Groenland et Afrique : comparez leur taille sur les cartes

Ce que montre le modèle

Sur une carte de Mercator, le Groenland paraît aussi grand que l’Afrique parce que cette projection agrandit les surfaces loin de l’équateur. Une carte plane ne peut conserver toutes les propriétés du globe à la fois. Comparer les projections permet de distinguer celles qui gardent les aires de celles qui gardent les angles.

Sur une carte scolaire, le Groenland semble presque aussi grand que l’Afrique. Sur un globe, c’est une île modeste à côté d’un immense continent. Aucune image ne cherche à tromper. On ne peut aplatir une sphère sans étirer certaines parties, et chaque carte choisit où placer cet étirement. Cette exposition montre ce choix point par point pour 25 cartes différentes.

Le modèle commence par un globe de rayon 1. « Du globe à la carte » l’enveloppe de papier, découpe celui-ci puis l’étale. La forme dépend de la projection. Pour Mercator et ses voisines, c’est un cylindre tangent à l’équateur. Pour Mercator transverse, le cylindre est couché et touche un méridien. Les cartes coniques utilisent un cône sur les latitudes moyennes, ouvert en éventail. Les azimutales utilisent un plan tangent en un point ; pour trois d’entre elles, gnomonique, stéréographique et vue satellite, une lampe montre l’origine de la lumière projetant l’ombre. La dernière place le globe sur un icosaèdre et déplie ses 20 faces. La lecture répète la transformation dans les deux sens.

Le globe porte une grille de 144 par 72 cellules, ou 72 par 36 sur les téléphones lents. La formule de projection place chaque sommet, et l’image des côtes suit la grille : les continents s’étirent exactement selon la formule. Les points rouges sont des cercles de Tissot de 500 km de rayon. La forme verte est un pays déplaçable, initialement le Groenland ; les outils sous les réglages en proposent 34 autres. Le contour brun de l’Afrique reste fixe comme référence. Les lignes violette et orange relient deux villes par le trajet le plus court et par un cap constant. Le panneau indique la projection, ce qu’elle conserve, le facteur d’aire au centre du pays, sa surface dessinée et combien de fois elle entre dans l’Afrique.

Sous les réglages, la liste explique les 25 projections et leurs propriétés. Le tableau des tailles montre le pays sur toutes les cartes à sa position actuelle, de la plus petite représentation à la plus grande. L’outil de trajet donne distances et caps. Touchez la carte plane pour mesurer sa déformation en ce point. Six tâches demandent de trouver une carte, et 48 exemples préparent des cartes connues, usages et comparaisons.

Pourquoi un globe ne peut pas devenir plat

Essayez d’aplatir une demi-peau d’orange : elle se déchire. Elle est courbée dans deux directions à la fois, contrairement au papier. Le papier peut former un cylindre ou un cône sans s’étirer, car ces formes ne sont courbées que dans une direction. Sur une sphère, la courbure est identique dans toutes les directions en chaque point.

Carl Friedrich Gauss a démontré en 1827 que cette courbure reste attachée à la surface quand on la plie sans l’étirer. Un plan a une courbure nulle, une sphère non : aucun pliage ne transforme l’un en l’autre. Toute carte plane du monde doit allonger certaines distances et en raccourcir d’autres.

Une carte peut choisir ce qu’elle protège. Une projection conforme conserve les angles dans chaque petit voisinage : un cercle minuscule reste un cercle. Une projection équivalente conserve les aires, donnant à chaque pays sa juste part du papier. Une carte peut conserver les distances sur certaines lignes ou depuis un point, ou transformer tout grand cercle en droite. Mais elle ne peut tout faire, et aucune ne conserve à la fois angles et aires. Les badges de la liste indiquent ces choix.

Du globe à la carte plane

La plupart des projections ne sont pas de vraies ombres. Leurs formules transforment latitude φ et longitude λ en coordonnées x, y sur le papier. L’image du papier autour du globe reste utile : là où il le touche, l’échelle est exacte.

Un cylindre autour de l’équateur le touche le long de celui-ci. Déroulé, il donne un rectangle aux méridiens verticaux régulièrement espacés et aux parallèles horizontaux. Toutes les projections cylindriques partagent cette grille et ne changent que l’espacement des parallèles. Avec ln tan(45° + φ/2), on obtient Mercator ; avec un espacement uniforme, la plate carrée ; avec sin φ, la cylindrique équivalente de Lambert.

Un cône posé comme un abat-jour touche un parallèle ou coupe le globe sur deux. Déroulé, il forme un éventail : méridiens droits réunis au sommet, parallèles en arcs de cercle. Cela convient aux pays étendus d’est en ouest aux latitudes moyennes, comme les États-Unis, la Chine ou l’Europe.

Un plan tangent en un point donne une projection azimutale. Toutes conservent les directions depuis ce centre. Ici, trois sont de vraies projections perspectives. Une lampe au centre du globe donne la gnomonique ; au point opposé au centre de la carte, la stéréographique ; à l’infini, l’orthographique ; à hauteur d’un satellite, la perspective verticale. Les azimutales équidistante et équivalente de Lambert utilisent le même plan mais placent les points par une formule, non par la lumière.

D’autres cartes ne relèvent d’aucun de ces groupes. Les pseudocylindriques, comme la sinusoïdale, Mollweide, Robinson et Equal Earth, conservent les parallèles droits mais courbent les méridiens vers les pôles. L’homolosine de Goode coupe la carte dans les océans. L’icosaèdre enveloppe le globe de 20 triangles puis les déplie. Le modèle utilise aussi l’animation cylindrique pour les pseudocylindriques afin de montrer les méridiens se courbant au déroulement.

Mercator conserve les angles, pas les tailles

Mercator voulait une carte où la route à cap constant d’un navire, une loxodrome, serait droite. Le navigateur peut alors tracer une ligne entre deux ports, lire son angle avec un méridien et suivre ce cap.

Sur une carte cylindrique les méridiens sont parallèles, mais se rejoignent aux pôles sur le globe. À latitude φ, leur distance réelle ne vaut que cos φ de celle de l’équateur, tandis qu’elle reste constante sur la carte. Chaque parallèle est donc étiré d’est en ouest par 1 / cos φ, la sécante de φ. Pour préserver les petites formes, Mercator étire nord–sud du même facteur. La somme de ces étirements donne y = R ln tan(45° + φ/2).

Vérifiez les chiffres dans le modèle : le parallèle de 60° est à 1,317 rayon terrestre au-dessus de l’équateur, celui de 75° à 2,028. À 85°, il est déjà à 3,131 rayons et sa longueur est multipliée par 11,47. Le pôle serait à l’infini ; la carte s’arrête donc à 85°.

Les deux directions étant étirées par sec φ, les aires le sont par sec² φ. À 30° cela vaut 1,33 ; à Séoul, 37,57°, 1,59 ; à 60°, exactement 4 ; à 75°, 14,9. Les cercles rouges restent ronds, ce qui exprime la conformité, mais celui de 60° est deux fois plus large qu’à l’équateur et couvre quatre fois l’aire.

Web Mercator et Mercator transverse

La carte de votre téléphone est presque Mercator. Les cartes web coupent à 85,0511° au nord et au sud, là où hauteur et largeur deviennent égales. Le monde carré se divise en 4 tuiles carrées, chacune en 4 autres, à chaque niveau de zoom. Google décrit ce découpage ; la projection est enregistrée EPSG:3857, « Pseudo-Mercator ». Les latitudes mesurées sur la Terre légèrement aplatie sont insérées dans une formule sphérique : sur l’ellipsoïde réel, elle n’est pas tout à fait conforme, ce qui compte pour les géomètres, mais se remarque rarement. Sur la sphère du modèle, les deux cartes ne diffèrent que par la coupure.

Couchez le cylindre pour toucher un méridien plutôt que l’équateur : c’est Mercator transverse. Elle reste conforme, l’échelle étant exacte sur le méridien central et augmentant lentement en s’en éloignant. À moins de 3° de celui-ci, l’erreur reste sous 1,4 pour mille. Le système UTM divise donc le monde en 60 fuseaux de 6°, chacun avec sa projection transverse et une échelle centrale réduite à 0,9996 pour répartir l’erreur. Le système national sud-coréen EPSG:5179 en utilise une seule à 127,5° E avec le même 0,9996. Le modèle montre le monde entier et les déformations extrêmes loin du méridien central.

Groenland, Afrique et taille réelle des pays

Le Groenland couvre 2,17 millions de km². L’Afrique compte 29,6 millions de km² de terres, soit 13,7 fois plus selon l’Annuaire démographique des Nations unies. Le Groenland est vers 72° N, où Mercator multiplie les aires par plus de dix ; l’Afrique chevauche l’équateur et s’agrandit peu. Sur Mercator dans le modèle, le Groenland occupe environ 35,8 millions de km² de papier et l’Afrique 32,7 millions : le Groenland paraît légèrement plus grand.

Glissez-le à l’équateur : sa surface dessinée revient près de ses vrais 2,17 millions de km². Le pays n’a pas changé, seulement sa position. Le contour pointillé indique son origine. Cela fonctionne avec chaque pays. Le tableau des tailles donne sa surface à sa position actuelle sur les 25 projections, de la plus petite à la plus grande.

Quelques comparaisons des contours du modèle, Natural Earth 1:110m, avec seulement la plus grande masse terrestre de chaque pays :

L’aire des contours est calculée sur une sphère de rayon 6371,0088 km. Simplifier les côtes modifie les totaux d’environ un pour cent : l’Afrique du modèle vaut ainsi 13,5 fois le Groenland, contre 13,7 dans les chiffres officiels.

L’illusion suit le nord–sud, pas l’est–ouest. Mercator n’étire qu’en fonction de la latitude : deux pays à même latitude sont comparés équitablement. Europe, Amérique du Nord et Asie du Nord paraissent trop grandes ; Afrique, Amérique du Sud, Inde et Asie du Sud-Est, trop petites. C’est le cœur du débat sur la carte scolaire.

Cercles de Tissot et mesure des déformations

En 1859 et 1881, Nicolas Auguste Tissot a montré que toute projection transforme un cercle infiniment petit du globe en ellipse sur la carte. Taille et forme de cette indicatrice de Tissot décrivent toute la déformation en ce point. Le modèle dessine des cercles de 500 km de rayon sur sept latitudes, assez petits pour approcher ce comportement.

Quatre valeurs décrivent l’ellipse, et la sonde les donne au point touché. L’échelle méridienne h vaut 1 si la distance nord–sud est exacte, 2 si elle double. L’échelle le long du parallèle est k. Leur produit, corrigé de l’obliquité entre les directions, est le facteur d’aire s. La variation angulaire maximale ω mesure la déformation des formes ; elle vaut 0 sur une carte conforme. Snyder donne les formules ; le modèle les calcule en déplaçant un point d’un cent-millième de radian vers le nord et l’est puis en mesurant sa nouvelle position.

La carte thermique représente les mêmes valeurs partout. En mode aire, blanc signifie taille exacte, rouge plus grande et bleu plus petite. Les pôles de Mercator rougissent. Toute projection équivalente reste blanche. En mode forme, rouge signifie davantage de déformation angulaire. Mercator reste blanche, les projections équivalentes rougissent vers les bords.

Valeurs du modèle à trois latitudes, à 17° du méridien central, sous la forme facteur d’aire / variation angulaire ω :

Robinson et Winkel tripel dessinent le monde un peu plus petit que le globe de rayon 1, d’où un facteur d’aire inférieur à 1 près de l’équateur. Ce qui compte est sa variation : de 0,82 à 1,19 sur Robinson, contre 1 à 4 sur Mercator dans la même plage.

Les cartes qui conservent les aires

Johann Heinrich Lambert a décrit la plus simple en 1772. Sur un cylindre tangent à l’équateur, placez chaque parallèle à hauteur sin φ. La bande entre deux parallèles a alors exactement la même aire sur carte et globe : Archimède avait montré que chaque tranche horizontale d’une sphère et de son cylindre circonscrit ont la même aire. Le prix est la forme : près des pôles, les parallèles se serrent et les pays s’aplatissent.

On choisit où les formes sont exactes en étirant horizontalement et comprimant verticalement du même facteur. Avec des formes exactes à 45°, on obtient la carte décrite par James Gall en 1855 et promue par Arno Peters en 1973, dite Gall–Peters. Elle paraît haute et étroite : à l’équateur, un petit cercle devient une ellipse deux fois plus haute que large, h = 1,414 et k = 0,707.

Une carte équivalente n’est pas forcément rectangulaire. La sinusoïdale trace chaque parallèle à sa vraie longueur, centré, les méridiens devenant sinusoïdes et les pôles des pointes. Mollweide (1805) place le monde dans une ellipse deux fois plus large que haute, exacte le long de 40°44′ N et S. Hammer (1892) prend une moitié de l’azimutale équivalente de Lambert et double sa largeur, courbant les parallèles. Goode (1923) joint la sinusoïdale près de l’équateur à Mollweide au-delà de 40°44′ et coupe dans les océans pour donner un méridien central à chaque continent. Equal Earth (2018) a été conçue après le choix de Gall–Peters par les écoles de Boston, comme une équivalente ressemblant à Robinson.

Activez la carte thermique d’aire sur l’une d’elles : tout reste blanc. Déplacez ensuite un pays : sa surface dessinée demeure identique, seule sa forme change. Sur Gall–Peters, le Groenland est haut et mince à l’équateur, bas et large chez lui, mais couvre toujours 2,17 millions de km².

Les projections de compromis

La plupart des cartes murales et des atlas ne conservent exactement ni angles ni aires. Elles cherchent une image visuellement juste avec des erreurs modérées partout.

La plate carrée, peut-être la plus ancienne grille mondiale, prend directement latitude et longitude comme coordonnées. Chaque méridien conserve sa longueur, chaque parallèle est étiré par sec φ. C’est le format naturel des données sur grille latitude–longitude, souvent utilisé pour images satellites et modèles climatiques. La cylindrique de Miller (1942) multiplie les latitudes de Mercator par 0,8 puis divise le résultat par 0,8 pour inclure les pôles. La cylindrique stéréographique de Gall (1855), sécante à 45°, était courante dans les atlas britanniques.

Arthur Robinson a suivi une autre voie en 1963 : il a ajusté visuellement une table de longueurs et d’espacements des parallèles jusqu’à obtenir des continents satisfaisants, puis adapté la carte à cette table. Rand McNally l’a utilisée ; National Geographic l’a adoptée en 1988 après 66 ans de Van der Grinten. En 1998, cette dernière est passée à Winkel tripel, moyenne de la plate carrée et d’Aitoff proposée par Oswald Winkel en 1921, déformant moins les terres polaires. Pour les deux, le facteur d’aire passe d’environ 0,8 à l’équateur à environ 1,2 à 60° : le Groenland reste trop grand, mais d’environ 50 pour cent, pas dix fois.

Projections azimutales et lampe dans le globe

La gnomonique est une vraie ombre. Une lumière au centre du globe projette les points sur un plan tangent. Chaque grand cercle est dans un plan passant par le centre ; celui-ci coupe le papier en droite. Tous les grands cercles, et eux seuls, deviennent donc droits. L’étirement est immense : moins d’un hémisphère tient, et le modèle s’arrête à 62° du centre, avec un rayon déjà de 1,881 R, presque 12 000 km. Snyder indique qu’elle serait la plus ancienne, attribuée à Thalès vers 550 av. J.-C.

Déplacez la lampe au point opposé : l’ombre devient stéréographique, connue d’Hipparque au IIe siècle av. J.-C. Elle est conforme et conserve même tous les cercles, quelle que soit leur taille. Les dimensions augmentent vers les bords ; à 90° du centre, la largeur double et l’aire est multipliée par quatre. La stéréographique polaire sert à cartographier les glaces marines ; NSIDC fixe l’échelle exacte à 70° pour limiter les erreurs à leur bord.

Une lampe très éloignée donne des rayons parallèles : l’orthographique, vue d’une caméra lointaine. À hauteur d’un satellite, on obtient la perspective verticale. Le curseur d’altitude déplace l’observateur. À 400 km, depuis la Station spatiale internationale, le disque visible a 2200 km de rayon, soit 3 pour cent de la Terre. À l’altitude GPS de 20 200 km, on voit 38 pour cent. Depuis l’orbite géostationnaire à 35 786 km, où se trouve GOES-East, on voit 42 pour cent, jusqu’à 81° du centre. Même de la Lune, on n’en voit que 49 pour cent.

Deux azimutales ne sont pas des ombres. L’équidistante conserve toutes les distances depuis son centre : centrée au pôle Nord, Séoul à 37,57° N est à 5830 km du centre, et le pôle Sud devient un bord circulaire distant de 20 015 km. L’emblème des Nations unies l’utilise. Activez « Centrer sur la première ville » pour centrer sur Séoul et lire distance et direction exactes vers partout. L’azimutale équivalente de Lambert conserve les aires et place le monde dans un cercle de rayon 2 R.

Des cônes aux latitudes moyennes

Pour un pays étendu d’est en ouest aux latitudes moyennes, le cône convient mieux que le cylindre. La conique conforme de Lambert (1772) conserve les angles, avec une échelle exacte sur deux parallèles standards. Les cartes aéronautiques américaines prennent 33° et 45°, comme le modèle. Entre les deux, l’échelle est légèrement trop petite, 0,997 à 35° ; au-delà, elle augmente. Une droite y approche un grand cercle sur des distances de vol habituelles, ce qui convient aux pilotes.

La conique équivalente d’Albers (1805) conserve plutôt les aires. Snyder donne 29,5° et 45,5° comme parallèles standards de l’US Geological Survey pour les 48 États, repris ici. Sur Albers, le pôle Nord est un arc, non un point. La conique équidistante garde la longueur des méridiens, donc les distances nord–sud ; Ptolémée en décrivait une version simple vers 150 apr. J.-C.

Le cône du modèle enveloppe le globe, reçoit les points, puis s’ouvre en éventail suivant une coupure au méridien 180°. La conique de Lambert agrandit tellement les terres près du pôle Sud que le modèle s’arrête à 38° S.

Déplier un polyèdre

R. Buckminster Fuller demandait plutôt : et si la carte n’avait ni haut ni centre ? Life a publié sa première carte Dymaxion en 1943 sur un cuboctaèdre à découper de 14 faces ; il a ensuite choisi l’icosaèdre à 20 faces. Ses 12 sommets tombent dans les océans, puis le dépliage rassemble presque toutes les terres en une seule île dans un océan unique.

Le modèle emploie l’icosaèdre aux positions de Fuller. Chaque face est remplie par projection gnomonique depuis le centre, alors que Fuller utilisait sa transformation plus régulière. Il cherche ensuite un patron gardant le plus de terres jointes possible. Le globe devient d’abord le solide, puis chaque face pivote vers sa position plane, les plus éloignées de la première bougeant plus tard. Le modèle vérifie que les 12 sommets forment un icosaèdre régulier et qu’aucune face ne chevauche une autre.

L’AuthaGraph de Hajime Narukawa, grand prix Good Design du Japon en 2016, en est une descendante moderne : elle passe par un polyèdre pour transformer le globe en rectangle juxtaposable dans toutes les directions.

Le trajet le plus court et le cap constant

Sur une sphère, le plus court chemin est un arc de grand cercle, dont le centre est celui de la Terre. Une loxodrome traverse chaque méridien au même angle : c’est la route d’un navire à cap constant. Les deux ne coïncident que sur l’équateur ou un méridien.

Séoul et New York sont proches de 40° N. La loxodrome part presque à l’est, à 88,5°, et mesure 13 715 km. Le grand cercle part à 16° à l’est du nord, monte à 77,4° N dans l’Arctique et mesure 11 053 km : la loxodrome est 24 pour cent plus longue. Voilà pourquoi les vols entre Asie orientale et Amérique du Nord montent autant au nord. Londres–New York présente moins d’écart, 5794 km contre 5570 km, environ 4 pour cent, les villes étant plus proches. De Sydney à São Paulo, le grand cercle descend à 74,4° S près de l’Antarctique.

Les cartes dessinent différemment ces routes, et l’outil indique laquelle est droite. Sur Mercator, la loxodrome est droite et le grand cercle se courbe vers le pôle. Sur la gnomonique, le grand cercle est droit. Sur l’azimutale équidistante centrée sur la première ville, il part droit du centre. Les navigateurs associaient les cartes : ils traçaient le grand cercle sur une gnomonique, relevaient des points puis les copiaient sur Mercator pour naviguer entre eux par de courts segments loxodromiques.

Des nombres à vérifier

Les formules du modèle sont comparées aux exemples de Snyder pour 15 projections, de Mercator, x = 1,8325957, y = 0,6528366 pour 35° N, 75° O et méridien central 180°, à Mollweide, x = 0,1788845, y = −0,9208758. Chaque équivalente garde aussi un facteur d’aire de 1 à 0,002 pour cent près sur toute la carte ; chaque conforme garde ω sous 0,002° ; le grand cercle Séoul–New York reste droit sur la gnomonique.

Choisir une projection

Aucune projection ne convient à tout. Le cartographe commence donc par la question à laquelle la carte doit répondre.

Pour suivre un cap, Mercator donne une loxodrome droite. Pour chercher le plus court trajet, prenez la gnomonique ou une azimutale équidistante centrée au départ. Pour comparer population, forêts ou pluie par pays, utilisez une équivalente, sinon l’image trompe sur les quantités. Pour le monde : Equal Earth, Mollweide ou Goode ; pour un continent : l’azimutale équivalente de Lambert ; pour un pays de latitude moyenne : Albers. Pour garder les formes locales en topographie ou à grande échelle, choisissez une conforme : Mercator transverse pour les régions nord–sud, conique de Lambert pour celles d’est en ouest, stéréographique polaire près des pôles. Sur un mur, Winkel tripel ou Robinson modèrent chaque type d’erreur.

L’outil de taille montre l’enjeu : déplacez un pays de l’équateur à 60° et observez le tableau. Les équivalentes gardent « × 1,00 », tandis que Mercator monte à 4.

Une courte histoire

La gnomonique serait la plus ancienne, attribuée à Thalès de Milet vers 550 av. J.-C. Hipparque connaissait stéréographique et orthographique au IIe siècle av. J.-C. Ptolémée attribuait la plate carrée à Marinos de Tyr vers 100 apr. J.-C. ; vers 150, sa Géographie décrivait des cartes coniques du monde connu.

Gerardus Mercator a présenté sa projection en 1569 sur une grande carte pour navigateurs. Il aurait fixé graphiquement les parallèles. Edward Wright en Angleterre a calculé la théorie et publié des tables en 1599. Johann Heinrich Lambert a introduit sept projections en 1772, dont conique conforme, Mercator transverse, azimutale et cylindrique équivalentes. Heinrich Albers a présenté sa conique et Carl Mollweide son ellipse en 1805. James Gall a décrit trois cylindriques en 1855. Tissot a publié ses analyses en 1859 et 1881. Hammer a suivi en 1892, Winkel tripel en 1921, Goode en 1923 et Miller en 1942.

Au XXe siècle, le choix est devenu un débat public. Arno Peters a présenté sa carte en 1973 comme plus juste envers les tropiques ; les cartographes ont rappelé qu’elle reprenait Gall de 1855 et déformait fortement les formes. En 1989, des sociétés cartographiques américaines ont demandé d’abandonner les cartes mondiales rectangulaires pour les usages généraux. National Geographic a utilisé Robinson dès 1988 et Winkel tripel dès 1998. Les cartes web ont choisi Web Mercator pour ses tuiles carrées. En 2017, Boston a placé Gall–Peters à côté de Mercator dans les écoles ; en 2018, Šavrič, Patterson et Jenny ont répondu avec Equal Earth.

Les simplifications du modèle

La Terre est une sphère de rayon moyen 6371,0088 km. Elle est réellement aplatie d’environ 0,3 pour cent aux pôles ; la topographie précise utilise des formules ellipsoïdales, mais à l’échelle mondiale la différence est invisible. Côtes et pays viennent de Natural Earth au 1:110 millions, encore simplifiés. Seule la plus grande masse terrestre est retenue : les 48 États sans Alaska ni Hawaii, le Canada continental sans îles arctiques, la Norvège sans Svalbard.

Chaque projection possède un jeu de paramètres. Les coniques prennent les parallèles de Snyder pour les États-Unis, la vue satellite est centrée sur la première ville et Mercator transverse sur Greenwich sauf changement par un exemple. L’icosaèdre utilise des faces gnomoniques plutôt que la transformation de Fuller. Mercator s’arrête à 85°, la gnomonique à 62° du centre et la conique de Lambert à 38° S. Les transitions montrent où vont les points ; seule la carte plane finale suit exactement la formule.