地图投影：为什么格陵兰看起来和非洲一样大

模型展示什么

格陵兰在墨卡托地图上看起来和非洲一样大，因为这种投影会放大远离赤道的地区。平面地图无法同时保留地球仪的所有性质。比较不同投影，就能看出哪些保持面积，哪些保持角度。

看教室里的世界地图，格陵兰似乎和非洲差不多大。在地球仪上，它却只是巨大大陆旁的一座不大的岛屿。这两幅图都不是有意画错的。球面不拉伸某些部分就无法压平，每幅平面地图都要选择把拉伸放在哪里。本展览逐点展示 25 种不同地图如何作出这种选择。

模型从半径为 1 的地球仪开始。标有「地球仪到地图」的滑块把纸包在地球仪上，再把纸剪开铺平。纸是什么形状，取决于投影。对于墨卡托及其同类投影，它是与赤道相切的圆柱。对于横轴墨卡托，它是横放的圆柱，与一条经线相切。对于圆锥投影，它是罩在中纬度上方的圆锥，展开后成为扇形。对于方位投影，它是与地球仪上一点相切的平纸，其中三种投影（球心投影、球面立体投影和卫星视图）用一盏小灯展示投下影子的光从哪里来。最后一种地图把地球仪放到二十面体上，再展开它的 20 个面。按下播放，模型就会反复从地球仪变成地图，再变回去。

地球仪表面覆盖着 144 × 72 个网格单元（运行较慢的手机上为 72 × 36）。网格的每个顶点都按所选投影的公式定位，海岸线图像附着在网格上，因此大陆严格按照公式拉伸。红点是蒂索圆，每个圆的半径都是 500 km。绿色形状是可以任意拖动的国家或地区；初始为格陵兰，控制区下方的实验室还提供另外 34 个选择。棕色轮廓是非洲，它固定不动，作为比较基准。紫线和橙线是两座城市之间的两条路线：最短路线，以及保持单一罗盘航向的路线。角落的面板记录投影、它保持什么不变、国家中心处的面积比、国家在地图上有多大，以及非洲能容纳多少个这样的国家。

控制区下方还有更多内容。投影列表解释全部 25 种地图，并标出每种保持什么不变。面积表同时列出所选国家在所有投影上的大小，并按从小到大排序。路线工具给出距离和航向。点击平面地图，模型就会测量该点的变形。六项任务要求你找到特定地图，48 个案例则可一键设置著名地图、用途和面积比较。

为什么地球仪不能铺平

试着把半个橙子的皮压平，它就会撕裂。橙皮同时在两个方向上弯曲，而纸不是这样。你可以把纸卷成圆柱或圆锥而不拉伸，因为这些形状只沿一个方向弯曲。球面不同：每一点沿所有方向的曲率都相同。

卡尔·弗里德里希·高斯在 1827 年证明，只要不拉伸，曲面无论怎样弯折都会保持这种曲率。平纸的曲率为零，球面却不是，所以无论怎样弯折，都无法把一个变成另一个。每幅平面世界地图都必须拉长一些距离，同时缩短另一些距离。

地图能做的是选择保护什么。它可以让每个很小的邻域内的角度保持正确，使地球仪上的小圆在地图上仍是圆；这样的地图叫作等角地图。它可以保持面积，让每个国家占据应有比例的纸面；这样的地图叫作等积地图。它可以保持某些线上的距离，或者从某一点量起的距离。它可以让每条大圆都成为直线。但它无法同时做到所有这些，尤其不存在既等角又等积的地图。投影列表里的标记显示每幅地图作了什么选择。

地球仪怎样变成平面地图

大多数投影并不是真实的影子。它们是把纬度 φ 和经度 λ 转换成纸面上的点 x、y 的公式。不过，用纸包住地球仪的传统图景仍有帮助，因为它告诉你地图在哪里准确：凡是纸与地球仪接触的地方，地图的比例尺就是真实的。

绕赤道包裹的圆柱沿赤道与球面接触。展开后得到一个矩形，经线是均匀间隔的竖直直线，纬线是水平直线。所有圆柱投影都有这样的经纬网。它们的区别仅在纬线的间距。按 ln tan(45° + φ/2) 设置间距，就得到墨卡托投影。等间距排列，就得到等距圆柱投影。按 sin φ 排列，就得到兰伯特等积投影。

像灯罩一样罩在地球仪上的圆锥，沿一条纬线与球面相切，或者沿两条纬线与球面相交。展开后它成为扇形：经线是交于锥顶的直线，纬线是圆弧。圆锥投影适合在中纬度东西延伸的国家或地区，例如美国、中国或欧洲。

与地球仪上一点相切的平纸给出方位投影。所有方位投影都保持从该中心点出发的方向。这里有三种是真正的透视投影。把灯放在球心，就得到球心投影。把灯放在中心点的对跖点，就得到球面立体投影。把灯放在无限远处，就得到正射投影；把灯放在卫星高度，则得到垂直透视投影。方位等距投影和兰伯特方位等积投影使用同样的纸面，但不是通过光线，而是通过公式定位每一点。

有些地图不属于上述任何一类。正弦、摩尔威德、罗宾森和 Equal Earth 投影等伪圆柱投影保持纬线笔直，却让经线向两极内弯。古德等积投影在海洋处把地图切开。二十面体地图用 20 个三角形包裹地球仪，再把它们展开。模型也用圆柱动画展示伪圆柱投影，因此你能看到纸面展开时经线如何弯曲。

墨卡托保持角度，舍弃大小

墨卡托想要一幅海图，让船保持恒定罗盘航向的路线（恒向线）在图上是一条直线。这样，航海者就可以把直尺搭在两个港口之间，读取它与任意经线的夹角，再沿该角度航行。

在圆柱投影上，经线互相平行，而在地球仪上，它们交于两极。在纬度 φ 处，两条经线之间的真实距离只有赤道处的 cos φ 倍，但在地图上却保持不变。因此，每条纬线在东西方向上都被拉长到 1 / cos φ 倍，也就是 φ 的正割。为了保持小形状不变形，墨卡托在南北方向上也拉伸完全相同的倍数。纬线间距是这些微小拉伸的累积，计算结果为 y = R ln tan(45° + φ/2)。

你可以在模型里核对这些数字。60° 纬线位于赤道上方 1.317 个地球半径处，75° 纬线位于 2.028 个半径处。到 85° 时，已经高达 3.131 个半径，那里的纬线被画成真实长度的 11.47 倍。极点本身会位于无限远处，因此地图在 85° 截止。

由于两个方向都拉伸 sec φ 倍，面积就拉伸 sec² φ 倍。在 30° 处是 1.33，在首尔所在的 37.57° 纬度是 1.59，在 60° 处恰好是 4，在 75° 处是 14.9。模型里的红色蒂索圆仍是圆形，这就是等角的含义，但 60° 处的圆宽度是赤道处的两倍，面积是四倍。

网络墨卡托与横轴墨卡托

手机上的地图几乎就是墨卡托。网络地图在南北纬 85.0511° 处截断世界，在这个纬度，地图的高度恰好等于宽度。正方形世界可以分成 4 个正方形瓦片，每个瓦片又可以分成 4 个，如此延续到每一个缩放级别。Google 的文档描述了这种分块方法，该投影注册为 EPSG:3857，名称是「伪墨卡托」。之所以称为「伪」，是因为网络地图把在略扁的地球上测得的纬度代入球面公式。在真实椭球上，结果并非完全等角，测量人员在意这一点，而大多数用户从未注意到。在本模型的球面上，这两种地图除了截断位置不同之外完全相同。

把圆柱横过来，使它不再与赤道而是与一条经线相切，就得到横轴墨卡托投影。它仍然等角，但现在沿中央经线的比例尺是真实的，离开中央经线后才缓慢增大。在距离中央经线 3° 以内，比例尺误差保持在千分之 1.4 以下。因此，通用横轴墨卡托系统把世界分成 60 个宽 6° 的带，每个带使用自己的横轴墨卡托，并把中央经线上的比例尺缩小到 0.9996，让误差分摊到整个带内。韩国国家坐标网 EPSG:5179 使用以 127.5° E 为中央经线的单一横轴墨卡托，比例尺同样是 0.9996。模型中的横轴墨卡托展示整个世界，你可以看到远离中央经线的地方拉伸得多么严重。

格陵兰、非洲与国家的真实大小

格陵兰的面积是 217 万 km²。根据《联合国人口统计年鉴》，非洲陆地面积是 2960 万 km²，是它的 13.7 倍。格陵兰位于约 72° N，墨卡托在这里把面积放大十倍以上；非洲横跨赤道，那里的面积几乎不被放大。在模型的墨卡托地图上，格陵兰占据约 3580 万 km² 的纸面，非洲占据 3270 万 km²，因此格陵兰显得稍大一些。

把格陵兰拖到赤道，它在地图上的面积就降到约等于真实的 217 万 km²。陆地没有变化，改变的只是它在地图上的位置。虚线轮廓标出它原来所在的地方。列表中的每个国家都可以这样操作。面积工具下方的表格列出该国家位于当前位置时，在全部 25 种投影上的大小，从画得最小的排到画得最大的。

以下是根据模型轮廓得到的一些比较（Natural Earth 1:110m，仅取每个国家最大的陆块）：

每个轮廓的面积都在半径 6,371.0088 km 的球面上计算。海岸线简化使总面积改变约 1%，这就是模型中的非洲是格陵兰的 13.5 倍，而不是官方数据的 13.7 倍的原因。

这种错觉沿南北方向变化，而不是东西方向。墨卡托的拉伸只取决于纬度，因此处于相同纬度的两个国家可以公平比较。欧洲、北美洲和北亚显得比真实更大；非洲、南美洲、印度和东南亚显得更小。教室墙上该挂哪种地图的长期争论，中心就在这里。

蒂索圆：测量变形

法国数学家尼古拉·奥古斯特·蒂索在 1859 年和 1881 年指出，任何投影都会把地球仪上的无穷小圆变成地图上的椭圆。这个椭圆称为蒂索变形椭圆，它的大小和形状告诉你该点变形的全部情况。模型在七个纬度绘制半径为 500 km 的圆，足够小，性质接近蒂索圆。

每个椭圆由四个数字描述，实验室里的探针会显示你所点击的任意一点的这些数值。沿经线的长度比是 h：1 表示南北距离按真实长度绘制，2 表示画成两倍长。沿纬线的长度比是 k。两者的乘积，再对两个方向之间的斜交作修正，就是面积比 s。角度的最大变化 ω 衡量形状扭曲的程度；在等角地图上它为 0。斯奈德给出了公式，模型则从投影本身计算：分别向北和向东移动十万分之一弧度，再测量点移到了哪里。

热力图把同样的数值绘到整个表面上。在面积模式中，白色表示真实大小，红色表示更大，蓝色表示更小。在墨卡托上，两极呈红色。在每种等积地图上，整幅地图保持白色。在形状模式中，红色表示角度扭曲更多。墨卡托处处保持白色，等积地图则在边缘附近变红。

以下是模型在距离中央经线 17°、三个不同纬度处的数值（面积比 / 角度变化 ω）：

罗宾森和温克尔三重把整个世界画得比半径为 1 的地球仪稍小，因此赤道附近的面积比低于 1。重要的是它在整幅地图上的变化幅度：罗宾森从 0.82 变到 1.19，而墨卡托在同一范围内从 1 变到 4。

保持面积的地图

约翰·海因里希·兰伯特在 1772 年描述了最简单的等积地图。把每条纬线放在与赤道相切的圆柱上，高度设为 sin φ。这样，两条纬线之间的带状区域在地图上的面积就与地球仪上完全相同，因为阿基米德早已证明，球面与包围它的圆柱在每个水平切片中的面积相等。代价是形状：两极附近的纬线挤在一起，每个国家都被压扁。

你可以在横向拉伸地图，同时沿竖直方向压缩相同倍数，以此选择哪里保持正确形状。让 45° 处的形状正确，就得到詹姆斯·高尔在 1855 年描述、阿尔诺·彼得斯在 1973 年推广的地图，现在称为高尔–彼得斯投影。它显得又高又窄：在赤道上，小圆变成高度为宽度两倍的椭圆，h = 1.414，k = 0.707。

等积地图不一定是矩形。正弦投影把每条纬线按真实长度绘制并居中，因此经线成为正弦曲线，轮廓在两极收尖。摩尔威德投影（1805）把世界放进宽度为高度两倍的椭圆，沿南北纬 40°44′ 的比例尺真实。哈默投影（1892）取兰伯特方位等积地图的一半，再把宽度拉长到两倍，纬线因此弯曲。古德等积投影（1923）把赤道附近的正弦投影与 40°44′ 以外的摩尔威德投影拼接，并在海洋中切开地图，使每块大陆都拥有自己的中央经线，保持较合理的形状。Equal Earth 投影（2018）是在波士顿学校选择高尔–彼得斯之后设计的，目标是得到外形类似罗宾森的等积地图。

在模型里，对其中任一种地图开启面积热力图。整幅地图都会保持白色。再把一个国家四处移动：无论移动到哪里，它在地图上的面积都保持不变，变化的只有形状。在高尔–彼得斯上，赤道处的格陵兰又高又瘦；回到原位后则又矮又宽；但无论哪种情况，面积都是 217 万 km²。

折衷投影

墙上和地图集里的大多数世界地图，既不精确保角，也不精确保积。它们追求的是看起来合理的图像，让各种误差都保持适中。

等距圆柱可能是最古老的世界地图经纬网，它直接使用纬度和经度作为坐标。每条经线上的距离真实，每条纬线则被拉伸 sec φ 倍。对于经纬度网格数据，这是一种自然的格式，因此卫星图像和气候模型常常以这种方式存储。米勒圆柱投影（1942）把纬度先乘以 0.8，再代入墨卡托，最后把结果除以 0.8，使两极能放进地图。高尔球面立体圆柱投影（1855）在 45° 处切入地球仪，曾常用于英国地图集。

阿瑟·罗宾森在 1963 年采取了不同方法。他没有从公式出发，而是凭目视调整纬线长度和间距表，直到大陆看起来合理，再按这张表绘制地图。兰德·麦克纳利使用了它，《国家地理》也在使用范德格林滕投影 66 年后，于 1988 年采用了它。1998 年，《国家地理》改用温克尔三重投影，这是奥斯瓦尔德·温克尔在 1921 年对等距圆柱和艾托夫地图取平均得到的投影，对极区附近陆地的扭曲较小。在这两种地图上，面积比都从赤道处约 0.8 增长到 60° 处约 1.2，因此格陵兰仍然过大，但只是大约多出 50%，而不是十倍。

方位投影与地球仪内部的灯

球心投影是真正的影子。把光源放在球心，让它把每一点投到与地球仪相切的平纸上。每个大圆都位于通过球心的平面内，而通过光源的平面与纸面交于直线。因此，每个大圆在球心投影上都成为直线，其他曲线则不会。代价是巨大的拉伸：连一个半球都放不下，模型在距离中心 62° 处截止，那里的半径已经达到 1.881 R，接近 12,000 km。斯奈德指出，这可能是所有投影中最古老的一种，相传由约公元前 550 年的泰勒斯提出。

把灯移到中心点的对跖点，影子就成为球面立体投影，喜帕恰斯在公元前 2 世纪就已知晓它。它是等角的，而且有更强的性质：地球仪上无论多大的圆，在地图上都成为圆。尺寸朝边缘增大；距离中心 90° 处，一切都被画成两倍宽、四倍大。极地球面立体投影是海冰地图的标准投影，NSIDC 把网格的真实比例尺设置在 70°，使冰缘附近的变形较小。

把灯放得非常远，光线就成为平行线：这就是正射投影，也就是远处相机看到的地球仪。把它放在卫星高度，就得到垂直透视投影。高度滑块会移动视点。从 400 km 高的国际空间站，可以看到半径为 2,200 km 的圆盘，占地球的 3%。从 20,200 km 的 GPS 轨道，可以看到 38%。从 35,786 km 的地球静止轨道，也就是 GOES-East 等气象卫星所在的位置，可以看到 42%，圆盘延伸到距离中心 81° 处。即使从月球，也只能看到 49%。

两种方位投影并不是影子。方位等距投影保持从中心沿所有方向量起的真实距离：在以北极为中心的版本中，位于 37.57° N 的首尔距离中心 5,830 km，南极则成为距离中心 20,015 km 的外圆周。联合国徽记使用的就是这种地图。打开「以第一座城市为中心」，地图就改以首尔为中心，显示从首尔到各地的真实距离和方向。兰伯特方位等积投影保持面积，把整个世界放进半径为 2 R 的圆内。

适合中纬度的圆锥

对于在中纬度东西延伸的国家，圆锥比圆柱更贴合。兰伯特等角圆锥投影（1772）保持角度，沿两条标准纬线的比例尺真实。美国航空图使用 33° 和 45° 作为标准纬线，模型也一样。两线之间的比例尺略偏小（35° 处为 0.997），两线之外则增大。在常见飞行距离内，这种地图上的直线接近大圆，适合飞行员使用。

阿尔伯斯等积圆锥投影（1805）保持的则是面积。斯奈德给出美国地质调查局用于美国 48 州的标准纬线为 29.5° 和 45.5°，模型使用的也是它们。注意，阿尔伯斯地图上的北极是圆弧，而不是点。等距圆锥投影按真实长度绘制经线，因此南北距离是真实的；托勒密在约公元 150 年描述过它的一种简单形式。

在模型中，圆锥罩在地球仪上，点滑到圆锥表面，然后圆锥沿 180° 经线切开，展开为平面扇形。兰伯特圆锥对南极附近尺寸的夸大非常严重，因此模型在 38° S 截止。

展开多面体

R. 巴克敏斯特·富勒提出了另一个问题：如果地图既没有上方，也没有中心，会怎样？《生活》杂志在 1943 年以可剪下拼装的形式刊出了他的第一幅戴马克松世界地图，载体是一个 14 面的立方八面体；后来他改用 20 面的二十面体。他调整多面体的位置，让全部 12 个顶点都落在海洋里，再展开它，使各大陆在一片海洋中形成一座几乎连贯的岛屿。

模型也使用二十面体，并采用富勒的顶点位置。它通过从球心出发的球心投影填充每个面（富勒使用自己的变换，使间距更均匀），再寻找让尽可能多的陆地保持相连的展开方式。在动画中，地球仪先变成多面体，然后各个面依次向外转到展开图上的位置。离第一个面越远的面，开始移动得越晚。模型会检查 12 个顶点是否构成正二十面体，以及展开图中是否没有面互相重叠。

鸣川肇的 AuthaGraph 在 2016 年获得日本优良设计大奖，它是现代的后继者：先通过多面体折叠地球仪，再把它变成可以向各个方向平铺的矩形。

最短路线与恒定航向

球面上两点之间的最短路径是大圆弧，大圆的圆心就是地心。恒向线，又称等角航线，是与每条经线以相同角度相交的路径；保持一个罗盘航向的船舶会沿着它前进。两者只有在赤道上以及同一条经线上才重合。

首尔和纽约都靠近 40° N。恒向线几乎正向东，航向为 88.5°，长度为 13,715 km。大圆起初朝北偏东 16°，越过北极地区时升至 77.4° N，长度为 11,053 km，因此恒向线长了 24%。这就是东亚与北美之间的航班向北飞得那么远的原因。从伦敦到纽约，差别较小，分别为 5,794 km 和 5,570 km，约为 4%，因为两座城市距离更近。从悉尼到圣保罗，大圆下探到 74.4° S，靠近南极洲。

每种地图绘制这些路线的方式不同，实验室会告诉你，当前地图上哪条是直线。在墨卡托上，恒向线笔直，大圆向极地方向弯曲。在球心投影上，大圆是直线。在以第一座城市为中心的方位等距投影上，大圆是从中心出发的直线。航海者曾配合使用这两种海图：先在球心投影海图上画出大圆，读取沿途的点，再把这些点复制到墨卡托海图上，从一个点驶向下一个点，用一系列短恒向线完成航行。

可以核对的数字

模型的公式通过斯奈德的 15 种投影计算示例核对，从墨卡托（中央经线为 180° 时，35° N、75° W 对应 x = 1.8325957、y = 0.6528366）到摩尔威德（x = 0.1788845、y = −0.9208758）。检查还确认，每种等积地图在整幅地图上都保持面积比为 1，误差在 0.002% 以内；每种等角地图的 ω 都保持在 0.002° 以下；首尔与纽约之间的大圆在球心投影地图上是直线。

怎样选择投影

没有一种投影适合所有用途，所以制图者首先要问地图必须回答什么问题。

如果地图用于按罗盘航向航行，选墨卡托：直线就是恒定航向。如果用于寻找最短路线，选球心投影，或者以出发点为中心的方位等距投影。如果要比较分布在区域上的数量，例如各国的人口、森林或降雨量，选等积地图，否则图像会误导数量多少。对于全世界，可以选 Equal Earth 投影、摩尔威德或古德等积投影；对于一块大陆，选兰伯特方位等积；对于中纬度国家，选阿尔伯斯。如果用于测量或大比例尺地图，必须保持局部形状，选等角地图：南北狭长地区用横轴墨卡托，东西狭长地区用兰伯特等角圆锥，两极附近用极地球面立体投影。对于普通的墙挂世界地图，温克尔三重或罗宾森等折衷投影能让各种误差保持适中。

面积工具能让你迅速看清这些选择的影响。任意选一个国家，从赤道移到 60°，观察表格：等积地图稳定在「× 1.00」，而墨卡托升到 4。

简史

球心投影可能是最古老的投影，相传由约公元前 550 年的米利都的泰勒斯提出。喜帕恰斯在公元前 2 世纪就知道球面立体投影和正射投影。托勒密把约公元 100 年的等距圆柱投影归功于推罗的马里努斯，而在约公元 150 年，托勒密的《地理学》描述了当时已知世界的圆锥地图。

杰拉杜斯·墨卡托在 1569 年为航海者制作的大型世界海图上提出了自己的投影。他可能是用图解方式确定纬线间距的。英国的爱德华·赖特推导了其数学原理，并在 1599 年出版了数值表。约翰·海因里希·兰伯特在 1772 年引入七种投影，其中包括等角圆锥、横轴墨卡托、方位等积和圆柱等积。海因里希·阿尔伯斯在 1805 年提出自己的圆锥投影，卡尔·摩尔威德同年提出椭圆投影。詹姆斯·高尔在 1855 年描述了三种圆柱地图。蒂索在 1859 年和 1881 年发表变形分析。随后是恩斯特·哈默在 1892 年的地图、奥斯瓦尔德·温克尔在 1921 年的三重投影、保罗·古德在 1923 年提出的古德等积投影，以及奥斯本·米勒在 1942 年的圆柱投影。

20 世纪，地图选择成为公共争论。阿尔诺·彼得斯在 1973 年把自己的地图作为更公平地表现热带地区的方式推出；制图者指出，它就是高尔在 1855 年的地图，而且形状变形严重。1989 年，美国制图学术团体敦促出版商停止把矩形世界地图用于一般用途。《国家地理》从 1988 年起使用罗宾森，从 1998 年起使用温克尔三重。在线地图因正方形瓦片而选定网络墨卡托。2017 年，波士顿公立学校在墨卡托地图旁挂起高尔–彼得斯地图；2018 年，Šavrič、Patterson 和 Jenny 以 Equal Earth 投影作出回应。

模型简化了什么

地球被视为半径 6,371.0088 km 的球体，这个数值是平均半径。真实地球在两极约扁 0.3%，测量级投影使用椭球公式；在世界地图的尺度上，这种差异不可见。海岸线和国家轮廓来自比例尺为 1:1.1 亿的 Natural Earth，并进一步简化，每个国家只用最大的陆块表示：美国 48 州，不含阿拉斯加和夏威夷；加拿大大陆，不含北极群岛；挪威大陆，不含斯瓦尔巴群岛。

每种投影只用一组参数绘制。圆锥投影使用斯奈德给美国设置的标准纬线，卫星视图以第一座城市为中心，横轴墨卡托以格林尼治为中央经线，除非案例改变它。二十面体地图的各面使用球心投影，而不是富勒自己的变换。墨卡托在 85° 截止，球心投影在距中心 62° 处截止，兰伯特圆锥在 38° S 截止。地球仪与地图之间的动画用于展示点移向哪里；只有最终的平面地图才严格遵循公式。