Régua de cálculo: aprenda a usar no modelo

O que o modelo mostra

Usar uma régua de cálculo é mover sua régua móvel e seu cursor para ler um resultado: para 3,14 × 2,72, a leitura é aproximadamente 8,54. Antes das calculadoras de bolso, um engenheiro não precisava escrever uma multiplicação longa. Tirava uma régua do bolso da camisa, deslocava sua faixa central alguns centímetros, deslizava uma pequena janela e lia a resposta. Tudo levava poucos segundos e não precisava de pilhas. Esta exposição apresenta uma versão funcional desse instrumento e explica por que deslizar duas faixas de madeira uma pela outra multiplica números.

O modelo é uma régua Mannheim de 25 cm, como as vendidas aos milhões no século XX. Há três peças que se movem entre si. O corpo fixo tem duas metades unidas por suportes nas extremidades. A régua móvel corre pela ranhura entre elas. O cursor é uma janela transparente com uma linha vermelha que passa sobre todo o conjunto. Há nove escalas: K e A na metade superior do corpo, D, S, T e L na inferior, e B, CI e C na régua móvel.

Você pode arrastar a régua móvel ou o cursor diretamente com o mouse ou um dedo, ou usar os controles deslizantes em “Controles”. O quadro no canto mostra o valor de cada escala sob a linha. Abaixo aparece a multiplicação preparada: o número em D sob o índice de C vezes o número em C sob a linha, com seus logaritmos, o produto exato e a leitura da régua.

A mesa tem outros três instrumentos com o mesmo princípio. “Instrumento” alterna entre uma régua de bolso amarela de alumínio de 15 cm, como as levadas pelas tripulações Apollo, uma circular com mostrador de 10 cm e um computador de voo E6B ainda ensinado aos pilotos. Sob os controles há seis tarefas, uma calculadora que prepara qualquer operação, 33 problemas com cronômetro, uma tabela de erros de leitura e 39 réguas históricas com seus usuários.

Por que multiplicar se torna somar

Duas réguas comuns lado a lado formam uma máquina de somar. Coloque o 0 da superior sobre o 3 da inferior e olhe sob o 4 da superior: embaixo aparece 7. Os comprimentos se somam.

A régua de cálculo faz o mesmo com outra graduação. Numa escala logarítmica, a distância do 1 à esquerda até um número v não é proporcional a v, mas ao seu logaritmo:

x(v) = 250 mm × log v

Assim, 2 fica em 250 × 0,30103 = 75,3 mm, 3 em 250 × 0,47712 = 119,3 mm e 6 em 250 × 0,77815 = 194,5 mm. Somando os primeiros comprimentos: 75,3 + 119,3 = 194,5 mm, exatamente a posição do 6. É log a + log b = log (a × b) representado em madeira e celuloide. Pôr o início esquerdo de C sobre 2 de D e ler sob 3 de C soma os comprimentos, e D transforma o total novamente em número.

Dividir é o mesmo movimento ao contrário, pois log a − log b = log (a ÷ b). Subtrair um comprimento de outro é tão simples quanto somá-los.

A escala L, na parte inferior do corpo, torna a ideia visível. É uma escala uniforme de 0 a 1 ao longo de D. Com a linha sobre 2 de D, L indica 0,301, o logaritmo de 2. Antes dessas réguas, as pessoas consultavam logaritmos em tabelas impressas, somavam à mão e procuravam a soma na tabela. L é uma versão pequena dessa tabela.

Ler as escalas

Os números em C e D vão de 1 no índice esquerdo a 10 no direito e se aproximam cada vez mais. Entre 1 e 2 há 75,3 mm; entre 9 e 10, apenas 250 × log (10/9) = 11,4 mm. Por isso os fabricantes variam o número de divisões. Aqui, C e D são divididas de 0,01 em 0,01 entre 1 e 2, de 0,02 em 0,02 entre 2 e 4 e de 0,05 em 0,05 entre 4 e 10.

A largura física do menor intervalo indica a facilidade de leitura em cada trecho:

• entre 1,00 e 1,01: 250 × log 1,01 = 1,08 mm
• entre 2,00 e 2,02: também 1,08 mm, pois 2,02/2 = 1,01
• entre 4,00 e 4,05: 250 × log 1,0125 = 1,35 mm
• entre 8,50 e 8,55: 250 × log (8,55/8,5) = 0,64 mm
• entre 9,95 e 10: 0,54 mm

A régua nunca mostra onde vai a vírgula decimal. D indica 6 e você estima se a resposta é 0,6, 6 ou 6000. Engenheiros acompanhavam as potências de dez no papel, muitas vezes em notação científica.

Multiplicar e dividir no modelo

Experimente 2 × 3. Mova a régua móvel até colocar o índice esquerdo de C, o 1 marcado por uma cunha vermelha, sobre 2 de D. Leve a linha a 3 de C. D mostra 6 embaixo. O quadro indica log 0,301 + 0,477 = 0,778, e 10^0,778 é 6.

Às vezes a resposta sai pela extremidade. Para 7 × 4, o índice esquerdo em D7 colocaria C4 a 211,3 + 150,5 = 361,8 mm do início de D, além dos 250 mm. Use o índice direito, o 10 no fim de C. Pôr C10 sobre D7 move a régua móvel 38,7 mm para a esquerda, pois 250 × (log 7 − 1) = −38,7 mm. Com a linha em C4, D mostra 2,8. Você calculou 7 × 4 ÷ 10 e repõe a vírgula: 28.

Para 8,4 ÷ 2,1, coloque a linha em 8,4 de D, leve 2,1 de C embaixo e leia D sob o índice de C. Aparece 4. Você subtraiu log 2,1 de log 8,4, e 0,924 − 0,322 = 0,602, o log 4.

Operações encadeadas poupam mais tempo. Para 8,4 ÷ 2,1 × 1,5, deixe a régua móvel como está após a divisão e leve a linha a 1,5 de C. D mostra 6. A estimativa 8 ÷ 2 × 1,5 perto de 6 confirma a vírgula. Não é preciso ler nem anotar o 4 intermediário.

Quadrados, raízes quadradas e recíprocos

A e B colocam duas cópias de 1 a 10 nos mesmos 250 mm, de modo que v fica em 125 × log v. Um ponto de D em 250 × log u coincide com o valor v de A no qual 125 × log v = 250 × log u. Assim, v = u². Ponha a linha em 3 de D e A mostra 9. Ler para cima eleva ao quadrado; para baixo extrai a raiz: 50 em A está em 125 × log 50 = 212,4 mm, e D abaixo indica 7,07, a raiz de 50. A metade inicial de A importa: 5 na esquerda dá 2,24, enquanto 50 na direita dá 7,07.

CI é C impressa ao contrário, normalmente em vermelho. Um valor v fica em 250 × (1 − log v) = 250 × log (10/v), onde está 10/v em C. Sob a linha, CI sempre mostra o recíproco de C com a vírgula deslocada uma casa. Em C4, CI indica 2,5, lido como 1/4 = 0,25. Multiplicar por CI equivale a dividir pelo valor de C sob a mesma linha, transformando divisões encadeadas em multiplicações sem deslocar a régua móvel para a frente e para trás.

Cubos em K, ângulos em S e T

K, na borda do corpo, vai além de A. Coloca três cópias de 1 a 10 em 250 mm, de modo que v fica em 83,3 × log v. Um ponto u de D coincide com u³ em K. Com a linha em 2 de D, K mostra 8; em 2,5, mostra 15,6, perto do resultado exato 15,625. Ler de K para baixo extrai raízes cúbicas e, como em A, a seção inicial determina a resposta. O 2 no primeiro terço dá 1,26, o 20 no central dá 2,71 e o 200 no último dá 5,85.

S e T, abaixo de D, trazem ângulos. S posiciona θ onde D indica 10 × sin θ, em 250 mm × log (10 sin θ). A linha em 30 de S encontra 5 em D, lido como sin 30° = 0,5. A escala não vai abaixo de 5,74°, pois sin 5,74° = 0,1 e valores menores sairiam pela esquerda. Para ângulos pequenos, usava-se sin θ próximo de θ em radianos, cerca de θ ÷ 57,3. T, vermelha neste modelo, faz o mesmo para tangentes de 5,71° a 45°: em 20, D mostra 3,64, então tan 20° = 0,364. Acima de 45°, usa-se tan θ = 1 / tan (90° − θ) e lê-se o recíproco em CI.

Como S e T ficam no mesmo corpo que D, um valor trigonométrico entra diretamente em uma multiplicação. Para a altura de uma escada de 12 m inclinada a 70°, ponha a linha em 70 de S, leve o índice direito de C até ela e depois mova a linha para 1,2 de C. D indica 1,13: o topo da escada está a 11,3 m.

Como se constrói uma escala logarítmica

“Construir a escala” mostra de onde vêm as marcas de D. A fita de papel começa como uma régua comum de 1 a 10 em intervalos iguais de 27,8 mm. Ao mover o controle, cada marca vai para 250 mm × log v. O 2 passa de 27,8 mm para 75,3 mm; o 5, de 111,1 mm para 174,7 mm; o 10 fica em 250 mm. As linhas laranja terminam nos mesmos números de D: a escala logarítmica é uma escala comum com suas marcas deslocadas.

Os fabricantes usavam uma máquina de dividir, que desloca uma ferramenta por distâncias fixadas e grava uma linha em cada parada. As posições vinham de tabelas de logaritmos. Quanto mais fina a divisão, mais linhas: o modelo desenha 321 marcas em cada uma de C e D, 321 nas duas décadas de A e 226 nas três de K.

Quantos algarismos a régua pode fornecer

Experimente 3,14 × 2,72. Coloque o índice esquerdo em 3,14 e a linha em 2,72. O produto exato é 8,5408. O quadro mostra a leitura 8,54, diferença de −0,0094 %. Perto de 8,5, D é dividida a cada 0,05, com intervalos de 0,64 mm: a linha está a cerca de quatro quintos entre 8,50 e 8,55, e você escreve 8,54. Um quarto algarismo exigiria dividir esses 0,64 mm em cinquenta partes. "Erro de ajuste" mostra o efeito de um pequeno deslize: uma linha azul indica onde um olhar apressado poderia colocar a linha, e o quadro dá o erro percentual.

A fórmula da escala determina o erro. Mover a linha Δx altera o valor por uma fração fixa:

Δv / v ≈ ln 10 × Δx / 250 mm

Assim, 1 mm de erro equivale a 2,3026/250 = 0,92 % em qualquer ponto, e um ajuste cuidadoso de 0,1 mm dá 0,092 %. Perto do índice esquerdo, isso representa 0,0009, pequeno o suficiente para estimar um quarto algarismo de 1,234. Perto do direito é 9 × 0,00092 = 0,008, de modo que 9,87 é aproximadamente o limite. A regra prática é que as divisões gravadas dão dois algarismos e o usuário estima o terceiro.

Como o erro é uma fração fixa da escala, uma mais longa permite leitura mais fina. Uma régua de 50 cm reduz a fração à metade. Ganhar um algarismo completo exigiria dez vezes o comprimento, 2,5 m, por isso instrumentos longos enrolavam a escala em espiral ou em torno de cilindros.

Quatro instrumentos na mesa

A régua de 25 cm era a mais comum entre estudantes e engenheiros. A de bolso é o mesmo instrumento encurtado. O modelo amarelo de 15 cm tem as mesmas escalas com 0,6 do comprimento: as respostas são iguais, mas a leitura é mais grosseira. Um desvio de 0,1 mm em 150 mm muda o valor em 0,15 %, contra 0,09 % em 250 mm. A Pickett N600-ES de Apollo 13 no National Air and Space Museum mede 15,24 cm por 3,81 cm e é de alumínio e plástico. Segundo sua ficha, NASA a escolheu por ser popular entre engenheiros e dispensar alterações para o espaço.

A régua circular envolve D em um anel fixo e C em um disco interno giratório. Como o círculo não tem pontas, nunca é preciso trocar de índice. Ponha o 1 do disco sobre 7 e o braço sobre 4: D mostra 2,8 imediatamente. No mostrador de 10 cm, o limite entre anel e disco está a 36 mm do centro, dando comprimento 2π × 36 = 226 mm, perto de uma régua reta de 25 cm em um corpo com metade do comprimento.

O computador de voo E6B é uma régua circular com marcas para pilotos. Fora se lê distância ou combustível; dentro, minutos. A seta vermelha em 60 indica velocidade, pois esta expressa distância por 60 minutos. Para 120 nós, coloque a seta sob 120 e olhe acima de 45 no interior: fora aparecem 90 milhas náuticas. O mesmo ajuste responde ao inverso: quanto tempo levam 90 milhas náuticas a 120 nós. Philip Dalton, piloto naval formado em engenharia, desenvolveu esses computadores na década de 1930. O E6B ainda é ensinado para o exame teórico de pilotos.

Pratique no modelo

As tarefas em “Controles” pedem que você prepare resultados arrastando peças ou usando os controles. São marcadas quando a régua mostra a resposta, não quando um botão é pressionado: 3,14 × 2,72, 8,4 ÷ 2,1, raiz quadrada de 50, sin 30°, um trecho de 45 minutos no E6B e cinco problemas seguidos do banco.

O banco tem 33 problemas para uma régua de 25 cm, de 2 × 3 a tan 40°. Resolva um no modelo, digite a leitura e pressione “Conferir”. Uma resposta dentro de 0,5 % do valor exato é aceita, precisão de uma leitura cuidadosa de três algarismos. O cronômetro começa na primeira resposta e para na quinta correta consecutiva; o melhor tempo fica no navegador. “Mostrar na régua” apresenta as etapas do problema atual uma por vez.

Diferenças em relação a uma régua real

As proporções e a disposição seguem uma régua comum de 25 cm. As divisões C e D e as escalas A, B e CI vêm das fórmulas anteriores e permitem leituras reais. Há simplificações:

• Réguas de engenharia costumam ter mais que nove escalas: dobradas como CF, DF, CIF e log-log para potências. Muitas trazem S e T no verso da régua móvel. Aqui todas estão na mesma face para serem lidas juntas.
• A régua de bolso, a circular e o E6B representam seus tipos, não copiam objetos específicos. A face de vento do E6B é apenas uma grade.
• O quadro calcula valores pelas posições exatas e arredonda a três algarismos significativos. Na régua real, o olho arredonda conforme luz, paralaxe e espessura da linha.
• Aqui não há atrito na régua móvel nem tensão ajustável nos suportes. No instrumento real, afrouxam-se seus parafusos para ajustar a resistência ao movimento.
• O exemplo 3,14 usa 3,14, não π. A marca π de C e D fica em 3,1416, e 3,1416 × 2,7183 = 8,5397.

Das tabelas de Napier à calculadora de bolso

John Napier publicou sua descrição dos logaritmos em 1614 em Mirifici logarithmorum canonis descriptio. Por volta de 1620, Edmund Gunter desenhou uma linha logarítmica em uma régua e multiplicou transportando comprimentos com um compasso de pontas secas. Marinheiros a chamavam de "gunter". A régua de cálculo em si costuma ser atribuída a William Oughtred, que por volta de 1622 fez duas escalas lado a lado deslizarem entre si. Ele também fez uma versão circular datada de cerca de 1630.

Isaac Newton propôs algo semelhante a um cursor em 1675, sem sucesso imediato. Primeiro vieram instrumentos especializados: a régua de carpinteiro aperfeiçoada por Henry Coggeshall em 1677 continuou em uso por 200 anos; réguas de arqueação calculavam o conteúdo de barris e seus impostos. Em 1799, a Soho de James Watt e Matthew Boulton já era usada em máquinas a vapor. Em 1815, Peter Roget, futuro autor do thesaurus, inventou a escala log-log para potências. A disposição do modelo remonta a Amédée Mannheim, oficial francês de artilharia, na década de 1850. As fontes dão datas de 1850 a 1859. Sua régua usava C e D na maioria dos cálculos, A e B para quadrados e um cursor transversal. Keuffel e Esser, nos Estados Unidos, acrescentaram CI depois. Fabricantes alemães como Dennert & Pape e Faber laminaram celuloide sobre madeira. A duplex de William Cox de 1891 pôs escalas nas duas faces sob um cursor. Para mais algarismos, enrolavam-se as escalas. O calculador cilíndrico de George Fuller de 1878 trazia 41 pés, cerca de 12,5 m, em espiral. O cilindro de bolso de Otis King, patenteado em 1922, guardava 66 polegadas, cerca de 168 cm, num tubo de 1,2 polegadas, cerca de 3 cm de diâmetro. No Japão, Hemmi recobria bambu com celuloide e fabricava cerca de um milhão de réguas por ano na década de 1960. A Oughtred Society cita cerca de 40 milhões de réguas feitas no século XX. As Pickett voaram em Apollo como reserva. A de Apollo 13 de abril de 1970 está no National Air and Space Museum. Wernher von Braun calculou o perfil de empuxo de Redstone com uma Nestler 23, e E. H. Lowry projetou os acessos da Golden Gate Bridge com uma Dietzgen.

O fim veio rápido. A HP-35 da Hewlett-Packard, primeira calculadora científica de bolso, foi lançada em 1972 por 395 dólares americanos. Em poucos anos, modelos mais baratos tornaram as réguas obsoletas. Em Apollo-Soyuz de 1975, último voo do equipamento Apollo, a tripulação levou uma calculadora de bolso Hewlett-Packard em vez de régua.

Por que o arredondamento pode falhar no cálculo seguinte

Três algarismos significativos costumam bastar para comparar comprimentos ou estimar combustível. Não garantem três algarismos úteis em cada cálculo posterior. Suponha que seja necessária a diferença entre 3,14 × 2,72 e 8,54. São números escolhidos para um exemplo aritmético, não medições de uma máquina. O produto exato é 8,5408, dando diferença 0,0008. Se você copiar primeiro a leitura arredondada 8,54, a subtração dará zero. O produto era muito próximo, mas o arredondamento eliminou toda a diferença buscada.

A subtração não é uma operação da régua: seria feita separadamente no papel. Um pequeno erro percentual em um resultado intermediário grande pode superar uma resposta final pequena. Os algarismos adicionais do produto exato explicam a perda, mas não tornam a escala gravada mais legível. Esse quadro serve para comparar, não prova que uma pessoa poderia ler todos os seus algarismos nas marcas.

Antes de mover a régua, anote a ordem de grandeza esperada e mantenha a subtração de quantidades quase iguais separada da multiplicação. Se a diferença desejada for menor que a incerteza de qualquer quantidade, será necessária uma régua mais longa ou outro método. Repetir a leitura não recupera informação perdida no arredondamento. O exemplo decorre da fórmula logarítmica e da leitura de três algarismos descritas acima; não pressupõe que o banco contenha essa subtração.