台球角度：瞄准、旋转与钻石系统分步体验

球为什么没有朝瞄准的方向走

看一位优秀的三库选手打上几分钟，你会发现一件事。母球几乎从不从球杆出发，沿直线到达最后的位置。它擦过一个球，沿库边前进，以看似不对的角度反弹，在台呢上稍稍拐弯，最后像被人操纵一样到达另一个球。其实没有什么在操纵它。路径上的每次转向都来自三个因素：两球相碰的角度、球杆赋予球的旋转，以及球、台呢和库边之间的摩擦。

这个页面让你分别考察这三个因素。演示中的球台按照两个世界性组织的规则尺寸建造：开伦台球采用 Union Mondiale de Billard（UMB）的规则，普尔台球采用 World Pool-Billiard Association（WPA）的规则。物理模型每秒两千次追踪每个球的位置、运动速度，以及绕三个轴的旋转。击球后，你看到的是模型算出的这一杆，而不是录像。

最初几秒会自动演示一次三库得分：母球薄碰黄球，经过三次碰库后到达红球，每个球都会在台呢上留下轨迹。随后，导览逐一介绍完成这一杆所需的概念，每项都有演示，也有供你尝试的一杆。先是用假想球瞄准，再是厚度、切球角和 90 度法则。接着，你会看到中心击球为什么先滑动再滚动，以及到底滑多远。后续内容包括跟进杆和拉杆、碰库时的侧旋、三库选手规划三次碰库路线所用的钻石系统、抬高球杆使球走弧线，以及在普尔球台上打球入袋。

控制面板下有星级任务、你打过的杆法收藏、模型参数表和几个计算器。球台周围有十三样物件可供寻找。下文使用演示中的数值解释物理原理，方便你核对。

规则中的两种球台

开伦球台

UMB 的 World Rules of Carom Billiard 第 11 条规定了球台尺寸。库边内侧的比赛台面长 2.84 m、宽 1.42 m，两方向的容差均为 5 mm。这恰好是两个并排的正方形，因此开伦球台的钻石点把两种库边都分成等距小段：长边八段，短边四段，每段相隔 355 mm。台呢下的石板至少厚 45 mm。台框顶面离地 75 至 80 cm。库边由橡胶制成，其前缘即库鼻高 37 mm，容差为 1 mm。

同一条规则中还有一项多数人意想不到的规定：正式比赛的球台必须配备带恒温器的电加热器，从球台安装完毕起一直开启到比赛结束。热量排走石板和台呢中的湿气，规则直白地说明了原因：确保球尽可能顺畅地滚动。三库的一杆中，球往往要走几米，潮湿的台呢会明显缩短这段距离。

第 12 条规定了球。共用三个球，必须严格为圆球，直径在 61 至 61.5 mm 之间（英文文本写成「cm」，这是笔误；五柱台球规则以 mm 给出了同一范围），质量在 205 至 220 g 之间。一套球中最重与最轻的质量差不能超过 2 g。第 15 条要求台呢各处的照度至少为 520 lux，测量时仪表放在台呢上；它还指出直视时照度达到 5,000 lux 就会产生眩光，并规定光源至少高出台面 1 m。

普尔球台

WPA 的 Recommended Equipment Specifications 规定，9 英尺球台的比赛台面为 100 × 50 英寸，即 2.54 × 1.27 m，同样恰好是两个正方形。包括库边在内的台框宽 4 至 7.5 英寸。18 个瞄准标记，也就是钻石点，与台框顶面齐平，间隔 12.5 英寸（317.5 mm），各自距库鼻后方 93.7 mm。库鼻高度按球直径的比例给出：63.5 %，上下容差为 1 %。石板至少厚一英寸，沿长边方向的平整度误差不超过 0.508 mm，横向不超过 0.254 mm。

普尔球更小、更轻：直径 57.15 mm，质量 156 至 170 g，由浇铸酚醛树脂制成，包括一个白色母球和十五个带号码的目标球。开伦球的直径约大 7 %，质量约大 30 %。袋口也精确规定到毫米：角袋口的宽度在库鼻转入袋口的位置之间测量，为 4.5 至 4.625 英寸（114.3 至 117.5 mm）；中袋口再宽半英寸，为 127 至 130.2 mm。角袋处的库边切角必须为 142 度，中袋处为 104 度。

WPA 还给出了库边弹性的测试方法。母球放在头点，用水平球杆击打中心，以有力的一杆使它穿过脚点，球必须在不跳起的情况下行进至少四至四个半台长。在演示的普尔球台上，中心击球约需 6.2 m/s 才能走四个台长；速度为 4 m/s 时走 2.9 个台长。这大致就是「有力的一杆」对应的数值。

并排比较

演示顶部的开关用于切换球台。开伦球台没有袋口，有三个球和加热台床；普尔球台有六个袋口，球较小，台呢为绿色（WPA 允许黄绿色、蓝绿色或电光蓝色）。台边的人物身高为 1.7 m。在「我的身高」中输入你的身高，人物就会改变；实验面板还会告诉你，不用架杆能否够到各球台的中央，计算时把越过台框边缘的伸达距离取为身高的 0.62 倍。这个比例是估计值，不是测量值。

用假想球瞄准

假设你要把目标球打向袋口。接触瞬间，目标球会沿通过两球球心的直线，也就是连心线离开。因此，接触时母球的球心必须位于这条线上，在目标球后方一个球直径处。想象在目标球背离袋口的一侧，有另一个与它相切的球。这个想象中的球就是假想球；瞄准，就是把母球球心送到假想球的球心。

用数式表示：若目标球位于 O，袋口位于 P，则假想球的球心 G 为

G = O − 2R (P − O) / |P − O|

其中 R 为球半径。在假想球课程中，黄色 1 号球相对普尔球台中心位于 (0.60, 0.28) m，右上角袋位于 (1.27, 0.635)，R 为 28.6 mm。算出的假想球位置为 (0.5495, 0.2532)。从位于 (−0.55, −0.10) 的母球出发，它的距离为 1.155 m，方向与长轴成向上 17.8 度，演示中保存的课程击球正是使用这个角度。在模型里，这一球会入袋。

假想球并不是两球接触的那个点。接触点在两球球心的中间，位于目标球表面。若瞄准时把母球球心对准接触点，而不是假想球球心，就会打得过厚，每次切球角都偏小；这两个瞄准点之间相差整整一个球半径。

厚度与切球角

沿瞄准线看向目标球，母球会遮住目标球的比例，称为厚度，也称击球重叠比例 f。正碰会完全遮住目标球（f = 1）。把母球球心瞄向目标球边缘，会遮住一半（f = 1/2）。瞄准线与连心线之间的夹角就是切球角 φ，由两个等大圆的几何关系可得：

f = 1 − sin φ，因此 φ = asin(1 − f)。

因此，半球厚度对应 30 度切球，四分之一球约为 48.6 度，八分之一球为 61 度，十六分之一球为 69.6 度。实验面板的表格列出了这些数值，以及母球随后会怎样运动。薄球难打的原因很简单：接近 f = 0 时，瞄准位置的小变化会造成切球角的大变化。从 f = 1/2 到 f = 1/4，切球角增加 18.6 度；从 1/8 到 1/16，瞄准点在开伦球上仅移动 3.8 mm，角度就增加 8.6 度。

演示读数会在击球前显示当前瞄准线对应的切球角和厚度；辅助线从假想球处画出三个方向：目标球路径（红色）、与其垂直的切线（蓝色），以及滚动母球将采取的方向（黄色）。

90 度法则

用接触瞬间没有旋转的母球击打目标球，即定杆切球，两球会以直角分开。目标球沿连心线离开，母球沿与其垂直的切线离开。这对任意切球角都成立，因此是球台上很实用的规律：出杆前就能判断母球会去哪里。

证明用到两个守恒定律。设两球质量均为 m，入射速度为 v，碰后速度为 v₁（母球）和 v₂（目标球）。动量守恒：m v = m v₁ + m v₂，因此 v = v₁ + v₂。对于完全弹性、无摩擦的接触，能量守恒：½ m v² = ½ m v₁² + ½ m v₂²，因此 v² = v₁² + v₂²。将第一个等式平方：v² = v₁² + v₂² + 2 v₁·v₂。联立两式可得 v₁·v₂ = 0：要么一个球静止，要么两个速度方向垂直。三个向量构成以 v 为斜边的直角三角形，这也解释了目标球速度为何为 v cos φ，母球速度为何为 v sin φ。

真实球并非完全弹性。科罗拉多州立大学的 David Alciatore 给出，普尔球的典型恢复系数约为 0.93，并据此认为 90 度法则更接近 85 度法则。两球接触的短暂瞬间还会相互摩擦，使角度进一步略有改变。本页模型采用恢复系数 0.95、球间摩擦系数 0.06，都在 Alciatore 列出的范围内（分别为 0.92 至 0.98 和 0.03 至 0.08）。使用这些值时，定杆切球在切球角为 15 度时分离角为 81.6 度，30 度时为 83.9，45 度时为 85.0，60 度时为 85.7，75 度时为 86.2。本页配套检查确认：恢复系数为 1 且无摩擦时，所有切球角对应的分离角均在 90 度上下 0.05 度以内；两种情况下动量都严格守恒，但能量只在理想情况下守恒。

这条规律有一个例外：完全笔直、没有切角的定杆正碰。此时母球原地停住，目标球接过它的速度，这就是停球杆。恢复系数为 e 时，母球保留原速的 (1 − e)/2，在本模型中为 2.5 %，所以真实的停球杆仍会向前慢慢移动一两厘米。

先滑动再滚动：12/49 法则

准确击打球的中心时，球最初并不滚动。它离开杆头时没有旋转，先作滑动，台呢会拖拽球的底部。摩擦既使球减速，也同时让它沿滚动方向加快旋转。当旋转赶上平动速度时，球底不再相对台呢滑移，球便开始滚动。

计算并不长。摩擦力为 μ m g，其中 μ 为球与台呢之间的滑动摩擦系数，约为 0.2（Alciatore 列出 0.15 至 0.4；Mathavan、Jackson 和 Parkin 用高速摄影测得斯诺克台上的值为 0.178 至 0.245）。球的减速度为 μ g。同一个力相对球心的力臂为 R，球的转动惯量为 (2/5) m R²，因此角速度以 (5/2) μ g / R 的速率增加。球底的滑移速度 v − R ω 因而以 μ g + (5/2) μ g = (7/2) μ g 的速率减小。从无旋转、速度为 v₀ 开始，经过以下时间降到零：

t = 2 v₀ / (7 μ g)。

在此期间球走过 v₀ t − ½ μ g t²，化简为

d = 12 v₀² / (49 μ g)，

此时它以初速的 5/7 滚动。当初速为 2 m/s、μ = 0.2 时，滑动时间为 0.29 s，距离为 0.50 m，之后以 1.43 m/s 继续滚动。初速为 1 m/s 时距离为 0.125 m；4 m/s 时为 2.0 m。在较慢、较新的台呢上，μ = 0.3，2 m/s 时的距离减为 0.33 m；在磨旧的台呢上，μ = 0.15，距离增至 0.67 m。无论速度是多少，球动能的七分之二都会在滑动期间传给台呢。

演示的滚动课程以 2 m/s 作中心击球，并在模型认为开始滚动的位置放置圆环。标签显示 0.50 m，公式也是 0.50 m。检查会以 1、2 和 4 m/s 重复测试，将距离、时间和速度与公式比较，要求误差在 2 mm 和 2 ms 以内。悉尼大学的 Rod Cross 测量过球在毛毡表面上从滑动转为滚动的过程；通常的分析起点，就是先采用恒定滑动摩擦，再采用小得多的滚动摩擦这一简单模型。

同样的计算还能给出让球立即滚动的击球点。球杆赋予的角速度为 ω = 5 v b / (2 R²)，其中 b 是杆头高于球心的高度（Alciatore 的 TP A.12）。滚动要求 ω = v / R，因此 b = 0.4 R。这个点位于球高度的 70 % 处，称为打击中心。击中这里，球就不会滑动。

跟进杆与拉杆

杆头产生的旋转

把杆头移到球心上方，球离杆时就带上旋；若高于 0.4 R，旋转就超过纯滚动所需。移到球心下方，球就带下旋。能偏离球心多远？Alciatore 的分析把实用极限定在约半个半径。超过 0.5 R，即使涂了巧克，杆头也容易在约千分之一秒的接触期间滑脱，也就是滑杆。演示的旋转触点盘用虚线圆表示这个极限，不允许超出。

碰到目标球时会怎样

两球接触时间远少于一毫秒，而且表面光滑，因此母球的旋转几乎不会传给目标球。母球失去沿连心线方向的大部分速度，却保留几乎全部旋转。正碰后，母球几乎原地不动但仍在旋转。上旋随后驱使它跟着目标球向前走，成为跟进杆；下旋则把它拉回球员方向，成为拉杆。

跟进杆课程中，母球以 1.5 m/s 出发，杆头高于球心 0.3 R，正碰红球后继续越过接触位置 0.57 m。拉杆课程中，出杆速度为 3 m/s，杆头低于球心 0.3 R，正碰后返回 1.30 m。下旋在到达目标球的途中会消耗，因此拉杆所需的速度可能比你预想的大：旋转必须撑过这段路。

30 度法则与科里奥利抛物线

母球滚动着到达目标球，并以一定角度相碰后，先沿切线离开，却仍保留向前的旋转。台呢随后将它拉转，最终运动方向位于切线与原瞄准方向之间。对于半球厚度，Alciatore 将结果称为 30 度法则：母球路径偏离瞄准线约 30 度，而且从四分之一球到四分之三球厚度，这个角度都接近 30 度。他给出用手判断的方法：食指和中指自然张开成 V 形，让一根手指沿瞄准线，另一根便指示母球的去向。

加斯帕尔-古斯塔夫·科里奥利 在 1835 年算出了这一结果。对于理想球，弧线结束后母球的最终速度，等于碰后瞬间速度的 5/7，加上其旋转在纯滚动时对应速度的 2/7。由此可得，在切球角为 28.1 度时，偏离瞄准线的角度最大，为 33.7 度。本页配套检查求得公式的最大值为 33.75 度，对应 28.1 度切球角。厚度为 3/4、1/2 和 1/4 时，公式分别给出 27.6、33.7 和 27.3 度；真实球略有非弹性，角度稍小，所以常用整数 30 来描述。

科里奥利 还证明，切线与最终方向之间的弧线是一条抛物线。在弯曲过程持续期间，滑动摩擦力的大小恒定，方向也近乎恒定，因此球像受到恒定拉力的抛石一样运动。检查将半球厚度碰撞后模型中的弧形路径拟合为抛物线，得到的 R² 超过 0.999。

侧旋、出杆偏移、弧线偏移与碰撞偏移

单靠侧旋不会让路径弯曲

用水平球杆击打母球球心左侧或右侧，它就会绕竖直轴旋转。这种旋转不改变球在台呢上的路径。球底没有横向滑移，绕竖直轴的旋转也就无法把球向侧面推。只有碰到其他东西时才会显现：库边或另一个球。在演示中，把触点盘设为最右侧，球杆保持水平，瞄准长库观察：到库边之前的路径是直的。

出杆偏移

侧旋确实会因另一种原因改变路径的起始方向。杆头偏心击球时，球把球杆末端向侧面推，根据牛顿第三定律，球杆向相反方向推球。球离开时稍稍偏离瞄准线，偏向击球侧的另一边。Alciatore 的 TP A.31 根据杆头偏移量 b/R，以及球质量与杆身末端几厘米有效质量之比，给出角度：

tan(squirt) = (5/2)(b/R)√(1 − (b/R)²) / (1 + m_ball/m_end + (5/2)(1 − (b/R)²))。

本模型用质量比 25 代表常见球杆，侧向偏移半个半径会产生 2.22 度偏角，走 2 m 后偏离直线 78 mm。质量比为 40 的低偏移杆身产生 1.45 度；质量比为 15 的重型冲球杆产生 3.47 度。实验面板的计算器会算出这些值，「出杆偏移」开关可以在演示中开启或关闭这一效应。

弧线偏移

真实球杆从不完全水平，因为它必须越过台框。杆头偏心且球杆向下倾斜时，一部分冲量把球压入台呢，旋转轴也会倾斜。旋转轴倾斜意味着球底确实存在横向滑移，台呢于是使路径弯曲。这就是弧线偏移；球杆抬得很高时，就成为下文介绍的扎杆。

碰撞偏移

球间摩擦也会改变目标球的路径。切球时，母球表面在接触期间滑过目标球表面，摩擦会沿母球运动方向把目标球稍稍推离连心线。Alciatore 称之为碰撞引起的偏移，并指出它在接近半球厚度、低速时更大。侧旋还会增加旋转引起的偏移，同样的摩擦也会把少量旋转传给目标球。模型中，15 度定杆切球使目标球以 12.3 度而非 15 度离开，偏移约 2.7 度。经过一米，这就是 47 mm，接近半个袋口宽。

库边：反弹为什么不是镜面反射

光线从镜面离开的角度与入射角相同。台球却不是如此，原因有三个，演示可以逐个展示。

第一，库边会减小朝向它的速度分量，却不会减小沿库边的分量。若法向速度以原值的 e 倍反弹，而沿库边的速度不变，则出射方向比入射时更贴近库边：tan(out) = e tan(in)，这里角度从库边线量起。H. Résal 在 1883 年指出，实验显示这一法向速度比几乎与入射角无关，因此用单一数值才有意义。Alciatore 列出普尔库边的范围为 0.6 至 0.9。Mathavan 及同事拍摄滚动斯诺克球直撞库边的过程，测得它平均以入射速度的 0.818 倍返回。

第二是库鼻高度。开伦球台的库鼻高出台呢 37 mm，球心高 30.75 mm，因此库边在球心上方接触球。接触力于是既向后也略向下，把球压向台呢；库鼻处的摩擦作用点也不与球心等高。Mathavan 的分析把斯诺克和普尔的接触高度取为台面上方半径的 7/5。WPA 规定的 63.5 % 库鼻高度略低，为 1.27 R。他们以实验拟合的数值模型给出库边恢复系数 0.98、球与库边的摩擦系数 0.14，适用于约 2.5 m/s 以下；超过这个速度，库边变形过大，刚体模型便不再适用。

第三是旋转。绕竖直轴旋转的球接触库边时，会沿库边摩擦。若相对于球沿库边的运动方向，接触面的摩擦滑动指向后方（顺旋），摩擦力就沿库边把球向前推，使反弹路线展开。若滑动指向前方（逆旋），反弹路线就缩短。滚动球的上旋也会摩擦位于球心上方的库鼻，这就是滚动球碰库后又拐弯的原因：反弹后的短暂瞬间，它的旋转已不再匹配新的运动方向。

模型中，滚动球以 45 度撞向长库，不带侧旋时以相对库边线 38.9 度离开；带顺旋时为 30.0 度，带逆旋时为 39.3 度。入射角为 30 度时，这三个数值分别为 27.4、23.4 和 35.4。以 1.2 m/s 垂直入射时，滚动球在刚反弹后以原速的 0.87 倍返回，等上旋在台呢上消耗完后则为 0.49 倍：上旋还会在短时间内继续把它推向库边。

模型中的库边比 Mathavan 的简化。它把反弹视为库鼻高度处的一次冲量，法向速度恢复系数取 0.9，用摩擦系数 0.2 抵抗库鼻处的滑移，同时加入球下方台呢因额外下压力产生的摩擦。摩擦值有意高于 Mathavan 的 0.14：这样，简化库边对下文钻石系统基准路线的预测就能落在半个钻石点间距以内。实验面板把这两个值都标为模型值。

钻石系统

库边上的数字

三库选手用钻石系统规划经过三个或更多库边的路线：给钻石点编号，做一次减法，再瞄准。最著名的是 Corner-5 系统，Alciatore 的资料在普尔球台上展示它，开伦球员则把数字乘以十使用。这是打球经验归纳出的经验公式，不是物理定律。

演示中按「钻石系统」，或开启「钻石点编号」，台框上就会出现三组数字。

• 母球编号（蓝色）从远端左角的 50 开始，沿远端长库依次为 45、40、35、30，沿左侧短库向下为 60、70、80。
• 第一库编号（橙色）沿近端长库从左角的 80 排到右角的 0，每个钻石点间距为十。
• 第三库编号（白色）沿远端长库以相同方式排列。

从你瞄准的第一库位置，经过母球向后画一条线，在它与远端长库或左侧短库相交的位置读取母球编号。公式为

第三库到达编号 = 母球编号 − 第一库编号。

从角落（50）出发，瞄准 30 会到达第三库的 20；瞄准 20 会到达 30。若要从母球编号 C 到达指定的 A，就瞄准 C − A。

何时有效，何时无效

这个系统假设特定的击球方式：中等速度并带顺旋，使每次反弹都比入射稍微展开。Burkard Polster 和 Marty Ross 在钻石系统笔记中说得很清楚：规则 A − B = C 只近似成立，精度与球的位置和母球击打方式有复杂关系。Alciatore 的资料给出了修正：到达编号较小时瞄低一些，较大时瞄高一些。球员要为不同球台、台呢和速度学习自己的修正，这也是加热和标准化球台重要的原因之一。

演示让你把公式与模型比较。沿角落路线开始，母球离角落 30 cm，以 2.5 m/s 击出，杆头高于球心 0.2 R，并向顺旋侧偏 0.2 R；预测到达编号为 35 时，模型给出 33.1；预测 30 时为 29.0，25 时为 25.0，20 时为 20.7，15 时为 16.0。每个结果与公式的差都在半个钻石点间距以内，配套检查只要发现其中任一个超出，就会失败。改变速度或旋转，到达位置便会漂移，这直观地展示了系统的局限。

Inhwan Han 在 2005 年用刚体力学分析开伦和三库动力学，把运动分为三部分：球在台床上的运动、球间碰撞，以及球与库边的碰撞，每部分都包含摩擦。正是这类模型，让这样的模拟能够与球员采用的系统进行比较。

让球走弧线：扎杆

大幅抬高球杆并偏心击球，冲量就会带有很大的向下分量。球被压向台呢，并绕明显偏离竖直方向的轴旋转。Alciatore 把这种扎杆旋转比作飞机绕自身纵轴的滚转。此时球底在台呢上横向滑移，只要滑移还在持续，摩擦就会把球推向侧面。路径于是弯曲。

科里奥利 找到了瞄准方法，Alciatore 称之为 BAR 方法：弧线结束后，球的最终方向平行于从母球静止位置连向球杆在台呢上所指位置的直线。扎杆课程中，球杆抬高 45 度，杆头向左偏 0.45 R、向上偏 0.3 R，以 1.6 m/s 击球，球会偏离直线超过 5 cm，绕过黄球，在不碰库的情况下击中红球。用真实速度的四分之一观看，就能从母球上的红点清楚看出旋转。

开伦与普尔的对比

根据 UMB 第 83 条，三库要求母球在碰到第二个目标球之前至少碰库三次。可以在第一个球之前碰库，也可以在两个球之间碰库，或两段都碰库；同一库边可计数多次。一库（第 82 条）只要求一次碰库。未得分就把球权交给对手。UMB 世界杯每杆限时 40 秒，30 秒时警示，每位选手每场可用两次暂停，每次再增加 40 秒。

普尔则把问题反过来：不是用一个球碰到两个球，而是把一个球送入袋口，同时让母球留在台上。物理原理相同，目标却不同。开伦最重要的是母球首次碰撞后的走向；普尔最重要的是目标球走向，母球路线是第二个问题。所以假想球和碰撞偏移在普尔教学中占主导，而 90 度、30 度法则和钻石系统在开伦教学中更重要。

球也有所不同。较重的开伦球在相同速度下携带更多能量，在加热台呢上走得更远。演示第一杆中，母球在 7.9 秒内走 4.8 m 得分，更长的三库路线会走两倍距离。普尔球台的袋口还带来独有的几何问题：沿库边滚向角袋的球会遇到以 142 度切出的袋角，然后落袋或弹出。

Mathieu Bouville 把开伦的走位描述为马尔可夫过程：一杆的难度取决于前一杆，因为容易得分的球员也会给自己留下容易打的下一杆。优秀球员会提前考虑两杆。演示把这项工作留给你。

简史

皮头改变了台球。在此之前，球杆末端是裸木，无法充分抓住球来产生旋转。皮头的发明归功于法国人 François Mingaud；按照 Alciatore 转述的版本，他在 1800 年代初被囚禁，把一块皮革装到开裂的球杆上。有了能抓住球的皮头，球员就能偏心击球而不滑杆，侧旋也成为比赛的一部分。Alciatore 指出名称中的趣味：美式英语把侧旋称为 English，但让它成为可能的是一位法国人。

科里奥利 看过 Mingaud 打球。他在 1835 年著作《Théorie mathématique des effets du jeu de billard》的前言中说，看到 Mingaud 打出的效果后，他开始研究这个主题；观看 Mingaud 打球也让他核对公式是否符合实际。书中讨论了台呢上的滚动与滑动、球杆击球、有摩擦和无摩擦的两球碰撞，以及弧线路径。科里奥利 测得球间摩擦系数约为 0.028，认为它很小，因此最初决定忽略。这就是旋转参考系中那种力所冠名的同一位 科里奥利。圣安德鲁斯大学的 MacTutor 历史资料记载，他生于 1792 年，卒于 1843 年。

H. Résal 于 1883 年发表了对 科里奥利 理论的评论。此后，工程师和物理学家借助高速摄影继续研究：Alciatore 的技术证明，Mathavan、Jackson 和 Parkin 为机器人斯诺克球员测量的台呢及库边摩擦，Han 的三库动力学，Charles Peskin 对含旋转与摩擦的三维碰撞分析，以及 2024 年关于球台对目标球的抓持如何改变两个旋转球碰撞结果的研究。每秒 3,000 帧的拍摄显示，杆头与球的接触时间约为千分之一秒。

本页模型如何工作

演示为每个球保存位置、速度，以及具有三个分量的旋转向量。每半毫秒执行以下步骤。

1. 台呢。 若球底相对台呢滑移，0.2 × m g 的摩擦力逆着滑移作用，同时改变速度与旋转。滑移在当前步长内降到零时，球切换为滚动。滚动球以 0.01 × g 减速。绕竖直轴的旋转以 10 rad/s² 衰减。
2. 球。 两球重叠时，把时间步退回到接触瞬间。沿连心线施加恢复系数为 0.95 的法向冲量，并用最大为其 0.06 倍的摩擦冲量抵抗两表面之间的滑移，包括上旋、下旋及侧旋引起的滑移。摩擦冲量既改变旋转，也改变速度。
3. 库边。 球到达库边时，把时间步退回接触瞬间。接触位置在台呢上方的库鼻高度处（开伦球台为 37 mm，普尔球台为球直径的 63.5 %）。法向速度以原值的 0.9 倍反弹，最大为法向冲量 0.2 倍的摩擦冲量抵抗库鼻处的滑移，而台呢摩擦作用于额外的向下压力。
4. 袋口。 普尔球台上，若球在袋口范围内到达库边线，就会落袋。
5. 击球。 球杆冲量沿球杆方向，作用在触点盘显示的球面位置。它确定速度、三个旋转分量（TP A.12），并在开启「出杆偏移」时确定偏离瞄准线的小出射角（TP A.31）。抬高球杆会使旋转轴倾斜。

实验面板的参数表列出每个数值及其发表范围和来源。所用数值都在这些范围内，只有库边摩擦是例外，它按上文说明的方法拟合。

有些地方作了简化。接触被视为瞬时点接触。台呢没有绒毛方向，球台完全水平。球不离开台呢，因此没有跳球；扎杆中球压向台呢的过程被算作击球的一部分。袋口画成库边的缺口，而没有建立袋角模型。钻石编号在库鼻线上读取，而非台框顶面的钻石点；瞄准台框钻石点的球员会得到略有不同的数字。

模型经过超过 850 个案例测试：理想球的 90 度法则、动量与能量、12/49 距离、科里奥利 的 33.7 度、抛物线、库边表现、出杆偏移、扎杆弧线、五条钻石路线，以及每个任务保存的一杆，模型必须能完成这些击球。

可以尝试的操作

1. 在 90 度课程按「观看」，然后改变面板中的「上旋或下旋」，打相同的切球。带上旋时，母球会沿 30 度方向，而不是切线方向前进。
2. 寻找停球杆：在拉杆课程的摆球布局中降低速度，直到下旋恰好在红球处耗尽。母球应当完全停住。
3. 在滚动课程改变速度。圆环位置随速度的平方变化：速度加倍，圆环距离就变为四倍。
4. 在「钻石系统」中瞄准 25，不加侧旋击球，然后恢复顺旋。把两次到达位置与蓝色圆环比较。
5. 开启「普尔球台」，试着用拉杆把 1 号球打入角袋，同时避免母球入袋。
6. 使用最大侧旋，来回关闭和开启「出杆偏移」，观察出射方向的改变。
7. 把「时间」设为 1/16，观察拉杆时母球上的红点：出发时向前运动，接触时反向，随后球返回。