Lo que verías al caer en un agujero negro

¿Qué verías de verdad al acercarte?

En las películas un agujero negro es una bola negra con un anillo brillante, y esa imagen no va muy desencaminada. Pero ¿qué verías si viajaras en una nave hacia uno y miraras por la ventanilla? Las estrellas no se quedarían donde están en un mapa del cielo. La luz que pasa cerca del agujero se curva con tanta fuerza que todo el cielo parece deslizarse a su alrededor, una galaxia escondida justo detrás se convierte en un círculo y el gas que gira a su alrededor brilla por un lado y se apaga por el otro.

Esta exposición dibuja esa vista mientras te mueves. Un shader en tu tarjeta gráfica sigue un rayo de luz hacia atrás desde cada píxel a través del espacio curvo que rodea a un agujero negro sin rotación, y luego pinta aquello en lo que termina el rayo. El deslizador fija tu distancia en unidades del radio del horizonte rs, el menú de masa fija cuántos kilómetros mide un rs, y el panel de datos calcula el ritmo de los relojes y las fuerzas de marea en el punto donde te mantienes. Lo que ves en el escenario es una imagen calculada, nunca una fotografía.

Cómo curva un ordenador la luz de las estrellas

Cerca de un agujero negro un rayo de luz no viaja en línea recta, y ningún truco de cámara puede imitar el resultado. La única forma honrada de dibujarlo es seguir cada rayo. El espacio alrededor de una masa sin rotación y sin carga lo describe la solución de Schwarzschild de las ecuaciones de Einstein. En esa geometría un rayo de luz se queda siempre en un plano que pasa por el centro, y su trayectoria cumple una ecuación corta en la que u = 1/r:

u'' + u = (3/2) rs u²

Sin el lado derecho, es la ecuación de una recta. El término de más es la curvatura. Riccardo Antonelli señaló en su trazador de rayos abierto Starless que exactamente la misma trayectoria la recorre una partícula imaginaria en el espacio plano ordinario empujada hacia el centro por una fuerza proporcional a 1/r⁵. No es un atajo de campo débil: la forma de la órbita es la misma que en la relatividad general y solo es falso el reloj con el que se avanza por ella. El shader mueve una partícula así unos cientos de pasos pequeños por píxel. Si cae dentro de rs, el píxel es negro. Si cruza el plano ecuatorial entre 3 y 12 rs, ha chocado con el disco. Si se aleja mucho, el shader añade la pequeña curvatura que aún falta entre ese punto y el infinito (para una trayectoria casi recta esa curvatura restante es tan(ψ/2) rs / r, donde ψ es el ángulo entre el rayo y la línea radial) y lee el color del cielo en esa dirección.

De cerca importa una corrección más. Una nave que se mantiene en el radio r mide los ángulos en su propio sistema de referencia, y lo que para ella es «hacia fuera» y «de lado» no coincide con las coordenadas en las que se calcula la trayectoria. La conversión es tan α_coordinates = tan α_measured / √(1 − rs/r). Si se omite, la vista cerca del agujero sale demasiado pequeña.

El radio del horizonte, comprobado a mano

La medida que fija todo aquí es el radio de Schwarzschild:

rs = 2GM / c²

Para el Sol, la ficha de datos de la NASA da GM = 1.32712 × 10²⁰ m³/s², y la velocidad de la luz es exactamente 299 792 458 m/s. Así que rs = 2 × 1.32712 × 10²⁰ / (2.99792458 × 10⁸)² = 2953 m. Si el Sol se comprimiera en una bola de 5,9 km de diámetro, sería un agujero negro. La Tierra tendría que caber en un radio de 8,87 mm.

Los dos agujeros negros fotografiados hasta ahora son mucho mayores. ESO, al informar de los resultados del Telescopio del Horizonte de Sucesos, da unos cuatro millones de masas solares para Sagitario A*, en el centro de nuestra galaxia, lo que hace rs de unos 11,8 millones de km. Para M87*, en la galaxia Messier 87, da 6500 millones de masas solares, así que rs es de 19 200 millones de km y el horizonte mide 38 400 millones de km de diámetro. ESO lo expresa como «algo menos de 40 000 millones de km», y coincide.

Aquí viene la sorpresa útil. Si mides la distancia en unidades de rs, la imagen no depende para nada de la masa. A 10 rs de un agujero negro de una masa solar y a 10 rs de M87* el cielo se ve exactamente igual. Por eso el menú de masa cambia los kilómetros y las fuerzas del panel de datos, pero deja la imagen tal cual.

Por qué la sombra es más ancha que el agujero

A 1,5 rs la luz puede dar vueltas en círculo alrededor del agujero. Es la esfera de fotones. Un rayo que llega con un parámetro de impacto (la distancia lateral a la que pasaría del centro) menor que (3√3/2) rs ≈ 2.598 rs entra en espiral y no vuelve nunca. Visto desde lejos, el disco negro es por tanto unas 2,6 veces más ancho que el propio horizonte. Coincide con lo que dice ESO: el horizonte de sucesos de M87* es «2,5 veces más pequeño que la sombra que proyecta».

Para un observador que se mantiene en el radio r, el semiángulo exacto de la sombra, medido desde la dirección del centro, sale de la misma ecuación de la órbita:

sin α = (3√3/2) (rs / r) √(1 − rs/r)

A 40 rs la sombra mide 7,35°. A 8 rs mide 35,4°, a 3 rs llega exactamente a 90° y a 1,5 rs cubre la mitad de todo el cielo. Más cerca, la parte negra ocupa más de un hemisferio. El círculo naranja discontinuo que aparece con «Nombres de piezas» es esta fórmula; el borde de la mancha negra de la imagen sale del trazador de rayos, y los dos quedan uno encima del otro.

Una galaxia detrás del agujero se convierte en un anillo

Activa «Galaxia detrás» y se coloca una pequeña galaxia brillante justo detrás del agujero negro, en el lado opuesto a ti. Su luz puede pasar junto al agujero por la izquierda, la derecha, por arriba o por abajo, y cada uno de esos caminos se curva lo mismo hacia ti. Ves un círculo completo, el anillo de Einstein.

El tamaño de ese anillo no se puede consultar en una fórmula para un observador cercano, así que la página lo busca por el camino largo. En segundo plano resuelve la misma ecuación del rayo en doble precisión y busca el ángulo de salida con el que un rayo acaba apuntando justo en la dirección contraria a ti. Desde 20 rs encuentra un anillo de 40,4°; desde 40 rs, de 27,7°. Lejos, el anillo se acerca a la conocida estimación de campo débil θ ≈ √(2 rs / D): a 200 rs el cálculo completo da 11,88° y la estimación, 11,46°. Si miras justo por fuera de la sombra verás también una segunda copia del anillo, mucho más fina. Es luz que dio una vuelta entera más alrededor del agujero antes de llegar a ti.

Por qué un lado del disco brilla más

El gas no cae en línea recta. Orbita y baja poco a poco en espiral dentro de un disco plano. En la exposición el disco va de 3 rs, la órbita circular estable más interna, hasta 12 rs. Su brillo baja con el radio como en el modelo estándar de disco delgado, con un flujo proporcional a r⁻³ (1 − √(3 rs / r)).

En el borde interior el gas se mueve a la mitad de la velocidad de la luz, medida por alguien que se mantiene a su lado. La luz del gas que viene hacia ti se desplaza a frecuencias más altas y se concentra en un haz hacia delante; la del gas que se aleja se desplaza a frecuencias más bajas y se dispersa. El disco además está hundido en el pozo gravitatorio, que le quita energía a toda su luz. El shader combina ambas cosas en un único cociente de frecuencias:

g = √(1 − 3rs/2r) / ( √(1 − rs/r_obs) × (1 − Ω b) )

Aquí Ω es la velocidad angular orbital del gas y b el momento angular del rayo por unidad de energía. El brillo va como g⁴. Para la luz que sale del borde interior justo en la dirección del movimiento del gas, g vale 1,41 en el lado que se acerca y 0,47 en el que se aleja, así que la razón de brillos es 3⁴ = 81. La visualización de la NASA de 2019 hecha por Jeremy Schnittman muestra el mismo disco desequilibrado y lo llama amplificación Doppler relativista.

También ves la parte de atrás del disco. La banda brillante que forma un arco sobre la sombra es la parte del disco que está detrás del agujero. Su luz sale del disco hacia arriba y se curva por encima hacia ti. Una banda más tenue bajo la sombra es la cara inferior del mismo disco.

Cuánto se atrasa un reloj suspendido

Un reloj en reposo en el radio r va más lento que un reloj lejano por el factor

√(1 − rs / r)

A 40 rs vale 0,987, así que una hora aquí son 1,013 horas lejos, algo que apenas se nota. A 3 rs el factor es 0,816. A 1,6 rs es 0,612, así que una hora aquí son 1,63 horas lejos. Cuando r se acerca a rs el factor tiende a cero y un observador suspendido necesitaría un empuje de cohete cada vez mayor para no moverse. Por eso el deslizador se detiene en 1,05 rs.

Los agujeros negros pequeños te estiran, los grandes te dejan pasar

Si caes con los pies por delante, la gravedad tira más de tus pies que de tu cabeza. La diferencia a lo largo de un cuerpo de longitud L es

Δa = 2GM L / r³

y para un cuerpo que cae en línea recta la misma expresión vale en relatividad general. Para un cuerpo de 2 m cerca de un agujero negro de una masa solar la diferencia llega a 1 g a unos 3800 km. A 6 rs, a solo 17,7 km del centro, es de 9,7 millones de g. Las páginas de Andrew Hamilton en JILA llaman a lo que pasa después «espaguetización»: te estiran a lo largo y te aplastan por los lados.

Con un agujero negro supermasivo ocurre lo contrario. Como rs crece con la masa mientras el tirón de marea en el horizonte baja como 1/M², en el horizonte de Sagitario A* la diferencia es solo de unos 1,3 × 10⁻⁴ g, y en M87* de unos 5 × 10⁻¹¹ g. Cruzarías el horizonte sin notar nada en absoluto.

Quien se sostiene y quien cae ven cielos distintos

El panel de datos supone normalmente que te mantienes en tu sitio con cohetes. Activa «Observador en caída» y la vista se vuelve a dibujar para alguien que se dejó caer desde el reposo muy lejos y que pasa por cada radio a √(rs / r) veces la velocidad de la luz. A esa velocidad ves la escena de delante apiñada y la de detrás extendida, un efecto de la relatividad especial llamado aberración. A 1,15 rs un observador suspendido ve una sombra de 250°, mientras que uno en caída ve solo unos 80°.

Hamilton señala aquí una idea equivocada muy extendida. La historia de que el universo exterior se encoge hasta un punto brillante sobre tu cabeza solo es cierta para un observador que se mantiene suspendido cada vez más cerca. Un observador en caída sigue viendo el cielo extendido sobre gran parte de la vista en el horizonte y, en sus palabras, «no verías ninguna señal de haber cruzado el horizonte».

Veinte agujeros negros, uno al lado del otro

La tabla bajo el escenario reúne 20 agujeros negros con la masa y la distancia que publicaron quienes los descubrieron. El más ligero es un agujero negro de 4,46 masas solares en el cúmulo estelar Omega Centauri, encontrado por el bamboleo de una estrella compañera. El más pesado es el gigante de 40 000 millones de masas solares del centro de Holm 15A, en el cúmulo de galaxias Abell 85, a 700 millones de años luz. Entre ambos están los agujeros negros dormidos que encontró la misión Gaia de la ESA, Cygnus X-1, cuatro agujeros negros nacidos de fusiones que LIGO captó como ondas gravitacionales y los centros de galaxias cercanas y lejanas.

Dos columnas se calculan en la página. El radio del horizonte usa rs = 2GM/c² con la masa de la tabla, así que va de 13,2 km a 118 000 millones de km. El tamaño de la sombra vista desde la Tierra usa el diámetro de la sombra a gran distancia, 2 × 2.598 rs, dividido entre la distancia. Para M87* da 39,5 microsegundos de arco y para Sagitario A*, 49,6. Son con mucho las dos sombras más grandes de la lista en nuestro cielo, y son los dos agujeros negros de las imágenes del Telescopio del Horizonte de Sucesos que ESO publicó en 2019 y 2022. Les sigue la sombra del agujero negro de la galaxia de Andrómeda, con 18,7. Para objetos a miles de millones de años luz la división simple no sirve, porque la expansión del universo cambia la relación entre tamaño y distancia, así que esas filas muestran un guion.

Por qué la vista se ensancha de cerca

A 3 rs la sombra mide 90°, más que los 60° que mostraría una cámara normal, y toda la pantalla sería negra. Por eso, a medida que crece la sombra, la página pasa a una vista más amplia dibujada como con un objetivo ojo de pez, en la que el ángulo desde el centro de la pantalla crece de forma pareja con la distancia en la pantalla. La cámara no se mueve. El deslizador «Mirar fuera del centro» gira tu mirada hasta 180° lejos del agujero, la única forma de ver el cielo que queda cuando estás suspendido dentro de la esfera de fotones. Los botones de la parte inferior del escenario te llevan directamente a 40, 12, 6, 3, 1,6 o 1,1 rs.

Lo que muestran las fotografías reales

El Telescopio del Horizonte de Sucesos une antenas de radio de todo el mundo en un único instrumento del tamaño de la Tierra. ESO informó el 10 de abril de 2019 de que había obtenido la imagen de M87*, a 55 millones de años luz, a partir de observaciones a 1,3 mm de longitud de onda hechas en una campaña de 2017 con ocho telescopios. La imagen muestra un anillo brillante alrededor de una región central oscura, la sombra. El 12 de mayo de 2022 la misma colaboración publicó una imagen de Sagitario A*, a unos 27 000 años luz, que según ESO aparece en el cielo más o menos tan grande como un dónut sobre la Luna. El gas tarda de días a semanas en dar una vuelta a M87*, pero minutos en el caso de Sgr A*, y eso hizo más difícil la segunda imagen.

El Premio Nobel de Física de 2020 fue para Roger Penrose por demostrar que la formación de agujeros negros es una predicción sólida de la relatividad general, y para Reinhard Genzel y Andrea Ghez por descubrir un objeto compacto supermasivo en el centro de nuestra galaxia.

Sagitario A* a escala humana

Pongamos los números anteriores en el sistema solar. Con rs = 11.8 millones de km, el horizonte de Sagitario A* mide 23,6 millones de km de diámetro, unas 17 veces el diámetro del Sol, que es de 1,39 millones de km. La esfera de fotones, a 1,5 rs, está a 17,7 millones de km del centro, es decir, a 0,12 unidades astronómicas. La sombra vista desde lejos mide 2 × 2.598 × 11.8 millones de km, unos 61 millones de km, o 0,41 unidades astronómicas. Es algo más que el radio de la órbita de Mercurio, de 0,39 unidades astronómicas, y desde 27 000 años luz se reduce a los 49,6 microsegundos de arco de la tabla.

La luz también tarda en cruzar ese espacio. Un rayo de luz tarda 11.8 millones de km / 299 792 km/s = 39 s en recorrer un radio del horizonte. La misma cuenta para una masa solar da 2953 m divididos por la velocidad de la luz: 9,9 microsegundos. Las distancias en rs son, pues, también tiempos en segundos luz, y por eso el cielo de la exposición se ve igual para cualquier masa, mientras que el reloj del panel de datos no.

A qué velocidad gira el borde interior del disco

La órbita estable más interna, 3 rs, es 6 GM/c². La tercera ley de Kepler, T = 2π √(r³ / GM), da entonces, para un reloj lejano, T ≈ 92 GM/c³. La magnitud GM/c³ vale 4,925 microsegundos para el Sol y crece con la masa. El resultado es un periodo de unos 0,45 milisegundos para una masa solar, de modo que el gas da más de 2000 vueltas por segundo. Para Sagitario A*, con cuatro millones de masas solares, son unos 1800 s, es decir, 30 minutos. Para M87*, con 6500 millones de masas solares, son unos 2,96 millones de s, es decir, 34 días.

Por eso los dos objetivos del Telescopio del Horizonte de Sucesos son tan distintos. ESO señala que el gas tarda de días a semanas en dar una vuelta a M87*, pero solo minutos en Sagitario A*. La fórmula simple ignora el giro y las correcciones de la relatividad general al periodo visto desde lejos, así que tómense los resultados como estimaciones de orden de magnitud, no como mediciones.

Dos agujeros negros que chocan: GW150914

Todo lo anterior trata de un solo agujero negro tranquilo. La primera detección directa de agujeros negros fue una colisión. Los dos detectores de LIGO, en Livingston (Luisiana) y Hanford (Washington), registraron ondas gravitacionales el 14 de septiembre de 2015 a las 09:51 UTC. La señal vino de dos agujeros negros de unas 36 y 29 masas solares, a 1300 millones de años luz, que se acercaban en espiral y se fusionaron. LIGO afirma que unas 3 masas solares se convirtieron en ondas gravitacionales en una fracción de segundo, con una potencia máxima unas 50 veces la de todo el universo visible.

Aplique la fórmula del horizonte a este suceso. Los dos horizontes eran rs = 106 km y 85.6 km, y el agujero resultante tiene 62 masas solares, así que rs = 183 km, la cifra de la tabla. Fíjese en que 183 km es menos que la suma de ambos, 191,6 km. Las 3 masas solares que faltan, 8,9 km de radio de horizonte, salieron como ondas del espacio y no como luz.

Ideas erróneas frecuentes

«Un agujero negro lo aspira todo como una aspiradora.» La NASA dice que los agujeros negros no aspiran la materia de alrededor: desde bastante lejos, su gravedad es la de cualquier objeto de la misma masa, y si se sustituyera el Sol por un agujero negro de la misma masa, los planetas seguirían en sus órbitas (y se enfriarían). La órbita de la Tierra, a 150 millones de km del Sol, está a unos 50 millones de rs de un agujero negro de una masa solar. A esa distancia, la vista a 40 rs de esta exposición ya es muy cercana.

«La zona negra es el agujero negro.» La mancha oscura de la exposición es la sombra, 2,6 veces más ancha que el horizonte visto desde lejos. El horizonte es una superficie, no un objeto, y está dentro de la sombra.

«Nada puede salir, así que la luz no puede acercarse.» La luz puede orbitar a 1,5 rs y mucha escapa del disco. El disco es lo más brillante de la imagen. Solo dentro del horizonte nada vuelve.

«Caer siempre te destroza en el borde.» Solo en los agujeros negros pequeños. En uno supermasivo la fuerza de marea en el horizonte es diminuta, como muestran las cifras anteriores.

Cosas que probar en el escenario

1. Pulse el botón de 40 rs y baje despacio Distancia (rs) hasta 3 rs. La sombra crece hasta medir 90° a 3 rs.
2. Active Cuadrícula del cielo y desactive Disco de acreción. Cuente las líneas de la cuadrícula que rodean el agujero a 15 rs.
3. Active Galaxia detrás a 20 rs y lea el diámetro del anillo, 40,4°. A 40 rs baja a 27,7°.
4. Ponga Masa en un Sol y vaya a 6 rs. Lea la cifra de marea, unos 9,7 millones de g. Luego póngala en M87* y lea la misma línea.
5. Active Observador en caída a 1,15 rs y compare la sombra con el valor de 250° del observador que se mantiene quieto.
6. Suba Mirar fuera del centro hasta 180° a 1,6 rs para ver qué queda del cielo.

En qué es este modelo más simple que la naturaleza

• El agujero negro no gira. Se espera que los agujeros negros reales giren, lo que achata un poco la sombra y desplaza el borde interior del disco.
• El disco es una lámina delgada y opaca. Se cree que el gas cerca de Sgr A* y M87* forma un flujo grueso, caliente y casi transparente, y por eso las imágenes del EHT parecen anillos borrosos y no este disco.
• Los colores del disco son una escala de visualización del rojo oscuro al blanco azulado. Un disco real alrededor de un agujero negro estelar brilla sobre todo en rayos X. Para que se lea bien, el brillo del disco omite el corrimiento al azul general que un observador suspendido vería en toda la luz entrante y que cerca del horizonte lo volvería todo blanco.
• Las estrellas son generadas, no un catálogo real, y el cielo no cambia con el tiempo.
• Las trayectorias de los rayos se integran en unos cientos de pasos, menos en los teléfonos, así que detalles finos como el segundo anillo de Einstein pueden verse granulados.