 Spiele: Bleiben gewinnt 200 und Wechseln gewinnt 200. Teilte man die Wechselgewinne durch alle 600 versuchten Spiele, käme 1/3 heraus. Diese Zahl beantwortet eine andere Frage, die verdorbene Spiele als Misserfolge mitzählt. Nennen Sie immer den Nenner.

Bei 100 Türen ist Ihre ursprüngliche Wahl in 1/100 der Versuche richtig, und diese Versuche überstehen immer. Ist sie falsch, muss der blinde Moderator das Auto als einzige ungewählte geschlossene Tür übrig lassen, was die Wahrscheinlichkeit 1/99 hat. Der überlebende Anteil mit falscher erster Wahl ist (99/100) × (1/99) = 1/100. Beide Gruppen tragen also gleich viel bei: 2/100 der Versuche überleben, und Wechseln gewinnt bei 1/2 dieser Überlebenden. Das ist nicht die 99/100 des wissenden Moderators.

Was der Fehler einer Simulation bedeutet

Bei unabhängigen klassischen Spielen ist die Zahl der Wechselgewinne binomialverteilt mit p = 2/3. Der Standardfehler des beobachteten Anteils ist sqrt(p × (1 − p) / N). Bei N = 1000 beträgt er 0,0149, also 1,49 Prozentpunkte. Ein ungefährer 95-%-Schwankungsbereich ist der erwartete Anteil plus oder minus 1,96 Standardfehler: etwa 66,67 % ± 2,92 Prozentpunkte, also 63,75 % bis 69,59 %. In diesem Sinn haben tausend Spiele eine Spanne von etwa drei Prozentpunkten, nicht als Versprechen, dass jeder Lauf darin liegt.

Die Unterlagen der San José State University erklären diese Normalverteilungsnäherung für einen Anteil. Multipliziert man N mit 4, halbiert sich der Standardfehler; multipliziert man es mit 100, wird der Fehler etwa zehnmal kleiner. Ein Lauf mit 10.000 ist also stabiler als einer mit 1000, aber nicht zehnmal genauer. Das Ergebnis setzt außerdem unabhängige, korrekt erzeugte Spiele voraus. Wiederholt man einen Programmierfehler, verschwindet er nicht.

Auf dieser Bühne nutzen beide Strategien dieselbe Verteilung. Ihre Ergebnisse sind gepaart, keine zwei unabhängigen Stichproben: Gewinnt Wechseln, verliert Bleiben. Beim blinden Moderator verwenden Sie die gezählten Spiele als N und nicht alle Versuche. Bei 100 Türen liefern 1000 versuchte blinde Enthüllungen im Mittel nur etwa 20 gezählte Spiele, viel zu wenige für die Aussage über drei Prozentpunkte oben.

Ein Experiment am Bildschirm

Wählen Sie 3 Türen und Weiß Bescheid (klassisch) und treffen Sie eine Vorhersage, bevor Sie 1000 starten drücken. Vergleichen Sie Immer wechseln mit der exakten Markierung, nicht nur mit dem vorigen Lauf. Ändern Sie nur den Moderator auf Weiß nichts und wiederholen Sie. Lesen Sie die Zahl der ungültigen Spiele zusammen mit der gezählten Summe. Wählen Sie zuletzt 100 Türen: Beim klassischen Moderator sollte die Wechselquote gegen 99 % gehen, während der blinde Moderator nur einen kleinen Bruchteil der Versuche behält. Diese Vergleiche isolieren die Regel des Moderators, statt unbemerkt mehrere Annahmen zugleich zu ändern.

Die Taubenstudie und spätere psychologische Übersichten unterscheiden zwischen dem Lernen, welche Handlung sich lohnt, und dem Erklären, warum. Ein Besucher kann durch Rückmeldung lernen, Wechseln zu drücken, ohne die Spalte der Likelihoods rekonstruieren zu können. Erklären Sie nach dem Experiment, warum der blinde Moderator mehr Spiele mit falscher erster Wahl verwirft als mit richtiger. Diese Erklärung, nicht eine Glückssträhne, ist der Test des Verständnisses. Lis Vergleich mit der Datenanalyse weist in dieselbe Richtung: Reihenfolge und Auswahlverfahren zählen, auch wenn die Endanzeige zwei Möglichkeiten bietet.

Rätselbühnen: dieselbe Frage an anderen Tischen

Der Knopf „Rätsel“ öffnet 17 Bühnen. Acht bleiben bei den Türen und ändern nur die Regeln des Moderators oder die Türzahl; neun wechseln an einen runden Filztisch, wo Schachteln, Münzen, Menschen oder Umschläge die Türen ersetzen. Jede Bühne bietet „Einmal spielen“ für ein Spiel und einen Lauf mit 100,000 Spielen (1,000,000 bei den beiden Rätseln, deren Bedingung nur selten erfüllt ist). Die Anzeige links stellt den exakten Wert dem ermittelten Anteil gegenüber.

Moderatoren mit anderen Regeln

Monty Fall rutscht aus und öffnet eine zufällige Tür. Zeigt sie zufällig eine Ziege, gewinnen Bleiben und Wechseln je mit 1/2: Spiele, in denen er das Auto gezeigt hätte, werden verworfen, und genau in diesen hätte Wechseln gewonnen. Monty Crawl lässt bei freier Wahl immer die andere Tür mit der niedrigsten Nummer geschlossen. Wählen Sie Tür 1 und er öffnet Tür 2, hatte er keine Wahl: Das Auto steht hinter Tür 3, Wechseln gewinnt immer. Öffnet er Tür 3, gewinnt Wechseln nur mit 1/2. Über beide Fälle gemittelt bleibt ständiges Wechseln bei 2/3. Grinstead und Snell behandeln den Zwischenfall: Öffnet ein Moderator bei freier Wahl in 3 von 4 Fällen die höhere Nummer, gewinnt Wechseln nach dem Öffnen von Tür 3 mit 4/7.

Monty aus der Hölle und der engelhafte Monty entscheiden, ob sie überhaupt einen Wechsel anbieten. Monty Hall sagte 1991 einem Reporter, in der echten Sendung sei er nie zu einem Angebot verpflichtet gewesen. Wer nur dann ein Angebot macht, wenn Ihre erste Wahl das Auto ist, macht Wechseln zum sicheren Verlust; wer es nur bei einer gewählten Ziege anbietet, macht es zum sicheren Gewinn. Das Angebot selbst ist die Evidenz.

Eine geöffnete Tür unter vielen

Der Regler „Andere geschlossene Türen“ bestimmt, wie viele Türen neben Ihrer geschlossen bleiben. Bei 5 Türen und nur einer geöffneten Ziegentür bleiben drei andere zu. Bleiben gewinnt mit 1/5. Ein zufälliger Wechsel zu einer der drei gewinnt mit (5 − 1) / (5 × 3) = 4/15, etwa 26.7%. Allgemein gewinnt Wechseln bei n Türen und k geöffneten mit (n − 1) / (n (n − 1 − k)), immer mehr als 1/n. Für k = n − 2 ergibt sich das bekannte (n − 1)/n: 2/3 bei drei Türen und 99/100 bei hundert.

Zwei Spieler

Die Bühne „Zwei Spieler“ führt getrennte Punktestände für zwei Personen, die abwechselnd an denselben Türen spielen. Bleibt eine immer und wechselt die andere immer, sind nach je 30 Spielen 10 und 20 Autos zu erwarten. Ein kurzes Spiel kann trotzdem anders ausgehen; der Abstand von 10 Autos hat eine Streuung von etwa 3.7 Autos zu jeder Seite.

Schachteln, Gefangene und Kinder

Bertrands Schachteln enthalten zwei Goldmünzen, zwei Silbermünzen und je eine von beiden. Sie ziehen zufällig eine Münze und sehen Gold. Jede der drei Goldmünzen war gleich wahrscheinlich, und zwei liegen in der Schachtel mit zwei Goldmünzen. Die andere Münze ist daher mit 2/3 aus Gold, nicht mit 1/2. Die drei Gefangenen sind das Türproblem in anderer Verkleidung. Der Wärter, der B zur Hinrichtung nennt, ist der Moderator; A bleibt bei 1/3, C steigt auf 2/3.

Die beiden Kinderrätsel zeigen, wie wichtig die Formulierung ist. Eine Familie mit zwei Kindern, mindestens eines davon ein Junge, hat mit 1/3 zwei Jungen: Von den vier gleich wahrscheinlichen Familien (Junge Junge, Junge Mädchen, Mädchen Junge, Mädchen Mädchen) fällt die letzte weg, und eine der drei übrigen hat zwei Jungen. Ist stattdessen das ältere Kind ein Junge, gilt 1/2. Ist ein Sohn am Dienstag geboren, gilt 13/27: Von den 196 gleich wahrscheinlichen Paaren aus Geschlecht und Wochentag enthalten 27 einen Dienstagsjungen; 13 davon haben zwei Jungen.

Geburtstage

Bei 23 Personen liegt die Chance auf einen gleichen Geburtstag bei 50.7%, bei 22 bei 47.6%, bei 57 bei 99.0%. Entscheidend ist die Zahl der Paare: 23 Personen ergeben 253 Paare, jedes mit einer Übereinstimmungschance von 1 zu 365. Der Personenregler reicht von 2 bis 70; nach jedem Spiel leuchten die übereinstimmenden Personen golden.

Ein positiver Test

Der Testtisch zeigt 1,000 Personen. Bei 1 Kranken je 1,000 und 5% falsch positiven Ergebnissen unter Gesunden testen neben dem einen Kranken etwa 50 Gesunde positiv. Ein positives Ergebnis bedeutet also mit 1 zu 51, etwa 2.0%, eine Krankheit. In einer Befragung von 2014 gaben 14 von 61 Ärzten und Studierenden diese Antwort. Ein zweiter unabhängiger positiver Test erhöht die Chance auf etwa 28.6%, noch immer unter die Hälfte. Die beiden Testregler ändern den Krankenanteil und die Falsch-Positiv-Rate.

Münzen ohne Gedächtnis

Nach 5-mal Kopf in Folge zeigt der nächste Wurf mit 1/2 Kopf. Auf der Bühne beginnt nur 1 von 32 Durchläufen mit fünfmal Kopf, deshalb läuft dieses Rätsel eine Million Mal. Der Serientest ist feiner: Werfen Sie 4 Münzen und erfassen Sie den Kopfanteil unter den Würfen direkt nach Kopf. Über alle 16 Folgen gemittelt, soweit früh genug Kopf vorkommt, um zählen zu können, ist dieser Anteil 17/42, etwa 40.5%, nicht 50%. Miller und Sanjurjo zeigten 2018, dass der Basketballtest von 1985 auf eine „heiße Hand“ eine solche Mittelung verwendete. Ein echter Serieneffekt konnte dadurch wie keiner aussehen.

Zwei Umschläge

Auf der Umschlagbühne beträgt der kleinere Betrag 10, 20 und so weiter bis 100; der andere Umschlag enthält das Doppelte. Wechseln bringt in der Hälfte der Spiele mehr und ändert den Betrag im Mittel um 0. Die Behauptung, der andere Umschlag sei im Mittel 1.25-mal so viel wert wie Ihrer, hält Ihren Betrag in beiden Fällen fest. Das geht nicht.

Der Wahrscheinlichkeitsbaum

Der Schalter „Wahrscheinlichkeitsbaum“ zeigt den Baum auf der Bühne; im Bedienfeld ist er immer sichtbar. Jeder Ast vom Punkt steht für einen möglichen Ort des Autos (oder der Münze oder Krankheit), seine Breite für dessen Wahrscheinlichkeit. Er teilt sich in beobachtete und nicht beobachtete Evidenz. Nicht eingetretene Äste zu streichen und den Rest auf die Summe 1 zu skalieren ist die Bayes-Regel. Der MIT-Kurs zur Mathematik für Informatik lehrt das Türproblem mit genau diesem vierstufigen Baum. Als Andrew Vazsonyi Paul Erdős das Problem 1995 zeigte, akzeptierte der Mathematiker die Antwort erst nach 100,000 Computerspielen und fragte dennoch nach einer Begründung. Der Baum liefert sie.