Оригами: 20 моделей по шагам и их разворачивание

Квадрат, который превращается в птицу

Оригами превращает лист в фигуру складыванием, без разрезания и склеивания. Здесь двадцать моделей, от стаканчика до журавлика, и каждое движение показано вперёд и назад. Их развёрнутые схемы складок показывают, где встречаются сгибы горой и долиной.

Возьмите квадрат бумаги со стороной 15 см. Сложите его примерно тридцать раз, и получится журавлик, стоящий на столе. Вы ничего не разрезали, не склеили и не добавили. Каждая часть птицы, шея, голова, два крыла и хвост, уже находилась где-то внутри квадрата; сгибы лишь переместили её.

Этот экспонат складывает перед вами двадцать моделей по одному движению: стаканчик, самурайский шлем, мордочки собаки, лисы и кошки, тюльпан, сердце, бумажную шапку, парусник, мышь, цикаду, лебедя, пингвина, гадалку, восьмиконечную звезду, водяную бомбочку, бабочку, прыгающую лягушку, журавлика и машущую птицу. Каждую можно запустить, замедлить, пройти стрелками по шагам или воспроизвести назад, пока лист снова не станет плоским.

В начале на сцене карточка примерно за пять секунд сама складывается в прыгающую лягушку, и лягушка подпрыгивает. Затем над полосой шагов открывается галерея двадцати готовых моделей. Каждая карточка нарисована по самой сложенной модели, указывает уровень и число движений, а оранжевая метка отмечает подходящую следующую модель.

Вокруг стола есть ещё четыре объекта для изучения. Панель схемы складок показывает готовую модель в развёрнутом виде, выделяя цветом все горы и долины. Лаборатория предела складывания спрашивает, сколько раз можно сложить бумагу пополам, и следит за стопкой, пока та не превысит расстояние до Луны. Космический вид раскрывает солнечную батарею, сложенную по схеме Миуры, одним движением. Также можно показать рекордного журавлика с размахом крыльев 81,94 м или тысячу маленьких журавликов на нитях.

Как читать сгибы на сцене

В книжных схемах оригами используется небольшой набор знаков, и на сцене применяются те же обозначения.

• Сгиб долиной: синяя пунктирная линия. Бумага с одной стороны линии поднимается и перекидывается к вам, так что складка углубляется, как дно долины.
• Сгиб горой: красная штрихпунктирная линия. Бумага уходит от вас назад, а складка поднимается, как хребет.
• Стрелка: показывает, какая часть движется и куда она попадёт.
• Наметить и развернуть: бумага складывается и сразу возвращается обратно, оставляя линию для следующих действий.
• Перевернуть: вся модель переворачивается, как блин.
• Обратный сгиб: уже сложенный пополам клапан вдавливается внутрь себя (внутренний обратный сгиб) или оборачивается снаружи (внешний обратный сгиб).

Включите Руки, и появятся две руки манекена: одна держит движущийся край, другая прижимает остальную бумагу. Индикатор в углу считает участки бумаги, складки, число слоёв в самом толстом месте стопки и проверяет два закона плоского складывания в каждой точке внутри листа. Подробнее о них ниже.

Над полосой шагов расположены три кнопки. Модели открывает галерею. Складывать вручную позволяет самостоятельно протягивать бумагу через каждое движение. Развернуть и проверить раскрывает готовую модель в плоский лист с нанесёнными складками и позволяет проверить два закона плоского складывания в любой точке, которой вы коснётесь. Каждый режим объяснён ниже.

Гора и долина представляют одну складку, увиденную с противоположных сторон. Сложите долину, переверните бумагу, и складка станет горой. Поэтому каждая схема указывает, какая сторона обращена вверх; на этой странице это всегда лицевая, цветная сторона бумаги.

Двадцать моделей трёх уровней

Модели сгруппированы по требуемой аккуратности, а не по числу шагов.

Простые (★). Стаканчик требует шести движений и некоторое время удерживает воду. Самурайский шлем (кабуто) в Японии складывают ко Дню детей; если сделать его из газетного листа, он подойдёт ребёнку. Мордочки собаки, лисы и кошки начинаются с одинакового треугольника и различаются лишь положением углов: вниз по бокам мордочки для висячих ушей, снова вверх за верхний край для острых. У тюльпана два угла перекрещиваются над верхушкой, образуя лепестки. Сердце получается после двух переворачиваний и нескольких сгибов краёв к середине. Бумажная шапка представляет газетную шапку, поля которой закрепляют углы. У парусника два паруса образуются из двух слоёв одного треугольника.

Средние (★★). У цикады (сэми) сначала складываются крылья, затем полосатая голова. У лебедя сгибы воздушного змея повторяются дважды, прежде чем шея выворачивается наружу. Пингвин начинается белой стороной вверх, чтобы крылья получились тёмными. В гадалке углы дважды складывают к центру. Восьмиконечная звезда начинается так же, затем концы отгибаются наружу. У мыши один внутренний обратный сгиб поднимает хвост.

Сложные (★★★). Водяная бомбочка, бабочка и прыгающая лягушка начинаются с базовой формы «двойной треугольник», складывания по шести лучам складок, сходящимся в середине. Журавлик и машущая птица используют базовую форму «птица», для которой нужны двойной квадрат и два сгиба лепестком.

Большинство этих моделей традиционные: их складывали поколениями, а автор неизвестен. Четыре модели, парусник, пингвин, мышь и восьмиконечная звезда, представляют простые последовательности, написанные для этого экспоната, и так отмечены в коллекции. Здесь не используются модели, созданные известным по имени мастером оригами.

Движения, из которых состоит каждая модель

Двадцать моделей звучит как двадцать разных вещей, которым надо учиться, но они состоят из нескольких движений.

Сгиб долиной или горой поворачивает часть слоёв вокруг прямой на 180 градусов. Какие слои движутся, определяет сама бумага. Сгиб начинается со слоёв, которые вы поднимаете, а всё соединённое с ними с этой стороны линии следует за ними. Если эти слои где-либо соединены с другой стороной, кроме самой линии сгиба, движение разорвало бы бумагу. Программа этой страницы отказывается выполнять такой сгиб, как и бумага.

Наметить и развернуть оставляет линию на будущее. Многие сложные модели начинаются с нескольких таких действий, поскольку для последующего движения бумаге нужно заранее задать место изгиба.

Перевернуть ничего не сгибает. Это действие нужно потому, что следующий сгиб легче увидеть с другой стороны.

Обратный сгиб работает с клапаном, уже сложенным пополам. Представьте шею лебедя: два слоя соединены вдоль закрытого края, спинки. Чтобы поднять шею, слегка раскройте слои и выверните кончик вокруг спинки, так что он будет направлен вверх между ними (внутренний обратный сгиб) или обернётся вокруг них (внешний обратный сгиб). Оба слоя одновременно сгибаются по одной линии в противоположных направлениях.

Схлопывание складывает сразу несколько складок. У двойного треугольника в центре квадрата сходятся шесть лучей складок: две диагонали и одна средняя линия. Надавите на центр, и весь лист одним движением сложится в треугольник. На сцене это схлопывание вычисляется точно: благодаря симметрии одна складка остаётся в вертикальной плоскости, а углы между соседними складками определяют направление каждой другой складки при закрывании бумаги.

Сгиб лепестком и расплющивание в журавлике тоже относятся к таким движениям: несколько складок движутся одновременно, и ни одна линия не служит шарниром для всей бумаги. Журавлик на этой странице использует те же движения, что и экспонат с журавликом, где они рассчитываются как небольшие шарнирные механизмы.

Базовые формы, с которых начинаются многие модели

Мастера давно заметили, что первые шаги многих моделей совпадают. Эти общие стадии называют базовыми формами.

• Воздушный змей: два края согнуты к диагонали. Так начинаются лебедь и мышь.
• Двойной треугольник: треугольник с двумя клапанами с каждой стороны после схлопывания по шести лучам складок. Так начинаются водяная бомбочка, бабочка и прыгающая лягушка.
• Двойной квадрат (также предварительная базовая форма): маленький квадрат с четырьмя клапанами после схлопывания по диагоналям и двум средним линиям.
• Птица: двойной квадрат с двумя сгибами лепестком, длинный ромб с четырьмя концами. Так начинаются журавлик и машущая птица.

Базовые формы помогают понять устройство оригами. У формы «птица» четыре длинных конца из четырёх углов; журавлик использует два для шеи и хвоста, а два для крыльев. Машущая птица использует те же четыре конца, но шея и хвост не сужаются, поэтому её крылья могут двигаться.

Почему бумага на сцене никогда не растягивается

Бумага почти не растягивается. Если симуляция позволяет ей растягиваться, результат может выглядеть верно, но его всё равно невозможно сложить.

Программа этой страницы рассматривает лист как набор плоских участков. Перед каждым сгибом каждый пересекаемый линией участок разделяется вдоль неё, поэтому каждый участок всегда поворачивается как жёсткая пластина. Ни один не меняет форму и размер, так что площадь листа остаётся точно равной площади квадрата. Индикатор показывает это как «площадь бумаги сохранена 100 %». Каждый сгиб отражает часть участков относительно линии сгиба, а собственные края участков остаются соединёнными с соседними. Проверка каждой модели подтверждает, что в каждом состоянии складывания общие края соседних участков по-прежнему совпадают. Они совпадают с точностью до миллионной доли размера листа.

Настоящий лист имеет толщину, а реальные складки закруглены. На сцене слои разделены небольшим зазором, около 0,24 мм для квадрата 15 см, а соседние участки на разной высоте соединяются тонкими полосками, чтобы щелей не было видно. Регулятор Толщина бумаги (видимая) уменьшает или увеличивает зазор, от тонкой бумаги до картона.

Слои: какой клапан окажется сверху

Когда сгиб кладёт бумагу на бумагу, порядок слоёв важен. Согните клапан вперёд, и он ляжет поверх всего, что перекрывает; согните назад, и он окажется снизу. Обратный сгиб вставляет кончик между двумя половинами клапана.

Сцена хранит номер слоя для каждого участка. После каждого движения номера уплотняются заново, так что два участка сохраняют порядок только там, где действительно перекрываются; в остальных местах они могут находиться на одной высоте. Поэтому стопка остаётся настолько тонкой, насколько допускают сгибы.

Невозможный порядок слоёв бывает двух видов, и проверки ищут оба в каждом плоском состоянии каждой модели.

• На сгибе бумага поворачивает обратно. Если другой слой находится между двумя сторонами этого сгиба и пересекает его линию, бумага должна была бы пройти сквозь него.
• Если два сгиба лежат на одной линии и открываются в одну сторону, их диапазоны слоёв должны быть вложены друг в друга или разделены. Если они чередуются, сгибы прорезали бы друг друга.

У всех двадцати моделей каждое плоское состояние проходит обе проверки. Проверки также исследуют несколько моментов каждого движения и ищут прохождение одного участка сквозь другой. Два вида движений показаны проще, чем их выполняет бумага; см. ниже «Как работают модели на этой странице».

Теорема Маэкавы

Разверните любую плоскую модель оригами и рассмотрите точку внутри листа, где сходятся складки. Посчитайте горы и долины. Разность всегда равна двум.

Почему? Сложите бумагу плоско и вырежьте вокруг этой точки крошечный круг. Его край теперь представляет плоский зигзаг, как сложенный веер сверху. При обходе каждая долина разворачивает край в одну сторону, а гора в другую. Край делает полный оборот, и повороты должны соответственно суммироваться. Расчёт даёт M − V = 2 или M − V = −2 в зависимости от стороны наблюдения. Обзор Томаса Халла приводит это доказательство, приписывая его Сивановичу, вместе с историей теоремы.

Отсюда следует, что в каждой внутренней точке плоского сгиба сходится чётное число складок: M + V = (M − V) + 2V, а M − V равно плюс или минус 2.

Включите Маэкава и Кавасаки в каждой точке. Каждая внутренняя точка схемы на панели получает метку, зелёную при успехе и красную при нарушении, и два числа: горы и долины. Во всех двадцати моделях каждая точка проходит проверку. В базовой форме журавлика «птица» есть точка с 4 горами и 2 долинами, а также точки, через которые просто проходит прямая складка из 2 гор.

Теорема Кавасаки

Маэкава считает складки; Кавасаки измеряет углы между ними. Вокруг точки схождения пронумеруйте углы между соседними складками: 1, 2, 3 и далее. Точка может сложиться плоско, только если сумма нечётных углов равна 180 градусам, как и сумма чётных.

Здесь тоже есть короткое объяснение. Сгиб отражает бумагу с одной стороны на другую. Обойдите точку, пересекая каждую складку: каждое пересечение представляет одно отражение, и после полного обхода нужно вернуться в исходное положение. Два последовательных отражения дают поворот на удвоенный угол между линиями, поэтому полный обход даёт поворот на удвоенную знакопеременную сумму углов. Для возвращения в исходное положение эта сумма должна быть нулевой: a1 − a2 + a3 − a4 и так далее равно 0. Поскольку все углы в сумме дают 360 градусов, это равносильно сумме 180 для каждой чередующейся группы.

Теорема Кавасаки полностью отвечает на вопрос для одной изолированной точки: если знакопеременная сумма нулевая, существует способ сложить эту точку плоско. Курс MIT 6.849 «Geometric Folding Algorithms» рассматривает обе теоремы в третьей лекции, а более поздние слайды отмечают, что Маэкава и Кавасаки открыли их в начале 1980-х годов.

Вопросы лаборатории под регуляторами посвящены обеим теоремам, и на каждый можно ответить только по его тексту. Вопрос Маэкавы задаёт число складок в точке и указывает, какой вид преобладает; поскольку разница равна 2, преобладающий вид насчитывает (n + 2) / 2 складок. Вопрос Кавасаки перечисляет четыре угла по часовой стрелке от направленной вверх складки, заменяет один вопросительным знаком и рисует точку рядом. Недостающий угол равен 180 градусам минус противоположный угол.

Когда местных правил недостаточно

Маэкава и Кавасаки рассматривают по одной точке. Схема может удовлетворять обеим теоремам в каждой точке, но всё равно не складываться плоско, потому что слои в одной точке блокируют слои в другой.

В 1996 году Маршалл Берн и Барри Хейз доказали, что определение возможности плоского складывания схемы в общем случае NP-трудно и что даже поиск допустимого порядка слоёв при заданных горах и долинах NP-труден. На практике это означает, что никто не знает быстрого метода для каждой большой схемы и, вероятно, такого метода нет.

Сцене не требуется решать эту задачу, поскольку она никогда не начинает с одной лишь схемы. Она складывает шаг за шагом, как человек, и каждый шаг определяет положение слоёв. Затем проверки подтверждают соблюдение местных законов и правил слоёв.

Выбор модели и следующего задания

Галерея показывает все двадцать готовых моделей сразу. Картинки не являются фотографиями: каждая нарисована по той же сложенной модели, которую использует сцена, причём каждый участок расположен там, где его оставило последнее движение, и закрашен в зависимости от обращённой к вам стороны. Метки вверху фильтруют уровень, а каждая карточка указывает число движений на этой странице.

Оранжевая метка Следующая следует простому правилу. Пока вы не завершили две простые модели, она указывает простую, затем среднюю, пока не будут готовы две средние, затем сложную. Внутри уровня выбирается ещё не сложенная модель с наименьшим числом движений. Учитываются лишь модели, сложенные вами: начальная лягушка и демонстрации экскурсии складываются сами и не попадают в коллекцию. После завершения модели короткое сообщение называет следующую рекомендацию.

Число движений лишь приблизительно отражает сложность. Парусник требует пяти движений, бумажная шапка семи, но её последний шаг, закрепление полей, требует большей аккуратности, чем любое действие с парусником. Уровень определяется тонкостью движений, поэтому звезда из 15 движений средняя, а лягушка из 10 сложная.

Складывание собственной рукой

Включите Складывать вручную, и камера перестанет вращаться: перетаскивание на сцене теперь двигает бумагу. Ведите вдоль оранжевой стрелки текущего движения, и клапан последует за указателем. Отпустите после середины, и сгиб останется; отпустите раньше, и он вернётся обратно. Потяните в другую сторону, и предыдущее движение раскроется. Короткая надпись считает выполненные вручную движения.

Направление перетаскивания вычисляется из самого движения: стрелка идёт от центра движущихся участков к центру их конечного положения, а сцена проецирует её на экран при любом положении камеры. У переворачивания и поворота бумаги стрелки нет, поэтому для них нужно тянуть вбок.

Сложить так целую модель составляет одно из заданий. Это помогает заметить то, что скрывает кнопка воспроизведения: как далеко проходит клапан при обратном сгибе и сколько слоёв движется вместе при схлопывании.

Разворачивание модели и проверка точки

Развернуть и проверить воспроизводит модель назад до плоского листа и наносит готовую схему прямо на бумагу: долины синим пунктиром, горы красным штрихпунктиром и зелёную точку в каждом месте внутри листа, где сходятся четыре или более складок. Коснитесь точки, и откроется её карточка. Она считает горы и долины и показывает разницу 2. Она рисует точку со всеми подписанными углами, читает их по часовой стрелке от направленной вверх складки и складывает через один: обе суммы равны 180 градусам. Стрелки карточки перебирают точки, а проверенные метки становятся фиолетовыми.

Самурайский шлем хорошо подходит для первого разворачивания. В центре шесть складок: сверху видны 2 горы и 4 долины (с цветной лицевой стороны 4 и 2). Углы идут как 90, 45, 45, 90, 45 и 45 градусов: 90 + 45 + 45 = 180 и 45 + 90 + 45 = 180. Две другие точки тоже содержат шесть складок с углами примерно 26, 64 и 90 градусов. Проверка трёх разных точек одной модели составляет задание.

Некоторые модели, включая шлем, начинаются белой стороной вверх. Схема показана сверху, поэтому у них гора с лицевой стороны отображается как долина; при открытии об этом сообщает примечание. Это прежнее правило: гора с другой стороны выглядит долиной.

У журавлика есть собственный экспонат, который складывает его по движениям и читает схему по линиям: Как сложить бумажного журавлика и прочитать его схему складок. Здесь журавлик один из двадцати, и его схема подходит для вопроса Узнать схему: сложенные стаканчик и мордочка собаки совсем не похожи, но обе схемы состоят из нескольких линий поперёк квадрата.

Сколько раз можно сложить бумагу пополам?

Существует старое утверждение, что бумагу нельзя сложить пополам более семи или восьми раз. Это неверно, но близко к пределу для обычного листа в обычных руках, поскольку каждый сгиб удваивает толщину и вдвое уменьшает размер.

Начните с офисной бумаги толщиной 0,1 мм. Сложите один раз: 2 слоя, 0,2 мм. Сложите 7 раз: 128 слоёв, 12,8 мм, довольно толстая для своего размера стопка, если начать с листа A4. К этому моменту бумага слишком толста для своей длины, чтобы обогнуть стопку.

27 января 2002 года Бритни Галливан, старшеклассница из Помоны в Калифорнии, сложила один лист пополам 12 раз. Guinness World Records указывает это как рекорд по числу складываний листа бумаги. Она использовала очень длинную полосу, всегда складывая в одном направлении, и выяснила, почему ограничением служит длина: при каждом сгибе внешние слои должны обходить внутренние, расходуя бумагу. Её формула длины полосы для n складываний бумаги толщиной t:

L = (π t / 6) (2^n + 4) (2^n − 1).

Для офисной бумаги 12 складываний требуют полосы длиной около 879 м. Лаборатория показывает это число для выбранной бумаги и числа складываний.

Выберите Бумага для проверки сгибов и Складываний пополам в регуляторах или воспользуйтесь кнопками минус и плюс в лабораторном виде. Стопка растёт рядом с человеком у стола: 12 складываний офисной бумаги дают 4096 слоёв и толщину около 41 см. Основание стопки нарисовано шириной не менее 4 см для видимости; настоящий лист 30 см, сложенный 12 раз, имел бы ширину всего несколько миллиметров.

Складывание до Луны

Продолжайте удваивать, и числа быстро вырастут.

После 14 сгибов стопка примерно с человека; после 27 выше Эвереста; после 42 она превысила бы среднее расстояние до Луны, 384 400 км (NASA). Никто не может это сделать. Чтобы сложить что-либо 42 раза, понадобился бы лист больше любого возможного, а полоса по формуле Галливан была бы нелепо длинной. Таблица посвящена удвоению, а не бумаге.

Лаборатория называет самый высокий объект, который превысила стопка: человека, трёхэтажный дом, Lotte World Tower, Эверест, космическую станцию, Луну и наконец Солнце. Найдите число сгибов, при котором офисная бумага превысит расстояние до Луны, чтобы получить звезду «До Луны».

Складка Миуры: карта, раскрывающаяся одним движением

В 1985 году Корё Миура из японского Института космических и астронавтических наук опубликовал способ упаковки больших тонких листов для космоса. Лист разделён на ряды слегка наклонённых параллелограммов: складки в одном направлении прямые, в другом зигзагообразные. JAXA Space Education Center описывает результат просто: лист складывается в компактный пакет и плавно раскрывается, если потянуть за конец.

Её особенность в единственной степени свободы. В листе из 64 ячеек одно число определяет форму всего листа; измените его, и все ячейки сдвинутся вместе. Лист Миуры на сцене вычисляется именно так. Каждый угол сетки определяется тремя длинами: высотой зигзага, шагом в одном направлении и смещением в другом. Выберите высоту, и два других значения следуют из длин сторон параллелограммов, так что каждая ячейка остаётся плоской, а каждая складка сохраняет длину на всех стадиях.

Попробуйте Угол ячейки Миуры. При 80 градусах ячейки представляют наклонённые параллелограммы, и лист складывается сразу в двух направлениях. Установите 90 градусов, и ячейки станут прямоугольниками. Теперь лист может складываться лишь в одном направлении за раз: материал JAXA подчёркивает, что прямоугольный вариант не раскрывается плавно. Именно наклон связывает два направления.

Марк Шенк и Саймон Гест из Кембриджа подробно описали геометрию листов Миуры в 2013 году и показали, как складывание меняет их жёсткость. Такие листы также изучают как механические метаматериалы, поведение которых определяется сгибами, а не веществом, из которого они сделаны.

Оригами в космосе

Space Flyer Unit запустили с Танэгасимы 18 марта 1995 года и вернули на Землю шаттлом в миссии STS-72 в январе 1996 года. Одним из экспериментов была двумерная солнечная батарея, панель со складкой Миуры, раскрывшаяся на орбите. Страница миссии JAXA ISAS перечисляет её среди экспериментов, давших результаты.

В 2014 году Лаборатория реактивного движения NASA и Университет Бригама Янга показали другую батарею оригами, созданную вместе с мастером Робертом Лэнгом. Она складывается в пакет поперечником около 2,7 м и раскрывается до 25 м; настольная модель раскрывается до 1,25 м. Статья JPL подчёркивает то же, что складка Миуры: при правильных сгибах одного движения за угол достаточно, чтобы раскрыть всё.

Космический телескоп «Джеймс Уэбб» тоже летел сложенным. Его солнцезащитный экран, пять тонких слоёв размером примерно с теннисный корт, сложили и упаковали для размещения внутри ракеты, а затем раскрыли в космосе. Это не схема складок такого типа, как на этой странице, но задача та же: большая тонкая поверхность должна путешествовать компактно.

Оригами внутри тела

Складывание полезно и на другом конце шкалы размеров. В 2006 году Каори Курибаяси и коллеги из Оксфордского университета и Японии описали стент-графт из тонкой фольги сплава с памятью формы, сложенный по схеме оригами так, чтобы его можно было провести по кровеносному сосуду в сжатом виде, а затем раскрыть при температуре тела. Фольгу протравили вдоль линий сгиба, чтобы она гнулась только там, а не где-либо ещё; это та же идея, которую использует сцена: жёсткие панели, соединённые складками.

Тысяча журавликов

Сэмбадзуру представляет тысячу журавликов, нанизанных на нити, которую дарят с пожеланием выздоровления или мира. Их часто подвешивают на 25 нитях по 40 штук; именно так сцена располагает их при включении Тысяча журавликов. На быстром компьютере сцена рисует все 1000, на медленном 300.

Самая известная история связана с Хиросимой. Садако Сасаки было два года, когда 6 августа 1945 года на город упала атомная бомба. В двенадцать она заболела лейкемией и в больнице складывала бумажных журавликов, больше тысячи; когда она умерла, в её комнате было 1300 журавликов. US National Park Service рассказывает её историю и то, как одноклассники собрали средства на Детский памятник мира, стоящий в Хиросиме с 1958 года.

Сколько времени тысяча займёт у вас? Guinness World Records указывает самое быстрое изготовление 100 журавликов оригами: 40 минут 35 секунд, Ёнэяма Юити в Нагое в 2010 году, в среднем 24,35 секунды на одного. Самое быстрое изготовление 1000: 9 часов 31 минута 13 секунд, Эвелин Чиа в Колчестере в 2021 году. Введите своё время на одного журавлика в лаборатории под регуляторами, и она рассчитает сэмбадзуру: при трёх минутах на журавлика это 50 часов складывания или 50 дней по часу в день.

Самый большой журавлик

Включите Рекордный журавлик в полный рост. За комнатой появится журавлик с размахом крыльев 81,94 м, крупнейший журавлик оригами в Guinness World Records. Его сложили 800 участников Peace Piece Project в Университете Хиросима Сюдо 29 августа 2009 года из листа 100 м на 100 м, собранного из меньших частей клейкой лентой. Геодезист измерил размах крыльев триангуляцией.

Рост человека у стола 1,7 м. Сторона листа рекордного журавлика составляла 100 м, примерно в 670 раз больше стороны квадрата 15 см на столе, а площадь была примерно в 440 000 раз больше.

Откуда взялись модели

История оригами полна догадок, поэтому здесь приведено лишь подтверждённое источниками.

Журавлик существует давно. Историк оригами Дэвид Листер, заметки которого хранит British Origami Society, писал, что Сатоси Такаги проследил изображения журавлика до начала XVII века, когда он уже был устоявшейся моделью.

Старейшая известная японская книга развлекательного оригами Hiden Senbazuru Orikata («Секрет складывания тысячи журавликов») показывает 48 моделей журавликов из одного листа, остающихся соединёнными друг с другом, с шуточными стихами. Путеводитель библиотеки Университета Кюсю сообщает, что модели придумал Гидо, буддийский монах из Куваны, а отобрал и назвал писатель Акисато Рито. Путеводитель датирует книгу 1789 годом, хотя широко приводится и 1797 год. Источники расходятся, поэтому экспонат указывает обе даты.

Машущая птица остаётся загадкой. Она похожа на близкую родственницу журавлика, но Листер отмечал, что японские мастера, которым её показывали, часто говорили, что никогда её не видели. Гершон Легман писал, что японские сценические фокусники привезли её на Запад в 1870-х или 1880-х годах; Листер проследил утверждение до газетной статьи 1936 года и не счёл его убедительным. Происхождение до сих пор неизвестно.

Водяная бомбочка, прыгающая лягушка, самурайский шлем и бумажная шапка традиционные: их складывают во многих странах, а авторы неизвестны. Общества оригами, включая Nippon Origami Association, OrigamiUSA и British Origami Society, хранят схемы и истории таких моделей.

Пружина прыгающей лягушки

Прыгающую лягушку складывают из карточки, здесь с пропорциями учётной карточки 3 на 5. Спереди находится двойной треугольник с загнутыми вверх передними лапами. Задняя часть складывается вверх, затем наполовину обратно вниз, образуя Z-образную складку. Прижмите задний край и отпустите, и складка распрямится, выбрасывая лягушку вперёд.

На сцене Подпрыгнуть использует простую модель этой пружины: жёсткость около 30 Н/м, масса около 1 г и угол отрыва 40 градусов, а сжатие зависит от силы нажатия. Получаются прыжки примерно от 5 до 30 см, что соответствует диапазону бумажных лягушек, но это оценка, а не измерение; настоящие лягушки зависят от карточки, резкости складок и нажатия. Добейтесь прыжка более 10 см для звезды «Прыжок лягушки».

Надувание водяной бомбочки

Водяная бомбочка складывается плоско, затем надувается через маленькое отверстие снизу. Бумага раздувается в приблизительный куб. Настоящая бумага при этом немного изгибается и мнётся по новым линиям, чего модель жёстких участков показать не может. Поэтому последний шаг на сцене плавно заменяет сложенную бумагу нарисованной надутой формой того же цвета. Предыдущее складывание точное; надувание представляет рисунок.

У настоящей водяной бомбочки перед надуванием также заправляют два маленьких кончика в карманы, чтобы она оставалась закрытой. Сцена останавливается до этих действий.

Вы и бумага

Откройте Я в углу сцены. Введите свой рост, и человек у стола станет вашего размера. Примечание вычислит, сколько раз нужно сложить пополам бумагу, выбранную в лаборатории предела складывания, чтобы получить стопку вашего роста: офисной бумаге толщиной 0,1 мм нужно 15 сгибов для человека ростом 1,7 м, поскольку 14 сгибов дают лишь 1,6 м. Примечание также укажет время на тысячу журавликов при скорости, введённой в лаборатории.

Размер и вид бумаги

Два регулятора меняют лист. Размер листа задаёт квадрат от 7,5 см до 35 см, включая 21 см, наибольший квадрат из A4 (210 на 297 мм). Бумага на столе растёт или уменьшается вместе с ним, а индикатор показывает размеры листа и готовой фигуры в сантиметрах. Лягушка складывается из карточки, поэтому ширина её листа составляет три пятых длины.

Вид бумаги меняет внешний вид листа и нарисованную толщину. Бумага для оригами цветная с одной стороны и белая с другой, поэтому многие модели показывают обе: пингвин начинается белой стороной вверх, чтобы крылья стали тёмными. Двухцветная бумага окрашена с обеих сторон. Васи светлая и волокнистая насквозь, её рисуют немного толще. Фольгированная бумага блестит и прочно держит сгиб; её рисуют тоньше. Офисная бумага белая с обеих сторон. Вид не меняет последовательность сгибов и готовый размер, только внешний вид и нарисованную толщину слоёв.

Ваша бумага: какого размера будет модель?

Под регуляторами раздел Ваша бумага запрашивает сторону имеющегося квадрата и перечисляет готовые размеры всех двадцати моделей. Это модельные значения: размер плоско сложенной сценической модели, масштабированный под ваш лист. Настоящая бумага немного теряет на каждом сгибе, поэтому реальная модель получается чуть меньше, особенно при множестве слоёв.

Из квадрата 15 см сцена получает такие готовые размеры: стаканчик около 8,8 на 6,2 см, самурайский шлем 10,6 на 5,5 см, журавлик 14,2 см по самой длинной стороне, прыгающая лягушка 7,5 на 4,5 см из карточки 9 на 15 см, парусник 21,2 см по диагонали. Большинство моделей составляют от 50 до 75 процентов стороны листа. Гадалка, водяная бомбочка до надувания, бабочка и лягушка составляют примерно половину.

Вторая строка работает в обратном направлении: выберите модель и желаемую длину, и она укажет исходный квадрат. Журавлику длиной 10 см нужен квадрат со стороной около 10,6 см.

Атлас оригами

Под заданиями Атлас оригами собирает 26 статей об истории, людях, математике и инженерии складывания, каждую с источником. Фильтруйте по виду или ищите, откройте статью для чтения; некоторые статьи меняют сцену: теорема Маэкавы раскрывает шлем, складка Миуры переводит в космический вид, крупнейший журавлик показывает рекордную фигуру. Несколько статей:

• Фридрих Фрёбель открыл первый детский сад в Германии в 1840 году и включил складывание бумаги, Das Falten, в его занятия. Путеводитель библиотеки Университета Кюсю отмечает, что его парусник совпадает с японской моделью и что эти модели попали в Японию в конце 1800-х годов. Парусник на сцене представляет именно эту модель.
• Акира Ёсидзава родился 14 марта 1911 года в Каминокаве, префектура Тотиги, и умер в день своего 94-летия в 2005 году. Он основал Международный центр оригами в 1954 году, когда вышла его первая книга, а первая зарубежная выставка прошла в Stedelijk Museum Amsterdam в 1955 году. Путеводитель Университета Кюсю приписывает ему обозначения гор и долин, пунктирные и штрихпунктирные линии на этом столе, и сообщает, что он создал десятки тысяч моделей.
• Роберт Дж. Лэнг написал TreeMaker в начале 1990-х годов. Вы рисуете палочковую схему нужных клапанов, а программа вычисляет складки базовой формы, чья тень соответствует рисунку. Версия 4 (1998) рассчитывала базовые формы, которые нельзя построить вручную, а версия 5 (2005) также назначает каждой складке гору или долину. Лэнг описал метод как алгоритм на ACM Symposium on Computational Geometry в 1996 году.
• ДНК-оригами. В 2006 году Пол Ротемунд сложил одну длинную нить ДНК, около 7000 оснований, с помощью более 200 коротких нитей-скрепок в фигуры поперечником около 100 нм, в том числе улыбающиеся лица (Nature).
• Самоскладывающийся робот. В 2014 году команда Гарварда и MIT (Фелтон и другие, Science) создала плоский лист, который примерно за четыре минуты сам сложился в ползающего робота и ушёл.
• Starshade. Такой экран должен лететь перед космическим телескопом и закрывать свет звезды, чтобы стали видны её планеты. Его лепестки оборачиваются вокруг ступицы для запуска и раскрываются в космосе. Проект технологии Starshade NASA, S5, сообщил о достижении уровня технологической готовности 5 при завершении в апреле 2025 года.

Как работают модели на этой странице

Каждая модель представляет список движений в координатах бумаги на столе. Для каждого движения программа разделяет пересечённые линией участки, находит движущиеся слои, расширяя область от поднятых, отражает их относительно линии и заново уплотняет номера слоёв. Один и тот же код работает в браузере и в проверочной программе, которая проходит все модели перед публикацией страницы.

Проверочная программа проверяет для всех двадцати моделей:

• площадь бумаги не меняется и ни один край не меняет длину ни в один момент любого движения;
• общие края соседних участков продолжают совпадать в каждом плоском состоянии;
• каждая внутренняя точка схемы готового плоского состояния удовлетворяет теоремам Маэкавы и Кавасаки;
• ни одно плоское состояние не помещает слой сквозь сгиб и никакие два сгиба на одной линии не пересекаются;
• в выбранные моменты каждого движения ни один участок не проходит сквозь другой;
• каждое задание выполнимо и у каждого вопроса есть ответ;
• каждый источник, используемый на сцене, перечислен ниже.

Некоторые движения показаны проще, чем их выполняет бумага.

• Внутренние обратные сгибы (голова лебедя, голова пингвина, хвост мыши, шея, хвост и голова машущей птицы) заканчиваются в точном сложенном положении, но по пути кончик скользит в плоскости бумаги, а слои над ним немного поднимаются. Настоящая бумага раскрывает клапан и выворачивает кончик через пространство между слоями.
• Журавлик использует последовательность и движения собственного экспоната. Перечисленные проверки применяются к нему до базовой формы «птица»; сужения, шея, хвост и голова относятся к движениям того экспоната.
• Надувание водяной бомбочки нарисовано, как описано выше, а прыжок лягушки представляет модельную оценку.
• Крылья и другие объёмные формы поворачивают каждый слой вокруг линии сгиба на его собственной высоте, так что слои остаются вложенными при изгибе.

Бумажной коробочки (традиционной масу) среди двадцати нет. Её стенки поднимаются со складками по углам, которые движутся вместе, а сцена пока не умеет честно это анимировать.

Что попробовать

• Выберите стаканчик, включите Руки и пройдите шаги стрелками. Затем включите Разворачивать назад и наблюдайте раскрытие.
• Сложите любую модель, нажмите Развернуть и проверить и коснитесь трёх точек.
• Сложите мордочки собаки и лисы одну за другой. Их первые два движения одинаковы.
• В лаборатории предела складывания найдите число сгибов тонкой бумаги, офисной бумаги и картона для стопки выше вас.
• В космическом виде раскройте батарею при 80 градусах, затем установите угол ячейки 90 и попробуйте снова.
• Включите рекордного журавлика и поверните камеру вокруг него. Затем вернитесь к столу.
• Найдите все шестнадцать скрытых вещей вокруг стола. Одна под ним, две висят на стене.
• Откройте Модели, выберите сложные и сложите модель с оранжевой меткой.
• Включите Складывать вручную и протяните мордочку лисы через все семь движений.
• Разверните самурайский шлем и сложите углы в его центре.
• Установите Размер листа на квадрат A4, затем введите сторону своего листа в Ваша бумага.