ビリヤードの角度と狙い方：回転を試すシミュレーター

なぜ球は狙った方向へ進まないのか

腕のいいスリークッションの選手を数分間見ていると、一つのことに気づきます。手球が、キューから行き着く先まで一直線に進むことはほとんどありません。一つの球をかすめ、クッションに沿って走り、間違っているように見える角度で離れ、ラシャの上で少し曲がり、まるで操縦されたかのように最後の球に着きます。何も操縦してはいません。その進路のどの曲がりも、三つのものから生まれます。二つの球が出会う角度、キューが球に与えた回転、そして球とラシャとクッションのあいだの摩擦です。

このページでは、その三つを一つずつ分けて確かめられます。ステージのテーブルは、二つの世界組織のルールブックにある寸法で作られています。キャロムは Union Mondiale de Billard (UMB)、プールは World Pool-Billiard Association (WPA) です。球は物理モデルで動いていて、モデルは各球がどこにあり、どれだけの速さで動き、3 つの軸のまわりにどう回転しているかを、毎秒 2,000 回追っています。突いたときに見えるのは、録画ではなく、モデルがそのショットを計算していく様子です。

最初の数秒は、スリークッションの 1 点が自動で進みます。手球は黄色い球をかすめ、3 回クッションに当たって赤い球に届き、どの球の後ろにもラシャの上に線が残ります。そのあとガイドが、そのショットを可能にする考え方を一つずつ取り上げ、それぞれにデモと、自分で試せるショットがあります。最初はゴーストボールで狙うこと、次に厚みとカット角と 90 度の法則です。そのあと、中心を突かれた球がなぜ転がる前に滑るのか、そして正確にどれだけ滑るのかを見ます。押し球と引き球、クッションでのひねり、スリークッションの選手が 3 回クッションに当てるショットを組み立てるダイヤモンドシステム、キューを立てて球を曲げること、プールテーブルでの落とし方で、コースは締めくくられます。

操作部の下には、星付きの課題、突いたことのあるショットの種類のコレクション、モデルの裏にある数値の表、いくつかの計算機があります。テーブルのまわりには、見つけられるものが十三あります。以下の文章は、ステージが使う数値とともに物理を説明しているので、自分で確かめられます。

ルールブックにある 2 つのテーブル

キャロムテーブル

UMB の World Rules of Carom Billiard の第 11 条が、テーブルを定めています。クッションの内側で測ったプレー面は、長さ 2.84 m、幅 1.42 m で、どちらにも 5 mm の許容差があります。これは正方形がちょうど 2 つ並んだ大きさで、そのためキャロムテーブルのダイヤモンドは両方のレールを等しい間隔に分けています。長さ方向に 8、幅方向に 4 で、間隔はそれぞれ 355 mm です。ラシャの下のスレートは、厚み 45 mm 以上でなければなりません。フレームの上面は床から 75 から 80 cm の高さです。クッションはゴム製で、その前縁のノーズは高さ 37 mm、許容差は 1 mm です。

同じ条文には、多くの人が驚く一文があります。公式大会のテーブルには、サーモスタット付きの電気ヒーターがなければならず、テーブルを設置したときから大会が終わるまで入れておきます。熱がスレートとラシャから湿気を追い出し、ルールはその理由を平易な言葉で述べています。できるだけよい転がりを確保するためです。スリークッションの球は、1 ショットで数メートル進むことがよくあり、湿ったラシャはその目立つ割合を奪います。

第 12 条は球を扱っています。球は 3 つで、厳密に丸くなければならず、直径は 61 から 61.5 mm (英語の条文は "cm" と書いていますが、これは打ち間違いで、5 ピン・ビリヤードのルールは同じ範囲を mm で示しています)、重さは 205 から 220 g です。1 セットの中で最も重い球と最も軽い球の差は 2 g 以内でなければなりません。第 15 条は、ラシャのどこでも少なくとも 520 ルクスの明るさを求めていて、測るときは照度計をラシャの上に置きます。直接見たときのまぶしさは 5,000 ルクスから始まると注意し、光源はプレー面から 1 m 以上の高さに置くよう定めています。

プールテーブル

WPA の Recommended Equipment Specifications は、プレー面が 100 × 50 インチ、2.54 × 1.27 m の 9 フィートテーブルを示していて、これもちょうど正方形が 2 つです。レールは、クッションを含めて幅 4 から 7.5 インチです。18 個のサイト、つまりダイヤモンドが、レールの上面に、12.5 インチ (317.5 mm) の間隔で埋め込まれ、どれもクッションのノーズから 93.7 mm 奥にあります。ノーズの高さは球に対する割合で示されていて、直径の 63.5 %、誤差は 1 % です。スレートは厚み 1 インチ以上で、平面度は長さ方向で 0.508 mm 以内、幅方向で 0.254 mm 以内でなければなりません。

プールの球は、より小さく軽く、直径 57.15 mm、156 から 170 g で、キャスト・フェノール樹脂製です。白い手球が 1 つと、番号付きの的球が 15 個あります。キャロムの球は、約 7 % 太く、30 % 重くなります。ポケットはミリ単位で定められています。コーナーの口は、クッションのノーズがポケットへ曲がっていく位置のあいだで測って 4.5 から 4.625 インチ (114.3 から 117.5 mm)、サイドの口はそれより半インチ広く、127 から 130.2 mm です。コーナーポケットのクッションは 142 度、サイドポケットは 104 度に切らなければなりません。

WPA は、クッションの弾み具合を調べる試験も示しています。手球をヘッドスポットに置き、水平なキューで中心を、しっかりしたストロークで、フットスポットを通して突き、球は跳ねずに、テーブルの長さの 4 倍から 4 倍半を少なくとも進まなければなりません。ステージのプールテーブルでは、中心を突いたショットが長さ 4 つ分を進むには約 6.2 m/s が必要で、4 m/s では 2.9 です。「しっかりしたストローク」を数値にすると、おおよそそうなります。

2 つを並べる

ステージでは、上のスイッチでテーブルが切り替わります。キャロムテーブルにはポケットがなく、球は 3 つで、ベッドは温められています。プールテーブルにはポケットが 6 つあり、球は小さく、ラシャは緑です (WPA は黄緑、青緑、エレクトリックブルーを認めています)。テーブルの横の人形は背が 1.7 m です。「自分」に自分の身長を入れると変わります。ラボでは、レールの縁より先に身長の 0.62 倍の長さが届くものとして、レストなしでそれぞれのテーブルの中央に届くかどうかも教えてくれます。この比は、測った値ではなく推定です。

ゴーストボールで狙う

的球をポケットへ送りたいとします。的球は、接触の瞬間の二つの中心を結ぶ線、つまり中心線に沿って離れていきます。そのため接触のとき、手球の中心はその線の上で、的球から球の直径 1 つ分だけ手前になければなりません。そこに、ポケットと反対側で的球に接するもう一つの球を思い描いてください。その思い描いた球がゴーストボールで、狙うとは、手球の中心をゴーストの中心へ送ることです。

数式で書くと、的球が O、ポケットが P のとき、ゴーストの中心 G は次のとおりです。

G = O − 2R (P − O) / |P − O|

R は球の半径です。ステージのゴーストのレッスンでは、黄色い 1 番がプールテーブルの中心から (0.60, 0.28) m にあり、右上のコーナーポケットは (1.27, 0.635)、R は 28.6 mm です。ゴーストは (0.5495, 0.2532) になります。(−0.55, −0.10) にある手球からは 1.155 m 先で、長軸から 17.8 度上の方向にあたり、ステージに保存されたレッスンのショットは、まさにその角度を使っています。モデルの中で、球は入ります。

ゴーストボールは、球どうしが触れる点ではありません。その接触点は、二つの中心のちょうど中間で、的球の表面にあります。手球の中心をゴーストではなく接触点に向けて狙う人は、的球に厚く当たりすぎ、どのショットもカット不足になります。二つの狙い点の差は、球の半径 1 つ分まるまるです。

厚みとカット角

狙い線に沿って的球を見てください。手球がそのうちのどれだけを覆うかの割合を、厚み、またはボールヒット比 f と呼びます。真正面の当たりは全体を覆います (f = 1)。手球の中心を的球の縁に向けて狙うと、半分を覆います (f = 1/2)。狙い線と中心線のあいだの角度であるカット角 φ は、同じ大きさの二つの円の幾何から導かれます。

f = 1 − sin φ、つまり φ = asin(1 − f)。

したがって、半分の厚みの当たりは 30 度のカット、4 分の 1 の厚みでは約 48.6 度、8 分の 1 では 61 度、16 分の 1 では 69.6 度です。ラボの表には、これらと、そのあと手球がどうなるかが並んでいます。薄いカットが難しいのは、単純な理由からです。f が 0 に近いと、狙いの位置が少し変わるだけで、カット角が大きく変わります。f = 1/2 から f = 1/4 までで、カットは 18.6 度大きくなります。1/8 から 1/16 までなら 8.6 度大きくなりますが、キャロムの球では、狙いの移動はわずか 3.8 mm です。

ステージでは、突く前に、その時点の狙い線のカット角と厚みが表示され、ガイド線はゴーストから 3 つの方向を描きます。的球の進路 (赤)、それに直角の接線方向 (青)、転がる手球がたどる方向 (黄) です。

90 度の法則

接触の瞬間に回転のない手球、つまりスタンのショットで的球を突くと、二つの球は直角に分かれます。的球は中心線に沿って離れ、手球はそれと直角の接線方向に離れます。これはどのカット角でも成り立つので、台の上で最も役に立つ事実の一つです。突く前に、手球がどこへ行くかが見えるのです。

証明には二つの保存則を使います。質量は等しく m とし、入ってくる速度を v、出ていく速度を v₁ (手球) と v₂ (的球) とします。運動量は m v = m v₁ + m v₂ で、v = v₁ + v₂ です。エネルギーは、完全弾性で摩擦のない接触なら、½ m v² = ½ m v₁² + ½ m v₂² で、v² = v₁² + v₂² です。最初の式を 2 乗すると v² = v₁² + v₂² + 2 v₁·v₂ になります。二つを合わせると v₁·v₂ = 0 が残ります。つまり、どちらかの球が静止しているか、二つの速度が垂直かのどちらかです。3 本のベクトルは、v を斜辺とする直角三角形をなし、それが、的球の速さが v cos φ で、手球の速さが v sin φ である理由でもあります。

実際の球は完全な弾性体ではありません。Colorado State University の David Alciatore は、プールの球の反発係数を典型的に約 0.93 とし、90 度の法則は 85 度の法則に近いと結論づけています。また球は触れている一瞬のあいだにこすれ合い、その摩擦が角度をさらに少し変えます。このページのモデルは、反発係数 0.95 と球どうしの摩擦 0.06 を使っていて、どちらも Alciatore が挙げる範囲 (0.92 から 0.98、0.03 から 0.08) の中にあります。これらの値では、スタンのカットが分かれる角度は、15 度のカットで 81.6 度、30 度で 83.9、45 度で 85.0、60 度で 85.7、75 度で 86.2 です。このページと一緒に走る検査は、反発係数 1 で摩擦なしのとき、どのカットでも角度が 0.05 以内で 90 度になること、そして運動量は両方の場合で正確に保たれ、エネルギーは理想の場合だけで保たれることを確かめています。

この法則には例外が一つあります。カットのない真正面のスタンの当たりです。このとき手球はその場で止まり、的球がその速さを受け取ります。ストップショットです。反発係数 e のとき、手球は速さの (1 − e)/2、このモデルでは 2.5 % を残し、そのため実際のストップショットでも、手球は 1、2 センチ前へ忍び寄ります。

先に滑り、あとで転がる：12/49 の法則

球の中心をちょうど突くと、球は最初は転がりません。回転のないまま滑ってキューを離れ、ラシャが球の底を引きずります。その摩擦が球を減速させ、同時に、転がる向きの回転を与えます。回転が速さに追いつくと、球の底はラシャの上で滑らなくなり、球は転がります。

計算は短くて済みます。摩擦力は μ m g で、μ は球とラシャのあいだの滑り摩擦であり、約 0.2 です (Alciatore は 0.15 から 0.4 を挙げ、Mathavan、Jackson、Parkin はスヌーカーのテーブルで、ハイスピードカメラを使って 0.178 から 0.245 を測りました)。球は μ g で減速します。同じ力が中心のまわりの腕の長さ R で働き、球の慣性モーメントは (2/5) m R² なので、回転は (5/2) μ g / R で増えます。したがって球の底の滑り v − R ω は、μ g + (5/2) μ g = (7/2) μ g で縮みます。回転なしで v₀ から始めると、次の時間で 0 になります。

t = 2 v₀ / (7 μ g)

その間に球が進む距離は v₀ t − ½ μ g t² で、計算すると次のようになり、

d = 12 v₀² / (49 μ g)

そのとき球は、最初の速さの 5/7 で転がっています。2 m/s で μ = 0.2 なら、0.29 秒、0.50 m で、球はそのあと 1.43 m/s で転がり続けます。1 m/s なら 0.125 m、4 m/s なら 2.0 m です。もっと滑りにくい新しいラシャ、μ = 0.3 では、2 m/s での距離は 0.33 m に縮み、すり減ったラシャ、μ = 0.15 では 0.67 m に伸びます。滑っているあいだに、球の運動エネルギーの 7 分の 2 がラシャに移り、速さには関係がありません。

ステージの転がりのレッスンは、2 m/s で中心を突き、モデルが球が転がり始めるとした位置に輪を置きます。タグには、式の 0.50 m に対して 0.50 m と出ます。検査は、これを 1、2、4 m/s で繰り返し、距離、時間、速さを式と、2 mm と 2 ms 以内で比べます。University of Sydney の Rod Cross は、フェルトで覆われた面で、この滑りから転がりへの変化がどう見えるかを測っていて、一定の滑り摩擦のあとに、ずっと小さい転がり摩擦が続くという同じ単純なモデルが、通常の出発点です。

同じ計算から、すぐ転がる球を突くべき位置もわかります。キューが与える回転は ω = 5 v b / (2 R²) で、b は中心からのタップの高さです (Alciatore の TP A.12)。転がるには ω = v / R が必要なので、b = 0.4 R です。球の高さの 70 % にあたるその点が、打撃の中心です。そこを突けば、何も滑りません。

押し球と引き球

タップからの回転

タップを中心より上に動かすと、球は前回転で離れ、タップが 0.4 R より上なら、転がるのに必要な量より多くなります。中心より下に動かすと、球は後ろ回転で離れます。中心からどこまで外せるのでしょうか。Alciatore の解析では、実用上の限界は半径の半分あたりです。0.5 R を超えると、チョークがあっても、タップが球に触れている千分の一秒のあいだに球から滑り落ちやすくなります。ミスキューです。ステージのスピンパッドはこの限界を破線の輪で描き、それを超えさせません。

的球で起こること

接触では、球どうしが触れているのは 1 ミリ秒よりずっと短く、表面もなめらかなので、手球の回転はほとんど渡されません。手球は中心線に沿った速さのほとんどを失いますが、回転はほとんど残します。真正面の当たりでは、ほぼ静止して回転している手球が残ります。前回転がそれを的球の後ろへ押し進めるのが押し球で、後ろ回転がプレーヤーのほうへ引き戻すのが引き球です。

ステージの押し球のレッスンでは、手球を 1.5 m/s、タップを中心の 0.3 R 上で突き、赤い球に真正面から当たって、接触点を越えて 0.57 m 進みます。引き球のレッスンでは、3 m/s、タップを中心の 0.3 R 下で突き、真正面に当たったあと、1.30 m 戻ってきます。後ろ回転は的球へ向かう途中で弱まるので、引き球は思うより速さが必要です。回転が、その道のりを生き延びなければならないからです。

30 度の法則とコリオリの放物線

手球が転がって到着し、的球に角度をつけて当たると、手球は接線方向に離れますが、前回転は残っています。するとラシャがそれを回り込ませ、手球は接線方向と最初の狙いとのあいだの向きに進むことになります。半分の厚みの当たりで、Alciatore はその結果を 30 度の法則と呼んでいます。手球の進路は狙い線から約 30 度曲がり、球の 4 分の 1 から 4 分の 3 までのどの当たりでも 30 度に近いままです。彼は手で見る方法を示しています。人差し指と中指をゆるい V の字に開き、一方を狙いに沿わせると、もう一方が手球の行き先を示します。

Gaspard-Gustave Coriolis は 1835 年にこれを導きました。理想的な球では、曲がりが収まったあとの手球の最終速度は、衝突直後の速度の 5/7 に、回転が転がるときに与える速度の 2/7 を足したものです。そこから、狙い線からのずれは、カット角 28.1 度のとき最大の 33.7 度になります。このページと一緒に走る検査は、式の最大値が 33.75 度と 28.1 度のところにあることを確かめます。厚みが 3/4、1/2、1/4 のとき、式は 27.6、33.7、27.3 度を与えます。実際の球はわずかに非弾性なので少し低くなり、そこから丸い数字の 30 が出てきます。

Coriolis は、接線方向と最終方向のあいだの曲線が放物線であることも示しました。滑る球から受ける摩擦力は、大きさが一定で、曲がっているあいだは向きもほぼ一定なので、球は一定の引力を受けて投げられた石のように動きます。検査は、半分の厚みの当たりのあとのモデルの曲がった進路に放物線を当てはめ、R² が 0.999 を超える当てはまりを得ています。

ひねり、スクワート、カーブ、スロー

ひねりだけでは進路は曲がらない

水平なキューで、手球の中心の左か右を突くと、球は鉛直軸のまわりに回転します。その回転は、ラシャの上の球の進路には何もしません。球の底は横に滑っておらず、鉛直軸のまわりの回転が球を横へ押すことはできません。何かに触れたときにだけ現れます。クッションか別の球です。ステージで、キューを水平にしたままスピンパッドを右いっぱいに設定し、長いクッションに向けて狙って見てください。クッションまでの進路はまっすぐです。

スクワート

ひねりは、別の理由で、進路の出だしを変えます。タップが中心を外れて当たると、球はキューの先を横へ押し、ニュートンの第 3 法則により、キューは球を反対側へ押します。球は、突いた側とは反対へ、狙い線から少しずれて離れます。Alciatore の TP A.31 は、タップのずれ b/R と、球の質量とシャフトの最後の数センチの有効質量との比から、その角度を与えます。

tan(squirt) = (5/2)(b/R)√(1 − (b/R)²) / (1 + m_ball/m_end + (5/2)(1 − (b/R)²))。

このモデルで典型的なプレー用キューである質量比 25 では、半径の半分のひねりで 2.22 度になり、2 m 先で線から 78 mm ずれます。比が 40 の低スクワートのシャフトでは 1.45 度、比が 15 の重いブレイクキューでは 3.47 度です。ラボの計算機がこれを計算し、ステージの「スクワート」スイッチで効果を入れたり切ったりできます。

カーブ

実際のキューは、完全には水平になりません。レールをかわさなければならないからです。タップが中心を外れ、キューが下向きに傾いていると、衝撃の一部が球をラシャへ押し込み、回転軸が傾きます。回転軸が傾くと、球の底は横に滑り、ラシャが進路を曲げます。これがカーブで、キューを強く立てるとマッセになり、それはあとで扱います。

スロー

球どうしの摩擦は、的球の進路も曲げます。カットでは、接触のあいだ、手球の表面が的球の表面の上を滑り、その摩擦が的球を、手球の動く向きへ、中心線から少し押し出します。Alciatore はこれを衝突による誘起スローと呼び、半分の厚みの当たりの近くで最大になり、速さが遅いほど大きいことを示しています。ひねりは回転による誘起スローを加え、同じ摩擦が的球に少し回転を渡します。モデルでは、15 度のスタンのカットは、的球を 15 度ではなく 12.3 度で送り出し、スローは約 2.7 度です。1 m 先では 47 mm で、ポケットの口の半分近くにあたります。

クッション：反射が鏡ではないわけ

光線は、鏡に入ったときの角度で離れます。ビリヤードの球はそうなりません。理由は三つあり、ステージではそれぞれを見ることができます。

一つめは、クッションが、入っていく向きの動きからは速さを奪うのに、沿う向きの動きからは奪わないことです。法線方向の速さがもとの e 倍で戻り、クッションに沿った速さが変わらなければ、球は入ったときより平らな角度で離れます。tan(出る角) = e tan(入る角) で、角度はクッションの線から測ります。H. Résal は 1883 年に、実験によればこの法線方向の速さの比が、入る角度にほとんど依存しないことを記していて、そのおかげで一つの数が役に立ちます。Alciatore は、プールのクッションについて 0.6 から 0.9 を挙げています。Mathavan たちは、転がるスヌーカーの球をクッションにまっすぐ打ち込む様子を撮影し、平均して速さの 0.818 で戻ることを見つけました。

二つめは、ノーズの高さです。キャロムテーブルではノーズはラシャの上 37 mm にあり、球の中心はその上 30.75 mm にあるので、クッションは球の中心より上に触れます。すると接触力は、後ろだけでなく少し下も向き、球をラシャへ押しつけ、ノーズでの摩擦は中心と同じ高さにない点に働きます。Mathavan の解析は、スヌーカーとプールで、接触を台の上、半径の 7/5 の高さに置いています。WPA の 63.5 % のノーズの高さは、少し低く、1.27 R です。実験に合わせた彼らの数値モデルは、クッションの反発係数 0.98、球とクッションの摩擦 0.14 を与え、約 2.5 m/s まで有効で、それを超えるとクッションが潰れすぎて、剛体のモデルは成り立ちません。

三つめは回転です。鉛直軸のまわりに回転する球は、接触でクッションに沿ってこすれます。こすれが、レールに沿った球の進行に対して後ろ向きなら (順ひねり)、摩擦は球をクッションに沿って前へ押し、反射は広がります。前向きなら (逆ひねり)、反射は縮みます。転がる球の前回転は、中心より上にあるノーズにもこすれ、そのため転がる球はクッションから離れたあとに曲がります。バウンドの直後の一瞬、その回転が新しい進行方向に合っていないからです。

モデルでは、長いクッションへ 45 度で送り込まれた転がる球は、ひねりなしでクッションの線から 38.9 度で離れ、順ひねりで 30.0 度、逆ひねりで 39.3 度で離れます。30 度で入ると、数値は 27.4、23.4、35.4 です。1.2 m/s でまっすぐ送り込むと、転がる球はバウンドの直後に速さの 0.87 で戻り、前回転がラシャで消えたあとでは 0.49 になります。前回転は、一瞬、球をクッションへ向かって押し続けるのです。

モデルのクッションは、Mathavan のものより単純です。バウンドを、ノーズの高さでの一つの衝撃として扱い、法線方向の速さに反発係数 0.9、ノーズでの滑りに摩擦 0.2 を使い、ラシャへの余分な押し込みについては、球の下のラシャの摩擦を加えます。摩擦の値は Mathavan の 0.14 より意図的に高くしています。そうすると、この単純化したクッションが、下のダイヤモンドシステムの基準の軌跡に、半ダイヤモンド以内で沿うからです。どちらの値も、ラボではモデルの値として示されています。

ダイヤモンドシステム

レール上の数字

スリークッションの選手は、3 回以上クッションに当てるショットを、ダイヤモンドシステムで組み立てます。ダイヤモンドに番号を振り、引き算をして、狙います。最もよく知られているのはコーナー5システムで、Alciatore の資料はそれをプールテーブルで示し、キャロムの選手は数字を 10 倍して使います。これは経験則であり、プレーの中で見つかった経験的な式で、物理法則ではありません。

ステージで「ダイヤモンド」を押すか、「ダイヤモンドの数字」をオンにしてください。レールの上面に、3 組の数字が現れます。

• 手球の数字 (青) は、奥の左のコーナーの 50 から始まり、奥の長いレールに沿って 45、40、35、30、左の短いレールを下って 60、70、80 と続きます。
• 1 番目のレールの数字 (オレンジ) は、手前の長いレールに沿って、左のコーナーの 80 から右の 0 まで、ダイヤモンド 1 つにつき 10 ずつ進みます。
• 3 番目のレールの数字 (白) は、奥の長いレールに沿って、同じ向きに進みます。

狙う 1 番目のレールの点から手球を通して線を引き、その線が奥の長いレールか左の短いレールと交わるところで、手球の数字を読みます。式は次のとおりです。

3 番目のレールへの到着 = 手球の数字 − 1 番目のレールの数字

コーナー (50) から、30 を狙うと、球は 3 番目のレールの 20 に着き、20 を狙うと 30 に着きます。手球の数字 C から、ある到着 A に届かせるには、C − A を狙います。

成り立つとき、成り立たないとき

このシステムは、球の突き方を特定のものと仮定しています。中くらいの速さと順ひねりで、どの反射も入ったときより少し広がって出ていくという前提です。Burkard Polster と Marty Ross は、ダイヤモンドシステムについてのノートで、はっきり述べています。A − B = C という規則は近似的にしか成り立たず、その精度は、球の位置と手球の突き方によって複雑に変わります。Alciatore の資料には補正が付いています。到着の数字が小さいときは低く、大きいときは高く狙います。選手は、テーブル、ラシャ、速さごとに自分の補正を身につけ、それが、温められ標準化されたテーブルが重要な理由の一つです。

ステージでは、この式をモデルと照らし合わせて試せます。コーナーの軌跡から、コーナーより 30 cm 外に出した手球を、2.5 m/s で、タップを中心の 0.2 R 上、順ひねり側へ 0.2 R にして突くと、予測 35 に対してモデルの到着は 33.1、予測 30 に対して 29.0、25 に対して 25.0、20 に対して 20.7、15 に対して 16.0 です。どれも式から半ダイヤモンド以内で、このページと一緒に走る検査は、そのうち一つでも外れたら失敗します。速さやひねりを変えると到着はずれていき、それがこのシステムの限界を目に見える形にしています。

Inhwan Han は 2005 年に、キャロムとスリークッションの力学を剛体力学で解析し、動きを三つの部分に分けました。ベッドの上の球、球どうしの衝突、球とクッションで、それぞれに摩擦があります。そうしたモデルがあるからこそ、このようなシミュレーションを、選手が使うシステムと比べることができます。

球を曲げる：マッセ

キューを急に立てて中心を外して突くと、衝撃に大きな下向きの成分が生じます。球はラシャに押しつけられ、鉛直から大きく傾いた軸のまわりの回転を得ます。Alciatore は、このマッセの回転を、航空機が自分の長さの軸のまわりにロールすることにたとえています。球の底はラシャの上で横に滑り、滑りが続くあいだ、摩擦が球を横へ押します。進路は曲がります。

Coriolis はそれを狙う方法を見つけ、Alciatore は BAR 法と呼んでいます。曲がりが収まったあとの球の最終的な方向は、手球が止まっている点から、キューを向けたラシャ上の点までの線に平行です。ステージのマッセのレッスンでは、キューを 45 度に立て、タップは左へ 0.45 R、上へ 0.3 R で、1.6 m/s で突かれた球は、黄色い球を回り込んでクッションに触れずに赤い球に当たるために、直線から 5 cm 以上ふくらみます。実際の 4 分の 1 の速さで見ると、手球の赤い点で回転が追いやすくなります。

キャロムとプールを並べる

UMB の第 83 条が定めるスリークッションでは、手球は 2 つ目の的球に触れる前に、少なくとも 3 回クッションに触れなければなりません。1 つ目の球の前でも、二つの球のあいだでも、その両方でもよく、同じクッションを複数回数えてもかまいません。ワンクッション (第 82 条) は、クッション 1 回で足ります。得点を外すと、テーブルは相手に渡ります。UMB のワールドカップでは、各ショットに 40 秒の制限があり、30 秒で警告が出ます。各選手は 1 試合に 2 回のタイムアウトを取ることができ、そのたびにさらに 40 秒が加わります。

プールは、問題を逆にします。1 つの球で 2 つの球に届かせる代わりに、1 つの球をポケットへ送り、手球はポケットに入れません。物理は同じですが、狙いが違います。キャロムでは、最初の接触のあとで手球がどこへ行くかが最も大切です。プールでは、的球がどこへ行くかが最も大切で、手球の進路は二番目の問題です。そのため、プールの指導ではゴーストボールとスローが中心になり、キャロムでは 90 度と 30 度の法則、ダイヤモンドシステムが中心になります。

球も違います。重いキャロムの球は、同じ速さで多くのエネルギーを運び、温められたラシャの上でより遠くまで走ります。ステージの最初のショットでは、手球は 7.9 秒で 4.8 m 進んで得点し、もっと長いスリークッションのショットは、その 2 倍を進みます。プールテーブルのポケットには、独自の幾何の問題が加わります。クッションに沿ってコーナーポケットへ転がる球は、142 度に切られたポケットのジョーに出会い、落ちるか、はじき出されます。

Mathieu Bouville は、キャロムのポジションプレーをマルコフ過程として記述しました。ショットの難しさは前のショットに左右されます。簡単に得点できる選手は、次のショットも簡単になるように残せるからです。上手な選手は 2 ショット先を考えます。ステージは、それをあなたに任せています。

短い歴史

革のタップがゲームを変えました。それ以前、キューの先は剥き出しの木で、球をつかんで回転させることがうまくできませんでした。タップは、フランス人の François Mingaud の功績とされ、Alciatore が語るところでは、彼は 1800 年代の初めに投獄されていて、ひびの入ったキューに革の切れ端を取りつけました。つかむタップがあれば、キューが滑ることなく中心を外して突くことができ、ひねりがゲームの一部になりました。Alciatore は、その名前の皮肉を指摘しています。ひねりを表すアメリカの言葉、English は、フランス人によって可能になったのです。

Coriolis は Mingaud のプレーを見ていました。1835 年の Théorie mathématique des effets du jeu de billard の序文で、彼は、Mingaud が生み出せる効果を見てこの主題に取り組み始めたこと、Mingaud のプレーを見たことで、自分の式が経験と合うことを確かめられたと述べています。この本は、ラシャの上での転がりと滑り、キューの打撃、摩擦のある場合とない場合の二つの球の衝突、曲がる進路を扱っています。Coriolis は、二つの球のあいだの摩擦を約 0.028 と測り、あまりに小さいので、最初は除くことにしました。彼は、回転する座標系の力にその名がつけられているのと同じ Coriolis です。University of St Andrews の MacTutor の歴史は、彼の生没年を 1792 年から 1843 年としています。

H. Résal は 1883 年に、Coriolis の理論についての注釈を発表しました。それ以来、この主題は、ハイスピードカメラを手にした技術者と物理学者に取り上げられてきました。Alciatore の技術的な証明、ロボットのスヌーカー選手のための、Mathavan、Jackson、Parkin によるラシャとクッションの摩擦の測定、Han のスリークッションの力学、Charles Peskin による回転と摩擦を伴う 3 次元の衝突の解析、そしてテーブルが的球をつかむ力が、回転する二つの球の衝突の結果をどう変えるかについての 2024 年の研究です。1 秒に 3,000 コマで撮影すると、タップは球に約千分の一秒触れていることがわかります。

このページのモデルのしくみ

ステージは、すべての球について、位置、速度、3 成分の回転ベクトルを保持します。0.5 ミリ秒ごとに、次のことを行います。

1. ラシャ。 球の底がラシャの上で滑っていると、滑りに逆らって 0.2 × m g の摩擦が働き、速さと回転の両方を変えます。ステップの中で滑りが 0 になると、球は転がりに切り替わります。転がる球は 0.01 × g で減速します。鉛直軸のまわりの回転は 10 rad/s² で減衰します。
2. 球どうし。 二つの球が重なると、ステップは接触の瞬間まで巻き戻されます。中心線に沿って反発係数 0.95 の法線方向の衝撃が加えられ、その 0.06 倍以下の摩擦の衝撃が、上、下、横の回転による滑りも含めた、二つの表面のあいだの滑りに逆らって働きます。摩擦の衝撃は、速度だけでなく回転も変えます。
3. クッション。 球がクッションに届くと、ステップは接触まで巻き戻されます。接触はラシャの上のノーズの高さ (キャロムテーブルでは 37 mm、プールテーブルでは球の直径の 63.5 %) で起こります。法線方向の速さはその 0.9 倍で戻り、法線方向の衝撃の 0.2 倍以下の摩擦が、ノーズでの滑りに逆らって働き、ラシャの摩擦はラシャへの余分な押し込みに働きます。
4. ポケット。 プールテーブルでは、ポケットの口の内側のクッションの線に届いた球は落ちます。
5. 突き。 キューの衝撃は、スピンパッドが示す球上の点に、キューの向きに加えられます。それが速さ、3 成分すべての回転 (TP A.12)、そして「スクワート」がオンなら、狙い線からの小さな発射角 (TP A.31) を決めます。キューを立てると、回転軸が傾きます。

ラボの数値の表には、すべての値が、公表されている範囲と出典とともに並んでいます。使われている値は、上で説明したように当てはめたクッションの摩擦を除いて、その範囲の中にあります。

いくつかのことは単純化されています。接触は瞬間的な点です。ラシャに毛羽はなく、テーブルは完全に水平です。球はラシャから離れないので、ジャンプショットはなく、マッセの球をラシャへ押し込むことは、突きの一部として扱われます。ポケットは、ジョーをモデル化したものではなく、クッションの隙間として描かれています。ダイヤモンドの数字は、上面のダイヤモンドではなく、クッションのノーズの線の上で読まれます。ダイヤモンドを見越して狙う選手では、少し違う数字になるでしょう。

モデルは 850 を超えるケースで検査されました。理想的な球での 90 度の法則、運動量とエネルギー、12/49 の距離、Coriolis の 33.7 度、放物線、クッションの振る舞い、スクワート、マッセの曲線、5 つのダイヤモンドの軌跡、そしてすべての課題に用意された、モデルが解かなければならない保存済みのショットです。

試してみること

1. 90 度のレッスンで「見る」を押し、そのあとパネルで「上または下の回転」を変えて、同じカットを突きます。前回転では、手球は接線方向ではなく、30 度の方向に進みます。
2. ストップショットを見つけます。引き球のレッスンの配置で、後ろ回転が赤い球でちょうど消えるまで速さを下げます。手球はぴたりと止まるはずです。
3. 転がりのレッスンで、速さを変えます。輪は速さの 2 乗で動きます。速さを 2 倍にすると、輪は 4 倍遠くへ動きます。
4. ダイヤモンドで 25 を狙い、ひねりなしで突きます。そのあと順ひねりを戻します。二つの到着を青い輪と比べます。
5. 「プールテーブル」をオンにして、コーナーで 1 番を、引き球で落とし、手球がポケットに入らないようにしてみます。
6. ひねりをいっぱいにして、「スクワート」のオンとオフを切り替え、発射方向がずれるのを見ます。
7. 「時間」を 1/16 にして、引き球のあいだ、手球の赤い点を見ます。行くときは前へ、接触では後ろへ回り、そのあと球は戻ってきます。