Règle à calcul : apprenez à l’utiliser sur un modèle

Ce que montre le modèle

Utiliser une règle à calcul consiste à déplacer sa réglette et son curseur pour lire un résultat : pour 3,14 × 2,72, on lit environ 8,54. Avant les calculatrices de poche, un ingénieur n’avait pas à poser une longue multiplication. Il sortait une règle de sa poche de chemise, déplaçait la bande centrale de quelques centimètres, faisait glisser une petite fenêtre et lisait le résultat. Quelques secondes suffisaient, sans piles. Cette exposition propose une version fonctionnelle de cet instrument et explique pourquoi faire glisser deux bandes de bois l’une contre l’autre multiplie des nombres.

Le modèle est une règle de type Mannheim de 25 cm, comme celles vendues par millions au XXe siècle. Trois pièces bougent l’une par rapport à l’autre. Le corps fixe comprend deux moitiés reliées par des brides aux extrémités. La réglette coulisse dans leur rainure. Le curseur est une fenêtre transparente à trait rouge qui passe sur l’ensemble. Neuf échelles sont présentes : K et A sur le haut du corps, D, S, T et L en bas, B, CI et C sur la réglette.

Vous pouvez faire glisser réglette et curseur directement avec la souris ou un doigt, ou employer les glissières de réglage sous « Commandes ». L’encadré dans le coin donne la valeur de chaque échelle sous le trait. Il montre ensuite la multiplication réglée : le nombre sur D sous l’index de C, multiplié par celui sur C sous le trait, avec leurs logarithmes, le produit exact et la lecture de la règle.

Trois autres instruments posés sur le bureau suivent le même principe. « Instrument » permet de choisir une règle de poche jaune en aluminium de 15 cm, comme celles des équipages Apollo, un cercle à calcul de 10 cm de diamètre ou un calculateur de vol E6B, encore enseigné aux pilotes. Sous les commandes se trouvent six tâches, une calculatrice réglant tout problème sur la règle, 33 exercices chronométrés, un tableau des erreurs de lecture et une liste de 39 règles historiques avec leurs utilisateurs.

Pourquoi multiplier revient à additionner

Deux règles ordinaires côte à côte forment une machine à additionner. Placez le 0 du haut sur le 3 du bas et regardez sous le 4 du haut : la règle inférieure indique 7. Les longueurs s’ajoutent.

La règle à calcul fait la même chose avec une autre graduation. Sur une échelle logarithmique, la distance du 1 à gauche au nombre v n’est pas proportionnelle à v mais à son logarithme :

x(v) = 250 mm × log v

Le 2 se trouve donc à 250 × 0,30103 = 75,3 mm, le 3 à 250 × 0,47712 = 119,3 mm et le 6 à 250 × 0,77815 = 194,5 mm. Additionnez les deux premières longueurs : 75,3 + 119,3 = 194,5 mm, exactement la position du 6. C’est log a + log b = log (a × b), matérialisé en bois et celluloïd. Placer le début gauche de C sur 2 de D et lire sous 3 de C ajoute ces longueurs ; D reconvertit la longueur totale en nombre.

La division est le même mouvement à l’envers, car log a − log b = log (a ÷ b). Soustraire une longueur d’une autre est aussi facile que les additionner.

L’échelle L, en bas du corps, rend l’idée visible. C’est une échelle régulière de 0 à 1 placée le long de D. Sous le trait positionné sur 2 de D, L indique 0,301, le logarithme de 2. Avant ces instruments, on cherchait les logarithmes dans des tables imprimées, les additionnait à la main et cherchait la somme dans la table. L en est une petite version.

Lire les échelles

C et D vont de 1 à l’index gauche à 10 à droite, avec des valeurs de plus en plus serrées. L’écart entre 1 et 2 vaut 75,3 mm, celui entre 9 et 10 seulement 250 × log (10/9) = 11,4 mm. Les fabricants changent donc le nombre de subdivisions selon la zone. Ici, C et D sont divisées par 0,01 entre 1 et 2, par 0,02 entre 2 et 4 et par 0,05 entre 4 et 10.

La largeur du plus petit intervalle indique la lisibilité de chaque partie :

• de 1,00 à 1,01 : 250 × log 1,01 = 1,08 mm
• de 2,00 à 2,02 : également 1,08 mm, car 2,02/2 = 1,01
• de 4,00 à 4,05 : 250 × log 1,0125 = 1,35 mm
• de 8,50 à 8,55 : 250 × log (8,55/8,5) = 0,64 mm
• de 9,95 à 10 : 0,54 mm

La règle ne donne jamais la position de la virgule. D indique 6 et vous décidez par estimation si le résultat est 0,6, 6 ou 6000. Les ingénieurs suivaient les puissances de dix sur papier, souvent en notation scientifique.

Multiplier et diviser sur le modèle

Prenez 2 × 3. Déplacez la réglette jusqu’à mettre l’index gauche de C, le 1 marqué d’un triangle rouge, sur 2 de D. Placez le trait sur 3 de C. D indique 6 dessous. L’encadré montre log 0,301 + 0,477 = 0,778, et 10^0,778 vaut 6.

Le résultat sort parfois de la règle. Pour 7 × 4, l’index gauche placé sur D7 mettrait C4 à 211,3 + 150,5 = 361,8 mm du début de D, au-delà des 250 mm. Utilisez alors l’index droit, le 10 à l’extrémité de C. Placer C10 sur D7 décale la réglette de 38,7 mm vers la gauche, car 250 × (log 7 − 1) = −38,7 mm. Sous le trait placé sur C4, D indique 2,8. Vous avez calculé 7 × 4 ÷ 10 et replacez vous-même la virgule : 28.

Pour 8,4 ÷ 2,1, mettez le trait sur 8,4 de D, amenez 2,1 de C dessous et lisez D sous l’index C. Le résultat est 4. Vous avez soustrait log 2,1 de log 8,4 : 0,924 − 0,322 = 0,602, soit log 4.

Les calculs en chaîne font gagner le plus de temps. Pour 8,4 ÷ 2,1 × 1,5, laissez la réglette en place après la division et déplacez le trait sur 1,5 de C. D indique 6. L’estimation 8 ÷ 2 × 1,5 donne environ 6 et confirme la virgule. Il est inutile de lire ou noter le 4 intermédiaire.

Carrés, racines carrées et inverses

A et B placent deux copies de 1 à 10 sur les mêmes 250 mm : v se trouve donc à 125 × log v. Un point de D situé à 250 × log u correspond sur A à la valeur v telle que 125 × log v = 250 × log u. D’où v = u². Placez le trait sur 3 de D : A indique 9. Lire vers le haut donne le carré, vers le bas la racine : 50 sur A se trouve à 125 × log 50 = 212,4 mm, et D indique 7,07, sa racine carrée. La moitié choisie compte : 5 dans la moitié gauche donne 2,24, tandis que 50 à droite donne 7,07.

CI est C imprimée à l’envers, généralement en rouge. La valeur v se trouve à 250 × (1 − log v) = 250 × log (10/v), la position de 10/v sur C. Sous le trait, CI donne toujours l’inverse de C avec une virgule décalée d’un rang. Sur C4, CI indique 2,5, soit 1/4 = 0,25. Multiplier par CI revient à diviser par la valeur C sous le même trait. On transforme ainsi une suite de divisions en multiplications sans déplacer sans cesse la réglette.

Cubes sur K, angles sur S et T

K, sur le bord du corps, va plus loin que A. Elle place trois copies de 1 à 10 sur 250 mm, donc v à 83,3 × log v. Un point u de D correspond à u³ sur K. Sur 2 de D, K indique 8 ; sur 2,5, elle indique 15,6, proche du résultat exact 15,625. Lire de K vers D donne une racine cubique et, comme pour A, le tiers de départ détermine la réponse. Le 2 du premier tiers donne 1,26, le 20 du milieu 2,71 et le 200 du dernier 5,85.

S et T, sous D, portent des angles. S place θ là où D montre 10 × sin θ, à 250 mm × log (10 sin θ). Sous le trait sur 30 de S, D donne 5, soit sin 30° = 0,5. S ne descend pas sous 5,74°, car sin 5,74° = 0,1 et une valeur inférieure sortirait à gauche. Pour les petits angles, on utilise sin θ proche de θ en radians, environ θ ÷ 57,3. T, ici rouge, fait de même pour les tangentes de 5,71° à 45° : sur 20, D donne 3,64, donc tan 20° = 0,364. Au-dessus de 45°, on utilise tan θ = 1 / tan (90° − θ) et lit l’inverse sur CI.

S et T étant sur le même corps que D, une valeur trigonométrique peut entrer directement dans une multiplication. Pour la hauteur d’une échelle de 12 m inclinée à 70°, mettez le trait sur 70 de S, amenez l’index C droit dessous, puis déplacez le trait sur 1,2 de C. D donne 1,13 : le haut de l’échelle est à 11,3 m.

Construire une échelle logarithmique

« Construire l’échelle » montre l’origine des graduations de D. Le ruban de papier part d’une règle ordinaire, de 1 à 10 par intervalles de 27,8 mm. Quand le réglage change, chaque marque rejoint 250 mm × log v. Le 2 passe de 27,8 mm à 75,3 mm, le 5 de 111,1 mm à 174,7 mm, le 10 reste à 250 mm. Les liaisons orange rejoignent les mêmes nombres sur D : l’échelle logarithmique est une échelle ordinaire dont les marques ont été déplacées.

Les fabricants utilisaient une machine à diviser, déplaçant un outil de coupe d’intervalles déterminés et gravant une ligne à chaque arrêt. Les positions venaient des tables de logarithmes. Une division plus fine demande davantage de lignes : le modèle trace 321 marques sur chacune de C et D, 321 sur les deux décades de A et 226 sur les trois de K.

Combien de chiffres peut-on lire ?

Essayez 3,14 × 2,72. Mettez l’index gauche sur 3,14 et le trait sur 2,72. Le produit exact est 8,5408. L’encadré donne 8,54, une différence de −0,0094 %. Près de 8,5, D est divisée par 0,05 avec des intervalles de 0,64 mm : le trait se trouve environ aux quatre cinquièmes entre 8,50 et 8,55, d’où 8,54. Un quatrième chiffre demanderait de diviser cet écart de 0,64 mm en cinquante parties. « Erreur de réglage » montre l’effet d’un petit décalage : une ligne bleue indique où un œil pressé pourrait placer le trait et l’encadré donne l’erreur en pourcentage.

La formule de l’échelle donne cette erreur. Un déplacement Δx change la valeur d’une fraction fixe :

Δv / v ≈ ln 10 × Δx / 250 mm

Une erreur de 1 mm représente ainsi 2,3026/250 = 0,92 % partout sur la règle ; un réglage précis à 0,1 mm donne 0,092 %. Près de l’index gauche, cela vaut 0,0009, assez peu pour estimer un quatrième chiffre de 1,234. À droite, c’est 9 × 0,00092 = 0,008, donc 9,87 est à peu près la limite. La règle pratique est que les traits gravés donnent deux chiffres et que l’utilisateur estime le troisième.

L’erreur étant une fraction fixe de la longueur, une échelle plus longue se lit plus finement. Une règle de 50 cm divise cette fraction par deux. Un chiffre supplémentaire entier demanderait dix fois la longueur, soit 2,5 m : les calculateurs longs enroulaient donc leur échelle en spirale ou autour d’un cylindre.

Quatre instruments sur le bureau

La règle de 25 cm était celle de la plupart des étudiants et ingénieurs. La version de poche est le même instrument raccourci. Le modèle jaune de 15 cm porte les mêmes échelles à 0,6 de la longueur : les résultats sont identiques, mais la lecture moins fine. Un décalage de 0,1 mm sur 150 mm change la valeur de 0,15 %, contre 0,09 % sur 250 mm. La règle d’Apollo 13 du National Air and Space Museum, une Pickett N600-ES, mesure 15,24 cm sur 3,81 cm, en aluminium et plastique. Sa notice indique que NASA l’a choisie pour sa popularité auprès des ingénieurs et parce qu’elle ne demandait aucune adaptation spatiale.

Un cercle à calcul enroule D sur un anneau fixe et C sur un disque intérieur tournant. Sans extrémités, il ne demande jamais de changer d’index. Placez le 1 du disque sur 7, le bras sur 4, et D montre aussitôt 2,8. Sur le cadran de 10 cm, la limite entre anneau et disque se trouve à 36 mm du centre : la longueur est donc 2π × 36 = 226 mm, presque celle d’une règle droite de 25 cm dans un corps deux fois moins long.

L’E6B est un cercle à calcul gradué pour les pilotes. L’extérieur se lit en distance ou carburant, l’intérieur en minutes. La flèche rouge à 60 indique la vitesse, car celle-ci exprime la distance par 60 minutes. Pour 120 nœuds, placez la flèche sous 120 et regardez au-dessus de 45 à l’intérieur : l’extérieur donne 90 milles marins. Le même réglage répond à la question inverse : combien de temps pour 90 milles marins à 120 nœuds ? Philip Dalton, pilote naval formé à l’ingénierie, a développé ces calculateurs dans les années 1930. L’E6B reste enseigné pour l’examen théorique des pilotes.

S’exercer sur le modèle

Les tâches sous « Commandes » demandent de régler soi-même un résultat, en faisant glisser les pièces ou avec les curseurs. Elles sont cochées quand la règle affiche la réponse, non quand on presse un bouton : 3,14 × 2,72, 8,4 ÷ 2,1, racine carrée de 50, sin 30°, trajet de 45 minutes sur l’E6B et cinq exercices réussis de suite.

La banque propose 33 problèmes pour une règle de 25 cm, de 2 × 3 à tan 40°. Résolvez-en un sur le modèle, saisissez la lecture et pressez « Vérifier ». Une réponse à 0,5 % près du résultat exact est acceptée, ce qu’une lecture attentive à trois chiffres permet. Le chronomètre démarre à la première réponse et s’arrête à la cinquième correcte consécutive ; le meilleur temps reste dans le navigateur. « Montrer sur la règle » joue les étapes du problème courant une par une.

Les différences avec une vraie règle

Les proportions et l’agencement suivent une règle courante de 25 cm. Les divisions C et D et les échelles A, B et CI sont tracées selon les formules ci-dessus, permettant de vraies lectures. Plusieurs éléments sont simplifiés :

• Les règles d’ingénieur portent généralement plus de neuf échelles : échelles repliées CF, DF, CIF et log-log pour les puissances. S et T sont souvent derrière la réglette. Le modèle les place toutes sur une face pour les lire ensemble.
• La règle de poche, le cercle et l’E6B représentent leurs types, sans copier un objet particulier. La face vent de l’E6B est une simple grille.
• L’encadré calcule les valeurs à partir des positions exactes et les arrondit à trois chiffres significatifs. Sur un vrai instrument, l’œil arrondit selon la lumière, la parallaxe et la finesse du trait.
• La réglette n’a ici aucun frottement et les brides aucune tension réglable. Sur une vraie règle, on desserre les vis des brides pour régler la résistance au glissement.
• L’exemple 3,14 utilise 3,14, pas π. Le repère π de C et D est à 3,1416, et 3,1416 × 2,7183 = 8,5397.

Des tables de Napier à la calculatrice de poche

John Napier a publié les logarithmes en 1614 dans Mirifici logarithmorum canonis descriptio. Vers 1620, Edmund Gunter a tracé une ligne logarithmique sur une règle et multiplié en reportant des longueurs au compas à pointes sèches. Les marins l’appelaient un « gunter ». William Oughtred est généralement crédité de la règle à calcul elle-même : vers 1622, il a fait coulisser deux échelles côte à côte. Il a aussi réalisé une version circulaire datée d’environ 1630.

Isaac Newton a suggéré une sorte de curseur en 1675, sans succès immédiat. Des règles spécialisées sont venues d’abord : celle de charpentier perfectionnée par Henry Coggeshall en 1677 est restée en usage 200 ans, tandis que les jauges calculaient le contenu des fûts et les droits d’accise. Dès 1799, la règle Soho de James Watt et Matthew Boulton servait aux machines à vapeur ; en 1815, Peter Roget, futur auteur du thesaurus, a inventé l’échelle log-log pour les puissances. La disposition du modèle remonte à Amédée Mannheim, officier d’artillerie français, dans les années 1850. Les sources donnent des dates de 1850 à 1859. Sa règle utilisait C et D pour l’essentiel, A et B pour les carrés et un curseur transversal. Keuffel et Esser aux États-Unis ont ajouté CI. Les fabricants allemands Dennert & Pape et Faber ont laminé du celluloïd sur bois, et la règle duplex de William Cox de 1891 portait des échelles sur les deux faces sous un curseur. Pour gagner des chiffres, on enroulait les échelles. Le calculateur cylindrique de George Fuller de 1878 portait 41 pieds, environ 12,5 m, en spirale. Le cylindre de poche d’Otis King, breveté en 1922, plaçait 66 pouces, environ 168 cm, dans un tube de 1,2 pouce, environ 3 cm de diamètre. Au Japon, Hemmi revêtait le bambou de celluloïd et fabriquait environ un million de règles par an dans les années 1960. L’Oughtred Society cite environ 40 millions d’exemplaires fabriqués au XXe siècle. Des règles Pickett ont volé en réserve sur Apollo. Celle d’Apollo 13 d’avril 1970 est au National Air and Space Museum. Wernher von Braun calculait le profil de poussée de Redstone avec une Nestler 23, et E. H. Lowry a conçu les accès du Golden Gate Bridge avec une Dietzgen.

La fin est arrivée vite. La HP-35 de Hewlett-Packard, première calculatrice scientifique de poche, a été commercialisée en 1972 à 395 dollars américains. En quelques années, des calculatrices moins chères ont rendu les règles dépassées. Sur Apollo-Soyouz en 1975, dernier vol du matériel Apollo, l’équipage emportait une calculatrice de poche Hewlett-Packard au lieu d’une règle.

Pourquoi un arrondi peut fausser le calcul suivant

Trois chiffres significatifs suffisent souvent pour comparer deux longueurs ou estimer une réserve de carburant. Ils ne garantissent pas trois chiffres utiles dans chaque calcul ultérieur. Supposons qu’il faille la différence entre 3,14 × 2,72 et 8,54. Ce sont des nombres choisis pour un exemple arithmétique, pas les mesures d’une machine. Le produit exact vaut 8,5408 : la différence est 0,0008. Si vous notez d’abord la lecture arrondie 8,54, la soustraction donne zéro. Le produit était très proche, mais l’arrondi a supprimé toute la différence recherchée.

La soustraction n’est pas une opération de la règle : elle se ferait à part sur papier. Un petit pourcentage d’erreur dans un grand résultat intermédiaire peut donc dépasser une petite réponse finale. Les chiffres supplémentaires de l’affichage exact expliquent cette perte sans améliorer la lisibilité des graduations. Cet affichage est une comparaison, non la preuve qu’on pourrait lire tous ses chiffres sur les marques du modèle.

Avant de déplacer la réglette, notez l’ordre de grandeur attendu et séparez la soustraction de quantités presque égales de la multiplication. Si leur différence recherchée est inférieure à l’incertitude de l’une des quantités, il faut une règle plus longue ou une autre méthode. Répéter la lecture ne restitue pas les informations perdues par arrondi. L’exemple découle de la formule logarithmique et de la lecture à trois chiffres décrites ci-dessus ; il ne suppose pas que cette soustraction figure dans la banque d’exercices.