مسألة مونتي هول: لماذا يربح تغيير الباب

سؤال في مجلة يوم الأحد

في 9 سبتمبر 1990 سأل قارئ مارلين فوس سافانت، في عمودها Ask Marilyn بمجلة Parade، عن برنامج مسابقات تلفزيوني. أمامك ثلاثة أبواب. خلف أحدها سيارة، وخلف البابين الآخرين ماعز. تختار بابًا، وليكن رقم 1. ثم يفتح المقدّم، الذي يعرف ما خلف كل باب، بابًا آخر، وليكن رقم 3، فيُظهر ماعزًا. ثم يسألك: هل تريد التغيير إلى الباب 2؟ هل التغيير في مصلحتك؟

أجابت بنعم: التغيير يربح مرتين من كل ثلاث. تلت ذلك آلاف الرسائل، وأصرّ كثير من الرياضيين المحترفين على أنها مخطئة. جمع جيفري روزنثال من جامعة تورنتو بعض العبارات التي استخدموها، ومنها «أنتِ مخطئة تمامًا» و«أنتِ الماعز». وانتهى الجدل في الفصول الدراسية. طلبت من حصص الرياضيات في المدارس أن تلعب اللعبة بأكواب ورقية وقطع نقود، فكتبوا إليها، وفي كلامهم شيء من الدهشة، أنها على حق.

للأحجية جواب بسيط وجواب خاطئ عنيد، والفرق بينهما يعود إلى تفصيل واحد: ماذا يعرف المقدّم. يتيح لك هذا المعروض أن تلعب من 3 إلى 100 باب، وأن تشغّل عشرة آلاف لعبة في ثانية أو ثانيتين، وأن تغيّر المقدّم حتى يتغير الجواب أيضًا.

كيف تستخدم المسرح

انقر بابًا لتختاره. الذراع الآلية على اليمين تؤدي دور المقدّم: توجّه ليزرًا إلى كل باب تفتحه، وتدور الأبواب لتكشف ماعزًا في مقصورة مضاءة. حين لا يبقى مغلقًا إلا بابك وباب آخر، يظهر زرّان. «غيّر» ينقل اختيارك إلى الباب الآخر، و«ابقَ» يبقيه. يُفتح الباب الذي تنتهي عنده، وتومض المصابيح بالأخضر للسيارة وبالأحمر للماعز.

تحت المسرح ثلاثة أزرار تنقلك مباشرة إلى 3 أو 10 أو 100 باب. في لوحة «التحكم» يغيّر شريط «المقدّم» ما يعرفه المقدّم وكيف يتصرف، ويضع «الاحتمالات» احتمال السيارة فوق كل باب مغلق، ويجعل «رؤية ما خلف الأبواب» الأبواب شفافة لترى السيارة. والقسم تحت الأشرطة يلعب ألعابًا كثيرة دفعة واحدة، ويسجّل الألعاب التي لعبتها بيدك في هذه الزيارة (لا يُحفظ شيء)، ويعرض جدول بايز للعبة التي أمامك.

لماذا يبقى اختيارك الأول عند واحد من ثلاثة

حين تختار بابًا تكون السيارة خلفه في لعبة واحدة من كل ثلاث. هذا لا يجادل فيه أحد. يبدأ الخلاف حين يُفتح باب. يشعر كثيرون أن بابين بقيا، فلا بد أن لكلٍّ منهما النصف الآن.

تابع المقدّم بدلًا من الأبواب. عليه أن يفتح بابًا ليس بابك ولا يخفي السيارة. إن كانت السيارة خلف بابك، يستطيع فتح أيٍّ من البابين الآخرين. وإن كان خلف بابك ماعز، فلا خيار له على الإطلاق: أحد البابين الآخرين فيه السيارة، فعليه أن يفتح الباب الذي خلفه الماعز الثاني.

انظر الآن إلى الألعاب التي اخترت فيها ماعزًا. يحدث ذلك مرتين من كل ثلاث. في كل واحدة منها تترك حركة المقدّم المفروضة عليه السيارةَ خلف الباب المغلق الآخر الوحيد، فيربح التغيير. وفي اللعبة الواحدة من ثلاث التي اخترت فيها السيارة، يخسر التغيير. إذن يربح التغيير في لعبتين من ثلاث ويربح البقاء في واحدة.

فعل المقدّم لا يخبرك بشيء جديد عن بابك أنت، لأنه كان سيفتح باب ماعز أيًّا كان ما خلف بابك. لكنه يخبرك بالكثير عن الباب الذي تجاوزه. فهو لم يترك ذلك الباب مغلقًا عشوائيًا؛ ففي لعبتين من ثلاث كان مضطرًا إلى ذلك.

مئة باب تجعل الأمر واضحًا

نسخة بأبواب كثيرة تساعد كثيرًا من الناس. تخيّل 100 باب. تختار واحدًا. المقدّم، الذي يعرف مكان السيارة، يفتح 98 من الأبواب الأخرى، كلها تُظهر ماعزًا، ويترك بابًا واحدًا مغلقًا. هل تبقى على بابك أم تنتقل إلى الباب الذي تجنّبه بعناية؟

كانت لبابك فرصة واحدة من مئة حين اخترته، ولم يحدث له شيء منذ ذلك الحين. أما الأبواب الـ 99 الأخرى فكانت لها معًا 99 فرصة من مئة. أزال المقدّم 98 منها دون أن يلمس السيارة قط، فصارت الـ 99/100 كلها الآن على الباب الوحيد الذي تركه. اضغط زر 100 باب والعب بضع ألعاب: يُفتح الجدار صفًا بعد صف، ويبدو الباب الباقي بين كل تلك الماعز مريبًا كما ينبغي.

القاعدة العامة سهلة القراءة. مع n باب ومقدّم يفتح كل الأبواب عدا بابك وبابًا آخر، يربح البقاء بنسبة 1/n ويربح التغيير بنسبة (n − 1)/n. مع 3 أبواب هذا 1/3 مقابل 2/3، ومع 10 أبواب 10% مقابل 90%، ومع 100 باب 1% مقابل 99%. والجدول في أسفل لوحة «التحكم» يعرض أعداد الأبواب السبعة كلها للمقدّم الذي اخترته.

عدّ كل الحالات

إن لم تقنعك الحجج فعُدّ. رقّم الأبواب 1 و2 و3، وافترض أنك تختار الباب 1 دائمًا (بالتماثل تعطي الاختيارات الأخرى النتيجة نفسها). احتمال وجود السيارة خلف أي باب متساوٍ، وحين يكون للمقدّم خيار يختار أيًّا من البابين باحتمال متساوٍ.

يتقاسم الصفّان الأولان الثلث الذي تكون فيه السيارة خلف بابك. يربح البقاء باحتمال 1/6 + 1/6 = 1/3، ويربح التغيير باحتمال 1/3 + 1/3 = 2/3.

ويجيب الجدول أيضًا عن الصيغة الأدق للسؤال، تلك التي سألها القارئ فعلًا: لقد رأيت المقدّم يفتح الباب 3. الآن لا يمكن إلا الصفان 2 و3. احتمال الصف 2 هو 1/6 واحتمال الصف 3 هو 1/3، فبين الألعاب التي تشبه لعبتك تكون السيارة خلف الباب 2 ضعف عدد المرات التي تكون فيها خلف الباب 1. والجواب الشرطي هو 2/3 من جديد.

قاعدة بايز لحظة العرض

يُكتب العدّ نفسه عادةً بقاعدة بايز، التي تبيّن كيف ينبغي أن يتغير الاحتمال حين يصل دليل جديد. اكتب كل مكان يمكن أن تكون فيه السيارة، وسجّل الاحتمال قبل الدليل (الاحتمال القبلي)، واضربه في احتمال رؤية هذا الدليل بالضبط لو كان ذلك صحيحًا (الأرجحية)، ثم اقسم كل حاصل ضرب على مجموعها.

اخترت الباب 1 وفتح المقدّم الباب 3:

مجموع حواصل الضرب 1/2، وهو الاحتمال الكلي لرؤية المقدّم يفتح الباب 3. والقسمة عليه تعطي العمود الأخير. الجدول في لوحة «التحكم» يُبنى بالطريقة نفسها للعبة الجارية على المسرح، ويتغير مع عدد الأبواب ومع المقدّم. مع n باب والمقدّم العارف، يكون حاصل الضرب 1/(n(n − 1)) لبابك و1/n للباب الذي تركه، فيكون الناتج 1/n مقابل (n − 1)/n.

العمود الأوسط هو موضع المقدّم. غيّر قاعدته تتغير الأرجحيات، ويتغير معها الجواب.

ما يعرفه المقدّم يحسم الجواب

يعتمد الجواب الكلاسيكي على ثلاث حقائق عن المقدّم: يفتح الأبواب دائمًا، ويُظهر الماعز دائمًا لأنه يعرف مكان السيارة، ويعرض التغيير دائمًا. انزع أيًّا منها فتتحرك الأرقام. ولشريط «المقدّم» خمسة أوضاع.

يعرف (كلاسيكي). الحالة السابقة: البقاء 1/n، والتغيير (n − 1)/n.

لا يعرف. يسمّي روزنثال هذه الحالة Monty Fall: ينزلق المقدّم على قشرة موز ويدفع بابًا عشوائيًا فينفتح، ويصادف أن يُظهر ماعزًا. مع ثلاثة أبواب، يخفي باب عشوائي غير بابك السيارةَ مرة من ثلاث. تلك الألعاب تفسد. وفي الألعاب الباقية يتساوى احتمال بابك والباب المغلق الآخر، فيربح البقاء والتغيير كلٌّ منهما نصف المرات. على المسرح، تنتهي الألعاب التي تكشف فيها الذراع السيارة برسالة ولا تُحتسب، ويخبرك تشغيل ألعاب كثيرة بعدد ما استُبعد. مع 100 باب ومقدّم يفتح 98 عشوائيًا، لا تبقى إلا لعبتان من 100، لكن الجواب فيهما يبقى النصف.

لماذا الفرق، والأبواب على المسرح تبدو متطابقة تمامًا لحظة العرض؟ لأن الدليل مختلف. المقدّم العارف الذي يُظهر 98 ماعزًا فعل شيئًا كان يستطيع فعله دائمًا. أما المقدّم الأعمى الذي يصادف أن يُظهر 98 ماعزًا فقد فعل شيئًا بعيد الاحتمال جدًا، إلا إذا كانت السيارة خلف أحد البابين اللذين لم يلمسهما. هذان البابان يربحان معًا وبالتساوي. في جدول بايز تكون أرجحية حركة المقدّم الأعمى هي نفسها، 1/(n − 1)، سواء كانت السيارة خلف بابك أو خلف الباب الآخر، فتخرج الاحتمالات البعدية متساوية.

باب مفضّل. مونتي كرول عند روزنثال (Monty Crawl) مقدّم يعرف مكان السيارة، لكنه حين يكون له خيار يفتح دائمًا باب الماعز ذا الرقم الأصغر، لأنه متعب وهو الأقرب. على المسرح هذا شريط: احتمال أن يترك المقدّم، حين يكون حرًّا في الاختيار، الباب الآخر ذا الرقم الأصغر مغلقًا. إذا أخذت المتوسط على كل الألعاب فلا شيء يتغير، ويظل التغيير يربح 2/3 من المرات. لكن الباب الذي يتركه يحمل الآن معلومة. مع ثلاثة أبواب ومقدّم يترك الباب الأصغر مغلقًا دائمًا، إن رأيته يترك الباب الأكبر مغلقًا فهذا يعني أنه لم يكن له خيار: السيارة خلفه، والتغيير يربح في كل مرة. وإن رأيته يترك الأصغر مغلقًا فهذا يعني 1/2 فقط. ولتفضيل عام p يكون الجوابان 1/(1 + p) و1/(2 − p)، ولا يكون التغيير أسوأ من البقاء أبدًا.

يعرض على الرابحين فقط. إن كان المقدّم لا يعرض التغيير إلا حين يكون اختيارك الأول هو السيارة، فالعرض خبر سيئ. التغيير كلما عُرض عليك لا يربح أبدًا.

يعرض على الخاسرين فقط. العكس: لا يعرض إلا حين تكون اخترت ماعزًا، فالتغيير عند العرض يربح في كل مرة. كلتا الحالتين تبيّنان أن القاعدة التي يتبعها المقدّم أهم من أي شيء تراه على المسرح.

عشرة آلاف لعبة

تلعب أزرار التشغيل 100 أو 1,000 أو 10,000 لعبة في ثوانٍ. كل لعبة تضع السيارة، وتختار اختيارًا أول عشوائيًا، وتدع المقدّم يتصرف، ثم تحسب نتيجة ثلاثة لاعبين على التوزيع نفسه: واحد يغيّر دائمًا، وواحد يبقى دائمًا، وواحد يرمي قطعة نقود. تعطي الأشرطة نسبة ما ربحه كل لاعب، مع علامة رفيعة عند القيمة الدقيقة. والرسم البياني السفلي يتتبع نسب الفوز مع تراكم الألعاب، على مقياس لوغاريتمي لعدد الألعاب.

بعد 10 ألعاب قد تكون الخطوط في أي مكان. ليس هذا عيبًا في المحاكاة؛ فمع ألعاب قليلة كهذه تحرّك الصدفة وحدها نسبة الفوز 15 نقطة مئوية أو أكثر. التشتت المعتاد لنسبة فوز p مقيسة على N لعبة هو الجذر التربيعي لـ p(1 − p)/N. عند p = 2/3 يكون نحو 4.7 نقطة مئوية عند 100 لعبة، و1.5 عند 1,000، و0.47 عند 10,000. لذلك يستقر خط التغيير بعد عشرة آلاف لعبة في حدود نقطة مئوية واحدة من 66.7% في كل مرة تقريبًا.

مع المقدّم الكلاسيكي ينتهي رامي قطعة النقود دائمًا قرب النصف. في نصف المرات يغيّر ويربح 2/3، وفي النصف الآخر يبقى ويربح 1/3. هذا هو الرقم الذي يعطيه الحدس للعبة كلها، وهو الجواب الصحيح عن سؤال آخر: كم مرة تربح إن عاملت البابين المغلقين على أنهما متساويان.

عدُّ كل ترتيب للسيارة والاختيار وحركة المقدّم مع 3 و4 و5 و10 أبواب ومع كل مقدّم يعطي الاحتمالات الدقيقة. وعند لعب 100,000 لعبة محتسبة لكل عدد من أعداد الأبواب السبعة ولكل من المقدّمين الخمسة، تقع كل استراتيجية في حدود نصف نقطة مئوية من القيمة الدقيقة، في الحالات الـ 292 كلها. ويتفق جدول بايز للمقدّم ذي الباب المفضّل أيضًا مع ألعاب المحاكاة، فمثلًا 83.1% من 40,014 لعبة مقابل القيمة الدقيقة 5/6 حين يفضّل المقدّم الباب الأصغر بـ p = 0.8 ويترك الأكبر مغلقًا.

لماذا يقول الحدس النصف

يدرس علماء النفس هذه الأحجية منذ عقود، لأن كثيرًا من الناس المتأنّين يخطئون فيها ويبقون على خطئهم بعد أن يُشرح لهم. معظم الناس يختارون البقاء على تخمينهم الأول، مع أن التغيير يضاعف فرصة الفوز.

اختُبرت تفسيرات عدة. وجد كراوس ووانغ (2003) أن الناس حلّوا المسألة أكثر بكثير حين رُويت بالتكرارات الطبيعية، أي بعدّ الألعاب بدلًا من ذكر الاحتمالات، ومن وجهة نظر المقدّم. ورأى بيرنز وفيث (2004) أن الصعوبة في البنية السببية. فمكان السيارة والباب الذي اخترته مستقلان، لكن كليهما يحدد الباب الذي يفتحه المقدّم، فمعرفة اختياره تربط بينهما، وهذا ما لا يتوقعه الناس. وحين رُويت اللعبة على أنها منافسة، مما يجعل تلك الأسباب أوضح، أصاب عدد أكبر من الناس.

جرّب هيربرانسون وشرودر (2010) الحمام. ثلاثة مفاتيح استجابة في حجرة اختبار قامت مقام الأبواب، وكانت الجائزة حبوبًا. على مدى محاولات كثيرة عدّل الحمام عدد مرات تغييره حتى اقترب من أفضل استراتيجية؛ أما المتطوعون من البشر الذين أُعطوا التمرين نفسه فلم يبلغوا ذلك. لم تكن لدى الطيور نظرية في الاحتمالات، بل خبرة بما يجلب المكافأة فقط، وهذا ما تعطيك إياه أزرار التشغيل.

تاريخ موجز

البنية أقدم من برنامج المسابقات. تضمّن كتاب جوزيف برتراند في الاحتمالات عام 1889 مفارقة الصناديق: ثلاثة صناديق فيها قطعتان ذهبيتان، وقطعتان فضيتان، وقطعة من كلٍّ منهما. تأخذ قطعة ذهبية من صندوق عشوائي. احتمال أن تكون القطعة الأخرى في ذلك الصندوق ذهبية هو 2/3 لا 1/2، لأن صندوق القطعتين الذهبيتين أرجح بمرتين من الصندوق المختلط في أن يعطيك ذهبًا. وفي عام 1959 طرح عمود Mathematical Games لمارتن غاردنر في Scientific American مسألة السجناء الثلاثة، الذين سيُعفى عن أحدهم. السجين الذي يعلم أن آخر سيُعدَم تبقى فرصته 1/3، بينما ترتفع فرصة السجين الثالث إلى 2/3. إنها الأبواب الثلاثة مع سجناء مكان الماعز.

ظهرت صيغة برنامج المسابقات عام 1975، في رسالة إلى محرر The American Statistician كتبها عالم الإحصاء الحيوي ستيف سيلفن، الذي سمّاها باسم مونتي هول، مقدّم برنامج مسابقات تلفزيوني أمريكي حقيقي. وفي عام 1990 جعلها عمود Parade مشهورة.

لم ينتهِ الجدل مع الفصول الدراسية. أشار بعض الإحصائيين إلى أن السؤال كما نُشر لا يقول هل يفتح المقدّم بابًا دائمًا، ولا كيف يختار حين يكون له خيار، وأن الجواب غير الشرطي (التغيير يربح 2/3 من كل الألعاب) والجواب الشرطي (التغيير يربح 2/3 من الألعاب التي فتح فيها الباب 3) يحتاجان إلى حجتين مختلفتين. وكتب ريتشارد غيل من جامعة لايدن أن الأحجية يمكن أن تُقرأ على أنها عدة مسائل رياضية مختلفة، وهذا أحد أسباب استمرارها في إنتاج الأبحاث. ويفصل المسرح بين هذه القراءات بشريط «المقدّم».

ما يبسّطه النموذج

توضع السيارة عشوائيًا، واختيارات المقدّم العشوائية رميات عادلة لقطعة نقود، كما في المسألة القياسية. قد يضع مقدّم حقيقي السيارة حيث نادرًا ما ينظر المتسابقون، أو يعرض التغيير فقط حين يناسبه، وعندئذ لا ينطبق أي جواب ثابت.

تفتح الذراع الآلية الأبواب واحدًا بعد آخر من أجل الحركة. في الرياضيات لا يهم الترتيب؛ المهم فقط أي باب يبقى مغلقًا. ومع المقدّم الأعمى تفتح الذراع الأبواب بترتيب عشوائي، فقد تظهر السيارة في منتصف الطريق.

يستخدم مشغّل الألعاب الكثيرة مولّدًا سريعًا لأعداد شبه عشوائية تؤخذ بذرته من الساعة، فلا يعطي تشغيلان الأرقام نفسها تمامًا أبدًا. وتُحسب نتيجة اللاعبين الثلاثة على التوزيع نفسه، ولهذا يكون مجموع شريطي التغيير والبقاء 100% دائمًا مع المقدّم الكلاسيكي: في كل لعبة محتسبة تكون السيارة خلف واحد بالضبط من البابين المغلقين.

سجل ألعابك أنت لا يعيش إلا في الصفحة المفتوحة. وإعادة تحميلها تمسحه.

حساب الدليل لا مجرد عدّ الأبواب

لنفترض أن C1 تعني أن السيارة خلف الباب 1، وأن H3 تعني أن المقدّم يفتح الباب 3 ويعرض التبديل. افترض أنك اخترت الباب 1، وأن السيارة وُضعت بالتساوي، وأن المقدّم يتجنب السيارة دائمًا، ويختار بإنصاف حين يكون خلف البابين الآخرين ماعز. قاعدة بايز هي:

P(C1 | H3) = P(H3 | C1) × P(C1) / P(H3)

المقام ليس مجرد احتمال أن يكون خلف الباب 3 ماعز. إنه احتمال هذا الفعل المحدد من المقدّم وفق القواعد المذكورة.

بالنسبة إلى بابك، البسط هو (1/2) × (1/3) = 1/6. وبالنسبة إلى الباب 2، البسط هو 1 × (1/3) = 1/3. أما الباب 3 فيسهم بصفر. إذن P(H3) = 1/6 + 1/3 = 1/2. ومنه P(C1 | H3) = (1/6)/(1/2) = 1/3. وبالمثل P(C2 | H3) = (1/3)/(1/2) = 2/3. يؤكد شرح بيركلي الفرق بين أن تعرف أن بابًا لا جائزة خلفه، وأن تعرف أن المقدّم اختاره ليُظهر أنه لا جائزة خلفه. وتتبع مناقشة ألفارادو كذلك الاعتماد المتبادل بين السيارة والاختيار الأول والكشف.

من الفحوص المفيدة أن تتخيل 600 لعبة مستقلة بالاختيار الأول نفسه. في نحو 200 منها تكون السيارة خلف كل باب. من أول 200، يُظهر نحو 100 الباب 3. ومن الـ 200 الثانية، تُظهره كلها. ومن الـ 200 الأخيرة، لا تُظهره أي لعبة. فيبقى نحو 300 مشاهدة مطابقة، منها 100 والسيارة خلف بابك، و200 والسيارة خلف الباب الآخر. هذه أعداد متوقعة، وليست ضمانًا لأي دفعة بعينها من 600 لعبة.

لماذا تهمّ الألعاب المستبعدة

الآن دع المقدّم يختار بابًا غير مختار بشكل أعمى. أبقِ الاختيار الأول ثابتًا عند الباب 1، وانظر فقط في المرات التي يفتح فيها الباب 3 ويُظهر ماعزًا. إذا كانت السيارة خلف الباب 1، فاحتمال هذه المشاهدة 1/2. وإذا كانت خلف الباب 2، فاحتمالها 1/2 أيضًا. البسطان الباقيان كلاهما 1/6، ومجموعهما 1/3، وكل احتمال لاحق يساوي 1/2. الماعز المرئي نفسه أعطى حسابًا مختلفًا لأن عملية مختلفة اختارته.

هناك طريقة أخرى للعدّ دون تسمية الباب المفتوح. من بين 600 لعبة، يبدأ نحو 200 ببابك الصحيح. وتبقى هذه الـ 200 كلها بعد الكشف الأعمى. ويبدأ نحو 400 ببابك الخاطئ. ولا يبقى منها إلا نحو 200، لأن احتمال أن يكشف المقدّم السيارة هو 1/2. إذن تُحتسب نحو 400 لعبة: البقاء يربح 200 والتبديل يربح 200. أما قسمة مرات ربح التبديل على كل المحاولات الـ 600 فتعطي 1/3. وهذا الرقم يجيب عن سؤال آخر يعدّ الألعاب التالفة إخفاقات. اذكر المقام دائمًا.

مع 100 باب، يكون اختيارك الأول صحيحًا في 1/100 من المحاولات، وتبقى هذه المحاولات دائمًا. وإذا كان خاطئًا، فعلى المقدّم الأعمى أن يترك السيارة باعتبارها الباب المغلق الوحيد غير المختار. واحتمال ذلك 1/99. والحصة الباقية مع اختيار أول خاطئ هي (99/100) × (1/99) = 1/100. فتسهم المجموعتان بالتساوي. يبقى 2/100 من المحاولات، ويربح التبديل في 1/2 من الباقي. وهذا ليس 99/100 الخاصة بالمقدّم العارف.

ماذا يعني خطأ المحاكاة

في الألعاب الكلاسيكية المستقلة، يتبع عدد مرات ربح التبديل التوزيع ذي الحدين بقيمة p = 2/3. الخطأ المعياري للنسبة المرصودة هو:

sqrt(p × (1 − p) / N)

عند N = 1000 يساوي 0.0149، أي 1.49 نقطة مئوية. والمدى التقريبي للعيّنة بنسبة 95% هو النسبة المتوقعة زائد أو ناقص 1.96 من الخطأ المعياري. أي نحو 66.67% ± 2.92 نقطة مئوية، أو من 63.75% إلى 69.59%. بهذا المعنى يكون هامش ألف لعبة نحو ثلاث نقاط مئوية، وليس وعدًا بأن كل تشغيل سيقع داخله.

تشرح ملاحظات جامعة ولاية سان خوسيه هذا التقريب الطبيعي للنسبة. ضرب N في 4 يخفض الخطأ المعياري إلى النصف. وضربه في 100 يجعل الخطأ أصغر بنحو عشر مرات. لذلك فتشغيل 10,000 أكثر استقرارًا من 1000، لكنه ليس أدق عشر مرات. وتفترض النتيجة أيضًا ألعابًا مستقلة ومولَّدة بشكل صحيح. تكرار خطأ برمجي لا يزيله.

في هذا المسرح تستخدم الاستراتيجيتان التوزيع نفسه. ونتائجهما مزدوجة، لا عيّنتان مستقلتان. فعندما يربح التبديل يخسر البقاء. مع المقدّم الأعمى، استخدم الألعاب المحتسبة بدل كل المحاولات في موضع N. ومع 100 باب، تعطي 1000 محاولة كشف أعمى نحو 20 لعبة محتسبة فقط في المتوسط. وهذا قليل جدًا لعبارة النقاط المئوية الثلاث أعلاه.

تجربة يمكن إجراؤها على الشاشة

اختر 3 أبواب والمقدّم «يعرف (كلاسيكي)»، ثم ضع توقعًا قبل الضغط على «شغّل 1000». قارن «التغيير دائمًا» بالعلامة الدقيقة، وليس بالتشغيل السابق فقط. غيّر المقدّم وحده إلى «لا يعرف» وكرر. اقرأ عدد الألعاب الملغاة مع المجموع المحتسب. وأخيرًا اختر 100 باب. مع المقدّم الكلاسيكي ينبغي أن تقترب نسبة التبديل من 99%. أما المقدّم الأعمى فيُبقي جزءًا صغيرًا فقط من المحاولات. تعزل هذه المقارنات قاعدة المقدّم، بدل تغيير عدة افتراضات دون أن تنتبه.

تفرّق دراسة الحمام والمراجعات النفسية اللاحقة بين تعلّم أي فعل يجدي وتفسير سبب جدواه. قد يتعلم الزائر الضغط على «التغيير» من التغذية الراجعة دون أن يستطيع إعادة بناء عمود الأرجحية. بعد التجربة، اشرح لماذا يستبعد المقدّم الأعمى ألعابًا ذات اختيار أول خاطئ أكثر من ألعاب اختيارها الأول صحيح. هذا التفسير، لا سلسلة حظ رابحة، هو اختبار الفهم. وتشير مقارنة لي بتحليل البيانات إلى الأمر نفسه: الترتيب وإجراء الاختيار مهمان، حتى لو عرضت الشاشة الأخيرة احتمالين.

مسارح الألغاز: السؤال نفسه على طاولات أخرى

يفتح زر «ألغاز» 17 مسرحًا. تبقى ثمانية عند الأبواب وتغيّر قواعد المقدّم أو عدد الأبواب فقط؛ وتنتقل تسعة إلى طاولة دائرية مكسوّة باللباد، فتحل الصناديق والعملات والأشخاص والظروف محل الأبواب. لكل مسرح زر «العب مرة» وتشغيل 100,000 لعبة (1,000,000 للغزين اللذين نادرًا ما يتحقق شرطهما). تقارن القراءة يسارًا القيمة الدقيقة بنسبة النتائج الفعلية.

مقدّمون بقواعد مختلفة

مونتي فال ينزلق ويفتح بابًا عشوائيًا. إذا ظهر ماعز مصادفة، يربح البقاء والتغيير باحتمال 1/2 لكل منهما، لأن الألعاب التي كان سيظهر فيها السيارة تُستبعد، وهي تحديدًا التي كان التغيير سيربحها. مونتي كرول يترك الباب الآخر ذا الرقم الأصغر مغلقًا كلما استطاع الاختيار. إذا اخترت 1 وفتح 2، فلم يكن لديه خيار: السيارة خلف 3 والتغيير يربح دائمًا. وإذا فتح 3، يربح التغيير باحتمال 1/2 فقط. وبالمتوسط يظل التغيير الدائم عند 2/3. يعالج Grinstead وSnell الحالة الوسطى: المقدّم الذي يفتح الرقم الأكبر 3 مرات من 4 حين يستطيع، يعطي التغيير احتمال 4/7 بعد فتح الباب 3.

يقرّر مونتي من الجحيم ومونتي الملاك هل يعرضان التغيير أصلًا. قال مونتي هول لصحفي عام 1991 إنه لم يكن ملزمًا بذلك في البرنامج الحقيقي. عرض التغيير فقط لمن اختار السيارة يجعله خسارة مؤكدة؛ وعرضه فقط لمن اختار ماعزًا يجعله ربحًا مؤكدًا. العرض نفسه هو الدليل.

فتح باب واحد من أبواب كثيرة

يغيّر شريط «أبواب أخرى تبقى مغلقة» عدد الأبواب المغلقة غير بابك. مع 5 أبواب وفتح باب ماعز واحد، تبقى ثلاثة أخرى مغلقة. البقاء يربح باحتمال 1/5. والانتقال عشوائيًا إلى أحد الثلاثة يربح باحتمال (5 − 1) / (5 × 3) = 4/15، نحو 26.7%. عمومًا، مع n بابًا وفتح k منها، يربح التغيير باحتمال (n − 1) / (n (n − 1 − k))، وهو دائمًا أكبر من 1/n. حين k = n − 2 نحصل على (n − 1)/n المألوف: 2/3 لثلاثة أبواب و99/100 لمئة.

لاعبان

يسجّل مسرح «لاعبان» نقاط شخصين يتناوبان على الأبواب نفسها. إذا بقي أحدهما دائمًا وغيّر الآخر دائمًا، فالنتيجتان المتوقعتان بعد 30 لعبة لكل منهما هما 10 و20 سيارة. قد تنعكس النتيجة في مباراة قصيرة؛ لفارق 10 سيارات تشتّت يقارب 3.7 سيارة في كل اتجاه.

صناديق وسجناء وأطفال

تحتوي صناديق برتران الثلاثة قطعتين ذهبيتين، وفضيتين، وواحدة من كل نوع. اسحب قطعة عشوائيًا فتجدها ذهبية: القطع الذهبية الثلاث متساوية في احتمال السحب، واثنتان في صندوق الذهب الخالص، لذا الأخرى ذهبية باحتمال 2/3 لا 1/2. مسألة السجناء الثلاثة هي الأبواب بلباس آخر. الحارس الذي يسمّي B للإعدام يؤدي دور المقدّم؛ يبقى A عند 1/3 ويرتفع C إلى 2/3.

يبيّن لغزا الأطفال أهمية الصياغة. أسرة لها طفلان أحدهما على الأقل ولد، يكون كلاهما ولدين باحتمال 1/3: من الأسر الأربع المتساوية الاحتمال (ولد ولد، ولد بنت، بنت ولد، بنت بنت) تُستبعد الأخيرة، وواحدة من الثلاث الباقية لها ولدان. إذا قيل إن الأكبر ولد، فالاحتمال 1/2. وإذا كان ابن مولودًا يوم الثلاثاء، فهو 13/27: من 196 زوجًا متساوي الاحتمال للجنس ويوم الأسبوع، تتضمن 27 ولدًا مولودًا الثلاثاء، و13 منها تتضمن ولدين.

أعياد الميلاد

مع 23 شخصًا، احتمال اشتراك اثنين في يوم الميلاد 50.7%؛ ومع 22 يبلغ 47.6%، ومع 57 يبلغ 99.0%. المهم عدد الأزواج: يشكّل 23 شخصًا 253 زوجًا، ولكل زوج احتمال تطابق 1 من 365. يتدرج شريط «الأشخاص» من 2 إلى 70؛ ويضيء المتطابقون بالذهبي بعد كل لعبة.

اختبار إيجابي

تعرض الطاولة 1,000 شخص. مع مريض 1 لكل 1,000 وإيجابيات كاذبة بنسبة 5% بين الأصحاء، تظهر نتيجة إيجابية لنحو 50 سليمًا مع المريض الوحيد. إذن تعني الإيجابية مرضًا باحتمال 1 من 51، نحو 2.0%. في مسح عام 2014 أجاب بذلك 14 من 61 طبيبًا وطالبًا. ترفع إيجابية ثانية مستقلة الاحتمال إلى نحو 28.6%، دون النصف. يغيّر الشريطان نسبة المرضى ومعدل الإيجابيات الكاذبة.

عملات بلا ذاكرة

بعد 5 صور متتالية، احتمال الصورة في الرمية التالية 1/2. لا تبدأ إلا محاولة 1 من 32 بخمس صور، لذلك يشغّل اللغز مليون محاولة. اختبار السلاسل أدق: ارمِ 4 عملات واحسب نسبة الصورة بين الرميات التي تلي صورة. عند أخذ المتوسط عبر التسلسلات 16، مما يحتوي صورة مبكرة بما يكفي للعد، تكون النسبة 17/42، نحو 40.5% لا 50%. أظهر Miller وSanjurjo عام 2018 أن اختبار «اليد الساخنة» في كرة السلة عام 1985 استخدم هذا المتوسط، فربما بدا أثر تسلسل حقيقي معدومًا.

ظرفان

في مسرح الظروف، المبلغ الأصغر 10 ثم 20 وهكذا إلى 100، والآخر ضعف ذلك. يعطي التغيير أكثر في نصف الألعاب ويغيّر المبلغ بمتوسط 0. حجة أن قيمة الظرف الآخر المتوقعة 1.25 مرة ما معك تثبّت مبلغك في الحالتين، وهذا غير ممكن.

شجرة الاحتمالات

يضع مفتاح «شجرة الاحتمالات» الشجرة على المسرح، وتعرضها لوحة «التحكم» دائمًا. كل فرع من النقطة مكان محتمل للسيارة (أو العملة أو المرض)، وسمكه يوافق احتماله. ينقسم إلى الدليل الذي رأيته والذي لم تره. قطع ما لم يحدث وضبط الباقي ليكون مجموعه 1 هو قاعدة بايز. يعلّم مقرر MIT للرياضيات لعلوم الحاسوب الأبواب بهذه الشجرة ذات الخطوات الأربع. حين عرض Andrew Vazsonyi المسألة على Paul Erdős عام 1995، لم يقبل الرياضي الجواب إلا بعد 100,000 لعبة حاسوبية، وظل يطلب سببًا؛ الشجرة هي السبب.