Angles au billard : viser, effet et système des mouches

Pourquoi la bille ne va pas là où vous avez visé

Observez un bon joueur de trois bandes pendant quelques minutes et une chose saute aux yeux. La bille blanche va très rarement en ligne droite depuis la queue jusqu’à l’endroit où elle s’arrête. Elle effleure une bille, longe une bande, repart sous un angle qui semble faux, s’incurve un peu sur le tapis et arrive à la dernière bille comme si on l’avait guidée. Rien ne la guide. Chaque changement de direction de cette trajectoire vient de trois choses : l’angle sous lequel deux billes se rencontrent, l’effet que la queue a donné à la bille, et le frottement entre la bille, le tapis et la bande.

Cette page vous permet de séparer ces trois choses. La table de la scène est construite aux dimensions des règlements des deux instances mondiales : l’Union Mondiale de Billard (UMB) pour le carambole et la World Pool-Billiard Association (WPA) pour le pool. Les billes sont animées par un modèle physique qui suit, deux mille fois par seconde, la position de chaque bille, sa vitesse et sa rotation autour des trois axes. Quand vous tirez, ce que vous voyez est le modèle en train de calculer le coup, et non un enregistrement.

Dès les premières secondes, un point de trois bandes se joue tout seul : la bille blanche frôle la jaune, touche trois bandes et atteint la rouge, en laissant derrière chaque bille un trait sur le tapis. Ensuite, le guide parcourt les idées qui rendent ce coup possible, une à la fois, chacune avec une démonstration et un coup à essayer. La visée avec la bille fantôme vient en premier, puis l’épaisseur, l’angle de coupe et la règle des 90 degrés. Vous voyez ensuite pourquoi une bille frappée en son centre glisse avant de rouler, et sur quelle distance exacte. Le coulé et le rétro, l’effet latéral à la bande, le système des mouches que les joueurs de trois bandes utilisent pour préparer des coups à trois bandes, la courbe de la bille avec une queue relevée et l’empochage sur une table de pool complètent le parcours.

Sous les commandes se trouvent des tâches à étoiles, une collection des types de coups que vous avez joués, des tableaux des valeurs qui sous-tendent le modèle et quelques calculateurs. Autour de la table, treize choses sont à trouver. Le texte ci-dessous explique la physique avec les valeurs que la scène utilise, afin que vous puissiez les vérifier.

Deux tables, selon les règlements

La table de carambole

L’article 11 des World Rules of Carom Billiard de l’UMB fixe la table. La surface de jeu, mesurée à l’intérieur des bandes, mesure 2,84 m de long sur 1,42 m de large, avec une tolérance de 5 mm dans les deux sens. Ce sont exactement deux carrés côte à côte, ce qui explique pourquoi les mouches d’une table de carambole divisent les deux rails en intervalles égaux : huit dans la longueur et quatre dans la largeur, espacées de 355 mm. L’ardoise sous le tapis doit avoir au moins 45 mm d’épaisseur. Le dessus du cadre se trouve entre 75 et 80 cm au-dessus du sol. Les bandes sont en caoutchouc, et leur arête avant, le nez, est à 37 mm de hauteur, avec une tolérance de 1 mm.

Le même article contient une ligne qui surprend la plupart des gens : les tables des tournois officiels doivent avoir un chauffage électrique avec thermostat, allumé dès l’installation de la table et jusqu’à la fin de la compétition. La chaleur chasse l’humidité de l’ardoise et du tapis, et le règlement en donne la raison en termes simples : assurer le meilleur roulement possible. Une bille de trois bandes parcourt souvent plusieurs mètres en un coup, et un tapis humide en retirerait une part notable.

L’article 12 traite des billes. Il y en a trois, elles doivent être rigoureusement rondes, avoir un diamètre compris entre 61 et 61,5 mm (le texte anglais dit « cm », une faute de frappe ; les règles du jeu de cinq quilles donnent la même fourchette en mm) et peser entre 205 et 220 g. Dans un même jeu, la bille la plus lourde et la plus légère ne doivent pas différer de plus de 2 g. L’article 15 demande au moins 520 lux partout sur le tapis, mesurés avec le luxmètre posé sur le tapis, prévient que l’éblouissement commence à 5000 lux en vue directe, et place la source de lumière à au moins 1 m au-dessus de la surface de jeu.

La table de pool

Les Recommended Equipment Specifications de la WPA décrivent une table de 9 pieds dont la surface de jeu mesure 100 sur 50 pouces, soit 2,54 sur 1,27 m, de nouveau exactement deux carrés. Les rails font de 4 à 7,5 pouces de large, bande comprise. Les 18 mouches (les diamants) sont encastrées au ras du dessus du rail, espacées de 12,5 pouces (317,5 mm), chacune à 93,7 mm en retrait du nez de la bande. La hauteur du nez est donnée comme une part de la bille : 63,5 % du diamètre, à 1 % près. L’ardoise doit avoir au moins un pouce d’épaisseur et être plane à 0,508 mm près dans la longueur et à 0,254 mm près dans la largeur.

Les billes de pool sont plus petites et plus légères : 57,15 mm de diamètre et de 156 à 170 g, en résine phénolique coulée, avec une bille blanche et quinze billes objets numérotées. Une bille de carambole est environ 7 % plus large et 30 % plus lourde. Les poches sont spécifiées au millimètre : l’ouverture d’une poche de coin, mesurée entre les nez des bandes à l’endroit où ils tournent vers la poche, est de 4,5 à 4,625 pouces (114,3 à 117,5 mm), et l’ouverture d’une poche de milieu est plus large d’un demi-pouce, soit 127 à 130,2 mm. La bande à une poche de coin doit être coupée à 142 degrés et, à une poche de milieu, à 104 degrés.

La WPA donne aussi un test de la vivacité des bandes. La bille blanche, placée sur le point de départ et jouée par le point de pied avec une queue horizontale, au centre de la bille et d’un coup ferme, doit parcourir au moins quatre à quatre longueurs et demie de table sans sauter. Sur la table de pool de la scène, un coup au centre demande environ 6,2 m/s pour couvrir quatre longueurs ; à 4 m/s, la bille en couvre 2,9. C’est à peu près ce que « un coup ferme » veut dire en chiffres.

Les deux côte à côte

Sur la scène, le sélecteur du haut change la table. La table de carambole n’a pas de poches, a trois billes et un plateau chauffé ; la table de pool a six poches, des billes plus petites et un tapis vert (la WPA admet le vert jaune, le vert bleu ou le bleu électrique). Le personnage à côté de la table mesure 1,7 m. Entrez votre propre taille dans Moi et il change ; le laboratoire vous dit aussi si vous pourriez atteindre le milieu de chaque table sans le râteau, en comptant une allonge de 0,62 fois votre taille au-delà du bord du rail. Ce rapport est une estimation, pas une mesure.

Viser avec la bille fantôme

Supposons que vous vouliez envoyer une bille objet vers une poche. La bille objet partira le long de la droite qui passe par les deux centres au moment du contact, la ligne des centres ; au contact, le centre de la bille blanche doit donc se trouver sur cette droite, à un diamètre de bille derrière la bille objet. Imaginez une seconde bille à cet endroit, qui touche la bille objet du côté opposé à la poche. Cette bille imaginaire est la bille fantôme, et viser consiste à envoyer le centre de la bille blanche au centre du fantôme.

En chiffres : si la bille objet est en O et la poche en P, le centre G du fantôme est

G = O − 2R (P − O) / |P − O|

où R est le rayon de la bille. Dans la leçon du fantôme sur la scène, la jaune 1 est en (0,60 ; 0,28) m par rapport au centre de la table de pool, la poche du coin supérieur droit en (1,27 ; 0,635), et R vaut 28,6 mm. Le fantôme se trouve en (0,5495 ; 0,2532). Depuis la bille blanche en (−0,55 ; −0,10), il est à 1,155 m, dans une direction à 17,8 degrés au-dessus de l’axe long, et le coup de la leçon enregistré dans la scène utilise exactement cet angle. Dans le modèle, la bille entre.

La bille fantôme n’est pas le point où les billes se touchent. Ce point de contact se trouve à mi-chemin entre les deux centres, à la surface de la bille objet. Les joueurs qui visent avec le centre de la bille blanche le point de contact au lieu du fantôme frappent la bille trop épais et sous-coupent chaque coup ; l’écart entre les deux points de visée est d’un rayon de bille entier.

Épaisseur et angle de coupe

Regardez la bille objet le long de votre ligne de visée. La part de cette bille que la bille blanche va couvrir s’appelle l’épaisseur, ou fraction de bille touchée f. Un coup plein la couvre en entier (f = 1). Viser avec le centre de la bille blanche le bord de la bille objet en couvre la moitié (f = 1/2). L’angle entre la ligne de visée et la ligne des centres, l’angle de coupe φ, découle de la géométrie de deux cercles égaux :

f = 1 − sin φ, donc φ = asin(1 − f).

Un coup à la demi-bille est donc une coupe de 30 degrés, un quart de bille donne environ 48,6 degrés, un huitième 61 degrés et un seizième 69,6 degrés. Le tableau du laboratoire les énumère avec ce qui arrive ensuite à la bille blanche. Les coupes fines sont difficiles pour une raison simple : près de f = 0, un petit changement de la visée modifie beaucoup l’angle de coupe. De f = 1/2 à f = 1/4, la coupe augmente de 18,6 degrés ; de 1/8 à 1/16, elle augmente de 8,6 degrés pour un déplacement de la visée de seulement 3,8 mm sur une bille de carambole.

Sur la scène, l’affichage donne l’angle de coupe et l’épaisseur pour la ligne de visée actuelle avant que vous tiriez, et les lignes de visée tracent trois directions à partir du fantôme : la trajectoire de la bille objet (rouge), la tangente perpendiculaire à celle-ci (bleue) et la direction que prendrait une bille blanche qui roule (jaune).

La règle des 90 degrés

Frappez une bille objet avec une bille blanche sans effet à l’instant du contact, un coup stun, et les deux billes se séparent à angle droit. La bille objet part le long de la ligne des centres et la bille blanche le long de la tangente, perpendiculaire à celle-ci. Cela vaut pour tous les angles de coupe, ce qui en fait l’un des faits les plus utiles à la table : vous voyez où ira la bille blanche avant de tirer.

La démonstration repose sur deux lois de conservation. Prenons des masses égales m, une vitesse d’arrivée v et des vitesses de sortie v₁ (bille blanche) et v₂ (bille objet). Quantité de mouvement : m v = m v₁ + m v₂, donc v = v₁ + v₂. Énergie, pour un contact parfaitement élastique et sans frottement : ½ m v² = ½ m v₁² + ½ m v₂², donc v² = v₁² + v₂². Élevons la première équation au carré : v² = v₁² + v₂² + 2 v₁·v₂. Les deux ensemble donnent v₁·v₂ = 0 : soit une bille est au repos, soit les deux vitesses sont perpendiculaires. Les trois vecteurs forment un triangle rectangle dont v est l’hypoténuse, ce qui explique aussi pourquoi la vitesse de la bille objet est v cos φ et celle de la bille blanche v sin φ.

Les vraies billes ne sont pas parfaitement élastiques. David Alciatore, de la Colorado State University, donne un coefficient de restitution typique d’environ 0,93 pour les billes de pool et conclut que la règle des 90 degrés est plus proche d’une règle des 85 degrés. Les billes frottent aussi l’une contre l’autre pendant l’instant où elles se touchent, et ce frottement modifie encore un peu l’angle. Le modèle de cette page utilise une restitution de 0,95 et un frottement bille-bille de 0,06, tous deux dans les fourchettes qu’Alciatore indique (0,92 à 0,98, et 0,03 à 0,08). Avec ces valeurs, une coupe stun donne un angle de séparation de 81,6 degrés pour une coupe de 15 degrés, 83,9 pour 30, 85,0 pour 45, 85,7 pour 60 et 86,2 pour 75. La vérification qui accompagne cette page confirme qu’avec une restitution de 1 et sans frottement l’angle vaut 90 degrés à 0,05 près pour toutes les coupes, et que la quantité de mouvement est conservée exactement dans les deux cas, alors que l’énergie ne l’est que dans le cas idéal.

La règle a une exception : un coup stun parfaitement droit, sans coupe. La bille blanche s’arrête alors sur place et la bille objet prend sa vitesse, c’est le coup d’arrêt. Avec une restitution e, la bille blanche garde (1 − e)/2 de sa vitesse, soit 2,5 % dans ce modèle, ce qui explique qu’un vrai coup d’arrêt avance encore d’un centimètre ou deux.

D’abord glisser, rouler ensuite : la règle des 12/49

Frappez une bille exactement en son centre et elle ne roule pas au début. Elle quitte la queue en glissant, sans rotation, et le tapis freine le bas de la bille. Ce frottement ralentit la bille et, au même moment, la met en rotation dans le sens du roulement. Quand la rotation a rattrapé la vitesse, le bas de la bille cesse de glisser sur le tapis et la bille roule.

Le calcul est court. La force de frottement est μ m g, où μ est le frottement de glissement entre la bille et le tapis, environ 0,2 (Alciatore indique 0,15 à 0,4 ; Mathavan, Jackson et Parkin ont mesuré 0,178 à 0,245 sur une table de snooker avec une caméra à grande vitesse). La bille ralentit de μ g. La même force agit avec un bras de levier R autour du centre, et le moment d’inertie de la bille est (2/5) m R², si bien que sa rotation augmente de (5/2) μ g / R. Le glissement au bas de la bille, v − R ω, diminue donc de μ g + (5/2) μ g = (7/2) μ g. À partir de v₀ sans rotation, il atteint zéro au bout de

t = 2 v₀ / (7 μ g).

Pendant ce temps, la bille parcourt v₀ t − ½ μ g t², ce qui donne

d = 12 v₀² / (49 μ g),

et elle roule alors à 5/7 de sa vitesse initiale. À 2 m/s et avec μ = 0,2, cela fait 0,29 s et 0,50 m, et la bille continue de rouler à 1,43 m/s. À 1 m/s, c’est 0,125 m ; à 4 m/s, 2,0 m. Sur un tapis plus lent et plus neuf, avec μ = 0,3, la distance à 2 m/s tombe à 0,33 m ; sur un tapis usé, avec μ = 0,15, elle monte à 0,67 m. Deux septièmes de l’énergie cinétique de la bille passent dans le tapis pendant le glissement, quelle que soit la vitesse.

Sur la scène, la leçon du roulement joue un coup au centre à 2 m/s et pose un anneau à l’endroit où le modèle place le début du roulement. L’étiquette indique 0,50 m, contre 0,50 m pour la formule. La vérification répète cela à 1, 2 et 4 m/s et compare la distance, la durée et la vitesse aux formules à 2 mm et 2 ms près. Rod Cross, de l’Université de Sydney, a mesuré à quoi ressemble ce passage du glissement au roulement sur une surface feutrée, et le même modèle simple, avec un frottement de glissement constant suivi d’un frottement de roulement bien plus faible, est le point de départ habituel.

Le même calcul indique où frapper pour obtenir une bille qui roule tout de suite. L’effet qu’une queue donne est ω = 5 v b / (2 R²), où b est la hauteur de la pointe au-dessus du centre (TP A.12 d’Alciatore). Le roulement demande ω = v / R, donc b = 0,4 R. Ce point, à 70 % de la hauteur de la bille, est le centre de percussion. Frappée là, la bille ne glisse pas du tout.

Coulé et rétro

L’effet donné par la pointe

Déplacez la pointe au-dessus du centre et la bille part avec un effet de dessus, plus que ce que demande le roulement si la pointe est au-dessus de 0,4 R. Déplacez-la sous le centre et la bille part avec un effet de dessous. Jusqu’où peut-on s’écarter du centre ? L’analyse d’Alciatore place la limite utile à environ la moitié du rayon. Au-delà de 0,5 R, la pointe risque de glisser hors de la bille pendant le millième de seconde où elles se touchent, un faux coup (miscue), même avec de la craie. Le pad d’effet de la scène trace cette limite sous la forme d’un anneau en pointillés et ne vous laisse pas la dépasser.

Ce qui se passe à la bille objet

Au contact, les billes se touchent bien moins d’une milliseconde et leurs surfaces sont lisses, de sorte que presque aucun effet de la bille blanche n’est transmis. La bille blanche perd l’essentiel de sa vitesse le long de la ligne des centres mais garde presque tout son effet. Sur un coup plein, cela laisse une bille blanche presque à l’arrêt, en rotation. L’effet de dessus la pousse alors en avant derrière la bille objet, c’est un coulé ; l’effet de dessous la ramène vers le joueur, c’est un rétro.

Dans la leçon du coulé de la scène, la bille blanche est frappée à 1,5 m/s avec la pointe à 0,3 R au-dessus du centre, touche la rouge à plein et file 0,57 m au-delà du contact. Dans la leçon du rétro, elle est frappée à 3 m/s avec la pointe à 0,3 R sous le centre, et après le coup plein elle revient de 1,30 m. L’effet de dessous s’use sur le chemin vers la bille objet, ce qui explique qu’un rétro demande plus de vitesse qu’on ne le croit : l’effet doit survivre au trajet.

La règle des 30 degrés et la parabole de Coriolis

Quand la bille blanche arrive en roulant et touche la bille objet sous un angle, elle repart le long de la tangente mais a encore son effet de dessus. Le tapis l’infléchit alors, et elle finit par aller dans une direction comprise entre la tangente et la visée d’origine. Pour un coup à la demi-bille, Alciatore appelle le résultat la règle des 30 degrés : la trajectoire de la bille blanche s’écarte d’environ 30 degrés de la ligne de visée, et reste proche de 30 pour tout coup de un quart à trois quarts de bille. Il donne une façon de le voir avec la main : écartez l’index et le majeur en un V détendu, pointez l’un le long de la visée, et l’autre montre où va la bille blanche.

Gaspard-Gustave Coriolis l’a établi en 1835. Pour des billes idéales, la vitesse finale de la bille blanche, une fois la courbe terminée, vaut 5/7 de sa vitesse juste après le choc plus 2/7 de la vitesse que lui donnerait son effet en roulant. On en tire que l’écart par rapport à la ligne de visée est le plus grand, 33,7 degrés, pour une coupe de 28,1 degrés. La vérification qui accompagne cette page trouve le maximum de la formule à 33,75 degrés et 28,1 degrés. Pour des épaisseurs de 3/4, 1/2 et 1/4, la formule donne 27,6, 33,7 et 27,3 degrés ; les vraies billes, légèrement inélastiques, restent un peu en dessous, d’où le chiffre rond de 30 degrés.

Coriolis a aussi montré que la courbe entre la tangente et la direction finale est une parabole. La force de frottement d’une bille qui glisse est de grandeur constante et de direction presque constante tant que la courbe dure, si bien que la bille se déplace comme une pierre lancée sous une traction constante. La vérification ajuste une parabole sur la trajectoire courbe du modèle après un coup à la demi-bille et trouve un ajustement avec un R² supérieur à 0,999.

Effet latéral, squirt, swerve et entraînement

L’effet latéral seul ne courbe pas la trajectoire

Frappez la bille blanche à gauche ou à droite du centre avec une queue horizontale et elle tourne autour de l’axe vertical. Cet effet ne change rien à la trajectoire de la bille sur le tapis. Le bas de la bille ne glisse pas latéralement, et une rotation autour de l’axe vertical ne peut pas la pousser de côté. Il n’apparaît que lorsque la bille touche quelque chose : une bande ou une autre bille. Sur la scène, réglez le pad d’effet tout à droite avec la queue horizontale, visez une grande bande et regardez : le chemin jusqu’à la bande est droit.

Squirt

L’effet latéral change bien le début de la trajectoire, mais pour une autre raison. Quand la pointe frappe hors du centre, la bille pousse le bout de la queue de côté et, d’après la troisième loi de Newton, la queue pousse la bille dans l’autre sens. La bille part un peu hors de la ligne de visée, à l’opposé du côté frappé. TP A.31 d’Alciatore donne l’angle à partir du décalage de la pointe b/R et du rapport entre la masse de la bille et la masse effective des derniers centimètres du fût :

tan(squirt) = (5/2)(b/R)√(1 − (b/R)²) / (1 + m_bille/m_bout + (5/2)(1 − (b/R)²)).

Avec un rapport de masses de 25, une queue de jeu typique dans ce modèle, un demi-rayon d’effet latéral donne 2,22 degrés, soit 78 mm hors ligne après 2 m. Un fût à faible squirt avec un rapport de 40 donne 1,45 degré ; une queue de casse lourde avec un rapport de 15 donne 3,47 degrés. Le calculateur du laboratoire les calcule, et l’interrupteur Squirt active et désactive l’effet sur la scène.

Swerve

Une vraie queue n’est jamais tout à fait horizontale : elle doit passer au-dessus du rail. Avec la pointe hors du centre et la queue inclinée vers le bas, une partie de l’impulsion pousse la bille dans le tapis, et l’axe de rotation s’incline. Un axe de rotation incliné signifie que le bas de la bille glisse bien latéralement, et le tapis courbe la trajectoire. C’est le swerve ; avec une queue très relevée, il devient un massé, traité plus bas.

Entraînement

Le frottement entre les billes courbe aussi la trajectoire de la bille objet. Lors d’une coupe, la surface de la bille blanche glisse sur celle de la bille objet pendant le contact, et le frottement pousse la bille objet un peu hors de la ligne des centres dans le sens où la bille blanche se déplace. Alciatore appelle cela l’entraînement par collision (collision-induced throw) et montre qu’il est le plus grand près d’un coup à la demi-bille et plus grand à faible vitesse. L’effet latéral ajoute un entraînement dû à l’effet (spin-induced throw), et le même frottement transmet un peu d’effet à la bille objet. Dans le modèle, une coupe stun de 15 degrés envoie la bille objet à 12,3 degrés au lieu de 15, soit un entraînement d’environ 2,7 degrés. Sur un mètre, cela fait 47 mm, près de la moitié d’une poche.

Les bandes : pourquoi le rebond n’est pas un miroir

Un rayon de lumière quitte un miroir sous l’angle où il est arrivé. Une bille de billard, non, pour trois raisons, et la scène vous permet de voir chacune d’elles.

La première est que la bande enlève de la vitesse à la partie du mouvement qui va vers elle, mais pas à la partie qui la longe. Si la vitesse normale revient à e fois sa valeur et que la vitesse le long de la bande ne change pas, la bille repart plus à plat qu’elle n’est arrivée : tan(sortie) = e tan(entrée), les angles étant mesurés depuis la ligne de la bande. H. Résal notait en 1883 que les expériences montraient que ce rapport des vitesses normales est presque indépendant de l’angle d’approche, ce qui rend utile un nombre unique. Alciatore indique 0,6 à 0,9 pour les bandes de pool. Mathavan et ses collègues, en filmant une bille de snooker qui roule droit contre la bande, ont trouvé qu’elle revenait en moyenne à 0,818 de sa vitesse.

La deuxième est la hauteur du nez. Sur une table de carambole, le nez est à 37 mm au-dessus du tapis et le centre de la bille à 30,75 mm, si bien que la bande touche la bille au-dessus de son centre. La force de contact pointe alors légèrement vers le bas en plus de pointer vers l’arrière, ce qui presse la bille dans le tapis, et le frottement au nez agit en un point qui n’est pas à la hauteur du centre. L’analyse de Mathavan place le contact à 7/5 du rayon au-dessus de la table pour le snooker et le pool. La hauteur de nez de 63,5 % de la WPA est un peu plus basse, 1,27 R. Leur modèle numérique, ajusté sur des expériences, donne une restitution de la bande de 0,98 et un frottement bille-bande de 0,14, et il est valable jusqu’à environ 2,5 m/s, au-delà de quoi la bande s’écrase trop pour un modèle rigide.

La troisième est l’effet. Une bille qui tourne autour de l’axe vertical frotte contre la bande au contact. Si le frottement est dirigé vers l’arrière par rapport au déplacement de la bille le long du rail (effet latéral qui accompagne), il pousse la bille vers l’avant le long de la bande et le rebond s’ouvre. S’il est dirigé vers l’avant (effet latéral contraire), le rebond se raccourcit. L’effet de dessus d’une bille qui roule frotte aussi contre le nez, situé au-dessus de son centre, et c’est pourquoi une bille qui roule quitte une bande puis s’incurve : pendant un instant après le rebond, son effet ne correspond plus à sa nouvelle direction.

Dans le modèle, une bille qui roule envoyée dans une grande bande à 45 degrés repart à 38,9 degrés de la ligne de la bande sans effet latéral, 30,0 degrés avec effet qui accompagne et 39,3 avec effet contraire. À 30 degrés d’entrée, les valeurs sont 27,4, 23,4 et 35,4. Envoyée droit à 1,2 m/s, une bille qui roule revient à 0,87 de sa vitesse juste après le rebond et à 0,49 une fois son effet de dessus usé sur le tapis : l’effet de dessus continue un moment de la pousser vers la bande.

La bande du modèle est plus simple que celle de Mathavan. Elle traite le rebond comme une seule impulsion à la hauteur du nez, avec une restitution de 0,9 pour la vitesse normale et un frottement de 0,2 contre le glissement au nez, plus le frottement du tapis sous la bille pour la poussée supplémentaire dans le tapis. La valeur du frottement est volontairement plus élevée que le 0,14 de Mathavan : avec elle, cette bande simplifiée suit les trajectoires de référence du système des mouches ci-dessous à une demi-mouche près. Les deux valeurs sont signalées comme valeurs du modèle dans le laboratoire.

Le système des mouches

Des nombres sur les rails

Les joueurs de trois bandes préparent leurs coups à trois bandes ou plus avec des systèmes de mouches : numéroter les mouches, faire une soustraction, viser. Le plus connu est le système Corner-5, que la fiche d’Alciatore montre sur une table de pool et que les joueurs de carambole utilisent avec les nombres multipliés par dix. C’est une règle empirique, une formule trouvée en jouant, et non une loi de la physique.

Sur la scène, appuyez sur Mouches ou activez Numéros des mouches. Trois séries de nombres apparaissent sur les dessus de rail.

• Les nombres de la bille blanche (bleus) partent de 50 au coin gauche du fond et vont 45, 40, 35, 30 le long du grand rail du fond, puis 60, 70, 80 le long du petit rail gauche.
• Les nombres de la première bande (orange) courent le long du grand rail proche, de 80 au coin gauche à 0 au coin droit, de dix en dix par mouche.
• Les nombres de la troisième bande (blancs) courent dans le même sens le long du grand rail du fond.

Tracez une ligne depuis le point de la première bande que vous visez, en revenant par la bille blanche, et lisez le nombre de la bille blanche là où cette ligne coupe le grand rail du fond ou le petit rail gauche. La formule est alors

arrivée à la troisième bande = nombre de la bille blanche − nombre de la première bande.

Depuis le coin (50), viser 30 envoie la bille à 20 sur la troisième bande ; viser 20 l’envoie à 30. Pour atteindre une arrivée A depuis un nombre C de bille blanche, visez C − A.

Quand il fonctionne et quand il ne fonctionne pas

Le système suppose une manière précise de frapper la bille : vitesse moyenne et effet latéral qui accompagne, de sorte que chaque rebond sorte un peu plus ouvert qu’il n’est entré. Burkard Polster et Marty Ross le disent clairement dans leurs notes sur le système des mouches : la règle A − B = C n’est vraie qu’approximativement, et sa précision dépend de façon compliquée de la position des billes et de la manière dont la bille blanche est frappée. La fiche d’Alciatore comporte des corrections : viser plus bas pour les petits nombres d’arrivée, plus haut pour les grands. Les joueurs apprennent leurs propres corrections pour chaque table, chaque tapis et chaque vitesse, ce qui est une des raisons pour lesquelles la table chauffée et normalisée compte.

La scène vous permet de tester la formule contre le modèle. En partant de la trajectoire du coin, avec une bille blanche à 30 cm du coin, frappée à 2,5 m/s avec la pointe à 0,2 R au-dessus du centre et à 0,2 R du côté de l’effet qui accompagne, les arrivées du modèle sont 33,1 pour 35 prévu, 29,0 pour 30, 25,0 pour 25, 20,7 pour 20 et 16,0 pour 15. Chacune est à moins d’une demi-mouche de la formule, et la vérification qui accompagne cette page échoue si l’une d’elles ne l’est pas. Changez la vitesse ou l’effet et les arrivées dérivent, ce qui rend visible la limite du système.

Inhwan Han a analysé en 2005 la dynamique du carambole et du trois bandes avec la mécanique des corps rigides, en divisant le mouvement en trois parties : la bille sur le plateau, les collisions entre billes et la bille contre la bande, chacune avec frottement. C’est ce genre de modèle qui permet de comparer une simulation comme celle-ci aux systèmes que les joueurs utilisent.

Courber la bille : le massé

Relevez la queue fortement et frappez la bille hors du centre, et l’impulsion a une grande composante vers le bas. La bille est pressée dans le tapis et reçoit un effet autour d’un axe très incliné par rapport à la verticale. Alciatore compare cet effet de massé au roulis d’un avion autour de son propre axe. Le bas de la bille glisse maintenant latéralement sur le tapis, et le frottement pousse la bille de côté tant que le glissement dure. La trajectoire s’incurve.

Coriolis a trouvé une façon de le viser, qu’Alciatore appelle la méthode BAR : la direction finale de la bille, une fois la courbe terminée, est parallèle à la ligne qui va du point de repos de la bille blanche au point du tapis visé par la queue. Dans la leçon du massé de la scène, la queue est relevée de 45 degrés, la pointe à 0,45 R à gauche et à 0,3 R en haut, et la bille, frappée à 1,6 m/s, s’écarte de plus de 5 cm d’une ligne droite pour contourner la jaune et toucher la rouge sans toucher de bande. Regardez-la au quart de la vitesse réelle et l’effet se suit facilement sur les points rouges de la bille blanche.

Carambole et pool, côte à côte

Au trois bandes, défini par l’article 83 de l’UMB, la bille blanche doit toucher les bandes au moins trois fois avant de toucher la seconde bille objet. Elle peut toucher les bandes avant la première bille, entre les deux, ou avant et entre les deux, et la même bande peut compter plusieurs fois. Le jeu à une bande (article 82) n’en demande qu’une. Un point manqué donne la table à l’adversaire. Aux Coupes du monde de l’UMB, chaque coup est limité à 40 secondes avec un avertissement à 30, et chaque joueur peut prendre deux temps morts par match, qui ajoutent chacun 40 secondes.

Le pool retourne le problème. Au lieu d’atteindre deux billes avec une seule, on envoie une bille dans une poche et on garde la bille blanche dehors. La physique est la même, mais les buts diffèrent. Au carambole, ce qui compte le plus est l’endroit où va la bille blanche après le premier contact ; au pool, c’est l’endroit où va la bille objet, la trajectoire de la bille blanche venant en second. C’est pourquoi la bille fantôme et l’entraînement dominent l’enseignement du pool, tandis que les règles des 90 et 30 degrés et les systèmes de mouches dominent le carambole.

Les billes diffèrent aussi. La bille de carambole, plus lourde, porte plus d’énergie à la même vitesse et roule plus loin sur un tapis chauffé. Dans le premier coup de la scène, la bille blanche parcourt 4,8 m en 7,9 secondes pour marquer, et les coups de trois bandes plus longs en couvrent le double. Les poches de la table de pool ajoutent un problème de géométrie à part : une bille qui roule le long d’une bande vers une poche de coin rencontre les mâchoires de la poche, coupées à 142 degrés, et tombe ou ressort.

Mathieu Bouville a décrit le jeu de position au carambole comme un processus de Markov : la difficulté d’un coup dépend du coup précédent, car les joueurs qui marquent facilement se laissent aussi des coups suivants faciles. Les bons joueurs pensent deux coups à l’avance. La scène vous laisse ce soin.

Une brève histoire

La pointe en cuir a changé le jeu. Avant elle, les queues se terminaient par du bois nu et ne pouvaient pas assez accrocher la bille pour lui donner de l’effet. On l’attribue à François Mingaud, un Français qui, dans la version qu’Alciatore raconte, était emprisonné au début des années 1800 et fixa un morceau de cuir sur sa queue fendue. Avec une pointe qui accroche, un joueur pouvait frapper hors du centre sans que la queue dérape, et l’effet latéral entra dans le jeu. Alciatore relève la plaisanterie du nom : English, le mot américain pour l’effet latéral, a été rendu possible par un Français.

Coriolis a vu jouer Mingaud. Dans la préface de sa Théorie mathématique des effets du jeu de billard de 1835, il dit avoir commencé à travailler sur le sujet après avoir vu les effets que Mingaud savait produire, et que le voir jouer lui a permis de vérifier que ses formules s’accordaient avec l’expérience. Le livre traite du roulement et du glissement sur le tapis, du coup de queue, de la collision de deux billes avec et sans frottement, et des trajectoires courbes. Coriolis a mesuré le frottement entre deux billes à environ 0,028 et a décidé de le laisser de côté au début tant il était petit. C’est le même Coriolis dont le nom est attaché à la force dans les référentiels tournants. L’histoire MacTutor de l’Université de St Andrews donne ses dates : 1792 à 1843.

H. Résal a publié un commentaire sur la théorie de Coriolis en 1883. Depuis, le sujet a été repris par des ingénieurs et des physiciens avec des caméras à grande vitesse : les démonstrations techniques d’Alciatore, les mesures de Mathavan, Jackson et Parkin du frottement du tapis et de la bande pour des robots joueurs de snooker, la dynamique du trois bandes de Han, l’analyse de Charles Peskin des collisions en trois dimensions avec effet et frottement, et une étude de 2024 sur la façon dont l’adhérence de la table sur la bille objet change le résultat d’une collision entre deux billes en rotation. Filmée à 3000 images par seconde, la pointe touche la bille pendant environ un millième de seconde.

Comment fonctionne le modèle de cette page

La scène garde, pour chaque bille, une position, une vitesse et un vecteur de rotation à trois composantes. Toutes les demi-millisecondes, elle fait ce qui suit.

1. Tapis. Si le bas de la bille glisse sur le tapis, un frottement de 0,2 × m g agit contre le glissement et change à la fois la vitesse et la rotation. Quand le glissement tombe à zéro dans le pas de calcul, la bille passe au roulement. Une bille qui roule ralentit de 0,01 × g. La rotation autour de l’axe vertical décroît de 10 rad/s².
2. Billes. Quand deux billes se recouvrent, le pas est ramené à l’instant du contact. Une impulsion normale de restitution 0,95 est appliquée le long de la ligne des centres, et une impulsion de frottement d’au plus 0,06 fois celle-ci agit contre le glissement entre les deux surfaces, y compris le glissement dû à l’effet de dessus, de dessous et latéral. L’impulsion de frottement modifie les rotations autant que les vitesses.
3. Bandes. Quand une bille atteint une bande, le pas est ramené au contact. Le contact se fait à la hauteur du nez au-dessus du tapis (37 mm sur la table de carambole, 63,5 % du diamètre de la bille sur la table de pool). La vitesse normale revient à 0,9 de sa valeur, un frottement d’au plus 0,2 fois l’impulsion normale agit contre le glissement au nez, et le frottement du tapis agit sur la poussée supplémentaire dans le tapis.
4. Poches. Sur la table de pool, une bille qui atteint une ligne de bande à l’intérieur de l’ouverture d’une poche tombe.
5. Le coup. L’impulsion de la queue est appliquée au point de la bille que montre le pad d’effet, dans la direction de la queue. Cela fixe la vitesse, les trois composantes de la rotation (TP A.12) et, si Squirt est actif, le petit angle de départ hors de la ligne de visée (TP A.31). Une queue relevée incline l’axe de rotation.

Le tableau des valeurs du laboratoire indique chaque valeur avec sa fourchette publiée et sa source. Les valeurs utilisées sont dans ces fourchettes, sauf le frottement de la bande, qui est ajusté comme expliqué plus haut.

Certaines choses sont simplifiées. Les contacts sont des points instantanés. Le tapis n’a pas de poil et la table est parfaitement de niveau. Les billes ne quittent pas le tapis, il n’y a donc pas de coups sautés, et la pression d’une bille de massé sur le tapis est traitée comme une partie du coup. Les poches sont dessinées comme des trous dans les bandes plutôt que comme des mâchoires modélisées. Les nombres des mouches sont lus sur la ligne des nez de bande, et non sur les mouches du dessus du rail ; les joueurs qui visent par-dessus les mouches obtiendraient des nombres légèrement différents.

Le modèle a été testé dans plus de 850 cas : la règle des 90 degrés avec des billes idéales, la quantité de mouvement et l’énergie, la distance 12/49, les 33,7 degrés de Coriolis, la parabole, le comportement des bandes, le squirt, la courbe du massé, cinq trajectoires de mouches, et un coup enregistré pour chaque tâche que le modèle doit résoudre.

À essayer

1. Appuyez sur Regarder dans la leçon des 90 degrés, puis changez Effet de dessus ou de dessous dans le panneau et tirez la même coupe. Avec un effet de dessus, la bille blanche suit la direction des 30 degrés au lieu de la tangente.
2. Trouvez le coup d’arrêt : dans la disposition de la leçon du rétro, baissez la vitesse jusqu’à ce que l’effet de dessous vienne juste de s’user à la rouge. La bille blanche doit s’arrêter net.
3. Dans la leçon du roulement, changez la vitesse. L’anneau se déplace comme le carré de la vitesse : doublez la vitesse et l’anneau va quatre fois plus loin.
4. Dans Mouches, visez 25 et tirez sans effet latéral. Remettez ensuite l’effet qui accompagne. Comparez les deux arrivées avec l’anneau bleu.
5. Activez la Table de pool et essayez d’empocher la 1 dans le coin avec un rétro pour que la bille blanche reste hors de la poche.
6. Désactivez puis activez Squirt avec l’effet latéral maximal et regardez la direction de départ se décaler.
7. Réglez Temps sur 1/16 et regardez les points rouges de la bille blanche pendant un rétro : vers l’avant à l’aller, vers l’arrière au contact, puis la bille revient.