Rechenschieber benutzen: am Modell rechnen lernen

Was das Modell zeigt

Einen Rechenschieber benutzen heißt, Zunge und Läufer zu verschieben und das Ergebnis abzulesen: Für 3,14 × 2,72 erhält man etwa 8,54. Vor dem Taschenrechner musste ein Ingenieur dafür keine lange schriftliche Multiplikation ausführen. Er zog einen Rechenschieber aus der Hemdtasche, verschob den mittleren Streifen um einige Zentimeter und schob ein kleines Fenster zur Ablesestelle. Das dauerte nur wenige Sekunden und brauchte keine Batterien. Dieses Exponat ist ein funktionsfähiges Modell dieses Instruments und erklärt, warum zwei gegeneinander verschobene Holzstreifen Zahlen multiplizieren.

Das Modell ist ein 25 cm langer Rechenschieber vom Typ Mannheim, wie er im 20. Jahrhundert millionenfach verkauft wurde. Drei Teile bewegen sich gegeneinander. Der Körper besteht aus zwei festen Hälften, die Endbügel zusammenhalten. Die Zunge läuft in der Nut dazwischen. Der Läufer ist ein durchsichtiges Fenster mit rotem Haarstrich, das über alle Teile gleitet. Es gibt neun Skalen: K und A auf der oberen Körperhälfte, D, S, T und L auf der unteren sowie B, CI und C auf der Zunge.

Zunge und Läufer lassen sich direkt am Modell mit der Maus oder einem Finger ziehen oder mit den Schiebereglern unter „Steuerung“ bewegen. Das Feld in der Ecke zeigt den Wert jeder Skala unter dem Haarstrich. Darunter steht die eingestellte Multiplikation: der D-Wert unter dem C-Index mal der C-Wert unter dem Haarstrich, mit ihren Logarithmen, dem genauen Produkt und dem abgelesenen Ergebnis.

Auf dem Tisch liegen drei weitere Instrumente nach demselben Prinzip. „Instrument“ wechselt zwischen ihnen: ein gelber Taschenrechenschieber aus Aluminium mit 15 cm Länge wie bei den Apollo-Besatzungen, eine Rechenscheibe mit 10 cm Durchmesser und ein E6B-Flugrechner, wie Piloten ihn noch heute lernen. Unter der Steuerung finden Sie sechs Aufgaben, einen Rechner zum Einstellen beliebiger Rechnungen, 33 Übungsaufgaben mit Zeitmessung, eine Tabelle der Ablesefehler und 39 historische Rechenschieber samt ihren Nutzern.

Warum Multiplizieren zum Addieren wird

Zwei gewöhnliche Lineale nebeneinander ergeben ein Addiergerät. Legen Sie die 0 des oberen auf die 3 des unteren und schauen Sie bei der 4 des oberen nach: Unten steht 7. Längen addieren sich.

Der Rechenschieber tut dasselbe mit einer anderen Art von Lineal. Auf einer logarithmischen Skala ist der Abstand vom linken Anfang bei 1 zu einer Zahl v nicht proportional zu v, sondern zu ihrem Logarithmus:

x(v) = 250 mm × log v

Damit liegt 2 bei 250 × 0,30103 = 75,3 mm, 3 bei 250 × 0,47712 = 119,3 mm und 6 bei 250 × 0,77815 = 194,5 mm. Addieren Sie die ersten beiden Längen: 75,3 + 119,3 = 194,5 mm, genau die Stelle der 6. Das ist die Regel log a + log b = log (a × b), in Holz und Zelluloid umgesetzt. Steht der linke C-Anfang über D2 und lesen Sie bei C3 ab, werden die beiden Längen addiert. D übersetzt die Gesamtlänge zurück in eine Zahl.

Division ist derselbe Vorgang rückwärts, denn log a − log b = log (a ÷ b). Eine Länge von einer anderen abzuziehen ist genauso einfach wie das Addieren.

Die L-Skala unten am Körper macht das Prinzip sichtbar. Sie ist eine gewöhnliche, gleichmäßig geteilte Skala von 0 bis 1 neben D. Stellen Sie den Haarstrich auf D2, steht auf L der Logarithmus 0,301. Vor den Rechenschiebern schlug man Logarithmen in gedruckten Tafeln nach, addierte sie von Hand und suchte die Summe wieder in der Tafel. L ist eine kleine Version einer solchen Tafel.

Die Skalen ablesen

C und D reichen von 1 am linken Index bis 10 am rechten und werden nach rechts enger. Zwischen 1 und 2 liegen 75,3 mm, zwischen 9 und 10 nur 250 × log (10/9) = 11,4 mm. Hersteller ändern deshalb die Anzahl der Teilungen entlang der Skala. Im Modell haben C und D Schritte von 0,01 zwischen 1 und 2, von 0,02 zwischen 2 und 4 und von 0,05 zwischen 4 und 10.

Die tatsächliche Breite des kleinsten Abstands zeigt, wie gut jeder Abschnitt abzulesen ist:

• zwischen 1,00 und 1,01: 250 × log 1,01 = 1,08 mm
• zwischen 2,00 und 2,02: ebenfalls 1,08 mm, weil 2,02/2 = 1,01
• zwischen 4,00 und 4,05: 250 × log 1,0125 = 1,35 mm
• zwischen 8,50 und 8,55: 250 × log (8,55/8,5) = 0,64 mm
• zwischen 9,95 und 10: 0,54 mm

Ein Rechenschieber zeigt nie die Dezimalstelle an. D zeigt 6, und Sie entscheiden durch Überschlagen, ob das Ergebnis 0,6, 6 oder 6000 ist. Ingenieure hielten die Zehnerpotenzen auf Papier fest, oft in wissenschaftlicher Schreibweise.

Am Modell multiplizieren und dividieren

Nehmen Sie 2 × 3. Verschieben Sie die Zunge, bis der linke C-Index, die rot markierte 1 am linken Ende, über D2 steht. Schieben Sie den Haarstrich auf C3. Darunter zeigt D die 6. Das Feld zeigt log 0,301 + 0,477 = 0,778, und 10^0,778 ist 6.

Manchmal reicht die Skala nicht aus. Bei 7 × 4 läge C4 mit dem linken Index über D7 bei 211,3 + 150,5 = 361,8 mm vom linken D-Index, außerhalb der 250 mm langen Skala. Verwenden Sie dann den rechten Index, die 10 am rechten C-Ende. C10 über D7 verschiebt die Zunge um 38,7 mm nach links, denn 250 × (log 7 − 1) = −38,7 mm. Der Haarstrich auf C4 trifft nun D bei 2,8. Tatsächlich wurde 7 × 4 ÷ 10 gerechnet. Die Dezimalstelle bestimmen Sie selbst: 28.

Für 8,4 ÷ 2,1 stellen Sie den Haarstrich auf 8,4 auf D, bringen 2,1 auf C darunter und lesen D am C-Index ab. Dort steht 4. Sie haben log 2,1 von log 8,4 abgezogen: 0,924 − 0,322 = 0,602, also log 4.

Bei Rechenketten spart das Instrument besonders viel Zeit. Für 8,4 ÷ 2,1 × 1,5 bleibt die Zunge nach der Division stehen. Bewegen Sie den Haarstrich auf 1,5 auf C. D zeigt 6, und die Überschlagsrechnung 8 ÷ 2 × 1,5 ergibt etwa 6 und bestätigt die Dezimalstelle. Die zwischenzeitliche 4 muss weder abgelesen noch notiert werden.

Quadrate, Quadratwurzeln und Kehrwerte

A und B bringen zwei Abschnitte von 1 bis 10 auf denselben 250 mm unter. Eine Zahl v liegt daher bei 125 × log v. Ein D-Punkt bei 250 × log u liegt über dem A-Wert v, für den 125 × log v = 250 × log u gilt. Daraus folgt v = u². Bei 3 auf D zeigt A die 9. Nach oben lesen quadriert, nach unten lesen zieht die Quadratwurzel: A50 liegt bei 125 × log 50 = 212,4 mm, und D darunter zeigt 7,07, die Wurzel aus 50. Die gewählte Hälfte von A ist wichtig. 5 links ergibt 2,24, während 50 rechts 7,07 ergibt.

CI ist die rückwärts gedruckte C-Skala, meist rot. Ein Wert v liegt bei 250 × (1 − log v) = 250 × log (10/v), also an der Stelle von 10/v auf C. Unter dem Haarstrich zeigt CI stets den Kehrwert von C mit um eine Stelle verschobenem Komma. Bei C4 steht auf CI die 2,5, zu lesen als 1/4 = 0,25. Mit einem CI-Wert multiplizieren ist dasselbe wie durch den zugehörigen C-Wert dividieren. So werden Divisionsketten zu Multiplikationen, ohne die Zunge ständig zurückzuschieben.

Kuben auf K, Winkel auf S und T

K am äußeren Körperrand geht einen Schritt weiter als A. Drei Abschnitte von 1 bis 10 passen auf 250 mm, ein Wert v liegt also bei 83,3 × log v. Ein D-Wert u liegt unter u³ auf K. Bei D2 steht auf K die 8, bei 2,5 steht 15,6, nahe dem genauen Wert 15,625. Von K nach unten lesen liefert Kubikwurzeln. Wie bei A bestimmt der Ausgangsabschnitt das Ergebnis: 2 im ersten Drittel ergibt 1,26, 20 im mittleren 2,71 und 200 im letzten 5,85.

S und T unter D tragen Winkel statt Zahlen. S ist so angeordnet, dass θ dort steht, wo D den Wert 10 × sin θ zeigt, bei 250 mm × log (10 sin θ). Bei S30 steht auf D die 5, zu lesen als sin 30° = 0,5. Unter 5,74° reicht die Skala nicht, denn sin 5,74° = 0,1; kleinere Werte lägen links außerhalb. Kleine Winkel behandelte man mit sin θ ungefähr gleich θ im Bogenmaß, also etwa θ ÷ 57,3. Die hier rote T-Skala macht dasselbe für Tangenswerte von 5,71° bis 45°: Bei T20 zeigt D 3,64, also tan 20° = 0,364. Über 45° verwendet man tan θ = 1 / tan (90° − θ) und liest den Kehrwert auf CI.

Da S und T auf demselben Körper wie D liegen, kann ein Winkelwert unmittelbar in eine Multiplikation eingehen. Für die Höhe einer 12 m langen Leiter bei 70° stellen Sie den Haarstrich auf S70, bringen den rechten C-Index darunter und bewegen den Haarstrich dann auf 1,2 auf C. D zeigt 1,13, also reicht die Leiter 11,3 m hoch.

Wie eine logarithmische Skala entsteht

„Skala aufbauen“ zeigt, woher die D-Markierungen kommen. Ein Papierstreifen auf dem Tisch beginnt als gewöhnliches Lineal von 1 bis 10 mit gleichen Abständen von 27,8 mm. Beim Bewegen des Reglers wandert jede Markierung auf 250 mm × log v. Die 2 bewegt sich von 27,8 mm auf 75,3 mm, die 5 von 111,1 mm auf 174,7 mm, und die 10 bleibt bei 250 mm. Die orangefarbenen Verbindungslinien enden bei denselben Zahlen auf D. Eine logarithmische Skala ist also eine gewöhnliche Skala mit versetzten Markierungen.

Instrumentenbauer verwendeten dafür eine Teilmaschine. Sie bewegt ein Schneidwerkzeug um festgelegte Strecken über den Rohling und ritzt an jedem Halt eine Linie. Die Positionen stammten aus Logarithmentafeln. Feinere Teilung bedeutet mehr Striche: Das Modell zeichnet auf C und D je 321 Markierungen, auf A über zwei Dekaden 321 und auf K über drei Dekaden 226.

Wie viele Stellen ein Rechenschieber liefert

Probieren Sie 3,14 × 2,72. Stellen Sie den linken Index auf 3,14 und den Haarstrich auf 2,72. Das genaue Produkt ist 8,5408. Das Feld zeigt 8,54 als Ablesewert, eine Abweichung von −0,0094 %. Nahe 8,5 ist D in 0,05-Schritte geteilt, mit 0,64 mm Abstand. Der Haarstrich steht etwa vier Fünftel zwischen 8,50 und 8,55, und Sie schreiben 8,54. Für eine vierte Stelle müsste dieser 0,64 mm breite Zwischenraum in fünfzig Teile zerlegt werden. „Einstellfehler“ zeigt die Wirkung eines kleinen Fehlers: Eine blaue Linie markiert, wo ein hastiger Blick den Haarstrich einstellen könnte, und das Feld zeigt den prozentualen Fehler.

Die Fehlergröße folgt aus der Skalenformel. Eine Verschiebung um Δx verändert den Wert um einen festen Anteil:

Δv / v ≈ ln 10 × Δx / 250 mm

Ein Fehler von 1 mm entspricht daher überall 2,3026/250 = 0,92 %, eine sorgfältige Einstellung auf 0,1 mm entspricht 0,092 %. Nahe dem linken Index sind das 0,0009, klein genug, um bei 1,234 eine vierte Stelle zu schätzen. Rechts sind es 9 × 0,00092 = 0,008, sodass etwa bei 9,87 Schluss ist. Die übliche Faustregel lautet: Die gravierten Teilungen liefern zwei Stellen, die dritte wird geschätzt.

Da der Fehler ein fester Anteil der Skalenlänge ist, lässt sich eine längere Skala genauer lesen. Ein Rechenschieber von 50 cm halbiert den Anteil. Für eine ganze weitere Stelle bräuchte man die zehnfache Länge, 2,5 m. Deshalb wickelten lange Rechengeräte ihre Skalen spiralförmig oder um Zylinder.

Vier Instrumente auf dem Tisch

Den 25 cm langen Rechenschieber besaßen die meisten Studenten und Ingenieure. Das Taschenmodell ist dasselbe Instrument in kürzerer Form. Das gelbe Modell von 15 cm trägt dieselben Skalen mit dem Längenfaktor 0,6. Alle Ergebnisse bleiben gleich, sind aber gröber abzulesen. Ein Fehler von 0,1 mm auf 150 mm verändert den Wert um 0,15 %, gegenüber 0,09 % auf 250 mm. Der Pickett N600-ES von Apollo 13 im National Air and Space Museum misst 15,24 cm × 3,81 cm und besteht aus Aluminium und Kunststoff. Laut Katalog wählte NASA ihn wegen seiner Beliebtheit bei Ingenieuren und weil er für den Weltraum unverändert bleiben konnte.

Eine Rechenscheibe legt D auf einen festen Ring und C auf eine darin drehbare Scheibe. Da der Kreis kein Ende hat, ist kein Indexwechsel nötig. Stellen Sie die 1 der Scheibe auf 7 und den Arm auf 4: D zeigt sofort 2,8. Bei 10 cm Durchmesser liegt die Grenze zwischen Ring und Scheibe 36 mm vom Mittelpunkt entfernt. Die Skala ist daher 2π × 36 = 226 mm lang, fast wie ein gerader 25-cm-Rechenschieber in einem halb so langen Gehäuse.

Der E6B-Flugrechner ist eine Rechenscheibe mit Pilotenmarkierungen. Außen liest man Entfernung oder Treibstoff ab, innen Minuten. Der rote Pfeil bei 60 innen ist der Geschwindigkeitsindex, denn Geschwindigkeit bedeutet Strecke pro 60 Minuten. Stellen Sie ihn für 120 Knoten unter 120, schauen Sie innen bei 45 nach, und außen stehen 90 Seemeilen. Dieselbe Einstellung beantwortet auch die Umkehrfrage: Wie lange dauern 90 Seemeilen bei 120 Knoten? Philip Dalton, Marinepilot mit Ingenieurausbildung, entwickelte solche Rechner in den 1930er-Jahren. Der E6B wird noch heute für die theoretische Pilotenprüfung gelehrt.

Am Modell üben

Die Aufgaben unter „Steuerung“ verlangen, Ergebnisse durch Ziehen oder mit den Reglern selbst einzustellen. Eine Aufgabe wird abgehakt, wenn der Rechenschieber das Ergebnis zeigt, nicht beim Drücken einer Taste: 3,14 × 2,72, 8,4 ÷ 2,1, die Quadratwurzel aus 50, sin 30°, ein Flugabschnitt von 45 Minuten auf dem E6B und fünf richtige Aufgaben hintereinander.

Die Aufgabensammlung umfasst 33 Aufgaben für einen 25-cm-Rechenschieber, von 2 × 3 bis tan 40°. Rechnen Sie am Modell, geben Sie den Ablesewert ein und drücken Sie „Prüfen“. Eine Abweichung innerhalb von 0,5 % zählt als richtig, entsprechend einer sorgfältigen Ablesung mit drei Stellen. Die Uhr startet mit der ersten Antwort und stoppt nach der fünften richtigen in Folge. Die Bestzeit bleibt im Browser. „Am Rechenschieber zeigen“ spielt die Schritte der aktuellen Aufgabe nacheinander ab.

Unterschiede zu einem echten Rechenschieber

Proportionen und Skalenanordnung folgen einem üblichen 25-cm-Instrument. Die Teilungen von C und D sowie A, B und CI entstehen aus den obigen Formeln und lassen echte Ablesungen zu. Einige Dinge sind vereinfacht:

• Echte Ingenieurrechenschieber haben meist mehr als die neun Skalen hier, etwa gefaltete Skalen CF, DF, CIF und Loglog-Skalen für Potenzen. S und T liegen oft auf der Zungenrückseite. Das Modell zeigt alles auf einer Seite, damit der Läufer alle Skalen zugleich erfasst.
• Taschenmodell, Rechenscheibe und E6B vertreten ihre Bauarten. Sie kopieren keine bestimmten Objekte. Die Windseite des E6B ist nur als einfaches Raster dargestellt.
• Das Ablesefeld berechnet die Werte aus den genauen Positionen von Zunge und Läufer und rundet auf drei signifikante Stellen. Am echten Instrument rundet das Auge, abhängig von Licht, Parallaxe und Feinheit des Haarstrichs.
• Die Zunge hat hier keine Reibung, und die Bügel üben keine einstellbare Spannung aus. Am echten Instrument lockert man ihre Schrauben, um den Laufwiderstand einzustellen.
• Das Beispiel 3,14 verwendet 3,14 und nicht π. Die π-Markierung auf C und D steht bei 3,1416, und 3,1416 × 2,7183 = 8,5397.

Von Napiers Tafeln zum Taschenrechner

John Napier veröffentlichte 1614 seine Darstellung der Logarithmen in Mirifici logarithmorum canonis descriptio. Um 1620 zeichnete Edmund Gunter eine logarithmische Linie auf ein Lineal und multiplizierte durch Abtragen von Längen mit einem Stechzirkel. Seeleute nannten das Instrument „Gunter“. Der Rechenschieber selbst wird meist William Oughtred zugeschrieben, der um 1622 zwei solche Skalen nebeneinander legte und gegeneinander verschob. Er baute auch eine auf etwa 1630 datierte Rechenscheibe.

Isaac Newton schlug 1675 eine Art Läufer vor, doch die Idee setzte sich nicht durch. Zunächst kamen Spezialinstrumente: Ein von Henry Coggeshall 1677 vervollkommneter Zimmermannsrechenschieber blieb 200 Jahre in Gebrauch. Fassrechenschieber berechneten Inhalt und Verbrauchsteuer von Fässern. 1799 war der Soho-Rechenschieber von James Watt und Matthew Boulton im Dampfmaschinenbau im Einsatz. 1815 erfand Peter Roget, später Verfasser eines Thesaurus, die Loglog-Skala für Potenzen. Die Anordnung des Modells geht auf den französischen Artillerieoffizier Amédée Mannheim in den 1850er-Jahren zurück. Quellen nennen Daten von 1850 bis 1859. Sein Instrument nutzte C und D für die meisten Rechnungen, A und B für Quadrate und einen Läufer zum skalenübergreifenden Ablesen. Keuffel und Esser in den Vereinigten Staaten ergänzten später CI. Deutsche Hersteller wie Dennert & Pape und Faber laminierten Zelluloid auf Holz. Der Duplex-Rechenschieber von William Cox von 1891 trug Skalen auf beiden Seiten unter einem Läufer. Für mehr Stellen wickelte man die Skala auf. George Fullers Zylinderrechner von 1878 trug eine Spirale von 41 Fuß, etwa 12,5 m. Otis Kings 1922 patentierter Taschenzylinder brachte 66 Zoll, etwa 168 cm, in einem Rohr von 1,2 Zoll, etwa 3 cm Durchmesser, unter. In Japan beschichtete Hemmi Bambus mit Zelluloid und fertigte in den 1960er-Jahren etwa eine Million Instrumente jährlich. Die Oughtred Society nennt eine Schätzung von rund 40 Millionen Rechenschiebern im 20. Jahrhundert. Pickett-Instrumente flogen als Reserve bei Apollo mit. Das auf Apollo 13 im April 1970 verwendete Exemplar liegt heute im National Air and Space Museum. Wernher von Braun berechnete das Schubprofil der Redstone-Rakete mit einem Nestler 23, und E. H. Lowry entwarf die Zufahrten der Golden Gate Bridge mit einem Dietzgen-Rechenschieber.

Das Ende kam schnell. Hewlett-Packards HP-35, der erste wissenschaftliche Taschenrechner, erschien 1972 für 395 US-Dollar. Innerhalb weniger Jahre machten billigere Rechner den Rechenschieber überflüssig. Beim Apollo-Sojus-Flug von 1975, dem letzten Einsatz der Apollo-Hardware, nahm die Besatzung statt eines Rechenschiebers einen Hewlett-Packard-Taschenrechner mit.

Warum ein gerundetes Ergebnis die nächste Rechnung verfälschen kann

Drei signifikante Stellen genügen meist, um zwei Längen zu vergleichen oder einen Treibstoffvorrat abzuschätzen. Sie garantieren aber nicht, dass jede folgende Rechnung drei brauchbare Stellen behält. Gesucht sei die Differenz zwischen 3,14 × 2,72 und 8,54. Das sind gewählte Zahlen für ein Rechenbeispiel, keine Messwerte einer bestimmten Maschine. Das genaue Produkt beträgt 8,5408, die Differenz also 0,0008. Schreiben Sie zuerst den gerundeten Ablesewert 8,54 auf, ergibt die Subtraktion null. Das Produkt lag sehr nahe am richtigen Wert, aber die Rundung hat die gesamte gesuchte Differenz beseitigt.

Die Subtraktion selbst ist keine Rechenschieberoperation. Sie würde getrennt auf Papier ausgeführt. Das ist wichtig, weil ein kleiner prozentualer Fehler in einem großen Zwischenergebnis größer als ein kleines Endergebnis sein kann. Die zusätzlichen Stellen der Anzeige für das genaue Produkt erklären den Verlust, machen die gravierte Skala aber nicht genauer ablesbar. Die Anzeige dient dem Vergleich und belegt nicht, dass jede angezeigte Stelle von den Markierungen abgelesen werden könnte.

Notieren Sie zur Kontrolle vor dem Verschieben die erwartete Größenordnung. Halten Sie Subtraktionen fast gleicher Größen von der Multiplikation getrennt. Ist die gesuchte Differenz kleiner als die Unsicherheit einer der Größen, braucht man einen längeren Rechenschieber oder ein anderes Verfahren. Wiederholtes Ablesen gewinnt keine bereits durch Rundung verlorene Information zurück. Das Beispiel folgt unmittelbar aus der logarithmischen Skalenformel und der oben beschriebenen Anzeige mit drei signifikanten Stellen. Es setzt nicht voraus, dass die Aufgabensammlung diese Subtraktion enthält.