Somador binário: siga os bits da soma e do transporte

Somar 7 e 9 só com chaves

Portas lógicas somam números binários produzindo, em cada coluna, um bit de soma e um bit de transporte. Um somador completo também aceita o transporte vindo da coluna anterior. Num somador em cascata, cada transporte precisa atravessar as portas antes que a resposta final se estabilize.

No papel, 7 + 9 cabe numa linha: 6 na coluna das unidades, vai 1, e o resultado é 16. Um computador não tem papel nem faz ideia do que é um número. O que ele tem são chaves que estão ligadas ou desligadas. Então como um monte de chaves tira 16 de 7 e 9?

A placa acima responde a isso uma camada de cada vez e depois continua. Ela abre num somador de 4 bits em cascata: oito chaves de bit na borda dianteira para dois números, A e B, cada um de 0 a 15, vinte portas lógicas atrás delas e cinco LED na borda traseira para o resultado. Quando você vira uma chave, as trilhas de cobre que levam um 1 se acendem, e a luz avança pelas portas na velocidade que você define com o controle "Atraso de porta". O painel no canto mostra as entradas e os LED em binário e em decimal ao mesmo tempo.

O controle "Circuito" troca a placa por um de 15 circuitos montados com o mesmo tipo de chip de porta: uma única porta, um meio somador, um somador completo, somadores de 4 e de 8 bits em cascata, um somador com antecipação de transporte, um somador-subtrator, um comparador, um multiplexador, um decodificador de 7 segmentos, uma trava SR, um biestável D, um contador, uma pequena ULA e um desafio feito de quatro portas NAND. Todos rodam na mesma simulação, então você pode comparar quantas portas cada um precisa e quanto tempo cada um leva para se estabilizar.

Números escritos com dois dígitos

No decimal, cada coluna vale dez vezes a coluna à sua direita: unidades, dezenas, centenas. O binário funciona do mesmo jeito, só que com dois no lugar de dez. As colunas valem 1, 2, 4 e 8, então quatro bits guardam qualquer número de 0 (0000) a 15 (1111). Na placa, a chave A0 é a coluna das unidades e A3 é a coluna dos oitos, e os números pequenos impressos sob cada chave indicam o seu valor.

Sete é 4 + 2 + 1, ou seja, 0111. Nove é 8 + 1, ou seja, 1001. A soma deles, 16, precisa de uma quinta coluna que vale 16, então a resposta é 10000. Essa quinta coluna é o LED de transporte, C4. Sempre que uma soma passa de 15, o LED de transporte é a única maneira de a placa mostrar isso.

O binário combina com a eletrônica porque um fio só precisa estar em um de dois estados bem diferentes. Um circuito não precisa distinguir 3 volts de 3,5 volts, apenas "alto" de "baixo", e isso é muito mais fácil de fazer com confiabilidade bilhões de vezes por segundo.

Um transistor como chave

Ponha o controle "Circuito" em "Uma porta" e escolha "Fio" sob o modelo. A chave X liga um LED à alimentação por uma ponte, e o LED mostra exatamente o que a chave diz: 1 é aceso, 0 é apagado.

Agora escolha "Transistor". O modelo mostra um transistor NPN com três pinos. Uma pequena corrente no pino do meio (a base) permite que uma corrente muito maior circule entre os outros dois (o coletor e o emissor), e o LED se acende. Tire a corrente de base e o LED se apaga. O transistor virou uma chave acionada por eletricidade em vez de por um dedo.

Isso é uma simplificação, e o modelo avisa. Um transistor real é uma peça analógica: mais corrente de base dá mais corrente de coletor ao longo de uma faixa. Os circuitos lógicos são projetados para que o transistor passe o tempo apenas totalmente desligado ou totalmente ligado e atravesse a região intermediária o mais depressa possível. É isso que nos permite tratá-lo como uma chave.

Portas feitas de pares de transistores

Quando uma chave consegue controlar outra chave, dá para construir decisões. Os chips de hoje usam um tipo de transistor chamado MOSFET, em dois tipos: os transistores de canal n conduzem quando a entrada está alta e os de canal p conduzem quando ela está baixa. A lógica CMOS os combina de modo que uma rede pode puxar a saída para cima, até a alimentação, e a outra pode puxá-la para baixo, até o terra, e para qualquer entrada exatamente uma das duas redes conduz. Uma porta parada consome quase nenhuma corrente. Essa propriedade, demonstrada por Chih-Tang Sah e Frank Wanlass na Fairchild em 1963, é a razão pela qual um celular pode conter bilhões de transistores sem derreter.

Conte os transistores e as portas deixam de custar o mesmo:

A surpresa é que AND, a porta que todo mundo aprende primeiro, custa mais que NAND. No CMOS, as portas naturais são as inversoras, porque a rede de canal n puxa a saída para baixo: dois transistores de canal n em série só puxam para baixo quando ambas as entradas são 1, o que é NAND, e dois em paralelo formam NOR. Para obter AND, você acrescenta um inversor. Ative "Transistores por chip" e cada chip da placa mostra a sua própria contagem; a bancada "Uma porta" permite percorrer os sete tipos de porta e também o fio simples.

NAND tem mais uma propriedade. Só com portas NAND dá para construir NOT (ligando as duas entradas), AND (uma NAND e uma NOT), OR (invertendo antes as duas entradas) e todo o resto. O último circuito da placa é um desafio baseado nisso: quatro portas NAND cujas entradas você escolhe no laboratório, sob os controles. Acerte as ligações e a saída coincidirá com XOR nas quatro linhas.

Meio somador: XOR para soma, AND para transporte

Olhe a tabela-verdade do XOR. 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1 e 1 + 1 = 10 em binário, que é 0 nesta coluna e 1 que vai para a próxima. O dígito da direita de cada resposta é exatamente a coluna do XOR. O transporte só é 1 na última linha, o que corresponde exatamente a AND.

Assim, um XOR e um AND alimentados pelos mesmos dois bits somam esses bits. Esse par se chama meio somador. Na placa "Meio somador" ele aparece sozinho; no somador de 4 bits ele é o primeiro bloco de cada bit. Com A e B ambos em 1, o XOR dá soma 0 e o AND dá transporte 1.

Somador completo: entram três bits, saem dois

Um meio somador basta para a coluna das unidades, mas todas as outras colunas têm três coisas a somar: um bit de A, um bit de B e o transporte vindo da direita. O somador completo resolve isso com dois meios somadores e uma porta OR. Na placa, cada bit usa estes nomes:

1. p = A xor B e g = A and B (o primeiro meio somador)
2. S = p xor C e t = p and C (o segundo meio somador soma o transporte de entrada C)
3. Transporte de saída = g or t

A porta OR nunca vê dois 1 ao mesmo tempo. Se A e B são ambos 1, então p é 0 e t não pode ser 1. Ela apenas reúne as duas maneiras de um transporte ser criado: a própria coluna gerou um (g) ou a coluna repassou o transporte que recebeu (t). As oito linhas da tabela-verdade do somador completo cobrem todos os casos, e o maior deles, 1 + 1 + 1 = 3, resulta em transporte 1 e soma 1.

Cinco portas por bit e quatro bits dão as 20 portas do somador de 4 bits. O transporte de saída de cada somador completo está ligado ao transporte de entrada do seguinte, à esquerda, como o passo "vai um" no papel. Essa cadeia é o motivo de o circuito se chamar somador em cascata. Enquanto ele funciona, a tabela-verdade no canto marca qual linha cada bit está usando, e assim você vê o bit 0 parado em 1 1 0 enquanto o bit 3 espera em 0 1 1.

Por que o transporte demora

Nenhuma porta responde instantaneamente. Quando suas entradas mudam, a saída acompanha um pouco depois, e esse tempo se chama atraso de porta ou atraso de propagação. O modelo dá a toda porta um atraso de exatamente uma unidade, e o controle estica essa unidade de 0,05 a 2,4 segundos para que você possa observá-la.

Veja 7 + 9, partindo de uma placa em 0 + 0:

Cada bit precisa de dois atrasos de porta para passar o transporte adiante: um para o AND que gera t e outro para o OR que gera o transporte de saída. Em quatro bits, o último transporte chega após 8 atrasos. O pior caso da placa de 4 bits é 9 atrasos, o que corresponde a 2n + 1 para n = 4 bits. Ative "Atraso em cada chip" e cada chip mostra o atraso em que sua saída mudou pela última vez; ao longo da cadeia de transporte os números sobem 2, 4, 6, 8.

Observe os LED durante esses 8 atrasos e você verá respostas erradas. No atraso 6, o painel pode mostrar 01000, que é 8. Nada está quebrado: esses LED mostram uma soma calculada antes de o transporte chegar. Circuitos reais têm as mesmas saídas falsas e breves, chamadas de falhas transitórias (glitches), e é por isso que um processador espera um tempo fixo pelo caminho mais lento antes de ler a saída de um somador. A duração dessa espera é uma das coisas que definem a frequência do relógio. O "Diagrama temporal" mostra a mesma coisa como formas de onda, com cada saída subindo e descendo antes de se estabilizar.

A placa de 8 bits deixa o custo evidente. É o mesmo somador completo oito vezes, 40 portas, e 255 + 1 envia um transporte por todos os bits: os LED se estabilizam após 16 atrasos de porta, o dobro de 15 + 1 na placa de 4 bits. Um somador de 64 bits em cascata construído do mesmo modo precisaria de 129 atrasos de porta no pior caso. Se quiser ver um atraso de cada vez, ative "Um atraso por vez" e aperte "Próximo atraso" sob o modelo.

Calcular os transportes antes

Somadores rápidos não esperam a propagação. Olhe de novo o somador completo: uma coluna cria um transporte por conta própria quando g = A and B é 1, e repassa o transporte que recebe quando p = A xor B é 1. Esses dois sinais ficam prontos após um atraso de porta, em todas as colunas ao mesmo tempo. A partir deles, cada transporte pode ser escrito por extenso:

• C1 = g0 + p0 C0
• C2 = g1 + p1 g0 + p1 p0 C0
• C3 = g2 + p2 g1 + p2 p1 g0 + p2 p1 p0 C0
• C4 = g3 + p3 g2 + p3 p2 g1 + p3 p2 p1 g0 + p3 p2 p1 p0 C0

Leia C2 como uma frase: há transporte para o bit 2 se o bit 1 gerou um, ou se o bit 1 repassa um transporte gerado pelo bit 0, ou se os bits 1 e 0 repassam ambos o transporte de entrada. Cada linha é uma fileira de portas AND seguida de um único OR, de modo que todo transporte chega após três atrasos de porta, e as somas um atraso depois. A placa "Somador 4 bits com antecipação" faz isso com 26 portas. Ponha 15 + 1 nela e ela se estabiliza em 4 atrasos de porta, onde a placa em cascata levou 8. A tabela do painel mostra P, G e o transporte de cada bit.

O preço está nas portas AND. C4 já exige um AND de 5 entradas e um OR de 5 entradas, e os termos crescem a cada bit, por isso os somadores largos combinam as duas ideias: pequenos blocos de antecipação de quatro bits, com um segundo nível de antecipação entre os blocos. Gerald Rosenberger, da IBM, registrou em 1957 uma patente de um somador binário com antecipação de transporte. Charles Babbage tinha enfrentado o mesmo problema um século antes e projetou um mecanismo para antecipar os transportes em sua máquina analítica. Hoje um somador de 4 bits com "transporte rápido" é um chip de catálogo: a Texas Instruments ainda lista o SN74LS283.

Subtrair com o mesmo somador

Os computadores não precisam de um subtrator separado. No complemento de dois, a forma usual de guardar números negativos, menos B se escreve como "inverta todos os bits de B e depois some 1". Assim, A − B é A + (not B) + 1.

A placa "Somador-subtrator" acrescenta um XOR por bit na frente de B. Com SUB desligado, cada XOR deixa o bit de B passar direto; com SUB ligado, cada XOR inverte o seu bit, e a mesma linha SUB alimenta o transporte de entrada, que fornece o 1 extra. Experimente 5 − 7. B = 0111 vira 1000, o somador calcula 0101 + 1000 + 1 = 1110, e 1110 lido como número de 4 bits com sinal é −2. Lido como número sem sinal é 14, o que também está certo à sua maneira: 5 − 7 + 16 = 14. Os mesmos bits significam coisas diferentes conforme a leitura, e o painel mostra as duas.

Um número de 4 bits com sinal só vai de −8 a 7, então algumas respostas não cabem. O LED verde V da placa detecta isso: ele é um XOR do transporte que entra no bit mais alto com o transporte que sai dele, e se acende quando os dois diferem. 7 + 1 (com SUB desligado) o acende, porque 0111 + 0001 = 1000, que se lê como −8. A fileira extra de XOR custa mais um atraso de porta no início, e a porta V mais um no fim, então o pior caso nesta placa é 11 atrasos.

Comparar dois números

Como um circuito decide que 9 é maior que 5? Do mesmo modo que você faria com números escritos: olhando o dígito mais alto em que eles diferem. A placa "Comparador" resolve isso bit a bit. A > B em um bit significa que A é 1 e B é 0 (um AND com um inversor em B), A < B significa o oposto, e o bit é igual quando nenhuma das duas coisas é verdadeira, o que é um NOR das duas.

Depois ela classifica os bits. A é maior se o bit 3 diz isso, ou se o bit 3 é igual e o bit 2 diz isso, ou se os bits 3 e 2 são iguais e o bit 1 diz isso, e assim por diante. São quatro termos AND reunidos por um OR, a mesma forma dos transportes com antecipação. 1001 contra 0101 diferem primeiro no bit 3, em que A tem o 1, e o LED A > B se acende após 4 atrasos de porta (o pior caso desta placa é 5). A placa usa 29 portas. O SN74LS85 da TI faz o mesmo trabalho num só encapsulamento e tem entradas extras para que vários chips comparem números maiores.

Escolher uma entrada e desenhar um dígito

Mais dois circuitos usam o mesmo padrão de portas AND reunidas por um OR.

Um multiplexador escolhe. A placa 4 para 1 tem quatro entradas de dados, D0 a D3, e dois bits de seleção. Cada entrada de dados vai para um AND de 3 entradas que também recebe os bits de seleção (ou seus inversos), de modo que, para qualquer ajuste, exatamente um AND fica aberto, e o OR passa o seu bit de dados para Y. São sete portas e três atrasos de porta. Sempre que um fio precisa levar um entre vários sinais, do banco de registradores de um processador à chave de fonte de uma TV, há um multiplexador.

Um decodificador desenha. Um mostrador de 7 segmentos tem sete LED em forma de barra, de a a g, e cada dígito acende um conjunto diferente: o 1 acende b e c, o 8 acende todos os sete. Para cada segmento, dá para listar os dígitos que o acendem e simplificar essa lista numa soma de produtos, um punhado de termos AND reunidos por um OR. O decodificador da placa foi obtido assim: 4 inversores, 28 termos AND compartilhados e 7 OR, 39 portas, três atrasos de porta da chave ao segmento. Ele desenha também os dígitos hexadecimais de A a F, além de 0 a 9. O SN74LS47 da TI é a versão de catálogo para 0 a 9.

Circuitos que lembram

Tudo até aqui esquece. Mude as chaves e a saída acompanha; nada depende do que aconteceu antes. A memória precisa de um laço.

A trava SR são duas portas NOR, cada uma levando a sua saída à entrada da outra. Com S e R ambos em 0, o laço mantém o que tinha, Q = 1 ou Q = 0, e continua mantendo enquanto houver alimentação. Um 1 em S força Q a 1, um 1 em R o força a 0. Ponha Q em 1, desligue S de novo, e Q continua em 1. Isso é um bit de memória feito de oito transistores.

A trava tem uma entrada proibida. Com S e R ambos em 1, as duas saídas ficam em 0, e se você soltar os dois no mesmo instante, as duas portas disputam uma corrida. No modelo, em que as duas portas têm exatamente o mesmo atraso, o laço nunca se estabiliza: as saídas se invertem juntas a cada atraso de porta e o painel avisa. Uma trava real nunca é perfeitamente equilibrada, então um lado vence, mas qual deles e quanto tempo leva não se pode prever. Os engenheiros chamam isso de metaestabilidade, e os projetos digitais são organizados para que ela não ocorra no uso normal.

Um biestável D elimina o problema ao receber os dados apenas num instante. A versão da placa é o projeto de seis NAND usado no chip 7474. Enquanto o relógio está baixo ou alto, D pode mudar quantas vezes quiser e Q não se mexe. Só no momento em que CLK sobe de 0 para 1 é que Q assume o valor de D, e o mantém até a próxima borda de subida. Alimentado com 49.152 passos aleatórios de D e CLK, Q seguiu essa regra todas as vezes.

Contar pulsos de relógio

Ponha quatro biestáveis lado a lado, acrescente um pequeno circuito que calcula o número atual mais um e devolve o resultado às entradas D dos biestáveis. Cada pulso de relógio carrega o número seguinte. A placa "Contador de 4 bits" faz exatamente isso com 30 portas: 24 NAND nos quatro biestáveis e seis portas para o somador. O bit 0 sempre inverte, o bit 1 inverte quando o bit 0 é 1, o bit 2 quando os bits 1 e 0 são ambos 1, o bit 3 quando os três abaixo dele são 1.

Aperte "Pulso de relógio" e observe a ordem. A borda do relógio chega aos quatro biestáveis juntos, as saídas mudam dois atrasos de porta depois, e as portas do "mais um" preparam então o número seguinte muito antes do próximo pulso. Como todos os bits mudam na mesma borda, o contador se chama síncrono, como o SN74LS161A da TI. Depois de 1111 ele volta a 0000. Em 40 pulsos, contou de 0 a 15 e recomeçou sem errar uma vez.

Uma ULA com as mesmas peças

A unidade lógica e aritmética de um processador é o circuito que faz as contas de fato. A placa "ULA de 4 bits" mostra a ideia em 59 portas. Para cada bit, ela calcula quatro resultados lado a lado: A + B, A − B, A AND B e A OR B. Dois bits de operação escolhem então qual deles chega às saídas, pelo mesmo tipo de seleção com AND e OR do multiplexador. A operação 00 soma, 01 subtrai (usando a fileira de XOR do somador-subtrator), 10 é AND e 11 é OR.

Os quatro resultados são calculados o tempo todo; os bits de operação apenas escolhem qual você vê. É assim que as ULA reais funcionam também, e é por isso que o caminho mais longo da ULA, 13 atrasos de porta aqui, é maior que o do somador sozinho. Experimente 12 AND 10: 1100 e 1010 só têm o bit 3 em comum, então a resposta é 1000, que é 8.

Quanto dura um atraso de porta

O modelo conta atrasos; as peças reais os medem em nanossegundos. A Texas Instruments dá um atraso típico de 9 ns para suas portas NAND SN74HC00 a 4,5 V, de 9 a 10 ns para o mais antigo SN74LS00 e cerca de 5 ns para o SN74AC00 a 5 V. Um relé é um milhão de vezes mais lento: a folha de dados do Omron G5V-1 admite até 5 ms para operar.

Multiplique isso pelo caminho mais longo da placa. Um somador de 4 bits em cascata precisa de 9 atrasos, então, com portas do tipo 74HC00, ele se estabiliza em cerca de 81 ns, rápido o bastante para doze milhões de somas por segundo. Construído com relés, o mesmo somador precisaria de 45 ms. O laboratório sob os controles faz essa conta para o circuito que estiver na placa. Um processador moderno soma números de 64 bits bilhões de vezes por segundo porque suas portas são milhares de vezes mais rápidas e seus somadores usam antecipação, não porque a lógica seja diferente.

Confira cada circuito

Todo circuito da placa foi conferido com a sua tabela-verdade para todas as entradas possíveis. O somador de 4 bits deu A + B + C0 nas 512 combinações e se estabilizou na resposta certa em até 9 atrasos de porta após cada uma das 262.144 mudanças possíveis de uma entrada para outra. O somador de 8 bits foi conferido em todas as 131.072 somas e em 400.000 mudanças aleatórias. O somador com antecipação se estabilizou em até 4 atrasos, o somador-subtrator em até 11, o comparador em até 5, o multiplexador e o decodificador em até 3, e a ULA em até 13 após cada uma de suas 1.048.576 mudanças. Os circuitos de memória foram testados com sequências: a trava com ativar, manter e reiniciar, o biestável com relógio e dados aleatórios, o contador com 40 pulsos.

Você pode experimentar alguns na placa:

• 15 + 1 no somador em cascata: os quatro transportes se propagam em sequência e os LED mostram 10000 após 8 atrasos.
• 15 + 1 no somador com antecipação: a mesma resposta após 4 atrasos.
• 5 + 2: nenhuma coluna gera transporte, e a resposta 0111 (7) fica pronta após 2 atrasos.
• 5 − 7 no somador-subtrator: 1110, que é −2.

Diferenças para um chip real

• Todas as portas têm o mesmo atraso. Na lógica real, um XOR é mais lento que um NAND, uma porta que aciona muitas entradas é mais lenta que uma que aciona uma só, e os atrasos mudam com a temperatura e a tensão de alimentação.
• Todo fio leva 0,85 de um atraso de porta para ser atravessado, qualquer que seja o seu comprimento. Numa placa real, trilhas curtas são praticamente instantâneas; dentro de um chip, fios longos podem ser mais lentos que as portas.
• Os sinais são perfeitamente 0 ou 1. As tensões reais sobem e descem durante um curto intervalo, e a placa não tem ruído, calor nem limites de carga nas saídas.
• Uma porta por chip. Os chips lógicos reais reúnem quatro NAND ou seis inversores num só encapsulamento, e precisam de pinos de alimentação, capacitores de desacoplamento e resistores de elevação ao nível alto que a placa deixa de fora.
• O transistor da bancada é desenhado como uma única chave bipolar, enquanto as contagens de transistores nos chips são para CMOS.

Da álgebra de Boole aos somadores de relés

Em 1854, George Boole publicou The Laws of Thought (As leis do pensamento), uma álgebra em que afirmações lógicas são combinadas por operações muito parecidas com a multiplicação e a adição, e em que os símbolos 1 e 0 têm um papel especial. Era um livro sobre raciocínio, não sobre máquinas.

A ligação com os circuitos veio em 1937. Claude Shannon, estudante de mestrado no MIT, escreveu a dissertação A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits. Ele mostrou que chaves em série e em paralelo seguem as mesmas regras da álgebra de Boole, de modo que um circuito pode ser projetado e simplificado com álgebra em vez de por tentativa e erro. No último capítulo, deu vários exemplos de circuitos, entre eles um somador para números binários. Um artigo baseado na dissertação foi publicado nas Transactions of the American Institute of Electrical Engineers em 1938 e ganhou o Alfred Noble Prize.

No mesmo ano, George Stibitz, cientista da Bell Labs, montou um somador de demonstração com relés. Chamou-o de Model K, por causa da mesa de cozinha em que o montou. Dez anos depois, em dezembro de 1947, John Bardeen e Walter Brattain fizeram o primeiro transistor funcional na Bell Labs, num grupo chefiado por William Shockley. Os três dividiram o Prêmio Nobel de Física de 1956 "por suas pesquisas sobre semicondutores e pela descoberta do efeito transistor".

Dos relés aos bilhões de transistores

Os primeiros grandes computadores usaram as chaves que havia à mão. O Z3 de Konrad Zuse, de 1941, usava 2300 relés; o Harvard Mark 1, concluído em 1944, usava 3500, mantidos em compasso por um eixo de cames de cinquenta pés. O Colossus, em operação em Bletchley Park desde o início de 1944, comutava com 2500 válvulas, e o ENIAC, anunciado na Universidade da Pensilvânia em fevereiro de 1946, precisou de 18.000 válvulas a vácuo e ocupava uma sala de 30 por 50 pés (cerca de 9 por 15 metros). O TX-0 do MIT, de 1956, foi o primeiro computador programável de uso geral construído com transistores, cada um num "frasco" encaixável para poder ser trocado como uma válvula.

Depois as portas passaram para o silício. Em 1961, a Fairchild anunciou um dos primeiros circuitos integrados planares, um biestável com quatro transistores e cinco resistores. A série 7400 de chips de lógica TTL da Texas Instruments, vendida em encapsulamentos de plástico baratos a partir de 1966, logo ficou com mais da metade do mercado de lógica, e muitas de suas peças, como o NAND quádruplo SN7400, ainda são vendidas hoje. O Apollo Guidance Computer, que voou pela primeira vez na Apollo 7, em 1968, foi construído principalmente com um só tipo de chip, que continha duas portas NOR de 3 entradas, vários milhares delas por computador.

Em 1965, Gordon Moore previu que o número de componentes num chip dobraria a cada ano, e mais tarde revisou isso para a cada dois anos. O Intel 4004, de 1971, pôs um processador inteiro de 4 bits num só chip com 2300 transistores (a linha do tempo do Computer History Museum indica 2250). O M1 da Apple, de 2020, tem 16 bilhões, cerca de sete milhões de vezes mais, e as GPU Blackwell da NVIDIA, de 2024, têm 208 bilhões. Dentro de todos eles, a aritmética ainda é feita por somadores, multiplexadores e biestáveis como os desta placa.