Potências de dez: de um próton ao universo observável

Quantas vezes o universo é maior que um próton?

Um próton tem cerca de 1,68 femtômetro, ou 1,68 × 10⁻¹⁵ m, de diâmetro. O universo observável tem cerca de 93 bilhões de anos-luz de diâmetro, ou 8,8 × 10²⁶ m. Divida um pelo outro e você obtém um número com 42 algarismos. Números assim deixam de significar qualquer coisa depois dos primeiros zeros, então esta exposição faz o que Charles e Ray Eames fizeram em seu filme de 1977: avança de dez em dez. Cada passo deixa a vista dez vezes mais larga. Quarenta e dois passos levam você de dentro de um próton até a borda de tudo o que podemos ver.

No caminho você passa por 24 cenas encaixadas umas nas outras e 115 objetos medidos. As cenas são modelos 3D construídos em código, e cada uma fica dentro da maior seguinte: quarks num próton, o próton no centro de um átomo de hidrogênio, o átomo numa fita de DNA, o DNA empacotado na cabeça de um vírus, o vírus em pé sobre uma bactéria, a bactéria pousada num fio de cabelo, o cabelo no chão sob uma formiga, a formiga aos pés de uma pessoa, e assim por diante até a Via Láctea em seu grupo de galáxias e esse grupo dentro de um superaglomerado. Cada tamanho mostrado no palco vem de uma instituição conhecida ou de um artigo publicado, e as fontes estão listadas no fim desta página.

O palco tem três painéis. O roteiro leva você por 19 paradas. A lista de partes dá nome a cada modelo; escolha um para voar até ele. A aba de controles reúne os controles da régua, uma ficha da cena que você está vendo, seis tarefas, uma ferramenta para comparar quaisquer dois objetos e o catálogo completo de tamanhos.

Por que a escala precisa ser logarítmica

Numa régua comum, cada centímetro acrescenta o mesmo comprimento. Na régua ao longo da parte de baixo do palco, cada marca multiplica por dez. A marca 10⁰ é um metro, 10³ é um quilômetro e 10⁻³ é um milímetro. Essa é uma escala logarítmica: distâncias iguais representam razões iguais, e não diferenças iguais.

Tente desenhar a mesma viagem numa escala comum e você vê o motivo. Se um átomo de hidrogênio tivesse um milímetro de largura na sua tela, um fio de cabelo teria cerca de 850 metros de largura e uma pessoa teria cerca de 16.000 km de altura, mais que a largura da Terra. Nada nas duas pontas caberia. Na régua logarítmica, o próton, a pessoa e o universo recebem o mesmo espaço. Os traços cinzentos logo acima da linha mostram onde fica cada objeto do catálogo; eles se espalham de forma bastante uniforme de 10⁻¹⁵ a 10²⁷ porque as coisas que as pessoas mediram estão distribuídas uniformemente nesse sentido, e não em metros.

A potência de dez no painel de leitura é a largura da vista. Quando aparece 10⁷ m, o palco mostra um trecho de cerca de dez mil quilômetros de largura, um pouco menos que a largura da Terra. A segunda linha dá a mesma largura em unidades do dia a dia, calculada a partir do campo de visão real da câmera na sua tela. Um celular em pé mostra uma faixa mais estreita que um monitor largo, então as duas linhas podem não concordar exatamente com a marca da régua; a régua é a escala verdadeira, e a segunda linha é o que cabe na sua tela.

Como manter 42 potências de dez numa só tela

A computação gráfica tem dificuldade com números muito grandes e muito pequenos na mesma cena. As placas gráficas guardam posições como números de ponto flutuante de 32 bits, que mantêm cerca de sete algarismos significativos. Coloque um próton e uma galáxia no mesmo sistema de coordenadas, medido em metros, e a posição do próton seria arredondada até virar nada. O buffer de profundidade, que decide qual superfície fica na frente, tem o mesmo problema: duas superfícies quase à mesma distância piscam, porque a placa não consegue decidir entre elas. Esse piscar se chama z-fighting.

A exposição evita os dois problemas por nunca guardar metros. A câmera fica onde está, e o zoom muda um único número, a potência de dez. Cada modelo é construído nas próprias unidades, em que uma unidade é o tamanho real do objeto: uma unidade é 1,68 fm para o próton, 2,5 nm para o DNA e 12.742 km para a Terra. A cada quadro, cada modelo é desenhado numa escala igual ao seu tamanho real dividido pela largura atual da vista. Um modelo só aparece enquanto essa escala está entre cerca de um milésimo e algumas dezenas. Fora dessa faixa ele é menor que alguns pixels ou tão grande que a câmera ficaria dentro dele, então fica escondido. Os números enviados à placa gráfica, portanto, ficam sempre entre cerca de um milésimo e cem.

O encaixe funciona por meio de um ponto compartilhado. Cada modelo tem uma âncora, o lugar dentro dele onde fica o próximo modelo menor, e esse lugar é sempre posto no centro da cena. A âncora do fago é o meio da cabeça, onde o DNA está empacotado. A âncora da bactéria é um ponto logo acima da sua superfície superior, onde o fago se apoia na cauda. A âncora da Terra é Seul, virada para cima. Como um objeto menor toca o objeto pai nesse ponto, as duas superfícies poderiam disputar os mesmos pixels, então cada modelo empurra sua profundidade para trás numa quantidade que cresce com o tamanho, e o modelo menor sempre vence.

Guardar 42 potências de dez de uma vez seria muita geometria. A exposição não faz isso. Um modelo só é construído quando a régua chega a cerca de uma potência de dez da faixa em que ele fica visível, e é desmontado de novo, com formas, cores e texturas liberadas, quando a régua está a três potências de dez de distância. A cada momento existem de três a seis dos 24 modelos. Ao ir de uma ponta da régua à outra, cada modelo é construído e liberado em sequência, então um celular guarda quase o mesmo que guardava quando a exposição mostrava apenas 15 objetos.

Descendo: de duas pessoas a três quarks

Duas pessoas, 10⁰ m. A viagem começa com um homem e uma mulher de altura média coreana: 172,5 cm e 159,6 cm, segundo a 8ª pesquisa Size Korea da Agência Coreana de Tecnologia e Normas. Eles são desenhados como silhuetas simples, sem rosto nem roupas, porque o que importa é o tamanho. Estão em pé sobre ladrilhos de exatamente um metro de largura, com uma barra de um metro no chão e uma bola de futebol tamanho 5, com cerca de 22 cm de diâmetro.

Dez e cem vezes menor. A 10⁻¹ m, a bola de futebol ocupa parte da vista e os pés das pessoas ficam enormes. A 10⁻² m, uma moeda de 500 won, com 26,5 mm de diâmetro segundo o Banco da Coreia, está no chão. Uma formiga-de-calçada de 4,8 mm de comprimento anda ao lado dela entre grãos de areia. O programa de manejo de pragas da Universidade da Califórnia dá o comprimento da formiga, e a escala de tamanho de grãos do Serviço Geológico dos Estados Unidos diz que a areia vai de 0,0625 a 2 mm.

Um cabelo e glóbulos vermelhos, 10⁻⁴ m. Sob a formiga está um fio de cabelo de 90 µm de largura. A National Nanotechnology Initiative dá o cabelo humano como de 80.000 a 100.000 nm e uma folha de papel como tendo cerca de 100.000 nm de espessura, então um cabelo e uma página têm quase o mesmo tamanho. Sobre o cabelo repousa uma bactéria E. coli, de 2 µm de comprimento e 1 µm de largura (BioNumbers), ao lado de glóbulos vermelhos de cerca de 7,5 µm de diâmetro.

Um vírus sobre uma bactéria, 10⁻⁷ m. Em pé sobre a bactéria está um fago T4, um vírus que infecta a E. coli. A cabeça dele é um icosaedro alongado de 120 nm de comprimento e 86 nm de largura (Rao e Black, 2010), e a cauda tem cerca de 113 nm de comprimento (BioNumbers). Seis fibras da cauda descem até a parede da célula. A luz visível tem comprimentos de onda de 380 a 700 nm, então um fago é menor que uma única onda da luz que você usaria para olhá-lo. Por isso os vírus só foram vistos quando surgiram os microscópios eletrônicos. Para comparação, o vírus que causa a COVID-19 mede de 60 a 140 nm em imagens de microscópio eletrônico.

DNA e água, 10⁻⁸ m. Dentro da cabeça do fago, o DNA está dobrado com firmeza. De perto ele vira a dupla hélice: 2,5 nm de largura, dando uma volta a cada 3,4 nm, com dez pares de bases por volta, a repetição descrita por Watson e Crick em 1953. Pequenas moléculas dobradas flutuam ao redor. São de água, com o oxigênio e o hidrogênio a 95,78 pm um do outro e o ângulo entre as duas ligações de 104,5 graus, os valores listados pelo NIST.

Um átomo de hidrogênio, 10⁻¹⁰ m. Um átomo de hidrogênio está sobre o esqueleto do DNA. O NIST dá o raio de Bohr como 5,29177210544 × 10⁻¹¹ m, e o modelo trata o dobro disso, cerca de 0,106 nm, como a largura do átomo. Os pontos são desenhados a partir da fórmula de probabilidade do elétron em seu estado mais baixo, então se agrupam em torno de um raio de Bohr e rareiam além dele. A bola vermelha no meio marca o núcleo, e ela é desenhada grande demais.

Espaço vazio, 10⁻¹¹ a 10⁻¹³ m. Continue aproximando e quase nada acontece. A nuvem de elétrons se espalha até restarem poucos pontos, e o meio continua vazio. Este é o trecho mais honesto da viagem. Se o próton fosse uma bolinha de gude de 1 cm de diâmetro, o átomo de hidrogênio teria cerca de 630 m de largura. A única coisa que permite achar o próton é um brilho suave que o modelo acrescenta ao redor dele.

Dentro do próton, 10⁻¹⁵ m. No fim da régua, o próton preenche a vista. O CODATA 2022 dá seu raio de carga como 0,84075 fm, então ele tem cerca de 1,68 fm de diâmetro. Dentro há dois quarks up e um quark down, mantidos juntos por glúons, desenhados aqui como fios ondulados. Os quarks não têm tamanho medido, então as bolas coloridas só marcam onde eles estão. Os pontos tênues ao redor representam os pares de quarks de vida curta que, segundo os físicos, preenchem um próton.

Subindo: de uma torre ao limite do que podemos ver

Uma torre e um campo, 10² a 10³ m. De volta acima das pessoas, a Lotte World Tower se ergue com 554,5 m e 123 andares (CTBUH). Ao lado dela, na mesma escala, estão um campo de futebol de 105 m de comprimento, um Airbus A380 de 72,72 m de comprimento desenhado de cima e um fantasma pálido do Burj Khalifa, com 828 m. Linhas pintadas no chão perto das pessoas mostram SUE, o T. rex, com 12,3 m (o Field Museum informa 40,5 pés) e uma baleia-azul de 33,5 m (a NOAA informa até 110 pés).

Seul e a Coreia, 10⁴ a 10⁵ m. Seul preenche a vista como um disco da sua área real, 605,24 km², com o rio Han atravessando-o. O cone pálido na borda é o Everest, com 8848,86 m, na mesma escala: cerca de um terço da largura de Seul. Um pouco mais largo e a Coreia aparece: as terras registradas da Coreia do Sul, 100.472,4 km², e o Hallasan, na ilha de Jeju, com 1947,06 m.

A Terra e seus satélites, 10⁶ a 10⁷ m. A Terra tem 12.742 km de diâmetro em média. Três anéis mostram órbitas: a estação espacial a cerca de 400 km, os satélites GPS a cerca de 20.200 km e os satélites geoestacionários a 35.786 km acima do equador. A estação espacial está quatro vezes mais alta que a linha de 100 km usada para recordes de voo espacial, mas o anel dela fica tão perto do chão que é preciso aproximar para separá-los.

A Lua e o Sol, 10⁸ a 10⁹ m. A luz percorre 299.792.458 m em um segundo, e a marca amarela na linha até a Lua mostra essa distância. A Lua está um pouco mais longe, a 384.400 km, e cerca de 30 Terras cabem no intervalo. O Sol, com 1.391.400 km de diâmetro, é desenhado ao redor da Terra para comparação, e a órbita inteira da Lua cabe dentro dele.

Os planetas, 10¹¹ a 10¹³ m. Mais largo ainda, o Sol encolhe até virar um ponto e as órbitas dos planetas aparecem nos tamanhos reais, das fichas técnicas da NASA. A Terra está a uma unidade astronômica do Sol, exatamente 149.597.870.700 m desde que a União Astronômica Internacional fixou o valor em 2012. Marte orbita a 228 milhões de km. Um círculo tracejado mostra o tamanho de Betelgeuse: a NASA diz que, se ela substituísse o Sol, sua superfície passaria da órbita de Júpiter. Mais longe estão Netuno, a 4515 milhões de km, e a órbita inclinada de Plutão, que tem média de 5906,4 milhões de km.

A borda da bolha do Sol, 10¹⁴ m. O Cinturão de Kuiper, de corpos de gelo, fica a cerca de 30 a 50 UA. A camada laranja é o choque de terminação, onde a Voyager 1 encontrou o vento solar desacelerando em 2004, a 94 UA. A camada azul é a heliopausa, a borda da bolha do Sol. A Voyager 1 a cruzou em 2012, a cerca de 122 UA, e a Voyager 2 em 2018, a cerca de 119 UA. As direções dos dois caminhos são desenhadas de forma aproximada.

A nuvem de Oort e a estrela mais próxima, 10¹⁵ a 10¹⁷ m. Um ano-luz tem cerca de 9,46 trilhões de km. A camada tênue é a nuvem de Oort, um reservatório de cometas que a NASA descreve como começando entre 2000 e 5000 UA e chegando talvez a 100.000 UA. Ela nunca foi vista diretamente. Próxima Centauri está a 4,25 anos-luz, e a linha tracejada até ela tem uma marca a cada ano-luz.

Nossos vizinhos, 10¹⁸ m. São 19 sistemas estelares a menos de 12 anos-luz, da lista RECONS de estrelas próximas, colocados conforme sua direção no céu e sua distância. Sirius está a 8,6 anos-luz, Tau Ceti a 11,9. As linhas finas baixam cada estrela até o plano da galáxia para que você veja quais estão acima e quais abaixo. A maioria são pequenas anãs vermelhas que não se enxergam sem telescópio.

O Braço de Órion, 10¹⁹ a 10²⁰ m. As estrelas próximas se juntam num ponto. A Nebulosa do Caranguejo, deixada pela estrela que explodiu em 1054, tem seis anos-luz de largura, segundo as páginas do Hubble da NASA. As Plêiades ficam a cerca de 445 anos-luz e a Nebulosa de Órion a 1500 anos-luz, ambas no mesmo braço espiral que o Sol.

A Via Láctea, 10²¹ a 10²² m. Um disco com cerca de 100.000 anos-luz de diâmetro. O anel pequeno marca o Sol, a 26.000 anos-luz do centro, onde fica o buraco negro Sagitário A*. O aglomerado globular de Hércules, M13, com mais de 100.000 estrelas, está a 25.000 anos-luz. Fora do disco ficam as Nuvens de Magalhães; a maior está a cerca de 160.000 anos-luz.

O Grupo Local, 10²³ m. Andrômeda, a 2,5 milhões de anos-luz, e a Galáxia do Triângulo, a cerca de 3 milhões, dividem com a Via Láctea um grupo de mais de 50 galáxias. A NASA descreve o grupo como tendo cerca de 10 milhões de anos-luz de diâmetro. A maioria dos membros são galáxias anãs, desenhadas aqui como pequenos pontos ao redor das duas grandes espirais; as posições delas são só aproximadamente certas.

Laniakea e a teia cósmica, 10²⁴ a 10²⁶ m. M87, a 54 milhões de anos-luz, fica no coração do Aglomerado de Virgem, com cerca de 2000 galáxias. Em 2014, uma equipe liderada por Brent Tully mapeou como as galáxias se movem e encontrou o superaglomerado que nos abriga, Laniakea: cerca de 500 milhões de anos-luz de diâmetro, com 100.000 galáxias, todas fluindo em direção a uma região chamada Grande Atrator. Ainda mais largo, as galáxias se alinham em filamentos ao redor de enormes vazios.

O universo observável, 10²⁷ m. O fim da régua. O universo observável tem cerca de 93 bilhões de anos-luz de diâmetro. A camada brilhante representa a radiação cósmica de fundo em micro-ondas, a luz mais antiga que podemos ver, e o ponto branco no meio somos nós.

De onde vêm os tamanhos

O catálogo na aba de controles lista 115 objetos e distâncias, cada um com a fonte de onde veio. Algumas regras decidiram o que entrou.

• Só tamanhos publicados. Um objeto só entrou na lista se uma instituição pública ou um artigo publicado informa o seu tamanho: NIST, NASA, NOAA, o Serviço Geológico dos Estados Unidos, o Banco da Coreia, a Agência Coreana de Tecnologia e Normas, normas ISO, museus ou um artigo de periódico. Enciclopédias escritas por voluntários não foram usadas.
• Faixas usam o meio. Quando uma fonte dá uma faixa, como 60 a 140 nm para o coronavírus ou 80.000 a 100.000 nm para um cabelo, o catálogo usa um valor perto do meio e a nota traz a faixa completa.
• Valores calculados dizem isso. Alguns números são calculados a partir de números publicados. O tamanho do horizonte de eventos de Sagitário A* vem da sua massa de cerca de 4 milhões de Sóis, conforme divulgada pelo Event Horizon Telescope, usando a fórmula do horizonte de um buraco negro. A circunferência da Terra vem do seu raio equatorial. A nota diz "calculado" quando isso acontece.
• Tipos de tamanho. Cada objeto é um tamanho (um diâmetro, comprimento ou altura) ou uma distância. A ferramenta de comparação desenha tamanhos como círculos e distâncias como barras.
• Alvos que se movem. Alguns números mudam conforme as medições melhoram. O raio do próton mudou em 2018, as distâncias das estrelas próximas são refinadas a cada levantamento estelar, e as alturas das montanhas mudam após cada novo levantamento. A data em que cada fonte foi conferida está listada abaixo.

Os contornos da Coreia, os continentes e o disco de Seul são desenhados à mão a partir de mapas e não devem ser usados como dados de levantamento. As posições das estrelas usam ascensão reta e declinação convertidas para o plano da galáxia, o que basta para mostrar quais estrelas estão perto umas das outras, mas não é um mapa estelar.

Conferindo alguns números

A órbita da Lua dentro do Sol parece errada, então confira. O diâmetro da órbita é duas vezes 384.400 km, ou 768.800 km. O diâmetro do Sol é duas vezes 695.700 km, ou 1.391.400 km. A órbita tem só 55% da largura do Sol.

Quantas Terras cabem na largura do Sol? 1.391.400 ÷ 12.742 dá cerca de 109. Quantas entre a Terra e a Lua? 384.400 ÷ 12.742 dá cerca de 30,2.

Quanto tempo a luz do Sol leva para chegar até nós? 149.597.870.700 m divididos por 299.792.458 m por segundo dão cerca de 499 segundos, ou 8 minutos e 19 segundos. A Voyager 1 cruzou a heliopausa a cerca de 122 UA, então a luz precisa de cerca de 122 × 499 segundos, um pouco menos de 17 horas, para chegar lá.

Qual é a distância entre uma pessoa e um átomo? 1,725 m divididos por 0,106 nm dão cerca de 16 bilhões, que é 10 elevado a 10,2. Essa é a resposta da primeira tarefa.

Quão fundo é o mar mais profundo em comparação com a montanha mais alta? A NOAA situa o Challenger Deep a cerca de 10.935 m, e o Everest tem 8848,86 m, então a fossa é cerca de 2 km mais funda do que a montanha é alta.

A régua inteira: 8,8 × 10²⁶ m do universo observável divididos por 1,68 × 10⁻¹⁵ m do próton dão cerca de 5 × 10⁴¹. Some o espaço necessário para enquadrar cada ponta e a régua vai de 10⁻¹⁵ a 10²⁷.

Usando a ferramenta de comparação e as tarefas

A ferramenta de comparação aceita quaisquer dois objetos do catálogo. Ela diz quantas vezes um é maior que o outro e quantas potências de dez isso representa, marca os dois numa régua pequena e os desenha lado a lado em escala. Aperte o botão para mostrar os dois no palco: o primeiro objeto é desenhado em laranja e o segundo em azul, como contornos ao lado da cena no tamanho certo, e a régua vai para o maior dos dois. Se o objeto menor tiver menos que alguns pixels de largura, ele desaparece, o que é a resposta honesta. Experimente uma moeda de 500 won contra um glóbulo vermelho, ou a Terra contra Betelgeuse.

As seis tarefas pedem que você encontre coisas na régua ou responda a uma pergunta sobre tamanhos. Duas delas verificam o próprio palco: uma é marcada quando o fago T4 preenche a vista, outra quando você chega ao fim da régua e vê os quarks. Seu progresso fica guardado neste navegador.

A chave de contornos do mesmo tamanho desenha até três objetos do catálogo que caem na potência de dez que você está vendo, de modo que uma cena sem mais nada ainda mostra o que tem aquele tamanho. A chave de UA e anos-luz muda as unidades no painel de leitura e no catálogo. Parar em potências inteiras faz a régua se fixar em 10¹, 10², 10³ e assim por diante sempre que você solta. A viagem automática aproxima ou afasta sozinha de uma ponta da régua à outra, na velocidade que você escolher.

O que o modelo deixa de fora

Os modelos servem para mostrar tamanhos, então algumas coisas são simplificadas. O núcleo do átomo é desenhado como uma bola vermelha visível; na escala do átomo, o próton real seria muito menor que um pixel. Os quarks são desenhados como bolas, embora não tenham tamanho medido. Os planetas nas vistas do sistema solar são desenhados como pontos de tamanho fixo na tela e não estão nas posições reais em nenhuma data. A Terra é mantida no mesmo lugar da sua órbita em todas as escalas para que as cenas menores continuem embaixo dela. O Sol aparece ao redor da Terra apenas para comparar tamanhos. A heliosfera é desenhada como uma bolha esticada, que é a imagem comum, mas sua forma real ainda é debatida. A nuvem de Oort é uma camada hipotética que ninguém viu. Os braços espirais da galáxia são os de uma espiral barrada genérica, já que vemos a Via Láctea por dentro e sua forma exata ainda está sendo mapeada. As anãs do Grupo Local, as correntes de Laniakea e os filamentos da teia cósmica são desenhados para se parecer com os mapas reais, e não copiados deles.

O filme de 1977 de Charles e Ray Eames

A ideia de percorrer o universo de dez em dez vem de um filme curto. Powers of Ten, feito por Charles e Ray Eames e lançado em 1977, dura cerca de nove minutos. Ele começa com um piquenique à beira do lago em Chicago, visto a um metro de distância. Segundo um ensaio da Biblioteca do Congresso, a câmera então se afasta dez vezes mais a cada dez segundos até chegar à borda do universo conhecido e depois volta para dentro do núcleo de um átomo na mão do homem adormecido. Uma versão anterior havia sido feita em 1968, e o filme se baseou no livro Cosmic View, de Kees Boeke, de 1957. Em 1998, a Biblioteca do Congresso o selecionou para o Registro Nacional de Filmes dos Estados Unidos. Esta exposição não usa nenhuma cena do filme. Desde 1977 a outra ponta se mexeu: o filme para em cerca de 10²⁴ m, antes de o superaglomerado Laniakea ser mapeado.