折纸：逐步折叠与展开 20 个模型

变成鸟的正方形

折纸通过折叠而不是剪切或粘贴，把一张纸变成一个形状。这二十个模型从杯子到纸鹤，每个动作都能正向和反向展示。展开后的折痕图显示山折与谷折在哪里相遇。

取一张边长 15 cm 的正方形纸。折大约三十次，它就变成一只立在桌上的纸鹤。你没有剪它、粘它，也没有添加任何东西。鸟的每一部分，脖子、头、两只翅膀和尾巴，原来就在这个正方形的某个位置；折叠只是移动了它们。

这个展项在你面前逐步折出二十个模型，每次一个动作：杯子、武士头盔、狗脸、狐狸脸和猫脸、郁金香、爱心、纸帽、帆船、老鼠、蝉、天鹅、企鹅、东南西北、八角星、水炸弹、蝴蝶、跳蛙、纸鹤和扑翼鸟。每个模型都可以播放、减速、用箭头逐步查看，或者倒放，直到纸重新变平。

舞台开始时，一张索引卡片在大约五秒内自动折成跳蛙，青蛙随后跳起来。接着，步骤条上方打开二十个成品模型的陈列区。每张卡片的图像都由折好的模型本身绘制而成，标有难度和动作数，橙色标签则标出适合接着尝试的模型。

桌子周围还有四样东西可看。折痕图面板展示成品展开后的样子，每条谷折和山折都有颜色标记。折叠极限实验室提出纸能对折多少次的问题，并跟随纸叠不断增高，直到超过月球。太空视图只需拉一下，就能展开按三浦折叠收起的太阳能电池阵列。你还可以调出翼尖之间相距 81.94 m 的纪录纸鹤，或用线串起的一千只小纸鹤。

怎样读懂舞台上的折叠标记

书中的折纸图解使用一小组符号，舞台也使用相同的符号。

• 谷折：蓝色虚线。线一侧的纸向上并朝你翻过来，因此折痕像谷底一样凹下去。
• 山折：红色点划线。纸向远离你的方向折到后面，折痕像山脊一样隆起。
• 箭头：显示哪一部分移动，以及落在哪里。
• 折出折痕后展开：纸折过去后立即返回，留下一条稍后使用的线。
• 翻面：整个模型像煎饼一样翻过来。
• 翻折：将已经对折的纸瓣推入自身内部（内翻折），或翻包到外侧（外翻折）。

打开双手，就会出现两只模型手：一只握住移动的边，另一只将其余纸张压平。角落的读数统计纸片数、折痕数、最厚处叠了多少层，并在纸张内部的每个点检验平折的两条定律。下文会进一步介绍。

步骤条上方有三个按钮。模型打开陈列区。手动折叠让你亲自拖动纸张，完成每个动作。展开并检查将成品展平，在纸上画出折痕，并让你在点击的任意一点检验平折的两条定律。下面会分别说明。

谷折和山折是从相反两面看到的同一条折痕。折出一道谷折，把纸翻过来，这道折痕就成了山折。因此，每张折痕图都会说明哪一面朝上；本页始终指纸的正面，也就是有颜色的一面。

三种难度，二十个模型

模型按操作需要多仔细分组，而不是按步骤数分组。

**简单（★）。**杯子需要六个动作，能装一会儿水。日本会在儿童节折武士头盔（kabuto）；用一张报纸来折，就能戴在孩子头上。狗脸、狐狸脸和猫脸从同一个三角形开始，区别只在于角折向哪里：折到脸旁下方成为垂耳，向上折过顶部成为尖耳。郁金香把两个角交叉折过顶部，形成花瓣。爱心需要翻面两次，再把一些边折向中线。纸帽就是报纸帽，帽檐会锁住各个角。帆船用一个三角形的两层纸折出两面帆。

**中等（★★）。**蝉（semi）先折翅膀，再折有条纹的头。天鹅两次使用风筝折法，然后把脖子翻出来。企鹅从白面朝上开始，因此翅膀露出深色。东南西北把四角向中心折两轮。八角星也这样折，然后把尖角向外翻回去。老鼠用一次内翻折竖起尾巴。

**困难（★★★）。**水炸弹、蝴蝶和跳蛙都从水炸弹基本形开始，由在中心相交的六条折痕收拢而成。纸鹤和扑翼鸟共用鹤基本形，它由正方基本形加两次花瓣折形成。

其中大多数都是传统模型：世代相传，不知道设计者是谁。其中四个，即帆船、企鹅、老鼠和八角星，是为本展项编写的简单步骤，收藏中也作了这样的标记。这里没有使用任何署名折纸艺术家设计的模型。

所有模型都由哪些动作组成

二十个模型听起来像要学二十种不同的东西，但它们都由少数几种动作构成。

谷折或山折将部分纸层绕一条直线转动 180 度。哪些层会移动，由纸张本身决定。折叠从你提起的纸层开始，折线这一侧与它们相连的所有部分都会随之移动。如果这些纸层在折线以外的地方还与另一侧相连，这样折就会撕裂纸。本页背后的程序和纸张一样，会拒绝这种折叠。

折出折痕后展开为以后留下一条线。许多较难的模型开头都会做几次这个动作，因为后面的动作需要纸张知道在哪里弯折。

翻面不折任何部分。它的作用是让下一次折叠从另一面更容易看清。

翻折作用于已经对折的纸瓣。想象天鹅的脖子：两层纸沿一条封闭的边相连，这条边就是脊线。要让脖子抬起来，你稍微打开两层纸，绕脊线把尖端翻转，使它朝上伸在两层之间（内翻折），或翻包到两层外侧（外翻折）。两层纸同时沿同一条线朝相反方向折叠。

收拢折叠同时折动几条折痕。水炸弹基本形有六条折痕在正方形中心相遇：两条对角线和一条横穿中间的线。推一下中心，整张纸就会在一个动作中收成三角形。舞台精确计算这个收拢过程：根据对称性，一条折痕始终位于竖直平面内，而相邻折痕之间的夹角决定了纸张合拢时其余每条折痕的指向。

纸鹤中的花瓣折和压平折也是这类动作：几条折痕同时移动，没有哪一条线是所有纸片共同的转轴。本页纸鹤使用与纸鹤展项相同的动作，后者把它们作为小型连杆机构求解。

基本形：许多模型共同的起点

折纸者很早就注意到，许多模型的最初几步相同。这些共同的中间形状叫作基本形。

• 风筝基本形：两条边折向一条对角线。天鹅和老鼠从这里开始。
• 水炸弹基本形：通过六条折痕收拢，得到每侧有两个纸瓣的三角形。水炸弹、蝴蝶和跳蛙从这里开始。
• 正方基本形（也叫预备基本形）：沿对角线和两条中线收拢，得到有四个纸瓣的小正方形。
• 鹤基本形：正方基本形加两次花瓣折，形成有四个尖端的长菱形。纸鹤和扑翼鸟从这里开始。

基本形是理解折纸设计的好方法。鹤基本形从四个角得到四个长尖端；纸鹤用其中两个做脖子和尾巴，另外两个做翅膀。扑翼鸟也用这四个尖端，但不把脖子和尾巴折窄，因此它的翅膀仍能活动。

为什么舞台上的纸从不拉伸

纸几乎不能拉伸。如果模拟允许它拉伸，结果看起来可能正确，却仍然无法实际折出。

本页程序把纸张看作一组平面纸片。每次折叠前，折线穿过的每块纸片都会沿这条线分割，因此每块纸片始终只像刚性板一样转动。纸片从不改变形状或大小，所以纸张面积始终严格等于原来正方形的面积。读数将其显示为「纸张面积保持 100 %」。每次折叠都是部分纸片关于折线的镜像反射，各纸片仍保持自己的边与相邻纸片相连。对每个模型运行的检查会检验：在折叠的每个状态，相邻纸片的公共边是否仍然相接。它们确实相接，误差不超过纸张尺寸的百万分之一。

真实纸张有厚度，真实折痕也带有圆弧。舞台用小间隙分开叠起的纸层，对 15 cm 的正方形而言约为 0.24 mm，再用细条连接不同高度的相邻纸片，使间隙不可见。**纸张厚度（绘制）**控件可以把间隙调薄或调厚，从薄纸到卡纸。

纸层：哪片纸瓣在上面

当一次折叠让纸盖住纸时，纸层顺序很重要。纸瓣向前折，就位于它覆盖的所有纸片上面；向后折，就位于下面。翻折会让尖端滑入纸瓣的两半之间。

舞台为每块纸片保留一个层号。每个动作后都会重新整理层号，让两块纸片只在实际重叠处保持上下顺序；在其他地方，它们可以共享同一个高度。这样能让纸叠在折叠允许的范围内尽量薄。

纸层顺序有两种不可能的情况，检查会在每个模型的每个平折状态中查找这两种情况。

• 折边是纸张折返的地方。如果另一层夹在该折边两侧之间，并横穿折线，纸张就必须穿过它。
• 如果两道折叠位于同一条线上，且朝同一侧打开，它们的纸层范围必须互相嵌套或彼此分离。如果交错，两道折叠就会互相穿过。

二十个模型的所有平折状态都通过了两项检查。检查还会在每个动作的若干时刻取样，查找是否有纸片穿过另一块纸片。有两类动作的展示比真实纸张的运动更简化；参见下文「本页模型怎样工作」。

前川定理

展开任意平折的折纸模型，观察纸张内部折痕相交的一点。数一数山折和谷折。两者数量总是相差二。

为什么？把纸折平，在这个点周围剪一个很小的圆。这个圆的边缘现在是一条平面的锯齿线，像从上方看到的折扇。沿它绕行时，每道谷折使边缘向一个方向折返，每道山折则使它向相反方向折返。边缘完整绕行一圈，转角总和必须与此相符。算下来，就得到 M − V = 2 或 M − V = −2，取决于从哪一面观察。Thomas Hull 的综述给出了这个证明，将它归功于 Siwanowicz，并介绍了定理的历史。

一个推论是，平折的每个内部点都有偶数条折痕：M + V = (M − V) + 2V，而 M − V 为正 2 或负 2。

打开逐点检验前川与川崎定理。面板折痕图的每个内部点都会出现圆点，通过时为绿色，不通过时为红色，并附有两个数字：山折数和谷折数。二十个模型的每个点都通过。纸鹤的鹤基本形中，有一点有 4 条山折和 2 条谷折，也有一些点只是由 2 条山折组成的直折痕穿过。

川崎定理

前川定理数折痕；川崎定理量折痕间的角度。在折痕相交的一点周围，依次把相邻折痕的夹角编号为 1、2、3，依此类推。只有奇数编号的角度之和为 180 度，且偶数编号的角度之和也如此时，这一点才能折平。

这也有一个简短的理由。沿折痕折叠，会使一侧的纸镜像反射到另一侧。绕这一点走一圈，穿过每条折痕：每次穿过都是一次反射，绕完一整圈后必须回到起点。连续两次反射等于旋转两条直线夹角的两倍，因此绕行一圈相当于旋转各角交替和的两倍。要回到起点，这个和必须为零：a1 − a2 + a3 − a4，依此类推，等于 0。所有角的总和是 360 度，因此这等价于隔一个取一个的两组角度各自相加为 180 度。

对于单独一个点，川崎定理给出了完整答案：如果交替和为零，就存在某种将该点折平的方法。麻省理工学院 的 6.849 课程 Geometric Folding Algorithms 在第三讲介绍了这两条定理，后面的课件还指出，前川和川崎在 1980 年代初发现了它们。

控件下方实验室的测验涵盖两条定理，每题仅凭题干就能作答。前川题给出一个点的折痕总数，并说明哪种折痕占多数；因为两种折痕相差 2，多数的一种有 (n + 2) / 2 条。川崎题按顺序列出四个角，从朝上的折痕开始顺时针读取，其中一个角替换为问号，并在题目旁画出该点。缺失的角等于 180 度减去与它相对的角。

局部规则不够用时

前川和川崎定理每次只讨论一个点。折痕图即使在每个点都通过这两项检验，仍可能无法折平，因为一个点的纸层可能挡住另一个点的纸层。

1996 年，Marshall Bern 和 Barry Hayes 证明，一般情况下，判定折痕图能否折平是 NP 难问题；即使已经指定哪些折痕是山折、哪些是谷折，寻找有效的纸层顺序也是 NP 难问题。实际而言，没有人知道能处理每一张大型折痕图的快速方法，而且很可能不存在这样的方法。

舞台不必解决这个问题，因为它从不只凭一张折痕图开始。它像人一样逐步折叠，每一步都决定纸层去哪里。随后，检查确认结果符合局部定律和纸层规则。

选择模型，以及接下来折什么

陈列区同时展示全部二十个成品模型。图片不是照片：每张都由舞台使用的同一个折叠模型绘制，每块纸片放在最后一个动作留下的位置，并根据朝向你的是哪一面着色。顶部的标签按难度筛选，每张卡片给出本页的动作数。

橙色的接着试标签遵循一个简单规则。在你完成两个简单模型之前，它指向简单模型；然后指向中等模型，直到你也完成其中两个；再指向困难模型。在同一难度中，它选择你尚未折过、动作数最少的模型。只有你亲自折的模型才计数：开场青蛙和导览演示会自动折叠，不计入收藏。完成一个模型后，简短提示会说出下一个建议。

动作数只是难度的粗略参考，不代表全部。帆船需要五个动作，纸帽需要七个，但纸帽最后一步锁住帽檐，比帆船的任何一步都更需要仔细。难度取决于动作有多精细，所以 15 个动作的八角星属于中等，而 10 个动作的跳蛙属于困难。

亲手折叠

打开手动折叠，相机停止转动：此时在舞台上拖动会移动纸张。沿当前动作的橙色箭头拖动，纸瓣就会跟随指针。超过一半后松手，折叠会保留；在此之前松手，它会弹回。往反方向拖动，上一步就会重新展开。简短提示会统计你亲手折过的动作数。

拖动方向由动作本身计算得出：箭头从移动纸片的中心指向它们落点的中心，舞台再从相机当前所在位置把箭头投影到屏幕上。翻面或转动纸张没有箭头，因此这类动作要横向拖动。

用这种方式完成整个模型是挑战之一。它很适合用来注意播放按钮掩盖的细节：翻折时纸瓣移动了多远，以及收拢时多少纸层一起移动。

展开模型并检查一个点

展开并检查把模型倒放回平纸，在纸张本身上画出最终折痕图：谷折是蓝色虚线，山折是红色点划线，纸张内部四条及以上折痕相交的每个点上都有绿色圆点。点击圆点，就会打开该点的卡片。它统计山折和谷折，显示两者相差 2。它画出该点并标出所有角，从朝上的折痕开始顺时针读取角度，隔一个取一个地求和：两组总和都是 180 度。卡片上的箭头逐个切换各点，检查过的圆点会变成紫色。

武士头盔很适合第一个展开。它的中心有六条折痕：从上方看，是 2 条山折和 4 条谷折（从有颜色的正面看则为 4 和 2）。各角依次为 90、45、45、90、45 和 45 度：90 + 45 + 45 = 180，而 45 + 90 + 45 = 180。它另外两个点也有六条折痕，角度约为 26、64 和 90 度。在同一个模型上检查三个不同的点是一项挑战。

有些模型从白面朝上开始，头盔就是其中之一。折痕图按从上方看到的样子绘制，因此这些模型上，纸张正面所称的山折会显示为谷折；打开它们时会有提示说明。这就是前面说过的规则：从另一面看到的山折就是谷折。

纸鹤有自己的展项，逐个动作折叠，并逐线解读折痕图：怎样折纸鹤并读懂它的折痕图。这里，纸鹤是二十个模型之一，它的折痕图很适合检验辨认折痕图测验：杯子和狗脸折好后看起来完全不同，但两者的折痕图都是正方形上的几条线。

纸能对折多少次？

有个老说法，纸不能对折超过七次或八次。这不是真的，但对普通人手中的普通纸张来说，它接近极限，因为每折一次，厚度就翻倍，尺寸就减半。

从厚 0.1 mm 的复印纸开始。折一次：2 层，0.2 mm。折 7 次：128 层，12.8 mm，如果最初用的是一张 A4 纸，这样的纸叠相对于其尺寸已经很厚。到这时，纸相对于自身长度已经太厚，无法弯绕过去。

2002 年 1 月 27 日，加利福尼亚州波莫纳的高中生 Britney Gallivan 将一张纸对折了 12 次。吉尼斯世界纪录 将它列为单张纸对折次数最多的纪录。她使用一条很长的纸带，始终沿同一方向折叠，并推导出长度为何是限制：每次折叠时，外层必须绕过内层，这会消耗纸张。对厚度为 t 的纸对折 n 次，所需纸带长度的公式是

L = (π t / 6) (2^n + 4) (2^n − 1)。

对于复印纸，折 12 次需要大约 879 m 长的纸带。无论你选择哪种纸和多少次折叠，实验室都会显示这个数值。

在控件中选择折叠测试用纸和对折次数，或使用实验室视图中的减号与加号按钮。纸叠会在桌旁人物的身边长高：复印纸对折 12 次有 4,096 层，厚约 41 cm。纸叠的占地宽度至少画成 4 cm，以便你看见；真实的 30 cm 纸张对折 12 次后，宽度只有几毫米。

折到月球

不断翻倍，数字就会飞速增长。

折 14 次，纸叠大约与人一样高；折 27 次，它超过珠穆朗玛峰；折 42 次，它会超过月球的距离，月球平均距地球 384,400 km（美国国家航空航天局）。没有人能做到这一点。要把任何东西折 42 次，需要比能够制造出的任何纸张都更大的纸，Gallivan 公式中的纸带也会长得离谱。这张表讲的是翻倍，而不是纸张。

实验室会说出纸叠已经超过的最高物体：人、三层房屋、乐天世界塔、珠穆朗玛峰、空间站、月球，最后是太阳。找出让复印纸超过月球所需的折叠次数，就能获得「折到月球」星标。

三浦折叠：拉一下就展开的地图

1985 年，日本宇宙科学研究所的三浦公亮发表了一种为太空打包大型薄片的方法。纸张被分成一排排略微倾斜的平行四边形，让一个方向的折痕保持笔直，另一个方向的折痕呈锯齿形。日本宇宙航空研究开发机构宇宙教育中心 对结果的描述很简单：纸张折成紧凑的一包，拉住一端就能平滑展开。

它的特别之处在于只有一个自由度。一张含 64 个单元的纸，只需一个数就能决定整体形状；改变它，每个单元就会一起移动。舞台上的三浦折叠薄片就是这样计算的。网格的每个角由三个长度确定：锯齿上升的高度、沿一个方向的间距，以及沿另一个方向的偏移量。选定上升高度，另外两个值就由平行四边形的边长决定，所以每个阶段中，每个单元都保持平整，每条折痕都保持原长。

试试三浦单元角度。设为 80 度时，单元是倾斜的平行四边形，纸张同时沿两个方向折叠。调到 90 度，单元就变成矩形。此时纸张一次只能沿一个方向折叠：日本宇宙航空研究开发机构 的材料指出，矩形版本无法平滑展开。正是倾斜把两个方向联结起来。

剑桥的 Mark Schenk 和 Simon Guest 在 2013 年详细描述了三浦折叠薄片的几何结构，并展示了折叠如何改变其刚度。这类折叠薄片也被当作机械超材料研究，其行为由折痕决定，而不是由构成它们的材料决定。

太空中的折纸

Space Flyer Unit 于 1995 年 3 月 18 日从种子岛发射，1996 年 1 月由航天飞机在 STS-72 任务中带回地球。它的一项实验是二维太阳能电池阵列，这块三浦折叠面板在轨道上展开。日本宇宙航空研究开发机构宇宙科学研究所 的任务页面将该阵列列在取得成果的实验之中。

2014 年，美国国家航空航天局 的 喷气推进实验室 和 杨百翰大学 展示了另一种折纸阵列，与折纸艺术家 Robert Lang 共同设计。它折起时直径约 2.7 m，展开达 25 m；他们的桌面模型展开后为 1.25 m。喷气推进实验室 的文章强调了与三浦折叠相同的一点：只要折痕合适，拉一个角就能展开整体。

James Webb Space Telescope 也是折起来飞行的。它的遮阳板有五层薄膜，约有网球场那么大，经过折叠打包才能装入火箭，随后在太空中展开。它并不是本页这一类折痕图，但问题相同：大而薄的表面必须以很小的体积运输。

身体内部的折纸

在尺寸尺度的另一端，折叠也很有用。2006 年，来自 牛津大学 和日本的 Kaori Kuribayashi 及同事介绍了一种覆膜支架，由形状记忆合金薄箔制成，按折纸图案折叠，使它能以很小的体积推入血管，再在体温下展开。薄箔沿折线蚀刻，因此只在这些地方弯曲，其他地方不弯，这与舞台采用的想法相同：用折痕连接刚性面板。

一千只纸鹤

千羽鹤是用线串起的一千只纸鹤，作为康复或和平的祝愿送出。通常挂成 25 串，每串 40 只，打开千羽鹤时，舞台也这样排列。在速度快的电脑上，舞台绘制全部 1,000 只；在慢的电脑上则绘制 300 只。

大多数人熟悉的故事来自广岛。1945 年 8 月 6 日原子弹落在这座城市时，佐佐木祯子两岁。十二岁时，她患上白血病，在医院里折了一千多只纸鹤；她去世时，房间里有 1,300 只纸鹤。美国国家公园管理局 讲述了她的故事，以及同学们如何筹款修建原爆之子像，这座纪念碑自 1958 年起矗立在广岛。

一千只需要你折多久？吉尼斯世界纪录 列出的折 100 只纸鹤最快纪录为 40 分 35 秒，由 Yoneyama Yuichi 于 2010 年在名古屋创造，平均每只 24.35 秒。折 1,000 只的最快纪录为 9 小时 31 分 13 秒，由 Evelyne Chia 于 2021 年在科尔切斯特创造。在控件下方的实验室输入你折一只纸鹤的时间，它会计算你的千羽鹤：每只三分钟，就需要折 50 小时；若每天一小时，则需 50 天。

最大的纸鹤

打开原尺寸纪录纸鹤。房间后方会出现一只翼展为 81.94 m 的纸鹤，它是 吉尼斯世界纪录 列出的最大折纸鹤。2009 年 8 月 29 日，Peace Piece Project 的 800 人在广岛修道大学，用一张 100 m 乘 100 m 的纸折成了它，这张纸由较小纸片用胶带拼接而成。翼展由测量员使用三角测量法测得。

桌旁人物高 1.7 m。纪录纸鹤的原纸边长为 100 m，约为桌上 15 cm 正方形的 670 倍，因此面积约为其 440,000 倍。

模型从哪里来

折纸史充满猜测，因此这里只介绍资料支持的内容。

纸鹤很古老。英国折纸协会 保存了折纸史学者 David Lister 的笔记，他写道，Satoshi Takagi 将纸鹤图像追溯到 17 世纪初，那时它已经是成熟的模型。

日本已知最古老的娱乐折纸书 Hiden Senbazuru Orikata（折一千只纸鹤的秘密），展示了用一张纸折出、仍彼此相连的 48 种纸鹤模型，并附有诙谐诗歌。九州大学 的图书馆指南说，这些模型由桑名的佛教僧侣 Gido 设计，由作家 Akisato Rito 挑选和命名。该指南给出的年份是 1789 年，而 1797 年也被广泛引用。资料存在分歧，因此展项同时列出两者。

扑翼鸟是个谜。它看起来像纸鹤的近亲，但 Lister 指出，向日本折纸者展示它时，对方常说从未见过。Gershon Legman 写道，日本舞台魔术师在 1870 年代或 1880 年代将它带到西方；Lister 将这一说法追溯到一篇 1936 年的报纸文章，但并不信服。它的起源仍然未知。

水炸弹、跳蛙、武士头盔和纸帽都是传统模型，在许多国家流传，设计者不详。日本折纸协会、美国折纸协会 和 英国折纸协会 等折纸组织保存着这类模型的图解和历史。

跳蛙的弹簧

跳蛙用卡片折成，这里使用索引卡片 3 比 5 的比例。它的前部是水炸弹基本形，前腿向上折起。后部先向上折，再将一半向下折回，形成 Z 形褶。按下后缘再松手，褶就会弹开，把青蛙向前抛出。

舞台上的让它跳采用这种弹簧的简化模型：刚度约 30 N/m，质量约 1 g，起跳角为 40 度，压缩量取决于按压的力度。它产生约 5 到 30 cm 的跳跃，这与纸蛙能达到的范围相符，但这是估算，不是测量；真实纸蛙的表现取决于卡片、折痕的锐利程度和按压方式。跳出超过 10 cm，就能获得「青蛙跳」星标。

吹起水炸弹

水炸弹先折平，再通过底部的小孔吹气使它膨胀。纸张鼓成一个近似立方体。真实纸张通过沿新线略微弯曲和起皱来实现这一点，任何刚性纸片模型都无法展示。因此，舞台最后一步将折好的纸淡化，过渡到绘制的同色鼓起形状。此前的折叠是精确的；充气过程是图示。

真实水炸弹在吹气前，还要把两个小尖角塞进袋口，使它保持闭合。舞台在塞角之前停止。

你与纸张

打开舞台角落的我。输入你的身高，桌旁人物就会变成你的尺寸。随后提示会计算：折叠极限实验室中选定的纸，需要对折多少次，纸叠才能和你一样高。对于高 1.7 m 的人，厚 0.1 mm 的复印纸需要折 15 次，因为折 14 次只有 1.6 m。提示还会根据你在实验室输入的速度，给出你的千羽鹤用时。

纸张大小与种类

两个控件可以改变纸张。纸张尺寸把正方形边长设为 7.5 cm 到 35 cm，其中包括 21 cm，也就是从一张 A4 纸（210 乘 297 mm）能裁出的最大正方形。桌上的纸随之变大或变小，读数以厘米给出原纸与成品尺寸。青蛙由卡片折成，因此纸张宽度是长度的五分之三。

纸张种类改变纸的外观及绘制厚度。折纸用纸一面有颜色、一面白色，因此许多模型会露出两面：企鹅从白面朝上开始，所以翅膀呈深色。双色纸两面各有一种颜色。和纸通体浅色且带纤维纹理，绘制时略厚。金属箔纸会发亮，能牢固保持折痕；绘制时更薄。复印纸两面都是白色。种类不改变折叠步骤或成品尺寸，只改变外观和纸层的绘制厚度。

你的纸：模型会有多大？

控件下方的你的纸让你输入现有正方形纸的边长，并列出用它折成的全部二十个模型的成品尺寸。这些是模型值：舞台模型折平后的尺寸，按你的纸张缩放。真实纸张每折一次都会损失一点，因此实物会略小，纸层多时尤为明显。

用 15 cm 的正方形，舞台给出的成品尺寸如下：杯子约 8.8 乘 6.2 cm，武士头盔 10.6 乘 5.5 cm，纸鹤最长边 14.2 cm，跳蛙从 9 乘 15 cm 卡片折成 7.5 乘 4.5 cm，帆船沿对角线长 21.2 cm。大多数模型的尺寸为原纸边长的 50% 到 75%。东南西北、未吹起的水炸弹、蝴蝶和跳蛙约为一半。

第二行反向计算：选择模型和想要的长度，它会给出起始正方形的尺寸。长 10 cm 的纸鹤需要边长约 10.6 cm 的正方形。

折纸图集

挑战下方的折纸图集收录了 26 个关于折纸历史、人物、数学和工程的条目，每个都附有资料来源。可以按类别筛选或搜索，打开条目阅读，其中一些还会改变舞台：前川定理将头盔展平，三浦折叠进入太空视图，最大纸鹤调出纪录纸鹤。以下是其中几个条目：

• 弗里德里希·福禄贝尔 于 1840 年在德国开办第一所幼儿园，并把折纸 Das Falten 作为活动之一。九州大学 的图书馆指南指出，他的帆船与日本折的模型相同，这些模型在 1800 年代末传入日本。舞台上的帆船就是这个模型。
• 吉泽章于 1911 年 3 月 14 日出生在栃木县上三川，2005 年在 94 岁生日当天去世。他于 1954 年创立 国际折纸中心，同年出版第一本书，1955 年在 阿姆斯特丹市立博物馆 举办首次海外展览。九州大学 的指南将山折与谷折图解符号的创立归功于他，也就是桌上的虚线和点划线，并说他制作了数万个模型。
• Robert J. Lang 在 1990 年代初编写了 TreeMaker。你画出想要的纸瓣的线条骨架，它就计算一个基本形的折痕图，使其投影与骨架相符。第 4 版（1998 年）求解出了无法手工构造的基本形，第 5 版（2005 年）还会将每条折痕指定为山折或谷折。Lang 在 1996 年 ACM Symposium on Computational Geometry 上以算法形式描述了这个方法。
• **DNA 折纸。**2006 年，Paul Rothemund 使用 200 多条短订书钉链，将一条约 7,000 个碱基的 DNA 长链折成宽约 100 nm 的形状，其中包括笑脸（Nature）。
• **自行折叠的机器人。**2014 年，哈佛大学 和 麻省理工学院 的团队（Felton 等人，Science）制作了一张平片，它在约四分钟内自行折成爬行机器人，随后走开。
• **遮星板。**遮星板会飞在太空望远镜前方，挡住恒星光，使其行星显现。它的花瓣在发射时绕中心收起，在太空中展开。美国国家航空航天局 的遮星板技术项目 S5 在 2025 年 4 月结项时报告，已达到技术成熟度 5 级。

本页模型怎样工作

每个模型都是一串动作，以纸张平放桌面时的坐标编写。每个动作中，程序分割折线穿过的纸片，从你提起的纸片向外扩展，找出要移动的纸层，将它们关于折线反射，再重新整理层号。同一套代码既在浏览器中运行，也在页面发布前逐一运行所有模型的检查程序中运行。

检查程序对全部二十个模型检验以下内容：

• 在每个动作的任何时刻，纸张面积保持不变，所有边的长度都不变；
• 在每个平折状态中，相邻纸片的公共边仍然相接；
• 最终平折状态的折痕图中，每个内部点都通过前川定理和川崎定理；
• 没有任何平折状态让纸层穿过折边，同一直线上的两道折叠也不交叉；
• 在每个动作的取样时刻，没有纸片穿过另一块纸片；
• 每项任务都能完成，每道测验都有答案；
• 舞台使用的每项资料都列在下方。

有些动作的展示比真实纸张的运动更简化。

• 内翻折（天鹅的头、企鹅的头、老鼠的尾巴、扑翼鸟的脖子、尾巴和头）最终达到精确的折叠位置，但过程中尖端沿纸面滑转，上方纸层略微抬起。真实纸张会打开纸瓣，让尖端从纸层之间的空间翻入。
• 纸鹤使用纸鹤展项自身的折叠步骤和运动。上述检查对它检验到鹤基本形为止；折窄、脖子、尾巴和头部使用那个展项的动作。
• 水炸弹的充气如上所述是绘制出来的，青蛙跳跃则是模型估算。
• 翅膀和其他 3D 塑形让每层纸在自身高度上绕折线转动，使叠起的纸层在弯折时保持嵌套。

纸盒（传统的 masu）不在这二十个模型之中。它的侧壁升起时，各角的折叠会同时移动，舞台还不能如实表现这种动画。

可以试试

• 选择杯子，打开双手，用箭头逐步查看。然后打开反向展开，看它打开。
• 折任意模型，按展开并检查，点击三个点。
• 接连折狗脸和狐狸脸。它们的前两个动作相同。
• 在折叠极限实验室中，找出薄纸、复印纸和卡纸各折多少次，纸叠会比你高。
• 在太空视图中，以 80 度把阵列拉开，再将单元角设为 90 度重试。
• 打开纪录纸鹤，转动相机绕它观察。然后回到桌边。
• 找出桌子周围全部十六件隐藏物品。其中一件在桌下，两件挂在墙上。
• 打开模型，筛选到困难，折带橙色标签的模型。
• 打开手动折叠，拖动狐狸脸完成全部七个动作。
• 展开武士头盔，把中心的角度相加。
• 将纸张尺寸设为 A4 正方形，再把你现有纸张的边长输入你的纸。