Potencias de diez: de un protón al universo observable

¿Cuántas veces es más grande el universo que un protón?

Un protón mide unos 1,68 femtómetros, es decir, 1,68 × 10⁻¹⁵ m de diámetro. El universo observable mide unos 93 000 millones de años luz de diámetro, o 8,8 × 10²⁶ m. Si divides una cifra entre la otra, obtienes un número de 42 dígitos. Los números así dejan de significar algo pasados los primeros ceros, de modo que esta exposición hace lo mismo que Charles y Ray Eames en su película de 1977: avanza en pasos de diez. Cada paso hace la vista diez veces más ancha. Cuarenta y dos pasos te llevan desde el interior de un protón hasta el borde de todo lo que podemos ver.

En el camino pasas por 24 escenas anidadas y 115 objetos medidos. Las escenas son modelos 3D construidos con código, y cada una está dentro de la siguiente, más grande: los quarks en un protón, el protón en el centro de un átomo de hidrógeno, el átomo sobre una hebra de ADN, el ADN empaquetado en la cabeza de un virus, el virus de pie sobre una bacteria, la bacteria apoyada en un cabello, el cabello tendido bajo una hormiga, la hormiga a los pies de una persona, y así hasta la Vía Láctea dentro de su grupo de galaxias y ese grupo dentro de un supercúmulo. Cada tamaño que muestra la escena procede de una institución con nombre o de un artículo publicado, y las fuentes están al final de esta página.

La escena tiene tres paneles. La guía te lleva por 19 paradas. La lista de partes nombra cada modelo; elige uno para volar hasta él. La pestaña de controles contiene los controles de la regla, una ficha de la escena que estás viendo, seis tareas, una herramienta para comparar dos objetos cualesquiera y el catálogo completo de tamaños.

Por qué la escala tiene que ser logarítmica

En una regla normal cada centímetro suma la misma longitud. En la regla de la parte inferior de la escena cada marca multiplica por diez. La marca 10⁰ es un metro, 10³ es un kilómetro y 10⁻³ es un milímetro. Es una escala logarítmica: las mismas distancias representan las mismas proporciones, no las mismas diferencias.

Intenta dibujar el mismo viaje en una escala normal y verás por qué. Si un átomo de hidrógeno midiera un milímetro de ancho en tu pantalla, un cabello tendría unos 850 metros de ancho y una persona mediría unos 16 000 km de alto, más que el ancho de la Tierra. Nada cabría en ambos extremos. En la regla logarítmica el protón, la persona y el universo reciben el mismo espacio. Las marcas grises justo encima de la línea muestran dónde está cada objeto del catálogo; se reparten de forma bastante uniforme de 10⁻¹⁵ a 10²⁷ porque las cosas que la gente ha medido están repartidas de manera uniforme en este sentido, no en metros.

La potencia de diez del indicador es el ancho de la vista. Cuando dice 10⁷ m, la escena muestra una franja de unos diez mil kilómetros de ancho, algo menos que el diámetro de la Tierra. La segunda línea da ese mismo ancho en unidades cotidianas, calculado a partir del campo de visión real de la cámara en tu pantalla. Un teléfono en vertical muestra una franja más estrecha que un monitor ancho, así que las dos líneas pueden no coincidir exactamente con la marca de la regla; la regla es la escala verdadera y la segunda línea es lo que cabe en tu pantalla.

Cómo caben 42 potencias de diez en una pantalla

Los gráficos por ordenador tienen problemas con números muy grandes y muy pequeños en la misma escena. Las tarjetas gráficas guardan las posiciones como números de coma flotante de 32 bits, que conservan unas siete cifras significativas. Si pones un protón y una galaxia en el mismo sistema de coordenadas, medido en metros, la posición del protón se redondearía hasta desaparecer. El búfer de profundidad, que decide qué superficie está delante, tiene el mismo problema: dos superficies a casi la misma distancia parpadean porque la tarjeta no puede decidirse entre ellas. Ese parpadeo se llama z-fighting.

La exposición evita ambos problemas porque nunca guarda metros. La cámara se queda donde está y el zoom cambia un único número, la potencia de diez. Cada modelo se construye en sus propias unidades, donde una unidad es el tamaño real del objeto: una unidad son 1,68 fm para el protón, 2,5 nm para el ADN y 12 742 km para la Tierra. En cada fotograma, cada modelo se dibuja a una escala igual a su tamaño real dividido entre el ancho actual de la vista. Un modelo solo se muestra mientras esa escala está entre aproximadamente una milésima y unas pocas docenas. Fuera de ese intervalo, o bien es más pequeño que unos pocos píxeles, o bien es tan grande que la cámara quedaría dentro, así que se oculta. Los números que se envían a la tarjeta gráfica se mantienen, por tanto, entre aproximadamente una milésima y cien.

El anidamiento funciona a través de un punto compartido. Cada modelo tiene un ancla, el punto de su interior donde está el siguiente modelo más pequeño, y ese punto se coloca siempre en el centro de la escena. El ancla del fago es el centro de su cabeza, donde está empaquetado el ADN. El ancla de la bacteria es un punto justo encima de su superficie superior, donde el fago se apoya sobre su cola. El ancla de la Tierra es Seúl, girada para que mire hacia arriba. Como un objeto más pequeño toca a su objeto padre en ese punto, las dos superficies podrían pelearse por los mismos píxeles, así que cada modelo empuja su profundidad hacia atrás en una cantidad que crece con su tamaño, y el modelo más pequeño siempre gana.

Cuarenta y dos potencias de diez serían mucha geometría para tener a la vez. La exposición no lo hace. Un modelo se construye solo cuando la regla se acerca a una potencia de diez del intervalo donde es visible, y se desmonta de nuevo, liberando sus formas, colores y texturas, cuando la regla está a tres potencias de diez de distancia. En cada momento existen entre tres y seis de los 24 modelos. Al ir de un extremo de la regla al otro, cada modelo se construye y se libera por turno, de modo que un teléfono guarda más o menos lo mismo que cuando la exposición mostraba solo 15 objetos.

Bajando: de dos personas a tres quarks

Dos personas, 10⁰ m. El viaje empieza con un hombre y una mujer de estatura media coreana: 172,5 cm y 159,6 cm, según la 8.ª encuesta Size Korea de la Agencia Coreana de Tecnología y Normas. Se dibujan como siluetas lisas, sin rostro ni ropa, porque lo importante es su tamaño. Están de pie sobre baldosas de exactamente un metro de ancho, con una barra de un metro en el suelo y un balón de fútbol de talla 5, de unos 22 cm de diámetro.

Diez y cien veces más pequeño. A 10⁻¹ m el balón llena parte de la vista y los pies de las personas son enormes. A 10⁻² m hay una moneda de 500 won en el suelo, de 26,5 mm de diámetro según el Banco de Corea. Una hormiga de las aceras de 4,8 mm de largo camina a su lado entre granos de arena. El programa de manejo de plagas de la Universidad de California da la longitud de la hormiga, y la escala de tamaños de grano del Servicio Geológico de Estados Unidos dice que la arena va de 0,0625 a 2 mm.

Un cabello y glóbulos rojos, 10⁻⁴ m. Bajo la hormiga hay un cabello de 90 µm de ancho. La National Nanotechnology Initiative da para el cabello humano de 80 000 a 100 000 nm, y para una hoja de papel unos 100 000 nm de grosor, así que un cabello y una página son más o menos iguales. Sobre el cabello descansa una bacteria E. coli de 2 µm de largo y 1 µm de ancho (BioNumbers), junto a glóbulos rojos de unos 7,5 µm de diámetro.

Un virus sobre una bacteria, 10⁻⁷ m. Sobre la bacteria hay un fago T4, un virus que infecta a E. coli. Su cabeza es un icosaedro alargado de 120 nm de largo y 86 nm de ancho (Rao y Black, 2010), y su cola mide unos 113 nm de largo (BioNumbers). Seis fibras de la cola bajan hasta la pared celular. La luz visible tiene longitudes de onda de 380 a 700 nm, de modo que un fago es más pequeño que una sola onda de la luz con la que querrías mirarlo. Por eso los virus solo se vieron cuando llegaron los microscopios electrónicos. A modo de comparación, el virus que causa la COVID-19 mide de 60 a 140 nm en imágenes de microscopio electrónico.

ADN y agua, 10⁻⁸ m. Dentro de la cabeza del fago el ADN está plegado con fuerza. De cerca se convierte en la doble hélice: 2,5 nm de ancho, con una vuelta cada 3,4 nm y diez pares de bases por vuelta, el patrón que describieron Watson y Crick en 1953. Alrededor flotan pequeñas moléculas dobladas. Son agua, con el oxígeno y el hidrógeno a 95,78 pm de distancia y un ángulo de 104,5 grados entre los dos enlaces, los valores que da el NIST.

Un átomo de hidrógeno, 10⁻¹⁰ m. Un átomo de hidrógeno está sobre el esqueleto del ADN. El NIST da el radio de Bohr como 5,29177210544 × 10⁻¹¹ m, y el modelo toma el doble, unos 0,106 nm, como el ancho del átomo. Los puntos se dibujan con la fórmula de probabilidad del electrón en su estado más bajo, así que se agrupan alrededor de un radio de Bohr y se hacen más escasos más allá. La bola roja del centro marca el núcleo, y está dibujada mucho más grande de lo que es.

Espacio vacío, de 10⁻¹¹ a 10⁻¹³ m. Sigue acercando y casi no pasa nada. La nube de electrones se dispersa hasta que quedan solo unos pocos puntos, y el centro sigue vacío. Es el tramo más honesto del viaje. Si el protón fuera una canica de 1 cm de diámetro, el átomo de hidrógeno mediría unos 630 m de ancho. Lo único que permite encontrar el protón es un suave resplandor que el modelo añade a su alrededor.

Dentro del protón, 10⁻¹⁵ m. En el fondo de la regla el protón llena la vista. CODATA 2022 da su radio de carga como 0,84075 fm, así que mide unos 1,68 fm de diámetro. Dentro hay dos quarks up y un quark down, unidos por gluones, dibujados aquí como cuerdas onduladas. Los quarks no tienen ningún tamaño medido, así que las bolas de colores solo marcan dónde están. Los puntos tenues que los rodean representan los pares de quarks de vida corta que, según describen los físicos, llenan un protón.

Subiendo: de una torre al borde de lo que podemos ver

Una torre y un campo, de 10² a 10³ m. De vuelta arriba, más allá de las personas, la Lotte World Tower se eleva 554,5 m y 123 plantas (CTBUH). A su lado, a la misma escala, hay un campo de fútbol de 105 m de largo, un Airbus A380 de 72,72 m de largo dibujado desde arriba y una silueta pálida del Burj Khalifa, de 828 m. Unas líneas pintadas en el suelo cerca de las personas muestran a SUE, el T. rex, con 12,3 m (el Field Museum da 40,5 pies) y una ballena azul con 33,5 m (la NOAA da hasta 110 pies).

Seúl y Corea, de 10⁴ a 10⁵ m. Seúl llena la vista como un disco de su área real, 605,24 km², con el río Han atravesándola. El cono pálido del borde es el Everest, de 8848,86 m, a la misma escala: más o menos un tercio del ancho de Seúl. Un poco más ancho y aparece Corea: la tierra registrada de Corea del Sur, 100 472,4 km², y el Hallasan, en Jeju, de 1947,06 m.

La Tierra y sus satélites, de 10⁶ a 10⁷ m. La Tierra mide 12 742 km de diámetro de media. Tres anillos muestran órbitas: la estación espacial a unos 400 km, los satélites GPS a unos 20 200 km y los satélites geoestacionarios a 35 786 km sobre el ecuador. La estación espacial está cuatro veces más alta que la línea de 100 km que se usa para los récords de vuelo espacial, pero su anillo está tan cerca del suelo que hay que acercar para separarlos.

La Luna y el Sol, de 10⁸ a 10⁹ m. La luz recorre 299 792 458 m en un segundo, y la marca amarilla de la línea hacia la Luna muestra esa distancia. La Luna está un poco más lejos, a 384 400 km, y en ese hueco caben unas 30 Tierras. El Sol, de 1 391 400 km de diámetro, se dibuja alrededor de la Tierra para comparar, y toda la órbita de la Luna cabe dentro de él.

Los planetas, de 10¹¹ a 10¹³ m. Con una vista aún más ancha, el Sol se reduce a un punto y aparecen las órbitas de los planetas en su tamaño real según las fichas de datos de la NASA. La Tierra está a una unidad astronómica del Sol, exactamente 149 597 870 700 m desde que la Unión Astronómica Internacional la fijó en 2012. Marte orbita a 228 millones de km. Un círculo discontinuo muestra lo grande que es Betelgeuse: la NASA dice que, si sustituyera al Sol, su superficie llegaría más allá de la órbita de Júpiter. Más lejos están Neptuno, a 4515 millones de km, y la órbita inclinada de Plutón, que tiene un promedio de 5906,4 millones de km.

El borde de la burbuja del Sol, 10¹⁴ m. El cinturón de Kuiper, de cuerpos helados, está entre unas 30 y 50 ua. La capa naranja es el choque de terminación, donde la Voyager 1 encontró en 2004, a 94 ua, que el viento solar se frenaba. La capa azul es la heliopausa, el borde de la burbuja del Sol. La Voyager 1 la cruzó en 2012 a unas 122 ua y la Voyager 2 en 2018 a unas 119 ua. Las direcciones de las dos trayectorias están dibujadas de forma aproximada.

La nube de Oort y la estrella más cercana, de 10¹⁵ a 10¹⁷ m. Un año luz son unos 9,46 billones de km. La capa tenue es la nube de Oort, una reserva de cometas que la NASA describe como situada entre 2000 y 5000 ua y que quizá llegue a 100 000 ua. Nunca se ha visto directamente. Próxima Centauri está a 4,25 años luz, y la línea discontinua hasta ella tiene una marca cada año luz.

Nuestros vecinos, 10¹⁸ m. 19 sistemas estelares a menos de 12 años luz, de la lista RECONS de estrellas cercanas, colocados según su dirección en el cielo y su distancia. Sirio está a 8,6 años luz, Tau Ceti a 11,9. Las líneas finas bajan cada estrella hasta el plano de la galaxia para que veas cuáles están por encima y cuáles por debajo. La mayoría son pequeñas enanas rojas que no se pueden ver sin telescopio.

El brazo de Orión, de 10¹⁹ a 10²⁰ m. Las estrellas cercanas se juntan en un punto. La nebulosa del Cangrejo, dejada por la estrella que explotó en 1054, mide seis años luz de ancho según las páginas del Hubble de la NASA. Las Pléyades están a unos 445 años luz y la nebulosa de Orión a 1500 años luz, ambas en el mismo brazo espiral que el Sol.

La Vía Láctea, de 10²¹ a 10²² m. Un disco de unos 100 000 años luz de diámetro. El anillo pequeño marca el Sol, a 26 000 años luz del centro, donde está el agujero negro Sagitario A*. El cúmulo globular de Hércules, M13, con más de 100 000 estrellas, está a 25 000 años luz. Fuera del disco están las Nubes de Magallanes; la más grande está a unos 160 000 años luz.

El Grupo Local, 10²³ m. Andrómeda, a 2,5 millones de años luz, y la galaxia del Triángulo, a unos 3 millones, comparten con la Vía Láctea un grupo de más de 50 galaxias. La NASA describe el grupo como de unos 10 millones de años luz de diámetro. La mayoría de los miembros son galaxias enanas, dibujadas aquí como pequeños puntos alrededor de las dos grandes espirales; sus posiciones solo son aproximadas.

Laniakea y la red cósmica, de 10²⁴ a 10²⁶ m. M87, a 54 millones de años luz, está en el corazón del cúmulo de Virgo, de unas 2000 galaxias. En 2014 un equipo dirigido por Brent Tully cartografió cómo se mueven las galaxias y encontró el supercúmulo que nos contiene, Laniakea: unos 500 millones de años luz de diámetro con 100 000 galaxias, todas fluyendo hacia una región llamada el Gran Atractor. Aún más ancho, las galaxias se alinean a lo largo de filamentos alrededor de enormes vacíos.

El universo observable, 10²⁷ m. El final de la regla. El universo observable mide unos 93 000 millones de años luz de diámetro. La capa brillante representa el fondo cósmico de microondas, la luz más antigua que podemos ver, y el punto blanco del centro somos nosotros.

De dónde salen los tamaños

El catálogo de la pestaña de controles enumera 115 objetos y distancias, cada uno con la fuente de la que procede. Unas pocas reglas decidieron qué entraba.

• Solo tamaños publicados. Un objeto entró en la lista solo si una institución pública o un artículo publicado da su tamaño: el NIST, la NASA, la NOAA, el Servicio Geológico de Estados Unidos, el Banco de Corea, la Agencia Coreana de Tecnología y Normas, normas ISO, museos o un artículo de revista. No se usaron enciclopedias escritas por voluntarios.
• Los intervalos usan el punto medio. Cuando una fuente da un intervalo, como de 60 a 140 nm para el coronavirus o de 80 000 a 100 000 nm para un cabello, el catálogo usa un valor cercano a la mitad y la nota da el intervalo completo.
• Los valores calculados lo dicen. Unos pocos números se calculan a partir de otros publicados. El tamaño del horizonte de sucesos de Sagitario A* sale de su masa de unos 4 millones de soles, según el Event Horizon Telescope, con la fórmula del horizonte de un agujero negro. La circunferencia de la Tierra sale de su radio ecuatorial. La nota dice «calculado» cuando ocurre eso.
• Tipos de tamaño. Cada objeto es un tamaño (un diámetro, una longitud o una altura) o una distancia. La herramienta de comparación dibuja los tamaños como círculos y las distancias como barras.
• Objetivos que se mueven. Algunos números cambian a medida que mejoran las mediciones. El radio del protón cambió en 2018, las distancias a las estrellas cercanas se afinan con cada estudio estelar y las alturas de las montañas cambian tras cada nueva medición. La fecha en que se revisó cada fuente figura más abajo.

Los contornos de Corea, los continentes y el disco de Seúl están dibujados a mano a partir de mapas y no deben usarse como datos topográficos. Las posiciones de las estrellas usan la ascensión recta y la declinación convertidas al plano de la galaxia, lo bastante bueno para mostrar qué estrellas están cerca unas de otras, pero no es una carta celeste.

Comprobar algunos de los números

La órbita de la Luna dentro del Sol suena mal, así que compruébala. El diámetro de la órbita es dos veces 384 400 km, o sea 768 800 km. El diámetro del Sol es dos veces 695 700 km, o sea 1 391 400 km. La órbita mide solo el 55 % del ancho del Sol.

¿Cuántas Tierras caben a lo ancho del Sol? 1 391 400 ÷ 12 742 es aproximadamente 109. ¿Cuántas entre la Tierra y la Luna? 384 400 ÷ 12 742 es aproximadamente 30,2.

¿Cuánto tarda la luz del Sol en llegar hasta nosotros? 149 597 870 700 m divididos entre 299 792 458 m por segundo son unos 499 segundos, o 8 minutos y 19 segundos. La Voyager 1 cruzó la heliopausa a unas 122 ua, así que la luz necesita unos 122 × 499 segundos, algo menos de 17 horas, para llegar allí.

¿Cuánta distancia hay entre una persona y un átomo? 1,725 m divididos entre 0,106 nm son aproximadamente 16 000 millones, que es 10 elevado a 10,2. Esa es la respuesta a la primera tarea.

¿Qué profundidad tiene el mar más profundo comparada con la montaña más alta? La NOAA sitúa el abismo Challenger a unos 10 935 m, y el Everest mide 8848,86 m, así que la fosa es unos 2 km más profunda de lo que la montaña es alta.

La regla entera: 8,8 × 10²⁶ m del universo observable divididos entre 1,68 × 10⁻¹⁵ m del protón son aproximadamente 5 × 10⁴¹. Añade el espacio necesario para encuadrar cada extremo y la regla va de 10⁻¹⁵ a 10²⁷.

Usar la herramienta de comparación y las tareas

La herramienta de comparación toma dos objetos cualesquiera del catálogo. Te dice cuántas veces es más grande uno que el otro y cuántas potencias de diez son, marca ambos en una regla pequeña y los dibuja lado a lado a escala. Pulsa el botón para mostrar ambos en la escena: el primer objeto se dibuja en naranja y el segundo en azul, como contornos junto a la escena en su tamaño correcto, y la regla se mueve hasta el mayor de los dos. Si el objeto más pequeño mide menos de unos pocos píxeles, desaparece, que es la respuesta honesta. Prueba una moneda de 500 won frente a un glóbulo rojo, o la Tierra frente a Betelgeuse.

Las seis tareas te piden encontrar cosas en la regla o responder una pregunta sobre tamaños. Dos de ellas comprueban la propia escena: una se marca cuando el fago T4 llena la vista, otra cuando llegas al fondo de la regla y ves los quarks. Tu progreso se guarda en este navegador.

El interruptor de siluetas del mismo tamaño dibuja hasta tres objetos del catálogo que caen en la potencia de diez que estás viendo, de modo que una escena sin nada más sigue mostrando qué es de ese tamaño. El interruptor de ua y años luz cambia las unidades del indicador y del catálogo. Parar en potencias enteras hace que la regla se detenga en 10¹, 10², 10³ y así sucesivamente cada vez que la sueltas. El viaje automático hace zoom por sí solo de un extremo de la regla al otro a la velocidad que elijas.

Lo que el modelo deja fuera

Los modelos están pensados para mostrar tamaños, así que algunas cosas están simplificadas. El núcleo del átomo se dibuja como una bola roja que se puede ver; a la escala del átomo, el protón real sería mucho menor que un píxel. Los quarks se dibujan como bolas aunque no tienen un tamaño medido. Los planetas de las vistas del sistema solar se dibujan como puntos de tamaño fijo en pantalla, y no están en sus posiciones reales en ninguna fecha. La Tierra se mantiene en el mismo punto de su órbita en todas las escalas para que las escenas más pequeñas queden debajo. El Sol aparece alrededor de la Tierra solo para comparar tamaños. La heliosfera se dibuja como una burbuja alargada, que es la imagen habitual, pero su forma real todavía se debate. La nube de Oort es una capa hipotética que nadie ha visto. Los brazos espirales de la galaxia son los de una espiral barrada genérica, ya que vemos la Vía Láctea desde dentro y su forma exacta aún se está cartografiando. Las enanas del Grupo Local, las corrientes de Laniakea y los filamentos de la red cósmica se dibujan para parecerse a los mapas reales, sin estar copiados de ellos.

La película de 1977 de Charles y Ray Eames

La idea de recorrer el universo de diez en diez viene de una película corta. Powers of Ten, hecha por Charles y Ray Eames y estrenada en 1977, dura unos nueve minutos. Empieza con un picnic a orillas de un lago en Chicago visto desde un metro de distancia. Según un ensayo de la Biblioteca del Congreso, la cámara se aleja entonces diez veces más cada diez segundos hasta llegar al borde del universo conocido, y después da marcha atrás hasta el núcleo de un átomo de la mano del hombre dormido. Se había hecho una versión anterior en 1968, y la película se basó en el libro Cosmic View de Kees Boeke, de 1957. En 1998 la Biblioteca del Congreso la seleccionó para el Registro Nacional de Cine de Estados Unidos. Esta exposición no usa ninguna imagen de la película. Desde 1977 el extremo lejano se ha movido: la película se detiene en unos 10²⁴ m, antes de que se cartografiara el supercúmulo de Laniakea.