ブラックホールに落ちていくと見えるもの

近づいていくと、実際には何が見えるのか

映画のブラックホールは、光る輪をまとった黒い球として描かれます。その姿は実はそれほど外れていません。では、宇宙船でブラックホールに向かい、窓の外を見たら何が見えるでしょうか。星は星図の上の位置にとどまってはいません。穴のそばを通る光はとても強く曲げられるので、空全体がそのまわりを滑っていくように見え、真後ろに隠れた銀河は輪になり、まわりを回るガスは片側が明るく、反対側が暗く見えます。

この展示は、あなたが動くのに合わせてその眺めを描きます。グラフィックスカードの上で動くシェーダーが、画素ごとに光線を逆向きにたどり、自転しないブラックホールのまわりの曲がった空間を通して、光線が行き着いた先の色を塗ります。スライダーは地平面の半径 rs を単位にしてあなたの距離を決め、質量メニューは 1 rs が何キロメートルかを決め、表示パネルはあなたが静止している場所での時計の進み方と潮汐力を計算します。ステージに映るのは計算した画像で、写真ではありません。

コンピューターが星の光を曲げるしくみ

ブラックホールの近くでは光線はまっすぐ進まず、カメラの小細工でその結果をまねることはできません。正直に描く方法はひとつだけで、光線を一本ずつたどることです。自転せず電荷も持たない質量のまわりの空間は、アインシュタイン方程式のシュワルツシルト解で表されます。この幾何では、光線はいつも中心を通る一枚の平面の中にとどまり、その道筋は u = 1/r とした短い方程式にしたがいます。

u'' + u = (3/2) rs u²

右辺がなければ直線の方程式です。余分な項が曲がりです。Riccardo Antonelli は自作の公開レイトレーサー Starless で、ふつうの平らな空間で 1/r⁵ に比例する力で中心へ引かれる仮想の粒子が、まったく同じ道筋をたどることを指摘しました。これは弱い重力場の近似ではありません。軌道の形は一般相対性理論と同じで、軌道に沿って一歩ずつ進むための時計だけが仮のものです。シェーダーはこうした粒子を画素ごとに数百の小さな歩幅で進めます。rs の内側に落ちればその画素は黒です。3 から 12 rs のあいだで赤道面を横切れば、円盤に当たったことになります。遠くへ離れれば、そこから無限遠までに残っている小さな曲がり(ほぼまっすぐな道筋では、残りの曲がりは tan(ψ/2) rs / r で、ψ は光線と動径方向のなす角)を足してから、その方向の空の色を読みます。

近づくと、もうひとつ補正が効いてきます。半径 r に静止した宇宙船は自分の座標系で角度を測るので、その船にとっての「まっすぐ外」と「横」は、道筋を計算する座標とは一致しません。換算式は tan α_coordinates = tan α_measured / √(1 − rs/r) です。これを省くと、穴の近くの眺めはずっと小さく描かれてしまいます。

地平面の半径を手で確かめる

ここですべての大きさを決めるのは、シュワルツシルト半径です。

rs = 2GM / c²

太陽については NASA の資料に GM = 1.32712 × 10²⁰ m³/s² とあり、光の速さは定義により正確に 299,792,458 m/s です。したがって rs = 2 × 1.32712 × 10²⁰ / (2.99792458 × 10⁸)² = 2,953 m です。太陽を直径 5.9 km の球に押し縮めれば、ブラックホールになります。地球なら半径 8.87 mm に収める必要があります。

これまでに撮影された二つのブラックホールは、はるかに大きなものです。ヨーロッパ南天天文台(ESO)はイベント・ホライズン・テレスコープの成果を伝える中で、天の川銀河の中心にあるいて座 A* の質量を太陽の約 400万倍としており、rs は約 1180万 km になります。銀河メシエ 87 の M87* については太陽の 65億倍で、rs は 192億 km、地平面の直径は 384億 km です。ESO 自身は「400億 km をわずかに下回る」と書いており、計算と合います。

ここで役に立つ驚きがあります。距離を rs 単位で測れば、見える絵は質量にまったく左右されません。太陽 1 個分の質量のブラックホールから 10 rs の場所と、M87* から 10 rs の場所では、空はまったく同じに見えます。質量メニューが表示パネルのキロメートルや力の値を変えても、画像を変えないのはそのためです。

影が穴より大きいわけ

1.5 rs では、光は穴のまわりを円を描いて回ることができます。これが光子球です。衝突径数(中心から横にずれている距離)が (3√3/2) rs ≈ 2.598 rs より小さい光線は、らせんを描いて落ち込み、二度と戻りません。そのため遠くから見ると、黒い円は地平面そのものより約 2.6 倍大きく見えます。M87* の事象の地平面は「投げかける影より 2.5 倍小さい」という ESO の説明とも合います。

半径 r に静止した観測者にとって、中心の方向から測った影の正確な半角は、同じ軌道方程式から次のように求まります。

sin α = (3√3/2) (rs / r) √(1 − rs/r)

40 rs では影の差し渡しは 7.35° です。8 rs では 35.4°、3 rs でちょうど 90° になり、1.5 rs では空全体の半分を覆います。それより内側では、黒い部分は半球より大きくなります。「部品名」をオンにすると出るオレンジの破線の円がこの式で、画像の黒い部分の縁はレイトレーサーから出てきたものですが、二つはぴったり重なります。

穴の後ろの銀河は輪になる

「後ろの銀河」をオンにすると、小さな明るい銀河がブラックホールの真後ろ、あなたから見て向こう側に置かれます。その光は穴の左、右、上、下のどこを回ることもでき、どの道筋もあなたの方へ同じだけ曲げられます。見えるのは完全な円、アインシュタインリングです。

近くにいる観測者にとって、この輪の大きさは調べればわかる公式にはなっていないので、ページは手間のかかる方法で探します。裏で同じ光線の方程式を倍精度で解き、光線が最後にあなたとちょうど反対の方向を向くような出発角を探すのです。20 rs からは直径 40.4° の輪が、40 rs からは 27.7° の輪が見つかります。遠ざかるにつれて、輪はおなじみの弱い場の見積もり θ ≈ √(2 rs / D) に近づきます。200 rs では完全な計算が 11.88°、見積もりが 11.46° です。影のすぐ外側をよく見ると、ずっと細い二つ目の輪も見えます。これは穴のまわりをさらにもう一周してからあなたに届いた光です。

円盤の片側が明るいわけ

ガスはまっすぐには落ちません。回りながら、平たい円盤の中をゆっくりとらせんを描いて下りていきます。展示の円盤は、最内安定円軌道である 3 rs から 12 rs まで広がっています。明るさは標準的な薄い円盤モデルのとおり半径とともに下がり、放射の強さは r⁻³ (1 − √(3 rs / r)) に比例します。

内縁では、ガスはそばに静止している人が測って光の速さの半分で動いています。こちらへ向かってくるガスの光は高い周波数へずれ、前方の細い束に集まります。遠ざかるガスの光は低い方へずれ、広がります。円盤は重力の井戸の深いところにもあるので、光全体からエネルギーが奪われます。シェーダーはこの二つを一つの周波数比にまとめます。

g = √(1 − 3rs/2r) / ( √(1 − rs/r_obs) × (1 − Ω b) )

ここで Ω はガスの公転の角速度、b は光線のエネルギーあたりの角運動量です。明るさは g⁴ に比例します。内縁からガスの動きの向きにまっすぐ出る光では、近づく側の g が 1.41、遠ざかる側が 0.47 なので、明るさの比は 3⁴ = 81 です。NASA が 2019 年に公開した Jeremy Schnittman による可視化も同じように片寄った円盤を描き、これを相対論的ドップラービーミングと呼んでいます。

円盤の裏側も見えます。影の上にアーチのようにかかる明るい帯は、穴の向こう側にある円盤の部分です。その光は円盤から上向きに出て、穴の上を回りこんであなたの方へ曲げられます。影の下のかすかな帯は、同じ円盤の下面です。

静止した時計はどれだけ遅れるか

半径 r に静止させた時計は、遠くの時計にくらべて次の割合で遅く進みます。

√(1 − rs / r)

40 rs ではこれが 0.987 なので、ここでの 1 時間は遠くでの 1.013 時間で、ほとんど気づかない差です。3 rs では 0.816 です。1.6 rs では 0.612 で、ここでの 1 時間は遠くでの 1.63 時間になります。r が rs に近づくと割合はゼロに向かい、静止した観測者がその場にとどまるには、限りなく大きなロケットの推力が必要になります。スライダーが 1.05 rs で止まるのはそのためです。

小さなブラックホールは引き延ばし、大きなものは通してくれる

足から先に落ちると、重力は頭より足を強く引きます。長さ L の体の両端での差は

Δa = 2GM L / r³

で、まっすぐ落ちていく体については、一般相対性理論でも同じ式が成り立ちます。太陽 1 個分の質量のブラックホールの近くにいる 2 m の体では、この差が約 3,800 km で 1 g に達します。中心からわずか 17.7 km の 6 rs では 970万 g です。JILA の Andrew Hamilton のページは、そのあと起きることを「スパゲッティ化」と呼んでいます。縦に引き裂かれ、横から押しつぶされるのです。

超大質量ブラックホールでは逆になります。rs は質量に比例して大きくなる一方、地平面での潮汐の引っぱりは 1/M² で小さくなるので、いて座 A* の地平面での差は約 1.3 × 10⁻⁴ g、M87* では約 5 × 10⁻¹¹ g にすぎません。何も感じないまま地平面を越えることになります。

静止する人と落ちる人では空が違って見える

表示パネルはふつう、あなたがロケットで静止していると仮定しています。「落下する観測者」をオンにすると、遠くで静止した状態から落ちはじめ、各半径を光の速さの √(rs / r) 倍で通り過ぎる人の眺めに描き直されます。それほど速く動くと、前方の景色は詰まり、後方の景色は広がって見えます。これは光行差と呼ばれる特殊相対論の効果です。1.15 rs では、静止した観測者には差し渡し 250° の影が見えますが、落下する観測者には約 80° しか見えません。

Hamilton はここで、よくある誤解を指摘しています。外の宇宙が頭上の一つの明るい点に縮むという話は、どんどん近くに静止していく観測者にしか当てはまりません。落下する観測者は地平面でもなお、空が視界の大きな部分に広がって見え、彼の言葉では「地平面を越えたしるしは何も見えない」のです。

20 個のブラックホールを並べる

ステージの下の表には、発見者が発表した質量と距離とともに 20 個のブラックホールが並んでいます。いちばん軽いのは、球状星団オメガ星団の中にある太陽の 4.46 倍のブラックホールで、伴星のふらつきから見つかりました。いちばん重いのは、銀河団 Abell 85 の中心銀河 Holm 15A にある太陽の 400億倍の巨体で、7億光年の彼方にあります。そのあいだに、ESA のガイア計画が見つけた眠れるブラックホール、はくちょう座 X-1、LIGO が重力波として「聞いた」合体でできた 4 つのブラックホール、近くと遠くの銀河の中心が並びます。

二つの列はこのページで計算しています。地平面の半径は表の質量を rs = 2GM/c² に入れたもので、13.2 km から 1180億 km まで広がります。地球から見た影の大きさは、遠方での影の直径 2 × 2.598 rs を距離で割ったものです。M87* では 39.5 マイクロ秒角、いて座 A* では 49.6 になります。この二つは表の中で地球の空に見える影として群を抜いて大きく、ESO が 2019 年と 2022 年に公開したイベント・ホライズン・テレスコープの画像に写った二つのブラックホールそのものです。次に大きいのはアンドロメダ銀河のブラックホールの影で、18.7 です。数十億光年も離れた天体では、宇宙の膨張が大きさと距離の関係を変えてしまうので、この単純な割り算は使えません。そのためそれらの行には横線が入っています。

近づくと視野が広がるわけ

3 rs では影の差し渡しは 90° で、ふつうのカメラの視野 60° より広く、画面全体が真っ黒になってしまいます。そこで影が大きくなるにつれて、ページは魚眼レンズのように描いた広い視野に切りかえます。画面の中心からの角度が、画面上の距離に比例して均等に増える描き方です。カメラの位置は変わりません。「中心から目をそらす」スライダーは、視線を穴から最大 180° まで向け直します。光子球の内側に静止しているとき、残った空を見るにはこれしかありません。ステージ下部のボタンを押すと、40、12、6、3、1.6、1.1 rs のいずれかへすぐに飛べます。

実際の写真が見せるもの

イベント・ホライズン・テレスコープは、世界中の電波アンテナを結んで地球サイズの一台の装置にしたものです。ESO は 2019年4月10日、5500万光年離れた M87* の撮影に成功したと発表しました。2017 年に 8 台の望遠鏡で波長 1.3 mm で行った観測にもとづくものです。画像には、暗い中心部分、つまり影を囲む明るい輪が写っています。2022年5月12日には同じ共同研究チームが、約 27,000 光年離れたいて座 A* の画像を公開しました。ESO によれば、空の上での大きさは月面に置いたドーナツほどです。ガスが M87* を一周するには数日から数週間かかりますが、Sgr A* ではほんの数分で、それが二枚目の撮影を難しくしました。

2020 年のノーベル物理学賞は、ブラックホールの形成が一般相対性理論の確かな予言であることを示したロジャー・ペンローズと、天の川銀河の中心に超大質量のコンパクトな天体を発見したラインハルト・ゲンツェル、アンドレア・ゲズに贈られました。

いて座A*を太陽系の大きさで考える

上の数字を太陽系に置いてみます。rs = 11.8 百万 km なので、いて座A*の地平線は直径2360万 km で、直径139万 km の太陽の約17倍です。光子球(1.5 rs)は中心から1770万 km、つまり0.12天文単位にあります。遠くから見た影の直径は 2 × 2.598 × 11.8 百万 km で、約6100万 km、つまり0.41天文単位です。水星の軌道半径0.39天文単位より少し大きく、2万7000光年離れた地球からは表の49.6マイクロ秒角になります。

光もこの空間を渡るには時間がかかります。光線が地平線半径1つ分を進むのに 1180万 km / 299,792 km/s = 39秒 かかります。太陽1個分の質量で同じ計算をすると、2,953 m を光速で割った9.9マイクロ秒です。rs 単位の距離は光秒単位の時間でもあります。展示の空が質量によらず同じに見える一方、読み出しの時計の値が質量で変わるのはこのためです。

円盤の内側の縁はどれほど速く回るか

最も内側の安定軌道3 rs は 6 GM/c² です。ケプラーの第3法則 T = 2π √(r³ / GM) に入れると、遠方の時計で T ≈ 92 GM/c³ になります。GM/c³ は太陽で4.925マイクロ秒で、質量に比例します。その結果、太陽1個分の質量では周期が約0.45ミリ秒で、ガスは1秒に2,000周以上します。400万太陽質量のいて座Aでは約1,800秒、つまり30分です。65億太陽質量のM87では約296万秒、つまり34日です。

イベント・ホライズン・テレスコープの2つの対象がこれほど違う理由です。ESOは、M87の周りでガスが1周するのに数日から数週間、いて座Aでは数分だと説明しています。この簡単な式は自転と、遠方から見た周期への一般相対性理論の補正を無視しているので、測定値ではなくおおよその桁として受け取ってください。

ブラックホール2つの衝突: GW150914

ここまでは静かなブラックホール1つの話でした。ブラックホールを初めて直接検出したのは衝突でした。米国ルイジアナ州リビングストンとワシントン州ハンフォードにあるLIGOの2台の検出器が、2015年9月14日09:51 UTCに重力波を記録しました。信号は、太陽質量の約36倍と29倍の2つのブラックホールが13億光年先でらせんを描いて近づき合体したときのものです。LIGOは、約3太陽質量が一瞬のうちに重力波に変わり、ピーク時の出力は見える宇宙全体の約50倍だったと述べています。

この出来事に地平線の式を当てはめます。2つの地平線は rs = 106 km と 85.6 km で、合体後は62太陽質量なので rs = 183 km、表の数字です。183 km は2つの和191.6 km より小さい点に注目してください。足りない3太陽質量、地平線半径にして8.9 km は、光ではなく空間のさざ波として出ていきました。

よくある誤解

「ブラックホールは掃除機のように何でも吸い込む」 NASAは、ブラックホールは周りの物質を吸い込まないと述べています。十分離れれば同じ質量の天体と重力は同じで、太陽を同じ質量のブラックホールに置き換えても惑星は軌道にとどまります(ただし寒くなります)。太陽から1億5000万 km の地球の軌道は、太陽1個分のブラックホールから約5000万 rs の距離です。それに比べれば、この展示の40 rs の眺めはとても近い場所です。

「黒い部分がブラックホールだ」 展示の暗い部分は影で、遠くから見ると地平線の2.6倍の幅があります。地平線は物体ではなく面で、影の内側にあります。

「何も出てこられないから、光は近づけない」 光は1.5 rs で周回でき、円盤から出る光の多くは抜け出します。画像で最も明るいのは円盤です。何も戻ってこないのは地平線の内側だけです。

「落ちると必ず縁で引き裂かれる」 小さなブラックホールだけです。超大質量ブラックホールでは、上の数字のとおり地平線での潮汐力はごくわずかです。

展示で試すこと

1. 40 rs ボタンを押し、距離 (rs) をゆっくり3 rs まで下げます。3 rs で影が幅90°になります。
2. 空の格子 をオン、降着円盤 をオフにします。15 rs でブラックホールを回り込む格子線を数えます。
3. 20 rs で 後ろの銀河 をオンにして、リングの直径40.4°を読みます。40 rs では27.7°に下がります。
4. 質量 を太陽1個にして6 rs へ行きます。潮汐の値は約970万 g です。次にM87*に変えて同じ行を読みます。
5. 1.15 rs で 落下する観測者 をオンにし、静止している観測者の影250°と比べます。
6. 1.6 rs で 中心から目をそらす を180°まで上げ、空に残った部分を見ます。

このモデルが自然より単純なところ

• ブラックホールは自転していません。実際のブラックホールは自転していると考えられ、そのぶん影がわずかにつぶれ、円盤の内縁の位置も変わります。
• 円盤は薄く不透明な板です。Sgr A* と M87* のまわりのガスは、厚く高温でほとんど透明な流れだと考えられていて、EHT の画像がこの円盤のようではなく、ぼやけた輪に見えるのはそのためです。
• 円盤の色は、暗い赤から青みがかった白までの表示用の色合いです。恒星質量ブラックホールのまわりの本物の円盤は、主に X 線で輝きます。見やすさのため、静止した観測者が入ってくるすべての光に見るはずの全体的な青方偏移は円盤の明るさに入れていません。地平面の近くでは、それによってすべてが白くなってしまいます。
• 星は生成したもので、実際の星表ではありません。空は時間とともに変わりません。
• 光線の道筋は数百の歩幅で、スマホではそれより少ない歩幅で積分するので、二つ目のアインシュタインリングのような細い部分はざらついて見えることがあります。