Como funciona uma montanha-russa: física de loops e quedas

Um passeio sem motor depois da primeira colina

Como funciona uma montanha-russa? Uma subida por corrente ou um lançamento dá ao trem toda a sua energia no início. Depois disso, a gravidade transforma altura em velocidade em cada descida e velocidade em altura em cada subida, enquanto o atrito e o arrasto do ar vão gastando a energia aos poucos, e por isso cada colina precisa ser mais baixa que a anterior.

Fique embaixo de uma montanha-russa grande e escute. Na subida, ouve-se o estalo da corrente. Depois do topo, só o rugido das rodas sobre o aço. Da crista da colina de subida até os freios no fim, nada no trem o está empurrando. Tudo o que ele faz dali em diante (a descida, o loop, o momento de flutuação na colina seguinte) é pago pela altura que a corrente lhe deu.

Esta exposição tem doze montanhas-russas modelo feitas com o mesmo conjunto de peças: um looper de aço, um loop circular antigo, uma de madeira de ida e volta, um top hat lançado, uma invertida, uma wing, uma 4D com assentos que giram, um shuttle loop, uma familiar, uma hyper, uma giga e um mine train. Nenhuma copia um brinquedo real. Cada uma é um "percurso modelo" montado para mostrar uma ideia, e a lista de casos abaixo dos controles traz brinquedos reais do mesmo tipo com seus números publicados. Um catálogo de 48 brinquedos reais monta, no mesmo parque, um modelo aproximado de qualquer um deles.

Os passeios que você vê não são animações de horário fixo. O modelo calcula a velocidade passo a passo ao longo da pista, a partir da energia, da gravidade, do atrito de rolamento e do arrasto do ar. Quando você muda a primeira descida, o raio do loop ou a velocidade de lançamento, a velocidade, as cargas sobre os passageiros e o resultado em cada topo de loop mudam junto. Você também pode montar um percurso seu com até oito peças e ver se o trem consegue dar a volta.

O que a subida por corrente armazena

No looper de aço, a corrente arrasta o trem por uma rampa de 40° a 3 m/s até os passageiros ficarem a 42,5 m do chão. O fundo da primeira descida fica 40 m mais abaixo. Erguer um quilograma por 40 m custa

m × g × h = 1 kg × 9,81 m/s² × 40 m = 392 J

O trem do modelo pesa 6000 kg com vinte passageiros, então a corrente lhe entrega cerca de 2,35 milhões de joules de energia potencial. Essa reserva é tudo o que o trem tem para gastar no resto do passeio. Toda colina depois da subida precisa ser mais baixa que a crista, e a pergunta de verdade para quem projeta uma montanha-russa é quanto dessa reserva ainda sobra em cada ponto da pista.

Ligue o Som e olhe o painel ao lado da estação. Uma cremalheira dentada sobe ao lado da corrente, e uma lingueta articulada sob cada carro cai em cada dente enquanto o carro sobe. Esse é o estalo. Se a corrente parasse, o dente seguinte seguraria o carro antes que ele pudesse descer de ré. No modelo, a lingueta cai num dente a cada 0,3 m, um espaçamento escolhido pelo som e não tirado de um brinquedo específico.

Altura vira velocidade

Na descida, a energia potencial vira energia cinética. Para cada quilograma, a energia do movimento é ½v², então, sem perdas,

½v² = ½v₀² + g × h

em que v₀ são os 3 m/s que o trem já tinha na crista. Para uma descida de 40 m isso dá v = √(3² + 2 × 9,81 × 40) = 28,2 m/s, ou cerca de 101 km/h. Com o atrito de rolamento e o arrasto do ar ligados, o modelo chega embaixo a 99 km/h. A massa não aparece na fórmula, então um trem vazio e um cheio chegam quase à mesma velocidade.

Experimente o controle Primeira descida. Com 60 m, a velocidade embaixo sobe para 121 km/h. Com 25 m, cai para 79 km/h, e o trem já não tem energia para dar a volta num loop de 26 m. Ele desacelera, para no meio da subida e desce de ré.

O que o passageiro sente como g

O número na ficha de uma montanha-russa, como "4,5 g", não é a aceleração do trem. É a força com que o assento empurra você, dividida pelo seu peso normal. Parado, você marca 1 g. Quando a pista se curva para cima, o assento precisa empurrar mais que o seu peso para fazer você virar, e o empurrão extra é v²/R por quilograma, em que R é o raio da curva. Quando a pista se curva para baixo mais depressa do que você cairia, o assento empurra menos e você se sente leve.

O modelo calcula essa "carga no assento" a partir da velocidade do trem, da curva da pista e da atração da gravidade, em três direções: pelo corpo, do assento à cabeça, para o lado e para a frente, ao longo das costas. A linha vermelha do gráfico mostra a primeira ao longo de todo o passeio. A figura ao lado do botão de passeio mostra um passageiro sentado com uma seta para o empurrão do assento. A seta é verde na faixa do dia a dia, fica âmbar acima de 3 g e vermelha acima de 5 g, e fica azul quando o assento deixa de empurrar e a barra de segurança precisa segurar você.

Por que o modelo segue o coração dos passageiros

Uma montanha-russa real é traçada ao longo da linha do coração dos passageiros, a linha que passa pelo peito deles, e não ao longo dos trilhos. A diferença é pequena numa colina, onde os passageiros ficam cerca de um metro acima dos trilhos. Ela importa muito quando o trem gira. Se os trilhos girassem em torno do próprio centro, a cabeça dos passageiros descreveria um arco largo e o corpo seria jogado para o lado. Se os trilhos giram em torno dos passageiros, eles apenas se viram.

Por isso o caminho neste modelo é a linha do coração, e os trilhos são desenhados deslocados dela: 1,1 m abaixo dos passageiros num trem de assento comum, 1,75 m acima deles num trem invertido, ao lado nos trens wing e 4D. Todas as cargas do painel são cargas no coração.

O topo do loop: v² ≥ g·r

No topo do loop os passageiros estão de cabeça para baixo. A gravidade os puxa para o chão, que agora fica na direção do centro do loop. Se o trem anda exatamente na velocidade em que só a gravidade curva o caminho num círculo de raio r, o assento não precisa empurrar nada e os passageiros flutuam. Essa velocidade satisfaz

v² = g × r

Se for mais rápido, o assento (e a pista sob as rodas) precisa empurrar também os passageiros para baixo, que se sentem colados ao assento. Se for mais lento, a gravidade os puxaria para fora do círculo. Numa montanha-russa real, as rodas de contenção sob os trilhos seguram o trem na pista e a barra de segurança segura os passageiros, mas eles ficariam pendurados nas travas.

No looper de aço o loop tem 26 m de altura e raio de 8,2 m no topo. O trem chega a 53 km/h, então v² = 214 m²/s² contra g·r = 9,81 × 8,2 = 80 m²/s². O painel mostra essa comparação, e os passageiros sentem cerca de 1,7 g no topo. A carga ali sai dos mesmos números: v²/(g·r) − 1 = 214 / 80 − 1 = 1,7. Leve o controle Raio do loop para 17 m e a comparação se inverte: v² cai para 59 contra 105, e o painel informa passageiros pendurados nas travas.

Por que os loops reais não são círculos

O loop dos livros é um círculo, e seus números são duros. Num círculo com topo sem peso, a velocidade embaixo precisa satisfazer v² = 5 g r, e a carga embaixo chega a 6 g. Mesmo um trem que mal se arrasta pelo topo ainda sente 5 g embaixo de um loop circular. Há um segundo problema. Um círculo ligado a um trecho reto começa a curvar de uma vez, e a carga salta de 1 g para o valor máximo num instante.

Desligue Loop de clotoide para ver isso. O modelo troca o loop por um círculo da mesma altura de 26 m. O raio no topo passa a ser 13 m, então ele exige v² ≥ 128 no topo em vez de 80. Quando o trem entra, o gráfico mostra um degrau de 1 g direto para 6,9 g. O percurso de loop circular vai além: um loop de 12 m, entrado a 74 km/h, e um pico acima de 8 g.

O loop de clotoide resolve os dois problemas. Ele é feito de uma espiral de Euler, uma curva cuja curvatura cresce em proporção à distância percorrida, de zero na entrada até um máximo no topo. No modelo, a curvatura sobe de modo uniforme na primeira metade do loop e cai de modo uniforme na segunda. O raio é muito grande onde o trem está mais rápido e é o menor no topo, onde está mais lento, então a carga sobe aos poucos e chega a cerca de 4,5 g em vez de 6,9 g. Um loop de clotoide puro tem cerca de 3,17 vezes a altura do seu raio no topo, e é por isso que o loop padrão tem raio de 2 × 13 / 3,17 = 8,2 m no topo. As montanhas-russas reais costumam misturar formas: algumas usam um arco circular no topo ligado a lados de clotoide.

Flutuando sobre a colina

A colina seguinte do looper de aço tem 28,6 m de altura, mais baixa que a crista para que o trem sempre chegue a ela. Seu topo tem um formato próximo ao arco que uma bola segue quando você a arremessa. Nesse arco a pista se afasta dos passageiros quase tão rápido quanto eles caem, então o assento empurra com menos da metade do peso deles, cerca de 0,45 g. O material de física de parques de diversões do NASA Glenn faz a mesma comparação com o avião KC-135, que voava em parábolas para dar aos pesquisadores ausência de peso, interrompida por arremetidas de cerca de 2 g.

O formato de uma colina decide o que os passageiros sentem no topo. Cada colina do modelo é projetada para uma carga alvo na velocidade que o trem deve ter ali: 0,3 g no looper de aço, perto de 0 g no percurso de madeira, cerca de 0,6 g na montanha-russa familiar. Um trem que chega mais rápido que a velocidade de projeto se sente mais leve, e um que chega mais devagar se sente mais pesado.

Flutuação, contada

Os passageiros chamam de airtime o momento leve no topo de uma colina. O painel o conta: cada instante em que o assento empurra com menos de 0,2 g enquanto o trem se move soma ao total. O limite é uma escolha do modelo. Com ele, o looper de aço não dá nenhuma flutuação, enquanto a montanha-russa de madeira de ida e volta, com cinco colinas feitas para cerca de 0 g no topo, dá cerca de 7,5 s em um passeio. O top hat lançado dá 7,4 s, a maior parte sobre o topo da torre.

Abaixo de 0 g o assento deixa de empurrar e a barra de segurança começa a puxar os passageiros para baixo. A figura fica azul. O percurso de madeira chega a cerca de −0,1 g, o top hat lançado a −0,5 g.

Doze percursos

A tabela mostra o que o modelo dá para cada percurso nos ajustes iniciais, com atrito e arrasto do ar ligados. As alturas são o ponto mais alto dos passageiros acima do chão; a flutuação conta cargas abaixo de 0,2 g.

O −1 g da wing é o rolo na linha do coração, em que os passageiros ficam de cabeça para baixo em linha reta. A montanha-russa familiar nunca leva os passageiros abaixo de 0,6 g nem acima de 2,5 g. O loop circular é o único percurso acima de 6 g, e está ali para mostrar por que esse tipo de loop foi abandonado.

O parque

Os doze percursos ficam lado a lado em um mesmo parque. Abaixo dos controles, cada um é desenhado de lado, então dá para distinguir a fileira de corcovas de uma hyper, a torre única de um top hat e o círculo de um looper antes de carregá-lo. Ao tocar num cartão, o palco vai para aquele percurso; os botões Ir para, sob os cartões, saltam direto para um ponto do percurso no palco, como a subida, a primeira descida, o primeiro loop, a hélice ou os freios, e levam o trem até lá.

Os três percursos mais novos preenchem lacunas entre os nove primeiros. A hyper sobe cerca de 62 m e gasta sua velocidade em quatro colinas com formato para levantar um pouco os passageiros do assento; é a que dá a maior flutuação dos doze, 9,8 s. A giga sobe cerca de 92 m por uma subida de cabo a 5 m/s, desce a 80 graus e faz uma larga hélice em subida de 30 m de raio. O mine train é um passeio familiar com uma hélice menor, de 11 m de raio, que sobe 5 m enquanto gira.

Hélices

Uma hélice é uma longa curva inclinada que continua girando. No modelo, a curva entra e sai suavemente, do mesmo jeito que uma curva comum: a curvatura cresce a partir de zero e volta a zero, e a inclinação a acompanha, então o passageiro nunca sente um tranco lateral repentino. O ângulo de inclinação é escolhido para a velocidade que o trem terá no meio da hélice, por tan(inclinação) = v² / (g·R). No percurso giga isso dá 78 graus com raio de 30 m, e a carga lateral dos passageiros em todo o percurso fica em 1,3 g ou menos. Uma hélice que não subisse cruzaria a própria entrada na mesma altura, por isso toda hélice do modelo sobe alguns metros; a saída passa por cima da entrada.

Banco da frente ou de trás

Um trem é um só corpo, então a velocidade dele acompanha a altura do seu meio, e não a de uma fileira qualquer. Quando a fileira da frente chega ao topo da subida, a maior parte do trem ainda está na rampa atrás dela e a corrente mantém o trem na velocidade da corrente. Quando a fileira de trás chega ao mesmo ponto, a maior parte do trem já está descendo, então a fileira de trás é puxada por cima do topo mais rápido e se descola mais do assento.

O modelo calcula isso a partir da energia. A velocidade do trem em cada instante é v² = E − 2 g ȳ, em que ȳ é a altura média dos passageiros ao longo do trem e E é fixado pelo momento em que a fileira da frente passa. No looper de aço, a fileira da frente passa a 10,8 km/h e sente 0,75 g; a de trás passa a 17,5 km/h e sente 0,54 g. Na hyper, a fileira de trás passa a 20,0 km/h e sente 0,43 g. Numa colina com o mesmo formato dos dois lados, a fileira da frente e a de trás passam na mesma velocidade e a do meio é a mais lenta, o que a tabela sob os controles também mostra.

Montanhas-russas reais, como modelos

O catálogo sob os controles lista 48 brinquedos reais de 12 países: recordistas, brinquedos de madeira, brinquedos com lançamento, brinquedos históricos de antes de 1990 e seis brinquedos na Coreia. Cada item traz a altura, a velocidade máxima, o comprimento da pista e o número de inversões do brinquedo, se tem lançamento, se ainda funciona e um link para a fonte. Os números vêm do RCDB, um banco de dados compilado a partir de material de parques e fabricantes, consultado em 26 de outubro de 2026 e convertido de pés e milhas por hora. Quando a página do próprio parque dá um número, usa-se o do parque; o Europa-Park lista a Silver Star a 130 km/h, contra 127 km/h no RCDB.

Escolher um brinquedo monta um modelo aproximado no parque. A altura, a velocidade de lançamento, a velocidade máxima e o número de inversões seguem o brinquedo real; o traçado, não. O modelo escala as peças com a velocidade para que as cargas fiquem perto do que os brinquedos reais dão: um raio de loop de cerca de um terço da altura, saca-rolhas esticados com a velocidade para que a carga lateral fique abaixo de 2 g, e um freio no meio do percurso antes de uma curva pequena de volta. Brinquedos com menos de 50 m ganham no máximo quatro inversões no modelo, porque seis gastariam a altura deles. Um brinquedo, a French Revolution do Lotte World, não tem altura nem descida registradas, então não tem modelo.

O brinquedo mais rápido da lista é a Falcons Flight, no Six Flags Qiddiya City, com 250 km/h, que também é a mais alta, com 163 m, e a mais longa, com 4250 m. A Formula Rossa vem em seguida, com 240 km/h. A The Smiler, no Alton Towers, tem o maior número de inversões, 14.

Montando com hélices e impulsos

O editor de percurso tem duas peças novas. Uma hélice dá uma volta em torno de um eixo vertical e sobe 8 m, com o raio definido por um controle. Um impulso de lançamento é um trecho curto com motor no meio do percurso, que acelera o trem até uma velocidade definida; ele só acrescenta velocidade e nunca freia um trem mais rápido. Um percurso pode ser copiado como um link: as peças vão para o endereço, e abrir o link carrega o mesmo percurso no editor.

O editor também guarda uma pontuação: 100 pontos por segundo de flutuação, um ponto por km/h de velocidade máxima e 50 pontos por inversão. A pontuação só conta se o passeio terminar dentro de três limites: carga máxima de 5 g ou menos, carga mínima de −1,5 g ou mais e carga lateral de 1,8 g ou menos.

Lançar em vez de subir

Uma montanha-russa com lançamento recebe a energia em segundos, não em minutos. No percurso lançado, motores lineares ao longo de uma reta de 116 m empurram o trem com 1,4 g constantes. De passo de caminhada na estação, ele chega a 194 km/h em cerca de 3,8 s. Os motores lineares não têm peças móveis na pista: bobinas na pista e ímãs no trem se empurram, ligados em sequência conforme o trem passa. Na Helix, no Liseberg, os ímãs do trem fazem duas funções, trabalhando com os dois motores de lançamento e com as aletas dos freios, segundo um artigo de 2024 na Physics Education, de Ann-Marie Pendrill.

A velocidade embaixo vira altura na subida. A 54 m/s, a fórmula da energia permite subir v² / (2g) = 54² / 19,62 = 149 m. O top hat deste percurso tem 135 m de altura, então o trem passa por cima do topo arredondado a cerca de 42 km/h, depois do atrito e do arrasto do ar. Baixe a velocidade de lançamento para 52 m/s e ele já não consegue. O trem para antes do topo, desce a torre de ré e volta de ré para a pista de lançamento, onde os freios o seguram. As montanhas-russas lançadas reais são construídas com o mesmo tipo de proteção, já que um trem que fica sem velocidade numa torre precisa voltar a descer em algum lugar.

O top hat não pode ficar muito mais baixo do que a energia permite, porque a curva da horizontal para a vertical precisa ser suave. A 54 m/s, uma arremetida a 5 g exige um raio de v² / (4g) = 74 m. É por isso que, neste percurso, a altura do topo não pode ficar abaixo de um limite que cresce com a velocidade de lançamento.

O shuttle loop

Uma montanha-russa shuttle não tem circuito. O percurso shuttle lança o carro com suaves 0,6 g até 94 km/h, por um loop de clotoide e por uma torre quase vertical. O carro sobe a torre até parar, desce de ré, passa pelo loop uma segunda vez, de ré, passa pela estação e sobe uma torre de trás. Quando volta para a frente, os freios da estação o param. O modelo roda exatamente essa sequência e a conferência a conta: uma passagem pelo topo do loop para a frente, uma de ré, e depois uma parada a meio metro da posição de embarque.

A American Coaster Enthusiasts descreve a mesma sequência na Montezooma's Revenge, no Knott's Berry Farm, inaugurada em 1978: um lançamento por volante giratório a 55 mph (89 km/h) em menos de cinco segundos, um loop de 76 pés (23 m), uma torre de 148 pés (45 m), e depois de volta pelo loop e por uma torre traseira de 112 pés (34 m).

Virando os passageiros de cabeça para baixo

O modelo tem quatro peças que invertem os passageiros, e cada uma faz isso de um jeito.

• Loop vertical. A pista dá uma volta completa no plano vertical. Os passageiros ficam colados ao assento durante toda a volta, desde que v² continue acima de g·r no topo.
• Rolo de zero g. A pista sobe para o arco que uma bola arremessada seguiria na velocidade de projeto e gira 360° enquanto o trem voa por esse arco. Como o caminho é de queda livre, o assento quase não empurra, e os passageiros ficam de cabeça para baixo com perto de 0 g. A conferência do modelo acha cerca de 0,1 g no meio do rolo.
• Rolo na linha do coração. O coração percorre uma linha reta enquanto os trilhos giram em torno dele. Nada empurra os passageiros além da gravidade, então no meio do rolo, de cabeça para baixo, eles ficam pendurados a exatamente −1 g.
• Saca-rolhas. O caminho dos passageiros é uma hélice em torno de uma linha ao lado da pista, com os passageiros por dentro. O rolo precisa começar e terminar de leve: se a torção começasse de uma vez, os passageiros seriam jogados para o lado.

O saca-rolhas veio primeiro. Segundo a American Coaster Enthusiasts, o engenheiro da Arrow Development Ron Toomer mostrou a ideia dobrando um arame em volta de um cano de 12 polegadas, e o primeiro brinquedo abriu no Knott's Berry Farm em 1975 com dois saca-rolhas, a primeira montanha-russa moderna a virar os passageiros de cabeça para baixo. O giro de zero gravidade na linha do coração chegou com a Batman The Ride em 1992.

Trens pendurados, com asas e giratórios

A mesma pista pode levar trens muito diferentes, e o modelo desenha quatro tipos.

• Assento comum. Os passageiros se sentam em carros acima dos trilhos. O looper de aço, o percurso de madeira, o top hat lançado, o shuttle e a montanha-russa familiar usam esse tipo.
• Invertida. Os carros ficam pendurados sob os trilhos e as pernas dos passageiros balançam soltas. Os suportes precisam ficar ao lado do trem e passar por cima dele. A Batman The Ride, no Six Flags Great America, inaugurada em 1992, foi a primeira montanha-russa invertida com loops.
• Wing. Os passageiros se sentam em asas dos dois lados da pista, sem nada acima nem abaixo. No modelo, a linha do coração deles fica a apenas 0,45 m acima do trilho.
• 4D. Cada par de assentos gira no próprio eixo. Na X2, no Six Flags Magic Mountain, os assentos ficavam em asas e giravam 360°, então os passageiros entravam nas descidas de cabeça e de frente para baixo. O parque fechou a X2 em definitivo em setembro de 2026, depois de um histórico de ferimentos, segundo o Los Angeles Times.

No percurso 4D, os assentos dão uma cambalhota completa para a frente na primeira descida, meia volta para trás na primeira colina e mais giros depois. A pista e as cargas no coração são iguais para todos os passageiros, mas a figura do corpo gira com o assento. Uma carga que empurra você contra o assento num percurso pode empurrar ao longo das costas, ou puxar você para fora do assento, quando o assento girou.

Três rodas em volta do trilho

O painel ao lado da estação mostra um conjunto de rodas em duas vezes e meia o tamanho real. Cada canto de um carro tem três rodas em volta do trilho.

• Roda de rolamento, sobre o trilho, carrega o peso do carro e dos passageiros.
• Roda guia, ao lado, mantém o carro centralizado nas curvas.
• Roda de contenção, sob o trilho, segura o carro quando ele tenderia a se soltar: de cabeça para baixo ou sobre uma colina de flutuação.

A roda de contenção é antiga. O Escritório Alemão de Patentes e Marcas aponta a patente de 1919 de John A. Miller, "Pleasure railway structure", como a que descreve uma "underfriction wheel" sob o trilho-guia, que torna o descarrilamento impossível e permitiu velocidades muito maiores e traçados mais incomuns. Praticamente todas as montanhas-russas ainda são construídas assim.

As rodas mudaram em 1959. Segundo o National Inventors Hall of Fame, o trilho de cantoneira não dobrava o bastante para caber dentro da montanha artificial da Matterhorn Bobsleds da Disneyland, então Karl Bacon e Ed Morgan, da Arrow Development, usaram tubos de aço que podiam ser dobrados com precisão. Testaram rodas de náilon e escolheram poliuretano: mais silencioso que o aço e com menos atrito que a borracha. Eles também projetaram os trilhos para envolver as rodas.

Freios magnéticos

A maioria das montanhas-russas modernas freia seus trens com ímãs. Uma aleta de cobre ou latão se move entre fileiras de ímãs, ou os ímãs passam por uma aleta. O campo magnético variável gera correntes circulares no metal, chamadas correntes parasitas, e essas correntes criam um campo magnético próprio que empurra contra o movimento. Quanto mais rápido a aleta se move, mais fortes as correntes e mais forte o empurrão. Um estudo da montanha-russa Kanonen, no Liseberg, de Ann-Marie Pendrill, Magnus Karlsteen e Henrik Rödjegård, descreve o resultado: um aumento suave da força de frenagem quando o trem entra nos freios, com a energia cinética restante virando calor nas aletas. Com uma câmera infravermelha, eles viram a primeira aleta esquentar a cada trem que passava.

O modelo trata os freios como a = k·v, com k uma "força" em 1/s que você ajusta no controle Força do freio magnético. Essa lei simples tem um resultado bonito. A velocidade cai o mesmo tanto a cada metro de freio:

v = v₀ − k × s

Assim, um trecho de freio de 40 m com k = 0,35/s tira 14 m/s do trem, qualquer que seja a velocidade com que ele entrou. Os freios de ajuste do looper de aço levam o trem de 90 para 50 km/h antes da curva. No tempo, porém, a velocidade cai cada vez mais devagar (v = v₀ e^(−kt)), e o trem nunca chega a parar de todo. Um livro aberto da Michigan State University diz a mesma coisa em palavras: como a força de frenagem diminui em velocidades menores, os freios mecânicos comuns ainda são necessários para levar um veículo à parada total. No modelo, como em muitos brinquedos reais, os últimos metros na estação ficam por conta de pneus de tração.

A bancada de freios sob os controles deixa você testar isso. Um trem entra a 100 km/h. Com ímãs de k = 0,3/s, ele sai de um trecho de freio de 60 m a 35 km/h e só chegaria perto de zero depois de 93 m. Com freios de atrito de 0,7 g constantes, ele para em 56 m. Uma das tarefas pede que você pare o trem em 60 m sem passar de 1 g, o que mostra qual tipo de freio precisa vir por último.

O modelo também deixa os freios magnéticos ficarem fracos demais. Se você baixar a força deles, os freios de ajuste de um percurso já não reduzem o trem o bastante para a curva seguinte, e a carga lateral nessa curva sobe. As curvas são inclinadas para a velocidade que os freios devem deixar.

Atrito e ar levam uma parte

Os trens reais perdem energia o tempo todo. O modelo inclui duas perdas. O atrito de rolamento é fixado em 0,8 % da força que aperta as rodas contra os trilhos, então cresce no loop e nos vales, onde a carga é alta. O arrasto do ar usa F = ½ρC_dAv² com uma área de arrasto de 1,5 m² para o trem todo; a 28 m/s isso desacelera o trem em cerca de 0,12 m/s². Os dois valores são escolhas do modelo que dão perdas de tamanho certo, não medidas de uma montanha-russa específica.

No fundo da primeira descida do looper de aço, as perdas são menos de 5 % da energia da descida. No fim da colina, chegam a cerca de um quinto. A barra do painel mostra a energia dividida em altura, velocidade, perdas e freios enquanto o trem percorre a pista. A diferença importa perto dos limites. Com uma descida de 30 m e um raio de loop de 13 m, o trem passa pelo topo do loop sem atrito com v² = 85 contra g·r = 80, mas com atrito v² é só 40 e os passageiros ficariam pendurados nas travas. Os projetistas deixam uma margem justamente para isso, e também para as manhãs frias, em que os rolamentos das rodas ficam duros.

Um trem cheio ou vazio

Desligue Trem cheio e o modelo tira os vinte passageiros: 4400 kg em vez de 6000 kg. A gravidade e o atrito de rolamento crescem com a massa, então não se importam. O arrasto do ar, sim: o mesmo empurrão do ar age sobre menos massa. No looper de aço, o trem vazio fica cerca de 0,2 km/h mais lento no fundo da descida e chega ao topo do loop com v² = 207 em vez de 214. A diferença é pequena, mas é por isso que um trem de teste vazio numa manhã fria é o caso mais difícil para um brinquedo que só passa raspando pela última colina.

Freios, inclinação e o caminho de volta

Depois da colina, o trem do looper de aço ainda anda a cerca de 90 km/h. Os freios de ajuste o reduzem a 14 m/s antes de uma curva de 180° com 18 m de raio. A curva é inclinada a 48° porque tan 48° ≈ v² / (g × R) = 14² / (9,81 × 18) = 1,11: nesse ângulo o empurrão do assento aponta direto pelo corpo do passageiro e não há tranco para o lado. Os freios finais levam o trem a 2 m/s, e pneus de tração o levam pela última curva e o param na estação.

Todo percurso se fecha do mesmo jeito. O modelo desenha as peças de ida, uma curva de 180°, as peças de volta e então calcula o raio da última curva e o comprimento da reta de volta para que a pista encontre a estação exatamente. A conferência confirma que cada percurso e cada ajuste dos controles se fecha com erro de até 0,6 m.

Monte seu próprio percurso

O editor de percurso sob os controles deixa você começar com uma subida por corrente (de 8 a 110 m) ou um lançamento (de 36 a 216 km/h) e acrescentar até oito peças: colinas, loops, rolos de zero g, saca-rolhas, rolos na linha do coração, top hats, freios e retas. Colinas e top hats recebem uma altura, loops um raio e um formato, e freios a velocidade com que o trem deve sair. O modelo acrescenta uma curva, freios e o caminho de volta à estação e então simula o passeio.

Os resultados mostram a velocidade máxima, as cargas máxima e mínima, a maior carga lateral, a flutuação, o ponto mais alto, o comprimento, o número de inversões e a duração do passeio, com um aviso para qualquer coisa acima de 5 g, abaixo de −1 g, carga lateral acima de 1,8 g, uma parada no meio ou passageiros pendurados no topo de um loop. Uma última linha confere a simulação com a fórmula: sem atrito, a velocidade no primeiro topo de loop deve bater com v² = v₀² + 2g(H − y), e a carga ali deve bater com v²/(g·r) − 1. Em 60 percursos aleatórios conferidos desse jeito, o pior erro de energia é menor que 0,05 %.

Quantos g são demais

Um estudo de educação em física da Universidade de Gotemburgo diz o seguinte: brinquedos para crianças pequenas podem ser limitados a cerca de 2 g, montanhas-russas familiares costumam chegar a 3 g e muitas montanhas-russas grandes passam de 4 g. Dependendo da pessoa, o fluxo de sangue para a cabeça pode falhar entre 5 e 6 g, se a carga durar tempo suficiente, e 6 g por qualquer tempo prolongado não seria aceitável para o público em geral.

O tempo importa tanto quanto o tamanho. Uma revisão da Universidade da Pensilvânia lista de 4 a 6 g como o pico em brinquedos potentes e observa que o limite de 5 a 9 g citado para pilotos de caça se refere a cargas mantidas por muitos segundos (43 s em média), enquanto as montanhas-russas aplicam cargas por menos de cerca de 3 s de cada vez. Os dados de pilotos mostram como a variação entre as pessoas é grande. Uma circular de aconselhamento da FAA dá tolerâncias médias para um piloto relaxado, com a carga subindo 1 g por segundo, de 4,1 g para a visão cinza (perda gradual da visão), 4,7 g para o apagão e 5,4 g para a perda de consciência. O folheto da FAA para pilotos acrescenta que o corpo lida ainda pior com g negativo, que empurra o sangue para a cabeça. Cargas muito curtas são outra coisa: um estudo arquivado pela Biblioteca Nacional de Medicina dos EUA lembra que um espirro pode dar à cabeça, por pouco tempo, 10 g durante cerca de 0,002 s, sem causar dano.

Os projetistas de brinquedos trabalham com normas escritas. Nos Estados Unidos, a principal é a ASTM F2291, Standard Practice for Design of Amusement Rides and Devices, que tem uma seção sobre limites de aceleração que dependem da direção e da duração. O texto completo é vendido pela ASTM, então esta exposição não cita os números dela. Na Grã-Bretanha, o Health and Safety Executive publica um guia de boas práticas (HSG175) para projetistas, fabricantes, operadores e inspetores de brinquedos de feira. No painel, o modelo só sinaliza picos acima da faixa de 4 a 6 g relatada para grandes montanhas-russas.

O que o modelo deixa de fora

O passeio em si é simulado como um único ponto no centro do trem. A diferença entre as fileiras da frente e de trás sobre uma crista é calculada à parte, a partir da altura do trem inteiro, mostrada em uma tabela própria, e não volta para o passeio. Todo percurso é desenhado como ida e volta com curvas planas; as montanhas-russas reais giram em três dimensões e suas cargas incluem componentes laterais e para a frente que o modelo só mostra em curvas e rolos. O atrito das rodas, a área de arrasto, a força dos freios e a velocidade da corrente são tamanhos típicos, não dados de um brinquedo. As alturas e velocidades dos doze percursos são do próprio modelo e não são cópias de brinquedos reais.

Uma breve história

A montanha-russa nasceu de uma ferrovia de carvão. O Escritório Alemão de Patentes e Marcas conta a história da Mauch Chunk Switchback Railway, na Pensilvânia, construída em 1827 para levar carvão por 14 km numa encosta natural. Depois de alguns anos os passageiros passaram a andar nela por diversão, e ela inspirou LaMarcus Thompson. A Switchback Railway de Thompson abriu em Coney Island em 1884. Segundo o Coney Island History Project, tinha 600 pés, andava a 6 mph e custava um níquel (5 centavos); não era de ida e volta, então os passageiros desciam e o carro era virado. Sua patente, a US 310.966 de 20 de janeiro de 1885, descreve duas pistas paralelas onduladas com um desvio em cada ponta, para que cada carro faça uma viagem de ida e volta.

As montanhas-russas com loops foram tentadas muito antes de os tubos de aço as tornarem práticas, e as primeiras usavam loops circulares. Edwin Prescott patenteou um loop vertical em 16 de agosto de 1898 e construiu o seu Loop the Loop na Surf Avenue em 1901. A roda de contenção de John Miller, de 1919, tornou seguras as descidas íngremes e as curvas fechadas. Alguns brinquedos dessa época ainda funcionam: a Leap-the-Dips (1902), na Pensilvânia, é a montanha-russa mais antiga em funcionamento no mundo, a Rutschebanen (1914), em Copenhague, ainda leva um operador de freio em cada trem, e a Cyclone (1927), em Coney Island, virou marco de Nova York em 1988.

A pista de aço tubular chegou com a Matterhorn Bobsleds em 1959. O saca-rolhas veio em 1975 e, em 8 de maio de 1976, a Revolution, no Six Flags Magic Mountain, abriu como a primeira montanha-russa moderna de loop vertical com pista de aço tubular, com um loop de 45 pés de largura. Segundo o estudo de Gotemburgo, o formato de clotoide introduzido pelo engenheiro Werner Stengel foi usado ali pela primeira vez, e uma página da NASA sobre a curva observa que, no fim dos anos 1970, ela já era a forma aceita para brinquedos com loop. Os recordes vieram depois: a Magnum XL-200 (1989) como a primeira hypercoaster com mais de 200 pés, a Millennium Force (2000) como a primeira giga coaster, com 94,4 m, a Top Thrill Dragster (2003) com 128 m, a Kingda Ka (2005) com 456 pés, aposentada em novembro de 2024 depois de mais de 12 milhões de passeios, e a Formula Rossa (2010) com 240 km/h.