Origami: 20 Modelle Schritt für Schritt falten und öffnen

Ein Quadrat wird zum Vogel

Origami falten heißt, einen Bogen durch Falten statt durch Schneiden oder Kleben zu formen. Diese zwanzig Modelle reichen vom Becher bis zum Kranich; jeder Schritt lässt sich vorwärts und rückwärts ansehen. Ihre geöffneten Faltmuster zeigen, wo Berg- und Talfalten zusammentreffen.

Ein Quadrat mit 15 cm Seitenlänge wird nach etwa dreißig Faltungen zu einem Kranich, der auf dem Tisch steht. Nichts wurde abgeschnitten, angeklebt oder hinzugefügt. Hals, Kopf, beide Flügel und Schwanz lagen schon irgendwo in diesem Quadrat. Die Falten haben sie nur verschoben.

Die Ausstellung faltet zwanzig Modelle Schritt für Schritt: einen Becher, einen Samuraihelm, Hunde-, Fuchs- und Katzengesicht, Tulpe, Herz, Papierhut, Segelboot, Maus, Zikade, Schwan, Pinguin, Himmel und Hölle, achtzackigen Stern, Wasserbombe, Schmetterling, Springfrosch, Kranich und Flattervogel. Jedes lässt sich abspielen, verlangsamen, mit den Pfeilen schrittweise falten oder rückwärts bis zum flachen Bogen öffnen.

Am Anfang faltet sich eine Karteikarte in etwa fünf Sekunden zum Springfrosch, der dann hüpft. Danach öffnet sich über der Schrittleiste die Auswahl der zwanzig fertigen Modelle. Jede Karte zeigt eine aus dem gefalteten Modell gezeichnete Ansicht mit Schwierigkeit und Schrittzahl. Ein orangefarbenes Schild empfiehlt das nächste Modell.

Rund um den Tisch gibt es vier weitere Dinge zu sehen. Das Faltmuster zeigt das fertige Modell aufgefaltet, mit farbigen Berg- und Talfalten. Das Faltlabor fragt, wie oft Papier halbiert werden kann, und verfolgt den Stapel bis über den Mond hinaus. Die Weltraumansicht öffnet ein Miura-gefaltetes Solarpanel mit einem Zug. Dazu lassen sich der Rekordkranich mit 81,94 m Spannweite oder tausend kleine Kraniche an Fäden einblenden.

Die Faltzeichen auf der Bühne lesen

Origamibücher verwenden eine kleine Zahl von Zeichen. Die Bühne benutzt dieselben.

• Talfalte: eine blaue gestrichelte Linie. Das Papier auf einer Seite bewegt sich nach oben und nach vorn, sodass die Falte wie ein Tal einsinkt.
• Bergfalte: eine rote Strichpunktlinie. Das Papier bewegt sich nach hinten, von Ihnen weg, sodass die Falte wie ein Bergrücken hervorsteht.
• Pfeil: zeigt, welcher Teil sich bewegt und wo er landet.
• Falten und öffnen: Das Papier wird gefaltet und gleich wieder geöffnet. Eine Linie für später bleibt zurück.
• Wenden: Das ganze Modell wird wie ein Pfannkuchen umgedreht.
• Umkehrfalte: Eine bereits halbierte Lasche wird nach innen umgestülpt (innere Umkehrfalte) oder um ihre Außenseite herumgelegt (äußere Umkehrfalte).

Mit Hände erscheinen zwei Modellhände. Eine hält die bewegte Kante, die andere drückt das übrige Papier flach. Die Anzeige zählt die Papierflächen, die Faltlinien und die Lagen an der dicksten Stelle. Außerdem prüft sie an jedem inneren Punkt zwei Gesetze des flachen Faltens. Dazu unten mehr.

Über der Schrittleiste stehen drei Tasten. Modelle öffnet die Auswahl. Von Hand falten lässt Sie jede Bewegung selbst durch Ziehen ausführen. Öffnen und prüfen legt das fertige Modell mit eingezeichneten Falten flach und prüft beide Gesetze an einem angetippten Knoten. Alle drei Funktionen werden unten erläutert.

Tal und Berg sind dieselbe Falte von entgegengesetzten Seiten. Nach einer Talfalte wird der Bogen gewendet, und die Falte ist nun ein Berg. Deshalb nennt jedes Faltmuster die betrachtete Seite. Hier ist das stets die Vorderseite, die farbige Papierseite.

Zwanzig Modelle in drei Stufen

Die Modelle sind nach der nötigen Sorgfalt geordnet, nicht nach der Zahl ihrer Schritte.

Leicht (★). Der Becher braucht sechs Schritte und hält eine Weile Wasser. Der Samuraihelm, Kabuto, wird in Japan zum Kindertag gefaltet. Aus einer Zeitung passt er auf einen Kinderkopf. Hunde-, Fuchs- und Katzengesicht beginnen mit demselben Dreieck. Nur die Richtung der Ecken unterscheidet sich: Neben dem Gesicht nach unten ergeben sie Schlappohren, über die Oberkante zurück nach oben spitze Ohren. Die Tulpe kreuzt zwei Ecken oben zu Blütenblättern. Beim Herz wird zweimal gewendet und werden Kanten zur Mitte gefaltet. Der Papierhut ist der Zeitungshut, dessen Krempe die Ecken sichert. Das Segelboot gewinnt zwei Segel aus den zwei Lagen eines Dreiecks.

Mittel (★★). Die Zikade, japanisch Semi, faltet zuerst die Flügel und dann den gestreiften Kopf. Der Schwan verwendet zweimal Drachenfalten, bevor sich sein Hals aufrichtet. Der Pinguin beginnt mit Weiß oben, damit die Flügel dunkel werden. Himmel und Hölle faltet zweimal die Ecken zur Mitte. Der achtzackige Stern macht dasselbe und wendet die Spitzen danach wieder nach außen. Bei der Maus hebt eine innere Umkehrfalte den Schwanz.

Schwer (★★★). Wasserbombe, Schmetterling und Springfrosch beginnen mit der Wasserbombenbasis. Dabei werden sechs in der Mitte zusammentreffende Falten gemeinsam zusammengelegt. Kranich und Flattervogel teilen die Vogelbasis, die aus einer Quadratbasis und zwei Blütenblattfalten entsteht.

Die meisten Modelle sind traditionell: seit Generationen gefaltet, ohne bekannten Urheber. Vier, das Segelboot, der Pinguin, die Maus und der achtzackige Stern, sind einfache Faltfolgen für diese Ausstellung und in der Sammlung entsprechend gekennzeichnet. Hier wird kein Entwurf eines namentlich bekannten Origamikünstlers verwendet.

Die Bewegungen hinter jedem Modell

Zwanzig Modelle klingen nach zwanzig verschiedenen Dingen, die man lernen muss. Tatsächlich bestehen sie aus wenigen Bewegungen.

Eine Tal- oder Bergfalte dreht einige Lagen um eine gerade Linie um 180 Grad. Welche Lagen mitgehen, entscheidet das Papier selbst. Die Faltung beginnt bei den angehobenen Lagen, und alles, was auf dieser Seite der Linie mit ihnen verbunden ist, kommt mit. Sind diese Lagen irgendwo außer an der Faltlinie mit der anderen Seite verbunden, würde das Papier reißen. Das Programm dieser Seite verweigert eine solche Falte, genau wie echtes Papier.

Falten und öffnen hinterlässt eine Linie für später. Viele schwierigere Modelle beginnen mit mehreren solchen Faltungen, weil eine spätere Bewegung eine vorgegebene Biegestelle braucht.

Wenden faltet nichts. Es macht nur die nächste Faltung von der anderen Seite leichter sichtbar.

Eine Umkehrfalte arbeitet mit einer bereits halbierten Lasche. Beim Schwanenhals sind das zwei Lagen, die an einer geschlossenen Kante, dem Rücken, verbunden sind. Um den Hals anzuheben, öffnet man beide Lagen etwas und stülpt die Spitze um den Rücken um. Sie zeigt dann zwischen den Lagen nach oben (innen) oder legt sich um sie herum (außen). Beide Lagen falten gleichzeitig entlang derselben Linie in entgegengesetzte Richtungen.

Beim Zusammenlegen werden mehrere Falten gemeinsam bewegt. In der Wasserbombenbasis treffen in der Quadratmitte sechs Faltlinien zusammen: die beiden Diagonalen und eine Mittellinie. Ein Druck auf die Mitte faltet den ganzen Bogen mit einer Bewegung zum Dreieck. Auf der Bühne wird das exakt berechnet. Durch Symmetrie bleibt eine Faltlinie in einer senkrechten Ebene; die Winkel zwischen benachbarten Linien bestimmen die Richtung aller anderen, während sich das Papier schließt.

Die Blütenblattfalte und die Quetschfalte des Kranichs funktionieren ähnlich. Mehrere Linien bewegen sich zugleich; keine einzelne ist ein Scharnier für das ganze Papier. Der Kranich hier benutzt dieselben Bewegungen wie die Kranich-Ausstellung, die sie als kleine Gelenkgetriebe löst.

Grundformen, mit denen viele Modelle beginnen

Schon lange fiel Faltenden auf, dass viele Modelle dieselben ersten Schritte teilen. Diese gemeinsamen Zwischenformen heißen Grundformen oder Basen.

• Drachenbasis: Zwei Kanten werden zu einer Diagonalen gefaltet. Schwan und Maus beginnen hier.
• Wasserbombenbasis: ein Dreieck mit zwei Laschen auf jeder Seite, entstanden aus dem Zusammenlegen von sechs Falten. Wasserbombe, Schmetterling und Springfrosch beginnen hier.
• Quadratbasis, auch Vorbasis genannt: ein kleines Quadrat mit vier Laschen, aus den zusammengelegten Diagonalen und beiden Mittellinien.
• Vogelbasis: eine Quadratbasis mit zwei Blütenblattfalten, eine lange Raute mit vier Spitzen. Kranich und Flattervogel beginnen hier.

Grundformen zeigen, wie Origamientwürfe funktionieren. Die Vogelbasis gewinnt vier lange Spitzen aus vier Ecken. Der Kranich verwendet zwei für Hals und Schwanz und zwei für die Flügel. Der Flattervogel nutzt dieselben vier Spitzen, verschmälert Hals und Schwanz aber nicht. Deshalb bleiben seine Flügel beweglich.

Warum sich das Papier auf der Bühne nie dehnt

Papier dehnt sich kaum. Erlaubt eine Simulation Dehnung, kann ein Ergebnis richtig aussehen und trotzdem unmöglich zu falten sein.

Das Programm behandelt den Bogen als Menge flacher Flächen. Vor jeder Faltung wird jede von der Faltlinie gekreuzte Fläche an dieser Linie geteilt, sodass jede Fläche nur als starre Platte dreht. Keine verändert Form oder Größe; die Papierfläche bleibt genau so groß wie das Quadrat. Die Anzeige nennt das „Papierfläche erhalten 100 %“. Jede Faltung spiegelt einige Flächen an der Faltlinie, während ihre Kanten mit den Nachbarn verbunden bleiben. Eine Prüfung aller Modelle untersucht in jedem Faltzustand, ob benachbarte Flächen weiterhin dieselben gemeinsamen Kanten haben. Sie treffen bis auf ein Millionstel der Bogengröße zusammen.

Echtes Papier hat Dicke, und echte Falten sind gerundet. Die Bühne trennt gestapelte Lagen durch einen kleinen Abstand, bei einem 15-cm-Quadrat etwa 0,24 mm. Dünne Streifen verbinden benachbarte Flächen auf verschiedenen Höhen, damit kein Spalt sichtbar wird. Gezeichnete Papierdicke verkleinert oder vergrößert diesen Abstand, von Seidenpapier bis Karton.

Lagen: Welche Lasche liegt oben?

Wenn Papier auf Papier gelegt wird, zählt die Reihenfolge. Eine nach vorn gefaltete Lasche liegt über allem, was sie verdeckt. Nach hinten gefaltet liegt sie darunter. Eine innere Umkehrfalte schiebt die Spitze zwischen die zwei Hälften der Lasche.

Die Bühne führt für jede Fläche eine Lagennummer. Nach jeder Bewegung werden die Nummern neu verdichtet. Zwei Flächen behalten ihre Reihenfolge nur dort, wo sie sich tatsächlich überdecken; andernorts dürfen sie dieselbe Höhe teilen. So bleibt der Stapel so dünn, wie die Faltung erlaubt.

Zwei Arten unmöglicher Lagenfolgen werden in jedem flachen Zustand aller Modelle gesucht.

• An einer Faltkante kehrt Papier um. Liegt eine andere Lage zwischen den beiden Seiten dieser Falte und überquert ihre Linie, müsste das Papier hindurchgehen.
• Liegen zwei Falten auf derselben Linie und öffnen zur selben Seite, müssen ihre Lagenbereiche ineinanderliegen oder getrennt sein. Greifen sie abwechselnd ineinander, würden sich beide Falten durchschneiden.

Alle flachen Zustände aller zwanzig Modelle bestehen beide Prüfungen. Zusätzlich werden mehrere Zeitpunkte jeder Bewegung auf ein Durchdringen von Flächen untersucht. Zwei Bewegungsarten sind vereinfacht dargestellt; siehe unten „So funktionieren die Modelle auf dieser Seite“.

Maekawas Satz

Ein beliebiges flaches Origamimodell öffnen und einen inneren Punkt betrachten, an dem Falten zusammentreffen. Zählt man Berge und Täler, beträgt der Unterschied immer zwei.

Warum? Das Papier flach falten und einen winzigen Kreis um diesen Punkt ausschneiden. Sein Rand ist nun ein flacher Zickzack, wie ein Fächer von oben. Beim Umlaufen wendet jedes Tal den Rand in eine Richtung zurück, jeder Berg in die andere. Der Rand bildet eine geschlossene Runde; die Drehungen müssen entsprechend zusammenpassen. Daraus folgt M − V = 2 oder M − V = −2, je nach betrachteter Seite. Thomas Hulls Überblick nennt diesen Beweis, schreibt ihn Siwanowicz zu und schildert die Geschichte des Satzes.

Daraus folgt eine gerade Zahl von Falten an jedem inneren Punkt einer flachen Faltung: M + V = (M − V) + 2V, und M − V ist plus oder minus 2.

Mit Maekawa und Kawasaki je Knoten erhält jeder innere Punkt im Faltmuster einen grünen Punkt bei bestandener Prüfung oder einen roten bei Fehlern sowie zwei Zahlen für Berg und Tal. Bei allen zwanzig Modellen bestehen sämtliche Knoten. Die Vogelbasis des Kranichs hat einen Knoten mit 4 Berg- und 2 Talfalten sowie Punkte, an denen eine gerade Falte aus 2 Bergfalten einfach durchläuft.

Kawasakis Satz

Maekawa zählt Falten, Kawasaki misst die Winkel dazwischen. Um einen Knoten werden die Winkel zwischen benachbarten Linien mit 1, 2, 3 und so weiter nummeriert. Flaches Falten ist nur möglich, wenn die ungeraden Winkel zusammen 180 Grad ergeben und die geraden ebenfalls.

Auch hier ist die Begründung kurz. Falten an einer Linie spiegelt eine Papierseite auf die andere. Eine Runde um den Knoten überquert jede Faltlinie: Jede Überquerung ist eine Spiegelung, und am Ende muss man wieder am Ausgangspunkt sein. Zwei Spiegelungen ergeben eine Drehung um den doppelten Winkel zwischen ihren Linien. Die ganze Runde dreht daher um die doppelte alternierende Winkelsumme. Damit sie zum Anfang zurückführt, muss a1 − a2 + a3 − a4 und so weiter gleich 0 sein. Da alle Winkel zusammen 360 Grad ergeben, entspricht das zwei alternierenden Summen von je 180.

Für einen einzelnen Knoten ist Kawasakis Satz vollständig: Bei alternierender Summe null existiert eine Möglichkeit, ihn flach zu falten. Der MIT-Kurs 6.849, Geometric Folding Algorithms, behandelt beide Sätze in der dritten Vorlesung. Spätere Folien datieren Maekawas und Kawasakis Entdeckungen auf die frühen 1980er-Jahre.

Die Fragen unter den Bedienelementen betreffen beide Sätze und sind allein aus dem Fragetext lösbar. Maekawa nennt die Gesamtzahl der Falten und die häufigere Art. Da der Unterschied 2 beträgt, hat die häufigere Art (n + 2) / 2 Falten. Kawasaki listet vier Winkel im Uhrzeigersinn ab der nach oben zeigenden Linie, ersetzt einen durch ein Fragezeichen und zeichnet den Knoten daneben. Der fehlende Winkel ist 180 Grad minus dem gegenüberliegenden Winkel.

Wenn örtliche Regeln nicht genügen

Maekawa und Kawasaki betreffen jeweils nur einen Knoten. Ein Muster kann beide an jedem Punkt erfüllen und trotzdem nicht flach faltbar sein, weil die Lagen an einem Punkt die an einem anderen blockieren.

1996 bewiesen Marshall Bern und Barry Hayes, dass die Entscheidung über flache Faltbarkeit allgemein NP-schwer ist. Selbst eine gültige Lagenfolge zu finden, wenn Berg und Tal bereits feststehen, ist NP-schwer. Praktisch heißt das: Niemand kennt eine schnelle Methode, die jedes große Muster löst. Wahrscheinlich existiert keine.

Die Bühne muss dieses Problem nicht lösen, denn sie beginnt nie allein mit einem Faltmuster. Sie faltet wie ein Mensch Schritt für Schritt, und jeder Schritt legt die neuen Lagenpositionen fest. Danach bestätigen die Prüfungen die örtlichen Sätze und die Lagenregeln.

Modelle wählen und als Nächstes falten

Die Auswahl zeigt alle zwanzig fertigen Modelle zugleich. Die Bilder sind keine Fotos. Sie werden aus demselben gefalteten Modell wie auf der Bühne gezeichnet: Jedes Papierstück liegt an seiner Endposition und wird je nach sichtbarer Seite schattiert. Oben lässt sich nach Schwierigkeit filtern. Jede Karte nennt die Schrittzahl dieser Seite.

Das orange Schild Als Nächstes folgt einer einfachen Regel. Bis zwei leichte Modelle fertig sind, empfiehlt es ein leichtes. Dann ein mittleres, bis auch davon zwei fertig sind, anschließend ein schweres. Innerhalb einer Stufe wählt es das noch nicht gefaltete Modell mit den wenigsten Schritten. Nur selbst gefaltete Modelle zählen. Der Frosch am Anfang und die Vorführungen der Anleitung laufen automatisch und kommen nicht in die Sammlung. Nach einem fertigen Modell nennt ein kurzer Hinweis den nächsten Vorschlag.

Schrittzahlen sind nur ein grober Hinweis auf Schwierigkeit. Das Segelboot braucht fünf Schritte, der Hut sieben. Doch dessen letzter Schritt, die Krempe zu sichern, braucht mehr Sorgfalt als alles am Boot. Die Stufen bewerten die Feinheit der Bewegungen. Deshalb ist der Stern mit 15 Schritten mittel und der Frosch mit 10 schwer.

Mit eigener Hand falten

Mit Von Hand falten hört die Kamera auf, sich zu drehen. Ziehen bewegt nun das Papier. Entlang des orangefarbenen Pfeils folgt die Lasche dem Zeiger. Nach der Hälfte losgelassen bleibt die Faltung bestehen; vorher losgelassen springt sie zurück. In Gegenrichtung gezogen öffnet sich der vorige Schritt. Ein Hinweis zählt die von Hand ausgeführten Schritte.

Die Zugrichtung ergibt sich aus der Bewegung: Der Pfeil führt vom Mittelpunkt der bewegten Flächen zum Mittelpunkt ihrer Zielposition. Die Bühne projiziert ihn aus der aktuellen Kameraposition auf den Bildschirm. Wenden oder Drehen des ganzen Bogens hat keinen Pfeil; dafür wird seitlich gezogen.

Ein ganzes Modell so zu falten ist eine Aufgabe. Dabei fällt auf, was beim Abspielen leicht verborgen bleibt: der Weg einer Spitze bei der Umkehrfalte oder die Zahl gemeinsam bewegter Lagen beim Zusammenlegen.

Ein Modell öffnen und einen Knoten prüfen

Öffnen und prüfen spielt das Modell bis zum flachen Bogen rückwärts und zeichnet sein fertiges Muster direkt auf das Papier. Täler sind blaue Striche, Berge rote Strichpunkte. An jedem inneren Knoten mit mindestens vier Falten steht ein grüner Punkt. Antippen öffnet seine Karte. Sie zählt Berg und Tal und zeigt den Unterschied 2. Sie zeichnet sämtliche Winkel ein, liest sie im Uhrzeigersinn ab der nach oben zeigenden Falte und addiert jeden zweiten: Beide Summen sind 180 Grad. Kartenpfeile wechseln den Knoten; geprüfte Punkte werden violett.

Der Samuraihelm eignet sich als erster Versuch. Seine Mitte hat sechs Falten, von oben 2 Berge und 4 Täler; von der farbigen Vorderseite sind es 4 und 2. Die Winkel lauten 90, 45, 45, 90, 45 und 45 Grad. Damit sind 90 + 45 + 45 = 180 und 45 + 90 + 45 = 180. Seine zwei anderen Knoten haben ebenfalls sechs Falten mit Winkeln von etwa 26, 64 und 90 Grad. Drei verschiedene Punkte eines Modells zu prüfen ist eine Aufgabe.

Einige Modelle, darunter der Helm, beginnen mit Weiß oben. Ihr Faltmuster wird von oben betrachtet; eine von der Vorderseite aus so genannte Bergfalte erscheint daher als Tal. Ein Hinweis erklärt das beim Öffnen. Es ist dieselbe Regel wie zuvor: Ein Berg von der anderen Seite ist ein Tal.

Der Kranich hat eine eigene Ausstellung, die ihn Schritt für Schritt faltet und sein Faltmuster Linie für Linie liest: Wie man einen Papierkranich faltet. Hier ist er eines von zwanzig Modellen. Sein Muster eignet sich zum Faltmuster erkennen: Becher und Hundegesicht sehen fertig völlig verschieden aus, doch beide Muster bestehen aus wenigen Linien quer durch ein Quadrat.

Wie oft lässt sich Papier halbieren?

Eine alte Behauptung besagt, Papier könne höchstens sieben- oder achtmal halbiert werden. Das stimmt nicht, kommt aber der Grenze eines gewöhnlichen Bogens in gewöhnlichen Händen nahe. Jede Faltung verdoppelt die Dicke und halbiert die Größe.

Bei 0,1 mm dickem Kopierpapier ergibt einmaliges Falten 2 Lagen und 0,2 mm. Nach 7 Faltungen sind es 128 Lagen und 12,8 mm. Von einem A4-Bogen ausgehend ist das für die verbleibende Größe sehr dick. Das Papier ist nun zu dick, um sich bei dieser Länge noch herumzubiegen.

Am 27. Januar 2002 halbierte Britney Gallivan, Schülerin in Pomona, Kalifornien, einen einzelnen Bogen 12-mal. Guinness World Records führt dies als Rekord. Sie verwendete einen sehr langen Streifen und faltete immer in derselben Richtung. Dabei erklärte sie die Längengrenze: Bei jeder Faltung müssen äußere Lagen um innere herumlaufen, und das verbraucht Papier. Ihre Formel für die nötige Streifenlänge bei n Faltungen und Papierdicke t lautet

L = (π t / 6) (2^n + 4) (2^n − 1).

Für 12 Faltungen von Kopierpapier braucht man etwa 879 m Streifenlänge. Das Labor zeigt diese Zahl für die jeweils gewählte Papierart und Faltzahl.

Dazu Papier für den Falttest und Anzahl der Halbierungen wählen oder die Minus- und Plustasten in der Laboransicht verwenden. Der Stapel wächst neben der Person am Tisch: 12 Faltungen ergeben 4096 Lagen und etwa 41 cm Dicke. Seine Grundfläche wird mindestens 4 cm breit gezeichnet, damit sie sichtbar bleibt. Ein echter 30-cm-Bogen wäre nach 12 Faltungen nur wenige Millimeter breit.

Bis zum Mond falten

Beim weiteren Verdoppeln wachsen die Zahlen schnell.

Nach 14 Faltungen ist der Stapel etwa menschengroß, nach 27 höher als Mount Everest. Nach 42 reicht er über den Mond hinaus, dessen mittlere Entfernung 384.400 km beträgt (NASA). Das kann niemand ausführen. Für 42 Faltungen bräuchte man einen größeren Bogen, als sich herstellen lässt; der Streifen aus Gallivans Formel wäre absurd lang. Die Tabelle erklärt Verdopplung, nicht das praktische Falten.

Das Labor nennt das höchste bereits übertroffene Objekt: eine Person, ein dreistöckiges Haus, Lotte World Tower, Mount Everest, die Raumstation, den Mond und schließlich die Sonne. Die nötige Faltzahl für Kopierpapier bis über den Mond bringt den Stern „Bis zum Mond“.

Miura-Faltung: eine Karte mit einem Zug öffnen

1985 veröffentlichte Koryo Miura vom japanischen Institute of Space and Astronautical Science eine Methode, große dünne Bögen für den Weltraum zu verpacken. Reihen leicht schräger Parallelogramme teilen den Bogen. In einer Richtung verlaufen die Falten gerade, in der anderen im Zickzack. Das JAXA Space Education Center beschreibt das Ergebnis einfach: Der Bogen wird kompakt gefaltet und öffnet sich durch Ziehen an einem Ende glatt.

Besonders ist sein einziger Freiheitsgrad. Bei 64 Zellen bestimmt eine Zahl die ganze Form. Ändert sie sich, bewegen sich alle Zellen gemeinsam. Die Bühne berechnet den Miura-Bogen so: Jede Gitterecke ergibt sich aus drei Längen, der Höhe des Zickzacks, dem Abstand in einer Richtung und dem Versatz in der anderen. Ist die Höhe gewählt, folgen die anderen beiden aus den Parallelogrammseiten. So bleibt jede Zelle in jedem Zustand flach und jede Falte gleich lang.

Zellwinkel der Miura-Faltung ausprobieren: Bei 80 Grad sind die Zellen schiefe Parallelogramme; der Bogen faltet sich in beiden Richtungen zugleich. Bei 90 Grad werden daraus Rechtecke. Jetzt lässt er sich jeweils nur in einer Richtung falten. Das JAXA-Material erklärt, dass eine rechteckige Variante nicht glatt aufgeht. Die Schrägstellung koppelt beide Richtungen.

Mark Schenk und Simon Guest aus Cambridge beschrieben 2013 die Geometrie solcher Bögen ausführlich und zeigten, wie Falten ihre Steifigkeit verändert. Solche Strukturen werden auch als mechanische Metamaterialien untersucht: Ihr Verhalten wird von den Falten statt vom Ausgangsmaterial bestimmt.

Origami im Weltraum

Die Space Flyer Unit startete am 18. März 1995 von Tanegashima und kam im Januar 1996 mit dem Space Shuttle auf Mission STS-72 zurück zur Erde. Eines ihrer Experimente war ein zweidimensionales Miura-gefaltetes Solarpanel, das sich im Orbit öffnete. Die JAXA-ISAS-Missionsseite zählt es zu den Experimenten mit Ergebnissen.

2014 zeigten NASAs Jet Propulsion Laboratory und Brigham Young University eine andere Origami-Solarfläche, entworfen mit dem Origamikünstler Robert Lang. Sie passt in ein etwa 2,7 m breites Bündel und öffnet sich auf 25 m; das Tischmodell öffnet auf 1,25 m. Der JPL-Artikel betont denselben Zusammenhang wie die Miura-Faltung: Mit den richtigen Falten öffnet ein Zug an einer Ecke die ganze Fläche.

Auch das James Webb Space Telescope flog gefaltet. Sein Sonnenschild aus fünf dünnen Lagen von ungefähr Tennisplatzgröße wurde für die Rakete gefaltet und verpackt und im All geöffnet. Es ist kein Faltmuster wie auf dieser Seite, doch das Problem ist dasselbe: Eine große dünne Fläche muss klein reisen.

Origami im Körper

Am anderen Ende der Größenskala hilft Falten ebenfalls. 2006 beschrieben Kaori Kuribayashi und Kollegen aus Oxford und Japan eine Stentprothese aus dünner Formgedächtnislegierungsfolie. Ein Origamimuster macht sie klein genug für ein Blutgefäß; bei Körpertemperatur öffnet sie sich. Die Folie wurde entlang der Faltlinien geätzt, damit sie nur dort biegt. Das entspricht der Bühne: starre Flächen, verbunden durch Falten.

Tausend Kraniche

Ein Senbazuru sind tausend aufgefädelte Kraniche als Wunsch für Genesung oder Frieden. Meist hängen 40 Vögel an jedem von 25 Fäden. So ordnet die Bühne sie unter Tausend Kraniche an. Ein schneller Computer zeichnet alle 1000, ein langsamer 300.

Die bekannteste Geschichte stammt aus Hiroshima. Sadako Sasaki war zwei Jahre alt, als am 6. August 1945 die Atombombe fiel. Mit zwölf erkrankte sie an Leukämie und faltete im Krankenhaus mehr als tausend Kraniche. Bei ihrem Tod waren 1300 in ihrem Zimmer. Der US National Park Service erzählt ihre Geschichte und wie ihre Mitschüler Geld für das Kinder-Friedensdenkmal sammelten, das seit 1958 in Hiroshima steht.

Wie lange würden Sie brauchen? Guinness World Records nennt für 100 Kraniche 40 Minuten 35 Sekunden: Yoneyama Yuichi, Nagoya, 2010, durchschnittlich 24,35 Sekunden pro Stück. Der Rekord für 1000 beträgt 9 Stunden 31 Minuten 13 Sekunden, Evelyne Chia, Colchester, 2021. Ihre eigene Zeit für einen Kranich lässt sich unter den Bedienelementen eingeben. Bei drei Minuten pro Stück ergeben sich 50 Stunden Falten oder 50 Tage mit täglich einer Stunde.

Der größte Kranich

Mit Rekordkranich in Originalgröße erscheint hinter dem Raum ein Kranich von 81,94 m Spannweite, der größte bei Guinness World Records. Am 29. August 2009 falteten ihn 800 Menschen des Peace Piece Project an der Hiroshima Shudo University. Der 100 m × 100 m große Bogen war aus kleineren Stücken zusammengeklebt. Ein Vermesser bestimmte die Spannweite durch Triangulation.

Die Person am Tisch ist 1,7 m groß. Der Rekordbogen hatte 100 m Seitenlänge, etwa das 670-Fache des 15-cm-Quadrats auf dem Tisch und damit etwa die 440.000-fache Fläche.

Woher die Modelle stammen

Origamigeschichte steckt voller Vermutungen. Hier steht nur, was Quellen stützen.

Der Kranich ist alt. Der Origamihistoriker David Lister, dessen Notizen die British Origami Society aufbewahrt, schrieb, Satoshi Takagi habe Kranichbilder bis ins frühe 17. Jahrhundert zurückverfolgt. Damals war das Modell bereits verbreitet.

Das älteste bekannte japanische Buch über spielerisches Origami, Hiden Senbazuru Orikata, also das Geheimnis des Faltens von tausend Kranichen, zeigt 48 Kranichmodelle aus einem Bogen, die miteinander verbunden bleiben, mit humoristischen Gedichten. Laut Bibliotheksführer der Kyushu University entwarf sie Gido, ein buddhistischer Mönch aus Kuwana. Der Schriftsteller Akisato Rito wählte sie aus und gab ihnen Namen. Der Führer nennt 1789, häufig wird auch 1797 genannt. Weil die Quellen abweichen, stehen hier beide Daten.

Der Flattervogel bleibt ein Rätsel. Er sieht wie ein naher Verwandter des Kranichs aus, doch Lister notierte, dass japanische Faltende ihn oft nicht kannten. Gershon Legman schrieb, japanische Bühnenzauberer hätten ihn in den 1870er- oder 1880er-Jahren in den Westen gebracht. Lister führte die Behauptung auf einen Zeitungsartikel von 1936 zurück und war nicht überzeugt. Der Ursprung ist weiterhin unbekannt.

Wasserbombe, Springfrosch, Samuraihelm und Papierhut sind traditionelle Modelle, die in vielen Ländern ohne bekannten Urheber gefaltet werden. Nippon Origami Association, OrigamiUSA und British Origami Society bewahren Anleitungen und Geschichten solcher Modelle auf.

Die Feder des Springfroschs

Der Frosch wird aus einer Karte mit den Proportionen 3 zu 5 gefaltet. Vorn bildet eine Wasserbombenbasis die Grundlage für die hochgefalteten Vorderbeine. Hinten wird das Papier hoch- und halb zurückgefaltet, sodass eine Z-förmige Falte entsteht. Die Hinterkante drücken und loslassen: Die Falte federt auf und wirft den Frosch nach vorn.

Springen lassen verwendet ein einfaches Federmodell mit etwa 30 N/m Steifigkeit, etwa 1 g Masse und 40 Grad Absprungwinkel. Die Kompression hängt von der Druckstärke ab. Das ergibt ungefähr 5 bis 30 cm, einen Bereich, den Papierfrösche erreichen. Es ist eine Schätzung, keine Messung: Echte Sprünge hängen von Karte, Faltenschärfe und Druck ab. Mehr als 10 cm bringen den Stern „Froschsprung“.

Die Wasserbombe aufblasen

Die Wasserbombe wird flach gefaltet und anschließend durch ein kleines Loch unten aufgeblasen. Sie wird annähernd würfelförmig. Echtes Papier biegt und knittert dabei etwas an neuen Linien; das kann kein Modell aus starren Flächen darstellen. Im letzten Schritt blendet die Bühne deshalb vom gefalteten Papier zu einer gezeichneten aufgeblähten Form gleicher Farbe über. Die vorherige Faltung ist exakt, das Aufblasen eine Zeichnung.

Bei der echten Wasserbombe werden vorher zwei kleine Spitzen in Taschen gesteckt, damit sie geschlossen bleibt. Die Bühne endet vor diesem Einstecken.

Sie und das Papier

Ich in der Bühnenecke öffnen. Nach Eingabe Ihrer Körpergröße wird die Person am Tisch entsprechend skaliert. Der Hinweis berechnet, wie viele Halbierungen der im Faltlabor gewählten Papierart Ihre Höhe erreichen. Für eine 1,7 m große Person braucht 0,1 mm dickes Kopierpapier 15 Faltungen, weil 14 nur 1,6 m ergeben. Auch Ihre Zeit für tausend Kraniche aus dem eingegebenen Tempo wird genannt.

Papiergröße und Papierart

Zwei Regler verändern den Bogen. Papiergröße setzt das Quadrat zwischen 7,5 cm und 35 cm, einschließlich 21 cm, dem größten Quadrat aus A4 mit 210 × 297 mm. Das Papier auf dem Tisch wächst oder schrumpft entsprechend. Die Anzeige nennt Bogen- und Endmaße in Zentimetern. Der Frosch nutzt eine Karte, deshalb beträgt ihre Breite drei Fünftel ihrer Länge.

Papierart verändert Aussehen und gezeichnete Dicke. Origamipapier ist auf einer Seite farbig, auf der anderen weiß; viele Modelle zeigen beides. Der Pinguin beginnt mit Weiß oben, damit seine Flügel dunkel werden. Zweifarbiges Papier hat auf beiden Seiten Farbe. Washi ist durchgehend hell und faserig und wird etwas dicker gezeichnet. Folienpapier glänzt und hält Falten gut; es wird dünner gezeichnet. Kopierpapier ist beidseitig weiß. Die Art ändert weder Faltfolge noch Endgröße, sondern nur Aussehen und gezeichnete Lagenabstände.

Ihr Papier: Wie groß wird das Modell?

Unter den Bedienelementen fragt Ihr Papier nach Ihrer Quadratseite und listet die Endgrößen aller zwanzig Modelle daraus auf. Das sind Modellwerte: die flach gefaltete Bühnenform, auf Ihren Bogen skaliert. Echtes Papier verliert an jeder Faltung etwas Länge. Das Ergebnis ist etwas kleiner, besonders bei vielen Lagen.

Ein 15-cm-Quadrat ergibt auf der Bühne etwa 8,8 × 6,2 cm für den Becher, 10,6 × 5,5 cm für den Samuraihelm, 14,2 cm entlang der längsten Kranichseite, 7,5 × 4,5 cm für den Frosch aus seiner 9 × 15 cm großen Karte und 21,2 cm entlang der Segelbootdiagonale. Die meisten Modelle erreichen 50 bis 75 Prozent der Bogenkante. Himmel und Hölle, die noch nicht aufgeblasene Wasserbombe, Schmetterling und Frosch etwa die Hälfte.

Die zweite Zeile rechnet rückwärts: Modell und gewünschte Länge auswählen, und sie nennt den nötigen Ausgangsbogen. Ein 10 cm langer Kranich braucht etwa 10,6 cm Quadratseite.

Ein Origami-Atlas

Unter den Aufgaben sammelt der Origami-Atlas 26 Einträge zu Geschichte, Menschen, Mathematik und Technik, jeweils mit Quelle. Nach Art filtern oder suchen, einen Eintrag öffnen und lesen. Manche ändern die Bühne: Maekawas Satz öffnet den Helm, die Miura-Faltung wechselt zur Weltraumansicht, der größte Kranich blendet das Rekordmodell ein. Einige Einträge:

• Friedrich Froebel eröffnete 1840 den ersten Kindergarten in Deutschland und machte Das Falten zu einer Beschäftigung. Der Bibliotheksführer der Kyushu University beschreibt sein Segelboot als dasselbe Modell wie in Japan und datiert die Ankunft solcher Modelle dort auf die späten 1800er-Jahre. Das Boot auf dieser Bühne ist dieses Modell.
• Akira Yoshizawa wurde am 14. März 1911 in Kaminokawa, Tochigi, geboren und starb 2005 an seinem 94. Geburtstag. 1954, im Jahr seines ersten Buches, gründete er das International Origami Centre. Seine erste Auslandsausstellung fand 1955 im Stedelijk Museum Amsterdam statt. Der Kyushu-Führer schreibt ihm die Berg- und Talzeichen zu, die Strich- und Strichpunktlinien dieses Tischs, und nennt Zehntausende geschaffene Modelle.
• Robert J. Lang schrieb Anfang der 1990er-Jahre TreeMaker. Aus einer Strichfigur gewünschter Spitzen berechnet es ein Faltmuster für eine Grundform mit entsprechendem Schatten. Version 4 (1998) löste nicht von Hand konstruierbare Basen. Version 5 (2005) weist außerdem allen Falten Berg oder Tal zu. Lang beschrieb die Methode 1996 beim ACM Symposium on Computational Geometry als Algorithmus.
• DNA-Origami. 2006 faltete Paul Rothemund einen etwa 7000 Basen langen DNA-Strang mithilfe von mehr als 200 kurzen Klammersträngen zu etwa 100 nm großen Formen, darunter Smileys (Nature).
• Ein selbstfaltender Roboter. 2014 entwickelte ein Team von Harvard und MIT (Felton und andere, Science) einen flachen Bogen, der sich in etwa vier Minuten zu einem krabbelnden Roboter faltete und loslief.
• Starshade. Ein Starshade soll vor einem Weltraumteleskop das Sternlicht abschirmen, damit Planeten sichtbar werden. Seine Blätter wickeln sich zum Start um eine Nabe und öffnen sich im All. NASAs Starshade-Technologieprojekt S5 meldete in seinem Abschluss im April 2025 Technologiereifegrad 5.

So funktionieren die Modelle auf dieser Seite

Jedes Modell ist eine Liste von Bewegungen in den Koordinaten des Papiers auf dem Tisch. Bei jeder Bewegung teilt das Programm gekreuzte Flächen an der Faltlinie, findet von den angehobenen Lagen aus alle mitbewegten Teile, spiegelt sie und verdichtet die Lagennummern neu. Derselbe Code läuft im Browser und in einem Prüfprogramm, das alle Modelle vor Veröffentlichung untersucht.

Für alle zwanzig Modelle prüft es:

• Die Papierfläche bleibt erhalten, und keine Kante ändert in irgendeinem Moment einer Bewegung ihre Länge.
• Gemeinsame Kanten benachbarter Flächen treffen in jedem flachen Zustand zusammen.
• Jeder innere Knoten des fertigen flachen Faltmusters erfüllt Maekawa und Kawasaki.
• Keine Lage durchdringt eine Falte, und keine zwei Falten auf einer Linie kreuzen sich.
• Zu den geprüften Zeitpunkten jeder Bewegung durchdringt keine Fläche eine andere.
• Jede Aufgabe ist lösbar, und jede Frage hat eine Antwort.
• Jede auf der Bühne verwendete Quelle steht unten.

Einige Bewegungen sind einfacher dargestellt als bei echtem Papier.

• Innere Umkehrfalten an Schwanenkopf, Pinguinkopf, Mausschwanz und an Hals, Schwanz und Kopf des Flattervogels enden exakt. Unterwegs gleitet die Spitze jedoch in der Papierebene herum, während die darüberliegenden Lagen etwas abheben. Echtes Papier öffnet die Lasche und stülpt die Spitze durch den Raum zwischen den Lagen um.
• Der Kranich verwendet Faltfolge und Bewegung der Kranich-Ausstellung. Die genannten Prüfungen laufen bis zur Vogelbasis. Verschmälerung, Hals, Schwanz und Kopf sind die Bewegungen jener Ausstellung.
• Das Aufblasen der Wasserbombe ist wie beschrieben gezeichnet. Der Froschsprung ist eine Modellschätzung.
• Flügel und andere 3D-Formung drehen jede Lage auf ihrer eigenen Höhe um die Faltlinie, damit gestapelte Lagen beim Biegen ineinanderliegen bleiben.

Die traditionelle Masu-Schachtel gehört nicht zu den zwanzig Modellen. Ihre Wände heben sich mit gleichzeitig bewegten Eckfalten. Die Bühne kann das noch nicht wirklichkeitsgetreu animieren.

Zum Ausprobieren

• Den Becher wählen, Hände einschalten und mit den Pfeilen falten. Dann Rückwärts auffalten einschalten und das Öffnen beobachten.
• Ein beliebiges Modell falten, Öffnen und prüfen drücken und drei Punkte antippen.
• Hunde- und Fuchsgesicht nacheinander falten. Sie teilen die ersten zwei Bewegungen.
• Im Faltlabor ermitteln, nach wie vielen Halbierungen Seidenpapier, Kopierpapier und Karton höher als Sie sind.
• In der Weltraumansicht das Panel bei 80 Grad öffnen, dann 90 Grad einstellen und erneut versuchen.
• Den Rekordkranich einblenden und die Kamera darum drehen, dann zum Tisch zurückkehren.
• Alle sechzehn versteckten Dinge rund um den Tisch finden. Eines liegt darunter, zwei hängen an der Wand.
• Modelle öffnen, nach Schwer filtern und das orange markierte Modell falten.
• Von Hand falten einschalten und das Fuchsgesicht durch alle sieben Schritte ziehen.
• Den Samuraihelm öffnen und die Winkel in seiner Mitte addieren.
• Papiergröße auf das A4-Quadrat setzen, dann unter Ihr Papier die Seitenlänge Ihres eigenen Bogens eingeben.