Степени десяти: от протона до наблюдаемой Вселенной

Во сколько раз Вселенная больше протона?

Поперечник протона составляет около 1,68 фемтометра, или 1,68 × 10⁻¹⁵ м. Поперечник наблюдаемой Вселенной составляет около 93 миллиардов световых лет, или 8,8 × 10²⁶ м. Если разделить одно на другое, получится число из 42 цифр. После первых нескольких нулей такие числа перестают что-либо говорить, поэтому этот экспонат использует приём Чарльза и Рэй Имз из их фильма 1977 года: движение десятикратными шагами. Каждый шаг расширяет поле зрения в десять раз. Сорок два шага ведут изнутри протона к краю всего, что мы можем видеть.

По пути вы проходите через 24 вложенные сцены и 115 объектов с измеренными размерами. Сцены представляют собой трёхмерные модели, построенные программным кодом, и каждая находится внутри следующей, более крупной: кварки внутри протона, протон в центре атома водорода, атом на нити ДНК, ДНК, упакованная в головке вируса, вирус, стоящий на бактерии, бактерия на волосе, волос под муравьём, муравей у ног человека, и так далее до Млечного Пути в его группе галактик и этой группы внутри сверхскопления. Каждый размер на сцене взят у названного учреждения или из опубликованной статьи; источники перечислены в конце этой страницы.

У сцены три панели. Путеводитель проводит через 19 остановок. Список частей содержит названия всех моделей; выберите одну, чтобы перелететь к ней. Вкладка управления содержит настройки линейки, карточку текущей сцены, шесть заданий, инструмент сравнения любых двух объектов и полный каталог размеров.

Почему шкала должна быть логарифмической

На обычной линейке каждый сантиметр добавляет одинаковую длину. На линейке внизу сцены каждая отметка умножает размер на десять. Отметка 10⁰ означает один метр, 10³ означает километр, а 10⁻³ означает миллиметр. Это логарифмическая шкала: равные расстояния обозначают равные отношения, а не равные разности.

Попробуйте изобразить тот же путь в обычном масштабе, и причина станет понятна. Если бы атом водорода на экране имел ширину один миллиметр, волос имел бы толщину около 850 метров, а рост человека составлял бы около 16 000 км, больше поперечника Земли. Оба конца никак не поместились бы вместе. На логарифмической линейке протон, человек и Вселенная получают одинаковое пространство. Серые штрихи прямо над линией показывают положения всех объектов каталога; они довольно равномерно распределены от 10⁻¹⁵ до 10²⁷, потому что измеренные людьми вещи распределены равномерно именно в этом смысле, а не в метрах.

Степень десяти на индикаторе обозначает ширину поля зрения. При показании 10⁷ м сцена охватывает участок поперечником около десяти тысяч километров, чуть меньше поперечника Земли. Вторая строка показывает ту же ширину в привычных единицах, рассчитанную по реальному полю зрения камеры на вашем экране. Телефон в вертикальном положении показывает более узкую полосу, чем широкий монитор, поэтому две строки могут не вполне совпадать с отметкой линейки; линейка задаёт истинный масштаб, а вторая строка показывает, что помещается на экране.

Как вместить 42 порядка величины на одном экране

Компьютерной графике трудно работать с очень большими и очень маленькими числами в одной сцене. Видеокарты хранят координаты как 32-битные числа с плавающей точкой, сохраняющие около семи значащих цифр. Поместите протон и галактику в одну систему координат, измеряемых в метрах, и координата протона округлится до нуля. Буфер глубины, определяющий, какая поверхность находится впереди, сталкивается с той же проблемой: две поверхности на почти одинаковом расстоянии мерцают, поскольку видеокарта не может выбрать между ними. Это мерцание называется z-fighting.

Экспонат обходит обе проблемы, вообще не храня метры. Камера остаётся на месте, а масштабирование меняет одно число, показатель степени десяти. Каждая модель построена в собственных единицах, где одна единица равна реальному размеру объекта: 1,68 фм для протона, 2,5 нм для ДНК и 12 742 км для Земли. В каждом кадре масштаб каждой модели равен её реальному размеру, делённому на текущую ширину поля зрения. Модель показывается только тогда, когда этот масштаб находится примерно между одной тысячной и несколькими десятками. За пределами этого диапазона она либо меньше нескольких пикселей, либо настолько велика, что камера оказалась бы внутри неё, поэтому модель скрывается. Таким образом, числа, отправляемые видеокарте, всегда остаются примерно между одной тысячной и сотней.

Вложение работает через одну общую точку. У каждой модели есть опорная точка, место внутри неё, где находится следующая меньшая модель, и эта точка всегда помещается в центр сцены. У фага это середина головки, где упакована ДНК. У бактерии это точка непосредственно над верхней поверхностью, где фаг стоит на хвосте. У Земли это Сеул, повёрнутый вверх. Поскольку меньший объект касается родительского в этой точке, две поверхности могли бы соперничать за одни пиксели, поэтому каждая модель сдвигает свою глубину назад на величину, растущую с её размером, и меньшая модель всегда получает преимущество.

Сорок два порядка величины потребовали бы хранить сразу очень много геометрии. Экспонат этого не делает. Модель создаётся только тогда, когда линейка приближается примерно на один порядок к диапазону её видимости, и снова разбирается с освобождением фигур, цветов и текстур, когда линейка отдаляется на три порядка. В любой момент существуют от трёх до шести из 24 моделей. Движение от одного конца линейки к другому последовательно создаёт и освобождает каждую модель, поэтому телефон хранит примерно столько же, сколько тогда, когда экспонат показывал лишь 15 объектов.

Вниз: от двух людей к трём кваркам

Два человека, 10⁰ м. Путь начинается с мужчины и женщины среднего для Кореи роста: 172,5 см и 159,6 см по 8-му обследованию Size Korea, проведённому Korean Agency for Technology and Standards. Они изображены простыми силуэтами, без лиц и одежды, потому что здесь важен их размер. Они стоят на плитках шириной ровно один метр; на земле лежат метровая полоска и футбольный мяч размера 5 поперечником около 22 см.

В десять и в сто раз меньше. При 10⁻¹ м футбольный мяч занимает часть поля зрения, а ступни людей огромны. При 10⁻² м на земле лежит монета в 500 вон поперечником 26,5 мм по данным Bank of Korea. Рядом среди песчинок идёт дерновый муравей длиной 4,8 мм. Его длину приводит программа борьбы с вредителями University of California, а шкала размеров зёрен US Geological Survey относит к песку частицы от 0,0625 до 2 мм.

Волос и клетки крови, 10⁻⁴ м. Под муравьём лежит волос толщиной 90 мкм. National Nanotechnology Initiative указывает для человеческого волоса от 80 000 до 100 000 нм, а для листа бумаги толщину около 100 000 нм, так что волос и страница примерно одинаковы. На волосе лежит бактерия E. coli длиной 2 мкм и шириной 1 мкм (BioNumbers), рядом с эритроцитами поперечником около 7,5 мкм.

Вирус на бактерии, 10⁻⁷ м. На бактерии стоит фаг T4, вирус, заражающий E. coli. Его головка представляет собой вытянутый икосаэдр длиной 120 нм и шириной 86 нм (Rao and Black, 2010), а длина хвоста составляет около 113 нм (BioNumbers). Шесть хвостовых фибрилл тянутся к клеточной стенке. Длины волн видимого света составляют от 380 до 700 нм, поэтому фаг меньше одной волны света, которым вы пытались бы его рассмотреть. Именно поэтому вирусы увидели только после появления электронных микроскопов. Для сравнения, вирус, вызывающий COVID-19, на электронно-микроскопических изображениях имеет размер от 60 до 140 нм.

ДНК и вода, 10⁻⁸ м. Внутри головки фага ДНК плотно свёрнута. Вблизи она превращается в двойную спираль шириной 2,5 нм, делающую один оборот каждые 3,4 нм с десятью парами оснований на виток; этот период описали Уотсон и Крик в 1953 году. Вокруг плавают маленькие изогнутые молекулы. Это вода: расстояние между кислородом и водородом составляет 95,78 пм, а угол между двумя связями равен 104,5 градуса по данным NIST.

Атом водорода, 10⁻¹⁰ м. Один атом водорода находится на остове ДНК. NIST приводит боровский радиус 5,29177210544 × 10⁻¹¹ м, а модель принимает удвоенную величину, около 0,106 нм, за поперечник атома. Точки распределены по формуле вероятности для электрона в основном состоянии, поэтому они сгущаются около одного боровского радиуса и редеют за его пределами. Красный шар в середине обозначает ядро и нарисован чрезмерно большим.

Пустое пространство, от 10⁻¹¹ до 10⁻¹³ м. Продолжайте приближать, и почти ничего не произойдёт. Электронное облако расширяется, пока не остаётся лишь несколько точек, а середина остаётся пустой. Это самый достоверный участок пути. Если бы протон был шариком поперечником 1 см, атом водорода имел бы ширину около 630 м. Найти протон помогает только мягкое свечение, которое модель добавляет вокруг него.

Внутри протона, 10⁻¹⁵ м. На нижнем конце линейки протон заполняет поле зрения. CODATA 2022 указывает его зарядовый радиус 0,84075 фм, поэтому поперечник составляет около 1,68 фм. Внутри находятся два верхних и один нижний кварк, удерживаемые глюонами, здесь изображёнными волнистыми нитями. Измеренного размера у кварков нет, поэтому цветные шарики лишь отмечают их положение. Бледные точки вокруг обозначают короткоживущие кварковые пары, которыми, согласно физическому описанию, наполнен протон.

Вверх: от башни к краю видимого

Башня и поле, от 10² до 10³ м. Снова поднимаясь выше людей, мы видим Lotte World Tower высотой 554,5 м и в 123 этажа (CTBUH). Рядом в том же масштабе находятся футбольное поле длиной 105 м, Airbus A380 длиной 72,72 м, показанный сверху, и бледный контур Бурдж-Халифы высотой 828 м. Линии на земле рядом с людьми показывают тираннозавра SUE длиной 12,3 м (Field Museum указывает 40,5 фута) и синего кита длиной 33,5 м (NOAA указывает до 110 футов).

Сеул и Корея, от 10⁴ до 10⁵ м. Сеул заполняет поле зрения в виде диска своей реальной площади 605,24 км², пересечённого рекой Ханган. Бледный конус у края обозначает Эверест высотой 8848,86 м в том же масштабе: около трети ширины Сеула. Немного шире появляется Корея: зарегистрированная территория Южной Кореи площадью 100 472,4 км² и Халласан на Чеджу высотой 1947,06 м.

Земля и её спутники, от 10⁶ до 10⁷ м. Средний поперечник Земли равен 12 742 км. Три кольца показывают орбиты: космической станции на высоте около 400 км, спутников GPS примерно на 20 200 км и геостационарных спутников на 35 786 км над экватором. Станция находится вчетверо выше линии 100 км, используемой для регистрации космических рекордов, но её кольцо так близко к поверхности, что для их разделения нужно приблизить изображение.

Луна и Солнце, от 10⁸ до 10⁹ м. За одну секунду свет проходит 299 792 458 м; жёлтая отметка на линии к Луне показывает это расстояние. Луна немного дальше, на расстоянии 384 400 км, и в промежутке помещается около 30 Земель. Солнце поперечником 1 391 400 км для сравнения нарисовано вокруг Земли, и вся орбита Луны помещается внутри него.

Планеты, от 10¹¹ до 10¹³ м. Ещё дальше Солнце сжимается в точку и появляются орбиты планет с реальными размерами из справочных таблиц NASA. Земля находится в одной астрономической единице от Солнца, ровно в 149 597 870 700 м с тех пор, как International Astronomical Union закрепил это значение в 2012 году. Марс обращается на расстоянии 228 миллионов км. Пунктирная окружность показывает размер Бетельгейзе: по данным NASA, если бы она заменила Солнце, её поверхность вышла бы за орбиту Юпитера. Дальше находятся Нептун на расстоянии 4515 миллионов км и наклонённая орбита Плутона со средним расстоянием 5906,4 миллиона км.

Край солнечного пузыря, 10¹⁴ м. Пояс Койпера из ледяных тел находится примерно на расстоянии от 30 до 50 а.е. Оранжевая оболочка обозначает границу ударной волны, где «Вояджер-1» в 2004 году обнаружил замедление солнечного ветра на расстоянии 94 а.е. Синяя оболочка обозначает гелиопаузу, край солнечного пузыря. «Вояджер-1» пересёк её в 2012 году примерно на 122 а.е., а «Вояджер-2» в 2018 году примерно на 119 а.е. Направления двух траекторий показаны приблизительно.

Облако Оорта и ближайшая звезда, от 10¹⁵ до 10¹⁷ м. Световой год составляет около 9,46 триллиона км. Бледная оболочка обозначает облако Оорта, резервуар комет, который, по описанию NASA, начинается на расстоянии от 2000 до 5000 а.е. и простирается, возможно, до 100 000 а.е. Его никогда не наблюдали непосредственно. Проксима Центавра находится в 4,25 светового года, а на пунктирной линии к ней стоят отметки через каждый световой год.

Наши соседи, 10¹⁸ м. Здесь показаны 19 звёздных систем в пределах 12 световых лет из списка ближайших звёзд RECONS, размещённых по направлению на небе и расстоянию. Сириус находится в 8,6 светового года, Тау Кита в 11,9. Тонкие линии опускают каждую звезду к плоскости Галактики, чтобы было видно, какие находятся выше, а какие ниже. Большинство из них представляют собой небольшие красные карлики, не видимые без телескопа.

Рукав Ориона, от 10¹⁹ до 10²⁰ м. Ближайшие звёзды сжимаются в точку. Крабовидная туманность, оставшаяся после взрыва звезды в 1054 году, имеет ширину шесть световых лет, согласно страницам NASA о «Хаббле». Плеяды находятся примерно в 445 световых годах, а туманность Ориона в 1500 световых годах; обе лежат в том же спиральном рукаве, что и Солнце.

Млечный Путь, от 10²¹ до 10²² м. Диск поперечником около 100 000 световых лет. Маленькое кольцо отмечает Солнце в 26 000 световых лет от центра, где находится чёрная дыра Стрелец A*. Шаровое скопление Геркулеса M13, содержащее более 100 000 звёзд, расположено в 25 000 световых лет. Вне диска находятся Магеллановы Облака; большее из них удалено примерно на 160 000 световых лет.

Местная группа, 10²³ м. Галактика Андромеды на расстоянии 2,5 миллиона световых лет и галактика Треугольника на расстоянии примерно 3 миллиона световых лет входят вместе с Млечным Путём в группу из более чем 50 галактик. NASA описывает её поперечник как примерно 10 миллионов световых лет. Большинство участников являются карликовыми галактиками, здесь изображёнными маленькими точками вокруг двух больших спиралей; их положения лишь приблизительны.

Ланиакея и космическая паутина, от 10²⁴ до 10²⁶ м. M87, удалённая на 54 миллиона световых лет, находится в центре скопления Девы, содержащего около 2000 галактик. В 2014 году группа под руководством Брента Талли нанесла на карту движения галактик и обнаружила содержащее нас сверхскопление Ланиакея: около 500 миллионов световых лет в поперечнике и 100 000 галактик, движущихся к области под названием Великий аттрактор. Ещё дальше галактики выстраиваются вдоль нитей вокруг огромных пустых войдов.

Наблюдаемая Вселенная, 10²⁷ м. Конец линейки. Наблюдаемая Вселенная имеет поперечник около 93 миллиардов световых лет. Светящаяся оболочка обозначает реликтовое излучение, самый древний свет, который мы можем видеть, а белая точка в середине обозначает нас.

Откуда взяты размеры

Каталог на вкладке управления перечисляет 115 объектов и расстояний с источником для каждой записи. Отбор определялся несколькими правилами.

• Только опубликованные размеры. Объект попадал в список, только если его размер приводится публичным учреждением или опубликованной статьёй: NIST, NASA, NOAA, US Geological Survey, Bank of Korea, Korean Agency for Technology and Standards, стандартами ISO, музеями или журнальной статьёй. Энциклопедии, написанные добровольцами, не использовались.
• Для диапазонов берётся середина. Когда источник даёт диапазон, например от 60 до 140 нм для коронавируса или от 80 000 до 100 000 нм для волоса, каталог использует значение около середины, а примечание приводит полный диапазон.
• Вычисленные значения отмечены. Несколько чисел рассчитаны из опубликованных. Размер горизонта событий Стрельца A* получен из массы около 4 миллионов Солнц, указанной Event Horizon Telescope, по формуле горизонта чёрной дыры. Длина окружности Земли получена из её экваториального радиуса. В таких случаях примечание содержит «рассчитано» или «вычислено».
• Виды размеров. Каждая запись описывает либо размер (диаметр, длину или высоту), либо расстояние. Инструмент сравнения рисует размеры окружностями, а расстояния полосками.
• Меняющиеся величины. Некоторые числа меняются с улучшением измерений. Радиус протона изменился в 2018 году, расстояния до ближайших звёзд уточняются с каждым звёздным обзором, а высоты гор меняются после каждой новой съёмки. Даты проверки каждого источника приведены ниже.

Контуры Кореи, материки и диск Сеула нарисованы вручную по картам и не должны использоваться как геодезические данные. Положения звёзд получены преобразованием прямого восхождения и склонения в плоскость Галактики; этого достаточно для показа соседства звёзд, но не для звёздной карты.

Проверка нескольких чисел

Орбита Луны внутри Солнца звучит неправдоподобно, поэтому проверим. Диаметр орбиты равен удвоенным 384 400 км, то есть 768 800 км. Диаметр Солнца равен удвоенным 695 700 км, то есть 1 391 400 км. Ширина орбиты составляет всего 55 % ширины Солнца.

Сколько Земель поместится поперёк Солнца? 1 391 400 ÷ 12 742 составляет около 109. А между Землёй и Луной? 384 400 ÷ 12 742 составляет около 30,2.

За какое время солнечный свет достигает нас? 149 597 870 700 м, делённые на 299 792 458 м в секунду, дают около 499 секунд, или 8 минут 19 секунд. «Вояджер-1» пересёк гелиопаузу примерно на 122 а.е., поэтому свету нужно около 122 × 499 секунд, чуть меньше 17 часов, чтобы добраться туда.

Насколько различаются человек и атом? 1,725 м, делённые на 0,106 нм, дают около 16 миллиардов, то есть 10 в степени 10,2. Это ответ на первое задание.

Насколько глубочайшее море глубже высоты высочайшей горы? NOAA указывает для Бездны Челленджера глубину около 10 935 м, а высота Эвереста равна 8848,86 м, так что впадина примерно на 2 км глубже, чем гора высока.

Вся линейка: 8,8 × 10²⁶ м для наблюдаемой Вселенной, делённые на 1,68 × 10⁻¹⁵ м для протона, дают около 5 × 10⁴¹. С учётом пространства для показа обоих концов линейка охватывает диапазон от 10⁻¹⁵ до 10²⁷.

Инструмент сравнения и задания

Инструмент сравнения принимает любые два объекта из каталога. Он показывает, во сколько раз один больше другого и сколько это порядков величины, отмечает оба на маленькой линейке и рисует рядом в одном масштабе. Нажмите кнопку показа обоих на сцене: первый объект изображается оранжевым, второй синим, как контуры рядом со сценой в правильном размере, а линейка перемещается к большему из двух. Если меньший объект имеет поперечник менее нескольких пикселей, он исчезает, что соответствует действительности. Попробуйте сравнить монету в 500 вон с эритроцитом или Землю с Бетельгейзе.

Шесть заданий предлагают найти объекты на линейке или ответить на вопрос о размерах. Два проверяют саму сцену: одно отмечается выполненным, когда фаг T4 заполняет поле зрения, другое, когда вы достигаете нижнего конца линейки и видите кварки. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Переключатель контуров того же размера рисует до трёх объектов из каталога, попадающих в текущий порядок величины, поэтому даже пустая сцена показывает, что имеет такой размер. Переключатель а.е. и световых лет меняет единицы на индикаторе и в каталоге. Остановка на целых степенях заставляет линейку фиксироваться на 10¹, 10², 10³ и так далее, когда вы её отпускаете. Автоматический проход сам меняет масштаб от одного конца линейки до другого с выбранной скоростью.

Что модель не показывает

Модели предназначены для сравнения размеров, поэтому некоторые детали упрощены. Ядро атома нарисовано видимым красным шаром; в масштабе атома настоящий протон был бы намного меньше пикселя. Кварки изображены шарами, хотя их размер не измерен. Планеты на видах Солнечной системы изображены точками фиксированного экранного размера и не находятся в реальных положениях на какую-либо дату. На всех масштабах Земля остаётся в одном месте орбиты, чтобы меньшие сцены сохранялись под ней. Солнце появляется вокруг Земли только для сравнения размеров. Гелиосфера изображена вытянутым пузырём, как её обычно рисуют, но её реальная форма всё ещё обсуждается. Облако Оорта представляет собой предполагаемую оболочку, которую никто не видел. Спиральные рукава Галактики изображены как типичная спираль с перемычкой, поскольку мы видим Млечный Путь изнутри и его точная форма ещё наносится на карты. Карликовые галактики Местной группы, потоки в Ланиакее и нити космической паутины нарисованы похожими на реальные карты, но не скопированы с них.

Фильм Чарльза и Рэй Имз 1977 года

Идея проходить Вселенную десятикратными шагами пришла из короткометражного фильма. Powers of Ten, созданный Чарльзом и Рэй Имз и выпущенный в 1977 году, длится около девяти минут. Он начинается с пикника у озера в Чикаго, показанного с расстояния одного метра. Согласно очерку Library of Congress, затем камера каждые десять секунд удаляется в десять раз, пока не достигает края известной Вселенной, а затем движется обратно, внутрь атомного ядра в руке спящего мужчины. Предыдущая версия была создана в 1968 году, а основой фильма стала книга Кеса Бёке Cosmic View 1957 года. В 1998 году Library of Congress включила его в US National Film Registry. Этот экспонат не использует кадров из фильма. С 1977 года дальний конец сдвинулся: фильм заканчивается примерно на 10²⁴ м, ещё до картографирования сверхскопления Ланиакея.