Cube 3×3 : comment le résoudre étape par étape

Un cube qui se mélange en dix secondes et s’apprend en un après-midi

Prenez un cube 3×3 mélangé et tournez une face. Trois autocollants de chacune des quatre faces voisines se déplacent avec elle, et la face que vous avez tournée pivote sur place. Tournez une autre face et les dégâts s’étendent. Après cinq ou six rotations, le cube semble complètement aléatoire, et la plupart des personnes qui essaient de le remettre en ordre à l’intuition constatent que chaque correction défait quelque chose qu’elles avaient déjà réussi.

Le cube de cette page commence ainsi. Il a été mélangé pour atteindre l’une de ses 43 252 003 274 489 856 000 positions, et, pendant les premières secondes, vous le regardez se résoudre par la méthode débutante, une couche après l’autre, à 16 rotations par seconde. Ensuite, il est à vous. Vous pouvez faire glisser n’importe quelle couche avec un doigt ou une souris, suivre la même solution mouvement par mouvement (en avant ou en arrière), reproduire les couleurs du vrai cube posé sur votre bureau et obtenir sa solution, démonter le cube pour voir ce qui le maintient assemblé, et le placer à côté d’un 2×2 et d’un 4×4.

La méthode présentée ici est celle que la plupart des personnes apprennent d’abord : une croix blanche, le reste de la couche blanche, la couche intermédiaire, puis la face jaune et la dernière couche. Elle utilise sept formules courtes. Elle est lente comparée aux méthodes des compétiteurs, avec environ 140 mouvements en moyenne pour la version de cette page, mais chaque étape peut être suivie des yeux et, après l’avoir pratiquée quelques fois, vous n’avez plus besoin de la page.

Autour du cube figurent les nombres sur lesquels on s’interroge. Pourquoi ce nombre est si grand, et pourquoi on ne peut pas en obtenir davantage en démontant le cube. Ce qu’est le « nombre de Dieu », et pourquoi il a fallu attendre 2010 pour que des ordinateurs montrent qu’il vaut 20. La vitesse des personnes les plus rapides, selon la World Cube Association, qui organise les compétitions officielles. Sous les commandes se trouve un laboratoire proposant douze tâches, un calculateur du nombre de répétitions nécessaires pour qu’une séquence ramène le cube à son état initial, le tableau des distances entre les positions et l’état résolu, ainsi que les records.

La page évite le nom de marque dans la scène et appelle le casse-tête un cube 3×3. Le nom de son inventeur, Ernő Rubik, apparaît dans la partie historique.

Les pièces : pourquoi les centres déterminent les couleurs

Un cube 3×3 ressemble à un assemblage de 27 petits cubes, mais il ne comporte que 26 pièces visibles, réparties en trois catégories.

• Centres. Six pièces portant chacune un autocollant, au milieu de chaque face. Elles sont fixées au noyau et ne peuvent que pivoter sur place. Comme elles ne se déplacent jamais les unes par rapport aux autres, le centre blanc reste toujours opposé au jaune, le vert au bleu et le rouge à l’orange. Lorsque le cube est résolu, chaque face porte la couleur de son centre.
• Arêtes. Douze pièces portant chacune deux autocollants, entre deux centres. Une arête peut occuper son emplacement dans deux sens : ces deux possibilités constituent son « retournement ».
• Coins. Huit pièces portant chacune trois autocollants. Un coin peut occuper son emplacement dans trois sens : ces trois possibilités constituent sa « torsion ».

Une rotation de face déplace quatre arêtes et quatre coins suivant un cycle et fait pivoter le centre. Une rotation de tranche centrale déplace quatre arêtes et quatre centres. Une rotation ne peut rien faire d’autre, ce qui explique pourquoi le cube se résout pièce par pièce plutôt qu’autocollant par autocollant : il suffit de penser à la position de chaque arête et de chaque coin, ainsi qu’à son orientation, sans raisonner sur les autocollants.

Le fait que les centres restent en place explique aussi pourquoi le mode de coloriage de cette page les fixe. Tenez votre cube avec le blanc en haut et le vert devant (l’orientation utilisée par la World Cube Association pour les mélanges), et les couleurs des autres autocollants indiquent exactement à la page quelle pièce occupe quel emplacement.

Ce qui maintient l’ensemble

Ouvrez la vue Intérieur et faites glisser le curseur. Au milieu se trouve un moyeu à six bras, chacun dirigé vers une face. Chaque bras maintient un centre et, dans le modèle, une vis et un petit ressort se trouvent sous chaque capuchon central, comme dans de nombreux cubes actuels : serrez les vis et les rotations deviennent plus dures. Les arêtes et les coins ne sont fixés à rien. Chaque pièce possède un pied qui glisse sous ses voisines, et les centres appuient sur les arêtes, les arêtes sur les coins. Écartez les couches et le cube se sépare en ses 26 pièces et son noyau.

Le brevet hongrois d’Ernő Rubik pour le cube (HU 170062, déposé le 30 janvier 1975 et publié le 28 mars 1977) décrit dans cet esprit des pièces maintenues autour d’un noyau central. La forme exacte des pieds et des ressorts du modèle représente un cube moderne, et non celui du brevet.

Pas tout à fait le premier

Un cube tournant par groupes de pièces a été breveté avant le 3×3. En mars 1970, Larry D. Nichols a déposé le brevet américain 3,655,201 pour un « casse-tête formant des motifs » : huit petits cubes maintenus par des aimants, qui tournent par groupes de quatre autour de trois axes. Il a été publié en avril 1972. Il s’agit d’un 2×2×2 en tout sauf par son mécanisme. Les deux brevets sont accrochés au mur de la salle sur cette page.

Lire la notation

Les instructions du cube s’écrivent avec des lettres provenant du règlement de la World Cube Association (article 12). Tenez le cube immobile, une face tournée vers vous. Alors :

• F désigne la face avant, B l’arrière, R la droite, L la gauche, U la face supérieure et D celle du bas.
• Une lettre seule signifie un quart de tour de cette face, dans le sens horaire lorsqu’on regarde directement cette face. R tourne la face droite dans le sens horaire vue de la droite, ce qui fait monter les autocollants avant de la colonne droite.
• Un prime (R′, souvent saisi R') signifie un quart de tour dans le sens antihoraire.
• Un 2 (R2) signifie un demi-tour. Le sens n’a pas d’importance.

Ainsi, R U R′ U′ signifie : face droite dans le sens horaire, face supérieure dans le sens horaire, face droite en sens inverse, face supérieure en sens inverse. Cette séquence de quatre mouvements est la plus utilisée dans la méthode de cette page, et vous pouvez la regarder avec les flèches de rotation activées à la deuxième étape du guide.

Tranches, rotations larges et rotations du cube entier

La méthode débutante ne demande que les six lettres des faces, mais d’autres notations apparaissent dans les livres, dans le laboratoire et sur les boutons de rotation :

• M, E et S tournent une tranche centrale. M est la tranche entre L et R et tourne comme L ; E se trouve entre U et D et tourne comme D ; S se trouve entre F et B et tourne comme F.
• Rw (également noté r) tourne ensemble la face droite et la tranche centrale, une rotation « large ». Le règlement autorise Rw et 2Rw pour ce mouvement sur un 3×3.
• x, y et z tournent le cube entier : x comme R, y comme U, z comme F. Ils modifient la façon de tenir le cube, pas son motif.

Le programme de vérification de cette page confronte ces définitions entre elles : x équivaut à R M′ L′, r à R M′, et ainsi de suite pour chaque lettre.

Comment compter les mouvements

Il existe plusieurs façons de compter. Dans la métrique des demi-tours, utilisée pour le nombre de Dieu, R et R2 comptent chacun pour un mouvement. Dans la métrique des quarts de tour, R2 compte pour deux. Le règlement définit la métrique des rotations de blocs externes pour l’épreuve du moins de mouvements, où les rotations de face et les rotations larges comptent chacune pour un, et les rotations du cube entier pour zéro. Les nombres de mouvements de cette page utilisent la métrique des demi-tours et excluent x, y et z.

La méthode couche par couche de cette page

La méthode utilisée sur cette page permet de résoudre le cube en passant successivement par sept étapes. Chaque étape préserve ce que les précédentes ont terminé, ou le rétablit à la fin de sa formule. Le programme de vérification résout 2000 positions (1000 tirées uniformément au hasard parmi toutes les positions et 1000 issues de mélanges aléatoires de 25 mouvements) et vérifie après chaque étape que sa promesse est tenue.

Position du cube : blanc en bas

La page résout le cube avec le centre blanc en bas. Si le blanc se trouve ailleurs, le premier « mouvement » est une rotation du cube entier (x, x2 ou z) qui l’amène en bas. Construire la croix blanche en bas évite de retourner le cube plus tard, au prix de ne pas voir la croix pendant sa construction. C’est pourquoi la troisième étape du guide regarde le cube par-dessous, et pourquoi une petite représentation dépliée du cube, dans un coin de la scène, montre toutes les faces à la fois.

Étape 1 : la croix blanche

Amenez les quatre arêtes blanches en bas, autour du centre blanc. Chaque arête possède une deuxième couleur et doit se placer à côté du centre de cette couleur : l’arête blanc-vert sous le centre vert, l’arête blanc-rouge sous le rouge. Une croix dont la forme est correcte mais dont les couleurs latérales sont mauvaises n’est pas terminée.

Les personnes réalisent cette étape à l’intuition et, d’une certaine façon, la page aussi : elle cherche parmi toutes les positions des quatre arêtes blanches et choisit un plus court chemin pour les placer ensemble. Cette recherche couvre 190 080 arrangements et montre que la croix ne demande jamais plus de huit mouvements. Sur 2000 positions de test, la page utilise 5,8 mouvements en moyenne.

Étape 2 : la première couche

Passons aux quatre coins blancs. Trouvez-en un, tournez le haut jusqu’à le placer directement au-dessus de son emplacement, puis répétez R U R′ U′ (adapté à cet emplacement) jusqu’à ce qu’il s’insère avec le blanc vers le bas. Il faut une, trois ou cinq répétitions, selon l’orientation initiale de l’autocollant blanc. Si le coin se trouve déjà dans la couche inférieure, mais au mauvais endroit ou avec une torsion, une répétition de la même formule le fait d’abord ressortir.

C’est l’étape la plus longue en mouvements, environ 48 en moyenne, car chaque répétition comporte quatre mouvements et un coin peut demander cinq répétitions. C’est aussi l’étape où la formule devient une habitude : R U R′ U′ est assez courte pour être apprise par le geste en quelques minutes, et la tâche « Apprendre une formule » vous demande de la saisir de mémoire.

Étape 3 : la deuxième couche

La couche intermédiaire possède quatre arêtes, dont aucune n’est blanche ou jaune. Tournez le haut jusqu’à ce qu’une de ces arêtes s’aligne sur le centre de sa couleur sur le côté. Sa couleur supérieure indique alors où elle doit aller : si elle correspond au centre de droite, envoyez-la à droite avec U R U′ R′ U′ F′ U F ; si elle correspond au centre de gauche, envoyez-la à gauche avec U′ L′ U L U F U′ F′. Chaque formule retire momentanément le coin situé en dessous et le remet en place avec l’arête.

Si une arête est bloquée dans la couche intermédiaire au mauvais emplacement, ou retournée dans le bon emplacement, une de ces mêmes formules pousse une arête supérieure quelconque dans cet emplacement, faisant remonter l’arête bloquée pour pouvoir la placer correctement. La page utilise environ 37 mouvements en moyenne pour cette étape.

Étape 4 : la croix supérieure

Il ne reste maintenant que la couche supérieure (jaune). D’abord la croix jaune : F R U R′ U′ F′. Regardez le dessus. Si vous ne voyez que le centre jaune (un point), une répétition produit un L ; avec le L à l’arrière gauche, une deuxième produit une ligne ; avec la ligne horizontale, une troisième produit la croix. La formule retourne deux arêtes supérieures à la fois et préserve les deux premières couches.

Étape 5 : la face jaune

R U R′ U R U2 R′, une formule souvent appelée « Sune », tord trois coins supérieurs et laisse tout le reste en place, sauf que les arêtes supérieures permutent entre elles. Tournez le haut et répétez jusqu’à ce que toute la face supérieure soit jaune. Pour parvenir à ce résultat, il faut effectuer entre une et trois répétitions de la formule. La page essaie la formule après chacune des quatre rotations du haut et choisit la combinaison la plus courte, ce qu’une personne fait en reconnaissant quelques formes.

Étape 6 : la dernière couche

Deux formules terminent le cube. R′ F R′ B2 R F′ R′ B2 R2 déplace trois coins supérieurs suivant un cycle sans les tordre ; avec la bonne rotation du haut avant elle, tous les coins retrouvent leur place. Puis R2 U R U R′ U′ R′ U′ R′ U R′ déplace trois arêtes supérieures suivant un cycle et, appliquée une ou deux fois avec une rotation du haut, termine la résolution.

Le nombre de mouvements nécessaire

Sur les 2000 positions de test, cette version de la méthode demande entre 68 et 209 mouvements, avec une moyenne de 140,8. Le cube mélangé de la première étape du guide en demande 129. Les compétiteurs utilisent des méthodes comportant beaucoup plus de formules et bien moins de mouvements, et la solution la plus courte possible ne dépasse jamais 20, comme l’expliquent les sections suivantes. La méthode débutante paie sa simplicité par sa longueur.

Pourquoi les formules fonctionnent : partir et revenir

Effectuez R U R′ U′ une fois et le cube semble un peu mélangé. Effectuez cette séquence six fois et le cube est à nouveau résolu. Ce n’est pas une particularité fortuite de cette séquence. Toute séquence de rotations, répétée suffisamment de fois, revient à son point de départ, car le cube n’a qu’un nombre fini de positions et chaque rotation peut être annulée.

Le nombre de répétitions nécessaires pour ce retour s’appelle l’ordre de la séquence. R seul est d’ordre 4. R2 U2 est d’ordre 6. R U, la séquence de deux mouvements la plus simple, est d’ordre 105 : il faut la répéter 105 fois, soit 210 rotations, pour que le cube soit à nouveau résolu. R U2 D′ B D′ demande 1260 répétitions, soit 6300 rotations.

Le laboratoire sous les commandes calcule ces nombres pour toute séquence saisie. Il compose la séquence en une seule permutation des 54 autocollants, décompose cette permutation en cycles, et l’ordre est le plus petit commun multiple de leurs longueurs. Pour les ordres courts, il peut ensuite jouer les répétitions sur le cube afin que vous puissiez observer son retour.

Des formules comme R U R′ U′ sont utiles parce qu’elles modifient très peu de choses. R U R′ U′ ne touche qu’une poignée de pièces près d’un coin, et son effet sur la couche inférieure s’annule après une répétition, exactement ce que demande l’étape de la première couche. La théorie des groupes, branche des mathématiques qui étudie de telles séquences de mouvements, appelle R U R′ U′ le commutateur de R et U. Les commutateurs de deux mouvements qui ne partagent que quelques pièces ne déplacent que quelques pièces, et la plupart des formules des méthodes plus avancées sont construites à partir d’eux.

43 252 003 274 489 856 000 positions

D’où vient 43 252 003 274 489 856 000 ? Comptez les façons d’arranger les pièces, puis celles que les rotations permettent réellement d’atteindre.

Démontez le cube. Les huit coins peuvent retrouver les huit emplacements de coin dans 8! = 40 320 ordres, et chaque coin peut prendre trois torsions : 3⁸. Les douze arêtes peuvent être replacées dans 12! = 479 001 600 ordres, et chacune peut prendre deux retournements : 2¹². En multipliant, on obtient 519 024 039 293 878 272 000 façons de réassembler un cube.

Les rotations ne permettent pas de toutes les atteindre. Trois règles sont respectées par chaque position accessible par rotations, et uniquement par celles-ci :

1. Torsion. Numérotez les torsions des coins 0, 1 et 2. La somme des huit torsions est toujours un multiple de 3. Une fois sept coins orientés, le huitième n’a donc pas le choix : divisez par 3.
2. Retournement. Numérotez les retournements 0 et 1. La somme des douze retournements est toujours paire. La douzième arête n’a pas le choix : divisez par 2.
3. Échanges. Chaque quart de tour d’une face échange les coins un nombre impair de fois et les arêtes un nombre impair de fois. Les coins et les arêtes sont donc toujours échangés tous deux un nombre pair de fois, ou tous deux un nombre impair. Il est impossible d’échanger seulement deux arêtes : divisez par 2.

519 024 039 293 878 272 000 ÷ 3 ÷ 2 ÷ 2 = 43 252 003 274 489 856 000, ou, comme dans la scène, 8! × 3⁷ × 12! × 2¹¹ ÷ 2. Des notes de cours universitaires, comme celles de Janet Chen sur la théorie des groupes et le cube, démontrent que ces trois règles sont non seulement nécessaires mais suffisantes : tout arrangement qui les respecte toutes les trois est accessible par rotations, ce qui permet au solveur de cette page de fonctionner pour tout cube colorié qui les satisfait.

Conséquences pour un cube démonté

Remontez un cube au hasard et il respecte la règle de torsion avec une probabilité de 1 sur 3, celle du retournement avec une probabilité de 1 sur 2 et celle des échanges avec une probabilité de 1 sur 2. Ensemble, cela donne 1 sur 12. Onze fois sur douze, un cube démonté et remonté sans précaution ne peut jamais être résolu par rotations, quelle que soit l’habileté du solveur. Le programme de vérification confirme ce chiffre en assemblant 24 000 cubes aléatoires et en les testant ; environ 8,3 % passent le test.

Le mode de coloriage permet de construire volontairement un tel cube. « Tordre un coin » tord un coin sur place, « Retourner une arête » retourne une arête, « Échanger deux arêtes » échange deux arêtes. Chaque fois, la page refuse et indique la règle enfreinte. Le même test détecte les erreurs de coloriage de votre propre cube : une couleur sur dix autocollants au lieu de neuf, un coin dont aucune pièce ne possède les couleurs (ou une arête blanc-jaune, qui n’existe sur aucun cube), deux autocollants échangés sur un coin de sorte que ses couleurs tournent dans le mauvais sens, ou une même pièce apparaissant deux fois.

Le temps nécessaire pour toutes les examiner

Si vous regardiez une position par seconde, les voir toutes prendrait environ 1 370 000 000 000 ans. L’Univers a environ 13,8 milliards d’années, selon les résultats de 2018 de l’équipe du satellite Planck ; cela représente donc environ 99 fois son âge. Le panneau « Moi » et le laboratoire utilisent votre date de naissance pour indiquer la part des positions que vous auriez vues jusqu’à aujourd’hui à raison d’une par seconde : bien moins d’un millionième de pour cent pour toute personne vivante. À un milliard de positions par seconde, la vitesse du programme qui a établi le nombre de Dieu, cette part atteint quelques pour cent pour une longue vie.

Le 2×2 et le 4×4

Le 2×2 ne possède que des coins. Sans centres pour fixer l’orientation, un coin est maintenu immobile pour ne compter chaque position qu’une fois : 7! × 3⁶ = 3 674 160 positions. C’est assez peu pour qu’un ordinateur les vérifie toutes en quelques instants.

Le 4×4 possède 8 coins, 24 pièces d’arête et 24 pièces centrales, sans aucun centre fixe, ce qui explique ses situations (appelées cas de parité par les cubeurs) qui semblent impossibles sur un 3×3. En maintenant de nouveau un coin immobile, il possède 7! × 3⁶ × 24! × 24! ÷ (4!)⁶ = 7 401 196 841 564 901 869 874 093 974 498 574 336 000 000 000 positions, soit environ 7,4 × 10⁴⁵. Les deux nombres sont calculés par le programme de vérification avec des entiers exacts et affichés dans la vue Tailles.

Le nombre de Dieu

Certaines positions demandent beaucoup de mouvements. Quel est le plus grand nombre de mouvements nécessaire pour la position la plus difficile, si l’on utilise toujours la solution la plus courte possible ? Les cubeurs l’appellent le nombre de Dieu, et la question est restée ouverte depuis l’apparition du cube jusqu’en 2010.

L’histoire, telle que Tomas Rokicki, Herbert Kociemba, Morley Davidson et John Dethridge la résument dans leur article du SIAM Journal on Discrete Mathematics (2013), se présente ainsi dans la métrique des demi-tours :

La borne inférieure de 18 vient du dénombrement : il n’existe pas assez de séquences de 17 mouvements ou moins pour atteindre toutes les positions, donc une position doit en demander au moins 18. Les bornes supérieures viennent de méthodes qui terminent toujours en un nombre donné de mouvements, puis de recherches informatiques devenant chaque fois plus ingénieuses. Le résultat de 26 de Kunkle et Cooperman a demandé 8000 heures processeur et des téraoctets de stockage.

Comment 20 a été démontré

La démonstration de 2010 n’a pas résolu chaque position de façon optimale. Elle a réparti toutes les positions en 2 217 093 120 groupes (classes latérales) de 19 508 428 800 positions chacun, réduit le nombre à traiter à 55 882 296 grâce aux symétries du cube, puis montré, pour chaque groupe, que toutes ses positions pouvaient être résolues en 20 mouvements ou moins. Le programme central traitait environ un milliard de positions par seconde sur un seul processeur de bureau. L’ensemble du calcul s’est déroulé sur les serveurs de Google en juillet 2010 ; sur un seul processeur de bureau Nehalem, il aurait demandé environ 35 années processeur. Morley Davidson est mathématicien à Kent State University, et Kociemba a présenté en 1992 l’algorithme à deux phases, méthode utilisée depuis par de nombreux solveurs rapides.

Comme résultat annexe, les auteurs ont trouvé le nombre exact de positions situées à exactement 15 mouvements de l’état résolu : 91 365 146 187 124 313. Le tableau du laboratoire indique les effectifs pour chaque distance. Jusqu’à 15, ils sont exacts. À partir de 16, ce sont les estimations des auteurs : environ 1,1 × 10¹⁸ positions à 16 mouvements, 1,2 × 10¹⁹ à 17, 2,9 × 10¹⁹ à 18, 1,5 × 10¹⁸ à 19, et seulement environ 300 millions à 20. Un mélange aléatoire se trouve donc presque toujours à 17 ou 18 mouvements de l’état résolu, et une position qui exige les 20 est plus rare qu’une sur 100 000 000 000.

Richard Korf, de l’UCLA, a trouvé les premières solutions optimales de positions aléatoires en 1997, avec une recherche demandant environ une journée par position. Il estimait la longueur optimale médiane à 18 mouvements, ce qui correspond aux dénombrements ultérieurs.

Le superflip

Le superflip est la position où chaque coin est à sa place et chaque arête à sa place mais retournée. Michael Reid a démontré en 1995 qu’elle demande 20 mouvements, portant la borne inférieure à 20. La page présente une séquence de 20 mouvements qui la produit : U R2 F B R B2 R U2 L B2 R U′ D′ R2 F R′ L B2 U2 F2. Comme le superflip est son propre inverse (retourner chaque arête deux fois annule l’effet), rejouer les mêmes 20 mouvements le résout. La onzième étape du guide fait exactement cela, et la liste des motifs permet de le produire vous-même.

D’autres façons de compter

Dans la métrique des quarts de tour, où un demi-tour compte pour deux, l’article de 2013 donne une borne inférieure de 26 et une borne supérieure de 29 et prévoit une réponse de 26. Dans la métrique des rotations de tranches, où les tranches centrales comptent pour un mouvement, il donne 18 à 20 et prévoit 18.

Des cubes plus grands et des questions plus difficiles

Pour un cube n×n×n, Erik Demaine et ses collègues du MIT ont montré en 2011 que le nombre de Dieu croît proportionnellement à n² ÷ log n. Le nombre de pièces croît comme n² ; un grand cube demande donc moins de mouvements par pièce qu’un petit, car une rotation peut faire progresser de nombreuses pièces en parallèle.

Trouver la solution la plus courte d’une position donnée est une autre affaire. Demaine, Sarah Eisenstat et Mikhail Rudoy ont démontré en 2017 que, pour les cubes n×n×n en général, décider si une position peut être résolue dans un nombre donné de mouvements est un problème NP-complet. On ne connaît aucune méthode qui réponde toujours rapidement lorsque les cubes grandissent, et en trouver une résoudrait l’un des grands problèmes ouverts de l’informatique. Pour le 3×3 lui-même, la question est finie et a été résolue par force brute, avec beaucoup d’ingéniosité en complément.

Ordinateurs, réseaux et main robotique

Les ordinateurs résolvent le 3×3 de deux façons très différentes.

La première est la recherche avec tables de consultation. Le solveur de Korf de 1997 et l’algorithme à deux phases de Kociemba précalculent tous deux des tables de distance à l’état résolu pour certaines parties du cube, puis recherchent des séquences en utilisant ces tables pour éliminer les branches qui ne peuvent pas réussir. L’étape de la croix sur cette page en est un petit exemple : une table précalculée de 190 080 arrangements de quatre arêtes indique quel mouvement rapproche la croix d’un pas de sa résolution.

La seconde est l’apprentissage. Une équipe de l’Université de Californie à Irvine (Stephen McAleer, Forest Agostinelli, Alexander Shmakov et Pierre Baldi) a entraîné un réseau neuronal à estimer la distance d’une position à l’état résolu, en partant du cube résolu et en travaillant à rebours, sans lui fournir aucune méthode humaine. Leur programme de 2019, DeepCubeA, publié dans Nature Machine Intelligence, a résolu toutes les positions testées et trouvé une solution la plus courte dans 60,3 % des cas.

En 2019, une équipe d’OpenAI a entraîné une main robotique humanoïde en simulation, puis l’a utilisée pour tourner un vrai cube. La main réalisait les rotations physiques ; le choix des rotations provenait d’un solveur de Kociemba. Sur les mélanges demandant 15 rotations de face, elle réussissait dans 60 % des cas, et sur les plus difficiles (26 quarts de tour), dans 20 % des cas.

Le speedcubing et la World Cube Association

La World Cube Association (WCA), fondée en 2004, régit les compétitions de casse-têtes à rotations. Elle fonctionne presque entièrement grâce à des bénévoles. Plus de 245 000 personnes de 158 régions ont participé à des compétitions, et un championnat du monde a lieu tous les deux ans.

Le déroulement d’une compétition

Selon le règlement de la WCA, un compétiteur dispose de strictement moins de 15 secondes pour examiner le cube mélangé. La résolution est chronométrée avec deux zones d’appui pour les mains, et le chronomètre démarre lorsque les mains les quittent. La plupart des épreuves utilisent une moyenne de 5 : cinq résolutions, la meilleure et la pire sont retirées, et les trois autres sont moyennées. La feuille de résultats posée sur la table de la salle montre une telle manche : 9,84, 7,12, 8,95, 12,40 et 9,31 secondes donnent une moyenne de 9,37.

Les mélanges ne sont pas des rotations aléatoires. La règle 4b3 exige qu’un programme officiel produise un état aléatoire parmi tous ceux nécessitant au moins deux mouvements, chacun avec la même probabilité. Le programme écrit ensuite une séquence de rotations produisant cet état. Le mode libre de cette page fait de même : « Mélanger » choisit une position uniformément au hasard parmi toutes les positions résolubles.

Les records

Au 20 octobre 2026, la page des records de la WCA donne les records du monde suivants :

Le record individuel du 3×3 a souvent été battu. L’historique de la WCA commence avec les 22,95 secondes de Minh Thai au premier championnat du monde à Budapest, le 5 juin 1982, auquel participaient 19 personnes. Au championnat du monde de 2003 à Toronto, Jess Bonde a réalisé 16,53 secondes et Dan Knights a remporté l’épreuve avec une moyenne de 20,00. Le record est passé sous 10 secondes en 2007, sous 5 en 2015 (Lucas Etter, 4,90) et sous 4 en 2018 (Yusheng Du, 3,47). En octobre 2017, le Coréen SeungBeom Cho le détenait avec 4,59 secondes. Max Park a réalisé 3,13 en 2023, Xuanyi Geng 3,05 en avril 2025, Teodor Zajder 2,76 en février 2026 et, le 5 octobre 2026, Xuanyi Geng a établi les 2,51 actuelles.

La partie « Moi » du laboratoire compare votre meilleur temps au record : avec une minute, vous êtes environ 24 fois plus lent, et le détenteur du record pourrait résoudre 23 cubes pendant votre résolution.

À l’aveugle, à une main, en moins de mouvements

Pour la résolution à l’aveugle, le chronomètre démarre d’abord. Le compétiteur étudie le cube (phase de mémorisation), met un bandeau et résout sans voir ; le temps enregistré comprend la mémorisation. Les notes sont interdites. Le record de 11,56 secondes comprend tout cela.

L’épreuve du moins de mouvements est à l’opposé de la vitesse. Les compétiteurs reçoivent le mélange, du papier et 60 minutes, et la solution écrite la plus courte gagne. Elle est comptée dans la métrique des rotations de blocs externes et ne doit pas dépasser 80 mouvements, rotations du cube comprises. Le premier record du monde, au championnat de 2003, était de 29 mouvements. Le record individuel actuel, 16 mouvements, a d’abord été atteint par Sebastiano Tronto en 2019, puis égalé par trois autres. Un résultat de 16 est inférieur à 20 parce qu’un mélange de compétition est rarement l’une des positions les plus difficiles : la solution la plus courte de la plupart des positions compte 17 ou 18 mouvements, et en trouver une de 16 à la main pour un mélange donné demande de l’habileté et un peu de chance.

Une brève histoire

L’histoire documentée du cube est courte et bien datée. Larry Nichols a déposé son brevet de 2×2 magnétique le 4 mars 1970, publié le 11 avril 1972. Ernő Rubik a déposé le brevet hongrois 170062 du 3×3 le 30 janvier 1975, publié le 28 mars 1977. La méthode de Thistlethwaite en 52 mouvements, première borne supérieure garantie pour le nombre de Dieu, date de juillet 1981. Le premier championnat du monde s’est tenu à Budapest en 1982. L’ère moderne des compétitions a commencé avec le championnat de 2003 à Toronto et la création de la WCA en 2004, et la longue recherche du nombre de Dieu s’est achevée en juillet 2010 avec la preuve que 20 mouvements suffisent toujours.

Une grande partie du reste du récit sur le cube (combien ont été vendus, quand il est arrivé dans tel pays) relève d’une histoire populaire que cette page n’a pas pu vérifier auprès d’une institution ou d’une revue ; elle l’omet donc.

Le fonctionnement du modèle de cette page

Le cube de la scène repose sur 54 autocollants, numérotés face par face. Chaque mouvement de la notation est construit géométriquement plutôt que saisi à la main : chaque autocollant possède une position et une direction vers l’extérieur, et un mouvement tourne ceux de ses couches de 90 degrés autour d’un axe. La page détermine ensuite où chaque autocollant est allé. Les mêmes tables pilotent le cube 3D, le solveur et le programme de vérification ; le cube visible et celui qui est résolu sont donc le même objet.

Le cube 3D est dessiné avec 26 pièces arrondies et 54 autocollants, chaque catégorie sous forme d’un maillage instancié, de sorte que le cube entier ne coûte que deux appels de dessin. Une rotation fait tourner les pièces d’une couche ; à sa fin, les pièces reviennent exactement à leurs positions et les autocollants prennent leurs nouvelles couleurs depuis l’état des 54 autocollants.

Le glissement fonctionne comme sur un vrai cube. Quand vous appuyez sur un autocollant et déplacez le doigt, la page examine les deux directions le long de cette face, choisit celle la plus proche de votre geste à l’écran et tourne la couche correspondante : glisser vers le haut sur la colonne droite de la face avant donne R, glisser latéralement sur la rangée supérieure donne U ou U′. Les rangées centrales tournent des tranches.

Le solveur est la méthode débutante décrite plus haut, écrite sous forme de code. Son étape de croix utilise une recherche dans une table ; les autres suivent les règles qu’appliquerait une personne, et celles de la dernière couche essaient leur formule après chacune des quatre rotations du haut. Le programme de vérification résout 1000 positions aléatoires et 1000 mélanges aléatoires, vérifie après chaque étape qu’elle a rempli sa fonction, contrôle tous les dénombrements avec des entiers exacts et confirme que le test du cube colorié accepte toute position réelle et refuse toute position avec torsion, retournement ou échange interdit.

Ce que le modèle simplifie :

• Le cube est un modèle de 57 mm (trois pièces de 19 mm) ; les vrais cubes varient en taille et en forme, et les ressorts et pieds sont dessinés, non mesurés.
• Les rotations sont parfaites : pas de rotation avec des coins mal alignés, pas de blocage, pas de pièce qui saute.
• La méthode débutante présentée est une version parmi beaucoup d’autres ; les livres et enseignants diffèrent dans les formules de dernière couche qu’ils utilisent.
• Le tableau du nombre de Dieu utilise les estimations de l’article pour 16 à 20 mouvements, signalées par ≈.

À essayer

• Restez à la première étape du guide et regardez la résolution du début jusqu’à la fin. Puis appuyez sur « Suivre lentement » et suivez les mêmes 129 mouvements avec les flèches.
• Dans Tourner, faites glisser vers le haut la colonne droite de la face avant. C’est R. Faites-la redescendre : R′. Effectuez R U R′ U′ six fois et regardez le cube revenir.
• Mélangez et essayez de réaliser vous-même la croix blanche. La représentation dépliée dans le coin montre la face inférieure pendant votre travail.
• Coloriez votre propre cube. Tenez-le blanc en haut, vert devant, et coloriez les 54 autocollants. Si la page refuse, elle indique quelle règle votre cube enfreint ; s’il a été démonté, il faudra peut-être remettre un coin dans sa bonne orientation.
• Dans le laboratoire, saisissez R U et appuyez sur « Calculer » : 105. Essayez ensuite R U2 D′ B D′.
• Produisez le superflip, puis rejouez les mêmes 20 mouvements.
• Trouvez les 14 objets cachés dans la salle. Le chronomètre, la feuille de résultats, la main robotique et les brevets ouvrent chacun une fiche.