Puissances de dix : du proton à l’univers observable

Combien de fois l’univers est-il plus grand qu’un proton ?

Un proton mesure environ 1,68 femtomètre de large, soit 1,68 × 10⁻¹⁵ m. L’univers observable mesure environ 93 milliards d’années-lumière de large, soit 8,8 × 10²⁶ m. Divisez l’un par l’autre et vous obtenez un nombre de 42 chiffres. Un nombre pareil ne veut plus rien dire passé les premiers zéros ; cette exposition fait donc comme Charles et Ray Eames dans leur film de 1977 : elle avance par pas de dix. Chaque pas rend la vue dix fois plus large. Quarante-deux pas vous mènent de l’intérieur d’un proton jusqu’au bord de tout ce que nous pouvons voir.

En chemin, vous traversez 24 scènes emboîtées et 115 objets mesurés. Les scènes sont des modèles 3D construits par du code, et chacune se place à l’intérieur de la suivante, plus grande : des quarks dans un proton, le proton au centre d’un atome d’hydrogène, l’atome posé sur un brin d’ADN, l’ADN compacté dans la tête d’un virus, le virus debout sur une bactérie, la bactérie posée sur un cheveu, le cheveu couché sous une fourmi, la fourmi aux pieds d’une personne, et ainsi de suite jusqu’à la Voie lactée au sein de son groupe de galaxies, et ce groupe à l’intérieur d’un superamas. Chaque taille montrée sur la scène vient d’une institution nommée ou d’un article publié, et les sources sont listées à la fin de cette page.

La scène comporte trois panneaux. Le guide vous conduit à travers 19 étapes. La liste des éléments nomme chaque modèle ; choisissez-en un pour voler jusqu’à lui. L’onglet des commandes contient les réglages de la règle, une fiche sur la scène que vous regardez, six défis, un outil pour comparer deux objets quelconques et le catalogue complet des tailles.

Pourquoi l’échelle doit être logarithmique

Sur une règle ordinaire, chaque centimètre ajoute la même longueur. Sur la règle placée en bas de la scène, chaque graduation multiplie par dix. La graduation 10⁰ vaut un mètre, 10³ un kilomètre et 10⁻³ un millimètre. C’est une échelle logarithmique : des distances égales représentent des rapports égaux, et non des différences égales.

Essayez de dessiner le même voyage sur une échelle ordinaire et vous comprendrez pourquoi. Si un atome d’hydrogène mesurait un millimètre de large sur votre écran, un cheveu ferait environ 850 mètres de large et une personne environ 16 000 km de haut, plus que la largeur de la Terre. Rien ne tiendrait aux deux extrémités. Sur la règle logarithmique, le proton, la personne et l’univers disposent de la même place. Les repères gris juste au-dessus de la ligne montrent où se place chaque objet du catalogue ; ils se répartissent assez régulièrement de 10⁻¹⁵ à 10²⁷, parce que les choses que l’on a mesurées sont réparties régulièrement dans ce sens-là, et non en mètres.

La puissance de dix affichée est la largeur de la vue. Quand elle indique 10⁷ m, la scène montre une zone d’environ dix mille kilomètres de large, un peu moins que la largeur de la Terre. La deuxième ligne donne la même largeur en unités courantes, calculée d’après le vrai champ de vision de la caméra sur votre écran. Un téléphone tenu à la verticale montre une bande plus étroite qu’un grand écran, si bien que les deux lignes peuvent ne pas coïncider exactement avec la graduation de la règle ; la règle donne l’échelle exacte, la seconde ligne indique ce qui tient sur votre écran.

Garder 42 puissances de dix sur un seul écran

L’infographie a du mal avec de très grands et de très petits nombres dans une même scène. Les cartes graphiques stockent les positions en nombres à virgule flottante de 32 bits, qui conservent environ sept chiffres significatifs. Placez un proton et une galaxie dans le même système de coordonnées, mesuré en mètres, et la position du proton serait arrondie à rien. Le tampon de profondeur, qui décide quelle surface est devant, a le même problème : deux surfaces à des distances presque égales scintillent, car la carte ne sait pas les départager. Ce scintillement s’appelle le z-fighting.

L’exposition évite les deux problèmes en ne stockant jamais de mètres. La caméra reste où elle est, et le zoom ne change qu’un seul nombre, la puissance de dix. Chaque modèle est construit dans ses propres unités, où une unité est la taille réelle de l’objet : une unité vaut 1,68 fm pour le proton, 2,5 nm pour l’ADN et 12 742 km pour la Terre. À chaque image, chaque modèle est dessiné à une échelle égale à sa taille réelle divisée par la largeur de vue actuelle. Un modèle n’est affiché que tant que cette échelle reste comprise entre un millième environ et quelques dizaines. En dehors de cet intervalle, il est soit plus petit que quelques pixels, soit si grand que la caméra serait à l’intérieur ; il est alors masqué. Les nombres envoyés à la carte graphique restent donc toujours compris entre un millième et cent environ.

L’emboîtement passe par un point commun. Chaque modèle a une ancre, l’endroit à l’intérieur duquel se place le modèle plus petit suivant, et cet endroit est toujours placé au centre de la scène. L’ancre du phage est le milieu de sa tête, là où l’ADN est compacté. L’ancre de la bactérie est un point juste au-dessus de sa face supérieure, là où le phage se tient sur sa queue. L’ancre de la Terre est Séoul, tournée vers le haut. Comme un objet plus petit touche son parent en ce point, les deux surfaces pourraient se disputer les mêmes pixels ; chaque modèle repousse donc sa profondeur d’une quantité qui croît avec sa taille, et le plus petit modèle l’emporte toujours.

Quarante-deux puissances de dix représenteraient beaucoup de géométrie à garder en même temps. L’exposition ne le fait pas. Un modèle n’est construit que lorsque la règle arrive à environ une puissance de dix de l’intervalle où il est visible, et il est démonté, ses formes, ses couleurs et ses textures libérées, dès que la règle s’en éloigne de trois puissances de dix. À tout moment, trois à six des 24 modèles existent. Aller d’un bout à l’autre de la règle construit puis libère chaque modèle à tour de rôle, si bien qu’un téléphone en retient à peu près autant que lorsque l’exposition ne montrait que 15 objets.

En descendant : de deux personnes à trois quarks

Deux personnes, 10⁰ m. Le voyage commence avec un homme et une femme de taille moyenne coréenne : 172,5 cm et 159,6 cm, selon la 8e enquête Size Korea de l’Agence coréenne de la technologie et des normes. Ils sont dessinés en simples silhouettes, sans visage ni vêtements, parce que ce qui compte est leur taille. Ils se tiennent sur des dalles larges d’exactement un mètre, avec une barre d’un mètre au sol et un ballon de football de taille 5, d’environ 22 cm de diamètre.

Dix et cent fois plus petit. À 10⁻¹ m, le ballon occupe une partie de la vue et les pieds des personnes sont énormes. À 10⁻² m, une pièce de 500 wons, de 26,5 mm de diamètre selon la Banque de Corée, est posée au sol. Une fourmi des trottoirs de 4,8 mm de long marche à côté, parmi des grains de sable. Le programme de lutte contre les nuisibles de l’Université de Californie donne la longueur de la fourmi, et l’échelle granulométrique du Service géologique des États-Unis indique que le sable va de 0,0625 à 2 mm.

Un cheveu et des globules rouges, 10⁻⁴ m. Sous la fourmi se trouve un cheveu de 90 µm de large. La National Nanotechnology Initiative donne pour un cheveu humain de 80 000 à 100 000 nm, et pour une feuille de papier environ 100 000 nm d’épaisseur ; un cheveu et une page ont donc à peu près la même épaisseur. Sur le cheveu repose une bactérie E. coli, de 2 µm de long et 1 µm de large (BioNumbers), à côté de globules rouges d’environ 7,5 µm de diamètre.

Un virus sur une bactérie, 10⁻⁷ m. Sur la bactérie se tient un phage T4, un virus qui infecte E. coli. Sa tête est un icosaèdre allongé de 120 nm de long et 86 nm de large (Rao et Black, 2010), et sa queue mesure environ 113 nm de long (BioNumbers). Six fibres de queue descendent jusqu’à la paroi de la cellule. La lumière visible a des longueurs d’onde de 380 à 700 nm ; un phage est donc plus petit qu’une seule onde de la lumière que l’on utiliserait pour l’observer. C’est pourquoi on n’a vu les virus qu’avec l’arrivée des microscopes électroniques. À titre de comparaison, le virus responsable du Covid-19 mesure de 60 à 140 nm sur les images de microscopie électronique.

L’ADN et l’eau, 10⁻⁸ m. Dans la tête du phage, l’ADN est replié très serré. De près, il devient la double hélice : 2,5 nm de large, un tour tous les 3,4 nm avec dix paires de bases par tour, la périodicité décrite par Watson et Crick en 1953. De petites molécules coudées flottent autour. C’est de l’eau, avec l’oxygène et l’hydrogène distants de 95,78 pm et un angle de 104,5 degrés entre les deux liaisons, les valeurs données par le NIST.

Un atome d’hydrogène, 10⁻¹⁰ m. Un atome d’hydrogène repose sur le squelette de l’ADN. Le NIST donne le rayon de Bohr à 5,29177210544 × 10⁻¹¹ m, et le modèle prend le double, environ 0,106 nm, comme largeur de l’atome. Les points sont tirés de la formule de probabilité de l’électron dans son état de plus basse énergie ; ils se concentrent donc autour d’un rayon de Bohr et s’éclaircissent au-delà. La boule rouge au milieu marque le noyau, et elle est dessinée beaucoup trop grosse.

Espace vide, 10⁻¹¹ à 10⁻¹³ m. Continuez à zoomer et presque rien ne se passe. Le nuage d’électrons s’étale jusqu’à ne laisser que quelques points, et le centre reste vide. C’est le passage le plus honnête du voyage. Si le proton était une bille de 1 cm de diamètre, l’atome d’hydrogène ferait environ 630 m de large. Seule une douce lueur, ajoutée par le modèle autour du proton, permet encore de le retrouver.

Dans le proton, 10⁻¹⁵ m. Au bas de la règle, le proton remplit la vue. CODATA 2022 donne son rayon de charge à 0,84075 fm, il mesure donc environ 1,68 fm de large. À l’intérieur se trouvent deux quarks up et un quark down, tenus ensemble par des gluons, dessinés ici comme des cordes ondulées. On n’a jamais mesuré la taille des quarks, et les boules colorées ne font que marquer où ils sont. Les petits points pâles autour d’eux représentent les paires de quarks éphémères qui, selon les physiciens, remplissent un proton.

En montant : d’une tour au bord du visible

Une tour et un terrain, 10² à 10³ m. En remontant au-delà des personnes, la Lotte World Tower s’élève à 554,5 m et 123 étages (CTBUH). À côté, à la même échelle, un terrain de football de 105 m de long, un Airbus A380 de 72,72 m de long vu de dessus, et le fantôme pâle du Burj Khalifa, 828 m. Des lignes peintes au sol près des personnes montrent SUE le T. rex à 12,3 m (le Field Museum donne 40,5 pieds) et une baleine bleue à 33,5 m (la NOAA indique jusqu’à 110 pieds).

Séoul et la Corée, 10⁴ à 10⁵ m. Séoul remplit la vue sous la forme d’un disque de sa superficie réelle, 605,24 km², avec le fleuve Han qui le traverse. Le cône pâle au bord est l’Everest, 8848,86 m, à la même échelle : environ un tiers de la largeur de Séoul. En élargissant un peu, la Corée apparaît : les terres enregistrées de la Corée du Sud, 100 472,4 km², et le Hallasan, sur l’île de Jeju, 1947,06 m.

La Terre et ses satellites, 10⁶ à 10⁷ m. La Terre mesure en moyenne 12 742 km de diamètre. Trois anneaux montrent des orbites : la station spatiale à environ 400 km, les satellites GPS à environ 20 200 km et les satellites géostationnaires à 35 786 km au-dessus de l’équateur. La station spatiale est quatre fois plus haute que la ligne des 100 km utilisée pour les records de vol spatial, et pourtant son anneau est si près du sol qu’il faut zoomer pour les distinguer.

La Lune et le Soleil, 10⁸ à 10⁹ m. La lumière parcourt 299 792 458 m en une seconde, et le repère jaune sur la ligne vers la Lune montre cette distance. La Lune est un peu plus loin, 384 400 km, et environ 30 Terres tiennent dans l’intervalle. Le Soleil, de 1 391 400 km de diamètre, est dessiné autour de la Terre pour comparaison, et toute l’orbite de la Lune tient à l’intérieur.

Les planètes, 10¹¹ à 10¹³ m. En élargissant encore, le Soleil se réduit à un point et les orbites des planètes apparaissent à leur taille réelle, d’après les fiches de la NASA. La Terre est à une unité astronomique du Soleil, exactement 149 597 870 700 m depuis que l’Union astronomique internationale l’a fixée en 2012. Mars gravite à 228 millions de km. Un cercle en tirets montre la taille de Bételgeuse : selon la NASA, si elle remplaçait le Soleil, sa surface dépasserait l’orbite de Jupiter. Plus loin se trouvent Neptune à 4515 millions de km et l’orbite inclinée de Pluton, en moyenne à 5906,4 millions de km.

Le bord de la bulle du Soleil, 10¹⁴ m. La ceinture de Kuiper, faite de corps glacés, s’étend d’environ 30 à 50 ua. La coque orange est le choc terminal, où Voyager 1 a vu le vent solaire ralentir en 2004 à 94 ua. La coque bleue est l’héliopause, le bord de la bulle du Soleil. Voyager 1 l’a franchie en 2012 à environ 122 ua et Voyager 2 en 2018 à environ 119 ua. Les directions des deux trajectoires sont dessinées de façon approximative.

Le nuage d’Oort et l’étoile la plus proche, 10¹⁵ à 10¹⁷ m. Une année-lumière vaut environ 9,46 billions de km. La coque pâle est le nuage d’Oort, un réservoir de comètes que la NASA décrit comme commençant entre 2000 et 5000 ua et s’étendant peut-être jusqu’à 100 000 ua. On ne l’a jamais observé directement. Proxima du Centaure est à 4,25 années-lumière, et la ligne en tirets qui y mène a un repère à chaque année-lumière.

Nos voisines, 10¹⁸ m. 19 systèmes stellaires à moins de 12 années-lumière, tirés de la liste RECONS des étoiles proches, placés selon leur direction dans le ciel et leur distance. Sirius est à 8,6 années-lumière, Tau Ceti à 11,9. Les fines lignes ramènent chaque étoile sur le plan de la galaxie pour que l’on voie lesquelles sont au-dessus et lesquelles en dessous. La plupart sont de petites naines rouges que l’on ne voit pas sans télescope.

Le bras d’Orion, 10¹⁹ à 10²⁰ m. Les étoiles proches se réduisent à un point. La nébuleuse du Crabe, laissée par l’étoile qui a explosé en 1054, mesure six années-lumière de large d’après les pages de Hubble de la NASA. Les Pléiades se trouvent à environ 445 années-lumière et la nébuleuse d’Orion à 1500 années-lumière, toutes deux dans le même bras spiral que le Soleil.

La Voie lactée, 10²¹ à 10²² m. Un disque d’environ 100 000 années-lumière de large. Le petit anneau marque le Soleil, à 26 000 années-lumière du centre, où se trouve le trou noir Sagittarius A*. L’amas globulaire d’Hercule M13, avec plus de 100 000 étoiles, est à 25 000 années-lumière. En dehors du disque se trouvent les Nuages de Magellan ; le plus grand est à environ 160 000 années-lumière.

Le Groupe local, 10²³ m. Andromède, à 2,5 millions d’années-lumière, et la galaxie du Triangle, à environ 3 millions, partagent avec la Voie lactée un groupe de plus de 50 galaxies. La NASA décrit ce groupe comme large d’environ 10 millions d’années-lumière. La plupart de ses membres sont des galaxies naines, dessinées ici comme de petits points autour des deux grandes spirales ; leurs positions ne sont qu’à peu près justes.

Laniakea et la toile cosmique, 10²⁴ à 10²⁶ m. M87, à 54 millions d’années-lumière, se trouve au cœur de l’amas de la Vierge, d’environ 2000 galaxies. En 2014, une équipe dirigée par Brent Tully a cartographié le déplacement des galaxies et trouvé le superamas qui nous contient, Laniakea : environ 500 millions d’années-lumière de large avec 100 000 galaxies, toutes s’écoulant vers une région appelée le Grand Attracteur. Plus loin encore, les galaxies s’alignent le long de filaments autour d’immenses vides.

L’univers observable, 10²⁷ m. Le bout de la règle. L’univers observable mesure environ 93 milliards d’années-lumière de large. La coque lumineuse représente le fond diffus cosmologique, la plus ancienne lumière que nous puissions voir, et le point blanc au milieu, c’est nous.

D’où viennent les tailles

Le catalogue de l’onglet des commandes liste 115 objets et distances, chacun avec la source dont il vient. Quelques règles ont décidé de ce qui y entrait.

• Uniquement des tailles publiées. Un objet n’a été inscrit que si une institution publique ou un article publié donne sa taille : NIST, NASA, NOAA, Service géologique des États-Unis, Banque de Corée, Agence coréenne de la technologie et des normes, normes ISO, musées ou article de revue. Les encyclopédies rédigées par des bénévoles n’ont pas été utilisées.
• Les intervalles prennent le milieu. Quand une source donne un intervalle, par exemple 60 à 140 nm pour le coronavirus ou 80 000 à 100 000 nm pour un cheveu, le catalogue retient une valeur proche du milieu et la note donne l’intervalle complet.
• Les valeurs calculées le disent. Quelques nombres sont calculés à partir de valeurs publiées. La taille de l’horizon des événements de Sagittarius A* vient de sa masse d’environ 4 millions de Soleils, rapportée par l’Event Horizon Telescope, avec la formule de l’horizon d’un trou noir. La circonférence de la Terre vient de son rayon équatorial. La note indique « calculé » dans ces cas-là.
• Deux sortes de tailles. Chaque objet est soit une taille (un diamètre, une longueur ou une hauteur), soit une distance. L’outil de comparaison dessine les tailles sous forme de cercles et les distances sous forme de barres.
• Des cibles mouvantes. Certains nombres changent à mesure que les mesures s’améliorent. Le rayon du proton a changé en 2018, les distances aux étoiles proches sont affinées par chaque relevé d’étoiles, et la hauteur des montagnes change après chaque nouveau relevé. La date de vérification de chaque source est indiquée plus bas.

Les contours coréens, les continents et le disque de Séoul sont dessinés à la main d’après des cartes et ne doivent pas être utilisés comme données de relevé. Les positions des étoiles utilisent l’ascension droite et la déclinaison converties dans le plan de la galaxie, ce qui suffit pour montrer quelles étoiles sont voisines, mais ne fait pas une carte du ciel.

Vérifier quelques nombres

L’orbite de la Lune à l’intérieur du Soleil paraît fausse ; vérifions-le. Le diamètre de l’orbite est le double de 384 400 km, soit 768 800 km. Le diamètre du Soleil est le double de 695 700 km, soit 1 391 400 km. L’orbite n’est large que de 55 % du Soleil.

Combien de Terres tiennent sur la largeur du Soleil ? 1 391 400 ÷ 12 742 fait environ 109. Combien entre la Terre et la Lune ? 384 400 ÷ 12 742 fait environ 30,2.

Combien de temps la lumière du Soleil met-elle à nous atteindre ? 149 597 870 700 m divisés par 299 792 458 m par seconde font environ 499 secondes, soit 8 minutes 19 secondes. Voyager 1 a franchi l’héliopause à environ 122 ua ; la lumière met donc environ 122 × 499 secondes, un peu moins de 17 heures, pour y arriver.

Quelle distance sépare une personne d’un atome ? 1,725 m divisé par 0,106 nm fait environ 16 milliards, soit 10 puissance 10,2. C’est la réponse au premier défi.

Quelle est la profondeur de la mer la plus profonde par rapport à la plus haute montagne ? La NOAA place la fosse Challenger à environ 10 935 m, et l’Everest mesure 8848,86 m ; la fosse est donc plus profonde d’environ 2 km que la montagne n’est haute.

La règle entière : 8,8 × 10²⁶ m pour l’univers observable divisé par 1,68 × 10⁻¹⁵ m pour le proton fait environ 5 × 10⁴¹. Ajoutez la place nécessaire pour encadrer chaque extrémité, et la règle va de 10⁻¹⁵ à 10²⁷.

Utiliser l’outil de comparaison et les défis

L’outil de comparaison prend deux objets quelconques du catalogue. Il indique combien de fois l’un est plus grand que l’autre et combien de puissances de dix cela représente, marque les deux sur une petite règle et les dessine côte à côte à l’échelle. Appuyez sur le bouton pour les afficher sur la scène : le premier objet est dessiné en orange et le second en bleu, sous forme de contours à côté de la scène à la bonne taille, et la règle se place sur le plus grand des deux. Si le plus petit objet fait moins de quelques pixels de large, il disparaît, et c’est la réponse honnête. Essayez une pièce de 500 wons contre un globule rouge, ou la Terre contre Bételgeuse.

Les six défis demandent de trouver des choses sur la règle ou de répondre à une question sur les tailles. Deux d’entre eux vérifient la scène elle-même : l’un se coche quand le phage T4 remplit la vue, un autre quand vous arrivez au bas de la règle et voyez les quarks. Votre progression est conservée dans ce navigateur.

L’interrupteur des contours de même taille dessine jusqu’à trois objets du catalogue qui tombent dans la puissance de dix que vous regardez, de sorte qu’une scène sans rien d’autre montre tout de même ce qui a cette taille. L’interrupteur ua et années-lumière change les unités de l’affichage et du catalogue. L’arrêt sur puissances entières fait se stabiliser la règle sur 10¹, 10², 10³ et ainsi de suite dès que vous la lâchez. Le voyage automatique zoome tout seul d’un bout à l’autre de la règle, à la vitesse que vous choisissez.

Ce que le modèle laisse de côté

Les modèles servent à montrer des tailles, et quelques éléments sont donc simplifiés. Le noyau de l’atome est dessiné comme une boule rouge visible ; à l’échelle de l’atome, le vrai proton ferait bien moins qu’un pixel. Les quarks sont dessinés comme des boules alors que l’on n’a jamais mesuré leur taille. Les planètes des vues du système solaire sont dessinées comme des points de taille fixe à l’écran, et elles ne sont à leur position réelle à aucune date. La Terre est maintenue au même endroit de son orbite à toutes les échelles, pour que les scènes plus petites restent sous elle. Le Soleil n’apparaît autour de la Terre que pour comparer les tailles. L’héliosphère est dessinée comme une bulle étirée, ce qui est l’image courante, mais sa forme réelle est encore débattue. Le nuage d’Oort est une coque hypothétique que personne n’a vue. Les bras spiraux de la galaxie sont ceux d’une spirale barrée générique, car nous voyons la Voie lactée de l’intérieur et sa forme exacte est encore en cours de cartographie. Les naines du Groupe local, les courants de Laniakea et les filaments de la toile cosmique sont dessinés pour ressembler aux vraies cartes, sans en être copiés.

Le film de Charles et Ray Eames, 1977

L’idée de parcourir l’univers de dix en dix vient d’un court film. Powers of Ten, réalisé par Charles et Ray Eames et sorti en 1977, dure environ neuf minutes. Il commence par un pique-nique au bord du lac à Chicago, vu d’un mètre. Selon un essai de la Bibliothèque du Congrès, la caméra s’éloigne ensuite dix fois plus toutes les dix secondes jusqu’au bord de l’univers connu, puis revient en arrière jusque dans le noyau d’un atome de la main de l’homme endormi. Une première version avait été réalisée en 1968, et le film s’inspirait du livre Cosmic View de Kees Boeke, paru en 1957. En 1998, la Bibliothèque du Congrès l’a choisi pour le National Film Registry des États-Unis. Cette exposition n’utilise aucune image du film. Depuis 1977, l’autre bout a reculé : le film s’arrête à environ 10²⁴ m, avant que le superamas de Laniakea ait été cartographié.