Comment fonctionne une montagne russe : la physique des loopings

Un manège sans moteur après la première butte

Comment fonctionne une montagne russe ? Une remontée par chaîne ou un lancement donne au train toute son énergie au départ. Ensuite, la gravité transforme la hauteur en vitesse à chaque descente et la vitesse en hauteur à chaque montée, tandis que le frottement et la résistance de l’air usent peu à peu l’énergie ; chaque butte doit donc être plus basse que la précédente.

Placez-vous au pied d’une grande montagne russe et écoutez. À la montée, on entend le cliquetis de la chaîne. Après le sommet, il ne reste que le grondement des roues sur l’acier. Du haut de la butte de remontée jusqu’aux freins de fin de parcours, rien dans le train ne le propulse. Tout ce qu’il fait ensuite (la descente, le looping, le moment d’apesanteur sur la butte suivante) est payé par la hauteur que la chaîne lui a donnée.

Cette exposition propose douze montagnes russes modèles construites avec le même jeu de pièces : un looping en acier, un ancien looping circulaire, un parcours en bois aller-retour, un top hat lancé, une montagne russe inversée, une à ailes, une 4D à sièges tournants, une navette à looping, une familiale, une hypercoaster, une gigacoaster et un train de mine. Aucune ne copie un manège réel. Chacune est un « parcours modèle » tracé pour montrer une idée, et la liste de cas sous les commandes donne des manèges réels du même type avec leurs chiffres publiés. Un catalogue de 48 manèges réels construit dans le même parc un modèle approximatif de chacun d’eux.

Les manèges que vous regardez ne sont pas des animations suivant un horaire fixe. Le modèle calcule la vitesse pas à pas le long de la voie à partir de l’énergie, de la gravité, du frottement de roulement et de la résistance de l’air. Quand vous modifiez la première descente, le rayon du looping ou la vitesse de lancement, la vitesse, les charges sur les passagers et le résultat à chaque sommet de looping changent avec elles. Vous pouvez aussi construire votre propre parcours avec jusqu’à huit pièces et voir si le train fait le tour.

Ce que stocke la remontée par chaîne

Sur le looping en acier, la chaîne hisse le train sur une pente de 40° à 3 m/s jusqu’à ce que les passagers soient à 42,5 m du sol. Le bas de la première descente est 40 m plus bas. Soulever un kilogramme de 40 m demande

m × g × h = 1 kg × 9,81 m/s² × 40 m = 392 J

Le train modèle pèse 6000 kg avec vingt passagers ; la chaîne lui donne donc environ 2,35 millions de joules d’énergie potentielle. Cette réserve est tout ce que le train a à dépenser pour le reste du tour. Chaque butte après la remontée doit être plus basse que la crête, et la vraie question du concepteur est de savoir quelle part de la réserve reste à chaque point de la voie.

Activez le son et regardez l’affichage à côté de la gare. Une crémaillère dentée longe la remontée à côté de la chaîne, et un cliquet articulé sous chaque voiture retombe dans chaque dent pendant la montée. C’est ce cliquetis. Si la chaîne s’arrêtait, la dent suivante retiendrait la voiture avant qu’elle ne recule. Dans le modèle, le cliquet retombe dans une dent tous les 0,3 m, un espacement choisi pour le son et non relevé sur un manège précis.

La hauteur devient vitesse

En descendant, l’énergie potentielle devient énergie cinétique. Pour chaque kilogramme, l’énergie du mouvement vaut ½v², donc sans pertes

½v² = ½v₀² + g × h

où v₀ est la vitesse de 3 m/s que le train avait déjà à la crête. Pour une descente de 40 m, cela donne v = √(3² + 2 × 9,81 × 40) = 28,2 m/s, soit environ 101 km/h. Avec le frottement de roulement et la résistance de l’air activés, le modèle atteint 99 km/h en bas. La masse n’apparaît pas dans la formule : un train vide et un train plein atteignent donc presque la même vitesse.

Essayez le curseur de la première descente. À 60 m, la vitesse en bas monte à 121 km/h. À 25 m, elle tombe à 79 km/h, et le train n’a plus l’énergie de faire le tour d’un looping de 26 m. Il ralentit, s’arrête en route et redescend en arrière.

Ce qu’un passager ressent comme des g

Le chiffre sur la fiche d’une montagne russe, par exemple « 4,5 g », n’est pas l’accélération du train. C’est la force avec laquelle le siège vous pousse, divisée par votre poids normal. Assis immobile, vous lisez 1 g. Quand la voie s’incurve vers le haut, le siège doit pousser plus fort que votre poids pour vous faire tourner, et la poussée supplémentaire vaut v²/R par kilogramme, où R est le rayon de la courbe. Quand la voie s’incurve vers le bas plus vite que vous ne tomberiez, le siège pousse moins et vous vous sentez léger.

Le modèle calcule cette « charge au siège » à partir de la vitesse du train, de la courbure de la voie et de l’attraction de la gravité, selon trois directions : à travers le corps (du siège vers la tête), de côté et vers l’avant le long du dos. La ligne rouge de la courbe montre la première pendant tout le tour. La figure à côté du bouton de tour montre un passager assis avec une flèche pour la poussée du siège. La flèche est verte dans la plage ordinaire, devient orange au-delà de 3 g et rouge au-delà de 5 g, et bleue quand le siège cesse de pousser et que la barre de maintien doit vous retenir.

Pourquoi le modèle suit le cœur des passagers

Une vraie montagne russe est tracée le long de la ligne du cœur des passagers, la ligne qui traverse leur poitrine, et non le long des rails. La différence est faible sur une butte, où les passagers sont assis à environ un mètre au-dessus des rails. Elle devient très importante quand le train fait un tonneau. Si les rails se vrillaient autour de leur propre centre, la tête des passagers décrirait un large arc et leur corps serait projeté de côté. Si les rails se vrillent autour des passagers, ceux-ci se retournent simplement.

La trajectoire de ce modèle est donc la ligne du cœur, et les rails sont dessinés décalés par rapport à elle : 1,1 m sous les passagers sur un train classique, 1,75 m au-dessus d’eux sur un train inversé, à côté d’eux sur les trains à ailes et 4D. Toutes les charges de l’affichage sont des charges au niveau du cœur.

Le sommet du looping : v² ≥ g·r

Au sommet du looping, les passagers sont à l’envers. La gravité les attire vers le sol, qui est maintenant vers le centre du looping. Si le train se déplace exactement à la vitesse où la gravité seule courbe la trajectoire en un cercle de rayon r, le siège n’a pas besoin de pousser du tout et les passagers flottent. Cette vitesse vérifie

v² = g × r

Plus vite, le siège (et la voie sous les roues) doit aussi pousser les passagers vers le bas, qui se sentent plaqués dans leur siège. Plus lentement, la gravité les arracherait du cercle. Sur une vraie montagne russe, les roues anti-soulèvement sous les rails retiennent le train sur la voie et la barre de maintien retient les passagers, mais ceux-ci pendraient dans leurs sécurités.

Sur le looping en acier, le looping fait 26 m de haut et son rayon au sommet est de 8,2 m. Le train arrive à 53 km/h, donc v² = 214 m²/s² contre g·r = 9,81 × 8,2 = 80 m²/s². L’affichage montre cette comparaison, et les passagers ressentent environ 1,7 g au sommet. La charge à cet endroit découle des mêmes chiffres : v²/(g·r) − 1 = 214 / 80 − 1 = 1,7. Poussez le curseur du rayon du looping à 17 m et la comparaison s’inverse : v² tombe à 59 contre 105, et l’affichage indique que les passagers pendent dans leurs sécurités.

Pourquoi les vrais loopings ne sont pas des cercles

Le looping des manuels est un cercle, et ses chiffres sont durs. Pour un cercle dont le sommet est sans poids, la vitesse en bas doit vérifier v² = 5 g r, et la charge en bas atteint 6 g. Même un train qui passe à peine le sommet en rampant subit encore 5 g en bas d’un looping circulaire. Il y a un second problème. Un cercle raccordé à une voie droite se met à courber d’un seul coup, et la charge passe de 1 g à sa pleine valeur en un instant.

Désactivez Looping à clothoïde pour le voir. Le modèle met un cercle de même hauteur, 26 m. Son rayon au sommet est alors de 13 m, il faut donc v² ≥ 128 au sommet au lieu de 80. À l’entrée du train, la courbe montre un saut de 1 g directement à 6,9 g. Le parcours à looping circulaire va plus loin : un looping de 12 m abordé à 74 km/h, avec un pic supérieur à 8 g.

Le looping à clothoïde résout les deux problèmes. Il est construit à partir d’une spirale d’Euler, une courbe dont la courbure croît proportionnellement à la distance parcourue, de zéro à l’entrée à un maximum au sommet. Dans le modèle, la courbure augmente régulièrement sur la première moitié du looping et diminue régulièrement sur la seconde. Le rayon est très grand là où le train va le plus vite et le plus petit au sommet, où il va le plus lentement ; la charge monte donc progressivement et culmine à environ 4,5 g au lieu de 6,9 g. Un looping à clothoïde pur est environ 3,17 fois plus haut que son rayon au sommet, d’où le rayon au sommet de 2 × 13 / 3,17 = 8,2 m du looping par défaut. Les vraies montagnes russes mélangent souvent les formes : certaines utilisent un arc de cercle au sommet raccordé à des flancs en clothoïde.

Flotter au-dessus de la butte

La butte suivante du looping en acier mesure 28,6 m, plus bas que la crête pour que le train puisse toujours l’atteindre. Son sommet épouse de près l’arc que suit une balle quand on la lance. Sur cet arc, la voie s’éloigne des passagers presque aussi vite qu’ils tombent, si bien que le siège pousse avec moins de la moitié de leur poids, environ 0,45 g. La documentation de physique des parcs d’attractions du NASA Glenn fait la même comparaison avec l’avion KC-135, qui volait en paraboles pour donner aux chercheurs l’impesanteur, interrompue par des ressources à environ 2 g.

La forme d’une butte décide de ce que ressentent les passagers à son sommet. Chaque butte du modèle est dessinée pour une charge visée à la vitesse que le train devrait avoir à cet endroit : 0,3 g sur le looping en acier, près de 0 g sur le parcours en bois, environ 0,6 g sur la montagne russe familiale. Un train qui arrive plus vite que la vitesse prévue se sent plus léger, un train qui arrive plus lentement se sent plus lourd.

L’apesanteur, chronométrée

Les passagers appellent « airtime » le moment léger au sommet d’une butte. L’affichage le compte : chaque instant où le siège pousse avec moins de 0,2 g pendant que le train roule s’ajoute au total. Ce seuil est un choix du modèle. Avec lui, le looping en acier ne donne aucune apesanteur, alors que le parcours en bois aller-retour, avec cinq buttes dessinées pour environ 0 g au sommet, en donne environ 7,5 s en un tour. Le top hat lancé en donne 7,4 s, surtout au sommet de sa tour.

Au-dessous de 0 g, le siège cesse de pousser et la barre de maintien commence à tirer les passagers vers le bas. La figure devient bleue. Le parcours en bois descend jusqu’à environ −0,1 g, le top hat lancé jusqu’à −0,5 g.

Douze parcours

Le tableau donne ce que fournit le modèle pour chaque parcours avec ses réglages de départ, frottement et résistance de l’air activés. Les hauteurs sont le point le plus haut des passagers au-dessus du sol ; l’apesanteur compte les charges inférieures à 0,2 g.

Les −1 g de la montagne russe à ailes viennent de son tonneau sur la ligne du cœur, où les passagers pendent à l’envers en ligne droite. La montagne russe familiale n’emmène jamais les passagers au-dessous de 0,6 g ni au-dessus de 2,5 g. Le looping circulaire est le seul parcours à dépasser 6 g, et il est là pour montrer pourquoi ce type de looping a été abandonné.

Le parc

Les douze parcours se tiennent côte à côte dans un même parc. Sous les commandes, chacun est dessiné de profil, si bien que la rangée de bosses d’une hypercoaster, la pointe unique d’un top hat et le cercle d’un looping se distinguent avant qu’on les charge. Un appui sur une carte amène la scène sur ce parcours ; les boutons « Aller à » sous les cartes sautent directement à un endroit du parcours sur la scène, comme la remontée, la première descente, le premier looping, l’hélice ou les freins, et y déplacent le train.

Les trois parcours les plus récents comblent des vides entre les neuf premiers. L’hypercoaster monte à environ 62 m et dépense sa vitesse dans quatre buttes dessinées pour soulever légèrement les passagers de leur siège ; elle offre la plus longue apesanteur des douze, 9,8 s. La gigacoaster monte à environ 92 m par un câble à 5 m/s, descend à 80 degrés et traverse une large hélice ascendante de 30 m de rayon. Le train de mine est un manège familial avec une hélice plus petite, de 11 m de rayon, qui monte de 5 m pendant qu’elle tourne.

Hélices

Une hélice est un long virage relevé qui continue à tourner. Dans le modèle, le virage s’amorce et se termine en douceur comme un virage ordinaire : la courbure croît à partir de zéro puis retombe à zéro, et le dévers la suit, de sorte qu’un passager ne ressent jamais de secousse latérale brutale. L’angle de dévers est choisi pour la vitesse qu’aura le train au milieu de l’hélice, d’après tan(dévers) = v² / (g·R). Sur le parcours giga, cela donne 78 degrés pour 30 m de rayon, et la charge latérale des passagers sur tout le parcours reste à 1,3 g ou moins. Une hélice qui ne monterait pas croiserait sa propre entrée à la même hauteur ; chaque hélice du modèle s’élève donc de quelques mètres, et la sortie passe au-dessus de l’entrée.

Siège avant ou siège arrière

Un train est un seul corps, donc sa vitesse suit la hauteur de son milieu, et non celle d’une rangée en particulier. Quand la rangée avant arrive en haut de la remontée, la plus grande partie du train est encore sur la pente derrière elle et la chaîne maintient le train à la vitesse de la chaîne. Quand la rangée arrière arrive au même point, la plus grande partie du train est déjà en train de descendre ; la rangée arrière est donc tirée plus vite par-dessus le sommet et se soulève davantage de son siège.

Le modèle le calcule à partir de l’énergie. La vitesse du train à chaque instant est v² = E − 2 g ȳ, où ȳ est la hauteur moyenne des passagers le long du train et E est fixée à l’instant où la rangée avant passe la crête. Sur le looping en acier, la rangée avant passe à 10,8 km/h et ressent 0,75 g ; la rangée arrière passe à 17,5 km/h et ressent 0,54 g. Sur l’hypercoaster, la rangée arrière passe à 20,0 km/h et ressent 0,43 g. Sur une butte de même forme des deux côtés, les rangées avant et arrière passent à la même vitesse et la rangée du milieu est la plus lente, ce que montre aussi le tableau sous les commandes.

Les montagnes russes réelles, en modèles

Le catalogue sous les commandes recense 48 manèges réels dans 12 pays : détenteurs de records, manèges en bois, manèges lancés, manèges historiques d’avant 1990 et six manèges en Corée. Chaque entrée indique la hauteur du manège, sa vitesse maximale, la longueur de sa voie et son nombre d’inversions, s’il est lancé, s’il fonctionne encore, et un lien vers sa source. Les chiffres viennent de RCDB, une base de données établie à partir de documents de parcs et de constructeurs, consultée le 26 octobre 2026 et convertie depuis les pieds et les miles par heure. Quand la page du parc donne elle-même un chiffre, c’est celui du parc qui est utilisé ; Europa-Park indique Silver Star à 130 km/h, contre 127 km/h sur RCDB.

Choisir un manège construit dans le parc un modèle approximatif. Sa hauteur, sa vitesse de lancement, sa vitesse maximale et son nombre d’inversions suivent le manège réel ; son tracé non. Le modèle adapte ses pièces à la vitesse pour que les charges restent proches de celles des manèges réels : un rayon de looping d’environ un tiers de la hauteur, des tire-bouchons étirés avec la vitesse pour que la charge latérale reste sous 2 g, et un frein en milieu de parcours avant un petit virage de retour. Les manèges de moins de 50 m ont au plus quatre inversions dans le modèle, parce que six épuiseraient leur hauteur. Un manège, French Revolution à Lotte World, n’a ni hauteur ni descente enregistrée ; il n’a donc pas de modèle.

Le manège le plus rapide de la liste est Falcons Flight à Six Flags Qiddiya City, 250 km/h, qui est aussi le plus haut avec 163 m et le plus long avec 4250 m. Formula Rossa suit avec 240 km/h. The Smiler à Alton Towers a le plus d’inversions, 14.

Construire avec des hélices et des relances

L’éditeur de parcours a deux nouvelles pièces. Une hélice fait un tour complet autour d’un axe vertical et monte de 8 m, son rayon étant réglé par un curseur. Une relance est une courte section motorisée au milieu du parcours qui accélère le train jusqu’à une vitesse donnée ; elle ne fait qu’ajouter de la vitesse et ne freine jamais un train plus rapide. Un parcours peut être copié sous forme de lien : les pièces passent dans l’adresse, et l’ouverture du lien charge le même parcours dans l’éditeur.

L’éditeur tient aussi un score : 100 points par seconde d’apesanteur, un point par km/h de vitesse maximale et 50 points par inversion. Le score ne compte que si le tour est bouclé dans trois limites : charge maximale de 5 g ou moins, charge minimale de −1,5 g ou plus et charge latérale de 1,8 g ou moins.

Lancer au lieu de remonter

Une montagne russe lancée reçoit son énergie en quelques secondes au lieu de minutes. Sur le parcours lancé, des moteurs linéaires le long d’une ligne droite de 116 m poussent le train avec 1,4 g constants. Depuis le pas d’un piéton en gare, il atteint 194 km/h en environ 3,8 s. Les moteurs linéaires n’ont aucune pièce mobile dans la voie : les bobines de la voie et les aimants du train se repoussent, commutés en séquence au passage du train. Sur Helix à Liseberg, les aimants du train ont deux fonctions, travaillant avec les deux moteurs de lancement et avec les ailettes des freins, selon un article de 2024 dans Physics Education d’Ann-Marie Pendrill.

La vitesse en bas devient de la hauteur à la montée. À 54 m/s, la formule de l’énergie permet une montée de v² / (2g) = 54² / 19,62 = 149 m. Le top hat de ce parcours fait 135 m de haut ; le train passe donc son sommet arrondi à environ 42 km/h après frottement et résistance de l’air. Réduisez la vitesse de lancement à 52 m/s et il n’y arrive plus. Le train s’arrête avant le sommet, redescend la tour et revient à reculons sur la voie de lancement, où des freins le rattrapent. Les vraies montagnes russes lancées sont construites avec le même genre de sécurité, car un train qui manque de vitesse sur une tour doit bien redescendre quelque part.

Le top hat ne peut pas être beaucoup plus bas que ce que permet l’énergie, car la courbe qui passe de l’horizontale à la verticale doit être douce. À 54 m/s, un raccord à 5 g demande un rayon de v² / (4g) = 74 m. C’est pourquoi, sur ce parcours, la hauteur du sommet ne peut pas descendre sous une limite qui augmente avec la vitesse de lancement.

La navette à looping

Une montagne russe navette n’a pas de circuit. Le parcours navette lance la voiture à 0,6 g, en douceur, jusqu’à 94 km/h, à travers un looping à clothoïde et dans une tour presque verticale. La voiture monte la tour jusqu’à l’arrêt, redescend à reculons, repasse le looping une seconde fois, à reculons, traverse la gare et grimpe une tour arrière. Quand elle revient vers l’avant, les freins de la gare l’arrêtent. Le modèle exécute exactement cette séquence et le contrôle la compte : un passage au sommet du looping vers l’avant, un vers l’arrière, puis un arrêt à moins d’un demi-mètre de la position d’embarquement.

L’American Coaster Enthusiasts décrit la même séquence sur Montezooma's Revenge à Knott's Berry Farm, ouverte en 1978 : un lancement par volant d’inertie à 55 mph (89 km/h) en moins de cinq secondes, un looping de 76 ft (23 m), une tour de 148 ft (45 m), puis le retour dans le looping et la montée d’une tour arrière de 112 ft (34 m).

Retourner les passagers

Le modèle comporte quatre pièces qui retournent les passagers, et chacune le fait à sa façon.

• Looping vertical. La voie fait un tour complet dans le plan vertical. Les passagers sont plaqués dans leur siège tout du long tant que v² reste supérieur à g·r au sommet.
• Tonneau zéro g. La voie monte sur l’arc que suivrait une balle lancée à la vitesse prévue et fait un tour de 360° pendant que le train vole le long de cet arc. Comme la trajectoire est une trajectoire de chute libre, le siège ne pousse presque pas, et les passagers se retournent à près de 0 g. Le contrôle du modèle trouve environ 0,1 g au milieu du tonneau.
• Tonneau sur la ligne du cœur. Le cœur avance en ligne droite pendant que les rails se vrillent autour de lui. Rien ne pousse les passagers sauf la gravité : au milieu du tonneau, à l’envers, ils pendent exactement à −1 g.
• Tire-bouchon. La trajectoire des passagers est une hélice autour d’une ligne à côté de la voie, les passagers étant à l’intérieur. Le tonneau doit commencer et finir en douceur : si la torsion débutait d’un coup, les passagers seraient projetés de côté.

Le tire-bouchon est venu en premier. Selon l’American Coaster Enthusiasts, l’ingénieur d’Arrow Development Ron Toomer a montré son idée en pliant un fil de fer autour d’un tuyau de 12 pouces, et le premier manège a ouvert à Knott's Berry Farm en 1975 avec deux tire-bouchons, la première montagne russe moderne à retourner les passagers. Le tonneau zéro g sur la ligne du cœur est arrivé avec Batman The Ride en 1992.

Trains suspendus, à ailes et tournants

La même voie peut porter des trains très différents, et le modèle en dessine quatre sortes.

• Classique. Les passagers sont assis dans des voitures au-dessus des rails. Le looping en acier, le parcours en bois, le top hat lancé, la navette et la montagne russe familiale en utilisent.
• Inversé. Les voitures pendent sous les rails et les jambes des passagers se balancent librement. Les supports doivent se tenir à côté du train et l’enjamber. Batman The Ride, à Six Flags Great America, ouverte en 1992, a été la première montagne russe inversée à loopings.
• À ailes. Les passagers sont assis sur des ailes de chaque côté de la voie, sans rien au-dessus ni en dessous. Dans le modèle, leur ligne du cœur n’est qu’à 0,45 m au-dessus du rail.
• 4D. Chaque paire de sièges tourne sur son propre axe. Sur X2 à Six Flags Magic Mountain, les sièges étaient sur des ailes et tournaient de 360°, si bien que les passagers abordaient les descentes la tête la première et face au sol. Le parc a fermé X2 définitivement en septembre 2026 après une série de blessures, selon le Los Angeles Times.

Sur le parcours 4D, les sièges font un salto avant complet à la première descente, un demi-tour en arrière à la première butte et d’autres tours ensuite. La voie et les charges au niveau du cœur sont les mêmes pour tous les passagers, mais la figure du corps tourne avec le siège. Une charge qui vous plaque dans le siège sur un parcours peut vous plaquer le long du dos, ou vous arracher du siège, quand le siège a tourné.

Trois roues autour du rail

L’affichage à côté de la gare montre un ensemble de roues à deux fois et demie sa taille réelle. Chaque coin d’une voiture a trois roues autour du rail.

• La roue porteuse, sur le dessus du rail, porte le poids de la voiture et des passagers.
• La roue de guidage, sur le côté, garde la voiture centrée dans les virages.
• La roue anti-soulèvement, sous le rail, retient la voiture quand elle voudrait se soulever : à l’envers, ou sur une butte d’apesanteur.

La roue anti-soulèvement est ancienne. L’Office allemand des brevets et des marques (DPMA) désigne le brevet de 1919 de John A. Miller, « Pleasure railway structure », comme celui qui décrit une « underfriction wheel » sous le rail de guidage, qui rend le déraillement impossible et a permis des vitesses bien plus élevées et des tracés plus inhabituels. Presque toutes les montagnes russes sont encore construites ainsi.

Les roues ont changé en 1959. Selon le National Inventors Hall of Fame, le rail en cornière ne pouvait pas être cintré assez serré pour tenir dans la montagne artificielle des Matterhorn Bobsleds de Disneyland ; Karl Bacon et Ed Morgan, d’Arrow Development, ont donc utilisé des tubes d’acier qu’on pouvait cintrer avec précision. Ils ont essayé des roues en nylon et choisi le polyuréthane : plus silencieux que l’acier et avec moins de frottement que le caoutchouc. Ils ont aussi conçu les rails pour qu’ils entourent les roues.

Freins magnétiques

La plupart des montagnes russes modernes ralentissent leurs trains avec des aimants. Une ailette de cuivre ou de laiton se déplace entre des rangées d’aimants, ou des aimants passent devant une ailette. Le champ magnétique variable fait naître dans le métal des courants circulaires, appelés courants de Foucault, et ces courants créent un champ magnétique propre qui s’oppose au mouvement. Plus l’ailette va vite, plus les courants sont forts et plus la poussée est dure. Une étude de la montagne russe Kanonen à Liseberg, par Ann-Marie Pendrill, Magnus Karlsteen et Henrik Rödjegård, en décrit le résultat : une montée progressive de la force de freinage quand un train entre dans les freins, et l’énergie cinétique restante transformée en chaleur dans les ailettes. Avec une caméra infrarouge, ils ont vu la première ailette chauffer au passage de chaque train.

Le modèle traite les freins comme a = k·v, où k est une « force » en 1/s que l’on règle avec le curseur de force du frein magnétique. Cette loi simple a un résultat élégant. La vitesse diminue de la même quantité à chaque mètre de freins :

v = v₀ − k × s

Ainsi, une zone de freinage de 40 m avec k = 0,35/s retire 14 m/s au train, quelle que soit la vitesse à laquelle il est entré. Les freins de réglage du looping en acier ramènent le train de 90 à 50 km/h avant le virage. Dans le temps, en revanche, la vitesse diminue de plus en plus lentement (v = v₀ e^(−kt)) et le train ne s’arrête jamais tout à fait. Un manuel libre de la Michigan State University dit la même chose avec des mots : comme la force de freinage diminue aux faibles vitesses, des freins mécaniques classiques restent nécessaires pour arrêter complètement un véhicule. Dans le modèle, comme sur beaucoup de manèges réels, les derniers mètres en gare sont assurés par des pneus d’entraînement.

Le banc de freinage sous les commandes permet de l’essayer. Un train entre à 100 km/h. Avec des aimants de k = 0,3/s, il sort d’une zone de freinage de 60 m à 35 km/h et n’approcherait de zéro qu’après 93 m. Avec des freins à friction à une décélération constante de 0,7 g, il s’arrête en 56 m. L’un des défis demande d’arrêter le train en 60 m sans dépasser 1 g, ce qui vous indique quel type de frein doit venir en dernier.

Le modèle permet aussi que les freins magnétiques soient trop faibles. Si vous réduisez leur force, les freins de réglage d’un parcours ne ralentissent plus assez le train pour le virage suivant, et la charge latérale dans ce virage augmente. Les virages sont relevés pour la vitesse que les freins sont censés laisser.

Le frottement et l’air prennent leur part

Les vrais trains perdent de l’énergie en permanence. Le modèle comprend deux pertes. Le frottement de roulement est fixé à 0,8 % de la force qui presse les roues sur les rails ; il augmente donc dans le looping et dans les creux, où la charge est élevée. La résistance de l’air utilise F = ½ρC_dAv² avec une surface de traînée de 1,5 m² pour tout le train ; à 28 m/s, elle ralentit le train d’environ 0,12 m/s². Ces deux valeurs sont des choix du modèle qui donnent des pertes de la bonne taille, et non des mesures d’une montagne russe précise.

En bas de la première descente du looping en acier, les pertes représentent moins de 5 % de l’énergie de la descente. À la fin de la butte, elles atteignent environ un cinquième. La barre de l’affichage montre l’énergie répartie en hauteur, vitesse, pertes et freins pendant que le train fait le tour. La différence compte près des limites. Avec une descente de 30 m et un rayon de looping de 13 m, le train passe le sommet du looping sans frottement avec v² = 85 contre g·r = 80, mais avec frottement v² n’est que de 40 et les passagers pendraient dans leurs sécurités. Les concepteurs laissent une marge précisément pour cela, et aussi pour les matins froids où les roulements des roues tournent plus durement.

Un train plein ou un train vide

Désactivez Train plein et le modèle retire les vingt passagers : 4400 kg au lieu de 6000 kg. La gravité et le frottement de roulement évoluent avec la masse, ils s’en moquent donc. La résistance de l’air, non : la même poussée de l’air agit sur moins de masse. Sur le looping en acier, le train vide est environ 0,2 km/h plus lent en bas de la descente et arrive au sommet du looping avec v² = 207 au lieu de 214. La différence est faible, mais c’est pourquoi un train d’essai vide par un matin froid est le cas le plus difficile pour un manège qui franchit tout juste sa dernière butte.

Freins, dévers et retour à la gare

Après la butte, le train du looping en acier roule encore à environ 90 km/h. Les freins de réglage le ramènent à 14 m/s avant un virage de 180° de 18 m de rayon. Le virage est relevé de 48° car tan 48° ≈ v² / (g × R) = 14² / (9,81 × 18) = 1,11 : à cet angle, la poussée du siège traverse droit le corps du passager et il n’y a aucune poussée latérale. Les freins finaux ramènent le train à 2 m/s, et des pneus d’entraînement le portent dans le dernier virage et l’arrêtent en gare.

Tous les parcours se referment de la même façon. Le modèle trace les pièces aller, un virage de 180°, les pièces retour, puis calcule le rayon du dernier virage et la longueur de la droite de retour pour que la voie rejoigne exactement la gare. Le contrôle confirme que chaque parcours et chaque réglage de curseur se referment à moins de 0,6 m près.

Construire votre propre parcours

L’éditeur de parcours sous les commandes vous permet de commencer par une remontée par chaîne (de 8 à 110 m) ou un lancement (de 36 à 216 km/h) et d’ajouter jusqu’à huit pièces : buttes, loopings, tonneaux zéro g, tire-bouchons, tonneaux sur la ligne du cœur, top hats, freins et lignes droites. Les buttes et les top hats prennent une hauteur, les loopings un rayon et une forme, les freins la vitesse à laquelle le train doit sortir. Le modèle ajoute un virage, des freins et le retour à la gare, puis simule le tour.

Les résultats indiquent la vitesse maximale, les charges maximale et minimale, la plus grande charge latérale, l’apesanteur, le point le plus haut, la longueur, le nombre d’inversions et la durée du tour, avec un avertissement pour tout dépassement de 5 g, toute charge inférieure à −1 g, toute charge latérale supérieure à 1,8 g, tout arrêt en route ou tout passager suspendu au sommet d’un looping. Une dernière ligne confronte la simulation à la formule : sans frottement, la vitesse au premier sommet de looping doit correspondre à v² = v₀² + 2g(H − y), et la charge à cet endroit à v²/(g·r) − 1. Sur 60 parcours aléatoires vérifiés ainsi, la pire erreur d’énergie est inférieure à 0,05 %.

Combien de g, c’est trop

Une étude de pédagogie de la physique de l’université de Göteborg le formule ainsi : les manèges pour jeunes enfants peuvent être limités à environ 2 g, les montagnes russes familiales atteignent souvent 3 g et beaucoup de grandes montagnes russes dépassent 4 g. Selon la personne, l’irrigation sanguine de la tête peut faiblir à 5 ou 6 g si la charge dure assez longtemps, et 6 g pendant une durée prolongée ne serait pas acceptable pour le grand public.

La durée compte autant que la valeur. Une synthèse de l’université de Pennsylvanie donne 4 à 6 g comme pic des manèges puissants, et note que la limite de 5 à 9 g citée pour les pilotes de chasse concerne des charges tenues pendant de nombreuses secondes (43 s en moyenne), alors que les montagnes russes appliquent leurs charges pendant moins de 3 s environ à la fois. Les données sur les pilotes montrent l’étendue des écarts entre les personnes. Une circulaire d’information de la FAA donne des tolérances moyennes pour un pilote détendu, avec une charge qui augmente de 1 g par seconde, de 4,1 g pour le voile gris (la vision s’éteint), 4,7 g pour le voile noir et 5,4 g pour la perte de conscience. La brochure de la FAA pour les pilotes ajoute que le corps supporte encore moins bien les g négatifs, qui poussent le sang vers la tête. Les charges très brèves sont une autre affaire : une étude archivée par la Bibliothèque nationale de médecine des États-Unis indique qu’un éternuement peut brièvement donner 10 g à la tête pendant environ 0,002 s sans aucun dommage.

Les concepteurs de manèges travaillent selon des normes écrites. Aux États-Unis, la principale est ASTM F2291, Standard Practice for Design of Amusement Rides and Devices, qui comporte une section sur les limites d’accélération dépendant de la direction et de la durée. Son texte complet est vendu par l’ASTM ; cette exposition n’en cite donc pas les chiffres. En Grande-Bretagne, la Health and Safety Executive publie un guide de bonnes pratiques (HSG175) à l’intention des concepteurs, fabricants, exploitants et contrôleurs de manèges forains. Dans l’affichage, le modèle signale seulement les pics supérieurs à la plage de 4 à 6 g relevée pour les grandes montagnes russes.

Ce que le modèle laisse de côté

Le tour lui-même est simulé comme un seul point au centre du train. La différence entre les rangées avant et arrière au-dessus d’une crête est calculée à part, à partir de la hauteur de tout le train, présentée dans son propre tableau, et n’est pas réinjectée dans le tour. Chaque parcours est tracé en aller-retour avec des virages plats ; les vraies montagnes russes se vrillent en trois dimensions et leurs charges comportent des composantes latérales et vers l’avant que le modèle ne montre que dans les virages et les tonneaux. Le frottement des roues, la surface de traînée, la force des freins et la vitesse de la chaîne sont des ordres de grandeur typiques, et non les données d’un manège. Les hauteurs et les vitesses des douze parcours sont celles du modèle et ne sont pas des copies de manèges réels.

Une brève histoire

La montagne russe est née d’un chemin de fer charbonnier. L’Office allemand des brevets et des marques raconte l’histoire du Mauch Chunk Switchback Railway, en Pennsylvanie, construit en 1827 pour transporter du charbon sur 14 km le long d’une pente naturelle. Après quelques années, des voyageurs l’empruntaient pour le plaisir, et il a donné l’idée à LaMarcus Thompson. Le Switchback Railway de Thompson a ouvert à Coney Island en 1884. D’après le Coney Island History Project, il mesurait 600 ft, roulait à 6 mph et coûtait un nickel (5 cents) ; ce n’était pas un aller-retour : les passagers descendaient et la voiture était retournée. Son brevet, US 310 966 du 20 janvier 1885, décrit deux voies parallèles ondulées avec un aiguillage à chaque bout, de sorte que chaque voiture fait un aller-retour.

Des montagnes russes à looping ont été essayées bien avant que les tubes d’acier les rendent pratiques, et les premières utilisaient des loopings circulaires. Edwin Prescott a breveté un looping vertical le 16 août 1898 et construit son Loop the Loop sur Surf Avenue en 1901. La roue anti-soulèvement de John Miller, en 1919, a rendu sûrs les descentes raides et les virages serrés. Certains manèges de cette époque tournent encore : Leap-the-Dips (1902), en Pennsylvanie, est la plus ancienne montagne russe en service au monde ; Rutschebanen (1914), à Copenhague, emmène encore un opérateur de freinage dans chaque train ; et le Cyclone (1927), à Coney Island, est devenu monument de la ville de New York en 1988.

La voie en acier tubulaire est arrivée avec les Matterhorn Bobsleds en 1959. Le tire-bouchon a suivi en 1975, et le 8 mai 1976, Revolution à Six Flags Magic Mountain a ouvert comme la première montagne russe moderne à looping vertical avec une voie en acier tubulaire, avec un looping de 45 ft de large. D’après l’étude de Göteborg, la forme en clothoïde introduite par l’ingénieur Werner Stengel y a été utilisée pour la première fois, et une page de la NASA sur cette courbe note qu’à la fin des années 1970 elle était devenue la forme retenue pour les manèges à looping. Les records ont suivi : Magnum XL-200 (1989), première hypercoaster de plus de 200 ft ; Millennium Force (2000), première gigacoaster, avec 94,4 m ; Top Thrill Dragster (2003), avec 128 m ; Kingda Ka (2005), avec 456 ft, retirée en novembre 2024 après plus de 12 millions de tours ; et Formula Rossa (2010), avec 240 km/h.