Regla de cálculo: aprende a usarla con el modelo

Qué muestra el modelo

Usar una regla de cálculo consiste en mover la reglilla y el cursor para leer un resultado: para 3,14 × 2,72 se obtiene aproximadamente 8,54. Antes de las calculadoras de bolsillo, un ingeniero no necesitaba escribir una multiplicación larga. Sacaba una regla del bolsillo de la camisa, movía su tira central unos centímetros, deslizaba una pequeña ventana y leía la respuesta. Todo llevaba unos segundos y no necesitaba pilas. Esta exposición es una versión funcional de ese instrumento y explica por qué deslizar dos tiras de madera una junto a otra multiplica números.

El modelo es una regla de tipo Mannheim de 25 cm, como las vendidas por millones en el siglo XX. Tiene tres piezas que se mueven entre sí. El cuerpo fijo consta de dos mitades unidas por abrazaderas en los extremos. La reglilla corre por la ranura central. El cursor es una ventana transparente con una línea roja que recorre el conjunto. Hay nueve escalas: K y A en la mitad superior del cuerpo, D, S, T y L en la inferior, y B, CI y C en la reglilla.

Puedes arrastrar la reglilla o el cursor directamente con el ratón o un dedo, o moverlos con los deslizadores de «Controles». El recuadro de la esquina muestra el valor de cada escala bajo la línea. Debajo aparece la multiplicación preparada: el número de D bajo el índice de C por el número de C bajo la línea, con sus logaritmos, el producto exacto y la lectura de la regla.

Sobre la mesa hay otros tres instrumentos con la misma idea. «Instrumento» permite elegir una regla de bolsillo amarilla de aluminio de 15 cm, como las de las tripulaciones Apollo, una circular con esfera de 10 cm y una computadora de vuelo E6B que los pilotos todavía aprenden a usar. Bajo los controles hay seis tareas, una calculadora que prepara cualquier operación, 33 problemas con cronómetro, una tabla de errores de lectura y una lista de 39 reglas históricas con las personas que las usaron.

Por qué multiplicar se convierte en sumar

Dos reglas ordinarias juntas forman una máquina de sumar. Pon el 0 de la superior sobre el 3 de la inferior y mira bajo el 4 de la superior: abajo aparece 7. Las longitudes se suman.

Una regla de cálculo hace lo mismo con otra clase de graduación. En una escala logarítmica, la distancia desde el 1 de la izquierda hasta un número v no es proporcional a v, sino a su logaritmo:

x(v) = 250 mm × log v

Así, el 2 está en 250 × 0,30103 = 75,3 mm, el 3 en 250 × 0,47712 = 119,3 mm y el 6 en 250 × 0,77815 = 194,5 mm. Suma las primeras dos longitudes: 75,3 + 119,3 = 194,5 mm, justo la posición del 6. Es log a + log b = log (a × b) representado en madera y celuloide. Colocar el extremo izquierdo de C sobre el 2 de D y leer bajo el 3 de C suma esas longitudes; D convierte la longitud total de nuevo en un número.

Dividir es el mismo movimiento al revés, porque log a − log b = log (a ÷ b). Restar una longitud de otra es tan sencillo como sumarlas.

La escala L, en la parte inferior del cuerpo, hace visible la idea. Es una escala uniforme de 0 a 1 situada junto a D. Con la línea sobre el 2 de D, L indica 0,301, el logaritmo de 2. Antes de estas reglas, se buscaban logaritmos en tablas impresas, se sumaban a mano y se volvía a buscar la suma. L es una versión pequeña de esa tabla.

Leer las escalas

Los números de C y D van de 1 en el índice izquierdo a 10 en el derecho, cada vez más juntos. Entre 1 y 2 hay 75,3 mm; entre 9 y 10, solo 250 × log (10/9) = 11,4 mm. Los fabricantes cambian por eso el número de divisiones a lo largo de la escala. En este modelo, C y D tienen divisiones de 0,01 entre 1 y 2, de 0,02 entre 2 y 4 y de 0,05 entre 4 y 10.

La anchura física del intervalo más pequeño indica cuánto puede leerse en cada zona:

• entre 1,00 y 1,01: 250 × log 1,01 = 1,08 mm
• entre 2,00 y 2,02: también 1,08 mm, porque 2,02/2 = 1,01
• entre 4,00 y 4,05: 250 × log 1,0125 = 1,35 mm
• entre 8,50 y 8,55: 250 × log (8,55/8,5) = 0,64 mm
• entre 9,95 y 10: 0,54 mm

La regla nunca indica la posición de la coma decimal. D dice 6 y tú decides con una estimación si el resultado es 0,6, 6 o 6000. Los ingenieros seguían las potencias de diez en papel, a menudo con notación científica.

Multiplicar y dividir en el modelo

Prueba 2 × 3. Mueve la reglilla hasta situar el índice izquierdo de C, el 1 marcado con una cuña roja, sobre el 2 de D. Lleva la línea al 3 de C. Debajo, D muestra 6. El recuadro indica log 0,301 + 0,477 = 0,778, y 10^0,778 es 6.

A veces la respuesta sale del extremo. Para 7 × 4, el índice izquierdo sobre D7 situaría C4 a 211,3 + 150,5 = 361,8 mm del inicio de D, fuera de sus 250 mm. Usa el índice derecho, el 10 al final de C. Colocar C10 sobre D7 desplaza la reglilla 38,7 mm a la izquierda, pues 250 × (log 7 − 1) = −38,7 mm. La línea sobre C4 encuentra 2,8 en D. Has calculado 7 × 4 ÷ 10 y debes colocar la coma: 28.

Para 8,4 ÷ 2,1, pon la línea en 8,4 de D, lleva 2,1 de C debajo y lee D bajo el índice de C. Aparece 4. Has restado log 2,1 de log 8,4, y 0,924 − 0,322 = 0,602, que es log 4.

Las operaciones encadenadas ahorran más tiempo. Para 8,4 ÷ 2,1 × 1,5, deja la reglilla como está tras dividir y mueve la línea a 1,5 de C. D muestra 6. Una estimación rápida, 8 ÷ 2 × 1,5 cerca de 6, confirma la coma. No necesitas leer ni anotar el 4 intermedio.

Cuadrados, raíces cuadradas y recíprocos

A y B colocan dos copias de 1 a 10 en los mismos 250 mm, de modo que v queda en 125 × log v. Un punto de D en 250 × log u coincide con el valor v de A donde 125 × log v = 250 × log u. Así, v = u². Pon la línea en 3 de D y A muestra 9. Leer hacia arriba eleva al cuadrado; hacia abajo extrae la raíz: 50 en A está en 125 × log 50 = 212,4 mm, y D indica 7,07, la raíz de 50. Importa la mitad de A elegida: 5 en la izquierda da 2,24; 50 en la derecha, 7,07.

CI es C impresa al revés, normalmente en rojo. Un valor v queda en 250 × (1 − log v) = 250 × log (10/v), donde está 10/v en C. Bajo la línea, CI muestra el recíproco de C con la coma desplazada un lugar. Sobre C4, CI da 2,5, que se lee como 1/4 = 0,25. Multiplicar por CI equivale a dividir por el valor de C bajo la misma línea: puedes convertir divisiones encadenadas en multiplicaciones sin mover repetidamente la reglilla.

Cubos en K, ángulos en S y T

K, en el borde del cuerpo, va un paso más allá de A. Coloca tres copias de 1 a 10 en 250 mm, por lo que v queda en 83,3 × log v. Un valor u de D coincide con u³ en K. Con la línea en 2 de D, K da 8; sobre 2,5 da 15,6, cerca del valor exacto 15,625. Leer de K hacia abajo extrae raíces cúbicas y, como en A, la sección inicial determina la respuesta. El 2 del primer tercio da 1,26; el 20 del central, 2,71; el 200 del último, 5,85.

S y T, bajo D, llevan ángulos. S sitúa θ donde D muestra 10 × sin θ, en 250 mm × log (10 sin θ). La línea en 30 de S encuentra 5 en D, que se lee como sin 30° = 0,5. La escala no baja de 5,74°, porque sin 5,74° = 0,1 y cualquier valor menor saldría por la izquierda. Para ángulos pequeños se usaba sin θ cercano a θ en radianes, aproximadamente θ ÷ 57,3. T, roja en este modelo, hace lo mismo para tangentes de 5,71° a 45°: sobre 20 muestra 3,64 en D, así que tan 20° = 0,364. Por encima de 45° se usa tan θ = 1 / tan (90° − θ) y el recíproco de CI.

Como S y T están en el mismo cuerpo que D, un valor trigonométrico puede entrar directamente en una multiplicación. Para hallar la altura de una escalera de 12 m inclinada a 70°, pon la línea en 70 de S, lleva el índice derecho de C debajo y mueve la línea a 1,2 de C. D muestra 1,13, por lo que la escalera llega a 11,3 m de altura.

Cómo se construye una escala logarítmica

«Construir la escala» muestra el origen de las marcas de D. Una cinta de papel empieza como una regla ordinaria de 1 a 10 con intervalos iguales de 27,8 mm. Al mover el control, cada marca pasa a 250 mm × log v. El 2 va de 27,8 mm a 75,3 mm; el 5, de 111,1 mm a 174,7 mm; el 10 permanece en 250 mm. Las líneas naranjas terminan en los mismos números de D: la escala logarítmica es una escala ordinaria cuyas marcas se han desplazado.

Los fabricantes lo hacían con una máquina de dividir que desplaza una herramienta de corte por distancias fijadas y graba una línea en cada parada. Las posiciones procedían de tablas de logaritmos. Una graduación más fina necesita más líneas: este modelo dibuja 321 marcas en cada una de C y D, 321 en las dos décadas de A y 226 en las tres de K.

Cuántas cifras ofrece una regla de cálculo

Prueba 3,14 × 2,72. Sitúa el índice izquierdo en 3,14 y la línea en 2,72. El producto exacto es 8,5408. El recuadro muestra 8,54, una diferencia de −0,0094 %. Cerca de 8,5, D tiene divisiones de 0,05 separadas por 0,64 mm: la línea queda a unas cuatro quintas partes entre 8,50 y 8,55, y escribes 8,54. Una cuarta cifra exigiría dividir ese intervalo de 0,64 mm en cincuenta partes. «Error de ajuste» muestra el efecto de un pequeño desliz: una línea azul indica dónde podría colocarla un ojo apresurado, y el recuadro muestra el error porcentual.

La magnitud del error se deduce de la fórmula. Desplazar la línea Δx cambia el valor en una fracción fija:

Δv / v ≈ ln 10 × Δx / 250 mm

Así, 1 mm de error equivale a 2,3026/250 = 0,92 % en cualquier punto; un ajuste cuidadoso de 0,1 mm produce 0,092 %. Cerca del índice izquierdo eso es 0,0009, suficiente para estimar una cuarta cifra de 1,234. Cerca del derecho es 9 × 0,00092 = 0,008, así que 9,87 es aproximadamente el límite. La regla habitual es que las divisiones grabadas dan dos cifras y el usuario estima la tercera.

Como el error es una fracción fija de la longitud, una escala más larga se lee con más precisión. Una regla de 50 cm reduce la fracción a la mitad. Ganar una cifra completa exigiría diez veces la longitud, 2,5 m; por eso los instrumentos largos enrollaban la escala en espiral o alrededor de un cilindro.

Cuatro instrumentos sobre la mesa

La regla de 25 cm era la que poseían la mayoría de los estudiantes e ingenieros. La de bolsillo es el mismo instrumento más corto. El modelo amarillo de 15 cm lleva las mismas escalas a 0,6 de la longitud: las respuestas son iguales, pero la lectura es menos fina. Un desliz de 0,1 mm sobre 150 mm cambia el valor un 0,15 %, frente a 0,09 % sobre 250 mm. La regla de Apollo 13 del National Air and Space Museum, una Pickett N600-ES, mide 15,24 cm por 3,81 cm y es de aluminio y plástico. Su ficha indica que NASA la eligió porque era popular entre ingenieros y no requería adaptaciones para el espacio.

Una regla circular coloca D en un anillo fijo y C en un disco interior giratorio. Como el círculo no tiene extremos, nunca hay que cambiar de índice. Pon el 1 del disco sobre 7 y el brazo sobre 4: D muestra directamente 2,8. En la esfera de 10 cm, el límite entre anillo y disco está a 36 mm del centro, por lo que la escala mide 2π × 36 = 226 mm, cerca de una regla recta de 25 cm en un cuerpo de la mitad de longitud.

La E6B es una regla circular con marcas para pilotos. La escala exterior se lee como distancia o combustible; el disco interior, como minutos. La flecha roja en 60 es el índice de velocidad, porque esta expresa distancia por 60 minutos. Para 120 nudos, pon la flecha bajo 120 y mira sobre 45 del interior: fuera aparecen 90 millas náuticas. El mismo ajuste responde a la pregunta inversa: cuánto se tarda en recorrer 90 millas náuticas a 120 nudos. Philip Dalton, piloto naval formado como ingeniero, desarrolló estas computadoras en la década de 1930. La E6B todavía se enseña para el examen teórico de pilotos.

Practicar en el modelo

Las tareas bajo «Controles» piden preparar un resultado mediante arrastre o deslizadores. Se marcan cuando la regla muestra la respuesta, no al pulsar un botón: 3,14 × 2,72, 8,4 ÷ 2,1, raíz cuadrada de 50, sin 30°, un tramo de 45 minutos en E6B y cinco problemas seguidos de la colección.

Hay 33 problemas para una regla de 25 cm, desde 2 × 3 hasta tan 40°. Resuelve uno, escribe la lectura y pulsa «Comprobar». Se acepta una respuesta dentro del 0,5 % del valor exacto, la precisión de una lectura cuidadosa de tres cifras. El cronómetro empieza con la primera respuesta y termina con la quinta correcta consecutiva; el mejor tiempo permanece en el navegador. «Mostrar en la regla» reproduce por separado los pasos del problema actual.

Diferencias con una regla real

Las proporciones y la disposición siguen una regla habitual de 25 cm. Las divisiones C y D y las escalas A, B y CI se dibujan con las fórmulas anteriores, por lo que permiten lecturas reales. Hay simplificaciones:

• Las reglas de ingeniería suelen tener más de nueve escalas: plegadas como CF, DF, CIF y escalas log-log para potencias. Muchas llevan S y T detrás de la reglilla. Aquí están en una cara para leerlas juntas.
• La regla de bolsillo, la circular y la E6B representan sus tipos, no objetos concretos. El lado de viento de la E6B es una cuadrícula sencilla.
• El recuadro calcula valores con las posiciones exactas y redondea a tres cifras significativas. En una regla real lo hace el ojo, dependiendo de luz, paralaje y finura de la línea.
• Aquí no hay fricción ni tensión ajustable de las abrazaderas. En una regla real se aflojan sus tornillos para ajustar la resistencia al movimiento.
• El ejemplo 3,14 usa 3,14, no π. La marca π de C y D está en 3,1416, y 3,1416 × 2,7183 = 8,5397.

De las tablas de Napier a la calculadora de bolsillo

John Napier publicó su explicación de los logaritmos en 1614 en Mirifici logarithmorum canonis descriptio. Hacia 1620, Edmund Gunter trazó una línea logarítmica sobre una regla y multiplicó trasladando longitudes con un compás de puntas. Los marineros la llamaban «gunter». Suele atribuirse la regla de cálculo a William Oughtred, quien hacia 1622 puso dos escalas juntas y deslizó una respecto de otra. También hizo una versión circular fechada hacia 1630.

Isaac Newton propuso algo parecido a un cursor en 1675, pero no se impuso. Primero llegaron instrumentos especializados: la regla de carpintero perfeccionada por Henry Coggeshall en 1677 duró 200 años, y las de aforo calculaban el contenido de barriles y sus impuestos. En 1799, la Soho de James Watt y Matthew Boulton ya se usaba para máquinas de vapor. En 1815, Peter Roget, futuro autor del thesaurus, inventó la escala log-log para potencias. La disposición del modelo se remonta a Amédée Mannheim, oficial francés de artillería, en la década de 1850. Las fuentes dan fechas de 1850 a 1859. Usaba C y D para la mayoría de los cálculos, A y B para cuadrados y un cursor para leer entre ellas. Keuffel y Esser en Estados Unidos añadieron después CI. Fabricantes alemanes como Dennert & Pape y Faber laminaron celuloide sobre madera. La duplex de William Cox de 1891 puso escalas en ambas caras bajo un cursor. Para obtener más cifras, se enrollaba la escala. El instrumento cilíndrico de George Fuller de 1878 llevaba 41 pies, unos 12,5 m, en espiral. El cilindro de bolsillo de Otis King, patentado en 1922, guardaba 66 pulgadas, unos 168 cm, en un tubo de 1,2 pulgadas, unos 3 cm de diámetro. En Japón, Hemmi recubrió bambú con celuloide y fabricaba cerca de un millón de reglas al año en la década de 1960. La Oughtred Society cita unos 40 millones de reglas fabricadas en el siglo XX. Las Pickett volaron en Apollo como respaldo. La usada en Apollo 13 en abril de 1970 está en el National Air and Space Museum. Wernher von Braun calculó el perfil de empuje de Redstone con una Nestler 23, y E. H. Lowry diseñó los accesos al Golden Gate Bridge con una Dietzgen.

El final fue rápido. La HP-35 de Hewlett-Packard, primera calculadora científica de bolsillo, salió en 1972 por 395 dólares estadounidenses. En pocos años, modelos más baratos dejaron obsoletas las reglas. En Apollo-Soyuz de 1975, último vuelo del equipo Apollo, la tripulación llevaba una calculadora de bolsillo Hewlett-Packard en lugar de una regla.

Por qué el redondeo puede arruinar el siguiente cálculo

Tres cifras significativas suelen bastar para comparar longitudes o estimar combustible. No garantizan que cada cálculo posterior conserve tres cifras útiles. Supón que se necesita la diferencia entre 3,14 × 2,72 y 8,54. Son números elegidos para un ejemplo aritmético, no mediciones de una máquina. El producto exacto es 8,5408 y la diferencia 0,0008. Si primero copias la lectura redondeada 8,54, la resta da cero. El producto era muy cercano, pero el redondeo eliminó toda la diferencia buscada.

La resta no es una operación de la regla: se haría aparte en papel. Importa porque un pequeño error porcentual en un resultado intermedio grande puede superar una respuesta final pequeña. Los dígitos adicionales del producto exacto explican la pérdida, pero no mejoran la lectura de una escala grabada. Ese indicador sirve para comparar, no demuestra que una persona pudiera leer todos sus dígitos en las marcas.

Antes de mover la reglilla, anota el orden de magnitud esperado y separa las restas de cantidades casi iguales de la multiplicación. Si la diferencia deseada es menor que la incertidumbre de cualquiera de las cantidades, hace falta una regla más larga u otro método. Repetir la lectura no recupera información perdida por redondeo. El ejemplo se deduce de la fórmula logarítmica y la lectura de tres cifras anteriores; no supone que esa resta esté incluida en los ejercicios.