Ângulos do bilhar: mira, efeito e diamantes, passo a passo

Por que a bola não vai para onde você mirou

Observe um bom jogador de três tabelas por alguns minutos e uma coisa chama a atenção. A bola branca quase nunca percorre uma linha reta do taco até o lugar onde termina. Ela roça numa bola, corre ao longo de uma tabela, sai num ângulo que parece errado, faz uma pequena curva no pano e chega à última bola como se tivesse sido guiada. Nada a guia. Cada mudança de direção nesse caminho vem de três coisas: o ângulo em que duas bolas se encontram, o efeito que o taco deu à bola e o atrito entre bola, pano e tabela.

Esta página permite separar essas três coisas. A mesa do palco foi construída com as medidas dos regulamentos das duas entidades mundiais: a Union Mondiale de Billard (UMB) para a carambola e a World Pool-Billiard Association (WPA) para a sinuca (pool). As bolas são conduzidas por um modelo físico que registra onde cada bola está, com que velocidade se move e como gira em torno dos três eixos, duas mil vezes por segundo. Quando você dá a tacada, o que aparece é o modelo calculando a jogada, não uma gravação.

Nos primeiros segundos, um ponto de três tabelas se joga sozinho: a bola branca toca a amarela, corre por três tabelas e chega à vermelha, deixando uma linha no pano atrás de cada bola. Depois, o guia passa pelas ideias que tornam essa jogada possível, uma de cada vez, cada uma com uma demonstração e uma tacada para você tentar. Primeiro vem a mira com a bola fantasma, depois a espessura, o ângulo de corte e a regra dos 90 graus. Em seguida você vê por que uma bola atingida no centro desliza antes de rolar, e exatamente quanto. Seguimento e puxada, o efeito lateral na tabela, o sistema de diamantes que os jogadores de três tabelas usam para planejar jogadas por três tabelas, a curva com o taco levantado e encaçapar na mesa de sinuca completam o percurso.

Sob os controles há tarefas com estrelas, uma coleção dos tipos de jogada que você já fez, quadros com os números por trás do modelo e algumas calculadoras. Em volta da mesa há treze coisas para encontrar. O texto abaixo explica a física com os números que o palco usa, para que você possa conferi-los.

Duas mesas, segundo os regulamentos

A mesa de carambola

O artigo 11 das World Rules of Carom Billiard da UMB fixa a mesa. A superfície de jogo, medida entre as tabelas, tem 2,84 m de comprimento e 1,42 m de largura, com 5 mm de tolerância para mais ou para menos. São exatamente dois quadrados lado a lado, e por isso os diamantes de uma mesa de carambola dividem as duas bordas em passos iguais: oito ao longo do comprimento e quatro na largura, cada um a 355 mm do seguinte. A ardósia sob o pano deve ter pelo menos 45 mm de espessura. O topo da armação fica entre 75 e 80 cm acima do chão. As tabelas são de borracha, e sua borda frontal, o nariz, tem 37 mm de altura, com 1 mm de tolerância.

O mesmo artigo contém uma linha que surpreende a maioria das pessoas: as mesas para torneios oficiais devem ter um aquecedor elétrico com termostato, ligado desde o momento em que a mesa é montada até o fim da competição. O calor tira a umidade da ardósia e do pano, e a regra diz o motivo com palavras simples: garantir o melhor rolamento possível. Numa jogada de três tabelas, a bola costuma percorrer vários metros, e um pano úmido tiraria uma parte perceptível desse percurso.

O artigo 12 trata das bolas. São três, devem ser rigorosamente redondas, com diâmetro entre 61 e 61,5 mm (o texto em inglês diz "cm", um erro de digitação; as regras do cinco-pinos dão a mesma faixa em mm) e massa entre 205 e 220 g. Em um jogo de bolas, a mais pesada e a mais leve podem diferir em no máximo 2 g. O artigo 15 pede pelo menos 520 lux de luz em toda parte do pano, medidos com o medidor deitado sobre o pano, avisa que o ofuscamento começa em 5000 lux na visão direta e coloca a fonte de luz a pelo menos 1 m acima da superfície de jogo.

A mesa de sinuca

As Recommended Equipment Specifications da WPA descrevem uma mesa de 9 pés com superfície de jogo de 100 por 50 polegadas, 2,54 por 1,27 m, de novo exatamente dois quadrados. As bordas têm de 4 a 7,5 polegadas de largura, incluindo a tabela. 18 marcas, os diamantes, ficam embutidas rente ao tampo da borda, a 12,5 polegadas (317,5 mm) uma da outra, cada uma a 93,7 mm do nariz da tabela. A altura do nariz é dada como uma fração da bola: 63,5 % do diâmetro, com 1 % de tolerância para mais ou para menos. A ardósia deve ter pelo menos uma polegada e ser plana com tolerância de 0,508 mm no comprimento e 0,254 mm na largura.

As bolas de sinuca são menores e mais leves: 57,15 mm de diâmetro e de 156 a 170 g, de resina fenólica fundida, uma bola branca e quinze bolas numeradas. Uma bola de carambola é cerca de 7 % mais larga e 30 % mais pesada. As caçapas são especificadas ao milímetro: a boca da caçapa de canto, medida entre os narizes das tabelas no ponto em que elas se voltam para a caçapa, tem de 4,5 a 4,625 polegadas (114,3 a 117,5 mm), e a da caçapa lateral é meia polegada mais larga, de 127 a 130,2 mm. A tabela junto a uma caçapa de canto deve ser cortada a 142 graus e junto a uma caçapa lateral a 104 graus.

A WPA também dá um teste para medir o quanto as tabelas são vivas. Com a bola branca sobre o ponto da cabeça, lançada pelo ponto do pé com o taco nivelado, no centro da bola e com uma tacada firme, a bola deve percorrer pelo menos quatro a quatro vezes e meia o comprimento da mesa sem pular. Na mesa de sinuca do palco, uma tacada no centro da bola precisa de cerca de 6,2 m/s para cobrir quatro comprimentos; a 4 m/s ela cobre 2,9. É mais ou menos o que "uma tacada firme" quer dizer em números.

As duas lado a lado

No palco, o interruptor no alto troca a mesa. A mesa de carambola não tem caçapas, tem três bolas e um leito aquecido; a mesa de sinuca tem seis caçapas, bolas menores e pano verde (a WPA admite verde-amarelado, verde-azulado ou azul elétrico). A figura ao lado da mesa tem 1,7 m de altura. Digite sua própria altura em Eu e ela muda; o laboratório também diz se você alcançaria o meio de cada mesa sem a ponte, usando um alcance de 0,62 vezes a sua altura além da borda. Essa proporção é uma estimativa, não uma medição.

Mirar com a bola fantasma

Suponha que você queira mandar uma bola objetivo em direção a uma caçapa. A bola objetivo sairá ao longo da linha que passa pelos dois centros no instante do contato, a linha dos centros; portanto, no contato, o centro da bola branca deve estar sobre essa linha, a um diâmetro de bola atrás da bola objetivo. Imagine uma segunda bola ali, tocando a bola objetivo no lado oposto ao da caçapa. Essa bola imaginária é a bola fantasma, e mirar significa mandar o centro da bola branca até o centro do fantasma.

Em números: se a bola objetivo está em O e a caçapa em P, o centro G do fantasma é

G = O − 2R (P − O) / |P − O|

onde R é o raio da bola. Na lição do fantasma no palco, a amarela 1 fica em (0,60; 0,28) m a partir do centro da mesa de sinuca, a caçapa do canto superior direito está em (1,27; 0,635) e R vale 28,6 mm. O fantasma resulta em (0,5495; 0,2532). A partir da bola branca, em (−0,55; −0,10), isso fica a 1,155 m de distância, numa direção 17,8 graus acima do eixo maior, e a tacada guardada da lição usa exatamente esse ângulo. No modelo, a bola entra.

A bola fantasma não é o ponto onde as bolas se tocam. Esse ponto de contato fica a meio caminho entre os dois centros, na superfície da bola objetivo. Os jogadores que miram o centro da bola branca no ponto de contato, em vez de no fantasma, acertam a bola grossa demais e cortam menos em todas as tacadas; a distância entre os dois pontos de mira é um raio de bola inteiro.

Espessura e ângulo de corte

Olhe ao longo da sua linha de mira para a bola objetivo. A parte dela que a bola branca vai cobrir chama-se espessura, ou fração de bola atingida f. Uma batida cheia cobre tudo (f = 1). Mirar o centro da bola branca na borda da bola objetivo cobre metade (f = 1/2). O ângulo entre a linha de mira e a linha dos centros, o ângulo de corte φ, decorre da geometria de dois círculos iguais:

f = 1 − sin φ, portanto φ = asin(1 − f).

Uma batida de meia bola é, assim, um corte de 30 graus, uma de um quarto de bola dá cerca de 48,6 graus, uma de um oitavo, 61 graus, e uma de um dezesseis avos, 69,6 graus. O quadro do laboratório lista esses valores com o que acontece depois com a bola branca. Os cortes finos são difíceis por uma razão simples: perto de f = 0, uma pequena mudança no ponto de mira muda muito o ângulo de corte. De f = 1/2 a f = 1/4, o corte aumenta 18,6 graus; de 1/8 a 1/16, aumenta 8,6 graus para um deslocamento da mira de apenas 3,8 mm numa bola de carambola.

No palco, o painel de leitura mostra o ângulo de corte e a espessura para a linha de mira atual antes da tacada, e as linhas de mira traçam três direções a partir do fantasma: a trajetória da bola objetivo (vermelha), a linha tangente perpendicular a ela (azul) e a direção que uma bola branca rolando tomaria (amarela).

A regra dos 90 graus

Bata numa bola objetivo com uma bola branca sem efeito no instante do contato, um golpe seco (stun), e as duas bolas se separam em ângulo reto. A bola objetivo sai ao longo da linha dos centros e a bola branca ao longo da linha tangente, perpendicular a ela. Isso vale para qualquer ângulo de corte, o que faz dela um dos fatos mais úteis à mesa: você vê para onde a bola branca vai antes de dar a tacada.

A demonstração usa duas leis de conservação. Tome massas iguais m, uma velocidade de entrada v e velocidades de saída v₁ (bola branca) e v₂ (bola objetivo). Quantidade de movimento: m v = m v₁ + m v₂, portanto v = v₁ + v₂. Energia, para um contato perfeitamente elástico e sem atrito: ½ m v² = ½ m v₁² + ½ m v₂², portanto v² = v₁² + v₂². Elevando ao quadrado a primeira equação: v² = v₁² + v₂² + 2 v₁·v₂. As duas juntas deixam v₁·v₂ = 0: ou uma das bolas está parada ou as duas velocidades são perpendiculares. Os três vetores formam um triângulo retângulo com v como hipotenusa, o que também explica por que a velocidade da bola objetivo é v cos φ e a da bola branca v sin φ.

As bolas reais não são perfeitamente elásticas. David Alciatore, da Colorado State University, dá um coeficiente de restituição típico de cerca de 0,93 para bolas de sinuca e conclui que a regra dos 90 graus se aproxima mais de uma regra dos 85 graus. As bolas também se atritam uma na outra durante o instante em que se tocam, e esse atrito muda um pouco mais o ângulo. O modelo desta página usa uma restituição de 0,95 e um atrito bola-bola de 0,06, ambos dentro das faixas que Alciatore lista (0,92 a 0,98 e 0,03 a 0,08). Com esses valores, um corte com golpe seco se separa a 81,6 graus para um corte de 15 graus, 83,9 para 30, 85,0 para 45, 85,7 para 60 e 86,2 para 75. A verificação que acompanha esta página confirma que, com restituição 1 e sem atrito, o ângulo é de 90 graus com precisão de 0,05 para todos os cortes, e que a quantidade de movimento se conserva exatamente nos dois casos, enquanto a energia se conserva apenas no caso ideal.

Há uma exceção à regra: um golpe seco em linha reta, sem corte. Então a bola branca para no lugar e a bola objetivo assume a sua velocidade, a tacada de parada. Com restituição e, a bola branca mantém (1 − e)/2 da sua velocidade, 2,5 % neste modelo, e é por isso que uma tacada de parada real ainda avança um ou dois centímetros para a frente.

Primeiro desliza, depois rola: a regra 12/49

Bata numa bola exatamente no centro e ela não rola de início. Sai do taco deslizando, sem efeito, e o pano retém a parte de baixo da bola. Esse atrito reduz a velocidade da bola e, ao mesmo tempo, a põe a girar no sentido do rolamento. Quando o giro alcança a velocidade, a parte de baixo da bola deixa de escorregar no pano e a bola rola.

A conta é curta. A força de atrito é μ m g, onde μ é o atrito de deslizamento entre bola e pano, cerca de 0,2 (Alciatore lista de 0,15 a 0,4; Mathavan, Jackson e Parkin mediram de 0,178 a 0,245 numa mesa de snooker com uma câmera de alta velocidade). A bola desacelera a μ g. A mesma força age com um braço de alavanca R em torno do centro, e o momento de inércia da bola é (2/5) m R², de modo que o giro cresce a (5/2) μ g / R. O deslizamento na parte de baixo da bola, v − R ω, diminui, portanto, a μ g + (5/2) μ g = (7/2) μ g. Partindo de v₀ sem efeito, ele chega a zero depois de

t = 2 v₀ / (7 μ g).

Nesse tempo a bola percorre v₀ t − ½ μ g t², o que resulta em

d = 12 v₀² / (49 μ g),

e então ela rola a 5/7 da sua velocidade inicial. A 2 m/s e μ = 0,2, isso dá 0,29 s e 0,50 m, e a bola continua rolando a 1,43 m/s. A 1 m/s a distância é 0,125 m; a 4 m/s, 2,0 m. Num pano novo e mais lento, com μ = 0,3, a distância a 2 m/s cai para 0,33 m; num pano gasto, com μ = 0,15, ela sobe para 0,67 m. Dois sétimos da energia cinética da bola vão para o pano durante o deslizamento, qualquer que seja a velocidade.

No palco, a lição do rolamento dá uma tacada no centro da bola a 2 m/s e põe um anel onde o modelo diz que a bola começa a rolar. A etiqueta indica 0,50 m contra os 0,50 m da fórmula. A verificação repete isso a 1, 2 e 4 m/s e compara distância, tempo e velocidade com as fórmulas, com tolerância de 2 mm e 2 ms. Rod Cross, da University of Sydney, mediu o aspecto dessa passagem do deslizamento ao rolamento numa superfície coberta de feltro, e o mesmo modelo simples, de um atrito de deslizamento constante seguido de um atrito de rolamento muito menor, é o ponto de partida habitual.

A mesma conta diz onde bater para obter uma bola que rola imediatamente. O giro que um taco dá é ω = 5 v b / (2 R²), onde b é a altura da sola acima do centro (TP A.12 de Alciatore). Para rolar é preciso ω = v / R, portanto b = 0,4 R. Esse ponto, a 70 % da altura da bola, é o centro de percussão. Bata ali e nada desliza.

Seguimento e puxada

O efeito que vem da sola

Mova a sola para cima do centro e a bola sai com efeito de cima, mais do que o rolamento exige se a sola estiver acima de 0,4 R. Mova-a para baixo do centro e a bola sai com efeito de baixo. Até onde se pode afastar do centro? A análise de Alciatore põe o limite útil em cerca de metade do raio. Além de 0,5 R, a sola provavelmente escorrega da bola durante o milésimo de segundo em que se tocam, uma furada, mesmo com giz. O seletor de efeito do palco desenha esse limite como um anel tracejado e não deixa você passar dele.

O que acontece na bola objetivo

No contato, as bolas se tocam por bem menos de um milissegundo e suas superfícies são lisas, de modo que quase nenhum efeito da bola branca é transmitido. A bola branca perde a maior parte da velocidade ao longo da linha dos centros, mas mantém quase todo o seu efeito. Numa batida cheia, isso deixa a bola branca quase parada, girando. O efeito de cima a empurra então para a frente, atrás da bola objetivo, uma tacada de seguimento; o efeito de baixo a puxa de volta em direção ao jogador, uma tacada de puxada.

Na lição de seguimento do palco, a bola branca é tacada a 1,5 m/s com a sola 0,3 R acima do centro, atinge a vermelha em cheio e segue 0,57 m além do contato. Na lição de puxada, é tacada a 3 m/s com a sola 0,3 R abaixo do centro e, depois da batida cheia, volta 1,30 m. O efeito de baixo se desgasta no caminho até a bola objetivo, e é por isso que uma tacada de puxada pede mais velocidade do que se imagina: o efeito precisa sobreviver à viagem.

A regra dos 30 graus e a parábola de Coriolis

Quando a bola branca chega rolando e atinge a bola objetivo em ângulo, ela sai ao longo da linha tangente, mas ainda tem o seu efeito para a frente. O pano então a faz virar, e ela acaba seguindo numa direção entre a linha tangente e a mira original. Para uma batida de meia bola, Alciatore chama o resultado de regra dos 30 graus: a trajetória da bola branca se desvia cerca de 30 graus da linha de mira e fica perto de 30 para qualquer batida de um quarto a três quartos da bola. Ele dá um jeito de ver isso com a mão: abra o indicador e o dedo médio num V relaxado, aponte um ao longo da mira, e o outro mostra para onde vai a bola branca.

Gaspard-Gustave Coriolis chegou a isso em 1835. Para bolas ideais, a velocidade final da bola branca, depois que a curva se estabiliza, é 5/7 da sua velocidade logo após o impacto mais 2/7 da velocidade que o seu efeito lhe daria ao rolar. Daí, a deflexão em relação à linha de mira é maior, 33,7 graus, num corte de 28,1 graus. A verificação que acompanha esta página encontra o máximo da fórmula em 33,75 graus e 28,1 graus. Para espessuras de 3/4, 1/2 e 1/4, a fórmula dá 27,6, 33,7 e 27,3 graus; as bolas reais, ligeiramente inelásticas, ficam um pouco abaixo, e daí vem o número redondo 30.

Coriolis também mostrou que a curva entre a linha tangente e a direção final é uma parábola. A força de atrito de uma bola que desliza tem módulo constante e direção quase constante enquanto a curva dura, de modo que a bola se move como uma pedra arremessada sob uma força constante. A verificação ajusta uma parábola à trajetória curva do modelo depois de uma batida de meia bola e encontra um ajuste com R² acima de 0,999.

Efeito lateral, desvio de saída, curvatura e arrasto

O efeito lateral sozinho não curva a trajetória

Bata na bola branca à esquerda ou à direita do centro com o taco nivelado e ela gira em torno do eixo vertical. Esse giro não faz nada com a trajetória da bola sobre o pano. A parte de baixo da bola não escorrega para o lado, e um giro em torno do eixo vertical não pode empurrá-la de lado. Ele só aparece quando a bola toca em algo: uma tabela ou outra bola. No palco, ponha o seletor de efeito totalmente à direita com o taco nivelado, mire numa tabela longa e observe: o caminho até a tabela é reto.

Desvio de saída

O efeito lateral muda, sim, o início da trajetória, por outro motivo. Quando a sola atinge fora do centro, a bola empurra a ponta do taco para o lado e, pela terceira lei de Newton, o taco empurra a bola para o outro. A bola sai um pouco fora da linha de mira, para o lado oposto ao que você bateu: é o desvio de saída (squirt). O TP A.31 de Alciatore dá o ângulo a partir do afastamento da sola b/R e da razão entre a massa da bola e a massa efetiva dos últimos centímetros da ponteira:

tan(desvio) = (5/2)(b/R)√(1 − (b/R)²) / (1 + m_bola/m_ponta + (5/2)(1 − (b/R)²)).

Com uma razão de massas de 25, um taco de jogo típico neste modelo, meio raio de efeito lateral dá 2,22 graus, o que são 78 mm fora da linha depois de 2 m. Uma ponteira de baixo desvio, com razão 40, dá 1,45 grau; um taco de abertura pesado, com razão 15, dá 3,47 graus. A calculadora do laboratório faz essas contas, e o interruptor Desvio de saída liga e desliga o efeito no palco.

Curvatura

Um taco real nunca fica exatamente nivelado: ele precisa passar por cima da borda. Com a sola fora do centro e o taco inclinado para baixo, parte do impulso empurra a bola contra o pano, e o eixo de giro se inclina. Um eixo de giro inclinado significa que a parte de baixo da bola escorrega, sim, para o lado, e o pano curva a trajetória. Isso é a curvatura (swerve); com um taco muito levantado ela se torna um massé, tratado mais adiante.

Arrasto

O atrito entre as bolas também desvia a trajetória da bola objetivo. Num corte, a superfície da bola branca desliza sobre a superfície da bola objetivo durante o contato, e o atrito empurra a bola objetivo um pouco para fora da linha dos centros, no sentido em que a bola branca se move. Alciatore chama isso de arrasto (throw) induzido pela colisão e mostra que é maior perto de uma batida de meia bola e maior em baixa velocidade. O efeito lateral acrescenta um arrasto induzido pelo efeito, e o mesmo atrito passa um pouco de efeito para a bola objetivo. No modelo, um corte com golpe seco de 15 graus manda a bola objetivo a 12,3 graus em vez de 15, um arrasto de cerca de 2,7 graus. A um metro, isso dá 47 mm, quase metade de uma caçapa.

Tabelas: por que o rebote não é um espelho

Um raio de luz sai de um espelho no ângulo em que entrou. Uma bola de bilhar não, por três razões, e o palco permite ver cada uma delas.

A primeira é que a tabela tira velocidade da parte do movimento que vai em direção a ela, mas não da parte ao longo dela. Se a velocidade normal volta com e vezes o seu valor e a velocidade ao longo da tabela não muda, a bola sai mais rasante do que entrou: tan(saída) = e tan(entrada), com os ângulos medidos a partir da linha da tabela. H. Résal observou em 1883 que os experimentos mostravam que essa razão entre velocidades normais é quase independente do ângulo de aproximação, o que torna útil um número único. Alciatore lista de 0,6 a 0,9 para tabelas de sinuca. Mathavan e colegas, filmando uma bola de snooker rolando lançada direto contra a tabela, descobriram que ela voltava com 0,818 da sua velocidade, em média.

A segunda é a altura do nariz. Numa mesa de carambola, o nariz fica a 37 mm acima do pano e o centro da bola a 30,75 mm, de modo que a tabela toca a bola acima do seu centro. A força de contato aponta então ligeiramente para baixo, além de para trás, pressionando a bola contra o pano, e o atrito no nariz age num ponto que não está na altura do centro. A análise de Mathavan põe o contato a 7/5 do raio acima da mesa para snooker e sinuca. A altura de nariz de 63,5 % da WPA é um pouco menor, 1,27 R. O modelo numérico deles, ajustado a experimentos, dá uma restituição da tabela de 0,98 e um atrito bola-tabela de 0,14, e é válido até cerca de 2,5 m/s, acima do que a tabela se comprime demais para um modelo rígido.

A terceira é o efeito. Uma bola que gira em torno do eixo vertical roça ao longo da tabela no contato. Se o roçar aponta para trás em relação ao avanço da bola ao longo da borda (efeito a favor), o atrito empurra a bola para a frente ao longo da tabela e o rebote se abre. Se aponta para a frente (efeito contra), o rebote se encurta. O efeito de cima de uma bola rolando também roça no nariz, que fica acima do seu centro, e é por isso que uma bola rolando sai de uma tabela e depois faz curva: por um instante após o rebote, o seu giro já não combina com a nova direção.

No modelo, uma bola rolando lançada contra uma tabela longa a 45 graus sai a 38,9 graus da linha da tabela sem efeito lateral, 30,0 graus com efeito a favor e 39,3 com efeito contra. A 30 graus de entrada, os valores são 27,4, 23,4 e 35,4. Lançada de frente a 1,2 m/s, uma bola rolando volta com 0,87 da sua velocidade logo após o rebote e com 0,49 quando o seu efeito de cima se desgastou no pano: o efeito de cima continua empurrando a bola contra a tabela por um momento.

A tabela do modelo é mais simples que a de Mathavan. Ela trata o rebote como um único impulso na altura do nariz, com restituição de 0,9 para a velocidade normal e atrito de 0,2 contra o deslizamento no nariz, mais o atrito do pano sob a bola para o empurrão extra contra o pano. O valor do atrito é maior que os 0,14 de Mathavan de propósito: com ele, essa tabela simplificada segue as trajetórias de referência do sistema de diamantes abaixo com erro de meio diamante. Os dois valores aparecem marcados como valores do modelo no laboratório.

O sistema de diamantes

Números nas bordas

Os jogadores de três tabelas planejam jogadas por três ou mais tabelas com sistemas de diamantes: numerar os diamantes, fazer uma subtração, mirar. O mais conhecido é o sistema Corner-5, que a folha de Alciatore mostra numa mesa de sinuca e que os jogadores de carambola usam com os números multiplicados por dez. É uma regra prática, uma fórmula empírica encontrada jogando, não uma lei da física.

No palco, aperte Diamantes ou ligue Números dos diamantes. Três conjuntos de números aparecem nos tampos.

• Os números da bola branca (azuis) começam em 50 no canto esquerdo do fundo e vão 45, 40, 35, 30 ao longo da borda longa do fundo e 60, 70, 80 descendo pela borda curta esquerda.
• Os números da primeira borda (laranja) correm ao longo da borda longa próxima, de 80 no canto esquerdo a 0 no direito, dez por diamante.
• Os números da terceira borda (brancos) correm no mesmo sentido ao longo da borda longa do fundo.

Trace uma linha do ponto da primeira borda que você está mirando de volta, passando pela bola branca, e leia o número da bola branca onde essa linha encontra a borda longa do fundo ou a borda curta esquerda. A fórmula é então

chegada na terceira borda = número da bola branca − número da primeira borda.

Do canto (50), mirar em 30 manda a bola para 20 na terceira borda; mirar em 20 a manda para 30. Para chegar a um dado ponto A a partir do número C, mire em C − A.

Quando funciona e quando não

O sistema pressupõe uma maneira particular de bater na bola: velocidade média e efeito lateral a favor, de modo que todo rebote saia um pouco mais aberto do que entrou. Burkard Polster e Marty Ross dizem com clareza nas suas notas sobre o sistema de diamantes: a regra A − B = C vale só aproximadamente, e a sua precisão depende de modo complicado de onde estão as bolas e de como a bola branca é tacada. A folha de Alciatore traz correções: mire mais baixo para números de chegada baixos, mais alto para números altos. Cada jogador aprende as suas correções para cada mesa, pano e velocidade, o que é uma das razões pelas quais a mesa aquecida e padronizada importa.

O palco permite testar a fórmula contra o modelo. Partindo da trajetória do canto, com a bola branca a 30 cm do canto, tacada a 2,5 m/s com a sola 0,2 R acima do centro e 0,2 R para o lado a favor, as chegadas do modelo são 33,1 para um previsto de 35, 29,0 para 30, 25,0 para 25, 20,7 para 20 e 16,0 para 15. Todas ficam a menos de meio diamante da fórmula, e a verificação que acompanha esta página falha se alguma delas não ficar. Mude a velocidade ou o efeito e as chegadas se desviam, o que torna visível o limite do sistema.

Inhwan Han analisou a dinâmica da carambola e do três tabelas com a mecânica de corpos rígidos em 2005, dividindo o movimento em três partes: a bola sobre o leito, as colisões entre bolas e a bola contra a tabela, cada uma com atrito. Esse tipo de modelo é o que permite comparar uma simulação como esta com os sistemas que os jogadores usam.

Curvar a bola: o massé

Levante o taco com forte inclinação e bata na bola fora do centro, e o impulso tem uma grande parte para baixo. A bola é pressionada contra o pano e recebe um giro em torno de um eixo bem inclinado em relação à vertical. Alciatore compara esse efeito de massé ao rolamento de um avião em torno do seu próprio comprimento. A parte de baixo da bola agora escorrega para o lado no pano, e o atrito empurra a bola para o lado enquanto o deslizamento durar. A trajetória se curva.

Coriolis encontrou um jeito de mirar, que Alciatore chama de método BAR: a direção final da bola, depois que a curva se estabiliza, é paralela à linha que vai do ponto de repouso da bola branca até o ponto do pano para onde o taco aponta. Na lição de massé do palco, o taco é levantado 45 graus, a sola 0,45 R à esquerda e 0,3 R acima, e a bola, tacada a 1,6 m/s, faz um arco de mais de 5 cm em relação a uma linha reta para contornar a amarela e acertar a vermelha sem tocar numa tabela. Observe-a a um quarto da velocidade real e o giro é fácil de acompanhar pelos pontos vermelhos da bola branca.

Carambola e sinuca, lado a lado

No três tabelas, definido pelo artigo 83 da UMB, a bola branca deve tocar as tabelas pelo menos três vezes antes de tocar a segunda bola objetivo. Pode tocá-las antes da primeira bola, entre as duas ou nos dois momentos, e a mesma tabela pode contar mais de uma vez. O bilhar de uma tabela (artigo 82) exige uma única tabela. Um ponto errado passa a mesa ao adversário. Nas Copas do Mundo da UMB, cada tacada tem um limite de 40 segundos, com aviso aos 30, e cada jogador pode pedir dois tempos por partida que acrescentam mais 40 segundos.

A sinuca inverte o problema. Em vez de alcançar duas bolas com uma, você manda uma bola para a caçapa e mantém a bola branca fora dela. A física é a mesma, mas os objetivos diferem. Na carambola, o que mais importa é para onde a bola branca vai depois do primeiro contato; na sinuca, o que mais importa é para onde vai a bola objetivo, e a trajetória da bola branca é a segunda pergunta. Por isso a bola fantasma e o arrasto dominam o ensino da sinuca, enquanto as regras dos 90 e dos 30 graus e os sistemas de diamantes dominam a carambola.

As bolas também são diferentes. A bola de carambola, mais pesada, leva mais energia à mesma velocidade e corre mais num pano aquecido. Na primeira jogada do palco, a bola branca percorre 4,8 m em 7,9 segundos para marcar, e as jogadas mais longas de três tabelas cobrem o dobro disso. As caçapas da mesa de sinuca acrescentam um problema de geometria próprio: uma bola que rola ao longo de uma tabela em direção a uma caçapa de canto encontra as quinas da caçapa, cortadas a 142 graus, e ou cai ou sai chacoalhando.

Mathieu Bouville descreveu o jogo de posição na carambola como um processo de Markov: a dificuldade de uma tacada depende da tacada anterior, porque os jogadores que marcam com facilidade também deixam para si tacadas seguintes fáceis. Os bons jogadores pensam duas tacadas à frente. O palco deixa isso por sua conta.

Uma breve história

A sola de couro mudou o jogo. Antes dela, os tacos terminavam em madeira nua e não conseguiam agarrar a bola o bastante para lhe dar efeito. A sola é atribuída a François Mingaud, um francês que, na versão que Alciatore reconta, esteve preso no início dos anos 1800 e prendeu um pedaço de couro ao seu taco rachado. Com uma sola que agarra, um jogador podia bater fora do centro sem que o taco derrapasse, e o efeito lateral passou a fazer parte do jogo. Alciatore aponta a piada no nome: English, a palavra americana para efeito lateral, foi tornada possível por um francês.

Coriolis assistiu a Mingaud jogar. No prefácio de sua Théorie mathématique des effets du jeu de billard, de 1835, ele diz que começou a trabalhar no assunto depois de ver os efeitos que Mingaud conseguia produzir, e que assistir a Mingaud jogar lhe permitiu conferir se suas fórmulas combinavam com a experiência. O livro trata do rolamento e do deslizamento no pano, da tacada do taco, da colisão de duas bolas com e sem atrito e das trajetórias curvas. Coriolis mediu o atrito entre duas bolas em cerca de 0,028 e decidiu deixá-lo de fora no início, por ser tão pequeno. É o mesmo Coriolis cujo nome está ligado à força nos referenciais em rotação. A história MacTutor da University of St Andrews dá suas datas como 1792 a 1843.

H. Résal publicou um comentário sobre a teoria de Coriolis em 1883. Desde então o assunto foi retomado por engenheiros e físicos com câmeras de alta velocidade: as demonstrações técnicas de Alciatore, as medições de Mathavan, Jackson e Parkin sobre o atrito do pano e da tabela para jogadores robôs de snooker, a dinâmica do três tabelas de Han, a análise de Charles Peskin sobre colisões tridimensionais com efeito e atrito, e um estudo de 2024 sobre como a aderência da mesa à bola objetivo muda o resultado de uma colisão entre duas bolas giratórias. Filmada a 3000 quadros por segundo, a sola toca a bola por cerca de um milésimo de segundo.

Como funciona o modelo desta página

O palco mantém, para cada bola, uma posição, uma velocidade e um vetor de giro com três componentes. A cada meio milissegundo ele faz o seguinte.

1. Pano. Se a parte de baixo da bola escorrega no pano, um atrito de 0,2 × m g age contra o deslizamento e muda tanto a velocidade quanto o giro. Quando o deslizamento chega a zero dentro do passo, a bola passa a rolar. Uma bola rolando desacelera a 0,01 × g. O giro em torno do eixo vertical decai a 10 rad/s².
2. Bolas. Quando duas bolas se sobrepõem, o passo é recuado até o momento do contato. Aplica-se um impulso normal com restituição de 0,95 ao longo da linha dos centros, e um impulso de atrito de no máximo 0,06 desse valor age contra o deslizamento entre as duas superfícies, incluindo o deslizamento causado pelo efeito de cima, de baixo e lateral. O impulso de atrito muda os giros e também as velocidades.
3. Tabelas. Quando uma bola chega a uma tabela, o passo é recuado até o contato. O contato fica na altura do nariz acima do pano (37 mm na mesa de carambola, 63,5 % do diâmetro da bola na mesa de sinuca). A velocidade normal volta com 0,9 do seu valor, um atrito de no máximo 0,2 do impulso normal age contra o deslizamento no nariz, e o atrito do pano age sobre o empurrão extra contra o pano.
4. Caçapas. Na mesa de sinuca, uma bola que chega a uma linha de tabela dentro da boca de uma caçapa cai.
5. A tacada. O impulso do taco é aplicado no ponto da bola que o seletor de efeito mostra, na direção do taco. Isso define a velocidade, as três componentes de giro (TP A.12) e, se o Desvio de saída estiver ligado, o pequeno ângulo de saída em relação à linha de mira (TP A.31). Um taco levantado inclina o eixo de giro.

O quadro de números no laboratório lista cada valor com a sua faixa publicada e a fonte. Os valores usados estão dentro dessas faixas, exceto o atrito da tabela, que é ajustado como explicado acima.

Algumas coisas são simplificadas. Os contatos são pontos instantâneos. O pano não tem felpa e a mesa está perfeitamente nivelada. As bolas não saem do pano, portanto não há jogadas de salto, e o empurrão de uma bola de massé contra o pano é tratado como parte da tacada. As caçapas são desenhadas como vãos nas tabelas, e não como mandíbulas modeladas. Os números dos diamantes são lidos na linha do nariz da tabela, não nos diamantes do tampo; jogadores que miram sobre os diamantes obteriam números ligeiramente diferentes.

O modelo foi testado em mais de 850 casos: a regra dos 90 graus com bolas ideais, a quantidade de movimento e a energia, a distância 12/49, os 33,7 graus de Coriolis, a parábola, o comportamento da tabela, o desvio de saída, a curva do massé, cinco trajetórias de diamantes e uma tacada guardada para cada tarefa que o modelo deve resolver.

Para experimentar

1. Aperte Ver na lição dos 90 graus, depois mude Efeito de cima ou de baixo no painel e dê a mesma tacada de corte. Com efeito de cima, a bola branca segue a direção dos 30 graus em vez da linha tangente.
2. Encontre a tacada de parada: na disposição da lição de puxada, reduza a velocidade até que o efeito de baixo tenha acabado de se desgastar na vermelha. A bola branca deve parar seca.
3. Na lição do rolamento, mude a velocidade. O anel se move com o quadrado da velocidade: dobre a velocidade e o anel anda quatro vezes mais longe.
4. Em Diamantes, mire em 25 e dê a tacada sem efeito lateral. Depois ponha de volta o efeito a favor. Compare as duas chegadas com o anel azul.
5. Ligue Mesa de sinuca e tente encaçapar a 1 no canto com puxada, de modo que a bola branca fique fora da caçapa.
6. Desligue e ligue o Desvio de saída com efeito lateral total e observe a direção de saída mudar.
7. Ponha Tempo em 1/16 e observe os pontos vermelhos da bola branca durante uma tacada de puxada: para a frente na ida, para trás no contato, e depois a bola volta.