折り紙の折り方：20作品を一手ずつ動かすシミュレーター

正方形から鳥へ

折り紙は紙を切ったり貼ったりせず、折って形を作ります。ここではコップから鶴まで二十作品の折り方を、一手ずつ順再生と逆再生で確かめられます。開いた展開図を見ると、山折りと谷折りがどこで交わるかが分かります。

一辺 15 cm の正方形を約三十回折ると、机に立つ鶴になります。切らず、貼らず、何も足していません。首、頭、二枚の羽、尾は、すべて初めから正方形のどこかにあり、折ることで位置を変えただけです。

この展示では、コップ、かぶと、犬・きつね・猫の顔、チューリップ、ハート、紙の帽子、帆掛け船、ねずみ、せみ、白鳥、ペンギン、パクパク、八つの角の星、風船、ちょう、跳ねるかえる、鶴、羽ばたく鳥の二十作品を、一手ずつ折ります。再生を遅くしたり、矢印で進めたり、平らな紙に戻るまで逆再生したりできます。

最初はカードが約五秒で跳ねるかえるに折り上がり、跳びます。その後、手順バーの上に二十の完成作品の一覧が開きます。各画像は折った模型そのものから描かれ、難度と手数が添えてあります。オレンジの印は次に折るおすすめです。

机の周りには、さらに四つの見どころがあります。展開図パネルでは完成作品を開き、谷と山を色分けします。折れる限界の実験では、紙を何回半分に折れるかを調べ、紙の山が月を越えるまで追います。宇宙の表示では、ミウラ折りの太陽電池パネルを一引きで開けます。翼幅 81.94 m の記録の鶴や、糸に通した千羽の小さな鶴も表示できます。

舞台の折り方の記号

折り紙の本で使われる少数の記号を、この舞台でも使います。

• 谷折り：青い破線です。線の片側の紙が手前へ持ち上がり、折り筋が谷底のように沈みます。
• 山折り：赤い一点鎖線です。紙が向こう側、後ろへ動き、折り筋が尾根のように高くなります。
• 矢印：動く部分と、その移動先を示します。
• 折り筋をつけて戻す：折ってすぐ開き、後で使う線を残します。
• 裏返す：全体をパンケーキのようにひっくり返します。
• 折り返し：半分に折ったひだを、内側へ押し込む中割り折り、または外側へかぶせるかぶせ折りです。

手を有効にすると、人形の手が二つ現れます。一方は動かす辺を持ち、もう一方は残りの紙を平らに押さえます。隅の表示には面の数、折り筋の数、最も厚い場所の層数が出ます。紙の内部の各点で、平らに折るための二つの定理も調べます。詳しくは後で説明します。

手順バーの上には三つのボタンがあります。作品一覧は作品を選ぶ画面を開きます。手で折るでは各手順の紙を自分でドラッグできます。開いて調べるでは完成作品を平らに開いて折り筋を描き、押した点で二つの定理を確かめられます。以下でそれぞれ説明します。

谷と山は、同じ折り筋を反対側から見たものです。谷折りをして裏返せば山折りになります。そのため展開図には上を向く面を明記します。このページでは、常に色のついた表側を基準とします。

三段階の二十作品

難度は手数ではなく、動作に必要な細かさで分けています。

初級（★）。 コップは六手で、しばらく水を入れられます。かぶとは日本のこどもの日に折るもので、新聞紙なら子どもがかぶれます。犬、きつね、猫の顔は同じ三角形から始まり、角の行き先だけが違います。顔の横へ下げると垂れ耳、上端より上に戻すと尖った耳です。チューリップは二つの角を上で交差させて花びらにします。ハートは二回裏返し、いくつかの辺を中央へ折ります。紙の帽子は新聞紙の帽子で、つばが角を留めます。帆掛け船は一つの三角形の二枚から二つの帆を作ります。

中級（★★）。 せみは羽を先に折り、次に縞模様の頭を作ります。白鳥はたこ折りを二度してから首を起こします。ペンギンは白い面を上にして始めるので羽が濃い色になります。パクパクは角を中央に二度合わせます。八つの角の星も同じように折ってから先端を外に戻します。ねずみは一回の中割り折りで尾を上げます。

上級（★★★）。 風船、ちょう、跳ねるかえるは、中央に集まる六本の折り筋をたたむ、風船の基本形から始まります。鶴と羽ばたく鳥は、正方基本形に二回の花弁折りを加えた鶴の基本形を使います。

大半は、作者が分からず何世代も折られてきた伝承作品です。帆掛け船、ペンギン、ねずみ、八つの角の星の四つは、この展示用に記した簡単な手順で、作品集にもそう表示します。名前の分かる折り紙作家の創作作品は使っていません。

作品を作る基本動作

二十作品と聞くと二十通りを覚えるようですが、使う動作はわずかです。

谷折りと山折りは、直線の周りに何枚かを 180 度回す動作です。動く層は紙のつながりで決まります。持ち上げる層から始まり、線の同じ側でつながる部分がすべて動きます。折り線以外でも反対側につながっていれば、折ると紙が破れます。このページのプログラムも、実物の紙と同じようにその動作を拒みます。

折り筋をつけて戻す動作は、後で使う線を残します。難しい作品では、後の手順で曲げる場所を定めるため、最初に何本か折り筋をつけます。

裏返すだけでは紙を折りません。次の折り方を反対側から見やすくするための動作です。

折り返しは、すでに半分に折ったひだで行います。白鳥の首なら、背に当たる閉じた辺で二枚がつながっています。二枚を少し開き、背の周りで先端を裏返すと、間から上を向く中割り折り、または外側を包むかぶせ折りになります。二枚は同じ線で、同時に逆方向へ折れます。

折りたたみでは複数の折り筋を一緒に動かします。風船の基本形は、正方形の中央で交わる二本の対角線と一本の中線から、六本の折り筋が集まります。中央を押すと、一動作で三角形になります。舞台ではこの動きを正確に計算します。対称性により一つの折り筋を鉛直面内に保ち、隣り合う折り筋の角度から、閉じる途中の各線の向きを決めます。

鶴の花弁折りや開いてつぶす折り方も、複数の折り筋が同時に動き、全体を一本の線だけで回すことはできません。ここでの鶴は、これらを小さなリンク機構として解く、鶴の展示と同じ動作を使います。

多くの作品に共通する基本形

多くの作品で最初の手順が共通することは、昔から知られていました。その共通の段階を基本形と呼びます。

• たこ形：二つの辺を対角線に合わせた形です。白鳥とねずみはここから始めます。
• 風船の基本形：六本の折り筋をたたんでできる、左右に二枚ずつひだのある三角形です。風船、ちょう、跳ねるかえるに使います。
• 正方基本形（予備折りとも呼びます）：対角線と二本の中線をたたんだ、四つのひだを持つ小さい正方形です。
• 鶴の基本形：正方基本形に二回の花弁折りを加えた、四つの先端を持つ細長いひし形です。鶴と羽ばたく鳥に使います。

基本形を見ると、折り紙の設計が分かります。鶴の基本形では四つの角から長い先端が四本でき、鶴は二本を首と尾、残り二本を羽に使います。羽ばたく鳥も同じ四本を使いますが、首と尾を細くしないので、羽が動けます。

舞台の紙が伸びない理由

紙はほとんど伸びません。計算上で伸びを許すと、見た目は正しくても実際には折れない形になります。

このページでは紙を平らな面の集合として扱います。折る前に、折り線を横切る各面をその線で分け、面を剛体の板として回転させます。形も大きさも変わらないので、面積は元の正方形と完全に同じです。表示の「紙の面積の保持率 100 %」がこれを示します。折るたびに一部の面を折り線で鏡映し、隣の面との辺のつながりを保ちます。全作品の全状態で隣接する面の共有辺が合うか検査すると、紙の大きさの百万分の一以内で一致します。

実物には厚さがあり、折り目も丸くなります。舞台では、一辺 15 cm の紙で約 0.24 mm の小さな隙間を層間に設け、高さの違う隣接面を細い帯でつなぎ、隙間を隠します。表示上の紙の厚さで薄紙からカードまで隙間を変えられます。

どのひだを上に重ねるか

紙を重ねるときは層の順序が重要です。手前へ折れば覆った部分より上、後ろへ折れば下に置かれます。中割り折りでは先端が二枚の間に入ります。

舞台は各面の層番号を記録します。各動作後に番号を詰め直し、実際に重なる場所だけ順序を保ちます。重ならない面は同じ高さに置けるので、可能な限り薄い重なりになります。

あり得ない重なり方は二種類あり、全作品のすべての平らな状態で両方を調べます。

• 折り目の辺では紙が折り返しています。その二枚の間に別の層が入り、折り線を横切ると、紙を突き抜ける必要が生じます。
• 同一直線上に同じ側へ開く二つの折り目があるとき、層の範囲は入れ子か別々でなければなりません。交互に入り組むと折り目同士が貫通します。

二十作品の全平坦状態で、両方の検査を通ります。動作途中も複数の時点で面同士の貫通を調べます。実物より簡略化して示す二種類の動作については、後の「このページの模型の仕組み」で説明します。

前川の定理

平らな折り紙作品を開き、内部で折り筋が交わる点を見ます。山折りの折り筋と谷折りの折り筋を、それぞれ何本あるか数えてください。その二つの本数の差は、必ず二になります。

紙を平らに折り、その点の周りを小さな円に切ると、縁は上から見た扇のような平らなジグザグになります。縁を一周すると、谷では一方向、山では逆方向へ折り返します。一周して閉じるため、向きの変化の合計にも条件があります。計算すると、見る側によって M − V = 2 または M − V = −2 になります。Thomas Hull の概説には、Siwanowicz によるとされるこの証明と定理の歴史が載っています。

その結果、内部の点に集まる折り筋の総数は偶数になります。M + V = (M − V) + 2V で、M − V は正負いずれかの 2 だからです。

各頂点の前川・川崎の定理を有効にすると、展開図の内部の各点に、成立なら緑、不成立なら赤の印と、山と谷の本数が出ます。二十作品のすべての点で成立します。鶴の基本形には山が 4 本、谷が 2 本の点や、山 2 本からなる直線の折り筋が通過する点があります。

川崎の定理

前川の定理は本数、川崎の定理は角度を扱います。折り筋が交わる点で、隣り合う線の間の角度を 1、2、3 と数えます。平らに折るには、奇数番目の角度の和も偶数番目の和も 180 度でなければなりません。

理由は、折るたびに線の片側が鏡映するからです。点の周りを一周して各線を横切ると、そのたびに鏡映し、一周後には元に戻る必要があります。二回の鏡映は線の間の角度の二倍の回転なので、点の周囲を一周した全体の変化は、角度を一つおきに足し引きした交代和の、二倍の角度だけ回転することになります。出発したときと同じ位置に戻るには、その交代和がゼロでなければなりません。つまり a1 − a2 + a3 − a4 と続けて計算した値が 0 になります。全角度の和は 360 度なので、これは一つおきの和がそれぞれ 180 になるのと同じです。

一点だけなら川崎の定理は十分条件でもあります。交代和がゼロなら、その点を平らに折る方法が存在します。MIT の講義 6.849「Geometric Folding Algorithms」は第三講で両定理を扱い、後のスライドで前川と川崎による発見を 1980 年代初めとしています。

操作欄の下の問題には両定理が登場し、文章だけでも解けます。前川の問題は総本数と山か谷のどちらが多いかを示します。差は 2 なので、多い側は (n + 2) / 2 本です。川崎の問題では、上向きの線から時計回りに四つの角度を列挙し、一つを疑問符に置き換え、横に図を描きます。未知の角度は 180 度から向かいの角度を引いた値です。

一点ごとの規則だけでは足りない

前川と川崎の定理は一点ずつの条件です。すべての点で両方が成立しても、ある点の層が別の点の層を邪魔して、全体を平らに折れないことがあります。

1996 年、Marshall Bern と Barry Hayes は、一般の展開図を平らに折れるかの判定が NP 困難であること、山谷を指定しても正しい重なり順を見つけることが NP 困難であることを証明しました。実用的には、どんな大きな展開図にも使える高速な方法は知られておらず、おそらく存在しないという意味です。

この舞台では展開図だけから始めず、人のように一手ずつ折るため、その難問を解く必要はありません。各手順で重なり先を決め、その後の検査で局所的な定理と層の規則を確認します。

作品選びと次のおすすめ

一覧には二十の完成作品が並びます。画像は写真ではなく、舞台と同じ模型を、最後の手順で決まった各面の位置と向きに従って描いたものです。上の切り替えで難度を絞れ、カードにはこのページでの手数が出ます。

オレンジの次のおすすめには簡単な規則があります。初級を二つ完成するまでは初級、その後は中級を二つ完成するまで中級、それから上級です。同じ難度では、未完成のうち手数が最も少ないものを選びます。自分で折った作品だけを数え、最初のかえるや案内中の自動実演は作品集に入りません。完成後には次のおすすめを短く表示します。

手数は難度の目安でしかありません。帆掛け船は五手、帽子は七手ですが、帽子の最後のつばを留める動作は船のどの動作より細かくなります。難度は動作の細かさで決めるため、15 手の星が中級で、10 手のかえるが上級です。

自分の手で折る

手で折るを有効にするとカメラの回転が止まり、ドラッグで紙を動かせます。その手順のオレンジの矢印に沿って動かすと、ひだがポインターを追います。半分を越えて放すと折れたままになり、手前で放すと戻ります。逆向きに動かすと前の手順が開きます。手で折った手数も表示します。

ドラッグ方向は動作自体から求めます。動く面の中心から移動後の中心へ矢印を引き、現在のカメラから画面に投影します。裏返しや紙の回転には矢印がないので、横にドラッグします。

一作品を最後まで手で折る課題もあります。中割り折りで先端がどれほど動くか、折りたたみで何層が同時に動くかなど、再生ボタンでは見落としやすい点が分かります。

開いて頂点を調べる

開いて調べるは平らな紙まで逆再生し、完成時の折り筋を紙に描きます。谷は青い破線、山は赤い一点鎖線、内部で四本以上が集まる点には緑の印が付きます。緑の点を押すと、その頂点を調べるカードが開きます。山の本数と谷の本数をそれぞれ数え、両者の差が 2 になることを示します。カードにはその頂点の図を描き、すべての角度を書き込みます。上向きの折り筋から時計回りに角度を読み、一つおきに足し合わせます。二組の合計は、どちらも 180 度です。カードの矢印で点を移動でき、確認済みの点は紫になります。

最初はかぶとがおすすめです。中央には六本あり、上から見ると山 2 本、谷 4 本です（色のついた表からは 4 本と 2 本）。角度は 90、45、45、90、45、45 度で、90 + 45 + 45 = 180、45 + 90 + 45 = 180 になります。ほかの二点も六本で、約 26、64、90 度です。一作品で異なる三点を調べる課題があります。

かぶとのように白い面を上にして始める作品もあります。展開図は上から描くので、表で山と呼ぶ線が谷として出ます。開くと注意書きが表示されます。先ほどの、反対側から見れば山は谷になるという規則です。

鶴には、一手ずつ折り、展開図を一本ずつ読む別の展示があります。折り鶴の折り方と展開図の読み方。ここでは二十作品の一つで、その展開図は展開図を当てる問題にも向いています。コップと犬の顔は完成形が全く違っても、展開図ではどちらも正方形を横切る少数の線です。

紙は何回半分に折れるか

七回か八回より多く半分には折れないという話は正しくありません。ただし普通の紙を普通に手で折る限界には近い数です。毎回、厚さが倍になり、大きさが半分になるからです。

厚さ 0.1 mm のコピー用紙なら、一回で 2 層、0.2 mm。7 回で 128 層、12.8 mm になります。A4 から始めた場合、大きさに対してかなり厚く、その時点では、紙の長さに対して重なりが厚すぎるため、その厚みを回り込むように紙を曲げられなくなります。

2002 年 1 月 27 日、カリフォルニア州 Pomona の高校生 Britney Gallivan は一枚を 12 回半分に折りました。Guinness World Records に紙を折る最多回数として載っています。彼女は非常に長い帯状の紙を使い、毎回同じ方向に半分に折りました。そして、なぜ紙の長さが折る回数の限界を決めるのかを明らかにしました。折るたびに、外側の層は内側の層を回り込まなければならず、そのために紙の長さが使われるのです。厚さ t の紙を n 回折るための帯の長さは、次の式です。

L = (π t / 6) (2^n + 4) (2^n − 1).

コピー用紙を 12 回折るには約 879 m 必要です。実験では選んだ紙と回数に応じてこの値を表示します。

操作欄の折る実験の紙と半分に折る回数、または実験画面の増減ボタンを使います。机の横の人の隣で紙の山が高くなります。コピー用紙を 12 回折ると 4,096 層、約 41 cm です。見えるよう底面の幅を最低 4 cm に描きますが、実物の 30 cm の紙を 12 回折った幅は数ミリしかありません。

月まで折る

倍にし続けると、数は急増します。

14 回で人ほど、27 回でエベレストより高く、42 回では平均距離 384,400 km の月を越えます（NASA）。実際には不可能です。42 回には作れる範囲を越えた大きさの紙と、Gallivan の式で途方もない長さの帯が必要です。これは紙よりも倍増についての表です。

実験では、越えた対象のうち最も高いものを示します。人、三階建ての家、ロッテワールドタワー、エベレスト、宇宙ステーション、月、最後に太陽です。コピー用紙で月を越える回数を見つけると「月まで」の星を獲得します。

一引きで開く地図、ミウラ折り

1985 年、日本の宇宙科学研究所の Koryo Miura は、宇宙用の大きな薄膜を収納する方法を発表しました。紙を、少し傾いた平行四辺形が列をなすように区切ります。すると、一方向に走る折り筋は直線になり、もう一方向に走る折り筋はジグザグになります。JAXA 宇宙教育センターは、小さくたためて端を引くと滑らかに開くと説明しています。

特徴は自由度が一つであることです。64 セルの紙でも、一つの数で全体の形が決まり、変えるとすべてが連動します。舞台も同じ方法で計算します。格子の各頂点を、ジグザグの高さ、一方向の間隔、もう一方向のずれという三つの長さで配置します。高さを決めると残りは平行四辺形の辺長から決まり、途中でも各面は平らで、折り筋の長さは変わりません。

ミウラ折りのセルの角度を変えます。80 度では傾いた平行四辺形なので二方向に同時に折れます。90 度にすると長方形になり、一度に一方向にしか折れません。JAXA の資料も長方形では滑らかに開かないと説明します。傾きが二方向を連動させています。

Cambridge の Mark Schenk と Simon Guest は 2013 年にこの幾何を詳しく記述し、折り方で硬さが変わることを示しました。こうした紙は、材質ではなく折り方で性質を決める機械的メタマテリアルとしても研究されています。

宇宙の折り紙

Space Flyer Unit は 1995 年 3 月 18 日に種子島から打ち上げられ、1996 年 1 月にスペースシャトルの STS-72 で地球へ戻りました。実験の一つが、軌道上で開くミウラ折りの二次元太陽電池パネルです。JAXA ISAS の任務紹介にも成果を得た実験として挙げられています。

2014 年、NASA の Jet Propulsion Laboratory と Brigham Young University は、折り紙作家 Robert Lang と設計した別のパネルを発表しました。直径約 2.7 m に収納し、25 m まで開きます。その卓上模型も、開いたときには 1.25 m になります。JPL の記事も、適切な折り方なら一つの角を一度引くと全体が開くと説明しています。

James Webb Space Telescope も折りたたんで運びました。テニスコートほどの大きさの、薄い五層からなる遮熱板を折りたたみ、ロケットの内部に収まるように収納しました。そして、宇宙に到着してから広げました。このページのような展開図ではありませんが、大きく薄い面を小さく運ぶという課題は同じです。

体内の折り紙

反対に小さい尺度でも折る技術が役立ちます。2006 年、Oxford 大学と日本の Kaori Kuribayashi らは、形状記憶合金の薄い箔で作ったステントグラフトを報告しました。箔を折り紙の形に折りたたむことで、小さな状態で血管を通して送り込み、その後、体温で開くようにしたものです。折り線をエッチングし、そこだけ曲がるようにしています。折り筋で剛体の面をつなぐという、舞台と同じ考え方です。

千羽鶴

千羽鶴は、回復や平和を願って贈る、糸に通した千羽の鶴です。40 羽ずつ 25 本にすることが多く、千羽鶴を有効にすると同じ配置になります。速い計算機では 1,000 羽、遅い場合は 300 羽を描きます。

千羽鶴について、多くの人が知っている物語は広島から来ています。佐々木禎子の物語です。1945 年 8 月 6 日の被爆時は二歳でした。十二歳で白血病になり、入院中に千羽以上を折りました。亡くなったとき病室には 1,300 羽ありました。US National Park Service は、その生涯と同級生の募金で建てられた原爆の子の像を紹介しています。像は 1958 年から広島に立っています。

自分なら千羽にどれだけかかるでしょうか。Guinness World Records の 100 羽の最速は、2010 年に名古屋で Yoneyama Yuichi が達成した 40 分 35 秒、一羽平均 24.35 秒です。1,000 羽は Evelyne Chia が 2021 年に Colchester で記録した 9 時間 31 分 13 秒です。操作欄の下にある実験に、自分が一羽の鶴を折るのにかかる時間を入力すると、自分の千羽鶴に必要な時間を計算できます。一羽三分なら 50 時間、一日一時間なら 50 日です。

最大の鶴

記録の鶴を実寸表示を有効にすると、部屋の後ろに翼幅 81.94 m の鶴が現れます。Guinness World Records 掲載の最大の折り鶴です。2009 年 8 月 29 日、広島修道大学で Peace Piece Project の 800 人が、小さい紙を貼り合わせた 100 m × 100 m の紙から折りました。測量士が三角測量で翼幅を測りました。

机の横の人は身長 1.7 m です。記録の鶴の紙は一辺 100 m で、机の上にある一辺 15 cm の正方形の紙と比べると、辺の長さは約 670 倍です。したがって、面積で比べると約 440,000 倍になります。

作品の由来

折り紙の歴史には推測が多いので、ここでは出典が裏付ける範囲を紹介します。

鶴は古い作品です。British Origami Society が記録を保管する史家 David Lister によると、Satoshi Takagi は鶴の図を 17 世紀初めまでたどり、その時点ですでに定着していたとしています。

日本最古とされる遊戯折り紙の本『秘傳千羽鶴折形』には、一枚からつながったまま折る 48 種の鶴が狂歌とともに載っています。九州大学図書館ガイドによれば、桑名の僧 Gido が考案し、作家 Akisato Rito が選定と命名をしました。ガイドは 1789 年とし、1797 年も広く引用されます。資料が一致しないため、展示では両方を示します。

羽ばたく鳥の起源は不明です。鶴に似ていますが、Lister によると、見せられた日本の折り手は知らないと答えることが多かったそうです。Gershon Legman は 1870 年代か 1880 年代に日本の奇術師が西洋へ伝えたと書きました。Lister は根拠を 1936 年の新聞記事までたどり、疑問を残しました。現在も起源は分かっていません。

風船、跳ねるかえる、かぶと、紙の帽子は、作者不明のまま多くの国で折られる伝承作品です。日本折紙協会、OrigamiUSA、British Origami Society などが、このような作品の折り図と歴史を保管しています。

跳ねるかえるのばね

かえるはカードから折り、ここではインデックスカードと同じ 3 対 5 の比率の紙を使います。前部は前脚を折り上げた風船の基本形です。後部を上に折り、半分を下に戻して Z 字のひだを作ります。後ろの辺を下へ押し込み、手を放すと、ひだがばねのように勢いよく開き、かえるを前へ跳ばします。

舞台の跳ばすでは、ばね定数約 30 N/m、質量約 1 g、射出角 40 度の簡単な模型を使い、押す強さで圧縮量を変えます。約 5～30 cm という実物にも見られる範囲になりますが、測定ではなく推定です。実物は紙、折り目の鋭さ、押し方に左右されます。10 cm より遠くに跳ばすと「かえる跳び」の星を獲得します。

風船を膨らませる

風船は平らに折ってから、底の小さな穴から息を吹いて、ほぼ立方体に膨らませます。実物は新しい線で少したわんだりしわになったりするので、剛体の面だけでは表せません。舞台の最後では、折った紙を同色の膨らんだ図へ徐々に切り替えます。それ以前の折り方は正確ですが、膨らむ部分は描画です。

実物では、膨らませる前に小さい先端二つを袋へ差し込み、閉じた状態を保ちます。舞台は差し込む直前で止まります。

自分と紙を比べる

舞台の隅の自分を開きます。身長を入れると机の横の人が同じ大きさになります。実験で選んだ紙を何回半分に折るとその身長に届くかも計算します。厚さ 0.1 mm のコピー用紙では、身長 1.7 m に届くには 15 回必要です。14 回では 1.6 m にしかならないからです。実験に入力した一羽を折る速さでの、千羽鶴を完成させるまでの時間も表示します。

紙の大きさと種類

二つの操作で紙を変えられます。紙の大きさは一辺 7.5 cm から 35 cm までです。A4（210 × 297 mm）から切り出せる最大の正方形、21 cm も含みます。机の紙も拡大縮小し、紙と完成形の寸法をセンチメートルで示します。かえるはカードから折るので、幅は長さの五分の三です。

紙の種類は見た目と表示上の厚さを変えます。折り紙は片面が色、裏が白なので、多くの作品で両面が見えます。ペンギンは白を上にして始め、濃い色の羽にします。両面色紙は両側に色があります。和紙は中まで淡く繊維質で、少し厚く描きます。ホイル紙は光沢があり折り目を保ちやすく、薄く描きます。コピー用紙は両面が白です。種類を変えても折り方や完成寸法は変わらず、見た目と層の表示上の厚さだけが変わります。

手元の紙から作るとどれくらいの大きさか

操作欄の下の手元の紙に正方形の一辺を入れると、二十作品の完成寸法が出ます。これらは実物を測った値ではなく、模型値です。舞台にある模型を平らに折った状態での寸法を、入力した紙の一辺の長さに合わせて拡大縮小して求めています。実物は折るたびに少し長さを失うので小さくなり、層が多いほど差も大きくなります。

一辺 15 cm なら、コップは約 8.8 × 6.2 cm、かぶとは 10.6 × 5.5 cm、鶴の最長辺は 14.2 cm、かえるは 9 × 15 cm のカードから 7.5 × 4.5 cm、帆掛け船の対角線は 21.2 cm です。大半は紙の一辺の 50～75 パーセントです。パクパク、膨らませる前の風船、ちょう、かえるは約半分です。

二段目の欄では、逆向きに計算できます。作りたい作品と、完成したときに欲しい長さを選ぶと、折り始めるのに必要な正方形の紙の大きさを表示します。長さ 10 cm の鶴なら一辺約 10.6 cm です。

折り紙事典

課題の下の折り紙事典には、歴史、人物、数学、工学の 26 項目が出典つきで載っています。分類や検索で絞り、開いて読めます。一部は舞台も変えます。前川の定理はかぶとを開き、ミウラ折りは宇宙の表示へ移り、最大の鶴は記録の鶴を出します。例えば次の項目があります。

• Friedrich Froebel は 1840 年にドイツ初の幼稚園を開き、Das Falten という紙を折る活動を取り入れました。九州大学図書館ガイドは、その帆掛け船が日本の作品と同じで、これらが 1800 年代後半に日本へ伝わったと説明します。舞台の船もこの作品です。
• 吉澤章は 1911 年 3 月 14 日、栃木県上三川に生まれ、2005 年の 94 歳の誕生日に亡くなりました。最初の本を出した 1954 年に国際折り紙研究会を設立し、1955 年にはアムステルダム市立美術館で初の海外展を開きました。九州大学のガイドは、この机でも使う破線や一点鎖線の山谷の図記号を整え、数万の作品を生んだとしています。
• Robert J. Lang は 1990 年代初めに TreeMaker を作りました。欲しい突起の棒状の図を描くと、その影に対応する基本形の展開図を計算します。バージョン 4（1998 年）は手作業で作れなかった基本形を解き、5（2005 年）は山谷も指定しました。Lang は 1996 年の ACM Symposium on Computational Geometry で方法をアルゴリズムとして発表しました。
• DNA オリガミ。 2006 年、Paul Rothemund は約 7,000 塩基の長い DNA 鎖を、200 本以上の短い留め具の鎖で、笑顔を含む幅約 100 nm の形に折りました（Nature）。
• 自分で折り上がるロボット。 2014 年、Harvard と MIT のチーム（Felton ら、Science）は、約四分で平面から歩行ロボットへ折り上がり、歩き出すシートを作りました。
• Starshade。 宇宙望遠鏡の前を飛んで恒星の光を遮り、惑星を見えるようにする構想です。花弁を軸に巻いて打ち上げ、宇宙で開きます。NASA の技術計画 S5 は 2025 年 4 月の終了報告で技術成熟度 5 への到達を報告しました。

このページの模型の仕組み

各作品は、机に置いた紙の座標で記した動作の列です。各手順で折り線が通る面を分け、持ち上げる層からつながりをたどって動く層を求め、線で鏡映し、層番号を詰め直します。同じ処理をブラウザーと公開前に全作品を検査するプログラムで使います。

二十作品について、次を検査します。

• どの動作のどの時点でも紙の面積と各辺の長さが変わらないこと。
• すべての平坦状態で隣接面の共有辺が一致すること。
• 完成時の平坦な展開図の内部の全点で前川と川崎の定理が成立すること。
• 平坦状態で層が折り目を貫通せず、同一直線上の二つの折り目が交差しないこと。
• 各動作の標本時点で面同士が貫通しないこと。
• すべての課題を達成でき、各問題に答えがあること。
• 舞台で使うすべての資料が下に載っていること。

一部の動作は実物より簡略化しています。

• 中割り折り（白鳥とペンギンの頭、ねずみの尾、羽ばたく鳥の首・尾・頭）は、最終位置は正確ですが、途中では上の層を少し上げ、先端を紙の面内で回します。実物はひだを開き、層の間の空間を使って先端を裏返します。
• 鶴は鶴の展示独自の手順と動きを使います。上の検査は鶴の基本形までで、細くする折り、首、尾、頭はその展示の動作です。
• 風船の膨張は先述の描画で、かえるの跳躍も模型の推定です。
• 羽などの 3D 整形では、各層をそれぞれの高さの折り線で回し、曲げても層を入れ子に保ちます。

伝承のます箱は二十作品に含みません。壁を起こすとき角の折り目が同時に動きますが、舞台ではまだその動きを正直に再現できないためです。

試すこと

• コップを選び、手を有効にして矢印で進めます。逆再生で開くで開く様子も見ます。
• 作品を折って開いて調べるを押し、三つの点を調べます。
• 犬の顔ときつねの顔を続けて折ります。最初の二手は共通です。
• 折れる限界の実験で、薄紙、コピー用紙、カードが自分より高くなる回数を探します。
• 宇宙の表示で 80 度のパネルを開き、セルを 90 度にして比べます。
• 記録の鶴を表示し、カメラを回してから机へ戻ります。
• 机の周りの隠れたものを十六個探します。一つは机の下、二つは壁にあります。
• 作品一覧を上級に絞り、オレンジの印の作品を折ります。
• 手で折るで、きつねの顔を七手すべてドラッグします。
• かぶとを開き、中央の角度を足します。
• 紙の大きさを A4 の正方形にし、手元の紙に実際の紙の一辺を入れます。