盐为何形成立方体：搭建晶胞，观察晶体结构

为什么盐从盐瓶里倒出来时是小立方体？

盐形成小立方体，是因为钠离子和氯离子在规则的晶体结构中重复排列，优先形成的平面彼此垂直。玻璃没有这种长程重复的排列，而是沿曲面破裂。晶体的晶胞把原子排列与较大颗粒的形状联系起来。

在深色盘子里倒一些食盐，用放大镜观察。大多数颗粒像小盒子，表面平坦，棱角方正。没有人把它们切成这样。这种形状来自钠原子和氯原子的堆积方式，同样的堆积重复了无数次，便在肉眼可见的尺度上显现出来。

这个展项用球和棒搭建 41 种晶体和 14 种布拉维晶格，晶格常数取自矿物手册、半导体数据库和最初的结构研究论文。每一种都能在三个尺度下查看：单个晶胞、最多由 10 × 10 × 10 个晶胞组成的块体，以及晶体长成后的外形。在同一个演示场景中，你可以截取密勒晶面，数出一个原子周围的近邻，让 X 射线束穿过晶面，加热铁直至晶格发生变化，并在完美晶体中加入缺陷。参考资料列在文末。

晶体是一个盒子的重复

晶体是一种固体，其中原子的排列在三个方向上都重复出现。描述它只需要一个盒子及其内部的内容。复制这个盒子，沿一条棱移动一个棱长，再沿另外两条棱做同样的事，就能得到整个晶体。这个盒子就是晶胞，棱的长度就是晶格常数。

完整描述晶体需要两样东西。晶格是盒子重复出现的位置所构成的点阵。基元是放在每个点上的内容：铜中是一个原子，盐中是两个离子，糖中是一个完整分子。保持晶格不变，只改变基元，就能得到完全不同的材料。岩盐、方镁石和方铅矿的晶格与基元类型都相同，只是离子不同。

立方晶胞只需一个数就能描述大小：盐的 a = 0.564 nm，金刚石的 a = 0.357 nm。六方晶胞需要两个数。底面是边长为 a、内角为 120° 和 60° 的菱形，高为 c。石墨的 a = 0.2464 nm，c = 0.6711 nm。对称性最低的晶胞需要六个数：三个棱长和三个角度。

读数区显示每种晶体的晶系、布拉维晶格符号和空间群。空间群在晶格对称性的基础上加入基元的对称性。空间群共有 230 种，模型利用其中几种的对称操作（石英的 P3₂21，方解石和刚玉的 R3̄c，黄铁矿的 Pa3̄），从已发表结构中列出的少量位置生成每个原子的位置。

重复一个点的十四种方式

1850 年，布拉维证明，在空间中排列点，使每个点周围的环境完全相同，只有 14 种方式。选择「布拉维晶格」滑块，或控件下方实验区中的表格，就能逐一查看。这里只画晶格点：顶点为灰色，体心为红色，面心为蓝色，底心为绿色。

这 14 种晶格按照盒子的形状分为 7 个晶系：

• 立方晶系：三条棱等长且彼此垂直。包括简单、体心和面心晶格。
• 四方晶系：底面为正方形，高度与底边长不同。包括简单和体心晶格。
• 正交晶系：三条棱长度不同且彼此垂直。包括简单、底心、体心和面心晶格。
• 六方晶系：两条等长棱夹角为 120°，第三条棱与前两条都垂直。
• 三方晶系：菱方晶格，三条棱等长，三个角相等但不是 90°。
• 单斜晶系：一个角不是 90°。包括简单和底心晶格。
• 三斜晶系：没有相等的棱或角，也没有直角。

为什么没有更多？某些加心方式并不会产生新的晶格。例如，一个面心四方盒子可以重新画成更小的体心四方盒子，因此不重复计算。「轴」和「角度」滑块能拉伸和倾斜盒子，让你看到一种晶格何时变成另一种。

为什么没有 5 重对称？试着用正五边形铺地板，就会出现空隙。任何晶格也一样：每转一周分为 1、2、3、4 或 6 步的旋转，才与重复平移相容。因此，谢赫特曼在 1982 年看到的 10 重衍射图样才如此出人意料。它来自准晶体，有序却不重复，也为他赢得了 2011 年诺贝尔化学奖。

从晶胞到颗粒，再到石块

场景底部的按钮可切换三个缩放层级。

晶胞用球和棒显示一个晶胞。顶点、棱和面上的原子虽然与相邻晶胞共享，仍完整画出，因此一个盐晶胞显示 27 个离子，实际只拥有 8 个。

块体沿每条棱堆叠晶胞。铜或盐这类小晶胞最多可堆到 10 × 10 × 10 个：共一千个晶胞，盐中有超过 9,000 个离子。屏幕上的每个原子都是同一个球体的副本，使用各自的位置和颜色，在同一批次中绘制，因此即使块体很大，在手机上也能保持流畅。含有许多原子的晶胞，例如每胞有 240 个原子的 C₆₀，会在更小的块体尺寸处停止增加。

外形显示晶体长成的固体形状。真实晶体由沿晶格平面延伸的平整晶面围成，生长最慢的晶面最终最大。盐长成立方体，以 {100} 晶面为边界。金刚石常长成由 {111} 晶面组成的八面体。石英长成两端由菱面体晶面封顶的六方柱，方解石破裂成由 {104} 晶面组成的菱面体，黄铁矿形成有十二个五边形晶面的五角十二面体。模型用晶体的各个晶面切割一个大盒子，构建每种外形；各组晶面到中心的距离经过选择，以符合《矿物学手册》（Handbook of Mineralogy）中描述的常见晶习。

「外形」层级的读数显示，宽 1 mm 的颗粒中能容纳多少个晶胞。盐约有 5.6 × 10¹⁸ 个，全部朝同一方向排列。正是这个数量，把一个微小盒子的形状变成了你能拿在手里的晶体形状。

岩盐：两个交错的晶格

盐晶胞中，钠离子位于八个顶点和全部六个面的中心。这种排列称为面心立方。氯离子位于十二条棱的中点，另有一个位于正中心。氯离子本身也构成面心立方晶格，只是平移了半个晶胞棱长。因此，盐晶体由两个彼此嵌入的面心立方晶格组成，每种离子各占一个。

沿立方体的任意一条棱，离子交替排列：钠、氯、钠。每个钠离子有六个氯离子近邻，分别位于三条轴的正反方向，每个氯离子也有六个钠离子近邻。近邻间距是晶胞棱长的一半，为 0.282 nm。香农的表格给出，这种六配位位置中 Na⁺ 的离子半径为 102 pm，Cl⁻ 为 181 pm。两者相加得到 283 pm，因此离子沿棱相接，这正是将「球体大小」设为 100% 时模型显示的情况。

盐模型中离子间的棒，不是共享电子意义上的化学键。盐靠正负离子之间的吸引力结合。棒只表示哪些离子彼此相邻。钾石盐（KCl）、方镁石（MgO）和方铅矿（PbS）采用相同排列，因此称为岩盐结构。

能容纳多少个近邻

开启「近邻」，模型会把一个中心原子的最近邻连接成一个立体，即配位多面体。四个近邻构成四面体，六个构成八面体，八个构成立方体，十二个构成立方八面体。

对于离子晶体，鲍林在 1929 年提出了一条简单规则。正离子通常比周围的负离子小。在不让正离子在空隙中晃动的前提下，周围会挤入尽可能多的负离子。半径比 r₊/r₋ 决定这个数量：

半径取自香农的 1976 年表格，其中为每种离子在不同近邻数下分别给出半径。铯足够大，能容纳 8 个氯离子，因此 CsCl 与 NaCl 的排列不同：一种离子位于立方体顶点，另一种位于中心。在萤石中，每个钙离子位于由 8 个氟离子组成的立方体中，每个氟离子则位于由 4 个钙离子组成的四面体中，这正符合化学式 CaF₂ 的要求。

这条规则只是指引，不是定律。KCl 的半径比为 0.762，指向 8 个近邻，但钾石盐与岩盐一样只有 6 个。刚玉 Al₂O₃ 的半径比为 0.382，指向 4 个近邻，但每个铝离子实际位于由 6 个氧离子组成的八面体中。模型同时显示实测结构和半径比，让你看到规则在哪里适用、在哪里不适用。

金属：堆积等大的球

纯金属是最简单的晶体：只有一种原子，由整个晶体共享的电子结合在一起。原子像等大的球，良好的堆积方式只有几种。

面心立方（铜、铝、金、γ-铁）：每个原子与 12 个其他原子接触，球占据空间的 74.05%，即 π/√18。开普勒在 1611 年猜想，等大球的任何堆积都不能超过这一比例。经计算机核验的证明于 2017 年发表。

六方密堆积（镁、钛）：球层与面心立方相同，但按 ABAB 而非 ABCABC 堆叠。当 c/a 为 1.633 时，它也填充 74.05% 的空间。镁的 c/a = 1.624，很接近这一比例。锌沿 c 轴被拉长，c/a = 1.856，因此每个锌原子在本层有 6 个较近的近邻，另有 6 个距离较远。

体心立方（α-铁、钨）：8 个原子围成立方体，中心还有一个原子。它填充空间的 68.02%，即 π√3/8，比密堆积略低。

简单立方只填充 52.36%，即 π/6。钋是常压下唯一以这种方式结晶的元素。

先为铜开启「近邻」，再为 α-铁开启，对比有 12 个近邻的立方八面体和有 8 个近邻的立方体。读数区的堆积系数由相互接触的球计算，因此铜显示为 74%，铁为 68%。

金属是否容易弯曲取决于它的晶格。面心立方金属有 12 种容易滑移的滑移面与滑移方向组合，因此铜、铝和金可以弯曲、拉成细丝，也能锤成薄片。镁等六方金属在室温下这样的组合少得多，因此更难成形。

金刚石与石墨：同一种原子，两种成键方式

金刚石和石墨都是纯碳，但一种是最硬的矿物，另一种却软到能用来写字。区别在于每个碳原子如何使用它的四个外层电子。

在金刚石中，每个碳原子形成四个共价键，长度都相同，为 0.154 nm。四个近邻位于围绕它的四面体顶点。立方晶胞由一个碳的面心立方晶格，加上沿立方体体对角线平移四分之一长度的相同晶格副本组成。计算属于一个晶胞的原子，得到八个。每个键都很强，而且指向各个方向，因此没有容易将原子推开的方向。相互接触的球只占据空间的 34%，这表明共价网络在很大程度上靠键而非堆积来维系。

在石墨中，每个碳与同一平面内的近邻形成三个长 0.142 nm 的键。原子组成平坦的六边形片层。相邻片层间距为 0.3355 nm，超过键长的两倍，跨越这道间隙的只有弱作用力。片层按 ABAB 排列：每隔一层与第一层对齐，因此晶胞高度 c 为两个间隙，即 0.6711 nm。切换到石墨，观察橙色标记，它显示一个原子与其正上方原子之间的一道间隙。

单独的一层就是石墨烯。2004 年，盖姆和诺沃肖洛夫用胶带从石墨上剥离出它，并获得了 2010 年诺贝尔物理学奖。石墨烯按单位面积而非单位体积称重。一个面积为 (√3/2)a² 的晶胞含有 2 个原子，模型算得每平方米 0.761 mg，接近诺贝尔奖委员会引用的 0.77 mg。

碳还有第三种常见形态。1985 年发现的 C₆₀ 是一个由 60 个原子组成的封闭笼，形似足球，有 12 个五边形和 20 个六边形。在固体 C₆₀ 中，这些笼按面心立方堆叠，a = 1.417 nm，约为铜晶胞的四倍。模型画出了每个笼中全部 60 个原子。室温下，真实分子在原位旋转；低于 249 K 时，它们锁定在固定取向上。

半导体：硅及其相关材料

硅具有金刚石结构，a = 0.5431 nm。它是测量最精确的晶体：CODATA 给出的晶格常数为 543.102 0511 pm。这种精度使硅成为物理学中最精细测量之一的工具。阿伏伽德罗常数曾通过数出一个抛光硅-28 球中的原子来确定：测量球的质量、体积和晶胞大小，倒用密度公式，便得到一摩尔中的原子数。

锗具有相同结构，a = 0.5658 nm。1947 年制造的第一只晶体管使用的是锗晶体。把每隔一个位置上的原子替换成另一种，就得到砷化镓（GaAs）和碳化硅（SiC）的闪锌矿结构，它们用于激光器、高速射频芯片和功率电子器件。氮化镓结晶为六方纤锌矿结构，每个原子仍位于由另一种原子组成的四面体中。优质 GaN 晶体使明亮的蓝光 LED 成为可能，这项成果获得了 2014 年诺贝尔物理学奖。

半导体之所以有用，是因为微量合适的杂质就能改变其导电方式。为硅选择「替位」缺陷，三个硅原子便变成磷。磷比硅多一个外层电子，这个电子可以自由运载电流。硼少一个外层电子，会留下一个空穴。芯片用硅先被提纯至高于 99.9999999%，再有意进行掺杂。

芯片用硅按柴可拉斯基在 1916 年发现的方法生长为单晶：籽晶接触熔融硅，一边旋转一边缓慢向上提拉。得到的是圆柱形晶锭，因此「外形」层级将硅显示为圆柱，而不是多面体。晶锭随后被锯成晶圆。

由多面体构成的矿物

把许多矿物看作相连的多面体，而不是球，会更容易理解。

石英 SiO₂ 由 SiO₄ 四面体构成，每个硅与四个氧相距 0.161 nm。每个氧由两个四面体共享，因此网络在每个顶点相连。四面体沿 c 轴形成螺旋，螺旋向左或向右旋转，形成左旋和右旋石英。模型采用 Levien、Prewitt 和 Weidner 于 1980 年精修的位置。

方解石 CaCO₃ 中，平面的碳酸根基团分层排列在钙离子之间，每个碳与三个氧相距 0.128 nm。每个钙有 6 个氧近邻。这种分层且不对称的排列，使不同方向的光减速程度不同，从而产生方解石强烈的双折射。

刚玉 Al₂O₃ 是氧离子的密堆积，铝占据三分之二的八面体空隙。纯刚玉无色。少量铬替代铝会使它变红，这种宝石称为红宝石；铁和钛使它变蓝，而任何非红色的宝石级刚玉都称为蓝宝石。为刚玉选择「替位」，将铬放进晶格。

金红石 TiO₂ 具有沿 c 轴延伸的 TiO₆ 八面体链。大多数二氧化钛最终成为油漆、纸张和塑料中的白色颜料。

黄铁矿 FeS₂ 看起来像岩盐，只是每个氯离子被一对相距 0.216 nm 的硫原子取代。原子对指向四条体对角线，降低了对称性，也解释了愚人金为何呈现带条纹的立方体或具有十二个五边形晶面的五角十二面体。

化学式为 ABX₃ 的钙钛矿，把小离子（SrTiO₃ 中的钛）放在氧八面体中心，把大离子（锶）放在八面体之间的大空隙中，周围有 12 个氧近邻。钛酸锶是理想的立方形式。钙钛矿晶体太阳能电池的效率从 2009 年约 4%，上升到了研究实验室中硅电池的水平。

钴酸锂 LiCoO₂ 将 CoO₂ 片层堆叠起来，锂离子位于层间。锂离子电池充电时，锂离开这些空隙；放电时又返回。古迪纳夫的研究组于 1980 年将这种材料描述为正极材料。

冰：由氢键维系的晶体

普通的冰称为冰 Ih，h 表示六方。每个水分子的氧周围有四个氧近邻，距离约 0.276 nm，分布在四面体顶点，很像金刚石中的碳原子。每对相邻氧之间恰好有一个氢。它与一个氧形成共价键，距离为 99 pm，并通过氢键与另一个氧相连，距离为 177 pm。

每个分子向近邻提供两个氢，也接收两个。模型安排氢的位置，使块体中每个分子都符合这条规则。在真实的冰中，哪个氢靠近哪个氧是无序的，并随时间改变；模型显示其中一种允许的排列。

四面体排列留下由褶皱六元环组成的疏松结构，空通道贯穿其中。冰融化时，部分网络坍塌，分子排列得更紧。因此，0 °C 时密度为 0.9167 g/cm³ 的冰能浮在水上，同温度下水的密度为 0.99984 g/cm³（NIST）。

冰不止一种晶体形态。冰 Ic 保留每个分子的四个氢键，但像金刚石而非六方晶体那样堆叠层，立方晶胞为 0.6358 nm。当微小水滴在高层大气的极低温度下冻结时，就会形成它。冰 VII 由两个互相穿过而不接触的立方冰网络组成。它需要高于约 2 GPa 的压力。其密度约为 1.65 g/cm³，几乎是普通冰的两倍，2018 年人们在来自深部地幔的金刚石内部发现了被包裹的冰 VII。

以分子为构件

糖和蛋白质中的基元是整个分子，分子内部的键远强于分子间作用力。模型把每个分子画成一个球，以便看清晶格。

蔗糖晶体属于单斜晶系，每个晶胞含有 2 个分子。一个分子通过二重螺旋轴与另一个关联，即转半圈，再平移半个晶胞。晶胞尺寸为 1.086 × 0.871 × 0.776 nm，β = 102.9°，密度公式算得 1.590 g/cm³，实测为 1.587。

蛋白质晶体的晶胞大得多。溶菌酶是蛋清中的一种酶，其四方晶体的 a = 7.91 nm，c = 3.79 nm，每个晶胞有 8 个分子。如果晶胞只含蛋白质，密度会是 0.80 g/cm³，比水还低。其余部分是水：Brian Matthews 在 1968 年发现，蛋白质晶体中每道尔顿蛋白质约占有 2.2 ų 的晶胞体积，因此近一半晶体是溶剂。1965 年，溶菌酶成为首个结构被解析的酶，蛋白质晶体学至今仍是确定大多数酶结构的方法。

为晶面命名：密勒指数

穿过晶体的平面用三个整数（h k l）命名，即密勒指数。取距离原点最近、在 a/h、b/k 和 c/l 处截过晶胞棱的平面。零表示平面平行于那条棱。因此，（1 0 0）是立方体的一个面，（1 1 0）截过两条棱并沿第三条延伸，（1 1 1）则截掉一个角。{100} 这样的花括号表示整个由对称性关联的等价晶面族，在立方体中 {100} 有三个成员。

开启「密勒晶面」，设置 h、k 和 l。模型在块体中画出平行平面 h x + k y + l z = 整数，并为位于中间那个平面上的原子着色。读数给出晶面间距 d，以及一个晶面上每平方纳米的原子数。

对于立方晶体，间距为 d = a / √(h² + k² + l²)。铜的（1 1 1）晶面间距为 0.3615 / √3 = 0.2087 nm，每平方纳米有 17.67 个原子，排列成三角形图案。这是面心立方金属中最密的晶面，因此金属沿 {111} 滑移。在体心铁中，最密晶面则是 {110}。对于其他晶系，模型通过倒易晶格计算 d，这适用于任何晶胞形状。

晶体在哪里裂开

敲击晶体时，它往往沿穿过的键最少或最弱的平面破裂。矿物学家称此为解理。《矿物学手册》将石盐的 {001} 解理列为完全解理，石盐是岩盐的矿物名称。立方体中有三个这样的平面，彼此垂直。沿三者劈开盐，每块仍是表面平坦、棱角方正的盒子。因此盐粒看起来像立方体。

金刚石在 {111} 上有完全解理，这些晶面斜着截过立方体的角。为金刚石开启「劈开」，观察化学键：块体分开的地方，每个原子只有一个键跨越该平面，而两侧的原子各由三个键相连。宝石切割师利用这一点，在锯切和抛光前劈开原石。

石墨在片层之间解理。那里只有弱作用力跨过，所以片层容易滑动和剥落，铅笔就是这样在纸上留下痕迹的。萤石沿 {111} 解理，因此萤石立方体可以逐步劈成八面体。方解石沿 {104} 在三个不互相垂直的方向解理，因此每块碎片都是菱面体。石英完全没有良好解理：它的四面体在各个方向相连，会沿弯曲、贝壳状的表面破裂。

模型在穿过块体中部的解理面族中选择劈开位置，使用原子层之间最宽的间隙。对金刚石而言，那是双层之间的间隙，每个原子有一个键跨过。

X 射线衍射与布拉格定律

晶体中的原子间距接近 X 射线波长，因此晶体会将 X 射线散射成取决于其结构的图样。1913 年，威廉·劳伦斯·布拉格用反射图景解释了这一点。X 射线从每层原子平面产生微弱反射。只有当较深射线多走的路程 2 d sin θ 为波长的整数倍时，相邻晶面的反射才会叠加增强：

n λ = 2 d sin θ

这里 θ 是射线与晶面的夹角，d 是晶面间距，n 是整数，称为级次。反射束与入射束成 2θ 角离开，因此衍射仪报告 2θ。

开启「X 射线束」。紫色射线束从左边的射线管发出，遇到选定的（h k l）晶面，然后射向探测器。移动「角度 2θ」滑块。在角度满足布拉格定律之前，探测器保持暗淡；满足后，黄色射线束亮起。对盐使用铜 Kα X 射线（λ = 1.5406 Å）时，盐的（2 0 0）晶面间距为 0.2820 nm，在 2θ = 31.70° 处产生反射。把波长改为钼 Kα 的 0.7093 Å，同一组晶面便在更小的 14.45° 角反射。

读数区的小图是粉末衍射图谱：衍射仪记录粉末时得到的图样，其中微小晶体朝向各个方向，所以每组晶面都同时产生反射。每条线对应一个晶面族。模型由晶胞和布拉格定律精确计算位置。高度来自结构因子，即晶胞中每个原子散射波按其相位求和，再乘以等价晶面数和角度因子。盐使用铜 Kα 时，最强的线为 31.70° 处的（2 0 0）、45.45° 处的（2 2 0）和 56.47° 处的（2 2 2），与实测图谱一致。

无论怎样转动晶体，有些晶面都不会反射。在面心立方晶格中，对于（1 0 0），面心原子发出的波恰好抵消顶点原子的波，因此铜的第一条谱线是 43.32° 处的（1 1 1）。在金刚石和硅中，第二个晶格副本还会使（2 0 0）抵消。这些缺失的反射称为系统消光，晶体学家通过它们从图谱识别晶格类型。在铜上试试（1 0 0）：读数显示反射消光，射线束始终不会亮起。

氯化钾展示了更微妙的情况。K⁺ 和 Cl⁻ 都有 18 个电子，因此在 X 射线看来几乎相同。取决于两种离子差异的（1 1 1）反射几乎消失，图谱看起来像晶胞尺寸减半的简单立方晶体。盐中 Na⁺ 有 10 个电子，Cl⁻ 有 18 个，所以（1 1 1）清晰可见。

912 °C 时的铁与其他相变

「温度」滑块范围为 −200 至 1600 °C。温度越高，原子在各自位置周围振动越剧烈，模型通过随温度增大的抖动来表现。超过熔点后，晶体失去有序性：原子仍相互接触，却不再占据晶格位置。

铁在升温过程中还会改变晶格。低于 912 °C 时，它是体心立方的 α-铁，也称铁素体。912 至 1394 °C 之间，它是面心立方的 γ-铁，也称奥氏体。从 1394 °C 到 1538 °C 熔化前，它再次成为体心立方的 δ-铁。面心形式把原子堆得更紧，因此铁在 912 °C 转变时略微收缩。它较大的空隙还能容纳更多碳。钢的热处理正利用这一点：加热至碳能够溶解的 γ 区间，再以合适的速度冷却，将碳困在不同的排列中。

锡的变化方向相反。高于 13.2 °C 时，稳定形态是白锡，一种四方晶系金属。低于这一温度，金刚石结构的灰锡稳定。这种变化很慢，需要长期寒冷，但一旦发生，锡会膨胀约四分之一并碎裂。旧故事把纽扣和风琴管的损失归咎于这种锡疫；大多数很难证实。

冰在 0 °C 融化。模型会自动切换同一温度相变系列中的晶体，因此在铁或锡上移动滑块，会依次显示各相。γ-铁和 δ-铁的晶格常数取自 Basinski、Hume-Rothery 和 Sutton 于 1955 年进行的高温测量。

缺陷：真实晶体为何从不完美

没有真实晶体是完美的，许多有用性质来自缺陷。「缺陷」滑块在「块体」层级工作。

• 空位：一个原子从原位缺失。在盐中，一个钠离子和一个氯离子同时缺失，使晶体保持电中性。空位让原子能在固体中移动，这就是扩散的机制。
• 间隙原子：额外的原子挤入晶格位置之间的空隙。在铁中，模型把一个碳原子放入最大的空隙。这是钢的起点。
• 替位：外来原子占据正常位置。铜中的锌形成黄铜，刚玉中的铬形成红宝石，金刚石中的硼使希望钻石呈蓝色，硅中的磷使晶体管工作。
• 刃型位错：额外的半层原子平面终止在晶体内部。沿红色 ⊥ 标记看去，你会看到上方晶面在这额外半层的末端周围弯曲。纯金属屈服所需的应力，比完美晶体所需的低数千倍，因为位错让晶面能一次一排地滑移。泰勒、奥罗万和波兰尼于 1934 年各自独立提出这一解释。
• 孪晶界：晶体的一部分相对于某平面是另一部分的镜像。模型把（1 1 1）晶面上方的一半反射过去，在面心立方金属中便形成黄铜和铜中可见的共格孪晶。

模型中的位错用弹性理论的位移场建立，这是在原子模型中构建位错的标准方法，柏氏矢量为一个晶胞棱长。

核算密度

知道一个晶胞里有什么，以及晶胞多大，就知道密度。一个晶胞的质量为 Z · M / N_A，其中 Z 是该晶胞实际拥有的化学式单位数，M 是摩尔质量，N_A 是阿伏伽德罗常数，每摩尔 6.022 140 76 × 10²³（按定义为精确值）。除以晶胞体积，就得到 ρ = Z · M / (N_A · V)。立方晶胞的 V = a³；六方晶胞的 V = (√3 / 2) · a² · c；一般而言，V 是三条棱矢量围成的盒子的体积。

盐的 Z = 4，M = 22.990 + 35.45 = 58.44 g/mol（CIAAW 原子量）。晶胞体积为 (0.56404 nm)³ = 0.17944 nm³，即 1.7944 × 10⁻²² cm³。由此得到 ρ = 4 × 58.44 / (6.022 × 10²³ × 1.7944 × 10⁻²²) = 2.163 g/cm³。手册给出的实测密度为 2.168，两者相差 0.2%。控件下方的实验区会为当前场景中的任意晶体重复这一计算。

石墨的实测范围低于计算值，因为天然石墨含有孔隙和堆垛层错；手册自身给出的计算值为 2.26。冰在冷却时略微收缩，因此密度取决于温度。NIST 列出的密度为 0 °C 时 0.9167 g/cm³，−20 °C 时 0.9196。

读数还显示第二个数「ρ 绘制值」。它把屏幕上每个球的质量相加，再除以块体体积。单个盐晶胞会得到 7.24 g/cm³，是真实值的三倍多。原因在于共享。顶点离子属于八个晶胞，棱上离子属于四个，面上离子属于两个，因此只有其中一部分计入本晶胞。一个盐晶胞画出 27 个离子，却实际只拥有其中 8 个：8 × ⅛ + 6 × ½ = 4 个钠离子，12 × ¼ + 1 = 4 个氯离子。堆叠更多晶胞后，块体外表面的离子所占比例降低，「ρ 绘制值」便向真实值下降：2 × 2 × 2 时为 4.22，4 × 4 × 4 时为 3.08，10 × 10 × 10 时为 2.50。宽半毫米的盐粒，每条棱约有 890,000 个晶胞，因此真实盐粒中表面所占比例极小。

模型省略了什么

球画得比原子小，以便看清结构；「球体大小」设为 100% 时，离子晶体使用香农的离子半径，其他晶体使用最近邻距离的一半。糖和溶菌酶中的分子是单个球。真实原子在各自位置周围振动，温度越高振幅越大，这也是晶格常数随温度略微变化的原因；除铁的高温形态外，模型保持室温晶胞。X 射线强度对每种原子使用同一种随角度平滑衰减的函数，因此谱线高度接近但不精确，位置则是精确的。C₆₀ 分子固定在一个取向。「外形」层级的形状是典型晶习，真实晶体生长时会出现许多变体。模型中的冰有一种固定的氢排列，而不是不断变化的排列。

晶体结构最初是怎样测出的

斯泰诺在 1669 年注意到，各种尺寸石英晶体的对应晶面都以相同角度相交。同年，伊拉斯谟·巴托林透过冰洲石（一种透明的方解石）看到了双像。阿羽伊发现，破碎的方解石总会分成更小的菱面体，并在 1784 年的著作中提出，晶体是由相同小块堆成的。布拉维在 1850 年数出了可能的晶格，到该世纪末，230 种空间群已为人所知。

直到 1912 年，劳厄的研究组让 X 射线穿过晶体并记录到斑点图样，人们才得以看见原子。它立即表明，X 射线是波，晶体是规则点阵。威廉·亨利·布拉格和他的儿子威廉·劳伦斯·布拉格把斑点变成结构：1913 年先解析盐，随后解析金刚石。他们共同获得了 1915 年诺贝尔物理学奖。此后数十年，同样的方法解析了矿物、金属，以及生命分子：多萝西·霍奇金的青霉素和维生素 B₁₂，罗莎琳德·富兰克林和雷蒙德·戈斯林于 1952 年记录的 DNA 纤维 X 射线图样，以及 1965 年解析的首种酶溶菌酶。这里采用的晶格常数来自同类测量，并经过随后一个世纪的精修。