计算尺：用交互模型学习使用方法

模型展示什么

在袖珍计算器出现之前，工程师要算 3.14 × 2.72，并不需要写下长长的乘法竖式。他们从衬衫口袋里取出一把尺，将中间的尺条移动几厘米，再滑动一个小窗口，便读出 8.54。整个过程只需几秒钟，而且不需要电池。这件展品是一把可以实际操作的计算尺复刻模型，本页解释为什么让两根木条相对滑动就能将数相乘。

模型是一把 25 cm 的 Mannheim 式计算尺，这种计算尺在 20 世纪累计售出数百万把。它有三个可以相对移动的部件。尺身是固定的主体，由两端支架连接的上下两半组成。滑尺在两者之间的凹槽内移动。游标是带有红色标线的透明窗口，可以在整个尺面上滑动。尺上共有九条标尺。K 和 A 位于尺身上半部，D、S、T 和 L 位于下半部，B、CI 和 C 则在滑尺上。

你可以用鼠标或一根手指直接在模型上拖动滑尺或游标，也可以用「控制」下的滑块移动它们。舞台角落的读数框列出标线下每条标尺的数值。下面显示你设定的乘法：C 的基准线下方的 D 上数值，乘以标线下方的 C 上数值，同时列出它们的对数、精确乘积和计算尺的读数。

桌面上还有三种采用相同原理的仪器，「仪器」控件可以在它们之间切换：一把 15 cm 长的黄色铝制袖珍计算尺，类似阿波罗机组携带的款式；一把刻度盘直径为 10 cm 的圆形计算尺；以及一台飞行员至今仍在学习使用的 E6B 飞行计算尺。控件下方有包含六项任务的实验区、可以在尺上设定任意算题的计算器、带计时器的 33 道题题库、读数误差表，以及列出 39 把计算尺及其使用者的清单。

为什么乘法会变成加法

把两把普通直尺并排放置，就得到了一台加法工具。将上方直尺的 0 对准下方的 3，再找到上方的 4，下方的读数就是 7。长度相加了。

计算尺做的是同一件事，只是换了一种尺。在对数标尺上，从左端的 1 到数值 v 的距离不与 v 成正比，而与它的对数成正比：

x(v) = 250 mm × log v

在这把尺上，2 位于 250 × 0.30103 = 75.3 mm 处，3 位于 250 × 0.47712 = 119.3 mm 处，6 位于 250 × 0.77815 = 194.5 mm 处。现在将前两段长度相加：75.3 + 119.3 = 194.5 mm，恰好就是 6 所在的位置。这正是将 log a + log b = log (a × b) 这条规律画在木材和赛璐珞上。将 C 的左端对准 D 上的 2，再在 C 上的 3 下方读数，就把两段长度相加了，而 D 尺将总长度还原成数值。

除法是将同样的操作反过来做，因为 log a − log b = log (a ÷ b)。两段长度相减和相加一样容易。

尺身底部的 L 尺让这个原理变得可见。它是一条从 0 到 1 均匀分格的普通标尺，与 D 并排。将标线对准 D 上的 2，L 的读数就是 0.301，即 2 的对数。在计算尺出现之前，人们做乘法时先从印刷的表格中查出对数，手工相加，再查出和对应的数。L 尺就是这种表格的缩小版。

怎样读取标尺

C 和 D 上的数字从左端基准线的 1 延伸到右端基准线的 10，越往右越密集。1 到 2 的间距为 75.3 mm，而 9 到 10 只有 250 × log (10/9) = 11.4 mm。制造者通过沿尺改变分格数量来处理这种变化。在本模型中，C 和 D 在 1 到 2 之间每 0.01 分一格，2 到 4 之间每 0.02 分一格，4 到 10 之间每 0.05 分一格。

最小间隔的实际宽度表明了标尺各部分有多容易读数：

• 1.00 到 1.01 之间：250 × log 1.01 = 1.08 mm
• 2.00 到 2.02 之间：同样是 1.08 mm，因为 2.02/2 = 1.01
• 4.00 到 4.05 之间：250 × log 1.0125 = 1.35 mm
• 8.50 到 8.55 之间：250 × log (8.55/8.5) = 0.64 mm
• 9.95 到 10 之间：0.54 mm

计算尺从不显示小数点。D 尺显示 6，你要通过粗略估算判断答案是 0.6、6 还是 6,000。工程师会在纸上记录十的幂，通常使用科学记数法。

在模型上做乘法和除法

以 2 × 3 为例。移动滑尺，直到 C 的左基准线（左端的 1，以红色楔形标记）对准 D 上的 2。将标线移到 C 上的 3。标线下方的 D 显示 6。读数框显示 log 0.301 + 0.477 = 0.778，而 10^0.778 就是 6。

有时答案会超出尺的末端。计算 7 × 4 时，将左基准线对准 D7，会使 C4 位于距 D 左基准线 211.3 + 150.5 = 361.8 mm 的位置，超出了 250 mm 的标尺。解决办法是使用右基准线，也就是 C 右端的 10。将 C10 对准 D7，滑尺会向左移动 38.7 mm，因为 250 × (log 7 − 1) = −38.7 mm。此时 C4 上的标线落在 D 的 2.8 处。你实际算出的是 7 × 4 ÷ 10，需要自己将小数点放回正确位置：28。

计算 8.4 ÷ 2.1 时，将标线对准 D 上的 8.4，把 C 上的 2.1 滑到标线下方，再读取 C 基准线下方的 D。读数为 4。你从 log 8.4 中减去了 log 2.1，而 0.924 − 0.322 = 0.602，即 log 4。

连续运算最能体现计算尺节省时间的优势。要算 8.4 ÷ 2.1 × 1.5，在除法完成后保持滑尺不动，将标线移到 C 上的 1.5。D 显示 6，快速估算（8 ÷ 2 × 1.5 约为 6）就能确认小数点的位置。你不需要读出或写下中间结果 4。

平方、开平方和倒数

A 和 B 尺在同样的 250 mm 内容纳两组 1 到 10，因此数值 v 位于 125 × log v 处。D 上位于 250 × log u 的点，与 A 上满足 125 × log v = 250 × log u 的数值 v 对齐。由此得到 v = u²。将标线对准 D 上的 3，A 的读数就是 9。向上读取就是求平方。向下读取就是开平方：A 上的 50 位于 125 × log 50 = 212.4 mm 处，其下方 D 的读数是 7.07，即 50 的平方根。从 A 的哪一半开始很重要。左半部的 5 给出 2.24，右半部的 50 则给出 7.07。

CI 是反向印制的 C 尺，通常为红色。数值 v 位于 250 × (1 − log v) = 250 × log (10/v) 处，也就是 C 上 10/v 所在的位置。标线下的 CI 始终显示 C 的倒数，只是小数点移动了一位。标线对准 C4 时，CI 读作 2.5，因此 1/4 = 0.25。乘以一个 CI 数值等于除以它下方的 C 数值，因此可以将一连串除法变成乘法，而不必来回移动滑尺。

K 上的立方与 S 和 T 上的角度

尺身最外侧的 K 尺比 A 又进了一步。它在 250 mm 内容纳三组 1 到 10，因此数值 v 位于 83.3 × log v 处。D 上的点 u 与 K 上的 u³ 对齐。将标线对准 D 上的 2，K 的读数是 8；对准 2.5 时，读数为 15.6，接近精确值 15.625。从 K 向下读取可得立方根，而且与 A 一样，答案取决于从 K 的哪一段开始。K 前三分之一处的 2 给出 1.26，中间三分之一处的 20 给出 2.71，最后三分之一处的 200 给出 5.85。

D 下方的 S 和 T 尺标的是角度而不是数值。S 的布局使角度 θ 位于 D 显示 10 × sin θ 的位置，即 250 mm × log (10 sin θ) 处。标线对准 S 上的 30，就在 D 上找到 5，读作 sin 30° = 0.5。这条标尺不能低于 5.74°，因为 sin 5.74° = 0.1，更小的值会落到左端之外。小角度使用 sin θ 接近以弧度表示的 θ 这一规律处理，约为 θ ÷ 57.3。本模型中用红色印制的 T 对 5.71° 到 45° 的正切采用相同方式：标线对准 20，D 显示 3.64，因此 tan 20° = 0.364。对于超过 45° 的角度，使用 tan θ = 1 / tan (90° − θ)，并在 CI 上读取倒数。

由于 S、T 和 D 位于同一尺身上，三角函数值可以直接参与乘法。要计算一架以 70° 倾斜的 12 m 梯子所达到的高度，将标线对准 S 上的 70，把 C 的右基准线移到它下面，再将标线移到 C 上的 1.2。D 显示 1.13，因此梯子顶端的高度为 11.3 m。

对数标尺怎样布局

「构建标尺」控件显示 D 上的刻线从何而来。桌上的纸带起初是一把普通直尺，1 到 10 的等间隔为 27.8 mm。随着控件移动，每条刻线都滑到 250 mm × log v 处。2 从 27.8 mm 移到 75.3 mm，5 从 111.1 mm 移到 174.7 mm，10 则保持在 250 mm。橙色引线终止于 D 上相同的数字，因此你能看到其中并没有别的步骤：对数标尺就是移动了刻线的普通标尺。

仪器制造者使用刻度机完成这项工作，这种机器让刀具沿尺坯移动设定的距离，并在每个停点刻下一条线。位置来自对数表。分格越细，刻线越多：本模型在 C 和 D 上各绘制 321 条刻线，在 A 的两个数量级内绘制 321 条，在 K 的三个数量级内绘制 226 条。

计算尺能给出多少位数字

试算 3.14 × 2.72。将左基准线对准 3.14，标线对准 2.72。这两个数的精确乘积是 8.5408。读数框给出的计算尺读数是 8.54，相差 −0.0094%。在 8.5 附近，D 尺每 0.05 分一格，每格宽 0.64 mm，因此标线位于从 8.50 到 8.55 约五分之四的位置，你便写下 8.54。要读出第四位数字，就需要将这段 0.64 mm 的间隙分成五十份。「定位误差」控件显示微小偏差的影响：蓝线标出匆忙观察时可能放置标线的位置，读数框则以百分比显示误差大小。

误差大小可由标尺公式推导出来。将标线移动 Δx，会使数值改变一个固定比例：

Δv / v ≈ ln 10 × Δx / 250 mm

因此，在尺上任何位置，1 mm 的误差都是 2.3026/250 = 0.92%，而仔细定位到 0.1 mm 时，误差是 0.092%。在左基准线附近，这相当于 0.0009，小到足以估计 1.234 的第四位数字。在右基准线附近，它是 9 × 0.00092 = 0.008，所以 9.87 大致就是极限。通常的经验法则是：刻出的分格给出两位数字，使用者估计第三位。

由于误差占标尺长度的固定比例，更长的标尺可以读得更精细。50 cm 的尺会将这个比例减半。要多获得一整位数字，就需要十倍长的标尺，即 2.5 m，这正是长标尺计算工具将刻度绕成螺旋或缠在圆柱上的原因。

桌上的四种仪器

25 cm 计算尺是大多数学生和工程师拥有的款式。袖珍计算尺是同一种仪器的缩短版。15 cm 的黄色模型在 0.6 倍的长度内保留相同标尺，因此所有答案相同，但每次读数都更粗略。在 150 mm 标尺上偏移 0.1 mm，数值会改变 0.15 %，而在 250 mm 标尺上是 0.09 %。美国国家航空航天博物馆收藏的阿波罗 13 号计算尺是一把 Pickett N600-ES，尺寸为 15.24 cm 乘 3.81 cm，由铝和塑料制成。藏品记录称，NASA 选择它是因为它受到工程师欢迎，而且无需为太空使用作任何改动。

圆形计算尺将 D 尺环绕在固定圆环上，将 C 尺环绕在可于其中转动的圆盘上。圆没有端点，因此从不需要更换基准线。将圆盘上的 1 对准 7，再把指针放到 4，D 立即显示 2.8。在直径为 10 cm 的刻度盘上，圆环与圆盘的边界距中心 36 mm，因此标尺长为 2π × 36 = 226 mm，接近 25 cm 直尺的标尺长度，而尺体长度只有其一半。

E6B 飞行计算尺是一种带飞行员专用标记的圆形计算尺。外尺读作距离或燃料，内圆盘读作分钟。内尺 60 处的红色箭头是速度基准，因为速度是每 60 分钟的距离。将箭头对准 120 表示 120 节，查看内尺 45 对应的外尺，就能读到 90 海里。同一设置也能回答相反的问题：以 120 节飞行 90 海里需要多久。受过工程师训练的海军飞行员 Philip Dalton 在 1930 年代开发了这类计算工具，E6B 至今仍是飞行员理论考试的学习内容。

在模型上练习

「控制」下的任务要求你通过拖动或滑块自行设定结果。每项任务在计算尺显示答案时打勾，而不是在按下按钮时：3.14 × 2.72、8.4 ÷ 2.1、50 的平方根、sin 30°、E6B 上的一段 45 分钟航程，以及题库中连续五道题。

题库有 33 道 25 cm 计算尺可以解答的题，从 2 × 3 到 tan 40°。在模型上完成一道题，输入尺上显示的数，再按「检查」。答案与精确值相差在 0.5 % 以内就算正确，这正是仔细读出三位数字能达到的精度。计时器从第一次回答开始，在连续答对第五题时停止；最佳时间保存在你的浏览器中。「在尺上显示」会逐步演示当前题目的操作。

模型与真实计算尺有什么不同

比例和标尺布局参考常见的 25 cm 计算尺。C 和 D 的分格以及 A、B 和 CI 尺均按上述公式绘制，因此可以从中取得实际读数。有些地方比真实仪器更简单：

• 真正的工程计算尺通常比这里的九条标尺更多：包括折叠标尺（CF、DF、CIF）和用于幂运算的双对数标尺。许多计算尺将 S 和 T 放在滑尺背面。本模型将它们全部放在同一面，让游标能同时读取。
• 袖珍计算尺、圆形计算尺和 E6B 代表各自的类型。它们不是特定实物的复制品，E6B 的风速面也只显示为普通网格。
• 读数框根据滑尺和游标的精确位置计算数值，并四舍五入到三位有效数字。在真实计算尺上，由眼睛完成取舍，结果取决于光照、视差和标线的精细程度。
• 这里的滑尺没有摩擦，支架的松紧也不能调节。在真实计算尺上，你可以松开支架螺丝，调节滑尺移动的阻力。
• 3.14 的例子使用的是 3.14，而不是 π。C 和 D 上的 π 标记位于 3.1416，而 3.1416 × 2.7183 = 8.5397。

从 Napier 的表格到袖珍计算器

John Napier 于 1614 年在 Mirifici logarithmorum canonis descriptio 中发表了对数的论述。约在 1620 年，Edmund Gunter 在尺上画出一条对数线，用两脚规量取长度来做乘法。海员称它为「gunter」。计算尺本身通常归功于 William Oughtred，他约在 1622 年将两条这样的标尺并排放置，让一条沿另一条滑动。他还制作了圆形版本，年代约为 1630 年。

Isaac Newton 在 1675 年提出过类似游标的装置，但没有流行起来。专用计算尺先发展起来：Henry Coggeshall 在 1677 年完善的一种木工计算尺沿用了 200 年，而容积计算尺用来计算桶的容量及相应的消费税。到 1799 年，James Watt 和 Matthew Boulton 的 Soho 计算尺已用于蒸汽机工作；1815 年，后来编写同义词词典的 Peter Roget 发明了用于幂运算的双对数标尺。本模型的布局可追溯到 1850 年代的法国炮兵军官 Amédée Mannheim。各资料给出的年代从 1850 年到 1859 年不等。他的尺用 C 和 D 完成大多数运算，用 A 和 B 求平方，再用游标横跨读数。美国的 Keuffel and Esser 后来添加了 CI 尺。德国制造商如 Dennert & Pape 和 Faber 将赛璐珞贴合在木材上，而 William Cox 于 1891 年推出的双面计算尺让一个游标可以读取两面的标尺。为了获得更多位数字，制造者将标尺卷绕起来。George Fuller 的 1878 年圆柱计算器以螺旋形式容纳了 41 英尺（约 12.5 m）长的标尺，而 Otis King 于 1922 年获专利的袖珍圆柱计算器，将 66 英寸（约 168 cm）标尺装进直径 1.2 英寸（约 3 cm）的管内。在日本，Hemmi 用赛璐珞覆盖竹材，到 1960 年代每年约生产 100 万把计算尺。奥特雷德学会 引用的估计称，20 世纪约生产了 4,000 万把计算尺，而 Pickett 计算尺也作为备用工具随阿波罗任务升空。1970 年 4 月阿波罗 13 号上使用的计算尺现藏于美国国家航空航天博物馆。Wernher von Braun 用 Nestler 23 计算了红石火箭的推力曲线，E. H. Lowry 则用 Dietzgen 计算尺设计了金门大桥的引桥。

它的时代很快结束了。惠普 的 HP-35 是第一款手持科学计算器，于 1972 年以 395 美元的价格上市；短短几年内，更便宜的计算器就让计算尺过时了。1975 年的阿波罗－联盟飞行是最后一次使用阿波罗硬件的飞行，机组携带的是 惠普 袖珍计算器，而不是计算尺。

为什么舍入后的答案可能使下一步计算失效

三位有效数字通常足以比较两段长度，或估算燃料余量。但这并不保证后续每一步计算都能保留三位有用数字。假设一项工程计算需要求 3.14 × 2.72 与 8.54 之差。这些数字是为算术示例而选取的，并非某台特定机器的测量值。精确乘积是 8.5408，因此差值是 0.0008。如果先将计算尺舍入后的读数 8.54 抄到纸上，相减就会得到零。乘积原本已经非常接近，但舍入消除了你想求的整个差值。

减法本身不是计算尺的运算。它需要另行在纸上完成。这一点很重要，因为较大中间结果中一个很小的百分比误差，可能大于很小的最终答案。展品精确乘积显示中的额外数字有助于解释这种损失，但它们并不会让刻出的标尺更容易读取。应将该显示视为比较，而不是证明人能从模型刻线读出所显示的每一位数字的证据。

一个有用的检查办法是，在移动滑尺之前写下预期的数量级，并将接近相等的量之间的减法与乘法分开处理。如果所需差值小于任一量的不确定度，就需要更长的计算尺或另一种计算方法。重复同样的读数无法恢复已经因舍入而丢失的信息。这个例子直接来自前文的对数标尺公式和三位有效数字读数，并不假定练习题库中包含这道减法题。