Origami: dobre e abra 20 modelos passo a passo

Um quadrado que vira pássaro

O origami transforma uma folha em uma forma por meio de dobras, em vez de cortes ou colagem. Estes vinte modelos vão de um copo a um tsuru, com cada movimento mostrado para a frente e para trás. Seus padrões de vincos, abertos, mostram onde as dobras montanha e vale se encontram.

Pegue um quadrado de papel com 15 cm de lado. Dobre-o cerca de trinta vezes e ele se transforma em um tsuru que fica de pé sobre a mesa. Você não o cortou, não o colou nem acrescentou nada. Cada parte do pássaro, o pescoço, a cabeça, as duas asas e a cauda, já estava em algum lugar daquele quadrado; as dobras apenas a deslocaram.

Esta exposição dobra vinte modelos à sua frente, um movimento de cada vez: um copo, um capacete de samurai, rostos de cachorro, raposa e gato, uma tulipa, um coração, um chapéu de papel, um veleiro, um camundongo, uma cigarra, um cisne, um pinguim, um abre-fecha, uma estrela de oito pontas, um balão, uma borboleta, um sapo saltador, o tsuru e o pássaro que bate asas. Você pode reproduzir cada um, diminuir a velocidade, avançar etapa por etapa com as setas ou executá-lo ao contrário até que a folha volte a ficar plana.

A cena começa com uma ficha que se dobra sozinha até formar o sapo saltador em cerca de cinco segundos, e o sapo pula. Em seguida, uma galeria dos vinte modelos prontos se abre acima da barra de etapas. Cada cartão é desenhado a partir do próprio modelo dobrado, com seu nível e seu número de movimentos, e uma etiqueta laranja marca uma boa opção para experimentar em seguida.

Ao redor da mesa há mais quatro coisas para observar. O painel de padrões de vincos mostra o modelo pronto desdobrado, com cada vale e montanha em cores. O laboratório do limite de dobras pergunta quantas vezes o papel pode ser dobrado ao meio e acompanha a pilha até ela ultrapassar a Lua. A vista espacial abre com um puxão um painel solar dobrado no padrão Miura. E você pode trazer à cena o tsuru recordista, com 81,94 m de uma ponta de asa à outra, ou mil pequenos tsurus pendurados em fios.

Como ler os sinais da cena

Os diagramas de origami dos livros usam um pequeno conjunto de sinais, e a cena usa os mesmos.

• Dobra vale: uma linha azul tracejada. O papel de um lado da linha sobe e passa por cima em sua direção, de modo que o vinco afunda como o fundo de um vale.
• Dobra montanha: uma linha vermelha de traços e pontos. O papel se afasta de você, para trás, e o vinco se eleva como uma crista.
• Seta: mostra qual parte se move e onde ela chega.
• Vincar e abrir: o papel dobra e volta imediatamente, deixando uma linha para usar depois.
• Virar: o modelo inteiro vira como uma panqueca.
• Dobra invertida: uma aba que já está dobrada ao meio é empurrada para dentro de si mesma (dobra invertida interna) ou envolvida pelo lado de fora (dobra invertida externa).

Ative Mãos e aparecem duas mãos de manequim: uma segura a borda que está se movendo, a outra mantém o restante do papel pressionado e plano. O indicador no canto conta as peças de papel, os vincos, quantas camadas há na parte mais espessa da pilha e verifica duas leis das dobras planas em cada vértice interno da folha. Mais detalhes sobre elas aparecem abaixo.

Acima da barra de etapas ficam três botões. Modelos abre a galeria. Dobrar à mão permite que você mesmo arraste o papel por cada movimento. Desdobrar e conferir abre o modelo pronto até ficar plano, com seus vincos desenhados, e permite testar as duas leis das dobras planas em qualquer ponto que você tocar. Cada um é explicado abaixo.

Vale e montanha são o mesmo vinco visto de lados opostos. Faça uma dobra vale, vire o papel e o vinco agora é uma montanha. Por isso todo padrão de vincos indica qual lado fica para cima; nesta página é sempre a frente, o lado colorido do papel.

Vinte modelos em três níveis

Os modelos são agrupados pelo cuidado que exigem, não pela quantidade de etapas que têm.

Fácil (★). O copo leva seis movimentos e segura água por algum tempo. O capacete de samurai (kabuto) é dobrado no Japão para o Dia das Crianças; feito com uma folha de jornal, cabe na cabeça de uma criança. Os rostos de cachorro, raposa e gato começam pelo mesmo triângulo e diferem apenas no destino dos cantos: para baixo, ao lado do rosto, para orelhas caídas; de volta para cima, além do topo, para orelhas pontudas. A tulipa cruza dois cantos sobre o topo para fazer as pétalas. O coração consiste em duas viradas e algumas bordas levadas ao meio. O chapéu de papel é o de jornal, cuja aba trava os cantos. O veleiro faz duas velas a partir das duas camadas de um triângulo.

Médio (★★). A cigarra (semi) dobra primeiro as asas e depois a cabeça listrada. O cisne usa dobras da pipa duas vezes antes de o pescoço virar para fora. O pinguim começa com o lado branco para cima para que suas asas fiquem escuras. O abre-fecha dobra os cantos até o centro duas vezes. A estrela de oito pontas faz o mesmo e depois vira as pontas de volta para fora. O camundongo usa uma dobra invertida interna para levantar a cauda.

Difícil (★★★). O balão, a borboleta e o sapo saltador começam todos pela base balão, um fechamento de seis vincos que se encontram no centro. O tsuru e o pássaro que bate asas compartilham a base do pássaro, que exige uma base quadrada e duas dobras pétala.

A maioria é tradicional: dobrada por gerações, sem um autor conhecido. Quatro deles, o veleiro, o pinguim, o camundongo e a estrela de oito pontas, são sequências simples escritas para esta exposição e estão identificadas assim na coleção. Nenhum modelo criado por um artista de origami identificado pelo nome é usado aqui.

Os movimentos que formam cada modelo

Vinte modelos parecem vinte coisas diferentes para aprender, mas eles são construídos a partir de um pequeno conjunto de movimentos.

Uma dobra vale ou montanha gira algumas camadas em torno de uma linha reta em 180 graus. Quais camadas se movem é algo determinado pelo próprio papel. A dobra começa pelas camadas que você levanta, e tudo que está ligado a elas daquele lado da linha vai junto. Se essas camadas estiverem ligadas ao outro lado em qualquer lugar que não seja ao longo da linha de dobra, a dobra rasgaria o papel. O programa por trás desta página recusa uma dobra assim, da mesma maneira que o papel.

Vincar e abrir deixa uma linha para depois. Muitos dos modelos mais difíceis começam com alguns desses movimentos, porque um movimento posterior precisa que o papel saiba onde dobrar.

Virar não dobra coisa alguma. Esse movimento está ali porque a próxima dobra fica mais fácil de enxergar a partir do outro lado.

Uma dobra invertida funciona numa aba que já está dobrada ao meio. Imagine o pescoço do cisne: duas camadas unidas ao longo de uma borda fechada, a espinha. Para fazer o pescoço subir, você abre um pouco as duas camadas e empurra a ponta, virando-a do avesso ao redor da espinha, de modo que agora aponte para cima entre elas (invertida interna) ou as envolva por fora (invertida externa). As duas camadas dobram ao longo da mesma linha ao mesmo tempo, em sentidos opostos.

Fechar uma base dobra vários vincos em conjunto. A base balão tem seis vincos que se encontram no centro do quadrado: as duas diagonais e uma linha atravessando o meio. Empurre o centro e a folha inteira se fecha num triângulo em um só movimento. Na cena, esse fechamento é calculado exatamente: por simetria, um vinco permanece num plano vertical, e os ângulos entre vincos vizinhos determinam para onde todos os outros apontam à medida que o papel se fecha.

A dobra pétala e a dobra achatada do tsuru também são movimentos desse tipo: vários vincos se movem ao mesmo tempo e nenhuma linha sozinha serve de dobradiça para todo o papel. O tsuru desta página usa os mesmos movimentos da exposição do tsuru, que os resolve como pequenos mecanismos articulados.

Bases com que muitos modelos começam

Quem dobra papel percebeu há muito tempo que muitos modelos compartilham suas primeiras etapas. Esses estágios compartilhados são chamados de bases.

• Base da pipa: duas bordas dobradas até uma diagonal. O cisne e o camundongo começam aqui.
• Base balão: um triângulo com duas abas de cada lado, obtido pelo fechamento de seis vincos. O balão, a borboleta e o sapo saltador começam aqui.
• Base quadrada (também chamada base preliminar): um pequeno quadrado com quatro abas, obtido pelo fechamento das diagonais e das duas linhas do meio.
• Base do pássaro: uma base quadrada com duas dobras pétala, um losango comprido com quatro pontas. O tsuru e o pássaro que bate asas começam aqui.

As bases são uma boa maneira de enxergar como funciona a criação de origami. A base do pássaro tem quatro pontas compridas vindas de quatro cantos; o tsuru usa duas para pescoço e cauda e duas para as asas. O pássaro que bate asas usa as mesmas quatro pontas, mas não estreita pescoço e cauda, e por isso suas asas ainda conseguem se mover.

Por que o papel da cena nunca se estica

O papel quase não se estica. Se uma simulação permitir que ele se estique, o resultado pode parecer correto e ainda assim ser impossível de dobrar.

O programa desta página trata a folha como um conjunto de peças planas. Antes de cada dobra, toda peça atravessada pela linha da dobra é dividida ao longo dessa linha, de modo que cada peça só gira como uma placa rígida. Uma peça nunca muda de forma nem de tamanho, portanto a área da folha continua sendo exatamente a área do quadrado. O indicador mostra isso como "área do papel preservada 100 %". Cada dobra é uma reflexão de algumas peças através da linha de dobra, e as peças mantêm suas próprias bordas unidas às das vizinhas. Uma verificação executada em todos os modelos testa se, em cada estado da dobradura, as bordas compartilhadas entre peças vizinhas ainda coincidem. Elas coincidem, com precisão de um milionésimo do tamanho da folha.

Uma folha real tem espessura, e os vincos reais são arredondados. A cena separa as camadas empilhadas por um pequeno intervalo, cerca de 0,24 mm num quadrado de 15 cm, e une peças vizinhas em alturas diferentes com tiras finas para que nenhuma abertura apareça. O controle Espessura desenhada do papel torna esse intervalo mais fino ou mais grosso, de papel de seda a cartão.

Camadas: qual aba fica por cima

Quando uma dobra põe papel sobre papel, a ordem das camadas importa. Dobre uma aba para a frente e ela fica sobre tudo que cobre; dobre-a para trás e ela fica por baixo. Uma dobra invertida desliza a ponta entre as duas metades da aba.

A cena mantém um número de camada para cada peça. Após cada movimento, os números são organizados novamente, para que duas peças mantenham sua ordem apenas onde de fato se sobrepõem; em outros lugares, têm liberdade para ocupar a mesma altura. Isso mantém a pilha tão fina quanto a dobradura permite.

Há duas maneiras de as camadas ficarem numa ordem impossível, e as verificações procuram ambas em cada estado plano de todos os modelos.

• Uma borda de dobra é onde o papel volta sobre si mesmo. Se outra camada estiver entre os dois lados dessa dobra e cruzar a linha da dobra, o papel teria que atravessá-la.
• Se duas dobras estiverem na mesma linha e abrirem para o mesmo lado, os intervalos de suas camadas precisam estar contidos um no outro ou separados. Se se intercalarem, as duas dobras se atravessariam.

Para todos os vinte modelos, cada estado plano passa nas duas verificações. As verificações também analisam amostras de cada movimento em vários instantes e procuram qualquer peça atravessando outra. Dois tipos de movimento são mostrados de maneira mais simples que no papel; veja "Como os modelos desta página funcionam" abaixo.

O teorema de Maekawa

Abra qualquer modelo de origami plano e observe um ponto no interior da folha onde os vincos se encontram. Conte as montanhas e os vales. A diferença é sempre dois.

Por quê? Dobre o papel até ficar plano e recorte um círculo minúsculo ao redor desse ponto. A borda desse círculo agora é um zigue-zague plano, como um leque dobrado visto de cima. Ao percorrê-la, cada vale faz a borda voltar num sentido e cada montanha a faz voltar no outro. A borda forma uma volta completa, e a soma das viradas precisa corresponder a isso. Fazendo as contas, você obtém M − V = 2 ou M − V = −2, dependendo do lado de onde olha. O levantamento de Thomas Hull apresenta essa demonstração, que atribui a Siwanowicz, junto com a história do teorema.

Uma consequência é que todo ponto interno de uma dobra plana tem um número par de vincos: M + V = (M − V) + 2V, e M − V é igual a ±2.

Ative Maekawa e Kawasaki por vértice. Cada ponto interno do padrão de vincos no painel recebe um ponto, verde se passa no teste e vermelho se falha, e dois números: montanhas e vales. Nos vinte modelos, todos os pontos passam. A base do pássaro do tsuru tem um ponto com 4 montanhas e 2 vales, e pontos onde um vinco reto de 2 montanhas simplesmente passa.

O teorema de Kawasaki

Maekawa conta vincos; Kawasaki mede os ângulos entre eles. Ao redor de um ponto onde vincos se encontram, numere os ângulos entre vincos vizinhos como 1, 2, 3 e assim por diante. O ponto só pode dobrar até ficar plano se os ângulos de número ímpar somarem 180 graus, e os de número par também.

Novamente há uma razão curta. Dobrar ao longo de um vinco reflete o papel de um lado para o outro. Dê uma volta ao redor do ponto, cruzando cada vinco: cada cruzamento é uma reflexão, e após a volta inteira você precisa estar onde começou. Duas reflexões seguidas produzem uma rotação com o dobro do ângulo entre as linhas, portanto a volta inteira é uma rotação com o dobro da soma alternada dos ângulos. Para terminar onde começou, essa soma deve ser zero: a1 − a2 + a3 − a4 e assim por diante é igual a 0. Como todos os ângulos somam 360 graus, isso equivale a cada conjunto de ângulos alternados somar 180.

O teorema de Kawasaki é uma resposta completa para um ponto isolado: se a soma alternada é zero, existe alguma maneira de dobrar esse ponto até ficar plano. O curso 6.849 do MIT, Geometric Folding Algorithms, aborda os dois teoremas em sua terceira aula, e seus slides posteriores observam que Maekawa e Kawasaki os descobriram no início dos anos 1980.

Os testes no laboratório abaixo dos controles perguntam sobre ambos, e cada questão pode ser respondida apenas a partir de seu enunciado. Maekawa dá o número de vincos num ponto e diz qual tipo é maioria; como os dois tipos diferem em 2, a maioria tem (n + 2) / 2 vincos. Kawasaki lista os quatro ângulos em ordem, lidos no sentido horário a partir do vinco que aponta para cima, com um deles substituído por uma interrogação, e desenha o ponto ao lado da questão. O ângulo ausente é 180 graus menos o ângulo oposto a ele.

Quando as regras locais não bastam

Maekawa e Kawasaki tratam de um ponto de cada vez. Um padrão de vincos pode passar nos dois testes em cada ponto e ainda assim não dobrar até ficar plano, porque as camadas de um ponto podem bloquear as de outro.

Em 1996, Marshall Bern e Barry Hayes demonstraram que decidir se um padrão de vincos dobra até ficar plano é, em geral, NP-difícil, e que até encontrar uma ordem válida das camadas, dados quais vincos são montanhas e quais são vales, é NP-difícil. Na prática, ninguém conhece um método rápido que funcione para todos os padrões grandes, e provavelmente não existe nenhum.

A cena não precisa resolver esse problema, porque nunca parte apenas de um padrão de vincos. Ela dobra etapa por etapa, como uma pessoa, e cada etapa decide onde suas camadas ficam. As verificações então confirmam que o resultado obedece às leis locais e às regras das camadas.

Escolher um modelo e o próximo

A galeria mostra os vinte modelos prontos de uma vez. As imagens não são fotografias: cada uma é desenhada a partir do mesmo modelo dobrado que a cena usa, com cada peça de papel onde o último movimento a deixou e sombreada conforme o lado voltado para você. Os botões no topo filtram por nível, e cada cartão informa o número de movimentos desta página.

A etiqueta laranja Experimente depois segue uma regra simples. Até você terminar dois modelos fáceis, ela indica um fácil; depois, um médio até você ter dois desses; depois, um difícil. Dentro de um nível, escolhe o modelo com menos movimentos que você ainda não dobrou. Só contam os modelos que você mesmo dobra: o sapo do início e as demonstrações do guia se dobram sozinhos e não entram na coleção. Depois que você termina um modelo, uma nota curta dá o nome da próxima sugestão.

Os movimentos dão uma orientação aproximada da dificuldade, não a história toda. O veleiro leva cinco movimentos e o chapéu de papel sete, mas a última etapa do chapéu, travar a aba, exige mais cuidado que qualquer coisa no veleiro. Os níveis são definidos pelo cuidado com os movimentos, e por isso a estrela de 15 movimentos é média e o sapo de 10 é difícil.

Dobrar com a própria mão

Ative Dobrar à mão e a câmera para de girar: arrastar sobre a cena agora move o papel. Arraste ao longo da seta laranja do movimento atual e a aba acompanha seu ponteiro. Solte depois da metade e a dobra fica; solte antes e ela retorna à posição inicial. Arraste no outro sentido e o movimento anterior se abre de novo. Uma nota curta conta os movimentos que você dobrou à mão.

A direção de arrasto é calculada a partir do próprio movimento: a seta vai do centro das peças que se movem ao centro de onde chegam, e a cena a projeta na tela de qualquer posição em que a câmera esteja. Uma virada ou uma rotação do papel não tem seta, por isso nesses casos você arrasta para o lado.

Dobrar um modelo inteiro assim é um dos desafios. É uma boa maneira de perceber o que o botão de reprodução esconde: a distância percorrida por uma aba numa dobra invertida e quantas camadas se movem juntas num fechamento de base.

Abrir um modelo e conferir um vértice

Desdobrar e conferir executa o modelo ao contrário até a folha plana e desenha seu padrão final de vincos no próprio papel: vales como traços azuis, montanhas como traços e pontos vermelhos, e um ponto verde em cada local interno da folha onde quatro ou mais vincos se encontram. Toque num ponto e um cartão se abre para ele. Ele conta montanhas e vales e mostra que diferem em 2. Desenha o vértice com todos os ângulos escritos, lê os ângulos no sentido horário a partir do vinco que aponta para cima e soma um sim, outro não: ambas as somas são 180 graus. As setas do cartão percorrem os pontos, e os que você conferiu ficam roxos.

O capacete de samurai é uma boa primeira folha para abrir. Seu centro tem seis vincos: vistos de cima, 2 montanhas e 4 vales (da frente colorida, são 4 e 2). Os ângulos são 90, 45, 45, 90, 45 e 45 graus: 90 + 45 + 45 = 180 e 45 + 90 + 45 = 180. Seus outros dois pontos também têm seis vincos, com ângulos de cerca de 26, 64 e 90 graus. Conferir três pontos diferentes num modelo é um desafio.

Alguns modelos começam com o lado branco para cima, entre eles o capacete. O padrão de vincos é desenhado como visto de cima, por isso nesses modelos o que a frente do papel chama de montanha aparece como vale; uma nota diz isso quando você os abre. É a regra anterior: uma montanha vista do outro lado é um vale.

O tsuru tem sua própria exposição, que o dobra movimento por movimento e lê seu padrão de vincos linha por linha: Como dobrar um tsuru de papel e ler seu padrão de vincos. Aqui o tsuru é um entre vinte, e seu padrão é um bom teste para Reconheça o padrão: o copo e o rosto de cachorro não se parecem em nada depois de dobrados, mas ambos os padrões são algumas linhas atravessando um quadrado.

Quantas vezes é possível dobrar papel ao meio?

Existe uma velha afirmação de que não se pode dobrar papel ao meio mais de sete ou oito vezes. Não é verdade, mas está perto do limite de uma folha comum em mãos comuns, porque cada dobra duplica a espessura e reduz o tamanho à metade.

Comece com papel de cópia de 0,1 mm de espessura. Dobre uma vez: 2 camadas, 0,2 mm. Dobre 7 vezes: 128 camadas, 12,8 mm, uma pilha espessa para seu tamanho se você começou com uma folha A4. Nesse ponto, o papel é espesso demais para seu comprimento conseguir contornar a dobra.

Em 27 de janeiro de 2002, Britney Gallivan, estudante do ensino médio em Pomona, Califórnia, dobrou uma única folha de papel ao meio 12 vezes. O Guinness World Records registra isso como o recorde de maior número de dobras de uma folha de papel. Ela usou uma tira muito comprida, dobrando sempre no mesmo sentido, e descobriu por que o comprimento era o limite: a cada dobra, as camadas externas precisam contornar as internas, consumindo papel. Sua fórmula para o comprimento da tira necessária para n dobras de um papel de espessura t é

L = (π t / 6) (2^n + 4) (2^n − 1).

Para papel de cópia, 12 dobras exigem uma tira de cerca de 879 m de comprimento. O laboratório mostra esse número para qualquer papel e número de dobras que você escolher.

Escolha Papel para o teste e Vezes dobrado ao meio nos controles, ou use os botões de menos e mais na vista do laboratório. A pilha cresce ao lado da pessoa junto à mesa: 12 dobras de papel de cópia são 4096 camadas e cerca de 41 cm de espessura. A base da pilha é desenhada com pelo menos 4 cm de largura para você enxergá-la; uma folha real de 30 cm dobrada 12 vezes teria apenas alguns milímetros de largura.

Dobrar até a Lua

Continue duplicando e os números disparam.

Com 14 dobras, a pilha tem aproximadamente a altura de uma pessoa; com 27, supera o monte Everest; com 42, ultrapassaria a Lua, que está em média a 384.400 km de distância (NASA). Ninguém consegue fazer isso. Para dobrar qualquer coisa 42 vezes, seria necessária uma folha maior que qualquer uma que se possa fabricar, e a tira da fórmula de Gallivan seria absurdamente comprida. A tabela trata de duplicação, não de papel.

O laboratório dá nome à coisa mais alta que a pilha ultrapassou: uma pessoa, uma casa de três andares, Lotte World Tower, monte Everest, a estação espacial, a Lua e, por fim, o Sol. Descubra o número de dobras que faz o papel de cópia ultrapassar a Lua para ganhar a estrela "Até a Lua".

A dobra Miura: um mapa que abre com um puxão

Em 1985, Koryo Miura, do Instituto de Ciência Espacial e Astronáutica do Japão, publicou uma maneira de guardar grandes folhas finas para o espaço. A folha é dividida em fileiras de paralelogramos, levemente inclinados, para que os vincos de um sentido sejam retos e os do outro façam um zigue-zague. O Centro de Educação Espacial da JAXA descreve o resultado de maneira simples: a folha dobra num pacote compacto, e puxar uma extremidade a abre suavemente.

O que a torna especial é ter apenas um grau de liberdade. Numa folha de 64 células, existe um número que determina a forma do conjunto inteiro; mude-o e todas as células se movem juntas. A folha Miura da cena é calculada assim. Cada canto da grade é posicionado a partir de três comprimentos: quanto o zigue-zague sobe, o espaçamento num sentido e o deslocamento no outro. Escolha a elevação e os outros dois decorrem dos comprimentos dos lados dos paralelogramos, de modo que cada célula permanece plana e cada vinco conserva seu comprimento em todas as etapas.

Experimente Ângulo das células Miura. A 80 graus, as células são paralelogramos inclinados e a folha dobra nos dois sentidos ao mesmo tempo. Mude para 90 graus e as células viram retângulos. Agora a folha só pode dobrar num sentido de cada vez: o material da JAXA destaca que uma versão retangular não se abrirá suavemente. A inclinação é o que liga os dois sentidos.

Mark Schenk e Simon Guest, em Cambridge, descreveram em detalhe a geometria das folhas com dobra Miura em 2013 e mostraram como a dobradura muda sua rigidez. Folhas dobradas assim também são estudadas como metamateriais mecânicos, materiais cujo comportamento é determinado pelas dobras, em vez daquilo de que são feitos.

Origami no espaço

A Space Flyer Unit foi lançada de Tanegashima em 18 de março de 1995 e trazida de volta à Terra pelo ônibus espacial na missão STS-72, em janeiro de 1996. Um de seus experimentos foi o painel solar bidimensional, um painel com dobra Miura que se abriu em órbita. A página da missão no ISAS da JAXA lista esse painel entre os experimentos que forneceram resultados.

Em 2014, o Laboratório de Propulsão a Jato da NASA e a Brigham Young University mostraram outro painel de origami, projetado com o artista de origami Robert Lang. Ele se fecha num pacote com cerca de 2,7 m de largura e se abre até 25 m; seu modelo de mesa abre até 1,25 m. O artigo do JPL faz a mesma observação da dobra Miura: com as dobras certas, um puxão num canto abre o conjunto inteiro.

O Telescópio Espacial James Webb também voou dobrado. Seu escudo solar, cinco camadas finas com aproximadamente o tamanho de uma quadra de tênis, foi dobrado e guardado para caber no foguete e aberto no espaço. Não é um padrão de vincos do tipo desta página, mas o problema é o mesmo: uma grande superfície fina precisa viajar ocupando pouco espaço.

Origami dentro do corpo

Dobrar também é útil no outro extremo da escala de tamanhos. Em 2006, Kaori Kuribayashi e colegas, da Universidade de Oxford e do Japão, descreveram uma endoprótese feita de uma lâmina fina de liga com memória de forma, dobrada num padrão de origami para que pudesse ser empurrada em formato compacto por um vaso sanguíneo e então se abrir à temperatura corporal. A lâmina foi gravada ao longo de suas linhas de dobra para que dobrasse ali e em nenhum outro lugar, a mesma ideia que a cena usa: painéis rígidos unidos por vincos.

Mil tsurus

Um senbazuru são mil tsurus enfiados em fios, oferecidos como desejo de recuperação ou paz. Muitas vezes são pendurados em 25 fios de 40, e é assim que a cena os organiza quando você ativa Mil tsurus. Num computador rápido, a cena desenha todos os 1000; num lento, desenha 300.

A história que a maioria conhece vem de Hiroshima. Sadako Sasaki tinha dois anos quando a bomba atômica caiu sobre a cidade em 6 de agosto de 1945. Aos doze, adoeceu de leucemia e, no hospital, dobrou tsurus de papel, mais de mil; quando morreu, havia 1300 tsurus em seu quarto. O Serviço Nacional de Parques dos Estados Unidos conta sua história e como seus colegas de classe arrecadaram dinheiro para o Monumento à Paz das Crianças, que está em Hiroshima desde 1958.

Quanto tempo você levaria para fazer mil? O Guinness World Records registra o tempo mais rápido para fazer 100 tsurus de origami como 40 minutos e 35 segundos, por Yoneyama Yuichi em Nagoya, em 2010, uma média de 24,35 segundos por tsuru. O tempo mais rápido para fazer 1000 é 9 horas, 31 minutos e 13 segundos, por Evelyne Chia em Colchester, em 2021. Insira o tempo que você mesmo leva para dobrar um tsuru no laboratório abaixo dos controles e ele calcula seu senbazuru: a três minutos por tsuru, são 50 horas de dobradura, ou 50 dias a uma hora por dia.

O maior tsuru

Ative Tsuru recordista em tamanho real. Atrás da sala aparece um tsuru com envergadura de 81,94 m, o maior tsuru de origami registrado pelo Guinness World Records. Foi dobrado por 800 pessoas do Peace Piece Project na Hiroshima Shudo University em 29 de agosto de 2009, a partir de uma folha de 100 m por 100 m feita de peças menores coladas com fita. A envergadura foi medida por um topógrafo usando triangulação.

A pessoa ao lado da mesa tem 1,7 m de altura. A folha do tsuru recordista tinha 100 m de lado, cerca de 670 vezes o quadrado de 15 cm na mesa e, portanto, cerca de 440.000 vezes sua área.

De onde vêm os modelos

A história do origami está cheia de suposições, por isso aqui aparece apenas o que as fontes sustentam.

O tsuru é antigo. David Lister, historiador do origami cujas notas são mantidas pela British Origami Society, escreveu que Satoshi Takagi rastreou imagens do tsuru até o início do século 17, quando já era um modelo estabelecido.

O livro mais antigo conhecido de origami recreativo no Japão, Hiden Senbazuru Orikata (o segredo de dobrar mil tsurus), mostra 48 modelos de tsurus dobrados de uma folha e ainda unidos entre si, com poemas cômicos. O guia da biblioteca da Universidade de Kyushu diz que os modelos foram criados por Gido, monge budista de Kuwana, e selecionados e nomeados pelo escritor Akisato Rito. O guia dá a data de 1789, enquanto o ano de 1797 também é amplamente citado. As fontes discordam, por isso a exposição apresenta os dois.

O pássaro que bate asas é um enigma. Parece parente próximo do tsuru, mas Lister observou que japoneses a quem o mostravam muitas vezes diziam nunca tê-lo visto. Gershon Legman escreveu que mágicos de palco japoneses o trouxeram ao Ocidente nos anos 1870 ou 1880; Lister rastreou essa afirmação até um artigo de jornal de 1936 e não se convenceu. Sua origem continua desconhecida.

O balão, o sapo saltador, o capacete de samurai e o chapéu de papel são todos tradicionais, dobrados em muitos países sem um autor conhecido. Sociedades de origami como a Nippon Origami Association, a OrigamiUSA e a British Origami Society mantêm diagramas e histórias de modelos como esses.

A mola do sapo saltador

O sapo saltador é dobrado de um cartão, aqui com as proporções de 3 por 5 de uma ficha. Sua frente é uma base balão com as pernas dianteiras dobradas para cima. Sua parte traseira é dobrada para cima e depois até a metade de volta para baixo, fazendo uma prega em Z. Pressione a borda traseira para baixo e solte, e a prega se abre como uma mola e lança o sapo para a frente.

Na cena, Fazer pular usa um modelo simples dessa mola: rigidez de cerca de 30 N/m, massa de cerca de 1 g e ângulo de saída de 40 graus, com a compressão dependendo da força com que você pressiona. Ele produz saltos de aproximadamente 5 a 30 cm, a faixa alcançada pelos sapos de papel, mas é uma estimativa, não uma medição; os sapos reais dependem do cartão, da nitidez dos vincos e da pressão. Consiga um salto de mais de 10 cm para ganhar a estrela "Salto do sapo".

Inflar o balão

O balão é dobrado até ficar plano e então inflado soprando num pequeno buraco embaixo. O papel se estufa até assumir a forma aproximada de um cubo. O papel real faz isso dobrando e amassando um pouco ao longo de novas linhas, algo que nenhum modelo de peças rígidas pode mostrar. Por isso, a última etapa da cena faz o papel dobrado desaparecer gradualmente e dar lugar a uma forma inflada desenhada, da mesma cor. A dobradura anterior é exata; a inflação é um desenho.

O balão real também encaixa duas pontas pequenas em bolsos antes de ser inflado, mantendo-o fechado. A cena para antes desses encaixes.

Você e o papel

Abra Eu no canto da cena. Digite sua altura e a pessoa ao lado da mesa muda para seu tamanho. A nota então calcula quantas vezes o papel escolhido no laboratório de limite de dobras precisaria ser dobrado ao meio para formar uma pilha da sua altura: papel de cópia com 0,1 mm de espessura exige 15 dobras para uma pessoa de 1,7 m, porque 14 dobras dão só 1,6 m. A nota também dá o tempo dos seus mil tsurus na velocidade que você informou no laboratório.

Tamanho e tipo de papel

Dois controles mudam a folha. Tamanho da folha ajusta o quadrado de 7,5 cm a 35 cm, incluindo 21 cm, o maior quadrado que você pode recortar de uma folha A4 (210 por 297 mm). O papel na mesa cresce ou diminui junto, e o indicador informa o tamanho da folha e do modelo pronto em centímetros. O sapo é dobrado de um cartão, portanto sua folha tem três quintos de largura em relação ao comprimento.

Tipo de papel muda a aparência da folha e a espessura com que é desenhada. Papel de origami é colorido de um lado e branco do outro, por isso muitos modelos mostram ambos: o pinguim começa com o lado branco para cima para deixar as asas escuras. Papel de duas cores tem uma cor em cada lado. Washi é claro e fibroso de ponta a ponta, e desenhado um pouco mais grosso. Papel metalizado brilha e mantém um vinco firme; é desenhado mais fino. Papel de cópia é branco dos dois lados. O tipo não muda a sequência de dobras nem o tamanho final, apenas a aparência e a espessura desenhada das camadas.

Seu papel: qual será o tamanho do modelo?

Abaixo dos controles, Seu papel pede o lado de um quadrado que você tem e lista o tamanho final dos vinte modelos feitos com ele. São valores do modelo: o tamanho do modelo da cena dobrado até ficar plano, ajustado à escala da sua folha. O papel real perde um pouco em cada dobra, por isso um modelo real fica ligeiramente menor, e ainda mais após muitas camadas.

De um quadrado de 15 cm, a cena dá estes tamanhos finais: o copo cerca de 8,8 por 6,2 cm, o capacete de samurai 10,6 por 5,5 cm, o tsuru 14,2 cm ao longo do lado maior, o sapo saltador 7,5 por 4,5 cm a partir de seu cartão de 9 por 15 cm, e o veleiro 21,2 cm na diagonal. A maioria dos modelos mede de 50 a 75 por cento do lado da folha. O abre-fecha, o balão antes de ser inflado, a borboleta e o sapo medem cerca de metade.

A segunda linha faz o caminho inverso: escolha um modelo e o comprimento desejado, e ela informa o quadrado inicial. Um tsuru de 10 cm de comprimento precisa de um quadrado com cerca de 10,6 cm de lado.

Um atlas do origami

Abaixo dos desafios, o Atlas do origami reúne 26 verbetes sobre história, pessoas, matemática e engenharia das dobras, cada um com sua fonte. Filtre por tipo ou faça uma busca, abra um verbete para lê-lo, e alguns verbetes movem a cena: o teorema de Maekawa abre o capacete até ficar plano, a dobra Miura leva à vista espacial, o maior tsuru traz o recordista. Alguns dos verbetes:

• Friedrich Froebel abriu o primeiro jardim de infância na Alemanha em 1840 e tornou a dobradura, Das Falten, uma de suas atividades. O guia da biblioteca da Universidade de Kyushu observa que seu veleiro é o mesmo modelo dobrado no Japão e que esses modelos chegaram ao Japão no fim dos anos 1800. O veleiro desta cena é esse modelo.
• Akira Yoshizawa nasceu em 14 de março de 1911 em Kaminokawa, Tochigi, e morreu em seu aniversário de 94 anos, em 2005. Fundou o International Origami Centre em 1954, ano de seu primeiro livro, e sua primeira exposição no exterior foi no Stedelijk Museum Amsterdam em 1955. O guia da Universidade de Kyushu lhe atribui os sinais de diagramas para dobras montanha e vale, as linhas tracejadas e de traços e pontos desta mesa, e diz que ele criou dezenas de milhares de modelos.
• Robert J. Lang escreveu TreeMaker no início dos anos 1990. Você desenha um esquema de traços das abas desejadas e ele calcula um padrão de vincos para uma base cuja sombra corresponde ao esquema. A versão 4 (1998) resolveu bases que não podiam ser construídas à mão, e a versão 5 (2005) também atribui a cada vinco o tipo montanha ou vale. Lang descreveu o método como algoritmo no ACM Symposium on Computational Geometry de 1996.
• Origami de DNA. Em 2006, Paul Rothemund dobrou uma longa fita de DNA, com cerca de 7000 bases, usando mais de 200 fitas curtas de grampeamento, para formar figuras de cerca de 100 nm de largura, entre elas rostos sorridentes (Nature).
• Um robô que se dobra sozinho. Em 2014, uma equipe de Harvard e MIT (Felton e outros, Science) fez uma folha plana que se dobrou sozinha num robô rastejante em cerca de quatro minutos e saiu andando.
• Starshade. Um ocultador estelar voaria à frente de um telescópio espacial e bloquearia a luz de uma estrela para mostrar seus planetas. Suas pétalas se enrolam ao redor de um núcleo para o lançamento e se abrem no espaço. O projeto de tecnologia de ocultadores estelares da NASA, S5, relatou ter alcançado o nível de prontidão tecnológica 5 em seu encerramento em abril de 2025.

Como os modelos desta página funcionam

Cada modelo é uma lista de movimentos escrita nas coordenadas do papel deitado na mesa. Para cada movimento, o programa divide as peças atravessadas pela linha de dobra, encontra as camadas que se movem expandindo a seleção a partir das que você levanta, reflete-as através da linha e reorganiza os números das camadas. O mesmo código roda no navegador e num programa de verificação que executa todos os modelos antes de a página ser publicada.

O programa de verificação testa, nos vinte modelos:

• se a área do papel permanece igual e nenhuma borda muda de comprimento em nenhum instante de nenhum movimento;
• se as bordas compartilhadas entre peças vizinhas ainda coincidem em todos os estados planos;
• se cada ponto interno do padrão de vincos do estado plano final atende aos teoremas de Maekawa e Kawasaki;
• se nenhum estado plano põe uma camada através de uma dobra e nenhuma dupla de dobras na mesma linha se cruza;
• se nenhuma peça atravessa outra nos instantes amostrados de cada movimento;
• se cada tarefa pode ser concluída e cada pergunta tem uma resposta;
• se toda fonte usada na cena está listada abaixo.

Alguns movimentos são mostrados de maneira mais simples que no papel.

• Dobras invertidas internas (cabeça do cisne, cabeça do pinguim, cauda do camundongo, pescoço, cauda e cabeça do pássaro que bate asas) terminam na posição dobrada exata, mas no caminho a ponta desliza ao redor no plano do papel enquanto as camadas acima dela se levantam ligeiramente. O papel real abre a aba e vira a ponta do avesso pelo espaço entre as camadas.
• O tsuru usa a sequência e o movimento de dobras da própria exposição do tsuru. As verificações acima são executadas nele até a base do pássaro; as dobras de estreitamento, o pescoço, a cauda e a cabeça são os movimentos daquela exposição.
• Inflar o balão é um desenho, como descrito acima, e o salto do sapo é uma estimativa do modelo.
• As asas e outras formas 3D giram cada camada em torno da linha de dobra em sua própria altura, para que as camadas empilhadas permaneçam encaixadas enquanto se dobram.

Uma caixa de papel (a tradicional masu) não está entre os vinte modelos. Suas paredes sobem com dobras nos cantos que se movem todas juntas, e a cena ainda não anima isso com fidelidade.

O que experimentar

• Escolha o copo, ative Mãos e avance pelas etapas com as setas. Depois ative Desdobrar ao contrário e observe-o abrir.
• Dobre qualquer modelo, aperte Desdobrar e conferir e toque em três pontos.
• Dobre o rosto de cachorro e o de raposa um depois do outro. Eles compartilham os dois primeiros movimentos.
• No laboratório do limite de dobras, descubra quantas dobras de papel de seda, papel de cópia e cartão fazem uma pilha mais alta que você.
• Na vista espacial, puxe o painel para abri-lo a 80 graus, depois ajuste o ângulo das células para 90 e tente de novo.
• Ative o tsuru recordista e gire a câmera ao redor dele. Depois volte à mesa.
• Encontre todas as dezesseis coisas escondidas ao redor da mesa. Uma fica embaixo dela e duas estão penduradas na parede.
• Abra Modelos, filtre por Difícil e dobre aquele com a etiqueta laranja.
• Ative Dobrar à mão e arraste o rosto de raposa pelos sete movimentos.
• Desdobre o capacete de samurai e some os ângulos de seu centro.
• Ajuste Tamanho da folha para o quadrado A4, depois insira o lado de uma folha que você tem em Seu papel.