Groenlândia e África: compare seus tamanhos no mapa

O que o modelo mostra

A Groenlândia parece tão grande quanto a África num mapa de Mercator porque essa projeção amplia as áreas distantes do equador. Um mapa plano não consegue preservar todas as propriedades de um globo ao mesmo tempo. Comparar projeções mostra quais preservam as áreas e quais preservam os ângulos.

Olhe um mapamúndi de sala de aula e a Groenlândia parece aproximadamente tão grande quanto a África. Num globo, ela é uma ilha modesta ao lado de um continente enorme. Nenhuma das duas imagens está errada de propósito. Uma esfera não pode ser achatada sem esticar algumas de suas partes, e todo mapa plano escolhe para onde vai esse esticamento. Esta exposição mostra essa escolha sendo feita, um ponto por vez, para 25 mapas diferentes.

O modelo começa como um globo de raio 1. O controle marcado "Do globo ao mapa" envolve o globo em papel, corta esse papel e o estende num plano. O que esse papel representa depende da projeção. Para Mercator e suas parentes, é um cilindro que toca o equador. Para Mercator transversa, é um cilindro deitado de lado, tocando um meridiano. Para os mapas cônicos, é um cone sobre as latitudes médias, que se abre num leque. Para os azimutais, é uma folha plana tocando o globo em um ponto e, em três deles (gnomônica, estereográfica e vista de satélite), uma pequena lâmpada mostra de onde vem a luz que projeta a sombra. O último mapa põe o globo num icosaedro e desdobra suas 20 faces. Aperte reproduzir e o modelo repete o movimento, do globo ao mapa e de volta.

O globo é coberto por uma grade de 144 por 72 células (72 por 36 em telefones lentos). Cada canto da grade é posicionado pela fórmula da projeção escolhida, e a imagem do litoral acompanha a grade, de modo que os continentes se esticam exatamente como diz a fórmula. Os pontos vermelhos são círculos de Tissot, cada um com raio de 500 km. A forma verde é um país que você pode arrastar para qualquer lugar; começa como a Groenlândia, e o laboratório abaixo dos controles oferece outros 34. O contorno marrom é a África, que fica parada como referência de medida. As linhas roxa e laranja são duas rotas entre duas cidades: a mais curta e a que mantém um único rumo de bússola. O painel no canto acompanha os resultados: a projeção, o que preserva, o fator de área no centro do país, o tamanho que o país ocupa no mapa e quantas vezes ele cabe na África.

Há mais abaixo dos controles. A lista de projeções explica todos os 25 mapas e indica o que cada um preserva. A tabela de tamanhos mostra o país escolhido em todas as projeções ao mesmo tempo, ordenado do menor ao maior. A ferramenta de rotas fornece distâncias e rumos. Toque no mapa plano e o modelo mede a distorção naquele ponto. Seis tarefas pedem que você encontre um mapa específico, e 48 casos preparam mapas famosos, usos e comparações de tamanho com um só toque.

Por que um globo não pode ficar plano

Tente achatar metade de uma casca de laranja e ela se rasga. A casca é curva em duas direções ao mesmo tempo, enquanto uma folha de papel não é. Você consegue enrolar papel num cilindro ou cone sem esticá-lo porque essas formas são curvas em apenas uma direção. Uma esfera é diferente: sua curvatura é a mesma em todas as direções e em cada um de seus pontos.

Carl Friedrich Gauss provou em 1827 que essa curvatura é algo que uma superfície conserva independentemente de como você a dobre, desde que não a estique. Uma folha plana tem curvatura zero, e uma esfera não; portanto, dobrar de qualquer maneira não transforma uma na outra. Todo mapa plano do mundo precisa alongar algumas distâncias e encurtar outras.

O que um mapa pode fazer é escolher o que proteger. Pode manter os ângulos corretos em cada pequena vizinhança, de modo que um círculo minúsculo no globo continue circular no mapa; esses mapas são chamados conformes. Pode manter as áreas corretas, para cada país ocupar sua proporção justa de papel; esses são os mapas equivalentes. Pode manter distâncias verdadeiras ao longo de certas linhas, ou a partir de um ponto. Pode transformar todo círculo máximo numa reta. Mas não consegue fazer tudo isso ao mesmo tempo e, em particular, nenhum mapa é simultaneamente conforme e equivalente. As etiquetas da lista de projeções mostram a escolha feita por cada mapa.

Como o globo vira mapa

A maioria das projeções não são sombras reais. São fórmulas que recebem uma latitude φ e uma longitude λ e devolvem um ponto x, y no papel. Ainda assim, a antiga imagem de envolver o globo em papel ajuda porque mostra onde um mapa é preciso: onde quer que o papel toque o globo, o mapa tem escala verdadeira.

Um cilindro enrolado em torno do equador o toca ao longo do equador. Desenrole-o e surge um retângulo em que os meridianos são retas verticais igualmente espaçadas, e os paralelos são retas horizontais. Todos os mapas cilíndricos compartilham essa grade. Diferem apenas na distância que deixam entre os paralelos. Espaçá-los por ln tan(45° + φ/2) produz Mercator. Espaçá-los uniformemente produz a plate carrée. Espaçá-los por sin φ produz a projeção equivalente de Lambert.

Um cone colocado sobre o globo como uma cúpula de abajur o toca ao longo de um paralelo ou o atravessa ao longo de dois. Desenrolado, torna-se um leque: meridianos são retas que se encontram no vértice, e paralelos são arcos de círculo. Mapas cônicos se ajustam a países que se estendem de leste a oeste nas latitudes médias, como Estados Unidos, China ou Europa.

Uma folha plana tocando o globo em um ponto produz um mapa azimutal. Em todos eles, as direções a partir desse ponto central são verdadeiras. Aqui, três são projeções de perspectiva reais. Com a lâmpada no centro do globo, você obtém a gnomônica. Com a lâmpada no ponto oposto ao centro, obtém a estereográfica. Com a lâmpada infinitamente distante, obtém a ortográfica, e, com a lâmpada à altura de um satélite, obtém a perspectiva vertical. A azimutal equidistante e a azimutal equivalente de Lambert usam a mesma folha, mas posicionam cada ponto por uma fórmula, não pela luz.

Alguns mapas não se enquadram em nenhuma dessas formas. Pseudocilíndricos como sinusoidal, Mollweide, Robinson e Equal Earth mantêm os paralelos retos, mas curvam os meridianos para dentro em direção aos polos. A homolosina de Goode abre cortes no mapa pelos oceanos. O mapa do icosaedro envolve o globo em 20 triângulos e os desdobra. O modelo também usa a animação do cilindro para os pseudocilíndricos, assim você acompanha os meridianos se curvando enquanto o papel se desenrola.

Mercator preserva ângulos, não tamanhos

Mercator queria uma carta na qual a rota de um navio com rumo constante de bússola, uma loxodromia, fosse uma reta. Assim, um navegador poderia colocar uma régua entre dois portos, ler o ângulo em relação a qualquer meridiano e seguir naquele ângulo.

Em um mapa cilíndrico, os meridianos são paralelos, enquanto no globo eles se encontram nos polos. Na latitude φ, a distância real entre dois meridianos é apenas cos φ da distância no equador, mas no mapa permanece igual. Assim, cada paralelo se alonga de leste a oeste por 1 / cos φ, a secante de φ. Para manter pequenas formas sem distorção, Mercator alonga de norte a sul pelo mesmo fator exato. O espaçamento dos paralelos é a soma de todos esses pequenos alongamentos e resulta em y = R ln tan(45° + φ/2).

Você pode conferir os números no modelo. O paralelo de 60° fica 1,317 raios terrestres acima do equador, e o paralelo de 75°, 2,028 raios. Em 85°, já está 3,131 raios acima, e o paralelo situado ali é desenhado 11,47 vezes mais longo do que realmente é. O próprio polo ficaria infinitamente distante, por isso o mapa para em 85°.

Como ambas as direções são alongadas por sec φ, as áreas são ampliadas por sec² φ. Na latitude de 30°, esse fator vale 1,33; na latitude de Seul, de 37,57°, ele vale 1,59; em 60°, vale exatamente 4; e em 75°, vale 14,9. No modelo, os círculos vermelhos de Tissot continuam redondos, que é o significado de conforme, mas o círculo em 60° tem o dobro da largura daquele no equador e cobre quatro vezes sua área.

Web Mercator e Mercator transversa

O mapa no seu telefone é quase Mercator. Mapas web cortam o mundo em 85,0511° norte e sul, latitude em que o mapa fica exatamente tão alto quanto largo. Um mundo quadrado pode ser dividido em 4 blocos quadrados, cada um em outros 4, e assim por diante em cada nível de ampliação. A documentação do Google descreve essa divisão em blocos, e a projeção está registrada como EPSG:3857, "Pseudo-Mercator". O "pseudo" está ali porque mapas web pegam latitudes medidas na Terra ligeiramente achatada e as colocam na fórmula de uma esfera. No elipsoide real, o resultado não é inteiramente conforme, algo que importa aos profissionais de levantamento e que a maioria dos usuários nunca percebe. Na esfera usada neste modelo, os dois mapas são os mesmos, com exceção do corte.

Deite o cilindro de lado para que toque um meridiano em vez do equador e você obtém Mercator transversa. Ela ainda é conforme, e agora a escala é verdadeira ao longo desse meridiano central e cresce lentamente à medida que nos afastamos dele. Até 3° do meridiano central, o erro de escala fica abaixo de 1,4 parte em mil. Por isso o sistema Universal Transversa de Mercator divide o mundo em 60 zonas de 6° de largura, cada uma com sua própria Mercator transversa, e reduz a escala no meridiano central a 0,9996 para distribuir o erro pela zona. A grade nacional da Coreia do Sul, EPSG:5179, usa uma única Mercator transversa em 127,5° E com o mesmo 0,9996. No modelo, a Mercator transversa mostra o mundo inteiro, e você vê como se alonga exageradamente longe do meridiano central.

Groenlândia, África e o tamanho real dos países

A Groenlândia cobre 2,17 milhões de km². A área terrestre da África é de 29,6 milhões de km², 13,7 vezes maior, segundo o Anuário Demográfico das Nações Unidas. A Groenlândia fica por volta de 72° N, onde Mercator amplia as áreas mais de dez vezes; a África atravessa o equador, onde quase não as amplia. No mapa de Mercator do modelo, a Groenlândia cobre cerca de 35,8 milhões de km² de papel e a África, 32,7 milhões, de modo que a Groenlândia aparece um pouco maior.

Arraste a Groenlândia ao equador e seu tamanho no mapa cai para perto dos verdadeiros 2,17 milhões de km². A terra nunca mudou; só mudou sua posição no mapa. O contorno tracejado marca de onde ela veio. O mesmo truque funciona para todos os países da lista. A tabela abaixo da ferramenta de tamanho mostra o país, na posição atual, em todas as 25 projeções, da que o desenha menor à que o desenha maior.

Algumas comparações dos contornos do modelo (Natural Earth 1:110m, apenas a maior massa terrestre de cada país):

A área de cada contorno é calculada numa esfera de raio 6371,0088 km. Simplificar o litoral muda os totais em cerca de um por cento, por isso a África do modelo é 13,5 vezes a Groenlândia, não as 13,7 das cifras oficiais.

A ilusão ocorre no sentido norte–sul, não leste–oeste. Mercator alonga apenas segundo a latitude, portanto dois países na mesma latitude são comparados de forma justa. Europa, América do Norte e norte da Ásia parecem maiores do que são; África, América do Sul, Índia e Sudeste Asiático parecem menores. Esse é o centro da longa discussão sobre qual mapa deve ficar na parede da sala de aula.

Círculos de Tissot: medir a distorção

Em 1859 e 1881, o matemático francês Nicolas Auguste Tissot mostrou que qualquer projeção transforma um círculo infinitamente pequeno no globo numa elipse no mapa. O tamanho e o formato dessa elipse, chamada indicatriz de Tissot, contam tudo sobre a distorção naquele ponto. O modelo desenha círculos de raio 500 km, pequenos o suficiente para se comportarem quase como os de Tissot, em sete latitudes.

Quatro números descrevem cada elipse, e a sonda do laboratório os mostra para qualquer ponto que você toque. A escala ao longo do meridiano é h: 1 significa que uma distância norte–sul é desenhada corretamente, 2 significa o dobro do comprimento. A escala ao longo do paralelo é k. Seu produto, corrigido por eventual obliquidade entre as duas direções, é o fator de área s. A maior alteração de um ângulo, ω, mede quanto as formas se deformam; vale 0 num mapa conforme. Snyder fornece as fórmulas, e o modelo as calcula da própria projeção, deslocando um centésimo de milésimo de radiano para o norte e para leste e medindo para onde vai o ponto.

O mapa de calor pinta os mesmos números sobre a superfície inteira. No modo área, branco significa tamanho verdadeiro, vermelho maior e azul menor. Em Mercator, os polos ficam vermelhos. Em toda projeção equivalente, o mapa inteiro continua branco. No modo forma, vermelho significa ângulos mais deformados. Mercator fica branca em toda parte, e as equivalentes ficam vermelhas em direção às bordas.

Estes são valores do modelo em três latitudes, a 17° do meridiano central (fator de área / deformação angular ω):

Robinson e Winkel tripel desenham o mundo inteiro um pouco menor que o globo de raio 1, por isso seu fator de área fica abaixo de 1 perto do equador. O que importa é quanto muda ao longo do mapa: de 0,82 a 1,19 em Robinson, contra 1 a 4 em Mercator no mesmo intervalo.

Mapas que preservam áreas

Johann Heinrich Lambert descreveu a projeção equivalente mais simples em 1772. Coloque cada paralelo à altura sin φ num cilindro que toca o equador. A faixa entre dois paralelos terá exatamente a mesma área no mapa e no globo, porque Arquimedes já havia mostrado que uma esfera e o cilindro em torno dela têm áreas iguais em cada fatia horizontal. O preço é a forma: perto dos polos, os paralelos se amontoam e todo país fica achatado.

Você pode escolher onde as formas são corretas esticando o mapa para os lados e comprimindo-o verticalmente pelo mesmo fator. Ponha as formas verdadeiras em 45° e terá o mapa descrito por James Gall em 1855 e promovido por Arno Peters em 1973, hoje chamado Gall–Peters. Ele parece alto e estreito: no equador, um pequeno círculo vira uma elipse com o dobro da altura em relação à largura, h = 1,414 e k = 0,707.

Projeções equivalentes não precisam ser retângulos. A sinusoidal desenha cada paralelo no comprimento verdadeiro, centrado no mapa, de modo que os meridianos viram curvas senoidais e o contorno termina em pontas nos polos. Mollweide (1805) acomoda o mundo numa elipse com o dobro da largura em relação à altura, com escala verdadeira em 40°44′ N e S. Hammer (1892) pega metade da azimutal equivalente de Lambert e a estica ao dobro da largura, curvando os paralelos. Goode (1923) uniu a sinusoidal perto do equador à Mollweide além de 40°44′ e cortou o mapa nos oceanos, para cada continente ter seu próprio meridiano central e conservar uma forma razoável. Equal Earth (2018) foi projetada depois que as escolas de Boston escolheram Gall–Peters, como uma equivalente com aparência de Robinson.

No modelo, experimente o mapa de calor de área em qualquer uma delas. O mapa inteiro permanece branco. Depois mova um país: seu tamanho no mapa fica igual onde quer que vá, mudando apenas a forma. Em Gall–Peters, a Groenlândia no equador é alta e fina; na origem, baixa e larga; mas cobre 2,17 milhões de km² nas duas posições.

Projeções de compromisso

A maioria dos mapamúndis em paredes e atlas não preserva exatamente os ângulos nem as áreas. Busca uma imagem que pareça correta, com erros moderados de todos os tipos.

A plate carrée, talvez a mais antiga grade de mapamúndi, usa latitude e longitude diretamente como coordenadas. As distâncias ao longo de todos os meridianos são verdadeiras, e cada paralelo se alonga por sec φ. É o formato natural para dados numa grade de latitude–longitude, por isso imagens de satélite e modelos climáticos costumam ser armazenados assim. A cilíndrica de Miller (1942) é uma Mercator com latitudes multiplicadas por 0,8 e resultado dividido de volta por 0,8, para os polos caberem no mapa. A cilíndrica estereográfica de Gall (1855) corta o globo em 45° e foi comum em atlas britânicos.

Arthur Robinson seguiu outro caminho em 1963. Em vez de começar por uma fórmula, ajustou a olho uma tabela de comprimentos e espaçamentos dos paralelos até os continentes parecerem corretos, depois ajustou o mapa à tabela. Rand McNally a utilizou, e National Geographic a adotou em 1988 após 66 anos de Van der Grinten. Em 1998, National Geographic passou à Winkel tripel, a média de Oswald Winkel de 1921 entre plate carrée e Aitoff, que deforma menos a terra perto dos polos. Nos dois mapas, o fator de área cresce de cerca de 0,8 no equador para cerca de 1,2 em 60°, por isso a Groenlândia ainda fica grande demais, mas em aproximadamente 50 por cento, não dez vezes.

Azimutais e a lâmpada dentro do globo

A gnomônica é uma sombra verdadeira. Ponha uma luz no centro do globo e deixe-a projetar cada ponto numa folha plana que toca o globo. Todo círculo máximo está num plano que passa pelo centro, e um plano que passa pela luz encontra a folha numa reta. Assim, todo círculo máximo vira uma reta na gnomônica, e nada mais vira. O preço é um alongamento enorme: cabe menos de um hemisfério, e o modelo para a 62° do centro, onde o raio já é de 1,881 R, quase 12.000 km. Snyder observa que talvez seja a projeção mais antiga de todas, atribuída a Tales por volta de 550 a. C.

Mova a lâmpada ao ponto oposto ao centro e a sombra vira a estereográfica, conhecida por Hiparco no século 2 a. C. Ela é conforme e tem uma propriedade mais forte: todo círculo no globo, de qualquer tamanho, torna-se um círculo no mapa. Os tamanhos crescem em direção às bordas; a 90° do centro, tudo é desenhado com o dobro da largura e quatro vezes a área. Mapas estereográficos polares são padrão para gelo marinho, e o NSIDC fixa sua grade com escala verdadeira em 70° para haver pouca distorção na borda do gelo.

Ponha a lâmpada muito longe e os raios ficam paralelos: a ortográfica, o globo como uma câmera distante o vê. Ponha-a à altura de um satélite e terá a perspectiva vertical. O controle de altura move o ponto de vista. Da Estação Espacial Internacional, a 400 km, você vê um disco de raio 2200 km, 3 por cento da Terra. A partir da órbita do GPS, a 20.200 km, você vê 38 por cento da Terra. Da órbita geoestacionária, a 35.786 km, onde ficam satélites meteorológicos como GOES-East, vê 42 por cento, um disco que alcança 81° do centro. Mesmo da Lua, vê apenas 49 por cento.

Duas projeções azimutais não são sombras. A azimutal equidistante mantém distâncias verdadeiras do centro em todas as direções: na versão do polo Norte, Seul, em 37,57° N, fica a 5830 km do centro, e o polo Sul vira a borda externa, a 20.015 km. O emblema das Nações Unidas usa esse mapa. Ative "Centrar na primeira cidade" e o mapa será centrado em Seul, mostrando a distância e a direção verdadeiras de Seul para todo lugar. A azimutal equivalente de Lambert preserva áreas e acomoda o mundo inteiro num círculo de raio 2 R.

Cones para latitudes médias

Para um país que se estende de leste a oeste nas latitudes médias, um cone se ajusta melhor que um cilindro. A cônica conforme de Lambert (1772) mantém os ângulos, com escala verdadeira ao longo de dois paralelos padrão. Cartas aeronáuticas dos EUA usam paralelos padrão de 33° e 45°, assim como o modelo. Entre eles a escala é ligeiramente pequena demais (0,997 em 35°); fora deles, cresce. Uma reta nesse mapa fica próxima de um círculo máximo nas distâncias típicas de voo, o que serve aos pilotos.

A cônica equivalente de Albers (1805) preserva as áreas em vez disso. Snyder dá 29,5° e 45,5° como os paralelos padrão usados pelo US Geological Survey para os 48 estados, e o modelo os usa. Note que, no mapa de Albers, o polo Norte é um arco, não um ponto. A cônica equidistante desenha os meridianos no comprimento verdadeiro, portanto as distâncias norte–sul são verdadeiras; Ptolomeu descreveu uma versão simples dela por volta de 150 d. C.

No modelo, o cone fica sobre o globo, os pontos deslizam sobre ele e então se abre num leque plano, com o corte ao longo do meridiano de 180°. O cone de Lambert exagera tanto os tamanhos perto do polo Sul que o modelo o interrompe em 38° S.

Desdobrar um poliedro

R. Buckminster Fuller fez outra pergunta: e se o mapa não tivesse lado de cima nem centro? A revista Life imprimiu seu primeiro mundo Dymaxion em 1943 como um recortável sobre um cuboctaedro de 14 faces; depois ele usou o icosaedro de 20 faces. Posicionou o sólido para que todos os 12 vértices caíssem no oceano, depois o desdobrou para que os continentes formassem uma ilha quase contínua num único oceano.

O modelo faz o mesmo com um icosaedro nas posições de vértice de Fuller. Preenche cada face por uma projeção gnomônica a partir do centro do globo (Fuller usou uma transformação própria com espaçamento mais uniforme), depois encontra um desdobramento que mantém a maior quantidade possível de terra unida. Na animação, o globo primeiro se torna o sólido, depois cada face gira para seu lugar no desenvolvimento plano. As faces mais distantes da primeira se movem depois. O modelo verifica se os 12 vértices formam um icosaedro regular e se nenhuma face do desenvolvimento se sobrepõe a outra.

A AuthaGraph de Hajime Narukawa, vencedora do grande prêmio Good Design do Japão em 2016, é uma descendente moderna: dobra o globo através de um poliedro até virar um retângulo que pode ser repetido em todas as direções.

A rota mais curta e o rumo constante

Em uma esfera, o caminho mais curto entre dois pontos é um arco de um círculo máximo, um círculo cujo centro é o centro da Terra. Uma linha de rumo, ou loxodromia, é o caminho que cruza todos os meridianos no mesmo ângulo; um navio que mantém um rumo de bússola a segue. As duas rotas coincidem apenas ao longo do equador e ao longo de um meridiano.

Seul e Nova York ficam perto de 40° N. A loxodromia segue quase diretamente para leste, a 88,5°, e percorre 13.715 km. O círculo máximo parte a 16° a leste do norte, sobe a 77,4° N sobre o Ártico e tem 11.053 km, portanto a loxodromia é 24 por cento mais longa. Por isso voos entre o leste da Ásia e a América do Norte seguem tão ao norte. De Londres a Nova York, a diferença é menor, 5794 km contra 5570 km, cerca de 4 por cento, porque as duas cidades estão mais próximas. De Sydney a São Paulo, o círculo máximo desce a 74,4° S, perto da Antártida.

Cada mapa desenha essas rotas de maneira diferente, e o laboratório informa qual é reta no mapa atual. Em Mercator, a loxodromia é reta e o círculo máximo se curva em direção ao polo. Na gnomônica, o círculo máximo é reto. Na azimutal equidistante centrada na primeira cidade, o círculo máximo é uma reta que parte do centro. Navegadores usavam as duas cartas juntas: traçavam o círculo máximo numa gnomônica, liam pontos ao longo dele e os copiavam para uma Mercator, para seguir de um ponto ao próximo por uma série de loxodromias curtas.

Números que você pode conferir

As fórmulas do modelo são conferidas com os exemplos resolvidos de Snyder para 15 projeções, de Mercator (x = 1,8325957, y = 0,6528366 para 35° N, 75° O com meridiano central 180°) a Mollweide (x = 0,1788845, y = −0,9208758). Também se verifica que toda projeção equivalente mantém fator de área 1 com erro de até 0,002 por cento no mapa inteiro, que toda conforme mantém ω abaixo de 0,002° e que o círculo máximo entre Seul e Nova York é uma reta na gnomônica.

Como escolher uma projeção

Nenhuma projeção é a melhor para todas as finalidades, por isso os cartógrafos começam com a pergunta à qual o mapa precisa responder.

Se o mapa serve para navegar por uma bússola, use Mercator: uma linha reta representa um rumo constante. Se serve para achar a rota mais curta, use a gnomônica ou uma azimutal equidistante centrada no ponto de partida. Se compara quantidades distribuídas em áreas, como população, florestas ou chuva por país, use uma equivalente, ou a imagem mente sobre quanto há. Para o mundo inteiro, pode ser Equal Earth, Mollweide ou Goode; para um continente, uma azimutal equivalente de Lambert; para um país de latitude média, Albers. Se precisa manter formas locais em levantamentos ou mapas de grande escala, use uma conforme: Mercator transversa para regiões longas de norte a sul, cônica conforme de Lambert para as longas de leste a oeste, estereográfica polar perto dos polos. Para um mapamúndi geral na parede, um compromisso como Winkel tripel ou Robinson mantém moderados todos os erros.

A ferramenta de tamanho permite ver rapidamente o que está em jogo. Escolha um país, deslize-o do equador a 60° e observe a tabela: as equivalentes ficam estáveis em "× 1,00", enquanto Mercator sobe para 4.

Uma breve história

A gnomônica provavelmente é a mais antiga, atribuída a Tales de Mileto por volta de 550 a. C. Hiparco conhecia a estereográfica e a ortográfica no século 2 a. C. Ptolomeu atribuiu a plate carrée a Marino de Tiro por volta de 100 d. C., e, perto de 150 d. C., sua Geografia descreveu mapas cônicos do mundo conhecido.

Gerardus Mercator apresentou sua projeção em 1569 numa grande carta mundial feita para navegadores. Provavelmente definiu graficamente o espaçamento dos paralelos. Edward Wright, da Inglaterra, desenvolveu a matemática e publicou tabelas em 1599. Johann Heinrich Lambert introduziu sete projeções em 1772, entre elas cônica conforme, Mercator transversa, azimutal equivalente e cilíndrica equivalente. Heinrich Albers apresentou sua cônica e Carl Mollweide sua elipse em 1805. James Gall descreveu três mapas cilíndricos em 1855. Tissot publicou a análise da distorção em 1859 e 1881. Seguiram-se o mapa de Ernst Hammer em 1892, a tripel de Oswald Winkel em 1921, a homolosina de Paul Goode em 1923 e o cilindro de Osborn Miller em 1942.

O século 20 transformou a escolha do mapa numa discussão pública. Arno Peters apresentou seu mapa em 1973 como uma imagem mais justa dos trópicos; cartógrafos apontaram que era o mapa de Gall de 1855 e deformava muito as formas. Em 1989, sociedades cartográficas americanas pediram que editoras parassem de usar mapamúndis retangulares para fins gerais. National Geographic usou Robinson desde 1988 e Winkel tripel desde 1998. Mapas on-line adotaram Web Mercator pelos blocos quadrados. Em 2017, escolas públicas de Boston penduraram Gall–Peters ao lado de Mercator, e em 2018 Šavrič, Patterson e Jenny responderam com Equal Earth.

O que o modelo simplifica

A Terra é tratada como uma esfera de raio 6371,0088 km, o raio médio. A Terra real é cerca de 0,3 por cento mais achatada nos polos, e projeções para levantamentos precisos usam fórmulas elipsoidais; na escala de um mapamúndi, a diferença é invisível. Litorais e contornos de países vêm de Natural Earth em 1:110 milhões, ainda mais simplificados, e cada país é representado apenas pela maior massa terrestre: os 48 estados dos EUA sem Alasca e Havaí, o Canadá continental sem as ilhas árticas, a Noruega continental sem Svalbard.

Cada projeção é desenhada com um conjunto de parâmetros. As cônicas usam os paralelos de Snyder para os Estados Unidos, a vista de satélite é centrada na primeira cidade e a Mercator transversa usa Greenwich como meridiano central, salvo quando um caso o muda. O mapa do icosaedro usa faces gnomônicas, não a transformação própria de Fuller. Mercator para em 85°, a gnomônica a 62° do centro e a cônica de Lambert em 38° S. As animações entre globo e mapa mostram para onde vão os pontos; só o mapa plano final segue a fórmula com exatidão.