Origami: dobla y despliega 20 modelos paso a paso

Un cuadrado que se convierte en pájaro

El origami paso a paso transforma una hoja en una figura mediante pliegues, sin cortar ni pegar. Estos veinte modelos van del vaso a la grulla y permiten ver cada movimiento hacia delante y hacia atrás. Sus patrones desplegados muestran dónde se encuentran los pliegues monte y valle.

Toma un cuadrado de papel de 15 cm de lado. Tras unos treinta pliegues se convierte en una grulla que se sostiene sobre la mesa. No has cortado, pegado ni añadido nada. El cuello, la cabeza, las dos alas y la cola ya estaban en algún lugar de ese cuadrado; los pliegues solo los han cambiado de sitio.

Esta exposición dobla veinte modelos ante ti, un movimiento cada vez: vaso, casco samurái, caras de perro, zorro y gato, tulipán, corazón, sombrero de papel, velero, ratón, cigarra, cisne, pingüino, comecocos, estrella de ocho puntas, bomba de agua, mariposa, rana saltarina, grulla y pájaro aleteador. Puedes reproducirlos, reducir la velocidad, avanzar con las flechas o retroceder hasta recuperar la hoja plana.

La escena empieza con una ficha que se pliega como rana saltarina en unos cinco segundos y después salta. Luego se abre una galería de los veinte modelos terminados sobre la barra de pasos. Cada tarjeta está dibujada a partir del propio modelo plegado e indica su nivel y sus movimientos. Una etiqueta naranja recomienda qué probar después.

Alrededor de la mesa hay otras cuatro cosas que observar. El panel del patrón muestra el modelo terminado y abierto, con sus montes y valles coloreados. El laboratorio pregunta cuántas veces puede doblarse el papel por la mitad y sigue la pila hasta superar la Luna. La vista espacial abre de un tirón un panel solar plegado Miura. También puedes mostrar la grulla récord, de 81,94 m entre las puntas de las alas, o mil grullas pequeñas ensartadas.

Cómo leer los pliegues de la escena

Los diagramas de los libros de origami usan unos pocos signos. La escena utiliza los mismos.

• Pliegue valle: línea azul discontinua. El papel de un lado sube y se acerca a ti, de modo que la marca se hunde como el fondo de un valle.
• Pliegue monte: línea roja de puntos y rayas. El papel se aleja hacia atrás y la marca sobresale como una cresta.
• Flecha: indica qué parte se mueve y dónde acaba.
• Marcar y desplegar: el papel se dobla y vuelve enseguida, dejando una línea para después.
• Dar la vuelta: gira el modelo entero como una tortita.
• Pliegue inverso: una solapa ya doblada por la mitad se empuja entre sus capas, en el inverso interior, o se envuelve alrededor de ellas, en el exterior.

Activa Manos y aparecerán dos manos de maniquí: una sujeta el borde que se mueve y la otra mantiene plano el resto. La lectura de la esquina cuenta las piezas de papel, los pliegues y las capas de la zona más gruesa, y comprueba dos leyes del plegado plano en cada punto interior. Se explican más abajo.

Sobre la barra de pasos hay tres botones. Modelos abre la galería. Doblar a mano permite arrastrar el papel en cada movimiento. Desplegar y comprobar abre el modelo terminado con sus marcas dibujadas y permite verificar las dos leyes en el punto que toques. Las tres funciones se explican después.

Valle y monte son el mismo pliegue visto desde lados opuestos. Haz un valle, da la vuelta al papel y tendrás un monte. Por eso cada patrón indica qué cara queda arriba; aquí la referencia es siempre el anverso, la cara coloreada.

Veinte modelos en tres niveles

Los modelos se agrupan por el cuidado que requieren, no por el número de pasos.

Fácil (★). El vaso necesita seis movimientos y contiene agua durante un rato. El casco samurái, kabuto, se pliega en Japón para el Día del Niño; con una hoja de periódico cabe en la cabeza de un niño. Las caras de perro, zorro y gato empiezan con el mismo triángulo y solo cambian el destino de las esquinas: hacia abajo junto a la cara forman orejas caídas; de nuevo hacia arriba, sobre el borde, orejas puntiagudas. El tulipán cruza dos esquinas arriba para formar pétalos. El corazón requiere dos vueltas y algunos bordes hacia el centro. El sombrero es el de periódico, cuya ala sujeta las esquinas. El velero saca dos velas de las dos capas de un triángulo.

Medio (★★). La cigarra, semi en japonés, dobla primero las alas y después la cabeza rayada. El cisne usa dos series de pliegues de cometa antes de sacar el cuello. El pingüino empieza con el lado blanco arriba para que sus alas queden oscuras. El comecocos lleva las esquinas al centro dos veces. La estrella de ocho puntas hace lo mismo y después vuelve a sacar las puntas. El ratón usa un pliegue inverso interior para levantar la cola.

Difícil (★★★). La bomba de agua, la mariposa y la rana saltarina empiezan con la base de la bomba de agua, un colapso de seis pliegues que se encuentran en el centro. La grulla y el pájaro aleteador comparten la base del pájaro, obtenida de una base preliminar y dos pliegues pétalo.

La mayoría son tradicionales: se han doblado durante generaciones y no se conoce a su autor. Cuatro, el velero, el pingüino, el ratón y la estrella de ocho puntas, son secuencias sencillas escritas para esta exposición y así se indican en la colección. No se usa ningún modelo diseñado por un artista de origami identificado.

Los movimientos que forman cada modelo

Veinte modelos parecen veinte cosas distintas que aprender, pero se construyen con unos pocos movimientos.

Un pliegue valle o monte gira algunas capas 180 grados alrededor de una recta. El propio papel decide cuáles se mueven. La operación empieza por las capas que levantas y arrastra todo lo unido a ellas en ese lado de la línea. Si esas capas estuvieran unidas al otro lado por algún lugar distinto de la línea de pliegue, el papel se rasgaría. El programa de esta página rechaza ese movimiento, igual que el papel.

Marcar y desplegar deja una línea para después. Muchos modelos difíciles empiezan con varias marcas porque un movimiento posterior necesita saber por dónde doblar.

Dar la vuelta no dobla nada. Sirve para ver mejor el siguiente pliegue desde el otro lado.

Un pliegue inverso actúa sobre una solapa ya doblada por la mitad. Imagina el cuello del cisne: dos capas unidas por un borde cerrado, el lomo. Para levantarlo, separas un poco las capas y vuelves la punta del revés alrededor del lomo. Así apunta arriba entre ellas, en el inverso interior, o las envuelve, en el exterior. Ambas capas se doblan a la vez por la misma línea en sentidos opuestos.

Un colapso dobla varias marcas a la vez. La base de la bomba de agua tiene seis pliegues en el centro: las dos diagonales y una línea media transversal. Empujas el centro y la hoja se recoge en un triángulo con un movimiento. La escena calcula ese colapso de forma exacta: por simetría, una marca permanece en un plano vertical y los ángulos entre las vecinas fijan la dirección de todas mientras se cierra el papel.

El pliegue pétalo y el pliegue aplastado de la grulla son movimientos de este tipo: se mueven varias líneas a la vez y ninguna sirve por sí sola de bisagra para toda la hoja. La grulla usa los mismos movimientos que su exposición propia, que los resuelve como pequeños mecanismos articulados.

Bases con las que empiezan muchos modelos

Hace mucho que los plegadores observaron que numerosos modelos comparten sus primeros pasos. Esas etapas comunes se llaman bases.

• Base cometa: dos bordes doblados hacia una diagonal. El cisne y el ratón empiezan aquí.
• Base de la bomba de agua: un triángulo con dos solapas a cada lado, obtenido del colapso de seis marcas. La usan la bomba de agua, la mariposa y la rana saltarina.
• Base cuadrada, también llamada base preliminar: un cuadrado pequeño con cuatro solapas, obtenido al recoger las diagonales y las dos líneas medias.
• Base del pájaro: una base preliminar con dos pliegues pétalo, un rombo largo con cuatro puntas. La grulla y el pájaro aleteador empiezan aquí.

Las bases ayudan a entender el diseño. La del pájaro tiene cuatro puntas largas de las cuatro esquinas; la grulla usa dos para cuello y cola y otras dos para alas. El pájaro aleteador usa las mismas cuatro, pero no estrecha cuello y cola, y por eso sus alas aún pueden moverse.

Por qué el papel de la escena nunca se estira

El papel apenas se estira. Si una simulación permite estirarlo, el resultado puede parecer correcto y ser imposible de doblar.

El programa trata la hoja como un conjunto de piezas planas. Antes de cada pliegue, divide por la línea cada pieza que esta cruza; así las piezas solo giran como placas rígidas. Ninguna cambia de forma o tamaño y la superficie sigue siendo exactamente la del cuadrado. La lectura lo muestra como «superficie conservada 100 %». Cada pliegue refleja algunas piezas al otro lado de la línea y mantiene sus bordes unidos a los vecinos. Una comprobación de todos los modelos verifica que los bordes compartidos siguen coincidiendo en cada estado. Lo hacen con un error menor que una millonésima del tamaño de la hoja.

El papel real tiene grosor y sus dobleces son redondeados. La escena separa las capas por un hueco pequeño, unos 0,24 mm para un cuadrado de 15 cm, y une con tiras finas las piezas vecinas a distintas alturas para que no se vean grietas. Grosor dibujado del papel reduce o amplía ese hueco, desde papel de seda hasta cartulina.

Capas: qué solapa queda encima

Cuando el papel se coloca sobre papel, importa el orden. Si doblas una solapa hacia delante queda sobre todo lo que cubre; hacia atrás queda debajo. Un pliegue inverso desliza la punta entre las dos mitades de la solapa.

La escena guarda un número de capa para cada pieza. Después de cada movimiento compacta la numeración: dos piezas conservan su orden solo donde se superponen; fuera de ahí pueden compartir altura. Así la pila queda tan fina como permite el plegado.

Hay dos órdenes de capas imposibles y se buscan ambos en cada estado plano de todos los modelos.

• En el borde de un pliegue el papel vuelve sobre sí mismo. Si otra capa se sitúa entre sus dos caras y cruza la línea, el papel tendría que atravesarla.
• Si dos pliegues están en la misma línea y se abren al mismo lado, sus intervalos de capas deben estar anidados o separados. Si se intercalan, ambos se cortarían.

Todos los estados planos de los veinte modelos superan las dos pruebas. También se toman muestras de cada movimiento en varios instantes para buscar piezas que atraviesen otras. Dos tipos de movimiento se representan de forma más sencilla que en el papel; se explican en «Cómo funcionan los modelos de esta página».

El teorema de Maekawa

Abre cualquier modelo plano y observa un punto interior donde se unen las marcas. Cuenta los montes y los valles. La diferencia siempre es dos.

¿Por qué? Dobla el papel en plano y recorta un círculo pequeño alrededor de ese punto. Su borde es ahora un zigzag plano, como un abanico plegado visto desde arriba. Al recorrerlo, cada valle vuelve el borde en un sentido y cada monte en el contrario. El borde forma un circuito cerrado, así que sus giros deben sumar lo necesario para cerrarlo. Al calcularlo resulta M − V = 2 o M − V = −2, según la cara observada. El estudio de Thomas Hull da esta prueba, atribuida a Siwanowicz, y explica la historia del teorema.

Por tanto, cada punto interior de un plegado plano tiene un número par de pliegues: M + V = (M − V) + 2V, y M − V es más o menos 2.

Activa Maekawa y Kawasaki por vértice. Cada punto interior del patrón recibe un punto verde si cumple o rojo si falla, y dos números: montes y valles. En los veinte modelos todos cumplen. La base del pájaro de la grulla tiene un punto de 4 montes y 2 valles y otros donde simplemente pasa una recta formada por 2 montes.

El teorema de Kawasaki

Maekawa cuenta pliegues; Kawasaki mide sus ángulos. Numera 1, 2, 3 y así sucesivamente los ángulos entre marcas vecinas alrededor de un punto. Solo puede plegarse en plano si los impares suman 180 grados y los pares también.

La razón también es breve. Doblar por una marca refleja el papel de un lado al otro. Recorre una vuelta alrededor del punto cruzando cada marca: cada cruce es una reflexión y al terminar debes volver al comienzo. Dos reflexiones seguidas equivalen a girar el doble del ángulo entre las líneas. La vuelta completa gira, por tanto, el doble de la suma alternada de ángulos. Para acabar donde empezaste, esa suma debe ser cero: a1 − a2 + a3 − a4 y así sucesivamente da 0. Como todos los ángulos suman 360 grados, equivale a que cada grupo alterno sume 180.

Para un punto aislado, Kawasaki da una respuesta completa: si la suma alternada es cero, existe alguna manera de plegarlo en plano. El curso 6.849 del MIT, Geometric Folding Algorithms, cubre ambos teoremas en su tercera clase; sus diapositivas posteriores sitúan los hallazgos de Maekawa y Kawasaki a principios de la década de 1980.

Los cuestionarios del laboratorio tratan ambos teoremas y se responden solo con el enunciado. Maekawa da el número de marcas y dice qué tipo es mayoritario; como difieren en 2, el mayoritario tiene (n + 2) / 2 pliegues. Kawasaki enumera los cuatro ángulos en sentido horario desde la marca que apunta arriba, sustituye uno por una interrogación y dibuja el punto al lado. El ángulo desconocido es 180 grados menos el opuesto.

Cuando las reglas locales no bastan

Maekawa y Kawasaki se refieren a un punto cada vez. Un patrón puede cumplir ambos en todos los vértices y no plegarse en plano porque las capas de un punto bloquean las de otro.

En 1996, Marshall Bern y Barry Hayes demostraron que decidir si un patrón se pliega en plano es, en general, NP-difícil. Incluso hallar un orden válido de capas con montes y valles ya asignados es NP-difícil. En la práctica no se conoce un método rápido que funcione para todo patrón grande, y probablemente no exista.

La escena no necesita resolver ese problema porque nunca empieza solo con un patrón. Dobla paso a paso, como una persona, y cada paso decide dónde quedan las capas. Después las pruebas confirman las leyes locales y las reglas de capas.

Elegir un modelo y qué doblar después

La galería muestra los veinte modelos terminados a la vez. No son fotografías: cada imagen procede del mismo modelo de la escena, con cada pieza donde la dejó el último movimiento y sombreada según la cara visible. Los filtros superiores separan los niveles y cada tarjeta da los movimientos de esta página.

La etiqueta naranja Prueba después sigue una regla sencilla. Hasta completar dos fáciles señala uno fácil; después uno medio hasta completar dos medios, y luego uno difícil. Dentro de cada nivel elige el no plegado con menos movimientos. Solo cuentan los que doblas tú: la rana inicial y las demostraciones de la guía se doblan solas y no se coleccionan. Tras terminar uno aparece una breve recomendación del siguiente.

Los movimientos orientan sobre la dificultad, pero no lo explican todo. El velero requiere cinco y el sombrero siete, pero trabar el ala del sombrero en su último paso exige más cuidado que cualquier paso del barco. Los niveles dependen de lo delicados que sean los movimientos: por eso la estrella de 15 pasos es media y la rana de 10 es difícil.

Doblar con tu propia mano

Activa Doblar a mano y la cámara deja de girar: arrastrar mueve ahora el papel. Sigue la flecha naranja del paso actual y la solapa seguirá el puntero. Si sueltas pasada la mitad se mantiene; antes, vuelve atrás. Arrastra en sentido contrario para abrir el movimiento anterior. Un aviso cuenta los pasos doblados a mano.

La dirección se calcula a partir del propio movimiento: la flecha va del centro de las piezas móviles al centro de su destino y se proyecta en la pantalla desde la cámara actual. Dar la vuelta o girar la hoja no tiene flecha; en esos casos arrastra de lado.

Completar así un modelo entero es uno de los retos. Ayuda a notar lo que oculta la reproducción: cuánto recorre una punta en un pliegue inverso y cuántas capas se mueven juntas en un colapso.

Desplegar un modelo y comprobar un punto

Desplegar y comprobar retrocede hasta la hoja plana y dibuja el patrón final sobre el propio papel: valles como rayas azules, montes como puntos y rayas rojos y un punto verde en cada vértice interior de cuatro o más marcas. Toca uno para abrir su tarjeta. Cuenta montes y valles, cuya diferencia es 2, y dibuja todos los ángulos. Los lee en sentido horario desde la marca hacia arriba y suma los alternos: ambas sumas son 180 grados. Las flechas recorren los vértices y los comprobados pasan a morado.

El casco samurái es un buen comienzo. Su centro tiene seis marcas: desde arriba, 2 montes y 4 valles; desde el anverso coloreado, 4 y 2. Los ángulos son 90, 45, 45, 90, 45 y 45 grados: 90 + 45 + 45 = 180 y 45 + 90 + 45 = 180. Sus otros dos vértices también tienen seis marcas, con ángulos de unos 26, 64 y 90 grados. Comprobar tres puntos distintos de un modelo es un reto.

Algunos modelos, incluido el casco, empiezan con el lado blanco arriba. El patrón se dibuja visto desde arriba; por eso un monte del anverso aparece como valle. Un aviso lo indica al abrirlos. Es la regla anterior: un monte visto desde el otro lado es un valle.

La grulla tiene su propia exposición, donde se dobla movimiento a movimiento y se lee su patrón línea a línea: Grulla de papel: pliegue a pliegue, modelo interactivo. Aquí es una de veinte y su patrón sirve para Reconoce el patrón: el vaso y el perro no se parecen plegados, aunque sus patrones son unas pocas líneas sobre un cuadrado.

¿Cuántas veces puede doblarse el papel por la mitad?

Se dice que no puede doblarse más de siete u ocho veces. No es cierto, pero se acerca al límite de una hoja corriente en unas manos corrientes: cada pliegue duplica el grosor y reduce el tamaño a la mitad.

Empieza con papel de copia de 0,1 mm. Un pliegue produce 2 capas, 0,2 mm. Con 7 hay 128 capas y 12,8 mm, una pila gruesa para su tamaño si partiste de A4. El papel resulta demasiado grueso para su longitud como para curvarse alrededor.

El 27 de enero de 2002, Britney Gallivan, estudiante de secundaria en Pomona, California, dobló una hoja por la mitad 12 veces. Guinness World Records lo registra como el mayor número de dobleces de una hoja. Lo hizo con una tira muy larga, siempre en la misma dirección, y explicó el límite de longitud: las capas exteriores rodean las interiores en cada pliegue y consumen papel. Su fórmula para la longitud necesaria para n pliegues y grosor t es

L = (π t / 6) (2^n + 4) (2^n − 1).

Para papel de copia, 12 pliegues necesitan unos 879 m de tira. El laboratorio muestra el valor para el papel y el número de pliegues elegidos.

Usa Papel para la prueba y Veces doblado por la mitad, o los botones de menos y más en la vista del laboratorio. La pila crece junto a la persona: 12 pliegues de papel de copia son 4096 capas y unos 41 cm. Su base se dibuja con al menos 4 cm de ancho para que se vea; una hoja real de 30 cm doblada 12 veces mediría solo unos milímetros de ancho.

Doblar hasta la Luna

Si sigues duplicando, los números crecen deprisa.

Con 14 pliegues la pila es tan alta como una persona; con 27 supera el Everest; con 42 rebasaría la Luna, a 384 400 km de media (NASA). Nadie puede hacerlo. Haría falta una hoja mayor que cualquiera que pueda fabricarse y una longitud absurda según la fórmula de Gallivan. La tabla explica la duplicación, no el papel real.

El laboratorio nombra el objeto más alto ya superado: persona, casa de tres plantas, Lotte World Tower, Everest, estación espacial, Luna y finalmente Sol. Encuentra los pliegues de papel de copia que rebasan la Luna para ganar la estrella «Hasta la Luna».

El plegado Miura: un mapa que se abre de un tirón

En 1985, Koryo Miura, del Institute of Space and Astronautical Science de Japón, publicó una forma de guardar grandes hojas finas para el espacio. Las divide en filas de paralelogramos algo inclinados: las marcas de una dirección son rectas y las de la otra, zigzags. JAXA Space Education Center lo resume así: la hoja se guarda compacta y se abre suavemente tirando de un extremo.

La clave es que solo tiene un grado de libertad. En una hoja de 64 celdas, un número determina la forma entera; al cambiarlo se mueven todas juntas. La escena lo calcula así. Cada esquina se sitúa a partir de tres longitudes: altura del zigzag, separación en una dirección y desplazamiento en la otra. Elegida la altura, las otras dos salen de los lados de los paralelogramos, y cada celda permanece plana y cada marca conserva su longitud en todo momento.

Prueba Ángulo de la celda Miura. A 80 grados son paralelogramos inclinados y la hoja se dobla en ambas direcciones a la vez. A 90 grados son rectángulos y solo puede doblarse en una dirección cada vez. El material de JAXA subraya que la versión rectangular no se abre suavemente. La inclinación acopla las dos direcciones.

Mark Schenk y Simon Guest, de Cambridge, describieron su geometría en detalle en 2013 y mostraron cómo el plegado cambia la rigidez. También se estudian como metamateriales mecánicos, cuyo comportamiento depende de los pliegues más que de la sustancia que los forma.

Origami en el espacio

Space Flyer Unit salió de Tanegashima el 18 de marzo de 1995 y volvió a la Tierra en el transbordador, misión STS-72, en enero de 1996. Uno de sus experimentos fue el panel solar bidimensional plegado Miura que se abrió en órbita. JAXA ISAS lo incluye entre los experimentos que dieron resultados.

En 2014, el Jet Propulsion Laboratory de NASA y Brigham Young University presentaron otro panel, diseñado con Robert Lang. Se recoge en un paquete de unos 2,7 m y se abre hasta 25 m; su modelo de mesa alcanza 1,25 m. El artículo de JPL insiste en la misma idea: con los pliegues correctos, tirar de una esquina abre todo el conjunto.

James Webb Space Telescope también voló plegado. Su parasol de cinco capas finas, del tamaño de una pista de tenis, se guardó para caber en el cohete y se abrió en el espacio. No es un patrón como los de esta página, pero el problema es el mismo: transportar pequeña una superficie grande y fina.

Origami dentro del cuerpo

Plegar también sirve en el extremo pequeño de la escala. En 2006, Kaori Kuribayashi y sus colegas de Oxford y Japón describieron una endoprótesis de lámina fina de aleación con memoria de forma. Un patrón de origami permite introducirla pequeña por un vaso sanguíneo y abrirla a temperatura corporal. La lámina se grabó por las líneas para doblarse solo allí: la misma idea de paneles rígidos unidos por pliegues que usa la escena.

Mil grullas

Un senbazuru son mil grullas ensartadas, regaladas para desear recuperación o paz. A menudo se cuelgan en 25 hilos de 40, como hace la escena al activar Mil grullas. En un ordenador rápido se dibujan las 1000; en uno lento, 300.

La historia más conocida es la de Hiroshima. Sadako Sasaki tenía dos años cuando cayó la bomba atómica el 6 de agosto de 1945. A los doce enfermó de leucemia y plegó más de mil grullas en el hospital; al morir había 1300 en su habitación. US National Park Service cuenta su historia y cómo sus compañeros recaudaron fondos para el Monumento a la Paz de los Niños, en Hiroshima desde 1958.

¿Cuánto tardarías? Guinness World Records da para 100 grullas 40 minutos y 35 segundos, de Yoneyama Yuichi en Nagoya en 2010: 24,35 segundos por grulla de media. Para 1000, el récord es 9 horas, 31 minutos y 13 segundos, Evelyne Chia, Colchester, 2021. Introduce tu tiempo por grulla debajo de los controles para calcularlo. A tres minutos por pieza son 50 horas de plegado, o 50 días a una hora diaria.

La mayor grulla

Activa Grulla récord a tamaño real. Detrás de la sala aparece una grulla de 81,94 m de envergadura, la mayor registrada por Guinness World Records. La plegaron 800 personas del Peace Piece Project en Hiroshima Shudo University el 29 de agosto de 2009, con una hoja de 100 m × 100 m hecha de piezas unidas con cinta. Un topógrafo midió la envergadura por triangulación.

La persona junto a la mesa mide 1,7 m. La hoja récord tenía 100 m de lado, unas 670 veces el cuadrado de 15 cm de la mesa y unas 440 000 veces su superficie.

De dónde proceden los modelos

La historia del origami está llena de suposiciones. Aquí solo se incluye lo respaldado por fuentes.

La grulla es antigua. David Lister, cuyas notas conserva British Origami Society, escribió que Satoshi Takagi rastreó imágenes hasta principios del siglo XVII, cuando ya era un modelo establecido.

El libro japonés más antiguo conocido de origami recreativo, Hiden Senbazuru Orikata, el secreto de plegar mil grullas, muestra 48 modelos de una hoja que siguen unidos, acompañados de poemas cómicos. La guía de Kyushu University atribuye los diseños a Gido, monje budista de Kuwana, y la selección y los nombres al escritor Akisato Rito. La guía da 1789, mientras que también se cita mucho 1797. Como las fuentes discrepan, se indican ambos años.

El pájaro aleteador es un enigma. Parece pariente de la grulla, pero Lister observó que los plegadores japoneses que lo veían a menudo decían no conocerlo. Gershon Legman escribió que lo llevaron a Occidente ilusionistas japoneses en las décadas de 1870 o 1880. Lister rastreó esa afirmación hasta un artículo de 1936 y no quedó convencido. Su origen sigue sin conocerse.

La bomba de agua, la rana saltarina, el casco samurái y el sombrero son tradicionales, plegados en muchos países sin autor conocido. Nippon Origami Association, OrigamiUSA y British Origami Society conservan diagramas e historias de modelos como estos.

El resorte de la rana saltarina

La rana se dobla de una tarjeta, aquí con las proporciones 3 por 5 de una ficha. Delante tiene una base de la bomba de agua con las patas levantadas. Detrás se dobla arriba y después la mitad abajo, formando una Z. Presiona el borde posterior y suelta: el pliegue se abre como un resorte y lanza la rana hacia delante.

Hacer saltar usa un modelo sencillo de ese resorte: rigidez de unos 30 N/m, masa de unos 1 g y ángulo de salida de 40 grados; la compresión depende de la fuerza al presionar. Produce unos 5 a 30 cm, dentro del alcance habitual de las ranas de papel, pero es una estimación, no una medición. La tarjeta, las marcas y la presión cambian el salto real. Supera 10 cm para ganar «Salto de rana».

Inflar la bomba de agua

Se dobla plana y luego se sopla por un agujero inferior. El papel se hincha formando casi un cubo. En la realidad se curva y arruga un poco por líneas nuevas, algo que un modelo de piezas rígidas no puede mostrar. El último paso cambia gradualmente a una figura inflada dibujada del mismo color. El plegado anterior es exacto; el inflado es un dibujo.

La bomba real también mete dos puntas en bolsillos antes de inflarse para mantenerse cerrada. La escena se detiene antes de introducirlas.

Tú y el papel

Abre Yo en la esquina. Introduce tu estatura y la figura se ajustará a ella. El aviso calcula cuántas veces habría que doblar por la mitad el papel elegido para alcanzar tu altura. El papel de copia de 0,1 mm necesita 15 pliegues para una persona de 1,7 m, porque 14 solo dan 1,6 m. También indica tu tiempo para mil grullas al ritmo introducido.

Tamaño y tipo de papel

Dos controles cambian la hoja. Tamaño del papel ajusta el cuadrado de 7,5 cm a 35 cm, incluidos los 21 cm del mayor cuadrado recortable de A4, de 210 × 297 mm. El papel de la mesa cambia de tamaño y la lectura muestra hoja y resultado en centímetros. La rana usa una tarjeta de anchura igual a tres quintos de su longitud.

Tipo de papel cambia el aspecto y el grosor dibujado. El de origami es de color por un lado y blanco por el otro, por eso muchos modelos muestran ambos: el pingüino empieza blanco arriba para tener alas oscuras. El bicolor tiene color en ambas caras. El washi es pálido y fibroso por dentro y se dibuja más grueso. El metalizado brilla y mantiene bien las marcas; se dibuja más fino. El de copia es blanco en ambas caras. El tipo no cambia la secuencia ni el tamaño final, solo el aspecto y el grosor representado.

Tu papel: ¿qué tamaño tendrá el modelo?

Tu papel, bajo los controles, pide el lado de tu cuadrado y enumera los tamaños finales de los veinte modelos. Son valores del modelo plano de la escena escalados a tu hoja. El papel real pierde algo en cada pliegue; sale un poco más pequeño, sobre todo con muchas capas.

Con un cuadrado de 15 cm, el vaso mide unos 8,8 × 6,2 cm; el casco, 10,6 × 5,5 cm; la grulla, 14,2 cm de lado más largo; la rana, 7,5 × 4,5 cm desde su tarjeta de 9 × 15 cm; y el velero, 21,2 cm de diagonal. La mayoría mide entre el 50 y el 75 por ciento del lado de la hoja. Comecocos, bomba sin inflar, mariposa y rana, alrededor de la mitad.

La segunda línea hace el cálculo inverso: eliges modelo y longitud y te da el cuadrado inicial. Una grulla de 10 cm necesita unos 10,6 cm de lado.

Un atlas de origami

Debajo de los retos, el Atlas de origami reúne 26 entradas de historia, personas, matemáticas e ingeniería, con sus fuentes. Filtra o busca y abre una entrada. Algunas cambian la escena: Maekawa abre el casco, Miura pasa a la vista espacial y la mayor grulla muestra el récord. Algunas entradas:

• Friedrich Froebel abrió el primer jardín de infancia en Alemania en 1840 e incluyó Das Falten. La guía de Kyushu University dice que su velero es el mismo que se pliega en Japón y que esos modelos llegaron allí a finales del siglo XIX. El de esta escena es ese modelo.
• Akira Yoshizawa nació el 14 de marzo de 1911 en Kaminokawa, Tochigi, y murió al cumplir 94 años en 2005. Fundó el International Origami Centre en 1954, año de su primer libro, y su primera exposición extranjera fue en el Stedelijk Museum Amsterdam en 1955. La guía de Kyushu le atribuye los signos de monte y valle, las rayas y los puntos y rayas de esta mesa, y decenas de miles de modelos.
• Robert J. Lang escribió TreeMaker a principios de la década de 1990. Dibujas las solapas como palitos y calcula el patrón de una base cuya silueta coincide. La versión 4 (1998) resolvió bases no construibles a mano y la 5 (2005) asigna además monte o valle a cada marca. Lang presentó el método como algoritmo en el ACM Symposium on Computational Geometry de 1996.
• Origami de ADN. En 2006, Paul Rothemund dobló una cadena de unas 7000 bases con más de 200 cadenas cortas como grapas para crear figuras de unos 100 nm, incluidas caras sonrientes (Nature).
• Un robot que se pliega solo. En 2014, un equipo de Harvard y MIT (Felton y otros, Science) creó una hoja plana que en unos cuatro minutos se plegaba como robot y se alejaba caminando.
• Starshade. Volaría delante de un telescopio espacial para tapar la luz de una estrella y mostrar sus planetas. Sus pétalos rodean un eje al despegar y se abren en el espacio. El proyecto S5 de NASA informó de un nivel de madurez tecnológica 5 al cerrar en abril de 2025.

Cómo funcionan los modelos de esta página

Cada modelo es una lista de movimientos en las coordenadas del papel sobre la mesa. En cada uno, el programa divide las piezas cruzadas por la línea, encuentra las capas móviles siguiendo las uniones desde las que levantas, las refleja y reorganiza sus números de capa. El mismo código funciona en el navegador y en un programa que comprueba todos los modelos antes de publicar.

Para los veinte modelos se verifica que:

• La superficie no cambia ni ninguna arista cambia de longitud en ningún instante.
• Los bordes compartidos por piezas vecinas coinciden en todo estado plano.
• Todos los puntos interiores del patrón final plano cumplen Maekawa y Kawasaki.
• Ningún estado plano introduce una capa a través de un pliegue ni cruza dos pliegues en una línea.
• En los instantes muestreados ninguna pieza atraviesa otra.
• Todos los retos pueden completarse y todas las preguntas tienen respuesta.
• Toda fuente usada en la escena figura abajo.

Algunos movimientos se representan más sencillos que en el papel real.

• Pliegues inversos interiores de las cabezas de cisne y pingüino, la cola del ratón y el cuello, cola y cabeza del pájaro aleteador terminan en la posición exacta. Durante el movimiento, la punta gira en el plano y las capas superiores se levantan ligeramente. El papel real abre la solapa y vuelve la punta del revés por el espacio entre capas.
• La grulla usa la secuencia y el movimiento de su exposición propia. Las pruebas anteriores llegan a la base del pájaro; los estrechamientos, cuello, cola y cabeza son movimientos de esa exposición.
• El inflado de la bomba de agua es dibujado, como se explicó, y el salto de la rana es una estimación.
• Las alas y otras formas 3D giran cada capa por la línea a su propia altura para conservar el anidamiento al doblarse.

La caja tradicional masu no está entre los veinte. Sus paredes suben con pliegues de esquina que se mueven juntos y la escena aún no los anima con fidelidad.

Qué probar

• Elige el vaso, activa Manos y avanza con las flechas. Activa después Desplegar hacia atrás para verlo abrirse.
• Dobla cualquier modelo, pulsa Desplegar y comprobar y toca tres puntos.
• Dobla seguidas las caras de perro y zorro. Comparten sus dos primeros movimientos.
• Averigua cuántos pliegues de papel de seda, copia y cartulina superan tu estatura.
• En la vista espacial abre el panel a 80 grados; cambia a 90 y repite.
• Activa la grulla récord, gira la cámara alrededor y vuelve a la mesa.
• Encuentra los dieciséis objetos ocultos. Uno está bajo la mesa y dos cuelgan de la pared.
• Abre Modelos, filtra por Difícil y dobla el marcado en naranja.
• Activa Doblar a mano y arrastra los siete movimientos del zorro.
• Abre el casco samurái y suma los ángulos centrales.
• Pon Tamaño del papel en el cuadrado de A4 e introduce en Tu papel el lado de una hoja tuya.