Estructura cristalina de la sal: construye y corta

¿Por qué la sal sale en cubitos?

La sal forma cubos porque sus iones de sodio y cloruro se repiten en una estructura cristalina regular, con planos preferentes que forman ángulos rectos. El vidrio carece de ese patrón repetido de largo alcance y se rompe, en cambio, por superficies curvas. La celda unidad de un cristal conecta la disposición de los átomos con la forma del grano mayor.

Vierte un poco de sal de mesa sobre un plato oscuro y mírala con una lupa. La mayoría de los granos son cajitas con caras planas y esquinas rectas. Nadie los cortó así. La forma viene de cómo se empaquetan los átomos de sodio y cloro, y ese mismo empaquetamiento se repite tantas veces que aparece a un tamaño que se puede ver.

Esta exposición construye 41 cristales y los 14 redes de Bravais con bolas y varillas, a partir de parámetros de red tomados de manuales de mineralogía, bases de datos de semiconductores y los artículos originales sobre cada estructura. Cada uno puede verse a tres tamaños: una sola celda unidad, un bloque de hasta 10 × 10 × 10 celdas y la forma exterior en que crece el cristal. En el mismo escenario puedes cortar planos de Miller, contar los vecinos que rodean a un átomo, enviar un haz de rayos X a través de los planos, calentar hierro hasta que cambie su red e introducir defectos en un cristal perfecto. Las fuentes figuran al final.

Un cristal es una caja repetida

Un cristal es un sólido cuyos átomos ocupan un patrón que se repite en las tres direcciones. Para describirlo solo hace falta una caja y su contenido. Copia la caja, desplázala una longitud de arista, haz lo mismo a lo largo de las otras dos aristas y tendrás el cristal entero. Esa caja es la celda unidad, y las longitudes de sus aristas son los parámetros de red.

Para describir un cristal por completo se necesitan dos cosas. La red es la cuadrícula de puntos donde se repite la caja. La base es lo que hay en cada punto: un átomo en el cobre, dos iones en la sal, una molécula entera en el azúcar. Si cambias la base y conservas la red, puedes obtener un material totalmente distinto. La sal gema, la periclasa y la galena tienen la misma red y el mismo tipo de base, solo que con iones diferentes.

En una celda cúbica basta un número para describir el tamaño: a = 0,564 nm para la sal y a = 0,357 nm para el diamante. Las celdas hexagonales necesitan dos números. La base es un rombo con esquinas de 120° y 60° y lado a, y la altura es c. Para el grafito, a = 0,2464 nm y c = 0,6711 nm. Las celdas menos simétricas necesitan seis números: tres longitudes de arista y tres ángulos.

El indicador muestra el sistema cristalino, el símbolo de la red de Bravais y el grupo espacial de cada cristal. El grupo espacial suma la simetría de la base a la simetría de la red. Hay 230, y el modelo usa las operaciones de varios de ellos (P3₂21 para el cuarzo, R3̄c para la calcita y el corindón, Pa3̄ para la pirita) para colocar cada átomo a partir de una lista corta de posiciones de las estructuras publicadas.

Catorce formas de repetir un punto

En 1850 Auguste Bravais demostró que solo hay 14 maneras de disponer puntos en el espacio de modo que cada punto tenga exactamente el mismo entorno. Elige el control «Red de Bravais», o la tabla del laboratorio situada bajo los controles, para ver cada una. Solo se dibujan los puntos de red: grises en las esquinas, rojos en el centro del cuerpo, azules en los centros de las caras y verdes en los centros de las bases.

Los 14 redes se reparten en 7 sistemas cristalinos, según la forma de la caja:

• Cúbico: tres aristas iguales a ángulo recto. Primitivo, centrado en el cuerpo y centrado en las caras.
• Tetragonal: una base cuadrada y una altura distinta. Primitivo y centrado en el cuerpo.
• Ortorrómbico: tres aristas distintas a ángulo recto. Primitivo, de bases centradas, centrado en el cuerpo y centrado en las caras.
• Hexagonal: dos aristas iguales a 120° y la tercera perpendicular a ambas.
• Trigonal: la red romboédrica, con tres aristas iguales y tres ángulos iguales que no valen 90°.
• Monoclínico: un ángulo que no es de 90°. Primitivo y de bases centradas.
• Triclínico: nada igual y ningún ángulo recto.

¿Por qué no más? Algunos centrados no aportan nada nuevo. Una caja tetragonal centrada en las caras, por ejemplo, puede redibujarse como una caja tetragonal centrada en el cuerpo más pequeña, así que no se cuenta dos veces. Los controles «Eje» y «Ángulo» permiten estirar e inclinar la caja para ver dónde una red se convierte en otra.

¿Por qué no hay simetría de orden 5? Si intentas embaldosar un suelo con pentágonos regulares, quedan huecos. Lo mismo vale para cualquier red: solo son compatibles con traslaciones repetidas los giros de 1, 2, 3, 4 o 6 pasos por vuelta. Por eso fue tan sorprendente el patrón de difracción de orden 10 que Dan Shechtman vio en 1982. Procedía de un cuasicristal, ordenado pero nunca repetitivo, y le valió el Premio Nobel de Química de 2011.

De celda a grano y piedra

Los botones de la parte inferior del escenario cambian entre tres niveles de zoom.

Celda muestra una celda unidad con bolas y varillas. Los átomos de las esquinas, las aristas y las caras se dibujan enteros aunque se comparten con las celdas vecinas, de modo que una celda de sal muestra 27 iones pero solo posee 8.

Bloque apila celdas a lo largo de cada arista. Para celdas pequeñas, como las del cobre o la sal, el bloque llega a 10 × 10 × 10 celdas: mil celdas y más de 9000 iones en el caso de la sal. Cada átomo en pantalla es una copia de la misma esfera, dibujada en un único lote con su propia posición y su propio color, lo que mantiene fluidos incluso los bloques grandes en un móvil. Las celdas con muchos átomos, como C₆₀ con 240 átomos por celda, se detienen en un bloque menor.

Forma muestra el sólido en que crece el cristal. Los cristales reales están limitados por caras planas que siguen planos de la red, y las caras que crecen más despacio acaban siendo las mayores. La sal crece en cubos limitados por caras {100}. El diamante suele crecer como un octaedro de caras {111}. El cuarzo crece como un prisma de seis lados rematado por caras de romboedro, la calcita se rompe en romboedros de caras {104} y la pirita forma piritoedros con doce caras de cinco lados. El modelo construye cada forma cortando una caja grande con los planos de cara del cristal, cada uno colocado a una distancia elegida para coincidir con el hábito común descrito en el Handbook of Mineralogy.

El indicador del nivel Forma muestra cuántas celdas unidad caben en un grano de 1 mm de ancho. Para la sal son unas 5,6 × 10¹⁸, todas alineadas con la misma orientación. Esa cantidad es la que convierte la forma de una cajita diminuta en la forma de un cristal que puedes sostener en la mano.

Sal gema: dos redes entrelazadas

En la celda de sal, los iones de sodio ocupan las ocho esquinas y el centro de las seis caras. Esa disposición se llama cúbica centrada en las caras. Los iones cloruro están a mitad de cada una de las doce aristas, y uno más justo en el centro. Los iones cloruro por sí solos también forman una red cúbica centrada en las caras, desplazada media arista de la celda. Así, un cristal de sal son dos redes cúbicas centradas en las caras, una por cada ion, metidas una dentro de la otra.

A lo largo de cualquier arista del cubo los iones se alternan: sodio, cloro, sodio. Cada ion sodio tiene seis vecinos cloruro, uno en cada dirección de los tres ejes, y cada ion cloruro tiene seis vecinos sodio. La distancia entre vecinos es la mitad de la arista de la celda, 0,282 nm. La tabla de Shannon da los radios iónicos en esta posición de coordinación seis: 102 pm para Na⁺ y 181 pm para Cl⁻. Si los sumas obtienes 283 pm, de modo que los iones se tocan a lo largo de las aristas, como muestra el modelo cuando pones «Tamaño de bolas» al 100%.

Las varillas entre iones en el modelo de la sal no son enlaces en el sentido de electrones compartidos. La sal se mantiene unida por la atracción entre iones positivos y negativos. Las varillas solo indican qué iones están uno junto a otro. La silvita (KCl), la periclasa (MgO) y la galena (PbS) tienen la misma disposición, y por eso se la llama la estructura de la sal gema.

Cuántos vecinos caben

Activa «Vecinos» y el modelo une los vecinos más próximos de un átomo central en un sólido, el poliedro de coordinación. Cuatro vecinos forman un tetraedro, seis un octaedro, ocho un cubo y doce un cuboctaedro.

Para los cristales iónicos, Linus Pauling formuló una regla sencilla en 1929. Un ion positivo suele ser más pequeño que los iones negativos que lo rodean. Se amontonan a su alrededor tantos iones negativos como caben sin que el ion positivo quede bailando en su hueco. La razón de los radios r₊/r₋ decide el número:

Los radios proceden de la tabla de Shannon de 1976, que da a cada ion un radio para cada número de vecinos. El cesio es lo bastante grande para alojar 8 iones cloruro, así que CsCl usa una disposición distinta de la de NaCl: un ion en las esquinas de un cubo y el otro en el centro. En la fluorita, cada ion calcio está en un cubo de 8 iones fluoruro, y cada ion fluoruro en un tetraedro de 4 iones calcio, que es lo que exige la fórmula CaF₂.

La regla es una guía, no una ley. KCl tiene una razón de radios de 0,762, que apunta a 8 vecinos, pero la silvita tiene 6, igual que la sal. El corindón, Al₂O₃, tiene una razón de 0,382 que apunta a 4, y sin embargo cada ion aluminio está en un octaedro de 6 iones oxígeno. El modelo muestra tanto la estructura medida como la razón, para que veas dónde la regla funciona y dónde no.

Metales: empaquetar bolas iguales

Un metal puro es el cristal más sencillo: un solo tipo de átomo, mantenido unido por electrones compartidos por todo el cristal. Los átomos se comportan como bolas iguales, y solo hay unas pocas buenas maneras de apilarlas.

Cúbica centrada en las caras (cobre, aluminio, oro, hierro γ): cada átomo toca a otros 12 y las bolas llenan el 74,05% del espacio, π/√18. Johannes Kepler conjeturó en 1611 que ningún empaquetamiento de bolas iguales lo hace mejor. En 2017 se publicó una demostración verificada por computador.

Hexagonal compacta (magnesio, titanio): las mismas capas de bolas que en la cúbica centrada en las caras, apiladas ABAB en lugar de ABCABC. También llena el 74,05% cuando c/a vale 1,633. El magnesio se acerca, con c/a = 1,624. El zinc está estirado a lo largo de c, con c/a = 1,856, de modo que cada átomo de zinc tiene 6 vecinos cercanos en su capa y 6 más lejos.

Cúbica centrada en el cuerpo (hierro α, tungsteno): un átomo en el centro de un cubo de 8. Llena el 68,02% del espacio, π√3/8, algo menos que el empaquetamiento compacto.

Cúbica primitiva llena solo el 52,36%, π/6. El polonio es el único elemento que cristaliza así a presión normal.

Activa «Vecinos» para el cobre y luego para el hierro α, y compara el cuboctaedro de 12 vecinos con el cubo de 8. La fracción de empaquetamiento del indicador se calcula con las bolas en contacto, por eso marca 74% para el cobre y 68% para el hierro.

Lo fácil que es doblar un metal depende de su red. Los metales de red cúbica centrada en las caras tienen 12 combinaciones fáciles de plano de deslizamiento y dirección de deslizamiento, y por eso el cobre, el aluminio y el oro se pueden doblar, estirar en alambre y batir hasta dejarlos en láminas finas. Los metales hexagonales, como el magnesio, tienen muchas menos a temperatura ambiente, lo que hace más difícil darles forma.

Diamante y grafito: mismo átomo, distinto enlace

El diamante y el grafito son carbono puro, pero uno es el mineral más duro y el otro es tan blando que sirve para escribir. La diferencia está en cómo usa cada átomo de carbono sus cuatro electrones externos.

En el diamante, cada carbono forma cuatro enlaces covalentes, todos de la misma longitud, 0,154 nm. Los cuatro vecinos están en las esquinas de un tetraedro a su alrededor. La celda cúbica es una red cúbica centrada en las caras de carbono más una segunda copia de la misma red, desplazada un cuarto de la diagonal del cubo. Si cuentas los átomos que pertenecen a una celda, salen ocho. Como todos los enlaces son fuertes y apuntan en todas direcciones, no hay una dirección fácil para separar los átomos. Las bolas en contacto llenan solo el 34% del espacio, lo que muestra hasta qué punto una red covalente se sostiene por sus enlaces y no por el empaquetamiento.

En el grafito, cada carbono forma tres enlaces de 0,142 nm de longitud con vecinos del mismo plano. Los átomos forman láminas planas de hexágonos. Las láminas vecinas están a 0,3355 nm una de otra, más del doble de la longitud del enlace, y a través de ese hueco actúan solo fuerzas débiles. Las láminas se apilan en un patrón ABAB: una de cada dos se alinea con la primera, de modo que la altura de la celda c son dos huecos, 0,6711 nm. Cambia a grafito y mira el marcador naranja, que muestra un hueco entre un átomo y el que está justo encima.

Una sola lámina es grafeno. En 2004 Andre Geim y Konstantin Novoselov la desprendieron del grafito con cinta adhesiva, y recibieron el Premio Nobel de Física de 2010. El grafeno se pesa por área y no por volumen. Con 2 átomos en una celda de área (√3/2)a², el modelo obtiene 0,761 mg por metro cuadrado, cerca de los 0,77 mg que cita el comité Nobel.

El carbono tiene una tercera forma común. C₆₀, descubierto en 1985, es una jaula cerrada de 60 átomos con forma de balón de fútbol, con 12 pentágonos y 20 hexágonos. En el C₆₀ sólido las jaulas se apilan en red cúbica centrada en las caras con a = 1,417 nm, unas cuatro veces la celda del cobre. El modelo dibuja cada uno de los 60 átomos de cada jaula. A temperatura ambiente las moléculas reales giran sobre sí mismas; por debajo de 249 K se bloquean en orientaciones fijas.

Semiconductores: silicio y parientes

El silicio tiene la estructura del diamante, con a = 0,5431 nm. Es el cristal mejor medido que existe: CODATA da su parámetro de red como 543,102 0511 pm. Esa precisión convirtió al silicio en la herramienta de una de las medidas más cuidadosas de la física. La constante de Avogadro se determinó contando los átomos de una esfera pulida de silicio-28: se miden la masa de la esfera, su volumen y el tamaño de la celda, y la fórmula de la densidad aplicada a la inversa da el número de átomos de un mol.

El germanio tiene la misma estructura, con a = 0,5658 nm. El primer transistor, construido en 1947, usó un cristal de germanio. Si sustituyes un tipo de átomo en uno de cada dos sitios, obtienes la estructura de blenda del arseniuro de galio (GaAs) y del carburo de silicio (SiC), que se usan en láseres, chips de radio rápidos y electrónica de potencia. El nitruro de galio cristaliza en la estructura hexagonal de wurtzita, con cada átomo todavía en un tetraedro del otro tipo. Los buenos cristales de GaN hicieron posibles los LED azules brillantes, reconocidos con el Premio Nobel de Física de 2014.

Un semiconductor es útil porque una traza de la impureza adecuada cambia cómo conduce. Elige el defecto «Sustitución» para el silicio y tres átomos de silicio pasan a ser fósforo. El fósforo tiene un electrón externo más que el silicio, y ese electrón queda libre para transportar corriente. El boro, con uno menos, deja un hueco. El silicio para chips se purifica primero a más del 99,9999999% y después se dopa a propósito.

El silicio para chips se cultiva como monocristal con el método que Jan Czochralski halló en 1916: un cristal semilla toca el silicio fundido y se extrae despacio mientras gira. El resultado es un lingote redondo, y por eso el nivel Forma muestra el silicio como un cilindro y no como un poliedro. El lingote se sierra en obleas.

Minerales construidos con poliedros

Muchos minerales se entienden mejor como poliedros unidos que como bolas.

Cuarzo, SiO₂, está construido con tetraedros SiO₄, cada silicio a 0,161 nm de cuatro oxígenos. Cada oxígeno lo comparten dos tetraedros, de modo que la red está unida por todos los vértices. Los tetraedros forman espirales a lo largo del eje c, y las espirales giran a la izquierda o a la derecha, lo que da cuarzo levógiro y dextrógiro. El modelo usa las posiciones refinadas por Levien, Prewitt y Weidner en 1980.

Calcita, CaCO₃, tiene grupos carbonato planos, un carbono con tres oxígenos a 0,128 nm, en capas entre los iones calcio. Cada calcio tiene 6 oxígenos vecinos. La disposición en capas y asimétrica frena la luz de forma distinta según la dirección, y eso da a la calcita su fuerte doble refracción.

Corindón, Al₂O₃, es un apilamiento compacto de iones óxido con aluminio en dos tercios de los huecos octaédricos. El corindón puro es incoloro. Un poco de cromo en lugar de aluminio lo vuelve rojo, y la piedra se llama rubí; el hierro y el titanio lo vuelven azul, y todo corindón de calidad gema que no sea rojo se llama zafiro. Elige «Sustitución» para el corindón y se coloca cromo en la red.

Rutilo, TiO₂, tiene cadenas de octaedros TiO₆ a lo largo de c. La mayor parte del dióxido de titanio acaba como pigmento blanco en pinturas, papel y plásticos.

Pirita, FeS₂, se parece a la sal gema con cada ion cloruro sustituido por un par de átomos de azufre a 0,216 nm uno de otro. Los pares apuntan a lo largo de las cuatro diagonales del cuerpo, lo que reduce la simetría y explica los cubos estriados y los piritoedros de doce caras del oro de los tontos.

Perovskitas, de fórmula ABX₃, colocan un ion pequeño (titanio en SrTiO₃) en el centro de un octaedro de oxígenos y un ion grande (estroncio) en el gran hueco entre octaedros, con 12 oxígenos vecinos. El titanato de estroncio es la versión cúbica ideal. Las células solares hechas con cristales de perovskita pasaron de alrededor del 4% de eficiencia en 2009 al nivel de las células de silicio en los laboratorios de investigación.

Óxido de litio y cobalto, LiCoO₂, apila láminas de CoO₂ con iones litio entre ellas. Cuando se carga una batería de iones de litio, el litio sale de estos huecos; cuando se descarga, vuelve. El grupo de John Goodenough describió este material como cátodo en 1980.

Hielo: cristal unido por enlaces de hidrógeno

El hielo común se llama hielo Ih, con h de hexagonal. El oxígeno de cada molécula de agua tiene cuatro oxígenos vecinos a unos 0,276 nm, dispuestos en las esquinas de un tetraedro, de forma muy parecida a los átomos de carbono del diamante. Entre cada pareja de oxígenos vecinos hay exactamente un hidrógeno. Está unido covalentemente a un oxígeno, a 99 pm, y retenido por el otro mediante un enlace de hidrógeno, a 177 pm.

Cada molécula da dos hidrógenos a sus vecinas y recibe dos. El modelo coloca los hidrógenos de modo que esta regla se cumpla para cada molécula del bloque. En el hielo real, qué hidrógeno queda cerca de qué oxígeno es desordenado y cambia con el tiempo; el modelo muestra una de las disposiciones permitidas.

El patrón tetraédrico deja una estructura abierta de anillos hexagonales plegados con canales vacíos que los atraviesan. Cuando el hielo se funde, parte de esa red se derrumba y las moléculas se empaquetan más juntas. Por eso el hielo, con 0,9167 g/cm³ a 0 °C, flota en el agua, que a la misma temperatura tiene 0,99984 g/cm³ (NIST).

El hielo tiene más de una forma cristalina. El hielo Ic conserva los mismos cuatro enlaces de hidrógeno por molécula, pero apila las capas como en el diamante y no como en un cristal hexagonal, con una celda cúbica de 0,6358 nm. Se forma cuando gotitas diminutas se congelan a las temperaturas muy bajas de la alta atmósfera. El hielo VII son dos redes cúbicas de hielo que se atraviesan sin tocarse. Necesita una presión superior a unos 2 GPa. Su densidad es de unos 1,65 g/cm³, casi el doble que la del hielo común, y en 2018 se encontró atrapado dentro de diamantes del manto profundo.

Moléculas como bloques

En el azúcar y las proteínas la base es una molécula entera, y los enlaces dentro de la molécula son mucho más fuertes que las fuerzas entre moléculas. El modelo dibuja cada molécula como una sola bola para que la red siga visible.

Un cristal de sacarosa es monoclínico, con 2 moléculas por celda. Una molécula se relaciona con la otra mediante un eje helicoidal doble, un medio giro más un desplazamiento de media celda. La celda mide 1,086 × 0,871 × 0,776 nm con β = 102,9°, y la fórmula de la densidad da 1,590 g/cm³ frente a 1,587 medida.

Los cristales de proteína son mucho mayores. Los cristales tetragonales de lisozima, una enzima de la clara de huevo, tienen a = 7,91 nm y c = 3,79 nm, con 8 moléculas por celda. Si la celda contuviera solo proteína, su densidad sería de 0,80 g/cm³, menos que la del agua. El resto es agua: Brian Matthews descubrió en 1968 que los cristales de proteína tienen unos 2,2 ų de volumen de celda por dalton de proteína, lo que deja cerca de la mitad del cristal como disolvente. La lisozima fue la primera enzima cuya estructura se resolvió, en 1965, y la cristalografía de proteínas sigue siendo la forma en que se halla la mayoría de las estructuras de enzimas.

Nombrar planos: índices de Miller

Un plano que atraviesa un cristal se nombra con tres números enteros (h k l), sus índices de Miller. Se toma el plano más próximo al origen, que corta las aristas de la celda en a/h, b/k y c/l. Un cero significa que el plano es paralelo a esa arista. Así, (1 0 0) es una cara del cubo, (1 1 0) corta dos aristas y es paralelo a la tercera, y (1 1 1) corta una esquina. Las llaves, como {100}, designan toda la familia de planos equivalentes por simetría, y en un cubo {100} tiene tres miembros.

Activa «Plano de Miller» y ajusta h, k y l. El modelo dibuja los planos paralelos h x + k y + l z = número entero a través del bloque y colorea los átomos que están en el plano central. El indicador da la separación entre planos, d, y el número de átomos por nanómetro cuadrado en un plano.

En un cristal cúbico la separación es d = a / √(h² + k² + l²). Para el cobre, los planos (1 1 1) distan 0,3615 / √3 = 0,2087 nm, y cada uno contiene 17,67 átomos por nanómetro cuadrado en un patrón de triángulos. Es el plano más denso de un metal cúbico centrado en las caras, y por eso los metales deslizan sobre {111}. En el hierro centrado en el cuerpo los planos más densos son, en cambio, {110}. Para otros sistemas cristalinos el modelo calcula d a partir de la red recíproca, que sirve para cualquier forma de celda.

Por dónde se separan los cristales

Cuando golpeas un cristal, tiende a romperse por los planos que cruzan menos enlaces, o más débiles. Los mineralogistas lo llaman exfoliación. El Handbook of Mineralogy da una exfoliación perfecta según {001} para la halita, el nombre mineral de la sal gema. En un cubo hay tres planos así, perpendiculares entre sí. Si separas la sal por los tres, cada trozo vuelve a ser una caja con caras planas y esquinas rectas. Por eso los granos de sal parecen cubos.

El diamante tiene exfoliación perfecta según {111}, planos que cortan las esquinas del cubo en ángulo. Activa «Separar» con el diamante y observa los enlaces: donde el bloque se parte, solo cruza el plano un enlace por átomo, mientras que los átomos a cada lado están unidos por tres. Los talladores de gemas lo aprovechan para partir las piedras en bruto antes de serrarlas y pulirlas.

El grafito se exfolia entre sus láminas. Allí solo actúan fuerzas débiles, de modo que las láminas resbalan y se desprenden con facilidad, que es como un lápiz deja su marca en el papel. La fluorita se exfolia según {111}, así que un cubo de fluorita puede partirse hasta dejarlo en un octaedro. La calcita se exfolia según {104} en tres direcciones que no son perpendiculares, y por eso cada trozo roto es un romboedro. El cuarzo no tiene ninguna exfoliación buena: sus tetraedros están unidos en todas direcciones, y se rompe por superficies curvas en forma de concha.

El modelo elige la separación entre los planos de la familia de exfoliación que cruzan el centro del bloque, usando el mayor hueco entre capas atómicas. Para el diamante es el hueco entre capas dobles, cruzado por un enlace por átomo.

Difracción X y ley de Bragg

La separación entre los átomos de un cristal es cercana a la longitud de onda de los rayos X, así que un cristal dispersa los rayos X en un patrón que depende de su estructura. En 1913 William Lawrence Bragg lo explicó con una imagen de reflexión. Los rayos X se reflejan débilmente en cada plano de átomos. Las reflexiones de planos vecinos se suman solo cuando el recorrido adicional del rayo más profundo, 2 d sin θ, es un número entero de longitudes de onda:

n λ = 2 d sin θ

Aquí θ es el ángulo entre el haz y los planos, d es la separación entre planos y n es un número entero, el orden. El haz reflejado sale a 2θ respecto al incidente, por eso los difractómetros dan 2θ.

Activa «Haz de rayos X». El haz morado sale del tubo de la izquierda, encuentra los planos (h k l) elegidos y sigue hacia el detector. Mueve el control «Ángulo 2θ». El detector se mantiene oscuro hasta que el ángulo cumple la ley de Bragg, y entonces se enciende el haz amarillo. Para la sal y los rayos X Kα del cobre (λ = 1,5406 Å), los planos (2 0 0) distan 0,2820 nm y reflejan a 2θ = 31,70°. Cambia la longitud de onda a la Kα del molibdeno, 0,7093 Å, y los mismos planos reflejan a un ángulo menor, 14,45°.

El pequeño gráfico del indicador es el patrón de polvo: lo que registra un difractómetro con un polvo en el que los cristalitos apuntan en todas direcciones, de modo que todas las familias de planos reflejan a la vez. Cada línea es una familia de planos. El modelo calcula las posiciones exactamente a partir de la celda y de la ley de Bragg. Las alturas salen del factor de estructura, la suma de las ondas dispersadas por cada átomo de la celda con sus fases, multiplicada por el número de planos equivalentes y por un factor angular. Para la sal con Kα del cobre, las líneas más fuertes son (2 0 0) a 31,70°, (2 2 0) a 45,45° y (2 2 2) a 56,47°, como en el patrón medido.

Algunos planos no reflejan nunca, por mucho que gires el cristal. En una red cúbica centrada en las caras, los átomos de los centros de las caras envían ondas que anulan exactamente a los átomos de las esquinas para (1 0 0), así que la primera línea del cobre es (1 1 1) a 43,32°. En el diamante y el silicio, la segunda copia de la red anula además (2 0 0). Estas reflexiones ausentes, llamadas ausencias sistemáticas, son la forma en que los cristalógrafos reconocen el tipo de red a partir de un patrón. Prueba (1 0 0) en el cobre: el indicador dice que la reflexión está ausente y el haz nunca se enciende.

El cloruro de potasio muestra un caso más sutil. K⁺ y Cl⁻ tienen ambos 18 electrones, así que para los rayos X se ven casi iguales. La reflexión (1 1 1), que depende de la diferencia entre los dos iones, casi desaparece, y el patrón se parece al de un cristal cúbico primitivo con la mitad de celda. En la sal, Na⁺ tiene 10 electrones y Cl⁻ 18, de modo que (1 1 1) se ve con claridad.

Hierro a 912 °C y cambios de fase

El control «Temperatura» va de −200 a 1600 °C. A mayor temperatura los átomos vibran con más fuerza alrededor de sus sitios, y el modelo lo muestra como un temblor que crece con la temperatura. Pasado el punto de fusión el cristal pierde su orden: los átomos aún se tocan, pero ya no ocupan una red.

El hierro también cambia de red al subir. Por debajo de 912 °C es cúbico centrado en el cuerpo, hierro α o ferrita. Entre 912 y 1394 °C es cúbico centrado en las caras, hierro γ o austenita. De 1394 °C hasta la fusión a 1538 °C vuelve a ser cúbico centrado en el cuerpo, hierro δ. La forma centrada en las caras empaqueta los átomos más juntos, así que el hierro se contrae ligeramente cuando cambia a 912 °C. Sus huecos mayores también pueden alojar mucho más carbono. El acero se trata térmicamente aprovechando esto: se calienta hasta el intervalo γ, donde el carbono se disuelve, y luego se enfría a la velocidad adecuada para atrapar el carbono en disposiciones diferentes.

El estaño cambia en sentido contrario. Por encima de 13,2 °C la forma estable es el estaño blanco, un metal tetragonal. Por debajo, es estable el estaño gris, con estructura de diamante. El cambio es lento y exige un periodo largo de frío, pero cuando ocurre el estaño se hincha en cerca de una cuarta parte y se desmenuza. Viejas historias culpan a esta peste del estaño de botones y tubos de órgano perdidos; la mayoría son difíciles de confirmar.

El hielo se funde a 0 °C. El modelo cambia automáticamente entre los cristales de una familia por temperatura, de modo que al mover el control en el hierro o el estaño se ve cada fase por turno. Los parámetros de red del hierro γ y δ son medidas a alta temperatura hechas por Basinski, Hume-Rothery y Sutton en 1955.

Defectos: ningún cristal real es perfecto

Ningún cristal real es perfecto, y muchas propiedades útiles proceden de los fallos. El control «Defecto» funciona en el nivel Bloque.

• Vacante: un átomo ausente de su sitio. En la sal faltan a la vez un ion sodio y un ion cloruro, de modo que el cristal sigue siendo neutro. Las vacantes permiten que los átomos se muevan por un sólido, que es como funciona la difusión.
• Intersticial: un átomo extra apretado en un hueco entre sitios. En el hierro el modelo coloca un átomo de carbono en el mayor hueco. Ese es el comienzo del acero.
• Sustitución: un átomo extraño en un sitio normal. El zinc en el cobre da latón, el cromo en el corindón da rubí, el boro en el diamante da el azul del diamante Hope y el fósforo en el silicio hace funcionar un transistor.
• Dislocación de borde: un semiplano extra de átomos que termina dentro del cristal. Mira a lo largo del marcador rojo ⊥ y verás cómo los planos de arriba se curvan alrededor del extremo del plano extra. Un metal puro cede con una tensión miles de veces menor que la que necesitaría un cristal perfecto, porque una dislocación permite que los planos deslicen una fila cada vez. G. I. Taylor, Egon Orowan y Michael Polanyi lo propusieron de forma independiente en 1934.
• Límite de macla: una parte del cristal es la imagen especular de la otra respecto a un plano. En el modelo se refleja la mitad situada sobre un plano (1 1 1), lo que en un metal cúbico centrado en las caras da la macla coherente que se ve en el latón y el cobre.

La dislocación del modelo se coloca con el campo de desplazamientos de la teoría de la elasticidad, la forma habitual de construir una en un modelo atómico, con un vector de Burgers de una arista de celda.

Comprobar densidades

Si sabes qué hay en una celda y qué tamaño tiene, conoces la densidad. La masa de una celda es Z · M / N_A, donde Z es el número de unidades fórmula que posee la celda, M es la masa molar y N_A es la constante de Avogadro, 6,022 140 76 × 10²³ por mol (exacta por definición). Divide por el volumen de la celda y tienes ρ = Z · M / (N_A · V). Para una celda cúbica V = a³; para una celda hexagonal V = (√3 / 2) · a² · c; en general V es el volumen de la caja formada por los tres vectores de arista.

Para la sal, Z = 4 y M = 22,990 + 35,45 = 58,44 g/mol (masas atómicas de CIAAW). El volumen de la celda es (0,56404 nm)³ = 0,17944 nm³, o 1,7944 × 10⁻²² cm³. Eso da ρ = 4 × 58,44 / (6,022 × 10²³ × 1,7944 × 10⁻²²) = 2,163 g/cm³. El Handbook da una densidad medida de 2,168, así que ambas difieren en un 0,2%. El laboratorio bajo los controles repite esta cuenta para el cristal que esté en el escenario.

El intervalo medido del grafito es menor que el valor calculado porque el grafito natural contiene poros y fallos de apilamiento; el valor calculado del propio Handbook es 2,26. El hielo se contrae un poco al enfriarse, así que su densidad depende de la temperatura. NIST da 0,9167 g/cm³ a 0 °C y 0,9196 a −20 °C.

El indicador muestra también un segundo número, ρ dibujada. Es lo que obtienes si sumas la masa de cada bola que ves en pantalla y divides por el volumen del bloque. Para una celda de sal da 7,24 g/cm³, más del triple de lo correcto. La causa es que los átomos se comparten. Un ion de una esquina pertenece a ocho celdas, uno de una arista a cuatro y uno de una cara a dos, de modo que solo una fracción de cada uno cuenta para esta celda. Una celda de sal dibuja 27 iones pero solo posee 8 de ellos: 8 × ⅛ + 6 × ½ = 4 iones sodio y 12 × ¼ + 1 = 4 iones cloruro. A medida que apilas más celdas, una parte menor de los iones queda en el exterior del bloque, y ρ dibujada baja hacia el valor verdadero: 4,22 con 2 × 2 × 2, 3,08 con 4 × 4 × 4 y 2,50 con 10 × 10 × 10. Un grano de sal de medio milímetro de ancho tiene unas 890 000 celdas de lado, así que en la sal real la proporción de superficie es minúscula.

Lo que el modelo omite

Las bolas se dibujan más pequeñas que los átomos para que se vea la estructura; «Tamaño de bolas» al 100% usa los radios iónicos de Shannon para los cristales iónicos y la mitad de la distancia al vecino más próximo para los demás. Las moléculas del azúcar y de la lisozima son bolas individuales. Los átomos reales vibran alrededor de sus posiciones, más a mayor temperatura, y por eso los parámetros de red también cambian un poco con la temperatura; el modelo mantiene las celdas a temperatura ambiente, salvo las formas de alta temperatura del hierro. Las intensidades de rayos X usan una misma caída suave con el ángulo para todos los átomos, así que las alturas de las líneas son cercanas pero no exactas, mientras que sus posiciones sí lo son. Las moléculas de C₆₀ están congeladas en una sola orientación. Las formas del nivel Forma son hábitos típicos, y los cristales reales crecen con muchas variaciones. El hielo del modelo tiene una disposición fija de hidrógenos en lugar de una que cambia constantemente.

Cómo se midieron las primeras estructuras

Nicolas Steno advirtió en 1669 que los cristales de cuarzo de todos los tamaños forman los mismos ángulos entre caras correspondientes. Ese mismo año Erasmus Bartholin vio una imagen doble a través del espato de Islandia, una calcita transparente. René-Just Haüy descubrió que la calcita rota siempre se separaba en romboedros más pequeños y propuso en su libro de 1784 que los cristales son apilamientos de pequeños bloques idénticos. Bravais contó las redes posibles en 1850, y a finales de siglo se conocían los 230 grupos espaciales.

Nadie pudo ver los átomos hasta 1912, cuando el grupo de Max von Laue envió rayos X a través de un cristal y registró un patrón de manchas. Mostró de inmediato que los rayos X son ondas y que los cristales son redes regulares. William Henry Bragg y su hijo William Lawrence Bragg convirtieron las manchas en estructuras: la sal en 1913 y después el diamante. Compartieron el Premio Nobel de Física de 1915. En las décadas siguientes el mismo método resolvió minerales, metales y después las moléculas de la vida: la penicilina y la vitamina B₁₂ de Dorothy Hodgkin, los patrones de rayos X de fibras de ADN registrados por Rosalind Franklin y Raymond Gosling en 1952 y la primera enzima, la lisozima, en 1965. Los parámetros de red usados aquí proceden del mismo tipo de medición, refinada a lo largo del siglo siguiente.