滑車と油圧ジャッキのしくみ：箱と車を持ち上げる

この模型が見せるもの

50 kg のセメント袋を床から持ち上げようとすると、490 ニュートンの重さがそのまま腕にかかります。ところが大工さんはロープと数個の滑車を使えば、片手で引ける力で同じ荷物を上げられますし、整備士は小さなハンドルをポンプのように押すだけで、車を丸ごと持ち上げられます。どちらも、何かをただで手に入れているわけではありません。力を減らす代わりに距離を増やしているのです。この展示は、その引き換えを数字で示します。

作業場の床は、メートル単位の実寸で描いてあります。左では、50 kg の松材の箱が鋼鉄の門型フレームから、滑車装置につり下がっています。「ロープの本数」スライダーは、同じロープを六通りに掛け替えます。定滑車ひとつだけの状態から、各ブロックにシーブが三つずつある状態まであり、箱を支えるロープは一本から六本になります。奇数本のときは、ロープの端を動くブロックに結びます。この模型のロープは本物のチューブとしてつくってあります。すべてのシーブに巻き付き、長さは変わらず、ブロックから出たロープは手を通って床の巻き山にたまります。0.4 m ごとに付けた赤い目印で、ロープの動きを追えます。

右では、1,200 kg の車が、ひとつの油圧ラムで上がるリフトに載っています。その横では、手がポンプのレバーを動かします。ポンプのシリンダー、両方の逆止弁、ラムは断面を開けてあるので、ボールが動くようすや油面の変化が見えます。隅のパネルには、模型の実際の寸法から求めた両側の力と距離が表示されます。

定滑車が向きを変えるだけの理由

まず、梁にボルトで固定した滑車 1 つに、ロープを箱へ直接結んだ場合を考えます。ロープは上へ上がり、シーブを越えて、手のところへ降りてきます。シーブが自由に回るなら、ロープの張力はシーブの両側で同じです。片側だけを強く引かせる要因がないからです。箱は 1 本のロープに下がっているので、その 1 本が重さを全部受け持ちます。50 kg × 9.81 m/s² = 490.5 N です。手が引く力も 490.5 N になります。

得られるのは向きです。ロープには自分の体重をかけられるので、上へ持ち上げるより下へ引くほうが楽になります。また、箱が上がる速さは、ロープが動く速さとまったく同じです。ロープを 1 m 引けば、箱は 1 m 上がります。模型の最初のステップはこの場合を示していて、ロープの本数は 1 本と番号が付いています。

動滑車とロープの本数の数え方

次に、箱に 2 つめの滑車を掛けます。ロープを固定ブロックに結び、動滑車の下をくぐらせ、また上へ戻して固定滑車に掛け、手へ降ろします。動滑車と、そこにつり下がるものに注目してください。それを支えているロープは 2 本で、どちらも同じ張力を受け持つので、重さの半分、245 N ずつで足ります。手にあるロープも同じ 1 本のロープですから、引く力も 245 N です。

これは、どんな滑車装置にも使える決まりです。動くブロックを支えているロープの本数を数えます。それが n 本で、シーブが自由に回るなら、引く力は重さを n で割った値になります。技術者はこの n を理想の機械的倍率と呼びます。この模型で、上に 2 つ、下に 2 つのシーブをもつブロックは 4 本掛けになり、引く力は 123 N です。3 つずつなら 6 本掛けで 82 N になります。ロープに付いた小さな青い数字が、本数を数えてくれます。固定ブロックにある余分なシーブは、ロープを手の側へ下ろすためのもので、箱を支えていないので、本数には加わりません。

力と距離の積：ロープで払う代金

代金は手のところに現れます。箱が 0.5 m 上がると、6 本のロープは、どれも 0.5 m ずつ短くなります。その合計 3 m のロープは、どこかへ行かなくてはなりません。ロープは手を通って、巻き山へ出てきます。一般に、引くロープの長さは、上がった高さの n 倍です。模型の「引いたロープ」の数値はこの積で、床の巻き山も同じ長さだけ増えます。

力と距離を掛けると、両側は一致します。4 本掛けで 0.5 m 持ち上げるとき、手は 122.6 N の力でロープを 2 m 引くので、仕事は 245 J です。箱は 490.5 N × 0.5 m = 245 J の位置エネルギーを得ます。滑車は仕事の行き先を動かすだけで、増やすことはできません。これはてこや歯車列にもあてはまる決まりと同じです。摩擦を切ったとき、読み取り表示は両側の値を出すので、一致するのを確かめられます。摩擦を切った模型は、さらに 2 つのものを無視しています。動くブロックの重さと、ロープの重さです。

摩擦と、滑車装置が 6 本掛けあたりで止まる理由

本物のシーブは、軸の上でこすれ、ロープはそれぞれのシーブで曲げられなければなりません。ロープがシーブを通って手へ向かうたびに、その分を払うため、張力は少し上がらなくてはなりません。模型の「シーブの摩擦」スイッチは、各シーブが張力の 95% を伝えると仮定します。固定された端から手へ向かって順に求めると、6 本のロープは少しずつ違う張力を受け持ちます。そして引く力は、重さを 6 ではなく、0.95 + 0.95² + … + 0.95⁶ = 5.03 で割った値になります。引く力は 82 N から 97 N へ上がります。入れる仕事は引き続き、力 × 引いたロープですが、箱に届くのは 84% だけです。残りは、軸受けとロープの中で熱になります。

シーブを足すと助けになり続けますが、そのたびに効果は小さくなります。1 つのシーブあたり 5% を失うと、この和は 0.95 ÷ 0.05 = 19 を超えられません。そのため、この種の滑車装置は、シーブをいくつ掛けても、490 N の箱を約 26 N より下にはできません。そこに達するずっと前に、引くロープの長さが現実離れします。19 本掛けでは、1 m 持ち上げるごとに 19 m のロープが必要です。人が手で引く滑車装置が 4 本から 6 本掛けで止まるのはこのためで、大きなクレーンがシーブを増やさずウインチとドラムを使うのもこのためです。

閉じた油の箱の中のパスカルの原理

油圧ジャッキは、液体を使って同じ引き換えを行います。油はほとんど圧縮されないので、密閉された系の 1 か所を押すと、系のどこでも圧力が同じだけ上がります。これがパスカルの原理です。圧力は面積あたりの力なので、同じ圧力がより広い面積にかかると、より大きな力になります。

模型では、小さいピストンの直径が 20 mm、ラムの直径が 120 mm です。面積は直径の二乗に比例するので、ラムの面積は (120 ÷ 20)² = 36 倍です。車の重さは 1,200 kg × 9.81 = 11,772 N です。これをラムの 0.0113 m² に分散させると、必要な圧力は 1.04 MPa で、大気圧の約 10 倍です。同じ 1.04 MPa が小さいピストンの 0.000314 m² にかかる力は、わずか 327 N です。

距離でも、また払うことになります。小さいピストンを 50 mm 押すごとに、15.7 cm³ の油がラムのシリンダーへ送り込まれます。この油が 36 倍の面積に広がるので、ラムは 50 ÷ 36 = 1.39 mm 持ち上がります。1 回の押しで入れる仕事は 327 N × 0.05 m = 16.4 J で、車が得るのは 11,772 N × 0.00139 m = 16.4 J です。車を 0.3 m 上げるには 216 回押します。

ジャッキの内部：プランジャー、2 つの逆止弁、戻しバルブ

1 回押しただけでは、車は 1.39 mm しか上がりません。そのためポンプは、油を補充してまた押す必要があり、その間に油が逆流してはいけません。これを受け持つのが 2 つの逆止弁です。どちらも小さなばねで、ボールを丸い弁座に押し付けています。弁座の側から油が押すと、ボールが持ち上がって油が通り過ぎます。反対向きに油が押すと、ボールはいっそう強く弁座に押し付けられます。

レバーを持ち上げるとプランジャーが上がり、ポンプ室の圧力が下がります。吸入弁が開いてタンクから油が流れ込み、吐出弁は閉じたままです。ラム側の高い圧力が、そのボールを押さえているからです。レバーを押すと、ポンプ室の圧力はラムの圧力を超えて上がります。吸入側のボールが勢いよく閉まり、吐出側のボールが持ち上がって、油はラムへ向かいます。模型では、ストロークの半分ごとに油の通り道が光り、ボールが弁座から浮き上がります。

レバーは、油が働く前にもう一度、力を増やします。手はレバーを支点から 0.5 m のところでつかみ、プランジャーは支点から 0.1 m のところにつながっているので、手に必要な力は 327 ÷ 5 = 65 N だけです。これは 6.7 kg の袋を持つのと同じくらいの力です。戻しバルブは 3 つめのバルブです。開くとラムがタンクにつながり、車の重さで油が押し戻されます。操作で入れると、タンクが満たされながら、車は一定の速さで下がります。

車の場合の数値

ピストンのスライダーを動かすと、設計上の選択がたがいに引っ張り合うようすがわかります。小さいピストンを 40 mm、ラムを 60 mm にすると、面積比は 2.25 に下がります。1 回押すごとに車は 22 mm 上がりますが、小さいピストンには 5,232 N、レバーの手には 1,046 N が必要で、人が押せる力を超えます。逆に、10 mm のプランジャーと 200 mm のラムにすると比は 400 です。手の力は 6 N 未満で済みますが、1 回押すごとに車が上がるのは 0.125 mm で、0.3 m 上げるには 2,400 回かかります。実際の手動ジャッキは、この両極端の間の比を選び、長いレバーを付けて、人が 1 分か 2 分ポンプを押せば車を上げられるようにしています。

圧力は、ほかのあらゆるもののサイズを決める数値です。1.04 MPa なら、模型の油はおだやかです。直径 30 mm のラムで 1 トンを保持する小型のボトルジャッキは、その 10 倍を超える圧力で働きます。ジャッキのシリンダーが厚い鋼鉄の壁でできているのはこのためです。

計算例：同じ車を 2 通りで持ち上げる

展示にある 1,200 kg の車を取り上げます。重さは 11,772 N で、0.3 m 持ち上げるには、11,772 × 0.3 = 3,532 J の位置エネルギーを与えます。これを行う機械は、少なくともそれだけの仕事を取り込まなければなりません。次の 2 つの機械は、その仕事を力と距離にどう分けるかだけが違います。

まず滑車装置です。これは仮定の話で、展示で滑車装置に掛けているのは 50 kg の箱だけです。6 本掛けの装置を車の大きさに拡大し、ロープは十分に強いものとして、シーブ 1 つあたり 5% の損失も同じとします。摩擦がなければ、引く力は 11,772 ÷ 6 = 1,962 N で、200 kg の質量の重さです。引くロープは 6 × 0.3 = 1.8 m なので、手の仕事は 1,962 × 1.8 = 3,532 J です。摩擦を入れると、割る数は 5.03 になり、引く力は 11,772 ÷ 5.03 = 2,339 N、手の仕事は 2,339 × 1.8 = 4,210 J です。そのうち車に届くのは 3,532 ÷ 4,210 = 84% です。

次に、初期寸法のジャッキです。手に必要な力は 65 N で、レバーを 1 回動かすと手は 5 × 0.05 = 0.25 m 動き、車は 1.39 mm 上がります。0.3 m 上げるには 216 回かかるので、手は 216 × 0.25 = 54 m 動き、65.4 × 54 = 3,532 J の仕事をします。エネルギーは滑車装置と同じです。違うのは請求書の形だけです。つまり、1,962 N を 1.8 m 引く代わりに、65 N を 54 m 引くという形です。

ジャッキには、きれいな決まりが隠れています。ピストンの寸法がどの組み合わせでも、手の力に、0.3 m 上げるのに必要な回数を掛けると、14,126 N になります。24 mm のプランジャーと 120 mm のラムでは面積比が 25 で、手は 94 N、150 回です。14 mm のプランジャーと 140 mm のラムでは比が 100 で、手は 23.5 N、600 回です。どちらも掛け合わせると 14,126 になります。ピストンの寸法の選択は、この線上のどこにジャッキを置くかを決めるだけです。楽に押せて回数が多いか、重く押して回数が少ないか、のどちらかです。

摩擦が積み重なる理由：キャプスタンの式

模型が 1 つのシーブごとに一律 5% とするのは、詳しく見る価値のある単純化です。曲面に沿ったロープは面を押し、その圧力に比例する摩擦が生じます。短いロープの一片について求め、その一片を足し合わせると、きれいな結果になります。キャプスタンの式とよく呼ばれるもので、重い側の張力は、軽い側の張力に e の μθ 乗を掛けた値が上限になります。μ は摩擦係数、θ はロープが巻き付く角度（ラジアン）です。この式の導出は、MIT の動的システムのモデル化の講義ノートにあります。

この指数は、2 つのことを同時に説明します。まず、よい軸受けで回るシーブは、この限界からずっと離れています。ロープは溝の上を滑らずに転がり、残るのは軸受けの摩擦とロープの曲がりだけだからです。模型の 5% は、それらの代わりです。そして滑車装置では、損失がシーブからシーブへ掛け算で重なります。前の節の和が等比級数になるのはこのためです。

船乗りのキャプスタンは、同じ式の反対側を見せてくれます。ロープと固定されたドラムの間で μ = 0.3、巻き数を 2 周として、θ = 4π = 12.57 rad とします。係数は e^3.77 = 43 です。ゆるい端を 100 N で握る船乗りは、反対側の 4,300 N を保持できます。この場合、ドラムは何も回していません。引く力がそれ以上になればロープは滑りますが、保持するのは摩擦です。滑車装置は反対の引き換えを使い、摩擦をできるだけ小さくしたいのに、そのたびに 5% を失います。

クレーン、エレベーター、ショベル、ブレーキ

ローマの建設用クレーン。 コロッセオの建設にかかわった建設業者の一族、ハテリウス家の墓の浮き彫りが、いまヴァチカン美術館にあります。左側には、人が動かす大きな車輪で駆動するクレーンが表されています。ウィトルウィウスは第 10 巻で、3 つの滑車のトリスパストスから、ポリュスパストンまで、同じ系統の機械を述べています。踏み車がドラムを回し、ドラムがロープを巻き取り、滑車のブロックが石に届く前に荷重をもう一度割るので、2 つの倍率が掛け合わさります。建設者たちは距離でも払いました。ブロックが 1 m 上がるごとに、n メートルのロープが必要でした。

油圧クレーン。 1846 年、ウィリアム・アームストロングは、1845 年の町の水道事業が使える圧力を与えてくれたので、石炭を降ろすための最初の油圧クレーンをニューカッスルの岸壁に建てました。クレーンは、町の水道の余った圧力で動きました。車のジャッキとはまったく違う目的にパスカルの原理を使ったもので、圧力は外から来て、クレーンのピストンがそれを引く力に変えます。

エレベーター。 ほとんどのエレベーターのかごは、鋼鉄のロープで駆動シーブに掛けられ、反対側につり合いおもりがあります。仮定として、かごが 1,000 kg、定格積載が 800 kg、つり合いおもりが 1,400 kg とします。これは、かごに積載の半分を足した値です。満載のとき、モーターが支えるのは 1,800 − 1,400 = 400 kg の不つり合いです。空のとき、反対向きに 1,400 − 1,000 = 400 kg を支えます。つり合いおもりがなければ、モーターは毎回かごの重さ全部、最大 1,800 kg を運ぶことになります。全米工学アカデミーのエレベーターの歴史の説明によると、最初のつり合いおもりは 1670 年より前には現れず、つり合いおもりと 2 対 1 の掛け方が必要な動力を下げます。2 対 1 の掛け方は、この展示の n = 2 の場合です。かごはロープの半分の速さで動き、ロープはかごの重さの半分を受け持ちます。エリシャ・オーチスは、1854 年のニューヨーク万国博覧会で、台に立ったまま斧でロープを切らせて安全ブレーキを見せたと、ASME と全米発明家殿堂が伝えています。このブレーキは機械的倍率をまったく変えませんでした。人が乗れるほど安全な機械にしたのです。

ショベル。 メーカーの 1 つ、SANY の 22.6 トン級ショベルのデータシートには、作業機の回路のリリーフ弁設定が 34.3 MPa、ブームシリンダーの内径が 120 mm と載っています。この内径は、この展示のラムと同じです。圧力は 34.3 ÷ 1.04 = 33 倍高いので、リリーフ設定での押す力は 34.3 MPa × 0.01131 m² = 388 kN に達しえます。模型のラムは 11.8 kN です。これはリリーフ弁で決まる上限であり、ブームが実際に出す力ではありません。アームの形状、ほかのシリンダー、ポンプの流量がすべて、バケットに届く力を決めます。それでも、ショベルが油圧を使う理由は示しています。圧力が 33 倍高ければ、この展示のラムと同じ大きさのシリンダーに、それだけの力を詰め込めます。

自動車のブレーキ。 OpenStax にブレーキの例題があります。運転者は 100 N で踏み、レバーがそれを、内径 5 mm のペダル側シリンダーで 500 N にします。4 つの各ホイールシリンダーの内径は 25 mm です。面積比は (25 ÷ 5)² = 25 なので、各ホイールシリンダーは 12,500 N で押します。1 つのホイールシリンダーが取り込む油はペダル側シリンダーから来るので、ペダル側シリンダーのピストンは、ホイールのピストンの 25 倍動かなくてはならず、4 つの車輪が同じ油を分け合えば、それぞれの 100 倍動きます。OpenStax は、パワーブレーキにはモーターで動くポンプがあって、仕事の大部分をそちらが受け持つと付け加えています。したがってこの例は、ペダルから車輪までの倍率だけを扱っています。

ロープの本数が奇数のとき

荷重を支えるロープの本数は、偶数でなくてもかまいません。固定された端を上のブロックに結ぶと、ロープは必ず下へ、上へと対になり、本数は 2、4、6 になります。代わりに、固定された端を動くブロックの、ベケットという小さな目に結ぶと、その最初の一区間のロープも荷重を支えます。上に 2 つ、下に 1 つのシーブなら 3 本掛け、上に 3 つ、下に 2 つなら 5 本掛けです。ウィトルウィウスはまさにこの 2 つの名を使いました。滑車 3 つのトリスパストスと、5 つのペンタスパストスです。

滑車の実験台で 3 または 5 を選び、番号の付いたロープを数えてください。摩擦がなければ、引く力は 490.5 ÷ 3 = 164 N と 490.5 ÷ 5 = 98 N で、引くロープは持ち上げの 3 倍または 5 倍です。模型は描かれたロープを検算しています。下のブロックを 0.5 m 上げると、固定された端から手までの経路は、ちょうど 1.5 m または 2.5 m 短くなります。索具の本では、ブロックを逆さまにして本数を 1 つ増やすときに同じ手を使います。引く側のロープが出ていく側が、固定か動くかで、本数に加わるかどうかが決まるのです。

差動チェーンブロック

本数の多い滑車装置は、たくさんのロープを必要とします。トーマス・オールドリッジ・ウェストンは、これを回避する方法を見つけました。大きさがわずかに違う 2 枚のチェーンホイールを 1 本の軸に固定し、輪になった 1 本のチェーンを使います。チェーンの片方の輪は、フックを付けたシーブに掛かって下がり、もう片方の輪は手のために自由に垂れています。軸が 1 回転するたびに、大きなホイールに大きな円周ぶんのチェーンが巻き込まれ、小さなホイールから小さな円周ぶんが送り出されます。そのため荷重側の輪は差の分だけ短くなり、フックはその半分だけ上がります。機械的倍率は 2R ÷ (R − r) です。

模型は、ポケットが 10 と 9 のチェーンホイールを使うので、倍率は 2 × 10 ÷ 1 = 20 で、損失がなければ 200 kg を上げるのに、手鎖にかかる力は約 98 N です。代償はやはり距離で、1 m 持ち上げるごとに手鎖を 20 m 引きます。10 と 8 のホイールなら 10、15 と 14 なら 30 になります。

シドニーのパワーハウス博物館のコレクションには、バーミンガムの Tangyes 社が作った、この種の 2 トンのブロックがあります。その解説によると、Tangye 兄弟は、リンクがポケットにきれいにはまるようにピッチチェーンを開発し、1862 年の万国博覧会で 10 cwt から 3 トンまで 5 つの大きさのブロックを出品して、9 か月で約 3,000 組を売りました。

チェーンブロックは遅く、損失も大きいのですが、それも魅力のうちです。模型では、下側のシーブと軸を 1 回通るごとに、力の 95% が残ります。すると 10 と 9 のブロックは効率 49% で持ち上げ、およそ 50% を下回ると、この種の機械は荷重で逆に動くことがありません。手鎖から手を離しても、荷重はその場に残ります。

本物の滑車が失うもの

模型の 5% の損失は、推測ではありません。ロープアクセスや救助用の器具をつくる Petzl は、滑車ごとに効率を表示しています。密閉ボールベアリングに載った直径 38 mm のシーブをもつ RESCUE M と SPIN L1 は、95% と評価されています。自己潤滑ブッシュに載った直径 21 mm のシーブをもつ小さな FIXE は 71% で、引いた力のうち反対側に出てくるのは 71% だけです。

この差は急速に広がります。FIXE の滑車で 4 本掛けにすると、重さを割る数は 0.71 + 0.71² + 0.71³ + 0.71⁴ = 1.83 にしかならず、摩擦のない滑車 1 つで必要な力の半分より、まだ大きな力が必要です。5 本掛けで 2.006、6 本掛けでも 2.13 にしかなりません。この和は 0.71 ÷ 0.29 = 2.45 を超えられないからです。そのため救助隊は、安い滑車をたくさん使うのではなく、効率のよい滑車を少なく使います。滑車の実験台を FIXE のタイプにして、3 本掛けを過ぎると棒グラフが平らになるのを見てください。

ショベルのブームシリンダーの内部

車のリフトの後ろでは、複動シリンダーがブームを持ち上げます。内径 120 mm、ストローク 1,285 mm、リリーフ弁の設定 34.3 MPa は、SANY SY215C のデータシートの値です。実験台は 0.45 倍の縮尺で描き、その形状は模型のものです。油はキャップ側から入ってピストンを押し出します。引き戻すときは、ポンプがロッド側に油を送ります。そこではロッドが面積の一部を占めるので、同じ圧力でも引く力は小さくなりますが、ロッドは速く動きます。

圧力を決めるのは、ポンプではなく荷重です。先端に 3,000 kg をのせ、シリンダーが 0.6 m 伸びているとき、シリンダーは約 105 kN で押さなければならず、油は 9.3 MPa 付近です。先端に 12,000 kg をのせると、必要な圧力は 34.3 MPa を超えてしまいます。そのときはリリーフ弁が開いて、油はタンクへ戻り、何も上がりません。ポンプが決めるのは速さだけです。222 L/min のポンプ 1 台で、直径 120 mm のピストンは 0.33 m/s で押し出されます。

同じ決まりが、産業用シリンダーの大きさを決めます。Enerpac は、内径 63.5 mm、プランジャー径 47.8 mm の複動シリンダー BRD256 を載せています。定格の 700 bar で、押す力は 222 kN、引く力は 98 kN だけです。戻り側の有効面積が 31.7 cm² から 13.7 cm² に減るからです。

実験台のブレーキ回路

床の手前には、OpenStax の例題を使ったブレーキ回路があります。ペダルを 100 N で踏むと、5 対 1 のレバーを通って、ペダル側シリンダーでは 500 N になります。ペダル側シリンダーの直径は 5 mm、キャリパーのピストンは 25 mm なので、配管内の圧力は約 25.5 MPa で、キャリパーのピストンは 12,500 N で締め付けます。ペダル側シリンダーのピストンは、キャリパーのピストンの 25 倍動かなくてはなりません。4 つの車輪が同じ油を使うなら 100 倍です。

「車輪を 50 km/h まで回す」を押し、ペダルを踏む力を設定します。パッドの摩擦係数 0.4、パッドの半径 0.11 m、車輪の慣性は、無理のない停止距離になるように選んだ模型の値なので、回転数は例示です。100 N のとき車輪が止まるまでに約 4.2 回転、250 N では約 1.7 回転かかります。

機械の一覧の数値の出どころ

「持ち上げる機械」のどの項目も 1 つの出典を挙げ、カードの数値はその出典が示すものです。滑車の効率は Petzl の製品ページ、ウェストンのブロックはパワーハウス博物館のコレクション、シリンダーの寸法と圧力は SANY のデータシート、BRD256 は Enerpac のカタログ、クローラー・トランスポーターは NASA の概要資料、5 万トンプレスは ASME のランドマーク資料、アンダートン船舶昇降機は Canal and River Trust、ファルカーク・ホイールは Scottish Canals、タワーブリッジの油圧エンジンはタワーブリッジのサイト、航空機の圧力は FAA の整備ハンドブックです。「出典の数値から計算」と記したカードは、それらの数値を組み合わせたものです。たとえば NASA のクローラーでは、内径 23 インチのシリンダー 16 本が 3,000 psi で約 1,990 万ポンド力になります。こうした計算は、展示自身のテストファイルで検算しています。

よくある誤解

• 「滑車は荷物を軽くする」。 箱の重さは 490.5 N のままです。変わるのは、その重さを何本のロープで分けるかです。シーブが自由なら、ロープ 1 本あたり 490.5 ÷ n N で、手はロープを n 倍の距離だけ動かさなければなりません。
• 「ブロックにある車輪を全部数える」。 数えるのは、動くブロックを支えているロープです。ロープを手の側へ向けるだけのシーブは、摩擦を増やすだけで本数には何も足しません。固定ブロックの余分なシーブがその例です。
• 「滑車 20 個は 6 個に勝つ」。 シーブごとに 5% を失うと、割る数は 19 を超えられず、シーブを足すたびに増える効果は前より小さくなります。6 本掛けで、模型はすでに、最大 6 のうち 5.03 を得ています。それ以上は、引くロープが長くなり、点検するものが増えるという、現実の負担になります。
• 「大きいピストンのほうが圧力が高い」。 圧力は両方のピストンで同じで、初期寸法では 1.04 MPa です。大きいほうの力が大きいのは、面積が大きいからです。
• 「ジャッキはエネルギーを増やす」。 1 回の押しでプランジャーに入るのは 16.4 J で、車が得るのも 16.4 J です。実際のジャッキでは、一部がシールや油の中で熱になって出ていくので、届くのは少し減ります。
• 「ジャッキの倍率はパスカルの原理だけ」。 倍率は 2 つあります。レバーが 5、ピストンが 36 で、手の押す力は車に 180 倍になって届きます。11,772 N ÷ 65.4 N = 180 です。
• 「油圧とは高圧の油のこと」。 初期寸法のジャッキは 1.04 MPa で動いています。「小さいピストン」を 10 mm、「大きいピストン」を 100 mm にすると、圧力は 1.50 MPa に上がります。20 mm と 200 mm にすると 0.37 MPa に下がりますが、車にかかる力はどちらも同じ 11,772 N です。圧力は、荷重とラムの面積で決まり、どれだけ強くポンプを押すかでは決まりません。

画面で試す

1. 「ロープの本数」を最初の位置に、「箱の高さ」を 0.5 m にします。パネルには、引く力 490.5 N、引いたロープ 0.5 m と表示されます。2、4、6 本と進めると、引く力が 245、123、82 N に下がり、引いたロープは 1、2、3 m に増えます。
2. どの設定でも、引く力に引いたロープを掛けます。「シーブの摩擦」が切ってあるあいだは、いつも 245 J になり、パネルの仕事と効率の行も一致します。
3. 「シーブの摩擦」を入れて、設定を戻ってみます。引く力は約 516、265、139、97 N で、効率は 95、93、88、84% になるはずです。1 本掛けでは、引く力は 490.5 ÷ 0.95 です。
4. 「部品名」を開いて、ロープの青い数字を探します。動くブロックへ降りているロープを数えて、スライダーと比べます。
5. 「小さいピストン」は 20 mm、「大きいピストン」は 120 mm のままにします。パネルには、面積比 36、油圧 1.04 MPa、小さいピストンに 327 N、レバーの先に 65 N と表示されます。ポンプのレバーを 1 回クリックすると、車は約 1.4 mm 上がります。
6. 「車の高さ」を 0.3 m にして、ポンプの回数の行を読みます。216 です。次に、「小さいピストン」を 40 mm、「大きいピストン」を 60 mm にします。面積比は 2.25 で、レバーの先に約 1,046 N が必要になり、パネルは「一人の力では無理」と表示します。代わりに 10 mm と 200 mm を試すと、約 6 N ですが、2,400 回になります。
7. レバーの先で 30 N 未満になる寸法の組み合わせを探します。たとえば 14 mm と 140 mm です。0.3 m のときのポンプの回数の行を読みます。次に、楽に押せて回数も少ない組み合わせを探してください。そんな組み合わせはありません。力と回数の積は 14,126 のままです。
8. 車を上げた状態で、「戻しバルブ」を入れます。車は一定の速さで下がり、タンクの油面が上がります。

模型が実物より単純な点

本物のブロックは、シーブを 1 本のピンの上に並べるので、ロープ同士が寄り集まり、数えにくくなります。模型は、シーブを梁に沿って広げて、ロープを 1 本ずつ別々に下げています。力と長さの決まりは、この配置に左右されません。

模型は、ロープを伸びない、完全に柔らかいものとして扱い、動くブロック、ロープ、リフトの台、ラムの重さは含めません。摩擦のスイッチは、シーブごとに一律 5% の損失を使っていますが、実際の損失は、軸受け、ロープの硬さ、どれだけ急に曲げるかによって変わります。油圧の側では、油は圧縮されず漏れもないとして扱い、シールには摩擦がなく、油そのものの重さは無視するので、圧力はどの高さでも同じです。実際のリフトには、車が油だけで支えられることがないよう、安全ロックも必要です。

アルキメデスからブラマーまで

滑車装置は、とても古くからあります。紀元前 1 世紀のローマの技術者ウィトルウィウスは、建築についての著作の第 10 巻で、ブロックの滑車の数によって巻上機を説明しました。3 つならトリスパストス、多数の滑車をもつ機械はポリュスパストンです。

最もよく知られた滑車の話はアルキメデスのもので、プルタルコスの『マルケッルス伝』にあります。書かれたのは、紀元前 212 年にアルキメデスが亡くなってから約 300 年後です。プルタルコスによると、アルキメデスはシラクサの王ヒエロンに、与えられた重さはどんな与えられた力でも動かせる、もし行ける別の世界があれば、この世界も動かせると言いました。実演を求められると、大勢の人が陸へ引き上げた 3 本マストの商船に乗客と貨物を積み、離れた場所に座って、複合滑車の仕組みで自分のほうへ引き寄せました。これは出来事のずっと後に語られた話で、目撃者の報告ではありませんが、この考えがすでに彼の名と結び付いていたことを示します。

ブレーズ・パスカルは、液体の平衡についての論文で油圧の原理をまとめました。論文は 1654 年ごろまでに書き終えられ、彼の死の翌年の 1663 年に印刷されました。閉じた液体の圧力は力を増やせます。パスカルが油圧プレスの考えを生んだとふつう言われるのはそのためです。この考えを動く機械にするには、高い圧力に耐えるシールが必要でした。ロンドンの錠前師ジョゼフ・ブラマーが 1795 年に油圧プレスの特許を取りました。小さいポンプのピストンと大きいラムを油でつなぐ同じ配置は、今日のすべての手動ジャッキの中心にあります。

数値の確かめ方

読み取りの表示は、W = mg（g = 9.81 m/s²）、理想の滑車装置では F = W ÷ n、摩擦ありでは e = 0.95 として F = W ÷ (e + e² + … + eⁿ)、引いたロープ = n × h、チェーンブロックの倍率 2R ÷ (R − r)、p = W ÷ A₂、F₁ = p × A₁、1 回の押しでの上昇 = 50 mm × A₁ ÷ A₂ を使っています。これらは手計算の値と一致しており、模型に描かれたロープの経路は、動くブロックを 0.5 m 持ち上げると、手を通るロープがちょうど n × 0.5 m になることを確かめています。