Masalah Monty Hall: mengapa berganti pintu lebih sering menang

Sebuah pertanyaan di majalah hari Minggu

Pada 9 September 1990, seorang pembaca bertanya kepada Marilyn vos Savant di kolom Ask Marilyn majalah Parade tentang sebuah acara kuis televisi. Di depan Anda ada tiga pintu. Di balik satu pintu ada mobil, di balik dua pintu lainnya ada kambing. Anda memilih satu pintu, misalnya nomor 1. Pembawa acara, yang tahu isi di balik setiap pintu, membuka pintu lain, misalnya nomor 3, dan memperlihatkan seekor kambing. Lalu ia bertanya apakah Anda mau berganti ke pintu 2. Apakah berganti menguntungkan Anda?

Ia menjawab ya: berganti menang dua kali dari tiga. Ribuan surat menyusul, dan banyak matematikawan profesional bersikeras bahwa ia keliru. Jeffrey Rosenthal dari University of Toronto mengumpulkan beberapa ungkapan yang mereka pakai, di antaranya "Anda sama sekali salah" dan "kambingnya adalah Anda". Perdebatan itu berakhir di ruang kelas. Ia meminta kelas-kelas matematika di sekolah memainkan permainan itu dengan gelas kertas dan uang logam, dan mereka melapor balik, dengan agak heran, bahwa ia benar.

Teka-teki ini punya jawaban sederhana dan satu jawaban salah yang keras kepala, dan perbedaan keduanya bermuara pada satu hal: apa yang diketahui pembawa acara. Pameran ini memungkinkan Anda bermain dengan 3 sampai 100 pintu, menjalankan sepuluh ribu permainan dalam satu atau dua detik, dan mengganti pembawa acara sampai jawabannya ikut berubah.

Cara memakai panggung

Ketuk pintu untuk memilihnya. Lengan robot di sebelah kanan berperan sebagai pembawa acara: ia menyorotkan laser ke setiap pintu yang dibukanya, dan pintu-pintu berayun terbuka memperlihatkan kambing di bilik yang terang. Ketika hanya pintu Anda dan satu pintu lain yang masih tertutup, dua tombol muncul. "Ganti" memindahkan pilihan Anda ke pintu lain, "Tetap" mempertahankannya. Pintu terakhir Anda terbuka dan bola lampu berkedip hijau untuk mobil atau merah untuk kambing.

Di bawah panggung, tiga tombol langsung beralih ke 3, 10, atau 100 pintu. Di panel "Kontrol", penggeser "Pembawa acara" mengubah apa yang diketahui pembawa acara dan bagaimana ia bertindak, "Peluang" menampilkan peluang mobil di atas setiap pintu tertutup, dan "Lihat di balik pintu" membuat pintu tembus pandang agar Anda bisa melihat mobilnya. Bagian di bawah penggeser memainkan banyak permainan sekaligus, mencatat permainan yang Anda mainkan sendiri selama kunjungan ini (tidak ada yang disimpan), dan menampilkan tabel Bayes untuk permainan di depan Anda.

Mengapa pilihan pertama Anda tetap satu dari tiga

Saat Anda memilih sebuah pintu, mobil ada di baliknya dalam satu dari tiga permainan. Itu tidak dibantah siapa pun. Perselisihan dimulai ketika sebuah pintu dibuka. Banyak orang merasa tinggal dua pintu, jadi masing-masing sekarang pasti setengah.

Ikuti pembawa acaranya, bukan pintunya. Ia harus membuka pintu yang bukan milik Anda dan tidak menyembunyikan mobil. Kalau pintu Anda menyembunyikan mobil, ia boleh membuka salah satu dari dua pintu lainnya. Kalau pintu Anda menyembunyikan kambing, ia sama sekali tidak punya pilihan: salah satu pintu lain berisi mobil, jadi ia harus membuka pintu kambing yang kedua.

Sekarang lihat permainan-permainan ketika Anda memilih kambing. Itu terjadi dua kali dari tiga. Dalam setiap permainan itu, gerakan terpaksa pembawa acara meninggalkan mobil di balik satu-satunya pintu lain yang tertutup, dan berganti menang. Dalam satu permainan dari tiga ketika Anda memilih mobil, berganti kalah. Jadi berganti menang dalam dua permainan dari tiga dan bertahan dalam satu.

Tindakan pembawa acara tidak memberi tahu apa pun yang baru tentang pintu Anda, karena ia akan membuka pintu kambing apa pun isi pintu Anda. Tetapi tindakan itu banyak bercerita tentang pintu yang ia lewati. Ia tidak membiarkan pintu itu tertutup secara acak; dalam dua dari tiga permainan, ia terpaksa melakukannya.

Seratus pintu membuatnya jelas

Versi dengan banyak pintu membantu banyak orang. Bayangkan 100 pintu. Anda memilih satu. Pembawa acara, yang tahu letak mobil, membuka 98 pintu lainnya, semuanya berisi kambing, dan menyisakan satu pintu tertutup. Haruskah Anda bertahan dengan pintu Anda atau pindah ke pintu yang ia hindari dengan hati-hati?

Pintu Anda punya peluang satu dari seratus saat Anda memilihnya, dan sejak itu tidak terjadi apa-apa padanya. Ke-99 pintu lainnya bersama-sama memegang 99 peluang dari seratus. Pembawa acara menyingkirkan 98 di antaranya tanpa sekali pun menyentuh mobil, jadi seluruh 99/100 kini berada pada satu pintu yang ia sisakan. Tekan tombol 100 pintu dan mainkan beberapa kali: dinding terbuka baris demi baris, dan pintu yang tersisa berdiri di tengah semua kambing itu tampak mencurigakan sebagaimana mestinya.

Aturan umumnya mudah dibaca. Dengan n pintu dan pembawa acara yang membuka semua pintu kecuali pintu Anda dan satu pintu lain, bertahan menang 1/n dari waktu dan berganti menang (n − 1)/n. Untuk 3 pintu itu 1/3 lawan 2/3, untuk 10 pintu 10% lawan 90%, dan untuk 100 pintu 1% lawan 99%. Tabel di bagian bawah panel "Kontrol" mencantumkan ketujuh jumlah pintu untuk pembawa acara yang Anda pilih.

Menghitung setiap kasus

Kalau argumen tidak meyakinkan Anda, hitunglah. Beri nomor pintu 1, 2, dan 3 dan misalkan Anda selalu memilih pintu 1 (karena simetri, pilihan lain memberi hasil yang sama). Mobil sama mungkinnya berada di balik pintu mana pun, dan saat pembawa acara boleh memilih, ia memilih salah satu dari dua pintu dengan peluang sama.

Dua baris pertama berbagi sepertiga bagian ketika mobil ada di balik pintu Anda. Bertahan menang dengan peluang 1/6 + 1/6 = 1/3, berganti dengan 1/3 + 1/3 = 2/3.

Tabel ini juga menjawab versi pertanyaan yang lebih tajam, yang sebenarnya ditanyakan pembaca: Anda sudah melihat pembawa acara membuka pintu 3. Kini hanya baris 2 dan 3 yang mungkin. Baris 2 berpeluang 1/6 dan baris 3 berpeluang 1/3, jadi di antara permainan yang tampak seperti permainan Anda, mobil ada di balik pintu 2 dua kali lebih sering daripada di balik pintu 1. Jawaban bersyaratnya kembali 2/3.

Aturan Bayes saat tawaran muncul

Perhitungan yang sama biasanya ditulis dengan aturan Bayes, yang menyatakan bagaimana sebuah peluang harus berubah ketika bukti baru datang. Daftarkan setiap tempat mobil mungkin berada, tuliskan peluang sebelum bukti (peluang prior), kalikan dengan peluang melihat bukti persis ini seandainya hal itu benar (likelihood), lalu bagi setiap hasil kali dengan totalnya.

Anda memilih pintu 1 dan pembawa acara membuka pintu 3:

Hasil kalinya berjumlah 1/2, peluang keseluruhan melihat pembawa acara membuka pintu 3. Membagi dengan angka itu menghasilkan kolom terakhir. Tabel di panel "Kontrol" disusun dengan cara yang sama untuk permainan di panggung, dan berubah mengikuti jumlah pintu dan pembawa acara. Untuk n pintu dengan pembawa acara yang tahu, hasil kalinya 1/(n(n − 1)) untuk pintu Anda dan 1/n untuk pintu yang ia sisakan, sehingga hasilnya 1/n lawan (n − 1)/n.

Kolom tengah adalah tempat pembawa acara berada. Ubah aturannya, likelihood ikut berubah, dan bersamanya jawabannya.

Apa yang diketahui pembawa acara menentukan jawaban

Jawaban klasik bergantung pada tiga fakta tentang pembawa acara: ia selalu membuka pintu, ia selalu memperlihatkan kambing karena tahu letak mobil, dan ia selalu menawarkan pergantian. Hilangkan salah satunya dan angkanya bergeser. Penggeser "Pembawa acara" punya lima pengaturan.

Tahu (klasik). Kasus di atas: bertahan 1/n, berganti (n − 1)/n.

Tidak tahu. Rosenthal menyebut ini Monty Fall: pembawa acara terpeleset kulit pisang dan mendorong sebuah pintu acak hingga terbuka, yang kebetulan memperlihatkan kambing. Dengan tiga pintu, pintu acak yang bukan milik Anda menyembunyikan mobil satu kali dari tiga. Permainan-permainan itu rusak. Dalam permainan yang tersisa, pintu Anda dan pintu tertutup lainnya sama mungkinnya, jadi bertahan dan berganti sama-sama menang separuh waktu. Di panggung, permainan ketika lengan memperlihatkan mobil berakhir dengan pesan dan tidak dihitung, dan menjalankan banyak permainan melaporkan berapa yang dibuang. Dengan 100 pintu dan pembawa acara yang membuka 98 secara acak, hanya 2 dari 100 permainan yang bertahan, tetapi dalam permainan itu jawabannya tetap setengah.

Mengapa berbeda, padahal pintu di panggung tampak persis sama saat tawaran muncul? Karena buktinya berbeda. Pembawa acara yang tahu dan memperlihatkan 98 kambing melakukan sesuatu yang selalu bisa ia lakukan. Pembawa acara yang buta dan kebetulan memperlihatkan 98 kambing melakukan sesuatu yang sangat tidak mungkin, kecuali mobil ada di balik salah satu dari dua pintu yang tidak ia sentuh. Kedua pintu itu sama-sama dan setara mendapat tambahan. Di tabel Bayes, likelihood gerakan pembawa acara buta sama, 1/(n − 1), entah mobil ada di balik pintu Anda atau pintu lainnya, sehingga peluang posteriornya sama.

Pintu favorit. Monty Crawl dari Rosenthal adalah pembawa acara yang tahu letak mobil, tetapi saat boleh memilih ia selalu membuka pintu kambing bernomor terkecil, karena ia lelah dan pintu itu yang terdekat. Di panggung ini berupa penggeser: peluang pembawa acara, ketika bebas memilih, membiarkan pintu lain bernomor terkecil tetap tertutup. Dirata-ratakan atas semua permainan, tidak ada yang berubah, dan berganti tetap menang 2/3 dari waktu. Tetapi pintu yang ia sisakan kini membawa informasi. Dengan tiga pintu dan pembawa acara yang selalu menyisakan pintu bernomor kecil, melihatnya menyisakan pintu bernomor besar berarti ia tidak punya pilihan: mobil ada di sana, dan berganti selalu menang. Melihatnya menyisakan pintu bernomor kecil hanya berarti 1/2. Untuk preferensi umum p, kedua jawabannya 1/(1 + p) dan 1/(2 − p), dan berganti tidak pernah lebih buruk daripada bertahan.

Menawari yang menebak benar. Kalau pembawa acara hanya menawarkan pergantian saat pilihan pertama Anda adalah mobil, tawaran adalah kabar buruk. Berganti setiap kali ditawari tidak pernah menang.

Menawari yang menebak salah. Kebalikannya: ia hanya menawarkan kalau Anda memilih kambing, jadi berganti saat ditawari selalu menang. Keduanya menunjukkan bahwa aturan yang diikuti pembawa acara lebih penting daripada apa pun yang Anda lihat di panggung.

Sepuluh ribu permainan

Tombol "Jalankan" memainkan 100, 1000, atau 10.000 permainan dalam beberapa detik. Setiap permainan menaruh mobil, membuat pilihan pertama secara acak, dan membiarkan pembawa acara bertindak, lalu menilai tiga pemain pada susunan yang sama: satu selalu berganti, satu selalu bertahan, dan satu melempar koin. Batang menunjukkan bagian kemenangan tiap pemain, dengan garis tipis di nilai tepatnya. Grafik di bawah mengikuti tingkat kemenangan seiring bertambahnya permainan, pada skala logaritmik jumlah permainan.

Setelah 10 permainan, garisnya bisa berada di mana saja. Itu bukan kesalahan simulasi; dengan permainan sesedikit itu, kebetulan saja sudah menggeser bagian kemenangan sebesar 15 poin persentase atau lebih. Sebaran khas tingkat kemenangan p yang diukur atas N permainan adalah akar kuadrat dari p(1 − p)/N. Untuk p = 2/3, itu sekitar 4,7 poin persentase pada 100 permainan, 1,5 pada 1000, dan 0,47 pada 10.000. Jadi setelah sepuluh ribu permainan, garis berganti hampir selalu berada dalam satu poin persentase dari 66,7%.

Dengan pembawa acara klasik, pelempar koin selalu berakhir di sekitar setengah. Separuh waktu ia berganti dan menang 2/3, separuh waktu ia bertahan dan menang 1/3. Itulah angka yang diberikan intuisi untuk seluruh permainan, dan itu jawaban benar untuk pertanyaan lain: seberapa sering Anda menang kalau menganggap dua pintu tertutup itu setara.

Dengan menghitung setiap susunan mobil, pilihan, dan gerakan pembawa acara untuk 3, 4, 5, dan 10 pintu serta setiap pembawa acara, diperoleh peluang yang tepat. Bila dimainkan 100.000 permainan terhitung untuk masing-masing dari tujuh jumlah pintu dan lima pembawa acara, setiap strategi jatuh dalam setengah poin persentase dari nilai tepatnya, pada ke-292 kasus. Tabel Bayes untuk pembawa acara berpintu favorit juga cocok dengan permainan simulasi, misalnya 83,1% dari 40.014 permainan dibandingkan nilai tepat 5/6 ketika pembawa acara menyukai pintu kecil dengan p = 0,8 dan menyisakan pintu besar tertutup.

Mengapa intuisi berkata setengah

Para psikolog telah meneliti teka-teki ini selama puluhan tahun, karena begitu banyak orang yang teliti salah menjawab dan tetap salah setelah diberi tahu. Kebanyakan orang memilih bertahan dengan tebakan pertama, padahal berganti melipatgandakan peluang menang.

Beberapa penjelasan telah diuji. Krauss dan Wang (2003) menemukan bahwa orang jauh lebih sering memecahkan masalah ini kalau diceritakan dalam frekuensi alami, yaitu menghitung permainan alih-alih menyebut peluang, dan dari sudut pandang pembawa acara. Burns dan Wieth (2004) berpendapat bahwa kesulitannya ada pada struktur sebab-akibat. Letak mobil dan pintu yang Anda pilih saling bebas, tetapi keduanya menentukan pintu mana yang dibuka pembawa acara, jadi mengetahui pilihannya menghubungkan keduanya, dan hal itu tidak disangka orang. Ketika permainan diceritakan sebagai sebuah kompetisi, yang membuat sebab-sebab itu lebih mudah terlihat, lebih banyak orang menjawab benar.

Herbranson dan Schroeder (2010) mencobanya pada merpati. Tiga tombol respons di ruang uji berfungsi sebagai pintu dan hadiahnya biji-bijian. Selama banyak percobaan, merpati menyesuaikan seberapa sering mereka berganti sampai mendekati strategi terbaik; relawan manusia yang mendapat latihan sama tidak sampai ke sana. Burung-burung itu tidak punya teori peluang, hanya pengalaman tentang apa yang memberi hasil, dan itulah yang diberikan tombol "Jalankan" kepada Anda.

Sejarah singkat

Strukturnya lebih tua daripada acara kuisnya. Buku teks peluang Joseph Bertrand tahun 1889 memuat paradoks kotak: tiga kotak berisi dua koin emas, dua koin perak, dan satu dari masing-masing. Anda mengambil koin emas dari kotak yang dipilih acak. Peluang koin lain di kotak itu juga emas adalah 2/3, bukan 1/2, karena kotak berisi dua emas dua kali lebih mungkin memberi Anda emas daripada kotak campuran. Pada 1959, kolom Mathematical Games karya Martin Gardner di Scientific American mengajukan masalah tiga tahanan, yang salah satunya akan diampuni. Tahanan yang mengetahui bahwa tahanan lain akan dihukum mati tetap memegang peluang 1/3, sementara peluang tahanan ketiga naik menjadi 2/3. Itu tiga pintu dengan tahanan sebagai ganti kambing.

Versi acara kuis muncul pada 1975, dalam surat pembaca kepada redaksi The American Statistician dari ahli biostatistik Steve Selvin, yang menamainya dengan nama Monty Hall, pembawa acara kuis televisi Amerika yang sungguhan. Pada 1990, kolom Parade membuatnya terkenal.

Perdebatan tidak berakhir di ruang kelas. Sebagian ahli statistik menunjukkan bahwa pertanyaan sebagaimana dicetak tidak menyebut apakah pembawa acara selalu membuka pintu, atau bagaimana ia memilih ketika punya pilihan, dan bahwa jawaban tanpa syarat (berganti menang 2/3 dari semua permainan) dan jawaban bersyarat (berganti menang 2/3 dari permainan ketika ia membuka pintu 3) memerlukan argumen berbeda. Richard Gill dari Leiden University menulis bahwa teka-teki ini bisa dibaca sebagai beberapa masalah matematika yang berbeda, dan itulah salah satu alasan teka-teki ini terus melahirkan makalah. Panggung memisahkan bacaan-bacaan itu dengan penggeser "Pembawa acara".

Yang disederhanakan oleh model

Mobil ditaruh secara acak dan pilihan acak pembawa acara adalah lemparan koin yang adil, seperti dalam masalah standar. Pembawa acara sungguhan bisa menaruh mobil di tempat yang jarang dilihat peserta, atau menawarkan pergantian hanya bila menguntungkannya, dan dalam kasus itu tidak ada jawaban tetap yang berlaku.

Lengan robot membuka pintu satu per satu demi animasi. Dalam matematika urutannya tidak penting; yang dihitung hanya pintu mana yang dibiarkan tertutup. Dengan pembawa acara buta, lengan membuka pintu dalam urutan acak, jadi mobil bisa muncul di tengah jalan.

Penjalan banyak permainan memakai pembangkit bilangan semu-acak yang cepat dengan benih dari jam, sehingga dua kali jalan tidak pernah memberi angka yang persis sama. Ketiga pemain dinilai pada susunan yang sama, karena itulah batang berganti dan bertahan selalu berjumlah 100% dengan pembawa acara klasik: dalam setiap permainan terhitung, tepat satu dari dua pintu tertutup berisi mobil.

Catatan permainan Anda sendiri hanya hidup di halaman yang terbuka. Memuat ulang halaman akan menghapusnya.

Menghitung bukti, bukan sekadar menghitung pintu

Misalkan C1 berarti mobil ada di balik pintu 1 dan H3 berarti pembawa acara membuka pintu 3 lalu menawarkan pertukaran. Anggap Anda memilih pintu 1, mobil diletakkan secara seragam, pembawa acara selalu menghindari mobil, dan ia memilih secara adil bila kedua pintu lain berisi kambing. Aturan Bayes adalah P(C1 | H3) = P(H3 | C1) × P(C1) / P(H3). Penyebutnya bukan sekadar peluang pintu 3 berisi kambing. Itu adalah peluang tindakan pembawa acara yang khusus ini di bawah aturan yang disebutkan.

Untuk pintu Anda, pembilangnya (1/2) × (1/3) = 1/6. Untuk pintu 2, 1 × (1/3) = 1/3. Pintu 3 menyumbang nol. Jadi P(H3) = 1/6 + 1/3 = 1/2, dan P(C1 | H3) = (1/6)/(1/2) = 1/3. Demikian pula P(C2 | H3) = (1/3)/(1/2) = 2/3. Penjelasan dari Berkeley menekankan perbedaan antara mengetahui bahwa sebuah pintu tidak berhadiah dan mengetahui bahwa pembawa acara memilihnya untuk menunjukkan bahwa pintu itu tidak berhadiah. Pembahasan Alvarado juga mengikuti ketergantungan antara mobil, pilihan pertama, dan pembukaan pintu.

Pemeriksaan yang berguna adalah membayangkan 600 permainan independen dengan pilihan pertama yang sama. Sekitar 200 di antaranya memiliki mobil di balik tiap pintu. Dari 200 yang pertama, sekitar 100 menunjukkan pintu 3; dari 200 yang kedua, semua 200 menunjukkannya; dari 200 yang terakhir, tidak ada. Sekarang ada sekitar 300 pengamatan yang cocok, dengan 100 mobil di balik pintu Anda dan 200 di balik pintu lain. Ini adalah jumlah yang diharapkan, bukan jaminan untuk satu kelompok 600 permainan tertentu.

Mengapa permainan yang dibuang penting

Sekarang biarkan pembawa acara memilih pintu yang tidak dipilih secara buta. Pertahankan pilihan pertama pada pintu 1 dan tinjau hanya saat ia membuka pintu 3 dan menunjukkan kambing. Jika mobil di balik pintu 1, peluang pengamatan itu 1/2. Jika mobil di balik pintu 2, peluangnya juga 1/2. Dua pembilang yang bertahan sama-sama 1/6, jumlahnya 1/3, dan setiap peluang posterior adalah 1/2. Kambing yang terlihat sama menghasilkan perhitungan yang berbeda karena proses yang memilihnya berbeda.

Ada cara lain untuk menghitung tanpa menyebut pintu yang dibuka. Dari 600 permainan, sekitar 200 dimulai dengan pintu Anda benar; semuanya bertahan dari pembukaan buta. Sekitar 400 dimulai dengan pintu Anda salah; hanya sekitar 200 yang bertahan, karena pembawa acara berpeluang 1/2 menampakkan mobil. Jadi sekitar 400 permainan dihitung: bertahan menang 200 dan berganti menang 200. Membagi kemenangan berganti dengan seluruh 600 percobaan akan memberi 1/3. Angka itu menjawab pertanyaan lain, yang memasukkan permainan rusak sebagai kegagalan. Selalu sebutkan penyebutnya.

Dengan 100 pintu, pilihan awal Anda benar pada 1/100 percobaan, dan percobaan itu selalu bertahan. Jika salah, pembawa acara buta harus menyisakan mobil sebagai satu-satunya pintu tertutup yang tidak dipilih, dengan peluang 1/99. Bagian yang bertahan dengan pilihan pertama salah adalah (99/100) × (1/99) = 1/100. Kedua kelompok menyumbang sama besar: 2/100 percobaan bertahan dan berganti menang pada 1/2 dari yang bertahan itu. Ini bukan hasil 99/100 dari pembawa acara yang tahu.

Arti galat sebuah simulasi

Untuk permainan klasik yang independen, jumlah kemenangan berganti berdistribusi binomial dengan p = 2/3. Galat baku proporsi yang teramati adalah sqrt(p × (1 − p) / N). Pada N = 1000 nilainya 0,0149, atau 1,49 poin persentase. Rentang sampling 95% kira-kira adalah proporsi yang diharapkan ditambah atau dikurangi 1,96 galat baku: sekitar 66,67% ± 2,92 poin persentase, atau 63,75% sampai 69,59%. Dalam arti inilah seribu permainan punya margin sekitar tiga poin persentase, bukan janji bahwa setiap putaran jatuh di dalamnya.

Catatan San José State menjelaskan pendekatan normal untuk proporsi ini. Mengalikan N dengan 4 membuat galat baku separuhnya; mengalikannya dengan 100 membuat galat sekitar sepuluh kali lebih kecil. Putaran 10.000 karenanya lebih stabil daripada 1000, tetapi tidak sepuluh kali lebih tepat. Hasil ini juga mengandaikan permainan yang independen dan dibangkitkan dengan benar. Mengulang kesalahan pemrograman tidak membuatnya hilang.

Di panggung ini kedua strategi memakai pembagian yang sama. Hasilnya berpasangan, bukan dua sampel independen: ketika berganti menang, bertahan kalah. Dengan pembawa acara buta, pakai Permainan dihitung sebagai N, bukan semua percobaan. Dengan 100 pintu, 1000 percobaan pembukaan buta hanya menghasilkan rata-rata sekitar 20 permainan yang dihitung, jauh terlalu sedikit untuk pernyataan tiga poin persentase di atas.

Percobaan yang bisa dicoba di layar

Pilih 3 pintu dan Tahu (klasik), lalu buat prediksi sebelum menekan Jalankan 1000. Bandingkan Selalu ganti dengan tanda nilai tepat, bukan hanya dengan putaran sebelumnya. Ubah hanya pembawa acara menjadi Tidak tahu lalu ulangi. Baca jumlah permainan batal bersama total yang dihitung. Terakhir pilih 100 pintu: dengan pembawa acara klasik, tingkat berganti seharusnya mendekati 99%, sedangkan pembawa acara buta hanya menyisakan sebagian kecil percobaan. Perbandingan ini memisahkan aturan pembawa acara, bukan mengubah beberapa asumsi sekaligus tanpa disadari.

Studi merpati dan tinjauan psikologi berikutnya membedakan antara belajar tindakan mana yang menguntungkan dan menjelaskan mengapa menguntungkan. Pengunjung bisa belajar menekan Ganti lewat umpan balik tanpa mampu merekonstruksi kolom kemungkinan. Setelah percobaan, jelaskan mengapa pembawa acara buta membuang lebih banyak permainan dengan pilihan pertama salah daripada yang benar. Penjelasan itu, bukan rentetan keberuntungan, adalah ujian pemahaman. Perbandingan Li dengan analisis data menyampaikan hal serupa: urutan dan prosedur seleksi penting, bahkan ketika tampilan akhir hanya menawarkan dua kemungkinan.

Panggung teka-teki: pertanyaan sama di meja lain

Tombol «Teka-teki» membuka 17 panggung. Delapan tetap memakai pintu dan hanya mengubah aturan pembawa acara atau jumlah pintu; sembilan pindah ke meja bundar berlapis kain, dengan kotak, koin, orang, atau amplop sebagai pengganti pintu. Semua memiliki «Main sekali» dan proses 100,000 permainan (1,000,000 untuk dua teka-teki yang syaratnya jarang terpenuhi). Bacaan di kiri membandingkan nilai tepat dan proporsi hasil percobaan.

Pembawa acara dengan aturan lain

Monty Fall terpeleset dan membuka pintu secara acak. Jika kebetulan kambing yang muncul, tetap dan berganti masing-masing menang dengan peluang 1/2: permainan yang akan memperlihatkan mobil dibuang, tepat permainan tempat berganti akan menang. Monty Crawl selalu menyisakan pintu lain bernomor paling kecil ketika bisa memilih. Jika Anda memilih 1 dan ia membuka 2, ia tidak punya pilihan: mobil di balik 3 dan berganti pasti menang. Jika ia membuka 3, berganti hanya menang dengan peluang 1/2. Dirata-ratakan untuk keduanya, selalu berganti tetap menang 2/3. Grinstead dan Snell membahas kasus di antaranya: pembawa acara yang membuka nomor lebih besar 3 dari 4 kali saat bisa memilih memberi peluang 4/7 untuk berganti setelah ia membuka pintu 3.

Monty dari neraka dan Monty sang malaikat memutuskan apakah akan menawarkan pergantian. Monty Hall mengatakan kepada wartawan pada 1991 bahwa dalam acara asli ia tidak wajib menawarkan pergantian. Tawaran hanya saat Anda memilih mobil menjadikan pergantian pasti kalah; tawaran hanya saat Anda memilih kambing menjadikannya pasti menang. Tawaran itu sendiri adalah bukti.

Satu pintu dibuka dari banyak pintu

Penggeser «Pintu lain tetap tertutup» mengatur berapa pintu selain milik Anda yang tetap tertutup. Dengan 5 pintu dan hanya satu pintu kambing dibuka, tiga lainnya tertutup. Tetap menang dengan peluang 1/5. Berganti acak ke satu dari tiga menang dengan (5 − 1) / (5 × 3) = 4/15, sekitar 26.7%. Secara umum, dengan n pintu dan k dibuka, berganti menang dengan (n − 1) / (n (n − 1 − k)), selalu lebih dari 1/n. Saat k = n − 2, hasilnya (n − 1)/n yang dikenal: 2/3 untuk tiga pintu dan 99/100 untuk seratus.

Dua pemain

Panggung «Dua pemain» mencatat skor masing-masing dari dua orang yang bergiliran pada pintu sama. Jika satu selalu tetap dan lainnya selalu berganti, setelah 30 permainan per orang skor harapannya 10 dan 20 mobil. Pertandingan singkat bisa berakhir sebaliknya; selisih 10 mobil memiliki sebaran sekitar 3.7 mobil ke masing-masing arah.

Kotak, tahanan, dan anak

Tiga kotak Bertrand berisi dua koin emas, dua perak, dan satu dari tiap jenis. Ambil koin secara acak dan lihat emas: ketiga koin emas sama mungkin terambil, dan dua berada dalam kotak dua emas. Jadi koin lainnya emas dengan peluang 2/3, bukan 1/2. Tiga tahanan adalah masalah pintu dengan pakaian lain. Penjaga yang menyebut B untuk dieksekusi berperan sebagai pembawa acara; A tetap 1/3 dan C naik menjadi 2/3.

Kedua teka-teki anak menunjukkan pentingnya susunan kata. Keluarga dengan dua anak, setidaknya satu laki-laki, memiliki dua laki-laki dengan peluang 1/3: dari empat keluarga yang sama mungkin (laki-laki laki-laki, laki-laki perempuan, perempuan laki-laki, perempuan perempuan), yang terakhir dikeluarkan dan satu dari tiga sisanya memiliki dua laki-laki. Jika yang disebut laki-laki adalah anak lebih tua, peluangnya 1/2. Jika seorang putra lahir Selasa, peluangnya 13/27: dari 196 pasangan jenis kelamin dan hari yang sama mungkin, 27 memuat putra lahir Selasa dan 13 di antaranya memiliki dua laki-laki.

Ulang tahun

Dengan 23 orang di meja, peluang dua orang berulang tahun sama adalah 50.7%; dengan 22 menjadi 47.6%, dengan 57 menjadi 99.0%. Yang penting jumlah pasangan: 23 orang membentuk 253 pasangan, masing-masing dengan peluang 1 dari 365 untuk cocok. Penggeser «Orang» bergerak dari 2 sampai 70; yang cocok menyala keemasan setelah permainan.

Tes positif

Meja tes menampilkan 1,000 orang. Dengan 1 orang sakit per 1,000 dan 5% positif palsu pada yang sehat, sekitar 50 orang sehat ikut positif bersama 1 orang sakit. Jadi hasil positif berarti sakit dengan peluang 1 dari 51, sekitar 2.0%. Dalam survei 2014, 14 dari 61 dokter dan mahasiswa menjawab demikian. Positif kedua yang independen menaikkan peluang menjadi sekitar 28.6%, masih di bawah setengah. Kedua penggeser mengubah proporsi orang sakit dan tingkat positif palsu.

Koin tanpa ingatan

Setelah 5 gambar berturut-turut, lemparan selanjutnya tetap berpeluang 1/2 menghasilkan gambar. Di panggung hanya 1 dari 32 percobaan dimulai dengan lima gambar, sehingga teka-teki ini berjalan sejuta kali. Uji rentetan lebih halus. Lempar 4 koin dan catat proporsi gambar pada lemparan sesudah gambar. Dirata-ratakan atas semua 16 urutan, dengan gambar cukup awal untuk dapat dihitung, proporsinya 17/42, sekitar 40.5%, bukan 50%. Miller dan Sanjurjo menunjukkan pada 2018 bahwa uji «tangan panas» basket tahun 1985 memakai rata-rata semacam ini, sehingga efek rentetan nyata bisa terlihat tidak ada.

Dua amplop

Di panggung amplop, jumlah kecil adalah 10, 20, dan seterusnya sampai 100; amplop lain berisi dua kalinya. Berganti memberi lebih banyak pada setengah permainan, dengan perubahan jumlah rata-rata 0. Argumen bahwa amplop lain rata-rata bernilai 1.25 kali milik Anda menganggap jumlah yang Anda pegang tetap pada kedua kasus, padahal tidak bisa begitu.

Pohon peluang

Sakelar «Pohon peluang» menampilkan pohon di panggung; panel «Kontrol» selalu menampilkannya. Setiap cabang dari titik adalah tempat mobil (atau koin, atau penyakit) mungkin berada, dengan ketebalan sesuai peluang. Cabang terbagi menjadi bukti yang terlihat dan tidak terlihat. Memotong yang tidak terjadi lalu menyesuaikan sisanya agar berjumlah 1 adalah aturan Bayes. Kuliah matematika untuk ilmu komputer MIT mengajarkan pintu dengan pohon empat langkah ini. Saat Andrew Vazsonyi memperlihatkan masalah itu kepada Paul Erdős pada 1995, sang matematikawan baru menerima jawabannya setelah 100,000 permainan komputer, tetapi masih meminta alasan; pohon itulah alasannya.