Ángulos del billar: apuntar, efecto y diamantes, paso a paso

Por qué la bola no va adonde apuntaste

Observa unos minutos a un buen jugador de tres bandas y algo salta a la vista. La bola blanca casi nunca viaja en línea recta desde el taco hasta el lugar donde termina. Roza una bola, recorre una banda, sale con un ángulo que parece equivocado, se curva un poco sobre el paño y llega a la última bola como si alguien la hubiera guiado. Nada la guía. Cada giro de ese recorrido viene de tres cosas: el ángulo con que se encuentran dos bolas, el efecto que el taco le dio a la bola y la fricción entre bola, paño y banda.

Esta página te deja separar esas tres cosas. La mesa del escenario está construida con las medidas de los reglamentos de las dos federaciones mundiales: la Union Mondiale de Billard (UMB) para la carambola y la World Pool-Billiard Association (WPA) para el pool. Las bolas funcionan con un modelo físico que sigue dónde está cada bola, a qué velocidad se mueve y cómo gira alrededor de los tres ejes, dos mil veces por segundo. Cuando tiras, lo que ves es el modelo calculando el tiro, no una grabación.

En los primeros segundos un punto de tres bandas se juega solo: la bola blanca roza la amarilla, recorre tres bandas y llega a la roja, y deja una línea sobre el paño detrás de cada bola. Después la guía repasa, de una en una, las ideas que hacen posible ese tiro, cada una con una demostración y un tiro para que lo pruebes. Primero viene apuntar con la bola fantasma; luego el grosor, el ángulo de corte y la regla de los 90 grados. Después ves por qué una bola golpeada en su centro se desliza antes de rodar, y exactamente cuánto. El seguimiento y el retroceso, el efecto lateral en la banda, el sistema de diamantes que usan los jugadores de tres bandas para planear tiros por tres bandas, curvar la bola con el taco levantado y embocar en una mesa de pool completan el curso.

Debajo de los controles hay tareas con estrellas, una colección de los tipos de tiro que has jugado, tablas con los números detrás del modelo y algunas calculadoras. Alrededor de la mesa hay trece cosas por encontrar. El texto de abajo explica la física con los números que usa el escenario, para que puedas comprobarlos.

Dos mesas, según los reglamentos

La mesa de carambola

El artículo 11 de las Reglas Mundiales de Billar de Carambola de la UMB fija la mesa. La superficie de juego, medida por dentro de las bandas, mide 2,84 m de largo y 1,42 m de ancho, con 5 mm de tolerancia en cada sentido. Son exactamente dos cuadrados lado a lado, y por eso los diamantes de una mesa de carambola dividen ambas barandas en pasos iguales: ocho a lo largo y cuatro a lo ancho, cada uno a 355 mm del siguiente. La pizarra bajo el paño debe tener al menos 45 mm de grosor. La parte superior del marco queda entre 75 y 80 cm sobre el suelo. Las bandas son de caucho, y su borde delantero, la nariz, mide 37 mm de alto con 1 mm de tolerancia.

El mismo artículo contiene una línea que sorprende a casi todos: las mesas de los torneos oficiales deben llevar un calentador eléctrico con termostato, encendido desde el momento en que se monta la mesa hasta que termina la competición. El calor saca la humedad de la pizarra y del paño, y la regla dice el motivo con palabras llanas: asegurar el mejor rodado posible. En un tiro de tres bandas la bola suele recorrer varios metros, y un paño húmedo le quitaría una parte notable de ese recorrido.

El artículo 12 trata de las bolas. Son tres, deben ser rigurosamente redondas, de entre 61 y 61,5 mm de diámetro (el texto en inglés dice «cm», un error de tecleo; las reglas de cinco bolos dan el mismo rango en mm) y de entre 205 y 220 g. En un mismo juego, la bola más pesada y la más ligera no pueden diferir en más de 2 g. El artículo 15 pide al menos 520 lux de luz en todo el paño, medidos con el luxómetro apoyado sobre el paño, advierte que el deslumbramiento empieza a los 5000 lux en visión directa y sitúa la fuente de luz al menos a 1 m sobre la superficie de juego.

La mesa de pool

Las Especificaciones de Equipamiento Recomendadas de la WPA describen una mesa de 9 pies con una superficie de juego de 100 por 50 pulgadas, 2,54 por 1,27 m, otra vez exactamente dos cuadrados. Las barandas miden de 4 a 7,5 pulgadas de ancho, incluida la banda. Los 18 puntos de mira, los diamantes, van a ras de la tapa de la baranda, separados 12,5 pulgadas (317,5 mm) y a 93,7 mm de la nariz de la banda. La altura de la nariz se da como una parte de la bola: el 63,5 % del diámetro, con un margen de 1 %. La pizarra debe tener al menos una pulgada de grosor y ser plana con una variación de 0,508 mm a lo largo y de 0,254 mm a lo ancho.

Las bolas de pool son más pequeñas y ligeras: 57,15 mm de diámetro y de 156 a 170 g, de resina fenólica moldeada, con una bola blanca y quince bolas numeradas. Una bola de carambola es un 7 % más ancha y un 30 % más pesada. Las troneras se especifican al milímetro: la boca de la tronera de esquina, medida entre las narices de las bandas donde se curvan hacia la tronera, es de 4,5 a 4,625 pulgadas (114,3 a 117,5 mm), y la boca de la tronera lateral es media pulgada más ancha, de 127 a 130,2 mm. La banda en una tronera de esquina debe cortarse a 142 grados y en una tronera lateral a 104 grados.

La WPA da además una prueba de lo viva que está la banda. Con la bola blanca en el punto de cabeza, tirada a través del punto de pie con el taco nivelado, a bola centrada y con un golpe firme, la bola debe recorrer al menos de cuatro a cuatro veces y media el largo de la mesa sin saltar. En la mesa de pool del escenario, un tiro a bola centrada necesita unos 6,2 m/s para cubrir cuatro largos; a 4 m/s cubre 2,9. Eso es, más o menos, lo que significa «un golpe firme» en números.

Las dos, una junto a otra

En el escenario, el interruptor de arriba cambia la mesa. La mesa de carambola no tiene troneras, tiene tres bolas y un lecho calentado; la mesa de pool tiene seis troneras, bolas más pequeñas y paño verde (la WPA admite verde amarillento, verde azulado o azul eléctrico). La figura junto a la mesa mide 1,7 m. Pon tu propia altura en Yo y cambia; el laboratorio también te dice si podrías alcanzar el centro de cada mesa sin el rastrillo, usando un alcance de 0,62 veces tu altura más allá del borde de la baranda. Esa proporción es una estimación, no una medición.

Apuntar con la bola fantasma

Supón que quieres enviar una bola objetivo hacia una tronera. La bola objetivo saldrá siguiendo la línea que pasa por los dos centros en el momento del contacto, la línea de centros, así que en el contacto el centro de la bola blanca debe estar sobre esa línea, a un diámetro de bola detrás de la bola objetivo. Imagina una segunda bola ahí, tocando a la bola objetivo por el lado opuesto a la tronera. Esa bola imaginaria es la bola fantasma, y apuntar significa enviar el centro de la bola blanca al centro del fantasma.

En números: si la bola objetivo está en O y la tronera en P, el centro G del fantasma es

G = O − 2R (P − O) / |P − O|

donde R es el radio de la bola. En la lección del fantasma del escenario, la amarilla 1 está en (0,60; 0,28) m desde el centro de la mesa de pool, la tronera de la esquina superior derecha está en (1,27; 0,635) y R es 28,6 mm. El fantasma resulta estar en (0,5495; 0,2532). Desde la bola blanca, en (−0,55; −0,10), eso queda a 1,155 m en una dirección de 17,8 grados por encima del eje largo, y el tiro de lección guardado en el escenario usa exactamente ese ángulo. En el modelo, la bola entra.

La bola fantasma no es el punto donde se tocan las bolas. Ese punto de contacto está a mitad de camino entre los dos centros, en la superficie de la bola objetivo. Los jugadores que apuntan el centro de la bola blanca al punto de contacto en vez de al fantasma golpean la bola demasiado gruesa y cortan de menos en cada tiro; la diferencia entre los dos puntos de apuntado es un radio de bola completo.

Grosor y ángulo de corte

Mira la bola objetivo a lo largo de tu línea de apuntado. La parte de ella que cubrirá la bola blanca se llama grosor, o fracción de impacto f. Un golpe pleno la cubre toda (f = 1). Apuntar el centro de la bola blanca al borde de la bola objetivo cubre la mitad (f = 1/2). El ángulo entre la línea de apuntado y la línea de centros, el ángulo de corte φ, se deduce de la geometría de dos círculos iguales:

f = 1 − sin φ, de modo que φ = asin(1 − f).

Un golpe a media bola es, por tanto, un corte de 30 grados, un golpe a un cuarto de bola, de unos 48,6 grados, a un octavo, de 61 grados, y a un dieciseisavo, de 69,6 grados. La tabla del laboratorio los enumera con lo que le pasa después a la bola blanca. Los cortes finos son difíciles por una razón simple: cerca de f = 0, un cambio pequeño en el punto de apuntado cambia mucho el ángulo de corte. De f = 1/2 a f = 1/4 el corte crece 18,6 grados; de 1/8 a 1/16 crece 8,6 grados con un desplazamiento del apuntado de solo 3,8 mm en una bola de carambola.

En el escenario, la lectura muestra el ángulo de corte y el grosor de la línea de apuntado actual antes de que tires, y las líneas guía dibujan tres direcciones desde el fantasma: la trayectoria de la bola objetivo (roja), la línea tangente perpendicular a ella (azul) y la dirección que tomaría una bola blanca que rueda (amarilla).

La regla de los 90 grados

Golpea una bola objetivo con una bola blanca sin efecto en el instante del contacto, un golpe stun, y las dos bolas se separan en ángulo recto. La bola objetivo sale por la línea de centros y la bola blanca por la línea tangente, perpendicular a aquella. Esto vale para todos los ángulos de corte, lo que lo convierte en uno de los datos más útiles de la mesa: puedes ver adónde irá la bola blanca antes de tirar.

La demostración usa dos leyes de conservación. Toma masas iguales m, una velocidad de entrada v y velocidades de salida v₁ (bola blanca) y v₂ (bola objetivo). Cantidad de movimiento: m v = m v₁ + m v₂, de modo que v = v₁ + v₂. Energía, para un contacto perfectamente elástico y sin fricción: ½ m v² = ½ m v₁² + ½ m v₂², de modo que v² = v₁² + v₂². Eleva al cuadrado la primera ecuación: v² = v₁² + v₂² + 2 v₁·v₂. Las dos juntas dejan v₁·v₂ = 0: o bien una bola está en reposo o bien las dos velocidades son perpendiculares. Los tres vectores forman un triángulo rectángulo con v como hipotenusa, y por eso la velocidad de la bola objetivo es v cos φ y la de la bola blanca, v sin φ.

Las bolas reales no son perfectamente elásticas. David Alciatore, de la Universidad Estatal de Colorado, da un coeficiente de restitución típico de unos 0,93 para las bolas de pool y concluye que la regla de los 90 grados se parece más a una regla de los 85 grados. Además, las bolas se rozan entre sí durante el instante en que se tocan, y esa fricción cambia el ángulo un poco más. El modelo de esta página usa una restitución de 0,95 y una fricción bola-bola de 0,06, ambas dentro de los rangos que enumera Alciatore (de 0,92 a 0,98 y de 0,03 a 0,08). Con esos valores, un corte stun separa las bolas a 81,6 grados para un corte de 15 grados, 83,9 para 30, 85,0 para 45, 85,7 para 60 y 86,2 para 75. La comprobación que se ejecuta con esta página confirma que con restitución 1 y sin fricción el ángulo es de 90 grados con menos de 0,05 grados de diferencia en todos los cortes, y que la cantidad de movimiento se conserva exactamente en ambos casos mientras que la energía se conserva solo en el caso ideal.

Hay una excepción a la regla: un golpe stun perfectamente recto, sin corte. Entonces la bola blanca se detiene en el sitio y la bola objetivo toma su velocidad, el golpe de parada. Con restitución e, la bola blanca conserva (1 − e)/2 de su velocidad, un 2,5 % en este modelo, y por eso un golpe de parada real todavía se arrastra hacia delante un centímetro o dos.

Primero deslizar, luego rodar: la regla 12/49

Golpea una bola exactamente en su centro y al principio no rueda. Sale del taco deslizándose, sin efecto, y el paño arrastra la parte inferior de la bola. Esa fricción frena la bola y, en el mismo momento, la hace girar en el sentido del rodado. Cuando el giro alcanza a la velocidad, la parte inferior de la bola deja de resbalar sobre el paño y la bola rueda.

La aritmética es corta. La fuerza de fricción es μ m g, donde μ es la fricción de deslizamiento entre bola y paño, de unos 0,2 (Alciatore enumera de 0,15 a 0,4; Mathavan, Jackson y Parkin midieron de 0,178 a 0,245 en una mesa de snooker con una cámara de alta velocidad). La bola se frena a μ g. La misma fuerza actúa con un brazo de palanca R respecto del centro, y el momento de inercia de la bola es (2/5) m R², así que su giro crece a (5/2) μ g / R. El deslizamiento en la parte inferior de la bola, v − R ω, disminuye por tanto a μ g + (5/2) μ g = (7/2) μ g. Partiendo de v₀ sin giro, llega a cero después de

t = 2 v₀ / (7 μ g).

En ese tiempo la bola recorre v₀ t − ½ μ g t², que resulta ser

d = 12 v₀² / (49 μ g),

y entonces rueda a 5/7 de su velocidad inicial. A 2 m/s y μ = 0,2 son 0,29 s y 0,50 m, y la bola sigue rodando a 1,43 m/s. A 1 m/s son 0,125 m; a 4 m/s, 2,0 m. Sobre un paño más lento y nuevo, con μ = 0,3, la distancia a 2 m/s baja a 0,33 m; sobre un paño gastado, con μ = 0,15, sube a 0,67 m. Dos séptimos de la energía cinética de la bola pasan al paño durante el deslizamiento, sea cual sea la velocidad.

En el escenario, la lección de rodado dispara un tiro a bola centrada a 2 m/s y pone un anillo donde el modelo dice que la bola empieza a rodar. La etiqueta marca 0,50 m frente a los 0,50 m de la fórmula. La comprobación repite esto a 1, 2 y 4 m/s y compara la distancia, el tiempo y la velocidad con las fórmulas con una diferencia de menos de 2 mm y 2 ms. Rod Cross, de la Universidad de Sídney, ha medido cómo se ve este paso de deslizar a rodar sobre una superficie cubierta de fieltro, y el mismo modelo sencillo de una fricción de deslizamiento constante seguida de una fricción de rodadura mucho menor es el punto de partida habitual.

La misma aritmética dice dónde golpear para que la bola ruede de inmediato. El giro que da un taco es ω = 5 v b / (2 R²), donde b es la altura de la suela sobre el centro (TP A.12 de Alciatore). Para rodar se necesita ω = v / R, de modo que b = 0,4 R. Ese punto, al 70 % de la altura de la bola, es el centro de percusión. Golpea ahí y nada se desliza.

Seguimiento y retroceso

El efecto desde la suela

Mueve la suela por encima del centro y la bola sale con efecto de arriba, más del que necesita para rodar si la suela está por encima de 0,4 R. Muévela por debajo del centro y la bola sale con efecto de abajo. ¿Hasta qué distancia del centro se puede llegar? El análisis de Alciatore sitúa el límite útil en la mitad del radio. Más allá de 0,5 R es probable que la suela resbale de la bola durante la milésima de segundo que están en contacto, un golpe en falso (miscue), incluso con tiza. El selector de efecto del escenario dibuja ese límite como un anillo de trazos y no te deja pasarlo.

Qué ocurre en la bola objetivo

En el contacto, las bolas se tocan durante mucho menos de un milisegundo y sus superficies son lisas, así que casi nada del efecto de la bola blanca se transmite. La bola blanca pierde la mayor parte de su velocidad a lo largo de la línea de centros, pero conserva casi todo su efecto. En un golpe pleno eso deja una bola blanca casi en reposo, girando. El efecto de arriba la empuja entonces hacia delante, detrás de la bola objetivo, un tiro de seguimiento; el efecto de abajo la tira hacia el jugador, un tiro de retroceso.

En la lección de seguimiento del escenario, la bola blanca se golpea a 1,5 m/s con la suela 0,3 R por encima del centro, da de lleno en la roja y sigue 0,57 m más allá del contacto. En la lección de retroceso se golpea a 3 m/s con la suela 0,3 R por debajo del centro, y después del golpe pleno vuelve 1,30 m. El efecto de abajo se va gastando en el camino hacia la bola objetivo, y por eso un tiro de retroceso necesita más velocidad de la que cabría esperar: el efecto tiene que sobrevivir al viaje.

La regla de los 30 grados y la parábola de Coriolis

Cuando la bola blanca llega rodando y golpea la bola objetivo en ángulo, sale por la línea tangente pero conserva todavía su efecto hacia delante. El paño la arrastra entonces hacia un lado, y termina moviéndose en una dirección entre la línea tangente y el apuntado original. Para un golpe a media bola, Alciatore llama al resultado la regla de los 30 grados: la trayectoria de la bola blanca se desvía unos 30 grados de la línea de apuntado, y se mantiene cerca de 30 en cualquier golpe de un cuarto a tres cuartos de la bola. Da una manera de verlo con la mano: separa los dedos índice y corazón en una V relajada, apunta con uno a lo largo del apuntado, y el otro muestra adónde va la bola blanca.

Gaspard-Gustave Coriolis lo dedujo en 1835. Para bolas ideales, la velocidad final de la bola blanca una vez que se asienta la curva es 5/7 de su velocidad justo después del impacto más 2/7 de la velocidad que le daría su efecto al rodar. De ahí resulta que la desviación respecto de la línea de apuntado es máxima, 33,7 grados, con un corte de 28,1 grados. La comprobación que se ejecuta con esta página encuentra el máximo de la fórmula en 33,75 grados y 28,1 grados. Para los grosores 3/4, 1/2 y 1/4 la fórmula da 27,6, 33,7 y 27,3 grados; las bolas reales, algo inelásticas, quedan un poco más abajo, y de ahí sale el número redondo 30.

Coriolis también demostró que la curva entre la línea tangente y la dirección final es una parábola. La fuerza de fricción de una bola que se desliza tiene un tamaño constante y una dirección casi constante mientras dura la curva, así que la bola se mueve como una piedra lanzada bajo una atracción constante. La comprobación ajusta una parábola a la trayectoria curva del modelo después de un golpe a media bola y encuentra un ajuste con R² superior a 0,999.

Efecto lateral, squirt, swerve y throw

El efecto lateral por sí solo no curva la trayectoria

Golpea la bola blanca a la izquierda o a la derecha del centro con el taco nivelado y gira alrededor del eje vertical. Ese giro no hace nada a la trayectoria de la bola sobre el paño. La parte inferior de la bola no resbala hacia los lados, y un giro alrededor del eje vertical no puede empujarla lateralmente. Solo se nota cuando la bola toca algo: una banda u otra bola. En el escenario, pon el selector de efecto todo a la derecha con el taco nivelado, apunta a una banda larga y mira: el camino hasta la banda es recto.

Squirt

El efecto lateral sí cambia el inicio de la trayectoria, pero por otro motivo. Cuando la suela golpea fuera del centro, la bola empuja el extremo del taco hacia un lado, y por la tercera ley de Newton el taco empuja la bola en sentido contrario. La bola sale algo desviada de la línea de apuntado, alejándose del lado en que golpeaste. El TP A.31 de Alciatore da el ángulo a partir del desplazamiento de la suela b/R y de la razón entre la masa de la bola y la masa efectiva de los últimos centímetros de la caña:

tan(squirt) = (5/2)(b/R)√(1 − (b/R)²) / (1 + m_bola/m_extremo + (5/2)(1 − (b/R)²)).

Con una razón de masas de 25, un taco de juego típico en este modelo, medio radio de efecto lateral da 2,22 grados, que son 78 mm fuera de la línea tras 2 m. Una caña de bajo squirt con una razón de 40 da 1,45 grados; un taco de salida pesado con una razón de 15 da 3,47 grados. La calculadora del laboratorio hace estas cuentas, y el interruptor Squirt activa y desactiva el efecto en el escenario.

Swerve

Un taco real nunca está del todo nivelado: tiene que librar la baranda. Con la suela fuera del centro y el taco inclinado hacia abajo, parte del impulso empuja la bola contra el paño, y el eje de giro se inclina. Un eje de giro inclinado significa que la parte inferior de la bola sí resbala hacia los lados, y el paño curva la trayectoria. Eso es el swerve; con un taco muy levantado se convierte en un massé, que se trata más abajo.

Throw

La fricción entre las bolas también desvía la trayectoria de la bola objetivo. En un corte, la superficie de la bola blanca se desliza sobre la superficie de la bola objetivo durante el contacto, y la fricción empuja un poco la bola objetivo fuera de la línea de centros, en el sentido en que se mueve la bola blanca. Alciatore llama a esto throw inducido por la colisión y muestra que es mayor cerca de un golpe a media bola y mayor a baja velocidad. El efecto lateral añade throw inducido por el efecto, y la misma fricción transmite un poco de efecto a la bola objetivo. En el modelo, un corte stun de 15 grados envía la bola objetivo a 12,3 grados en lugar de 15, un throw de unos 2,7 grados. En un metro son 47 mm, cerca de la mitad de una tronera.

Bandas: por qué el rebote no es un espejo

Un rayo de luz sale de un espejo con el ángulo con que llegó. Una bola de billar no, por tres razones, y el escenario te deja ver cada una.

La primera es que la banda quita velocidad a la parte del movimiento que entra en ella, pero no a la parte que va a lo largo de ella. Si la velocidad normal vuelve con e veces su valor y la velocidad a lo largo de la banda no cambia, la bola sale más plana de lo que entró: tan(salida) = e tan(entrada), con los ángulos medidos desde la línea de la banda. H. Résal señaló en 1883 que los experimentos mostraban que esta razón de velocidades normales era casi independiente del ángulo de aproximación, y eso es lo que hace útil un único número. Alciatore enumera de 0,6 a 0,9 para las bandas de pool. Mathavan y sus colegas, filmando una bola de snooker que rueda lanzada de frente contra la banda, encontraron que volvía con 0,818 de su velocidad en promedio.

La segunda es la altura de la nariz. En una mesa de carambola la nariz está a 37 mm sobre el paño y el centro de la bola está a 30,75 mm, así que la banda toca la bola por encima de su centro. La fuerza de contacto apunta entonces un poco hacia abajo además de hacia atrás, y presiona la bola contra el paño, y la fricción en la nariz actúa en un punto que no está a la altura del centro. El análisis de Mathavan sitúa el contacto a 7/5 del radio sobre la mesa en el snooker y el pool. El 63,5 % de altura de nariz de la WPA es algo menor, 1,27 R. Su modelo numérico, ajustado a experimentos, da una restitución de la banda de 0,98 y una fricción bola-banda de 0,14, y es válido hasta unos 2,5 m/s; por encima de eso la banda se comprime demasiado para un modelo rígido.

La tercera es el efecto. Una bola que gira alrededor del eje vertical roza a lo largo de la banda en el contacto. Si el roce apunta hacia atrás respecto del avance de la bola a lo largo de la baranda (efecto a favor), la fricción empuja la bola hacia delante a lo largo de la banda y el rebote se abre. Si apunta hacia delante (efecto en contra), el rebote se acorta. El efecto de arriba de una bola que rueda también roza contra la nariz, que está por encima de su centro, y por eso una bola que rueda sale de una banda y luego se curva: durante un instante después del rebote su giro ya no concuerda con su nueva dirección.

En el modelo, una bola que rueda lanzada a una banda larga a 45 grados sale a 38,9 grados de la línea de la banda sin efecto lateral, a 30,0 grados con efecto a favor y a 39,3 con efecto en contra. Con una entrada de 30 grados, las cifras son 27,4, 23,4 y 35,4. Lanzada de frente a 1,2 m/s, una bola que rueda vuelve a 0,87 de su velocidad justo después del rebote y a 0,49 cuando su efecto de arriba se ha gastado sobre el paño: el efecto de arriba sigue empujándola hacia la banda durante un momento.

La banda del modelo es más sencilla que la de Mathavan. Trata el rebote como un solo impulso a la altura de la nariz, con una restitución de 0,9 para la velocidad normal y una fricción de 0,2 contra el deslizamiento en la nariz, más la fricción del paño bajo la bola para el empuje adicional contra el paño. El valor de la fricción es mayor que los 0,14 de Mathavan a propósito: con él, esta banda simplificada sigue las trayectorias de referencia del sistema de diamantes de más abajo con una diferencia de menos de medio diamante. Ambos valores están marcados como valores del modelo en el laboratorio.

El sistema de diamantes

Números en las barandas

Los jugadores de tres bandas planean tiros por tres o más bandas con sistemas de diamantes: numeran los diamantes, hacen una resta, apuntan. El más conocido es el sistema Corner-5, que la hoja de Alciatore muestra en una mesa de pool y que los jugadores de carambola usan con los números multiplicados por diez. Es una regla empírica, una fórmula hallada jugando, no una ley de la física.

En el escenario, pulsa Diamantes o activa Números de diamantes. Aparecen tres juegos de números en las tapas.

• Los números de la bola blanca (azules) empiezan en 50 en la esquina izquierda del fondo y siguen 45, 40, 35, 30 a lo largo de la baranda larga del fondo y 60, 70, 80 por la baranda corta izquierda.
• Los números de la primera baranda (naranjas) recorren la baranda larga cercana desde 80 en la esquina izquierda hasta 0 en la derecha, de diez en diez por diamante.
• Los números de la tercera baranda (blancos) recorren en el mismo sentido la baranda larga del fondo.

Traza una línea desde el punto de la primera baranda al que apuntas hacia atrás, pasando por la bola blanca, y lee el número de la bola blanca donde esa línea corta la baranda larga del fondo o la baranda corta izquierda. La fórmula es entonces

llegada en la tercera baranda = número de la bola blanca − número de la primera baranda.

Desde la esquina (50), apuntar a 30 envía la bola a 20 en la tercera baranda; apuntar a 20 la envía a 30. Para obtener una llegada A desde el número C, apunta a C − A.

Cuándo funciona y cuándo no

El sistema supone una manera concreta de golpear la bola: velocidad media y efecto lateral a favor, de modo que cada rebote salga algo más abierto de lo que entró. Burkard Polster y Marty Ross lo dicen claramente en sus notas sobre el sistema de diamantes: la regla A − B = C solo se cumple de forma aproximada, y su exactitud depende de manera complicada de dónde están las bolas y de cómo se golpea la bola blanca. La hoja de Alciatore incluye correcciones: apunta más bajo para llegadas bajas, más alto para llegadas altas. Cada jugador aprende sus propias correcciones para cada mesa, paño y velocidad, y esa es una de las razones por las que importa la mesa calentada y estandarizada.

El escenario te permite probar la fórmula contra el modelo. Partiendo de la trayectoria de la esquina, con la bola blanca a 30 cm de la esquina, golpeada a 2,5 m/s con la suela 0,2 R por encima del centro y 0,2 R hacia el lado a favor, las llegadas del modelo son 33,1 para una predicha de 35, 29,0 para 30, 25,0 para 25, 20,7 para 20 y 16,0 para 15. Todas quedan a menos de medio diamante de la fórmula, y la comprobación que se ejecuta con esta página falla si alguna no lo está. Cambia la velocidad o el efecto y las llegadas se desplazan, que es el límite del sistema hecho visible.

Inhwan Han analizó en 2005 la dinámica de la carambola y de las tres bandas con mecánica de sólido rígido, dividiendo el movimiento en tres partes: la bola sobre el lecho, las colisiones entre bolas y la bola contra la banda, cada una con fricción. Un modelo así es lo que permite comparar una simulación como esta con los sistemas que usan los jugadores.

Curvar la bola: el massé

Levanta el taco con mucha inclinación y golpea la bola fuera del centro, y el impulso tiene una gran parte hacia abajo. La bola se presiona contra el paño y adquiere un giro alrededor de un eje inclinado muy lejos de la vertical. Alciatore compara este efecto de massé con el balanceo de un avión sobre su propio eje longitudinal. La parte inferior de la bola resbala ahora hacia los lados sobre el paño, y la fricción empuja la bola lateralmente mientras dure el deslizamiento. La trayectoria se curva.

Coriolis encontró una manera de apuntarlo, que Alciatore llama el método BAR: la dirección final de la bola, una vez asentada la curva, es paralela a la línea que va desde el punto de reposo de la bola blanca hasta el punto del paño al que apunta el taco. En la lección de massé del escenario, el taco se levanta 45 grados, la suela 0,45 R a la izquierda y 0,3 R arriba, y la bola, golpeada a 1,6 m/s, se arquea más de 5 cm respecto de una línea recta para rodear la amarilla y dar en la roja sin tocar ninguna banda. Míralo a un cuarto de la velocidad real y el efecto se sigue fácilmente en los puntos rojos de la bola blanca.

Carambola y pool, una junto a otra

En el tres bandas, definido por el artículo 83 de la UMB, la bola blanca debe tocar las bandas al menos tres veces antes de tocar la segunda bola objetivo. Puede tocar las bandas antes de la primera bola, entre las dos o en ambos momentos, y la misma banda puede contar más de una vez. En el juego a una banda (artículo 82) basta con una sola banda. Un punto fallado entrega la mesa al rival. En las Copas del Mundo de la UMB cada tiro tiene un límite de 40 segundos con un aviso a los 30, y cada jugador puede pedir dos tiempos muertos por partido que añaden otros 40 segundos.

El pool da la vuelta al problema. En vez de alcanzar dos bolas con una, envías una bola a una tronera y mantienes fuera la bola blanca. La física es la misma, pero los objetivos difieren. En la carambola lo que más importa es adónde va la bola blanca después del primer contacto; en el pool lo que más importa es adónde va la bola objetivo, con la trayectoria de la bola blanca como segunda pregunta. Por eso la bola fantasma y el throw dominan la enseñanza del pool, mientras que las reglas de los 90 y de los 30 grados y los sistemas de diamantes dominan la carambola.

Las bolas también difieren. La bola de carambola, más pesada, lleva más energía a la misma velocidad y corre más lejos sobre un paño calentado. En el primer tiro del escenario, la bola blanca recorre 4,8 m en 7,9 segundos para anotar, y los tiros de tres bandas más largos cubren el doble. Las troneras de la mesa de pool añaden un problema geométrico propio: una bola que rueda por una banda hacia una tronera de esquina se encuentra con las mandíbulas de la tronera, cortadas a 142 grados, y o cae o rebota hacia fuera.

Mathieu Bouville describió el juego de posición en la carambola como un proceso de Markov: la dificultad de un tiro depende del tiro anterior, porque los jugadores que anotan con facilidad también se dejan tiros siguientes fáciles. Los buenos jugadores piensan dos tiros por delante. El escenario te deja eso a ti.

Una breve historia

La suela de cuero cambió el juego. Antes, los tacos terminaban en madera desnuda y no podían agarrar la bola lo bastante para darle efecto. La suela se atribuye a François Mingaud, un francés que, según la versión que cuenta Alciatore, estuvo preso a principios de los años 1800 y pegó un trozo de cuero a su taco agrietado. Con una suela que agarra, un jugador podía golpear fuera del centro sin que el taco patinara, y el efecto lateral pasó a formar parte del juego. Alciatore señala la ironía del nombre: english, la palabra estadounidense para el efecto lateral, la hizo posible un francés.

Coriolis vio jugar a Mingaud. En el prefacio de su Théorie mathématique des effets du jeu de billard, de 1835, dice que empezó a trabajar en el tema tras ver los efectos que Mingaud podía producir, y que verlo jugar le permitió comprobar que sus fórmulas coincidían con la experiencia. El libro trata del rodado y el deslizamiento sobre el paño, el golpe del taco, la colisión de dos bolas con y sin fricción, y las trayectorias curvas. Coriolis midió la fricción entre dos bolas en unos 0,028 y decidió dejarla de lado al principio por lo pequeña que era. Es el mismo Coriolis cuyo nombre se asocia a la fuerza en los sistemas de referencia en rotación. La historia de MacTutor de la Universidad de St Andrews da sus fechas como 1792 a 1843.

H. Résal publicó un comentario a la teoría de Coriolis en 1883. Desde entonces el tema lo han retomado ingenieros y físicos con cámaras de alta velocidad: las demostraciones técnicas de Alciatore, las mediciones de Mathavan, Jackson y Parkin de la fricción del paño y de la banda para jugadores de snooker robóticos, la dinámica de tres bandas de Han, el análisis de Charles Peskin de las colisiones tridimensionales con efecto y fricción, y un estudio de 2024 sobre cómo el agarre de la mesa sobre la bola objetivo cambia el resultado de una colisión entre dos bolas que giran. Filmada a 3000 fotogramas por segundo, la suela resulta tocar la bola durante aproximadamente una milésima de segundo.

Cómo funciona el modelo de esta página

El escenario guarda, para cada bola, una posición, una velocidad y un vector de giro con tres componentes. Cada medio milisegundo hace lo siguiente.

1. Paño. Si la parte inferior de la bola resbala sobre el paño, una fricción de 0,2 × m g actúa contra el deslizamiento y cambia tanto la velocidad como el giro. Cuando el deslizamiento llega a cero dentro del paso, la bola pasa a rodar. Una bola que rueda se frena a 0,01 × g. El giro alrededor del eje vertical decae a 10 rad/s².
2. Bolas. Cuando dos bolas se solapan, el paso se rebobina hasta el momento del contacto. Se aplica un impulso normal con restitución 0,95 a lo largo de la línea de centros, y un impulso de fricción de como máximo 0,06 veces ese impulso actúa contra el deslizamiento entre las dos superficies, incluido el deslizamiento causado por el efecto de arriba, de abajo y lateral. El impulso de fricción cambia los giros además de las velocidades.
3. Bandas. Cuando una bola llega a una banda, el paso se rebobina hasta el contacto. El contacto está a la altura de la nariz sobre el paño (37 mm en la mesa de carambola, el 63,5 % del diámetro de la bola en la mesa de pool). La velocidad normal vuelve a 0,9 de su valor, una fricción de como máximo 0,2 veces el impulso normal actúa contra el deslizamiento en la nariz, y la fricción del paño actúa sobre el empuje adicional contra el paño.
4. Troneras. En la mesa de pool, una bola que llega a una línea de banda dentro de la boca de una tronera cae.
5. El golpe. El impulso del taco se aplica en el punto de la bola que muestra el selector de efecto, en la dirección del taco. Eso fija la velocidad, las tres componentes del giro (TP A.12) y, si Squirt está activado, el pequeño ángulo de salida respecto de la línea de apuntado (TP A.31). Un taco levantado inclina el eje de giro.

La tabla de números del laboratorio enumera cada valor con su rango publicado y su fuente. Los valores usados están dentro de esos rangos, salvo la fricción de la banda, que está ajustada como se explicó arriba.

Algunas cosas están simplificadas. Los contactos son puntos instantáneos. El paño no tiene pelo y la mesa está perfectamente nivelada. Las bolas no se despegan del paño, así que no hay tiros con salto, y el empuje de una bola de massé contra el paño se trata como parte del golpe. Las troneras se dibujan como huecos en las bandas en lugar de modelar las mandíbulas. Los números de los diamantes se leen sobre la línea de la nariz de la banda, no sobre los diamantes de la tapa; los jugadores que apuntan sobre los diamantes obtendrían números ligeramente distintos.

El modelo se probó en más de 850 casos: la regla de los 90 grados con bolas ideales, la cantidad de movimiento y la energía, la distancia 12/49, los 33,7 grados de Coriolis, la parábola, el comportamiento de la banda, el squirt, la curva del massé, cinco trayectorias de diamantes y un tiro guardado para cada tarea que el modelo debe resolver.

Para probar

1. Pulsa Ver en la lección de los 90 grados, luego cambia Efecto de arriba o abajo en el panel y tira el mismo corte. Con efecto de arriba, la bola blanca sigue la dirección de los 30 grados en lugar de la línea tangente.
2. Encuentra el golpe de parada: en la disposición de la lección de retroceso, baja la velocidad hasta que el efecto de abajo justo se haya gastado al llegar a la roja. La bola blanca debería detenerse en seco.
3. En la lección de rodado, cambia la velocidad. El anillo se mueve con el cuadrado de la velocidad: si duplicas la velocidad, el anillo se mueve cuatro veces más lejos.
4. En Diamantes, apunta a 25 y tira sin efecto lateral. Luego vuelve a poner el efecto a favor. Compara las dos llegadas con el anillo azul.
5. Activa la Mesa de pool e intenta embocar el 1 en la esquina con retroceso para que la bola blanca no caiga en la tronera.
6. Desactiva y activa Squirt con el efecto lateral al máximo y observa cómo se desplaza la dirección de salida.
7. Pon Tiempo en 1/16 y observa los puntos rojos de la bola blanca durante un tiro de retroceso: hacia delante a la ida, hacia atrás en el contacto, y luego la bola vuelve.