3×3-Zauberwürfel lösen, Schritt für Schritt

Ein Würfel, der in zehn Sekunden gemischt ist und einen Nachmittag zum Lernen braucht

Nehmen Sie einen gemischten 3×3-Würfel und drehen Sie eine Fläche. Auf jeder der vier benachbarten Flächen bewegen sich drei Aufkleber mit, und die gedrehte Fläche dreht sich an ihrem Platz. Drehen Sie eine andere Fläche, breitet sich das Durcheinander aus. Nach fünf oder sechs Drehungen wirkt der Würfel völlig zufällig, und die meisten Menschen, die ihn nach Gefühl wiederherstellen wollen, merken, dass jede Korrektur etwas bereits Geschafftes zerstört.

So beginnt auch der Würfel auf dieser Seite. Er wurde in eine seiner 43.252.003.274.489.856.000 Stellungen gebracht, und in den ersten Sekunden sehen Sie, wie er sich mit der Anfängermethode selbst löst, Schicht für Schicht, mit 16 Drehungen pro Sekunde. Dann gehört er Ihnen. Sie können jede Schicht mit dem Finger oder der Maus ziehen, dieselbe Lösung Zug für Zug vorwärts oder rückwärts durchgehen, die Farben des echten Würfels auf Ihrem Schreibtisch eingeben und eine Lösung dafür erhalten, den Würfel auseinandernehmen und seinen Zusammenhalt betrachten sowie ihn neben einen 2×2 und einen 4×4 stellen.

Die hier gezeigte Methode lernen die meisten Menschen zuerst: ein weißes Kreuz, der Rest der weißen Schicht, die mittlere Schicht, dann die gelbe Fläche und die letzte Schicht. Sie verwendet sieben kurze Formeln. Gegenüber Wettkampfmethoden ist sie langsam, in der Version dieser Seite durchschnittlich etwa 140 Züge, doch jeder Schritt lässt sich mit den Augen verfolgen. Nach einigen Durchgängen wird die Seite nicht mehr gebraucht.

Rund um den Würfel stehen die Zahlen, nach denen häufig gefragt wird. Warum die Anzahl so groß ist und warum Auseinandernehmen sie nicht erhöht. Was „Gottes Zahl“ bedeutet und warum Computer erst 2010 zeigen konnten, dass sie 20 beträgt. Wie schnell die Schnellsten laut World Cube Association sind, die offizielle Wettkämpfe veranstaltet. Unter den Bedienelementen gibt es ein Labor mit zwölf Aufgaben, einen Rechner für die Wiederholungszahl einer Zugfolge bis zur Rückkehr des Würfels, die Tabelle der Entfernungen vom gelösten Zustand und die Rekorde.

Die Seite vermeidet auf der Bühne den Markennamen und nennt das Puzzle einen 3×3-Würfel. Der Name seines Erfinders, Ernő Rubik, erscheint dort, wo es um die Geschichte geht.

Die Teile: Warum die Mittelsteine die Farben bestimmen

Ein 3×3-Würfel sieht wie 27 kleine Würfel aus, besitzt aber nur 26 sichtbare Teile in drei Arten.

• Mittelsteine. Sechs Teile mit je einem Aufkleber in der Mitte jeder Fläche. Sie sind am Kern befestigt und können sich nur am eigenen Platz drehen. Da sie sich nie gegeneinander verschieben, liegt der weiße Mittelstein immer gegenüber dem gelben, Grün gegenüber Blau und Rot gegenüber Orange. Im gelösten Zustand hat jede Fläche die Farbe ihres Mittelsteins.
• Kantensteine. Zwölf Teile mit je zwei Aufklebern zwischen zwei Mittelsteinen. Ein Kantenstein kann in seinem eigenen Platz in zwei Ausrichtungen sitzen: Diese beiden Möglichkeiten sind seine „Kippung“.
• Ecksteine. Acht Teile mit je drei Aufklebern. Ein Eckstein kann in seinem eigenen Platz in drei Ausrichtungen sitzen: Diese drei Möglichkeiten sind seine „Verdrehung“.

Eine Flächendrehung bewegt vier Kantensteine und vier Ecksteine in einem Zyklus und dreht den Mittelstein. Die Drehung einer Mittelschicht bewegt vier Kantensteine und vier Mittelsteine. Mehr kann eine Drehung nicht bewirken. Deshalb wird der Würfel Stein für Stein statt Aufkleber für Aufkleber gelöst: Entscheidend sind niemals einzelne Aufkleber, sondern nur der Platz und die Ausrichtung jedes Kantensteins und jedes Ecksteins.

Dass die Mittelsteine an ihrem Platz bleiben, erklärt auch, warum der Färbemodus dieser Seite sie festhält. Halten Sie Ihren Würfel mit Weiß oben und Grün vorn, der von der World Cube Association für Mischfolgen verwendeten Ausrichtung. Dann verraten die Farben der übrigen Aufkleber der Seite genau, welcher Stein wo sitzt.

Was ihn zusammenhält

Öffnen Sie die Innenansicht und ziehen Sie den Regler. In der Mitte befindet sich eine Nabe mit sechs Armen, einer zu jeder Fläche. Jeder Arm hält einen Mittelstein. Im Modell sitzen eine Schraube und eine kleine Feder unter jeder Mittelsteinkappe, wie bei vielen heutigen Würfeln: Werden die Schrauben angezogen, dreht sich der Würfel schwerer. Kantensteine und Ecksteine sind nirgends befestigt. Jeder besitzt einen Fuß, der unter die Nachbarsteine gleitet. Die Mittelsteine drücken auf die Kantensteine, diese wiederum auf die Ecksteine. Zieht man die Schichten auseinander, zerfällt der Würfel in seine 26 Teile und den Kern.

Ernő Rubiks ungarisches Würfelpatent (HU 170062, angemeldet am 30. Januar 1975 und veröffentlicht am 28. März 1977) beschreibt in diesem Sinne Teile, die um einen zentralen Kern zusammengehalten werden. Die genaue Form der Füße und die Federn des Modells stellen einen modernen Würfel dar, nicht das Patent.

Nicht ganz der erste

Ein Würfel mit gemeinsam drehbaren Teilegruppen wurde bereits vor dem 3×3 patentiert. Im März 1970 meldete Larry D. Nichols das US-Patent 3,655,201 für ein „musterbildendes Puzzle“ an: acht von Magneten zusammengehaltene kleine Würfel, die sich in Vierergruppen um drei Achsen drehen. Es wurde im April 1972 veröffentlicht. Abgesehen vom Mechanismus ist das ein 2×2×2. Beide Patente hängen an der Wand des Raums auf dieser Seite.

Die Notation lesen

Würfelanleitungen bestehen aus Buchstaben, die aus dem Regelwerk der World Cube Association stammen (Artikel 12). Halten Sie den Würfel mit einer Fläche zu sich hin still. Dann gilt:

• F bezeichnet die vordere Fläche, B die hintere, R die rechte, L die linke, U die obere und D die untere.
• Ein einzelner Buchstabe bedeutet eine Vierteldrehung dieser Fläche im Uhrzeigersinn, wenn man direkt auf sie blickt. R dreht die rechte Fläche von rechts gesehen im Uhrzeigersinn, wodurch die vorderen Aufkleber der rechten Spalte nach oben wandern.
• Ein Strich (R′, häufig R' getippt) bedeutet eine Vierteldrehung gegen den Uhrzeigersinn.
• Eine 2 (R2) bedeutet eine halbe Drehung. Die Richtung spielt keine Rolle.

R U R′ U′ bedeutet also: rechte Fläche im Uhrzeigersinn, obere Fläche im Uhrzeigersinn, rechte Fläche zurück, obere Fläche zurück. Diese Folge aus vier Zügen kommt in der Methode dieser Seite am häufigsten vor. Im zweiten Anleitungsschritt lässt sie sich mit eingeschalteten Drehpfeilen beobachten.

Mittelschichten, breite Züge und Drehungen des ganzen Würfels

Die Anfängermethode benötigt nur die sechs Flächenbuchstaben, doch in Büchern, im Labor und auf den Drehtasten erscheinen weitere Zeichen:

• M, E und S drehen eine Mittelschicht. M liegt zwischen L und R und dreht wie L; E liegt zwischen U und D und dreht wie D; S liegt zwischen F und B und dreht wie F.
• Rw, auch r geschrieben, dreht die rechte Fläche zusammen mit der Mittelschicht: ein „breiter“ Zug. Das Regelwerk erlaubt dafür beim 3×3 sowohl Rw als auch 2Rw.
• x, y und z drehen den ganzen Würfel: x wie R, y wie U und z wie F. Sie ändern die Haltung des Würfels, nicht sein Muster.

Das Prüfprogramm hinter dieser Seite vergleicht diese Definitionen miteinander: x entspricht R M′ L′, r entspricht R M′ und entsprechend weiter für jeden Buchstaben.

Wie Züge gezählt werden

Es gibt mehrere Zählweisen. In der Halbzugmetrik, die für Gottes Zahl verwendet wird, zählen R und R2 jeweils als ein Zug. In der Viertelzugmetrik zählt R2 als zwei. Das Regelwerk definiert für die Disziplin „Wenigste Züge“ die Outer-Block-Turn-Metrik. Dabei zählen Flächendrehungen und breite Züge jeweils einmal, Drehungen des ganzen Würfels gar nicht. Die Zugzahlen dieser Seite verwenden die Halbzugmetrik und lassen x, y und z aus.

Die Schicht-für-Schicht-Methode dieser Seite

Die Methode löst den Würfel in sieben Phasen. Jede Phase lässt das Ergebnis vorheriger Phasen unberührt oder stellt es am Ende ihrer Formel wieder her. Das Prüfprogramm löst 2000 Stellungen, davon 1000 gleichverteilt zufällig aus allen Stellungen ausgewählt und 1000 aus zufälligen Mischfolgen mit 25 Zügen. Nach jeder Phase prüft es, ob deren Zusage erfüllt ist.

Haltung: Weiß nach unten

Die Seite löst mit dem weißen Mittelstein unten. Befindet sich Weiß anderswo, dreht der erste „Zug“ den ganzen Würfel mit x, x2 oder z so, dass Weiß nach unten gelangt. Wer das weiße Kreuz unten bildet, muss den Würfel später nicht umdrehen, sieht allerdings das Kreuz beim Aufbau nicht. Deshalb blickt der dritte Anleitungsschritt von unten auf den Würfel, und deshalb zeigt ein kleines aufgefaltetes Würfelbild in der Bühnenecke alle Flächen gleichzeitig.

Schritt 1: das weiße Kreuz

Bringen Sie die vier weißen Kantensteine nach unten um den weißen Mittelstein. Jeder Kantenstein hat eine zweite Farbe und muss neben dem Mittelstein dieser Farbe sitzen: Weiß-Grün unter dem grünen Mittelstein, Weiß-Rot unter dem roten. Ein Kreuz mit richtiger Form, aber falschen Seitenfarben ist noch nicht fertig.

Menschen erledigen diesen Schritt nach Gefühl. In gewisser Weise tut die Seite dasselbe: Sie durchsucht alle Stellungen der vier weißen Kantensteine und wählt einen kürzesten Weg, sie gemeinsam einzusetzen. Diese Suche umfasst 190.080 Anordnungen und zeigt, dass das Kreuz niemals mehr als acht Züge benötigt. Über 2000 Teststellungen braucht die Seite durchschnittlich 5,8 Züge.

Schritt 2: die erste Schicht

Nun folgen die vier weißen Ecksteine. Suchen Sie einen, drehen Sie die obere Fläche, bis er unmittelbar über seinem vorgesehenen Platz sitzt, und wiederholen Sie R U R′ U′, bezogen auf diesen Platz, bis er mit Weiß nach unten hineinrutscht. Je nach ursprünglicher Richtung des weißen Aufklebers sind ein, drei oder fünf Durchgänge nötig. Sitzt der Eckstein bereits unten, aber am falschen Platz oder verdreht, hebt ihn zunächst ein Durchgang derselben Formel heraus.

Mit durchschnittlich etwa 48 Zügen ist dies die längste Phase, denn jeder Durchgang umfasst vier Züge und ein Eckstein kann fünf Durchgänge benötigen. Zugleich wird die Formel hier zur Gewohnheit: R U R′ U′ ist kurz genug, um sie in wenigen Minuten mit den Händen zu lernen. Die Aufgabe „Eine Formel lernen“ verlangt, sie aus dem Gedächtnis einzugeben.

Schritt 3: die zweite Schicht

Die mittlere Schicht enthält vier Kantensteine, keiner davon weiß oder gelb. Drehen Sie die obere Fläche, bis einer dieser Kantensteine seitlich zum Mittelstein seiner Farbe ausgerichtet ist. Seine obere Farbe zeigt nun das Ziel: Entspricht sie dem rechten Mittelstein, gelangt er mit U R U′ R′ U′ F′ U F nach rechts; entspricht sie dem linken, gelangt er mit U′ L′ U L U F U′ F′ nach links. Jede Formel nimmt den Eckstein darunter kurz heraus und setzt ihn zusammen mit dem Kantenstein wieder ein.

Steckt ein Kantenstein in der mittleren Schicht am falschen Platz oder gekippt am richtigen Platz, schiebt eine derselben Formeln einen beliebigen oberen Kantenstein dort hinein. Dadurch kommt der festsitzende Kantenstein nach oben und lässt sich richtig einsetzen. Diese Phase benötigt auf der Seite durchschnittlich etwa 37 Züge.

Schritt 4: das obere Kreuz

Jetzt bleibt nur noch die obere, gelbe Schicht. Zunächst das gelbe Kreuz: F R U R′ U′ F′. Schauen Sie von oben. Ist nur der gelbe Mittelstein sichtbar, also ein Punkt, erzeugt ein Durchgang ein L. Mit dem L hinten links erzeugt ein zweiter Durchgang eine Linie; liegt diese waagerecht, erzeugt ein dritter das Kreuz. Die Formel kippt jeweils zwei obere Kantensteine und lässt die ersten beiden Schichten unversehrt.

Schritt 5: die gelbe Fläche

R U R′ U R U2 R′, eine oft „Sune“ genannte Formel, verdreht drei obere Ecksteine und lässt alles andere am Platz, abgesehen von den oberen Kantensteinen, die untereinander die Plätze tauschen. Drehen Sie die obere Fläche und wiederholen Sie die Formel, bis oben alles gelb ist. Es dauert ein bis drei Durchgänge. Die Seite probiert die Formel nach jeder der vier oberen Drehungen und wählt die kürzeste Kombination. Menschen erkennen dafür einige wenige Formen.

Schritt 6: die letzte Schicht

Zwei Formeln vollenden den Würfel. R′ F R′ B2 R F′ R′ B2 R2 bewegt drei obere Ecksteine im Kreis, ohne sie zu verdrehen. Mit der richtigen oberen Drehung davor gelangen alle Ecksteine nach Hause. Dann bewegt R2 U R U R′ U′ R′ U′ R′ U R′ drei obere Kantensteine im Kreis. Ein oder zwei Anwendungen mit einer oberen Drehung schließen die Lösung ab.

Wie viele Züge nötig sind

Bei den 2000 Teststellungen benötigt diese Version der Methode zwischen 68 und 209 Zügen, durchschnittlich 140,8. Der gemischte Würfel im ersten Anleitungsschritt braucht 129. Wettkämpfer verwenden Methoden mit wesentlich mehr Formeln und deutlich weniger Zügen. Die kürzestmögliche Lösung ist niemals länger als 20, wie die nächsten Abschnitte erklären. Die Anfängermethode erkauft ihre Einfachheit mit Länge.

Warum Formeln funktionieren: weggehen und zurückkommen

Führen Sie R U R′ U′ einmal aus, wirkt der Würfel etwas verdreht. Nach sechs Wiederholungen ist er wieder gelöst. Das ist kein Zufall dieser Zugfolge. Jede ausreichend oft wiederholte Zugfolge kehrt zu ihrem Ausgangspunkt zurück, denn der Würfel besitzt nur endlich viele Stellungen, und jede Drehung lässt sich rückgängig machen.

Die erforderliche Wiederholungszahl heißt Ordnung der Zugfolge. R allein hat die Ordnung 4. R2 U2 hat die Ordnung 6. R U, die einfachste Folge aus zwei Zügen, hat die Ordnung 105: Sie muss 105-mal, also mit 210 Drehungen, wiederholt werden, bis der Würfel erneut gelöst ist. R U2 D′ B D′ benötigt 1260 Durchgänge und 6300 Drehungen.

Das Labor unter den Bedienelementen berechnet diese Zahlen für jede eingegebene Zugfolge. Es setzt die Folge zu einer einzigen Permutation der 54 Aufkleber zusammen, zerlegt diese in Zyklen und bestimmt deren kleinstes gemeinsames Vielfaches als Ordnung. Bei kleinen Ordnungen kann es anschließend die Wiederholungen am Würfel abspielen, sodass sich die Rückkehr beobachten lässt.

Formeln wie R U R′ U′ sind nützlich, weil sie sehr wenig verändern. R U R′ U′ betrifft nur eine Handvoll Steine nahe einer Ecke. Die Wirkung auf die untere Schicht hebt sich nach einem Durchgang auf, genau wie für den Schritt der ersten Schicht benötigt. Die Gruppentheorie, der mathematische Bereich über solche Zugfolgen, nennt R U R′ U′ den Kommutator von R und U. Kommutatoren zweier Züge, die sich nur in wenigen Steinen überschneiden, bewegen nur wenige Steine. Die meisten Formeln fortgeschrittener Methoden werden daraus aufgebaut.

43.252.003.274.489.856.000 Stellungen

Woher kommen 43.252.003.274.489.856.000? Man zählt zunächst die möglichen Anordnungen der Steine und dann diejenigen, die durch Drehen tatsächlich erreichbar sind.

Nehmen Sie den Würfel auseinander. Die acht Ecksteine lassen sich in 8! = 40.320 Reihenfolgen auf die acht Eckplätze verteilen, und jeder kann in drei Verdrehungen sitzen: 3⁸. Die zwölf Kantensteine lassen sich in 12! = 479.001.600 Reihenfolgen einsetzen, jeder mit zwei Kippungen: 2¹². Multipliziert ergibt das 519.024.039.293.878.272.000 Möglichkeiten, einen Würfel zusammenzusetzen.

Durch Drehen sind nicht alle erreichbar. Drei Regeln gelten für jede durch Drehen erreichbare Stellung, und nur für diese:

1. Verdrehung. Nummeriert man die Verdrehungen der Ecksteine mit 0, 1 und 2, ist ihre Summe über alle acht immer ein Vielfaches von 3. Sobald sieben Ecksteine verdreht sind, hat der achte daher keine Wahl: durch 3 teilen.
2. Kippung. Nummeriert man die Kippungen mit 0 und 1, ist ihre Summe über alle zwölf Kantensteine immer gerade. Der zwölfte Kantenstein hat keine Wahl: durch 2 teilen.
3. Vertauschungen. Jede Vierteldrehung einer Fläche vertauscht Ecksteine ungerade oft und Kantensteine ungerade oft. Daher sind Ecksteine und Kantensteine stets gemeinsam gerade oft oder gemeinsam ungerade oft vertauscht. Nur zwei Kantensteine zu vertauschen ist unmöglich: durch 2 teilen.

519.024.039.293.878.272.000 ÷ 3 ÷ 2 ÷ 2 = 43.252.003.274.489.856.000, beziehungsweise wie auf der Bühne geschrieben 8! × 3⁷ × 12! × 2¹¹ ÷ 2. Universitäre Vorlesungsunterlagen, etwa Janet Chens Notizen zur Gruppentheorie und zum Würfel, beweisen, dass diese Regeln nicht nur notwendig, sondern hinreichend sind: Jede Anordnung, die alle drei erfüllt, lässt sich durch Drehen erreichen. Deshalb funktioniert der Lösungsalgorithmus dieser Seite für jeden gefärbten Würfel, der diese Prüfungen besteht.

Was das für einen zerlegten Würfel bedeutet

Ein zufällig zusammengesetzter Würfel erfüllt die Verdrehungsregel mit Wahrscheinlichkeit 1 zu 3, die Kippungsregel mit 1 zu 2 und die Vertauschungsregel mit 1 zu 2. Zusammen ergibt das 1 zu 12. In elf von zwölf Fällen lässt sich ein achtlos zerlegter und wieder zusammengesetzter Würfel niemals durch Drehen lösen, wie geschickt der Lösende auch ist. Das Prüfprogramm bestätigt dies mit 24.000 zufällig zusammengesetzten und geprüften Würfeln; etwa 8,3 % bestehen.

Der Färbemodus erlaubt, absichtlich einen solchen Würfel zu bauen. „Eckstein verdrehen“ verdreht einen Eckstein am Platz, „Kantenstein kippen“ kippt einen Kantenstein, „Zwei Kantensteine tauschen“ vertauscht zwei Kantensteine. Jedes Mal lehnt die Seite ab und nennt die verletzte Regel. Dieselbe Prüfung entdeckt Fehler beim Übertragen des eigenen Würfels: eine Farbe auf zehn statt neun Aufklebern, einen Eckstein mit unmöglichen Farben oder einen Kantenstein wie Weiß-Gelb, den kein Würfel besitzt, zwei vertauschte Aufkleber eines Ecksteins mit falscher Farbreihenfolge oder einen doppelt vorkommenden Stein.

Wie lange das Durchsehen dauern würde

Bei einer Stellung pro Sekunde würde es etwa 1,37 Billionen Jahre dauern, alle zu sehen. Nach den Ergebnissen des Planck-Satellitenteams von 2018 ist das Universum etwa 13,8 Milliarden Jahre alt. Das entspricht also ungefähr dem 99-Fachen seines Alters. Das Feld „Ich“ und das Labor verwenden Ihren Geburtstag und geben an, welchen Anteil Sie bis heute bei einer Stellung pro Sekunde gesehen hätten: bei jedem lebenden Menschen weit unter einem Millionstel Prozent. Bei einer Milliarde Stellungen pro Sekunde, der Geschwindigkeit des Programms für Gottes Zahl, wächst der Anteil bei einem langen Leben auf wenige Prozent.

Der 2×2 und der 4×4

Der 2×2 hat nur Ecksteine. Ohne Mittelsteine zur Festlegung der Ausrichtung wird ein Eckstein festgehalten, damit jede Stellung einmal zählt: 7! × 3⁶ = 3.674.160 Stellungen. Das ist wenig genug, dass ein Computer sie in wenigen Augenblicken alle prüft.

Der 4×4 besitzt 8 Ecksteine, 24 Kantensteine und 24 Mittelsteine, aber keine feststehenden Mittelsteine. Deshalb zeigt er Situationen, von Würfellösern Paritätsfälle genannt, die beim 3×3 unmöglich aussehen. Wieder mit einem festgehaltenen Eckstein besitzt er 7! × 3⁶ × 24! × 24! ÷ (4!)⁶ = 7.401.196.841.564.901.869.874.093.974.498.574.336.000.000.000 Stellungen, etwa 7,4 × 10⁴⁵. Das Prüfprogramm berechnet beide Anzahlen mit exakten ganzen Zahlen und zeigt sie in der Größenansicht.

Gottes Zahl

Manche Stellungen benötigen viele Züge. Wie groß ist die Zugzahl der schwierigsten Stellung, wenn stets die kürzestmögliche Lösung verwendet wird? Würfellöser nennen sie Gottes Zahl. Seit dem Erscheinen des Würfels bis 2010 blieb diese Frage offen.

Tomas Rokicki, Herbert Kociemba, Morley Davidson und John Dethridge fassen die Geschichte in ihrer Arbeit im SIAM Journal on Discrete Mathematics von 2013 zusammen. Gezählt in der Halbzugmetrik verlief sie so:

Die untere Schranke 18 entstand durch Abzählen: Es gibt nicht genug Folgen mit höchstens 17 Zügen, um jede Stellung zu erreichen. Also muss mindestens eine Stellung wenigstens 18 benötigen. Die oberen Schranken lieferten zunächst Methoden, die immer innerhalb einer bestimmten Zugzahl enden, später zunehmend ausgeklügelte Computersuchen. Kunkles und Coopermans 26 benötigte 8000 CPU-Stunden und Terabytes an Speicherplatz.

Wie 20 bewiesen wurde

Der Beweis von 2010 löste nicht jede Stellung optimal. Er teilte alle Stellungen in 2.217.093.120 Gruppen, sogenannte Nebenklassen, mit jeweils 19.508.428.800 Stellungen auf. Durch die Symmetrie des Würfels sank die Zahl zu bearbeitender Gruppen auf 55.882.296. Für jede Gruppe wurde gezeigt, dass jede ihrer Stellungen in höchstens 20 Zügen lösbar ist. Das zentrale Programm verarbeitete auf einem einzelnen Desktopprozessor etwa eine Milliarde Stellungen pro Sekunde. Der gesamte Lauf fand im Juli 2010 auf Googles Servern statt; ein einzelner Nehalem-Desktopprozessor hätte etwa 35 CPU-Jahre benötigt. Morley Davidson ist Mathematiker an der Kent State University. Kociemba stellte 1992 den Zweiphasenalgorithmus vor, die Grundlage vieler seitheriger schneller Lösungsprogramme.

Als Nebenergebnis fanden die Autoren die genaue Anzahl der Stellungen mit genau 15 Zügen Abstand: 91.365.146.187.124.313. Die Labortabelle zeigt die Anzahlen für jede Entfernung. Bis 15 sind sie exakt. Ab 16 sind es Schätzungen der Autoren: etwa 1,1 × 10¹⁸ bei 16 Zügen, 1,2 × 10¹⁹ bei 17, 2,9 × 10¹⁹ bei 18, 1,5 × 10¹⁸ bei 19 und nur etwa 300 Millionen bei 20. Eine zufällige Stellung ist also fast immer 17 oder 18 Züge entfernt. Eine Stellung, die volle 20 benötigt, ist seltener als 1 zu 100.000.000.000.

Richard Korf von der UCLA fand 1997 die ersten optimalen Lösungen zufälliger Stellungen mit einer Suche, die etwa einen Tag pro Stellung benötigte. Er schätzte den Median der optimalen Länge auf 18 Züge, passend zu den späteren Anzahlen.

Der Superflip

Beim Superflip sind alle Ecksteine richtig eingesetzt, und alle Kantensteine sitzen am richtigen Platz, sind aber gekippt. Michael Reid bewies 1995, dass dafür 20 Züge nötig sind. Damit stieg die untere Schranke auf 20. Die Seite zeigt eine erzeugende Folge mit 20 Zügen: U R2 F B R B2 R U2 L B2 R U′ D′ R2 F R′ L B2 U2 F2. Da der Superflip sein eigenes Gegenteil ist, weil zweimaliges Kippen aller Kantensteine ihn rückgängig macht, lösen dieselben 20 Züge den Würfel beim Wiederholen. Der elfte Anleitungsschritt tut genau dies. Die Musterliste erlaubt, ihn selbst zu erzeugen.

Andere Zählweisen

Für die Viertelzugmetrik, in der eine halbe Drehung doppelt zählt, nennt die Arbeit von 2013 eine untere Schranke von 26 und eine obere von 29 und erwartet 26 als Antwort. Für die Schichtzugmetrik, in der Mittelschichten als ein Zug zählen, nennt sie 18 bis 20 und erwartet 18.

Größere Würfel und schwierigere Fragen

Für einen n×n×n-Würfel zeigten Erik Demaine und Kollegen am MIT 2011, dass Gottes Zahl proportional zu n² ÷ log n wächst. Die Teilezahl wächst wie n². Ein großer Würfel braucht daher weniger Züge pro Teil als ein kleiner, weil eine Drehung bei vielen Teilen gleichzeitig Fortschritt erzielen kann.

Die kürzeste Lösung einer bestimmten Stellung zu finden ist eine andere Frage. Demaine, Sarah Eisenstat und Mikhail Rudoy bewiesen 2017: Für allgemeine n×n×n-Würfel ist die Entscheidung, ob eine Stellung innerhalb einer vorgegebenen Zugzahl lösbar ist, NP-vollständig. Bei wachsenden Würfeln ist keine stets schnelle Methode bekannt. Eine solche zu finden würde eines der zentralen offenen Probleme der Informatik lösen. Für den 3×3 selbst ist die Frage endlich und wurde durch vollständiges Durchprobieren mit vielen zusätzlichen geschickten Verfahren beantwortet.

Computer, Netze und eine Roboterhand

Computer lösen den 3×3 auf zwei ganz unterschiedliche Arten.

Die erste ist Suche mit Nachschlagetabellen. Korfs Lösungsprogramm von 1997 und Kociembas Zweiphasenalgorithmus berechnen vorab Tabellen für die Entfernung bestimmter Würfelteile vom gelösten Zustand. Anschließend suchen sie Zugfolgen und schneiden anhand der Tabellen erfolglose Suchzweige ab. Die Kreuzphase dieser Seite ist ein kleines Beispiel: Eine vorberechnete Tabelle mit 190.080 Anordnungen von vier Kantensteinen verrät, welcher Zug das Kreuz einen Schritt näher bringt.

Die zweite ist Lernen. Ein Team der University of California, Irvine, aus Stephen McAleer, Forest Agostinelli, Alexander Shmakov und Pierre Baldi trainierte ein neuronales Netz zur Schätzung der Entfernung einer Stellung vom gelösten Zustand. Es begann beim gelösten Würfel und arbeitete rückwärts, ohne eine menschliche Methode vorgegeben zu bekommen. Sein 2019 in Nature Machine Intelligence veröffentlichtes Programm DeepCubeA löste jede getestete Stellung und fand in 60,3 % der Fälle eine kürzeste Lösung.

2019 trainierte ein Team von OpenAI eine menschenähnliche Roboterhand in einer Simulation und ließ sie anschließend einen echten Würfel drehen. Die Hand übernahm die körperliche Drehung; welche Züge auszuführen waren, bestimmte ein Kociemba-Lösungsprogramm. Mischstellungen mit 15 erforderlichen Flächendrehungen löste sie in 60 % der Fälle, die schwierigsten Mischstellungen mit 26 Vierteldrehungen in 20 % der Fälle.

Speedcubing und die World Cube Association

Die World Cube Association (WCA) wurde 2004 gegründet und regelt Wettkämpfe für Drehpuzzles. Sie wird fast vollständig von Freiwilligen betrieben. Mehr als 245.000 Menschen aus 158 Regionen haben teilgenommen, und alle zwei Jahre findet eine Weltmeisterschaft statt.

Was bei einem Wettkampf geschieht

Nach WCA-Regeln erhält ein Teilnehmer strikt weniger als 15 Sekunden, um den gemischten Würfel zu betrachten. Gemessen wird mit einem Zeitmesser mit zwei Handauflagen. Die Uhr beginnt, sobald die Hände diese verlassen. Die meisten Disziplinen verwenden einen Durchschnitt aus 5: fünf Lösungen, von denen die beste und schlechteste entfallen und die drei übrigen gemittelt werden. Die Ergebniskarte auf dem Tisch im Raum zeigt eine solche Runde: 9,84, 7,12, 8,95, 12,40 und 9,31 Sekunden ergeben einen Durchschnitt von 9,37.

Mischfolgen sind keine zufälligen Drehungen. Regel 4b3 verlangt, dass ein offizielles Mischprogramm aus allen Stellungen mit mindestens zwei erforderlichen Lösungszügen eine gleichverteilt zufällige Stellung erzeugt. Anschließend schreibt es eine Zugfolge auf, die diese Stellung herstellt. Der freie Spielmodus dieser Seite tut dasselbe: „Mischen“ wählt gleichverteilt zufällig eine aller lösbaren Stellungen.

Die Rekorde

Mit Stand vom 20. Oktober 2026 nennt die WCA-Rekordseite folgende Weltrekorde:

Der 3×3-Einzelrekord wurde häufig gebrochen. Die WCA-Geschichte beginnt mit Minh Thais 22,95 Sekunden bei der ersten Weltmeisterschaft am 5. Juni 1982 in Budapest mit 19 Teilnehmern. Bei der Weltmeisterschaft 2003 in Toronto erreichte Jess Bonde 16,53 Sekunden. Dan Knights gewann die Disziplin mit durchschnittlich 20,00. Der Rekord sank 2007 unter 10 Sekunden, 2015 unter 5 (Lucas Etter, 4,90) und 2018 unter 4 (Yusheng Du, 3,47). Im Oktober 2017 hielt ihn SeungBeom Cho aus Korea mit 4,59 Sekunden. Max Park erreichte 2023 3,13, Xuanyi Geng im April 2025 3,05, Teodor Zajder im Februar 2026 2,76, und am 5. Oktober 2026 stellte Xuanyi Geng die aktuellen 2,51 auf.

Der Bereich „Ich“ des Labors vergleicht Ihre Bestzeit mit dem Rekord: Bei einer Minute sind Sie etwa 24-mal langsamer, und der Rekordhalter könnte in Ihrer Zeit 23 Würfel lösen.

Blind, einhändig, wenigste Züge

Beim Blindlösen beginnt zuerst die Zeitmessung. Der Teilnehmer betrachtet den Würfel in der Merkphase, setzt eine Augenbinde auf und löst ihn ungesehen. Die gemessene Zeit schließt das Merken ein. Notizen sind nicht erlaubt. Der Rekord von 11,56 Sekunden umfasst all dies.

Die Disziplin „Wenigste Züge“ ist das Gegenteil von Geschwindigkeit. Teilnehmer erhalten die Mischfolge, Papier und 60 Minuten. Die kürzeste aufgeschriebene Lösung gewinnt. Gezählt wird in der Outer-Block-Turn-Metrik, und die Lösung darf einschließlich Drehungen des ganzen Würfels nicht länger als 80 Züge sein. Der erste Weltrekord bei der Meisterschaft 2003 lag bei 29 Zügen. Den aktuellen Einzelrekord von 16 Zügen erreichte erstmals Sebastiano Tronto 2019; inzwischen zogen drei weitere gleich. Ein Ergebnis von 16 liegt unter 20, weil eine Wettkampfstellung selten zu den schwierigsten gehört: Die kürzeste Lösung der meisten Stellungen umfasst 17 oder 18 Züge. Für eine bestimmte Mischstellung von Hand eine 16 zu finden, erfordert Können und etwas Glück.

Eine kurze Geschichte

Die dokumentierte Geschichte des Würfels ist kurz und gut datiert. Larry Nichols meldete sein magnetisches 2×2-Patent am 4. März 1970 an, veröffentlicht wurde es am 11. April 1972. Ernő Rubik meldete das ungarische Patent 170062 für den 3×3 am 30. Januar 1975 an, veröffentlicht am 28. März 1977. Thistlethwaites 52-Züge-Methode, die erste garantierte obere Schranke für Gottes Zahl, stammt vom Juli 1981. Die erste Weltmeisterschaft fand 1982 in Budapest statt. Die moderne Wettkampfära begann mit der Meisterschaft 2003 in Toronto und der Gründung der WCA 2004. Die lange Suche nach Gottes Zahl endete im Juli 2010 mit dem Beweis, dass 20 Züge immer genügen.

Vieles andere, was über den Würfel erzählt wird, etwa Verkaufszahlen oder sein Eintreffen in bestimmten Ländern, ist populäre Geschichtsschreibung, die diese Seite nicht anhand einer Institution oder Fachzeitschrift überprüfen konnte. Deshalb lässt sie diese Angaben weg.

Wie das Modell dieser Seite funktioniert

Den Bühnenwürfel steuern 54 flächenweise nummerierte Aufkleber. Jeder Zug der Notation wird geometrisch erzeugt statt eingetippt: Jeder Aufkleber besitzt eine Position und eine nach außen weisende Richtung. Ein Zug dreht die Aufkleber seiner Schichten um 90 Grad um eine Achse. Anschließend ermittelt die Seite, wohin jeder Aufkleber gelangt ist. Dieselben Tabellen steuern den 3D-Würfel, den Lösungsalgorithmus und das Prüfprogramm. Der sichtbare und der gelöste Würfel sind dadurch derselbe.

Der 3D-Würfel besteht aus 26 abgerundeten Teilen und 54 Aufklebern, jede Art als ein instanziertes Mesh. Der ganze Würfel benötigt deshalb zwei Zeichenaufrufe. Eine Drehung rotiert die Teile einer Schicht. Danach rasten sie wieder an ihren Plätzen ein, und die Aufkleber erhalten ihre neuen Farben aus dem Zustand der 54 Aufkleber.

Das Ziehen funktioniert wie bei einem echten Würfel. Wenn Sie einen Aufkleber berühren und den Finger bewegen, prüft die Seite die beiden Richtungen entlang dieser Fläche, wählt die am Bildschirm Ihrer Bewegung nächstliegende und dreht die entsprechende Schicht: Nach oben ziehen an der rechten Spalte vorn ist R; seitliches Ziehen entlang der obersten Reihe ist U oder U′. Mittlere Reihen drehen Mittelschichten.

Der Lösungsalgorithmus ist die oben beschriebene Anfängermethode als Programm. Seine Kreuzphase verwendet eine Tabellensuche. Die übrigen Phasen folgen denselben Regeln wie ein Mensch, und die letzten Phasen probieren ihre Formel nach jeder der vier oberen Drehungen. Das Prüfprogramm löst 1000 Zufallsstellungen und 1000 zufällige Mischfolgen, prüft nach jeder Phase deren Ergebnis, überprüft alle Anzahlen mit exakten ganzen Zahlen und bestätigt, dass die Prüfung gefärbter Würfel jede echte Stellung annimmt und jede verdrehte, gekippte oder vertauschte ablehnt.

Was das Modell vereinfacht:

• Der Würfel ist ein 57-mm-Modell aus drei Teilen zu je 19 mm. Echte Würfel unterscheiden sich in Größe und Form; Federn und Füße sind gezeichnet, nicht vermessen.
• Drehungen sind perfekt: kein Drehen bei unvollständig ausgerichteten Ecken, kein Verklemmen und keine herausspringenden Teile.
• Diese Anfängermethode ist eine von vielen Versionen. Bücher und Lehrende verwenden unterschiedliche Formeln für die letzte Schicht.
• Die Tabelle zu Gottes Zahl verwendet für 16 bis 20 Züge die Schätzungen der Arbeit, mit ≈ gekennzeichnet.

Zum Ausprobieren

• Bleiben Sie im ersten Anleitungsschritt und beobachten Sie die gesamte Lösung. Drücken Sie anschließend „Langsam verfolgen“ und gehen Sie mit den Pfeilen dieselben 129 Züge durch.
• Ziehen Sie unter „Drehen“ die rechte Spalte der Vorderfläche nach oben. Das ist R. Ziehen Sie sie wieder herunter: R′. Führen Sie R U R′ U′ sechsmal aus und beobachten Sie die Rückkehr.
• Mischen Sie den Würfel und versuchen Sie das weiße Kreuz selbst. Das aufgefaltete Bild in der Ecke zeigt währenddessen die untere Fläche.
• Färben Sie Ihren eigenen Würfel. Halten Sie ihn mit Weiß oben und Grün vorn und färben Sie alle 54 Aufkleber. Bei Ablehnung nennt die Seite die verletzte Regel. Wurde er auseinandergebaut, muss möglicherweise ein Eckstein zurückgedreht werden.
• Geben Sie im Labor R U ein und drücken Sie „Berechnen“: 105. Probieren Sie dann R U2 D′ B D′.
• Erzeugen Sie den Superflip und spielen Sie dieselben 20 Züge erneut ab.
• Finden Sie die 14 versteckten Dinge im Raum. Zeitmesser, Ergebniskarte, Roboterhand und Patente öffnen jeweils eine Karte.