Échecs : apprendre à jouer pas à pas

Une partie terminée avant la fin de l’opéra

En 1858, le joueur américain Paul Morphy était assis dans une loge de l’opéra de Paris, le dos tourné à la scène. Face à lui, de l’autre côté d’un échiquier, se trouvaient le duc Charles de Brunswick et le comte Isouard, qui se concertaient et jouaient ensemble le même camp. Frederick Edge, qui voyageait avec Morphy cette année-là, écrivit que le duc possédait un échiquier jusque dans sa loge et jouait pendant toute la représentation. La partie dura 17 coups. Morphy sacrifia un cavalier, puis une tour, puis sa dame, et termina par un coup de tour qui ne laissait au roi noir aucune case où aller.

Cette partie se joue toute seule au début de cette page. Les pièces se posent sur un échiquier en bois, la caméra s’approche depuis la pièce, et les 33 déplacements (17 des Blancs, 16 des Noirs) défilent en moins de dix secondes. Le reste de la page décompose la partie pour expliquer les règles qu’elle utilise. Vous pouvez faire glisser chaque pièce pour voir s’éclairer les cases qu’elle peut atteindre, essayer les trois coups particuliers (le roque, la prise en passant et la promotion), regarder quatre manières élémentaires de faire mat, et suivre une ouverture qui respecte cinq principes consignés par José Raúl Capablanca et Edward Lasker il y a environ un siècle.

La page aborde ensuite les nombres sur lesquels on s’interroge. Combien de parties différentes sont possibles ? Votre navigateur les compte lui-même pour les quatre premiers demi-coups, et la page compare ce décompte aux valeurs publiées et à l’estimation de Claude Shannon de 1950. Un cavalier visite les 64 cases, huit dames partagent un échiquier sans s’attaquer, et le nombre de grains de riz double de case en case jusqu’à ce que le tas d’une seule case dépasse le mannequin placé à côté de la table.

Les règles présentées ici suivent les Règles du jeu d’échecs de la FIDE entrées en vigueur le 1er janvier 2023. La FIDE, la fédération internationale des échecs, fut fondée à Paris en 1924 et a aujourd’hui son siège à Lausanne. Les numéros d’articles entre parenthèses, comme (FIDE 3.8.2), renvoient au paragraphe des règles qui énonce la même chose.

L’échiquier et la position de départ

Un échiquier comporte 64 cases disposées en une grille de 8 sur 8, alternativement claires et foncées. Les règles appellent les cases claires « blanches » et les foncées « noires », quelle que soit leur véritable couleur (FIDE 2.1). La première erreur que l’on commet en installant un échiquier concerne son orientation. On le place entre les joueurs de manière que la case d’angle la plus proche de la main droite de chaque joueur soit claire. Sur cette page, cette case, h1, est encadrée en bleu à l’étape de mise en place.

Chaque camp possède 16 pièces : un roi, une dame, deux tours, deux fous, deux cavaliers et huit pions. Les pièces blanches commencent sur la première rangée et leurs pions sur la deuxième ; les pièces noires commencent sur la huitième rangée et leurs pions sur la septième. Les tours occupent les angles, les cavaliers se placent à côté, puis les fous. La dame se place sur une case de sa propre couleur : la dame blanche commence donc en d1 (une case claire) et la dame noire en d8 (une case foncée), et les rois se tiennent à côté, en e1 et e8. Si les dames sont sur leur couleur et si h1 est claire, l’échiquier est correctement installé.

Les Blancs jouent les premiers. Les joueurs jouent ensuite à tour de rôle, un coup chacun, et il est toujours interdit de passer son tour.

Colonnes, rangées et noms des cases

Les huit colonnes sont désignées par les lettres a à h en partant de la gauche des Blancs. Les huit lignes sont appelées rangées et numérotées de 1 à 8 en partant du côté des Blancs (FIDE 2.4). Chaque case porte le nom de sa colonne et de sa rangée : a1 est l’angle à gauche des Blancs, h8 l’angle diagonalement opposé, et e4 la case devant le roi blanc une fois que son pion a avancé de deux cases.

Les coups s’écrivent en notation algébrique, décrite dans l’annexe C des règles. Chaque pièce, sauf le pion, possède une lettre majuscule : K pour le roi, Q pour la dame, R pour la tour, B pour le fou et N pour le cavalier. Un coup se compose de la lettre et de la case d’arrivée, ainsi Nf3 signifie « un cavalier va en f3 ». Pour les pions, seule la case est indiquée, par exemple e4. Une prise ajoute un x (Bxf3, ou exd5 pour un pion), un échec ajoute un signe plus et un mat un dièse (Rd8#). Le petit roque s’écrit O-O et le grand roque O-O-O. Si deux pièces de même nature peuvent atteindre la même case, on ajoute leur colonne ou leur rangée de départ, comme dans Rad1. Vous pouvez saisir les coups dans cette notation sur la scène : cliquez sur l’échiquier, tapez e4 et appuyez sur Entrée.

Comment se déplace chaque pièce

Les leçons de la scène placent une pièce sur un échiquier presque vide et éclairent toutes les cases où elle peut aller. Faites-la glisser, ou touchez-la puis touchez une case éclairée, et les lumières se déplacent avec elle. Dans ces leçons, les Noirs ne répondent pas, ce qui vous permet de déplacer plusieurs fois la même pièce. Deux règles s’appliquent à toutes les pièces. Une pièce ne peut pas se rendre sur une case déjà occupée par une pièce de sa couleur et, si elle se rend sur une case occupée par une pièce adverse, elle capture cette pièce, qui quitte l’échiquier (FIDE 3.1). Sur cette page, les pièces capturées sont alignées à côté de l’échiquier pour montrer les pertes de chaque camp.

Le roi

Le roi se déplace d’une case dans n’importe quelle direction : en avant, en arrière, sur le côté ou en diagonale (FIDE 3.8.1). Depuis le milieu de l’échiquier, cela représente huit cases, mais seulement trois depuis un angle. Le roi ne peut jamais se rendre sur une case attaquée par une pièce ennemie, et il n’est jamais capturé. La partie se termine plutôt lorsqu’il est attaqué et n’a aucune échappatoire. C’est le mat, expliqué plus bas.

La tour

La tour se déplace d’un nombre quelconque de cases sur sa colonne ou sa rangée, mais elle ne peut pas sauter par-dessus une pièce sur son chemin (FIDE 3.3 et 3.5). Sur un échiquier vide, une tour atteint 14 cases, quelle que soit sa position, car elle dispose toujours de sept cases sur sa colonne et de sept sur sa rangée. Aucune autre pièce n’a une portée indépendante de sa position.

Le fou

Le fou se déplace d’un nombre quelconque de cases sur une diagonale (FIDE 3.2). Une diagonale est une ligne de cases d’une même couleur (FIDE 2.4), donc un fou qui commence sur une case claire reste sur les cases claires pendant toute la partie. C’est pourquoi chaque camp possède deux fous : celui de c1 couvre les cases foncées et celui de f1 les cases claires. Un fou dans un angle atteint 7 cases ; au centre, il en atteint 13.

La dame

La dame réunit les déplacements de la tour et du fou : une distance quelconque sur une colonne, une rangée ou une diagonale (FIDE 3.4). Dans la leçon consacrée à la dame, elle commence en d4 et l’affichage compte les cases qu’elle peut atteindre. Sur un échiquier vide, elle en atteindrait 27, plus que toute autre pièce ; sur l’échiquier de la leçon, son propre roi en a1 lui en retire une, et 26 s’éclairent donc. Autrefois, la dame était l’une des pièces les plus faibles. La section sur les anciennes règles explique plus bas comment cela a changé.

Le cavalier

Le cavalier va sur l’une des cases les plus proches qui ne soit ni sur sa colonne, ni sur sa rangée, ni sur sa diagonale (FIDE 3.6). En pratique, son déplacement dessine un L : deux cases dans une direction et une case sur le côté. Le cavalier est la seule pièce qui saute. Les pièces situées entre son départ et sa case d’arrivée ne comptent pas : c’est pourquoi un cavalier peut quitter son angle dès le premier coup, alors que les autres pièces sont encore enfermées derrière leurs pions. Chaque déplacement du cavalier passe d’une case claire à une case foncée, ou inversement. Depuis le centre, un cavalier dispose de huit coups ; depuis un angle, seulement de deux.

Le pion

Le pion est la seule pièce qui ne puisse pas reculer. Il avance d’une case droit devant lui si cette case est vide. À son premier coup, il peut avancer de deux cases à la place, si elles sont toutes deux vides (FIDE 3.7.1 et 3.7.2). Sa prise diffère de son déplacement : il prend une case en diagonale vers l’avant, sur une case occupée par une pièce ennemie (FIDE 3.7.3). Un pion bloqué par une pièce devant lui ne peut pas du tout bouger, à moins d’avoir quelque chose à capturer. Dans la leçon sur le pion, le pion blanc de d2 avance de deux cases jusqu’à d4, puis capture en c5.

La valeur des pièces

Les joueurs comptent le matériel pour décider si un échange est avantageux. Capablanca écrivait en 1921 qu’il n’existe pas de tableau des valeurs complet et exact, seulement des comparaisons : un fou et un cavalier sont à peu près équivalents dans la plupart des cas, un fou vaut souvent plus de trois pions, une tour vaut un cavalier et deux pions, et deux tours sont légèrement plus fortes qu’une dame. Le moteur de cette page utilise des nombres fixes comme valeurs de modèle : pion 100, cavalier 310, fou 330, tour 500 et dame 900. L’affichage de l’onglet Jouer indique le bilan en pions, avec un petit bonus pour les pièces bien placées.

Trois coups particuliers

Le roque

Le roque est le seul coup qui déplace deux pièces à la fois. Le roi avance de deux cases vers l’une de ses tours, puis cette tour saute jusqu’à la case que le roi vient de traverser (FIDE 3.8.2). Quand les Blancs font le petit roque, le roi va de e1 à g1 et la tour de h1 à f1 ; pour le grand roque, le roi va en c1 et la tour de a1 à d1. Le roque met le roi à l’abri derrière ses pions et rapproche une tour du centre en un seul coup.

Le droit de roquer est définitivement perdu si le roi a déjà bougé, et perdu avec une tour donnée si cette tour a déjà bougé (FIDE 3.8.2.1). Le roque est également empêché pour le moment si une pièce se trouve entre le roi et la tour, si le roi est en échec, s’il devait traverser une case attaquée par l’adversaire, ou s’il arrivait en échec (FIDE 3.8.2.2). La deuxième leçon sur le roque le montre. Un fou noir en b5 attaque f1 : le roi ne peut donc pas traverser cette case et le petit roque ne s’éclaire pas. Le grand roque reste éclairé, car les cases utilisées par le roi, d1 et c1, sont sûres.

Remarquez ce que la règle ne dit pas. Lors du grand roque, la tour traverse b1, et b1 peut être attaquée. Seules les cases où le roi se trouve, passe ou arrive doivent être sûres.

La prise en passant

Un pion qui avance de deux cases à son premier coup pourrait échapper à un pion ennemi qui attend à côté de la case qu’il a sautée. Les règles ferment cette échappatoire. Si un pion avance de deux cases et arrive à côté d’un pion ennemi, ce dernier peut le capturer comme s’il n’avait avancé que d’une case, en arrivant sur la case sautée (FIDE 3.7.3.1). Le nom français signifie que la capture se fait au passage. Il existe une limite de temps : cette prise n’est légale qu’au coup immédiatement suivant. Si l’occasion n’est pas saisie aussitôt, elle est perdue (FIDE 3.7.3.2).

La leçon sur la prise en passant utilise une véritable partie du Blue Book of Chess de Staunton, Marache contre Morphy. Après 7.e5, les Noirs jouèrent 7...d5, avançant le pion d de deux cases au-delà du pion blanc en e5. Marache le prit en passant par 8.exd6. La scène s’arrête à cet instant et éclaire d6.

La promotion

Un pion qui atteint la dernière rangée ne peut pas rester un pion. Dans le cadre du même coup, il doit être remplacé par une dame, une tour, un fou ou un cavalier de sa propre couleur, au choix du joueur (FIDE 3.7.3.3). Le choix n’est pas limité aux pièces déjà capturées (FIDE 3.7.3.4), un joueur peut donc avoir deux dames ou davantage. Choisir autre chose qu’une dame s’appelle une sous-promotion. Cela paraît inutile, mais dans certaines positions seul un cavalier donne mat, et deux problèmes de cette page sont de ce type. Lorsque vous effectuez une promotion sur la scène, une petite fenêtre vous demande quelle pièce vous souhaitez.

Échec, mat et manières de faire partie nulle

Un roi est en échec lorsqu’une pièce ennemie l’attaque (FIDE 3.9.1). Un joueur ne peut jamais jouer un coup qui laisse son roi en échec ou l’y expose (FIDE 3.9.2). Cette seule règle suffit à définir le but du jeu. Si votre roi est en échec et qu’aucun coup légal ne l’en sort, vous êtes mat et la partie est perdue (FIDE 1.4.1 et 5.1.1). Personne ne capture jamais un roi.

Trois réponses à l’échec

La leçon sur l’échec place une tour noire en e8 face au roi blanc en e1 sur une colonne ouverte. Les Blancs disposent de trois sortes de réponses, et la scène n’éclaire que ces coups, car tous les autres sont illégaux.

• Déplacer le roi vers une case qui n’est pas attaquée. Ici, d1 et f1 sont libres.
• Interposer une pièce entre la tour et le roi pour couper la ligne. Le fou de d2 peut aller en e3, le cavalier de g1 en e2 et la dame en e4.
• Capturer la pièce qui donne échec. La dame en a4 peut prendre la tour en e8 le long de la diagonale.

Lorsqu’un cavalier donne échec, l’interposition est impossible, car les cavaliers sautent. Lorsque deux pièces donnent échec simultanément, ce qu’on appelle un échec double, seul un déplacement du roi est utile. La partie de Réti dans la bibliothèque se termine par un échec double suivi du mat.

Le pat

Si le joueur qui a le trait ne dispose d’aucun coup légal mais n’est pas en échec, la partie est nulle. C’est le pat (FIDE 5.2.1), la manière la plus courante pour un débutant de gâcher une partie gagnée. La leçon sur le pat montre un roi et une dame contre un roi seul dans un angle. Le coup 1.Qb6 semble resserrer le filet, mais il laisse le roi noir sans coup et sans échec, donc la partie est immédiatement nulle. La scène joue ensuite le bon coup, 1.Qb7, qui fait mat parce que le roi blanc protège la dame.

Les autres nulles

Une partie est également nulle lorsqu’aucun camp ne peut faire mat par une suite quelconque de coups légaux : c’est une position morte (FIDE 5.2.2). Roi contre roi est une position morte, tout comme roi et fou ou roi et cavalier contre roi. Un joueur peut réclamer la nulle lorsque la même position est sur le point d’apparaître pour la troisième fois, ou lorsque 50 coups de chaque camp se sont écoulés sans prise ni coup de pion (FIDE 9.2 et 9.3). Sans aucune réclamation, la partie est automatiquement nulle lorsque la même position apparaît cinq fois, ou après 75 coups de chaque camp sans prise ni coup de pion (FIDE 9.6). Les joueurs peuvent aussi simplement convenir de la nulle. L’onglet Jouer applique les règles automatiques.

Quatre mats élémentaires

La plupart des parties se décident bien avant leur fin, mais tout joueur a besoin de quelques schémas de mat qui fonctionnent à chaque fois. Le guide en joue quatre isolément. Vous pouvez mettre chacun en pause, revenir en arrière ou avancer avec les flèches, ou faire glisser le curseur des coups.

Le mat du couloir

Un roi qui a roqué se trouve généralement derrière trois pions. Cet abri devient un piège si une tour ou une dame ennemie atteint la dernière rangée, car les propres pions du roi lui retirent ses cases de fuite. Dans la leçon, la tour blanche va de d1 à d8, et c’est mat. Les joueurs s’en prémunissent en donnant à temps une case de fuite au roi, souvent en avançant l’un de ces pions d’une case.

L’escalier de deux tours

Deux tours peuvent mater un roi seul sans l’aide de leur propre roi. Une tour donne échec sur une rangée et repousse le roi ; l’autre protège la rangée suivante pour empêcher le roi de revenir en avant. Elles échangent ensuite leurs rôles. La leçon le fait en quatre coups : 1.Ra5 coupe le roi, 2.Rh6+ le repousse, 3.Ra7+ le repousse encore et 4.Rh8# termine sur le bord.

Le mat avec une dame soutenue

Une dame placée à côté du roi ennemi couvre toutes les cases autour de lui, mais le roi pourrait simplement la capturer. Si la dame est protégée, par son propre roi par exemple, cette prise est illégale et c’est mat. Dans la leçon, le roi blanc se tient en b6 et la dame arrive en b7, à côté du roi noir en a8.

Roi et dame contre roi

Avec seulement un roi et une dame, le camp le plus fort doit pousser le roi seul vers le bord. La dame reste à une distance d’un saut de cavalier du roi, ce qui l’enferme sans provoquer de pat, et réduit l’espace coup après coup. Le roi blanc s’approche ensuite pour protéger la dame lors de l’échec final. Capablanca écrivait que cette finale « devrait toujours être menée à bien en moins de dix coups ». Le moteur simple de cette page la joue depuis la position de la leçon en 12 coups, ce qui montre la différence entre une recherche courte fondée sur des règles et un champion du monde.

L’ouverture : cinq idées

La première douzaine de coups détermine où se tiendront les pièces pour le reste de la partie. Chess Fundamentals de Capablanca (1921) et Chess Strategy de Lasker (1915) donnent tous deux des principes pour l’ouverture, et cinq d’entre eux couvrent l’essentiel des besoins d’un débutant.

1. Occuper le centre. Les quatre cases centrales, e4, d4, e5 et d5, comptent le plus ; Capablanca qualifie le contrôle du centre de « grande importance ». Un pion en e4 ou en d4 ouvre aussi des lignes à la dame et à un fou.
2. Sortir les cavaliers et les fous. Lasker écrit qu’un « développement rapide est de la plus haute importance » : le joueur qui fait passer le premier ses pièces de leurs cases de départ peu commodes à des cases utiles a de meilleures chances.
3. Déplacer chaque pièce une seule fois. Capablanca : « Avant la fin du développement, aucune pièce ne devrait être déplacée plus d’une fois », sauf si cela gagne du matériel ou est nécessaire à la liberté d’action.
4. Garder la dame en retrait. Lasker qualifie une sortie précoce de la dame de « contraire aux principes qui gouvernent un jeu sain » : l’adversaire la chasse par des coups qui développent en même temps ses pièces.
5. Roquer. Le roi se met à l’abri et une tour se rapproche du centre.

L’étape sur l’ouverture joue une partie italienne, 1.e4 e5 2.Nf3 Nc6 3.Bc4 Bc5 4.c3 Nf6 5.d3 d6 6.O-O O-O 7.Re1, et la légende nomme l’idée utilisée par chaque coup. Aucune de ces règles n’est absolue, et l’exemple le plus célèbre de leur transgression est la partie de l’opéra elle-même. Lasker l’utilise pour montrer ce que coûte le temps perdu. Le deuxième coup des Noirs, d6, enferme le fou en f8, et leur troisième, Bg4, permet aux Blancs de gagner du temps, car le fou devra être échangé après avoir bougé deux fois. Au coup 12, les Blancs ont roqué et amené une tour sur la colonne d ouverte, tandis que le roi noir est encore au centre et que le fou en f8 et la tour en h8 n’ont pas bougé.

Problèmes : mat en un coup

L’onglet Problèmes propose 38 positions où le camp au trait peut donner mat en un coup. Elles sont regroupées par schéma : couloir, roi dans un angle, dame soutenue, deux tours, dame et fou, mat à l’étouffée (un cavalier attaque un roi enfermé par ses propres pièces), tour et cavalier, cavalier et tour sur le bord, promotion, promotion en cavalier, mat par prise en passant, mat par roque et positions issues de véritables parties. Le dernier groupe reprend l’instant final de cinq parties : le mat du sot, le mat du berger, la partie de l’opéra, Réti contre Tartakower et Marache contre Morphy.

Chaque problème a été conçu pour cette exposition et vérifié par le programme même qui fait fonctionner la scène. Il joue chaque coup légal de la position et examine ce qui reste. Un problème n’est conservé que si exactement un coup donne mat, ce qui exclut toute seconde réponse. La vérification s’assure aussi que la position pourrait se produire en partie : les deux rois sont présents, le camp qui vient de jouer n’est pas en échec, et aucun pion ne se trouve sur la première ou la dernière rangée. Si vous jouez un mauvais coup, la scène indique s’il donnait échec ou non, puis remet les pièces en place. L’indice éclaire la pièce à déplacer ; le bouton de réponse trace une flèche.

Dans certains problèmes, les Noirs ont le trait. L’échiquier se retourne alors pour placer les Noirs en bas.

Combien existe-t-il de parties d’échecs ?

Au départ, les Blancs disposent de 20 coups possibles : chacun des huit pions peut avancer d’une ou de deux cases, et chaque cavalier a deux cases à disposition. Les Noirs ont les mêmes 20 réponses : après un coup de chaque côté, il existe donc 400 positions possibles. Le décompte continue ainsi, un demi-coup à la fois (un demi-coup est un coup d’un seul camp), et croît très rapidement.

Ces décomptes proviennent de l’On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (suites A048987 et A079485). Le laboratoire sous les commandes recompte les quatre premières lignes dans votre navigateur, en jouant chaque coup légal depuis chaque position, puis compare son résultat aux nombres publiés. Quatre demi-coups représentent 197 281 lignes et demandent un instant sur un téléphone. Les programmeurs appellent ce genre de décompte perft ; c’est le test de référence d’un générateur de coups d’échecs : une seule règle manquante, comme autoriser une prise en passant qui exposerait son propre roi, modifie le résultat. Les règles de cette page ont été vérifiées de cette manière depuis la position initiale et depuis cinq autres positions de test bien connues, riches en roques, prises en passant et promotions.

La colonne des mats réserve une petite surprise. Aucune partie ne peut se terminer par un mat avant le quatrième demi-coup, et exactement 8 parties s’achèvent par un mat au quatrième. Le mat du sot, 1.f3 e5 2.g4 Qh4#, est l’une d’elles.

L’estimation de Shannon

En 1950, l’ingénieur Claude Shannon publia un article intitulé « Programming a Computer for Playing Chess ». Il remarquait qu’une position typique offre environ 30 coups légaux, si bien qu’un coup des Blancs et une réponse des Noirs donnent environ 10³ possibilités, et qu’une partie typique dure environ 40 coups. Cela donne 10¹²⁰ parties possibles. Une machine examinant une partie par microseconde, écrivait-il, aurait besoin de plus de 10⁹⁰ années pour choisir son premier coup. Ce chiffre s’appelle aujourd’hui le nombre de Shannon. C’est une estimation d’ordre de grandeur, et non un décompte.

Shannon estimait aussi le nombre de positions à 64! divisé par 32!, le carré de 8! et 2!⁶, « soit approximativement 10⁴³ ». Le laboratoire calcule exactement cette expression : c’est un nombre de 43 chiffres qui commence par 4634.

Des estimations ultérieures divergent

Dans sa thèse de 1994 à l’université du Limbourg, à Maastricht, Victor Allis estimait le nombre de positions plus élevé, à environ 10⁵⁰, avec une borne supérieure de 5 × 10⁵² en incluant toutes les promotions possibles, et jugeait le chiffre de 10⁴³ trop faible. Pour la taille de l’arbre du jeu, il utilisait une moyenne de 35 coups par position et une longueur de partie de 80 demi-coups, ce qui donne environ 10¹²³. Aucun de ces nombres n’est exact. Ils comptent des choses différentes de manières différentes, et la page les présente côte à côte. Aucune des sources utilisées ici ne donne un décompte exact des positions légales aux échecs.

Le parcours du cavalier

Un cavalier peut-il visiter chaque case de l’échiquier exactement une fois ? Oui, et la question est étudiée depuis des siècles. Leonhard Euler présenta un article à ce sujet en 1759, imprimé en 1766, avec des méthodes pour construire des parcours, notamment fermés, où la dernière case est à un saut de cavalier de la première, ce qui permettrait au cavalier de recommencer.

L’onglet Grands nombres joue un parcours fermé depuis b1 et inscrit sur l’échiquier l’ordre des cases. Le parcours est trouvé avec une règle simple : toujours sauter vers la case qui offre le moins de sorties encore disponibles, avec un peu de retour sur trace lorsque la règle mène à une impasse. Cette règle seule trouve un parcours complet depuis chacune des 64 cases de départ, et la vérification de l’exposition le confirme. Vous pouvez aussi essayer vous-même. Choisissez une case de départ et sautez ; le bouton d’indice éclaire les cases ayant le moins de sorties.

Combien existe-t-il de parcours ? En 1996, Löbbing et Wegener publièrent un décompte de 33 439 123 484 294 parcours fermés. Brendan McKay les recompta avec une autre méthode en 1997 et constata que le calcul précédent avait été mal effectué. Son total est de 13 267 364 410 532 parcours fermés, en comptant une seule fois un parcours et son inverse, ou de 1 658 420 855 433 si les rotations et les symétries de l’échiquier comptent aussi pour une seule solution. Les parcours ouverts, qui ne reviennent pas au départ, sont bien plus nombreux : l’OEIS répertorie 19 591 828 170 979 904 parcours ouverts orientés sur l’échiquier de 8 sur 8.

Le laboratoire mesure aussi la distance du cavalier. Pour aller de b1 à h8, il lui faut 5 coups, et l’une des tâches consiste à le faire en cinq.

Huit dames

Une dame attaque chaque case de sa colonne, de sa rangée et de ses diagonales. Combien de dames peuvent partager un échiquier sans qu’aucune en attaque une autre ? Pas plus de huit, puisque chacune a besoin d’une rangée pour elle seule. Huit est possible, et il existe exactement 92 manières de les placer. Si les placements qui sont des rotations ou des images en miroir les uns des autres comptent pour une seule solution, il reste 12 solutions différentes.

Edsger Dijkstra utilisa ce problème dans ses notes sur l’art de la programmation, EWD 316, pour présenter une méthode appelée retour sur trace. Placez une dame sur la première rangée, puis une sur la deuxième à un endroit sûr, et ainsi de suite. Quand aucune case sûre ne reste, revenez d’une rangée et déplacez cette dame. Appliquée soigneusement, la méthode rencontre chaque possibilité une seule fois et trouve les 92 solutions en une fraction de seconde, ce que fait cette page lors de son chargement.

Sur la scène, vous pouvez parcourir les 92 solutions ou placer les dames vous-même. Les cases attaquées deviennent rouges, et les paires de dames qui s’attaquent sont reliées par une ligne rouge. Lorsque huit dames sont en sécurité, la page vous indique laquelle des 92 solutions vous avez trouvée et en conserve une liste dans le laboratoire. Le tableau y donne aussi les décomptes de l’OEIS pour d’autres tailles d’échiquier : aucune solution sur les échiquiers de 2 sur 2 ou de 3 sur 3, 2 sur un échiquier de 4 sur 4, 10 sur un échiquier de 5 sur 5, puis 4, 40 et 92.

Du riz sur l’échiquier

Un vieux récit demande une récompense en grains : un grain sur la première case de l’échiquier, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, en doublant sur chaque case jusqu’à la case 64. L’historien H. J. R. Murray, dans A History of Chess (1913), suit « le doublement des cases de l’échiquier » à travers des sources arabes et d’anciens manuscrits occidentaux de mathématiques. Dans le conte arabe qu’il cite, il s’agit de céréales. Beaucoup de versions modernes utilisent du riz, et cette page aussi.

La case k contient 2 à la puissance k − 1 grains, et les k premières cases réunies contiennent un grain de moins que la case suivante : 2ᵏ − 1. Les 64 cases contiennent en tout 18 446 744 073 709 551 615 grains.

Un grain de riz usiné pèse approximativement 20 mg. C’est une estimation : le poids de 1000 grains est une mesure standard pour une variété de riz et varie d’une variété à l’autre, comme le précisent les recommandations de culture de la FAO, et le laboratoire vous permet donc de le modifier. À 20 mg, tout l’échiquier contient environ 3,7 × 10¹¹ tonnes. Le Food Outlook de novembre 2025 de la FAO donne une production mondiale de riz pour 2024/25 de 549,8 millions de tonnes, en riz usiné. L’échiquier demanderait environ 671 années de récolte mondiale entière.

La scène montre les premières cases grain par grain, puis construit un tas à côté de la table pour le riz d’une seule case, avec une pente de 32 degrés et une masse volumique apparente de 0,78 tonne par mètre cube (deux estimations). La case 31 contient à elle seule 1 073 741 824 grains, soit environ 21,5 tonnes, et son tas mesure environ 1,8 m de haut, un peu plus que le mannequin de 1,7 m. Sur la case 32, le tas atteint presque 9 m de large.

Avant 1500 : un jeu plus lent

Les échecs n’ont pas toujours eu les règles actuelles. Murray fait remonter le jeu européen à son ancêtre indien, le chaturanga, au début du VIIe siècle, et décrit son passage par la Perse et le monde arabe, où il s’appelait shatranj, avant son arrivée en Europe. Deux pièces étaient très différentes. La pièce à côté du roi, le fers ou conseiller, ne se déplaçait que d’une case en diagonale. La pièce à la place du fou, l’alfil ou éléphant, sautait exactement deux cases en diagonale, par-dessus tout ce qui se trouvait entre les deux.

The Game and Playe of the Chesse de William Caxton, l’un des premiers livres imprimés en anglais, conserve les anciens déplacements. Caxton data la fin de sa traduction du dernier jour de mars 1474 ; comme l’année commençait alors à Pâques, cela correspond au 31 mars 1475 selon notre calendrier, comme l’explique l’éditeur du livre. Sa dame « va du noir au noir, ou du blanc au blanc », d’un pas en diagonale, et son alphyn « parcourt trois points », en comptant sa propre case, ce qui correspond à un saut de deux cases. Avec des pièces aussi lentes, il fallait de nombreux coups pour préparer une attaque.

Puis, dans les dernières années du XVe siècle, un nouveau jeu apparaît en Italie, en France et en Espagne. Murray écrit qu’il ne différait de l’ancien que sur deux points : la dame et le fou reçurent les déplacements qu’ils ont encore aujourd’hui. Il portait des noms tels que « scacchi de la donna » et « esches de la dame enragée », le jeu de la dame. En 1600, il s’était répandu dans toute l’Europe occidentale, et les pièces plus rapides donnaient à l’ouverture une importance qu’elle n’avait pas auparavant.

Activez « Règles avant 1500 » : la scène montre un ancien échiquier simple aux cases marquées et éclaire les anciens déplacements de la dame et du fou. La différence se voit facilement. Depuis d4, l’ancienne dame atteint quatre cases au lieu de 27, et un ancien fou ne peut jamais visiter que 8 cases de l’échiquier, quel que soit son itinéraire.

Des machines qui jouent aux échecs

Le Turc

À partir des années 1770, un meuble surmonté d’un personnage assis parcourut l’Europe et battit des visiteurs aux échecs. En 1821, Robert Willis publia An Attempt to Analyse the Automaton Chess Player of Mr. de Kempelen, soutenant à partir de ses dimensions et de son comportement qu’il ne s’agissait pas du tout d’une machine, mais qu’il était « entièrement dirigé et contrôlé par un agent humain dissimulé ». Un fort joueur se tenait caché à l’intérieur.

Le projet de Shannon

L’article de Shannon de 1950 proposait un véritable programme. Puisque personne ne peut examiner les 10¹²⁰ parties, une machine devrait regarder quelques coups en avant, attribuer une note à chaque position obtenue (d’abord le matériel, puis des éléments comme la mobilité des pièces et la structure des pions) et choisir le coup qui mène à la meilleure note, en supposant que l’adversaire joue bien lui aussi. Depuis, les programmes d’échecs reposent sur cette idée. L’exposition en ligne Mastering the Game du Computer History Museum retrace la suite de cette histoire.

Deep Blue

En 1997, Deep Blue d’IBM remporta un match de six parties contre le champion du monde Garry Kasparov. IBM indique une vitesse de 200 millions de positions évaluées par seconde sur 32 processeurs. Ses concepteurs, Murray Campbell, Joseph Hoane et Feng-hsiung Hsu, décrivirent la machine dans la revue Artificial Intelligence en 2002.

AlphaZero

En 2017, David Silver et ses collègues décrivirent AlphaZero, un programme qui ne connaissait que les règles et apprenait en jouant contre lui-même. Partant d’un jeu aléatoire, il atteignit ce que les auteurs appellent un niveau surhumain aux échecs, au shogi et au go en moins de 24 heures, et battit un programme champion du monde dans chacun de ces jeux.

Le moteur de cette page

L’adversaire de l’onglet Jouer est bien plus simple que l’un ou l’autre. Il a été écrit pour cette exposition à partir des seules règles. Il génère chaque coup légal, regarde un à trois demi-coups en avant avec une méthode classique d’élagage (la recherche alpha-bêta), continue à suivre les prises en fin de recherche pour ne pas s’arrêter au milieu d’un échange, et évalue les positions avec les valeurs de pièces indiquées plus haut, plus une petite table qui récompense les cavaliers centraux, les pions avancés et un roi abrité. À la force la plus faible, il ajoute du bruit aléatoire à ses choix pour commettre des erreurs de débutant, mais ne manque jamais un mat en un coup. Deux joueurs peuvent aussi partager le même écran.

Le moteur et les règles derrière chaque leçon utilisent le même code. Avant la publication de la page, un programme de vérification compte l’arbre des coups depuis six positions de test, résout les 38 problèmes, rejoue chaque partie de la bibliothèque pour s’assurer qu’elle se termine comme annoncé, et confirme les nombres des huit dames et des parcours du cavalier.

À essayer

• Laissez la partie de l’opéra se terminer, puis appuyez sur « Regarder lentement » et lisez les légendes aux coups 6, 9 et 16.
• Dans la leçon sur le cavalier, comptez ses coups possibles lorsqu’il se trouve dans un angle.
• Essayez de roquer en traversant la case attaquée dans la deuxième leçon sur le roque. Le roi refusera de passer.
• Faites la promotion d’un pion en cavalier pour voir la fenêtre de choix, puis trouvez les deux problèmes où seul un cavalier donne mat.
• Dans Jouer, activez « Cases attaquées » et regardez les cases rouges changer à mesure que les pièces sortent.
• Trouvez votre propre solution des huit dames et découvrez laquelle des 92 c’est.
• Saisissez votre date de naissance dans Moi. L’échiquier de riz montre combien de grains contient la case de votre âge.
• Activez les anciennes règles et essayez d’amener l’ancien fou de c1 à d2. Il ne pourra jamais y arriver.