Billardwinkel: Zielen, Effet und Diamantensystem

Warum der Ball nicht dorthin läuft, wohin Sie gezielt haben

Wer einem guten Dreibandenspieler ein paar Minuten zusieht, dem fällt eines auf. Der Spielball läuft fast nie geradlinig vom Queue dorthin, wo er schließlich liegen bleibt. Er streift einen Ball, läuft an einer Bande entlang, kommt in einem Winkel ab, der falsch aussieht, krümmt sich ein wenig auf dem Tuch und erreicht den letzten Ball, als wäre er gesteuert worden. Nichts steuert ihn. Jede Wendung dieses Weges stammt von drei Dingen: dem Winkel, in dem zwei Bälle aufeinandertreffen, dem Drall, den das Queue dem Ball mitgegeben hat, und der Reibung zwischen Ball, Tuch und Bande.

Diese Seite lässt Sie die drei Dinge auseinandernehmen. Der Tisch auf der Bühne ist nach den Maßen in den Regelwerken der beiden Weltverbände gebaut: der Union Mondiale de Billard (UMB) für Karambolage und der World Pool-Billiard Association (WPA) für Pool. Die Bälle werden von einem Physikmodell bewegt, das zweitausendmal pro Sekunde festhält, wo sich jeder Ball befindet, wie schnell er sich bewegt und wie er sich um alle drei Achsen dreht. Wenn Sie stoßen, sehen Sie das Modell, das den Stoß berechnet, keine Aufnahme.

In den ersten Sekunden spielt sich ein Dreibandenpunkt von selbst: Der Spielball streift den gelben Ball, läuft über drei Banden und erreicht den roten, und hinter jedem Ball bleibt eine Linie auf dem Tuch. Dann geht die Führung die Ideen durch, die diesen Stoß möglich machen, eine nach der anderen, jeweils mit einer Vorführung und einem Stoß zum Ausprobieren. Zuerst kommt das Zielen mit dem Geisterball, dann Dicke und Schnittwinkel und die 90-Grad-Regel. Danach sehen Sie, warum ein in der Mitte getroffener Ball gleitet, bevor er rollt, und genau wie weit. Nachläufer und Rückläufer, Seiteneffet an der Bande, das Diamantensystem, mit dem Dreibandenspieler Stöße über drei Banden planen, das Krümmen des Balls mit angehobenem Queue und das Versenken am Poolbillardtisch runden den Kurs ab.

Unter den Bedienelementen finden Sie Aufgaben mit Sternen, eine Sammlung der Stoßarten, die Sie gespielt haben, Tabellen mit den Zahlen hinter dem Modell und einige Rechner. Rund um den Tisch gibt es dreizehn Dinge zu finden. Der Text unten erklärt die Physik mit den Zahlen, die die Bühne verwendet, damit Sie sie nachprüfen können.

Zwei Tische nach den Regelwerken

Der Karambolagetisch

Artikel 11 der World Rules of Carom Billiard der UMB legt den Tisch fest. Die Spielfläche, innerhalb der Banden gemessen, ist 2,84 m lang und 1,42 m breit, mit 5 mm Toleranz nach beiden Seiten. Das sind genau zwei nebeneinanderliegende Quadrate, weshalb die Diamanten eines Karambolagetischs beide Banden in gleiche Schritte teilen: acht in der Länge und vier in der Breite, jeweils 355 mm voneinander entfernt. Der Schiefer unter dem Tuch muss mindestens 45 mm dick sein. Die Oberkante des Rahmens liegt zwischen 75 und 80 cm über dem Boden. Die Banden bestehen aus Gummi, und ihre Vorderkante, die Nase, ist 37 mm hoch, mit 1 mm Toleranz.

Derselbe Artikel enthält eine Zeile, die die meisten überrascht: Tische für offizielle Turniere müssen eine elektrische Heizung mit Thermostat haben, die vom Aufbau des Tisches bis zum Ende des Wettbewerbs eingeschaltet ist. Die Wärme treibt Feuchtigkeit aus Schiefer und Tuch, und die Regel sagt in schlichten Worten, warum: um das bestmögliche Rollen zu gewährleisten. Ein Dreibandenball legt in einem Stoß oft mehrere Meter zurück, und ein feuchtes Tuch würde davon einen spürbaren Teil wegnehmen.

Artikel 12 behandelt die Bälle. Es sind drei, sie müssen streng rund sein, zwischen 61 und 61,5 mm Durchmesser haben (der englische Text sagt „cm“, ein Tippfehler; die Regeln für Fünfkegel-Billard nennen denselben Bereich in mm) und zwischen 205 und 220 g wiegen. In einem Satz dürfen sich der schwerste und der leichteste Ball um höchstens 2 g unterscheiden. Artikel 15 verlangt überall auf dem Tuch mindestens 520 Lux, gemessen mit dem Messgerät auf dem Tuch, warnt, dass Blendung bei 5000 Lux im direkten Blickfeld beginnt, und setzt die Lichtquelle mindestens 1 m über die Spielfläche.

Der Poolbillardtisch

Die Recommended Equipment Specifications der WPA beschreiben einen 9-Fuß-Tisch mit einer Spielfläche von 100 mal 50 Zoll, 2,54 mal 1,27 m, wieder genau zwei Quadrate. Die Rahmenteile sind einschließlich der Bande 4 bis 7,5 Zoll breit. 18 Sights, die Diamanten, sitzen bündig im Bandenrahmen, 12,5 Zoll (317,5 mm) voneinander entfernt und jeweils 93,7 mm hinter der Bandennase. Die Nasenhöhe wird als Anteil des Balls angegeben: 63,5 % des Durchmessers, plus oder minus 1 %. Der Schiefer muss mindestens einen Zoll dick sein und auf 0,508 mm in der Länge und 0,254 mm in der Breite eben.

Poolbälle sind kleiner und leichter: 57,15 mm Durchmesser und 156 bis 170 g, aus gegossenem Phenolharz, ein weißer Spielball und fünfzehn nummerierte Objektbälle. Ein Karambolageball ist etwa 7 % breiter und 30 % schwerer. Die Taschen sind auf den Millimeter festgelegt: Die Öffnung der Ecktasche, zwischen den Bandennasen gemessen, wo sie in die Tasche übergehen, beträgt 4,5 bis 4,625 Zoll (114,3 bis 117,5 mm), die der Seitentasche einen halben Zoll mehr, 127 bis 130,2 mm. Die Bande an einer Ecktasche muss mit 142 Grad und an einer Seitentasche mit 104 Grad geschnitten sein.

Die WPA gibt auch einen Test dafür, wie lebendig die Banden sind. Wird der Spielball vom Kopfpunkt aus durch den Fußpunkt mit waagerechtem Queue, Mittelball und kräftigem Stoß gespielt, muss er mindestens vier bis viereinhalb Tischlängen weit laufen, ohne zu springen. Am Poolbillardtisch der Bühne braucht ein Mittelstoß etwa 6,2 m/s, um vier Längen zurückzulegen; bei 4 m/s sind es 2,9. Das ist ungefähr das, was „ein kräftiger Stoß“ in Zahlen bedeutet.

Die beiden nebeneinander

Auf der Bühne wechselt der Schalter oben den Tisch. Der Karambolagetisch hat keine Taschen, drei Bälle und eine beheizte Platte; der Poolbillardtisch hat sechs Taschen, kleinere Bälle und grünes Tuch (die WPA erlaubt Gelbgrün, Blaugrün oder Elektroblau). Die Figur neben dem Tisch ist 1,7 m groß. Geben Sie Ihre eigene Größe bei „Ich“ ein, dann ändert sie sich; das Labor sagt Ihnen auch, ob Sie die Mitte jedes Tisches ohne die Brücke erreichen könnten, mit einer Reichweite vom 0,62-Fachen Ihrer Größe über den Bandenrand hinaus. Dieses Verhältnis ist eine Schätzung, keine Messung.

Zielen mit dem Geisterball

Angenommen, Sie wollen einen Objektball zu einer Tasche schicken. Der Objektball verlässt den Kontakt entlang der Linie durch die beiden Mittelpunkte im Moment der Berührung, der Mittellinie. Bei der Berührung muss die Mitte des Spielballs also auf dieser Linie liegen, einen Balldurchmesser hinter dem Objektball. Stellen Sie sich dort einen zweiten Ball vor, der den Objektball auf der von der Tasche abgewandten Seite berührt. Dieser gedachte Ball ist der Geisterball, und Zielen heißt, die Mitte des Spielballs zur Mitte des Geisterballs zu schicken.

In Zahlen: Liegt der Objektball bei O und die Tasche bei P, so ist die Mitte G des Geisterballs

G = O − 2R (P − O) / |P − O|

wobei R der Ballradius ist. In der Geisterball-Lektion der Bühne liegt die gelbe 1 bei (0,60; 0,28) m von der Mitte des Poolbillardtischs, die Ecktasche oben rechts bei (1,27; 0,635), und R beträgt 28,6 mm. Der Geisterball ergibt sich bei (0,5495; 0,2532). Vom Spielball bei (−0,55; −0,10) aus ist das 1,155 m entfernt, in einer Richtung 17,8 Grad über der Längsachse, und der gespeicherte Stoß der Lektion verwendet genau diesen Winkel. Im Modell geht der Ball hinein.

Der Geisterball ist nicht der Punkt, an dem sich die Bälle berühren. Dieser Berührungspunkt liegt auf halbem Weg zwischen den beiden Mittelpunkten, auf der Oberfläche des Objektballs. Wer mit der Mitte des Spielballs auf den Berührungspunkt statt auf den Geisterball zielt, trifft den Ball zu dick und schneidet jeden Stoß zu wenig; der Abstand zwischen den beiden Zielpunkten ist ein ganzer Ballradius.

Dicke und Schnittwinkel

Schauen Sie entlang Ihrer Ziellinie auf den Objektball. Der Anteil, den der Spielball davon bedecken wird, heißt Dicke oder Trefferanteil f. Ein voller Treffer bedeckt alles (f = 1). Zielt die Mitte des Spielballs auf den Rand des Objektballs, wird die Hälfte bedeckt (f = 1/2). Der Winkel zwischen der Ziellinie und der Mittellinie, der Schnittwinkel φ, folgt aus der Geometrie zweier gleicher Kreise:

f = 1 − sin φ, also φ = asin(1 − f).

Ein halber Ball ist deshalb ein Schnitt von 30 Grad, ein Viertelball etwa 48,6 Grad, ein Achtel 61 Grad und ein Sechzehntel 69,6 Grad. Die Tabelle im Labor listet diese zusammen mit dem auf, was danach mit dem Spielball geschieht. Dünne Schnitte sind aus einem einfachen Grund schwer: Nahe f = 0 ändert eine kleine Veränderung des Ziels den Schnittwinkel stark. Von f = 1/2 bis f = 1/4 wächst der Schnitt um 18,6 Grad; von 1/8 bis 1/16 wächst er um 8,6 Grad, bei einer Verschiebung des Ziels von nur 3,8 mm an einem Karambolageball.

Auf der Bühne zeigt die Anzeige vor dem Stoß Schnittwinkel und Dicke für die aktuelle Ziellinie, und die Hilfslinien zeichnen drei Richtungen vom Geisterball aus: den Weg des Objektballs (rot), die Tangente im rechten Winkel dazu (blau) und die Richtung, die ein rollender Spielball nehmen würde (gelb).

Die 90-Grad-Regel

Treffen Sie einen Objektball mit einem Spielball, der im Augenblick des Kontakts keinen Drall hat, einen Stun, dann trennen sich die beiden Bälle im rechten Winkel. Der Objektball verlässt den Kontakt entlang der Mittellinie und der Spielball entlang der Tangente, im rechten Winkel dazu. Das gilt für jeden Schnittwinkel, was es zu einer der nützlichsten Tatsachen am Tisch macht: Sie sehen, wohin der Spielball läuft, bevor Sie stoßen.

Der Beweis nutzt zwei Erhaltungssätze. Nehmen Sie gleiche Massen m, eine einlaufende Geschwindigkeit v und auslaufende Geschwindigkeiten v₁ (Spielball) und v₂ (Objektball). Impuls: m v = m v₁ + m v₂, also v = v₁ + v₂. Energie, für einen vollkommen elastischen Kontakt ohne Reibung: ½ m v² = ½ m v₁² + ½ m v₂², also v² = v₁² + v₂². Quadrieren Sie die erste Gleichung: v² = v₁² + v₂² + 2 v₁·v₂. Beide zusammen lassen v₁·v₂ = 0 übrig: Entweder ruht ein Ball, oder die beiden Geschwindigkeiten stehen senkrecht aufeinander. Die drei Vektoren bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit v als Hypotenuse, weshalb die Geschwindigkeit des Objektballs v cos φ und die des Spielballs v sin φ beträgt.

Echte Bälle sind nicht vollkommen elastisch. David Alciatore von der Colorado State University nennt für Poolbälle eine typische Rückprallzahl von etwa 0,93 und schließt, dass die 90-Grad-Regel eher eine 85-Grad-Regel ist. Die Bälle reiben auch in dem Augenblick aneinander, in dem sie sich berühren, und diese Reibung verändert den Winkel noch ein wenig. Das Modell auf dieser Seite verwendet eine Rückprallzahl von 0,95 und eine Reibung zwischen den Bällen von 0,06, beide innerhalb der Bereiche, die Alciatore angibt (0,92 bis 0,98 und 0,03 bis 0,08). Mit diesen Werten trennt sich ein Stun-Schnitt bei 81,6 Grad für einen Schnitt von 15 Grad, bei 83,9 für 30, bei 85,0 für 45, bei 85,7 für 60 und bei 86,2 für 75. Die Prüfung, die mit dieser Seite läuft, bestätigt, dass der Winkel bei Rückprallzahl 1 und ohne Reibung für jeden Schnitt auf 0,05 genau 90 Grad beträgt und dass der Impuls in beiden Fällen exakt erhalten bleibt, die Energie aber nur im idealen.

Die Regel hat eine Ausnahme: einen genau geraden Stun-Treffer, ohne Schnitt. Dann bleibt der Spielball auf der Stelle stehen und der Objektball übernimmt seine Geschwindigkeit, der Stoppball. Mit der Rückprallzahl e behält der Spielball (1 − e)/2 seiner Geschwindigkeit, in diesem Modell 2,5 %, weshalb ein echter Stoppball immer noch ein oder zwei Zentimeter vorwärts kriecht.

Erst gleiten, später rollen: die 12/49-Regel

Treffen Sie einen Ball genau in der Mitte, rollt er zunächst nicht. Er verlässt das Queue gleitend, ohne Drall, und das Tuch schleift an der Unterseite des Balls. Diese Reibung bremst den Ball und versetzt ihn im selben Moment in Drehung in Rollrichtung. Hat der Drall die Geschwindigkeit eingeholt, rutscht die Unterseite des Balls nicht mehr auf dem Tuch, und der Ball rollt.

Die Rechnung ist kurz. Die Reibungskraft beträgt μ m g, wobei μ die Gleitreibung zwischen Ball und Tuch ist, etwa 0,2 (Alciatore nennt 0,15 bis 0,4; Mathavan, Jackson und Parkin maßen mit einer Hochgeschwindigkeitskamera auf einem Snookertisch 0,178 bis 0,245). Der Ball wird mit μ g gebremst. Dieselbe Kraft wirkt mit dem Hebelarm R um die Mitte, und das Trägheitsmoment des Balls beträgt (2/5) m R², sodass sein Drall mit (5/2) μ g / R wächst. Der Schlupf an der Unterseite des Balls, v − R ω, schrumpft deshalb mit μ g + (5/2) μ g = (7/2) μ g. Ausgehend von v₀ ohne Drall erreicht er null nach

t = 2 v₀ / (7 μ g).

In dieser Zeit legt der Ball v₀ t − ½ μ g t² zurück, was sich zu

d = 12 v₀² / (49 μ g),

ausrechnet, und er rollt dann mit 5/7 seiner Anfangsgeschwindigkeit. Bei 2 m/s und μ = 0,2 sind das 0,29 s und 0,50 m, und der Ball rollt mit 1,43 m/s weiter. Bei 1 m/s sind es 0,125 m; bei 4 m/s 2,0 m. Auf einem langsameren, neueren Tuch mit μ = 0,3 sinkt die Strecke bei 2 m/s auf 0,33 m; auf einem abgenutzten Tuch mit μ = 0,15 steigt sie auf 0,67 m. Zwei Siebtel der Bewegungsenergie des Balls gehen beim Gleiten ins Tuch, unabhängig vom Tempo.

Auf der Bühne schießt die Roll-Lektion einen Mittelstoß mit 2 m/s und setzt einen Ring dorthin, wo das Modell den Ball zu rollen beginnen lässt. Die Anzeige zeigt 0,50 m gegenüber 0,50 m der Formel. Die Prüfung wiederholt das bei 1, 2 und 4 m/s und vergleicht Strecke, Zeit und Geschwindigkeit mit den Formeln auf 2 mm und 2 ms genau. Rod Cross von der University of Sydney hat gemessen, wie dieser Übergang vom Gleiten zum Rollen auf einer filzbezogenen Oberfläche aussieht, und dasselbe einfache Modell einer konstanten Gleitreibung, gefolgt von einer viel kleineren Rollreibung, ist der übliche Ausgangspunkt.

Dieselbe Rechnung sagt, wo man treffen muss, damit ein Ball sofort rollt. Der Drall, den ein Queue gibt, ist ω = 5 v b / (2 R²), wobei b die Höhe der Spitze über der Mitte ist (Alciatores TP A.12). Rollen verlangt ω = v / R, also b = 0,4 R. Dieser Punkt, 70 % der Ballhöhe, ist der Stoßmittelpunkt. Wer dort trifft, bei dem gleitet nichts.

Nachläufer und Rückläufer

Drall von der Spitze

Verschieben Sie die Spitze über die Mitte, und der Ball verlässt das Queue mit Vorwärtsdrall, mehr als zum Rollen nötig ist, wenn die Spitze höher als 0,4 R liegt. Verschieben Sie sie unter die Mitte, und der Ball verlässt es mit Rückwärtsdrall. Wie weit neben der Mitte kann man gehen? Alciatores Analyse setzt die brauchbare Grenze bei etwa dem halben Radius. Jenseits von 0,5 R rutscht die Spitze in der tausendstel Sekunde der Berührung wahrscheinlich vom Ball ab, ein Kicks, auch mit Kreide. Das Ballfeld auf der Bühne zeichnet diese Grenze als gestrichelten Ring und lässt Sie nicht darüber hinausgehen.

Was am Objektball geschieht

Beim Kontakt berühren sich die Bälle weit weniger als eine Millisekunde lang, und ihre Oberflächen sind glatt, sodass fast nichts vom Drall des Spielballs weitergegeben wird. Der Spielball verliert den größten Teil seiner Geschwindigkeit entlang der Mittellinie, behält aber fast seinen ganzen Drall. Bei einem vollen Treffer bleibt so ein Spielball fast in Ruhe zurück, sich drehend. Vorwärtsdrall treibt ihn dann hinter dem Objektball her, ein Nachläufer; Rückwärtsdrall zieht ihn zum Spieler zurück, ein Rückläufer.

In der Nachläufer-Lektion der Bühne wird der Spielball mit 1,5 m/s gestoßen, die Spitze 0,3 R über der Mitte, trifft den roten Ball voll und läuft 0,57 m über den Berührungspunkt hinaus. In der Rückläufer-Lektion wird er mit 3 m/s gestoßen, die Spitze 0,3 R unter der Mitte, und nach dem vollen Treffer kommt er 1,30 m zurück. Rückwärtsdrall nimmt auf dem Weg zum Objektball ab, weshalb ein Rückläufer mehr Tempo braucht, als man erwarten würde: Der Drall muss die Strecke überleben.

Die 30-Grad-Regel und die Parabel von Coriolis

Kommt der Spielball rollend an und trifft den Objektball unter einem Winkel, verlässt er den Kontakt entlang der Tangente, hat aber noch seinen Vorwärtsdrall. Das Tuch zieht ihn dann herum, und er läuft schließlich in eine Richtung zwischen der Tangente und dem ursprünglichen Ziel. Für einen halben Ball nennt Alciatore das Ergebnis die 30-Grad-Regel: Der Weg des Spielballs weicht um etwa 30 Grad von der Ziellinie ab und bleibt für jeden Treffer von einem Viertel bis zu drei Vierteln des Balls nahe an 30. Er nennt eine Möglichkeit, es mit der Hand zu sehen: Spreizen Sie Zeige- und Mittelfinger zu einem entspannten V, zeigen Sie mit einem entlang des Ziels, und der andere zeigt, wohin der Spielball läuft.

Gaspard-Gustave Coriolis hat das 1835 ausgearbeitet. Für ideale Bälle ist die Endgeschwindigkeit des Spielballs, nachdem die Kurve ausgelaufen ist, 5/7 seiner Geschwindigkeit unmittelbar nach dem Aufprall plus 2/7 der Geschwindigkeit, die sein Drall ihm beim Rollen geben würde. Daraus ergibt sich die größte Abweichung von der Ziellinie, 33,7 Grad, bei einem Schnitt von 28,1 Grad. Die Prüfung, die mit dieser Seite läuft, findet das Maximum der Formel bei 33,75 Grad und 28,1 Grad. Für die Dicken 3/4, 1/2 und 1/4 liefert die Formel 27,6, 33,7 und 27,3 Grad; echte Bälle, leicht unelastisch, liegen etwas darunter, woher die runde Zahl 30 kommt.

Coriolis zeigte auch, dass die Kurve zwischen der Tangente und der Endrichtung eine Parabel ist. Die Reibungskraft eines gleitenden Balls ist in der Größe konstant und in der Richtung fast konstant, solange die Kurve dauert, sodass sich der Ball bewegt wie ein geworfener Stein unter einem konstanten Zug. Die Prüfung legt eine Parabel an den gekrümmten Weg des Modells nach einem Treffer mit halbem Ball und findet eine Anpassung mit R² über 0,999.

Seiteneffet, Squirt, Swerve und Throw

Seiteneffet allein krümmt den Weg nicht

Treffen Sie den Spielball mit waagerechtem Queue links oder rechts der Mitte, dreht er sich um die senkrechte Achse. Dieser Drall tut dem Weg des Balls über das Tuch nichts. Die Unterseite des Balls rutscht nicht seitlich, und ein Drall um die senkrechte Achse kann ihn nicht zur Seite drücken. Er zeigt sich erst, wenn der Ball etwas berührt: eine Bande oder einen anderen Ball. Stellen Sie auf der Bühne das Ballfeld auf ganz rechts, lassen Sie das Queue waagerecht, zielen Sie auf eine lange Bande und sehen Sie zu: Der Weg zur Bande ist gerade.

Squirt

Seiteneffet verändert dennoch den Anfang des Weges, aus einem anderen Grund. Trifft die Spitze neben der Mitte, schiebt der Ball das Queue-Ende zur Seite, und nach dem dritten Newtonschen Gesetz schiebt das Queue den Ball in die andere Richtung. Der Ball verlässt die Ziellinie ein wenig, weg von der Seite, auf der Sie getroffen haben. Alciatores TP A.31 gibt den Winkel aus dem Spitzenversatz b/R und dem Verhältnis der Ballmasse zur wirksamen Masse der letzten Zentimeter des Schafts:

tan(Squirt) = (5/2)(b/R)√(1 − (b/R)²) / (1 + m_Ball/m_Ende + (5/2)(1 − (b/R)²)).

Bei einem Massenverhältnis von 25, einem typischen Spielqueue in diesem Modell, ergibt ein halber Radius Seiteneffet 2,22 Grad, das sind 78 mm neben der Linie nach 2 m. Ein Schaft mit wenig Squirt und einem Verhältnis von 40 ergibt 1,45 Grad; ein schweres Break-Queue mit einem Verhältnis von 15 ergibt 3,47 Grad. Der Rechner im Labor rechnet das aus, und der Schalter „Squirt“ schaltet den Effekt auf der Bühne ein und aus.

Swerve

Ein echtes Queue ist nie ganz waagerecht: Es muss über den Bandenrand kommen. Mit der Spitze neben der Mitte und dem nach unten geneigten Queue drückt ein Teil des Stoßes den Ball ins Tuch, und die Drallachse kippt. Eine gekippte Drallachse bedeutet, dass die Unterseite des Balls seitlich rutscht, und das Tuch biegt den Weg. Das ist Swerve; mit stark angehobenem Queue wird daraus ein Massé, das weiter unten behandelt wird.

Throw

Auch die Reibung zwischen den Bällen biegt den Weg des Objektballs. Bei einem Schnitt gleitet die Oberfläche des Spielballs während des Kontakts über die Oberfläche des Objektballs, und die Reibung drückt den Objektball ein wenig von der Mittellinie weg, in die Richtung, in die sich der Spielball bewegt. Alciatore nennt das kollisionsbedingten Throw und zeigt, dass er nahe einem halben Ball am größten ist und bei niedrigem Tempo größer. Seiteneffet fügt einen drallbedingten Throw hinzu, und dieselbe Reibung gibt dem Objektball ein wenig Drall weiter. Im Modell schickt ein Stun-Schnitt von 15 Grad den Objektball mit 12,3 Grad statt 15 los, ein Throw von etwa 2,7 Grad. Über einen Meter sind das 47 mm, fast eine halbe Taschenöffnung.

Banden: warum der Abprall kein Spiegel ist

Ein Lichtstrahl verlässt einen Spiegel in dem Winkel, in dem er kam. Ein Billardball tut das nicht, aus drei Gründen, und die Bühne lässt Sie jeden einzelnen sehen.

Der erste ist, dass die Bande dem Teil der Bewegung, der in sie hineingeht, Geschwindigkeit nimmt, dem Teil entlang der Bande aber nicht. Kommt die Normalgeschwindigkeit mit dem e-Fachen ihres Wertes zurück und bleibt die Geschwindigkeit entlang der Bande unverändert, verlässt der Ball die Bande flacher, als er kam: tan(aus) = e tan(ein), mit den Winkeln von der Bandenlinie aus gemessen. H. Résal stellte 1883 anhand von Versuchen fest, dass dieses Verhältnis der Normalgeschwindigkeiten fast unabhängig vom Einfallswinkel ist, was eine einzige Zahl überhaupt erst nützlich macht. Alciatore nennt 0,6 bis 0,9 für Poolbanden. Mathavan und Kollegen, die einen rollenden Snookerball filmten, der gerade in die Bande getrieben wurde, fanden, dass er im Mittel mit 0,818 seiner Geschwindigkeit zurückkam.

Der zweite ist die Höhe der Nase. An einem Karambolagetisch liegt die Nase 37 mm über dem Tuch und die Ballmitte 30,75 mm darüber, sodass die Bande den Ball oberhalb seiner Mitte berührt. Die Kontaktkraft zeigt dann leicht nach unten und nach hinten, drückt den Ball ins Tuch, und die Reibung an der Nase greift an einem Punkt an, der nicht auf der Höhe der Mitte liegt. Mathavans Analyse legt den Kontakt für Snooker und Pool auf das 7/5-Fache des Radius über dem Tisch. Die Nasenhöhe der WPA von 63,5 % liegt etwas tiefer, bei 1,27 R. Ihr numerisches Modell, an Versuche angepasst, liefert eine Bandenrückprallzahl von 0,98 und eine Reibung zwischen Ball und Bande von 0,14 und gilt bis etwa 2,5 m/s, darüber wird die Bande für ein starres Modell zu stark gestaucht.

Der dritte ist der Drall. Ein Ball, der sich um die senkrechte Achse dreht, reibt beim Kontakt an der Bande entlang. Zeigt das Reiben relativ zur Bewegung des Balls entlang der Bande nach hinten (mitlaufender Effet), schiebt die Reibung den Ball an der Bande entlang nach vorn, und der Abprall wird weiter. Zeigt es nach vorn (gegenlaufender Effet), wird der Abprall kürzer. Auch der Vorwärtsdrall eines rollenden Balls reibt an der Nase, die über seiner Mitte liegt, und deshalb verlässt ein rollender Ball die Bande und krümmt sich dann: Für einen Augenblick nach dem Abprall passt sein Drall nicht mehr zu seiner neuen Richtung.

Im Modell verlässt ein rollender Ball, der unter 45 Grad in eine lange Bande geschickt wird, sie mit 38,9 Grad von der Bandenlinie ohne Seiteneffet, mit 30,0 Grad bei mitlaufendem Effet und mit 39,3 bei gegenlaufendem. Bei 30 Grad Einfall sind es 27,4, 23,4 und 35,4. Gerade mit 1,2 m/s hineingeschickt, kommt ein rollender Ball unmittelbar nach dem Abprall mit dem 0,87-Fachen seiner Geschwindigkeit zurück und mit dem 0,49-Fachen, sobald sein Vorwärtsdrall am Tuch abgeklungen ist: Der Vorwärtsdrall treibt ihn für einen Moment weiter zur Bande.

Die Bande des Modells ist einfacher als die von Mathavan. Sie behandelt den Abprall als einen einzigen Impuls in Nasenhöhe, mit einer Rückprallzahl von 0,9 für die Normalgeschwindigkeit und einer Reibung von 0,2 gegen den Schlupf an der Nase, dazu die Reibung des Tuchs unter dem Ball für den zusätzlichen Druck ins Tuch. Der Reibungswert liegt absichtlich höher als Mathavans 0,14: Mit ihm folgt diese vereinfachte Bande den Referenzspuren des unten beschriebenen Diamantensystems auf einen halben Diamanten genau. Beide Werte sind im Labor als Modellwerte gekennzeichnet.

Das Diamantensystem

Zahlen auf den Banden

Dreibandenspieler planen Stöße über drei oder mehr Banden mit Diamantensystemen: die Diamanten nummerieren, eine Subtraktion ausführen, zielen. Das bekannteste ist das Corner-5-System, das Alciatores Blatt an einem Poolbillardtisch zeigt und das Karambolagespieler mit zehnfachen Zahlen benutzen. Es ist eine Faustregel, eine empirische Formel, die durch Spielen gefunden wurde, kein physikalisches Gesetz.

Drücken Sie auf der Bühne „Diamanten“ oder schalten Sie „Diamantenzahlen“ ein. Auf den Bandenrahmen erscheinen drei Zahlenreihen.

• Die Spielballzahlen (blau) beginnen mit 50 an der fernen linken Ecke und gehen 45, 40, 35, 30 an der fernen langen Bande entlang und 60, 70, 80 an der linken kurzen Bande hinunter.
• Die Zahlen der ersten Bande (orange) laufen an der nahen langen Bande von 80 an der linken Ecke bis 0 an der rechten, zehn pro Diamant.
• Die Zahlen der dritten Bande (weiß) laufen in derselben Richtung an der fernen langen Bande entlang.

Ziehen Sie eine Linie von dem Punkt der ersten Bande, auf den Sie zielen, durch den Spielball zurück und lesen Sie die Spielballzahl dort ab, wo diese Linie die ferne lange Bande oder die linke kurze Bande trifft. Die Formel lautet dann

Ankunft an der dritten Bande = Spielballzahl − Zahl der ersten Bande.

Von der Ecke (50) aus schickt das Zielen auf 30 den Ball zur 20 an der dritten Bande; das Zielen auf 20 schickt ihn zur 30. Um aus der Spielballzahl C eine bestimmte Ankunft A zu erreichen, zielen Sie auf C − A.

Wann es funktioniert und wann nicht

Das System setzt eine bestimmte Art voraus, den Ball zu treffen: mittleres Tempo und mitlaufenden Seiteneffet, sodass jeder Abprall ein wenig weiter ausfällt, als der Einfall war. Burkard Polster und Marty Ross sagen es in ihren Notizen zum Diamantensystem klar: Die Regel A − B = C gilt nur näherungsweise, und ihre Genauigkeit hängt auf komplizierte Weise davon ab, wo die Bälle liegen und wie der Spielball getroffen wird. Alciatores Blatt kommt mit Korrekturen: tiefer zielen für niedrige Ankunftszahlen, höher für hohe. Spieler lernen ihre eigenen Korrekturen für jeden Tisch, jedes Tuch und jedes Tempo, was ein Grund dafür ist, dass der beheizte, genormte Tisch wichtig ist.

Die Bühne lässt Sie die Formel gegen das Modell prüfen. Beginnt man an der Eckenspur mit einem Spielball 30 cm von der Ecke entfernt, mit 2,5 m/s gestoßen, die Spitze 0,2 R über der Mitte und 0,2 R zur mitlaufenden Seite, sind die Ankünfte des Modells 33,1 für vorhergesagte 35, 29,0 für 30, 25,0 für 25, 20,7 für 20 und 16,0 für 15. Jede liegt innerhalb eines halben Diamanten von der Formel, und die Prüfung, die mit dieser Seite läuft, schlägt fehl, wenn eine es nicht tut. Ändern Sie Tempo oder Drall, und die Ankünfte driften, was die Grenze des Systems sichtbar macht.

Inhwan Han analysierte 2005 die Dynamik von Karambolage und Dreiband mit der Mechanik starrer Körper und teilte die Bewegung in drei Teile: den Ball auf der Platte, Stöße zwischen Bällen und den Ball gegen die Bande, jeweils mit Reibung. Ein solches Modell macht es möglich, eine Simulation wie diese mit den Systemen zu vergleichen, die Spieler benutzen.

Den Ball krümmen: Massé

Heben Sie das Queue steil an und treffen Sie den Ball neben der Mitte, dann hat der Stoß einen großen Abwärtsanteil. Der Ball wird ins Tuch gedrückt und erhält einen Drall um eine Achse, die weit aus der Senkrechten gekippt ist. Alciatore vergleicht diesen Massé-Drall mit dem Rollen eines Flugzeugs um seine eigene Längsachse. Die Unterseite des Balls rutscht nun seitlich auf dem Tuch, und die Reibung schiebt den Ball so lange zur Seite, wie der Schlupf andauert. Der Weg krümmt sich.

Coriolis fand einen Weg, ihn anzuvisieren, den Alciatore die BAR-Methode nennt: Die Endrichtung des Balls, sobald sich die Kurve beruhigt hat, ist parallel zur Linie vom Ruhepunkt des Spielballs zu dem Punkt auf dem Tuch, auf den das Queue gerichtet ist. In der Massé-Lektion der Bühne wird das Queue um 45 Grad angehoben, die Spitze 0,45 R links und 0,3 R oben, und der mit 1,6 m/s gestoßene Ball weicht mehr als 5 cm von einer geraden Linie ab, um den gelben Ball zu umgehen und den roten zu treffen, ohne eine Bande zu berühren. Sehen Sie es sich mit einem Viertel der echten Geschwindigkeit an, dann lässt sich der Drall an den roten Punkten des Spielballs leicht verfolgen.

Karambolage und Pool nebeneinander

Im Dreiband, definiert durch UMB-Artikel 83, muss der Spielball mindestens dreimal Banden berühren, bevor er den zweiten Objektball berührt. Er darf die Banden vor dem ersten Ball, zwischen den beiden oder bei beiden berühren, und dieselbe Bande kann mehr als einmal zählen. Im Einband (Artikel 82) genügt eine einzige Bande. Ein verfehlter Punkt gibt den Tisch an den Gegner. Bei UMB-Weltcups gilt für jeden Stoß eine Grenze von 40 Sekunden mit einer Warnung bei 30, und jeder Spieler darf pro Match zwei Auszeiten nehmen, die weitere 40 Sekunden bringen.

Pool dreht das Problem um. Statt mit einem Ball zwei zu erreichen, schicken Sie einen Ball in eine Tasche und halten den Spielball heraus. Die Physik ist dieselbe, aber die Ziele sind andere. In der Karambolage kommt es vor allem darauf an, wohin der Spielball nach dem ersten Kontakt läuft; beim Pool kommt es vor allem darauf an, wohin der Objektball läuft, mit dem Weg des Spielballs als zweiter Frage. Deshalb beherrschen der Geisterball und der Throw das Poolbillard-Training, während die 90- und die 30-Grad-Regel und die Diamantensysteme die Karambolage beherrschen.

Auch die Bälle sind verschieden. Der schwerere Karambolageball trägt bei gleichem Tempo mehr Energie und läuft auf einem beheizten Tuch weiter. Beim ersten Stoß der Bühne legt der Spielball 4,8 m in 7,9 Sekunden zurück, um zu punkten, und längere Dreibandenstöße decken das Doppelte ab. Die Taschen des Poolbillardtischs fügen ein eigenes geometrisches Problem hinzu: Ein Ball, der an einer Bande entlang in eine Ecktasche rollt, trifft die Backen der Tasche, mit 142 Grad geschnitten, und fällt entweder hinein oder springt wieder heraus.

Mathieu Bouville beschrieb das Stellungsspiel in der Karambolage als Markow-Prozess: Die Schwierigkeit eines Stoßes hängt vom vorherigen Stoß ab, denn Spieler, die leicht punkten können, hinterlassen sich auch leichte nächste Stöße. Gute Spieler denken zwei Stöße voraus. Die Bühne überlässt das Ihnen.

Eine kurze Geschichte

Die Lederkappe veränderte das Spiel. Davor endeten Queues in blankem Holz und konnten den Ball nicht gut genug greifen, um ihm Drall zu geben. Die Kappe wird François Mingaud zugeschrieben, einem Franzosen, der in der Fassung, die Alciatore nacherzählt, Anfang der 1800er Jahre im Gefängnis saß und ein Stück Leder an sein gesprungenes Queue befestigte. Mit einer Kappe, die greift, konnte ein Spieler neben der Mitte treffen, ohne dass das Queue abrutschte, und Seiteneffet wurde Teil des Spiels. Alciatore weist auf den Witz im Namen hin: „English“, das amerikanische Wort für Seiteneffet, wurde von einem Franzosen möglich gemacht.

Coriolis sah Mingaud beim Spielen zu. Im Vorwort seiner Théorie mathématique des effets du jeu de billard von 1835 sagt er, er habe sich mit dem Thema zu beschäftigen begonnen, nachdem er die Effekte gesehen hatte, die Mingaud hervorbringen konnte, und dass ihm das Zusehen bei Mingauds Spiel erlaubt habe zu prüfen, ob seine Formeln mit der Erfahrung übereinstimmen. Das Buch behandelt Rollen und Gleiten auf dem Tuch, den Stoß des Queues, den Zusammenstoß zweier Bälle mit und ohne Reibung und die gekrümmten Wege. Coriolis maß die Reibung zwischen zwei Bällen mit etwa 0,028 und beschloss, sie zunächst wegen ihrer Kleinheit wegzulassen. Er ist derselbe Coriolis, dessen Name an der Kraft in rotierenden Bezugssystemen hängt. Die MacTutor-Geschichte der University of St Andrews nennt seine Lebensdaten mit 1792 bis 1843.

H. Résal veröffentlichte 1883 einen Kommentar zu Coriolis' Theorie. Seitdem haben sich Ingenieure und Physiker mit Hochgeschwindigkeitskameras des Themas angenommen: Alciatores technische Beweise, Mathavans, Jacksons und Parkins Messungen der Tuch- und Bandenreibung für Snooker spielende Roboter, Hans Dreibandendynamik, Charles Peskins Analyse dreidimensionaler Stöße mit Drall und Reibung und eine Studie von 2024 darüber, wie der Halt des Tisches am Objektball den Ausgang eines Zusammenstoßes zweier rotierender Bälle verändert. Mit 3000 Bildern pro Sekunde gefilmt, berührt die Spitze den Ball, wie sich zeigt, etwa eine tausendstel Sekunde lang.

Wie das Modell auf dieser Seite arbeitet

Die Bühne hält für jeden Ball eine Position, eine Geschwindigkeit und einen Drallvektor mit drei Komponenten fest. Jede halbe Millisekunde macht sie Folgendes.

1. Tuch. Rutscht die Unterseite des Balls auf dem Tuch, wirkt eine Reibung von 0,2 × m g gegen den Schlupf und verändert Geschwindigkeit und Drall. Erreicht der Schlupf innerhalb des Schritts null, geht der Ball ins Rollen über. Ein rollender Ball wird mit 0,01 × g gebremst. Der Drall um die senkrechte Achse klingt mit 10 rad/s² ab.
2. Bälle. Überlappen sich zwei Bälle, wird der Schritt auf den Moment der Berührung zurückgespult. Ein Normalimpuls mit Rückprallzahl 0,95 wird entlang der Mittellinie aufgebracht, und ein Reibungsimpuls von höchstens dem 0,06-Fachen davon wirkt gegen den Schlupf zwischen den beiden Oberflächen, einschließlich des Schlupfes durch Drall oben, unten und seitlich. Der Reibungsimpuls verändert die Drehungen ebenso wie die Geschwindigkeiten.
3. Banden. Erreicht ein Ball eine Bande, wird der Schritt auf die Berührung zurückgespult. Der Kontakt liegt in Nasenhöhe über dem Tuch (37 mm am Karambolagetisch, 63,5 % des Balldurchmessers am Poolbillardtisch). Die Normalgeschwindigkeit kommt mit dem 0,9-Fachen ihres Wertes zurück, eine Reibung von höchstens dem 0,2-Fachen des Normalimpulses wirkt gegen den Schlupf an der Nase, und die Reibung des Tuchs wirkt auf den zusätzlichen Druck ins Tuch.
4. Taschen. Am Poolbillardtisch fällt ein Ball, der eine Bandenlinie innerhalb einer Taschenöffnung erreicht.
5. Der Stoß. Der Impuls des Queues wird an dem Punkt des Balls aufgebracht, den das Ballfeld zeigt, in Richtung des Queues. Das legt Tempo, alle drei Drallkomponenten (TP A.12) und, wenn Squirt eingeschaltet ist, den kleinen Abgangswinkel von der Ziellinie fest (TP A.31). Ein angehobenes Queue kippt die Drallachse.

Die Zahlentabelle im Labor listet jeden Wert mit seinem veröffentlichten Bereich und seiner Quelle auf. Die verwendeten Werte liegen innerhalb dieser Bereiche, außer der Bandenreibung, die wie oben erklärt angepasst ist.

Einiges ist vereinfacht. Kontakte sind punktförmig und augenblicklich. Das Tuch hat keinen Strich und der Tisch ist vollkommen waagerecht. Bälle heben nicht vom Tuch ab, es gibt also keine Sprungstöße, und das Eindrücken eines Massé-Balls ins Tuch wird als Teil des Stoßes behandelt. Die Taschen sind als Lücken in den Banden gezeichnet statt als modellierte Backen. Die Diamantenzahlen werden auf der Linie der Bandennase abgelesen, nicht an den Diamanten im Rahmen; Spieler, die über die Diamanten anvisieren, würden etwas andere Zahlen erhalten.

Das Modell wurde in mehr als 850 Fällen getestet: die 90-Grad-Regel mit idealen Bällen, Impuls und Energie, die 12/49-Strecke, Coriolis' 33,7 Grad, die Parabel, das Verhalten der Banden, Squirt, die Massé-Kurve, fünf Diamantenspuren und ein gespeicherter Stoß für jede Aufgabe, den das Modell lösen muss.

Zum Ausprobieren

1. Drücken Sie in der 90-Grad-Lektion auf „Ansehen“, ändern Sie dann im Feld den Effet oben oder unten und spielen Sie denselben Schnitt. Mit Vorwärtsdrall folgt der Spielball der 30-Grad-Richtung statt der Tangente.
2. Finden Sie den Stoppball: Verringern Sie in der Aufstellung der Rückläufer-Lektion das Tempo, bis der Rückwärtsdrall am roten Ball gerade abgeklungen ist. Der Spielball sollte sofort stehen bleiben.
3. Ändern Sie in der Roll-Lektion das Tempo. Der Ring bewegt sich mit dem Quadrat des Tempos: Verdoppeln Sie das Tempo, und der Ring rückt viermal so weit.
4. Zielen Sie bei „Diamanten“ auf 25 und stoßen Sie ohne Seiteneffet. Stellen Sie dann den mitlaufenden Effet wieder ein. Vergleichen Sie die beiden Ankünfte mit dem blauen Ring.
5. Schalten Sie den Poolbillardtisch ein und versuchen Sie, die 1 in der Ecke mit Rückläufer zu versenken, sodass der Spielball aus der Tasche bleibt.
6. Schalten Sie „Squirt“ bei vollem Seiteneffet aus und wieder ein und sehen Sie, wie sich die Abgangsrichtung verschiebt.
7. Stellen Sie „Zeit“ auf 1/16 und beobachten Sie die roten Punkte auf dem Spielball bei einem Rückläufer: vorwärts auf dem Hinweg, rückwärts beim Kontakt, dann kehrt der Ball zurück.