Como funcionam as polias e o macaco hidráulico

O que o modelo mostra

Tente levantar do chão um saco de cimento de 50 kg e você sentirá cada um dos seus 490 newtons. Um pedreiro com uma corda e algumas polias levanta a mesma carga com uma tração que você controlaria com uma só mão, e um mecânico levanta um carro inteiro bombeando uma pequena alavanca. Nenhum dos dois ganha algo de graça. Os dois trocam força por distância, e esta exposição põe números nessa troca.

O chão da oficina está desenhado em tamanho real, em metros. À esquerda, uma caixa de pinho de 50 kg pende de um pórtico de aço em uma talha de cordas. O controle "Ramais de corda" passa a mesma corda de seis maneiras, de uma única polia fixa a moitões com três roldanas cada um, o que dá de um a seis ramais de corda sustentando a caixa. Nas contagens ímpares, a ponta da corda é amarrada ao moitão móvel. No modelo, a corda é um tubo de verdade. Ela envolve cada roldana, nunca muda de comprimento, e a corda que sai dos moitões passa pela mão e se amontoa em um rolo no chão. Marcas vermelhas a cada 0,4 m permitem acompanhá-la.

À direita, um carro de 1200 kg está sobre um elevador erguido por um único pistão hidráulico. Uma mão aciona a alavanca de uma bomba ao lado. O cilindro da bomba, as duas válvulas de retenção e o pistão grande estão seccionados, e dá para ver as esferas se movendo e o nível do óleo mudando. O painel no canto informa a força e a distância dos dois lados, calculadas com as medidas reais do modelo.

Por que uma polia fixa só muda a direção

Comece com uma polia presa à viga e a corda amarrada direto à caixa. A corda sobe, passa pela roldana e desce até a sua mão. Se a roldana gira livremente, a tensão é a mesma dos dois lados dela, porque nada faz um lado puxar mais forte que o outro. A caixa pende de um só ramal de corda, e esse ramal carrega o peso inteiro: 50 kg × 9,81 m/s² = 490,5 N. A sua mão também puxa com 490,5 N.

O que você ganha é direção. Puxar para baixo é mais fácil que levantar, porque você pode pendurar o peso do próprio corpo na corda. A caixa também sobe exatamente tão depressa quanto a corda se move. Puxe 1 m de corda e a caixa sobe 1 m. No modelo, o primeiro passo mostra esse caso, com um único ramal de corda numerado 1.

A polia móvel e a contagem dos ramais de corda

Agora pendure uma segunda polia na caixa. Amarre a corda ao moitão fixo, faça-a descer por baixo da polia móvel, subir de novo pela polia fixa e descer até a sua mão. Olhe para a polia móvel e tudo o que pende dela. Dois ramais de corda a seguram, e cada um carrega a mesma tensão, então cada um precisa suportar só metade do peso: 245 N. O ramal que está na sua mão é a mesma corda, então a sua tração também é de 245 N.

Isso dá a regra para qualquer talha de cordas. Conte os ramais de corda que sustentam o moitão móvel. Se há n deles e as roldanas giram livremente, a tração é o peso dividido por n. Os engenheiros chamam n de vantagem mecânica ideal. Os moitões do modelo com duas roldanas em cima e duas embaixo dão quatro ramais e uma tração de 123 N; três e três dão seis ramais e 82 N. Os pequenos números azuis na corda contam os ramais para você. A roldana extra do moitão fixo que leva a corda até a sua mão não entra na contagem, porque não está sustentando a caixa.

Força vezes distância: a corda com que você paga

O preço aparece na mão. Quando a caixa sobe 0,5 m, cada um dos seis ramais de corda fica 0,5 m mais curto. Esses 3 m de corda precisam ir para algum lugar, e saem pela sua mão e vão para o rolo. Em geral, a corda puxada é n vezes a altura ganha. O valor "corda puxada" do modelo é esse produto, e o rolo no chão cresce na mesma medida.

Multiplique força por distância e os dois lados concordam. Com quatro ramais e uma subida de 0,5 m, a mão puxa com 122,6 N ao longo de 2 m, o que dá 245 J de trabalho. A caixa ganha 490,5 N × 0,5 m = 245 J de energia potencial. As polias levam o trabalho de um lugar a outro; não conseguem acrescentar nada a ele. É a mesma regra que governa uma alavanca ou um trem de engrenagens, e o painel imprime os dois lados para você ver que coincidem sempre que o atrito está desligado. Com o atrito desligado, o modelo ignora mais duas coisas: o peso do moitão móvel e o peso da corda.

O atrito, e por que as talhas páram em cerca de seis ramais

As roldanas reais atritam nos seus eixos, e a corda precisa se dobrar em volta de cada uma. Cada vez que a corda passa por uma roldana a caminho da mão, a tensão precisa subir um pouco para pagar por isso. O interruptor "Atrito das roldanas" do modelo supõe que cada roldana repassa 95 % da tensão. Partindo da ponta fixa e indo em direção à mão, os seis ramais de corda passam então a carregar tensões ligeiramente diferentes, e a tração passa a ser o peso dividido por 0,95 + 0,95² + … + 0,95⁶ = 5,03 em vez de por 6. A tração sobe de 82 N para 97 N. O trabalho aplicado continua sendo força vezes corda puxada, mas agora só 84 % dele chega à caixa; o resto vira calor nos mancais e na corda.

Acrescentar roldanas continua ajudando, mas cada vez menos. Com 5 % perdidos por roldana, a soma nunca pode passar de 0,95 ÷ 0,05 = 19, então nenhuma talha desse tipo consegue baixar a caixa de 490 N abaixo de cerca de 26 N, por mais roldanas que você pendure. Muito antes disso, a corda a puxar se torna absurda: uma talha de 19 ramais precisa de 19 m de corda para cada metro de elevação. Por isso a maioria das talhas manuais para em quatro a seis ramais, e por isso os guindastes grandes usam guinchos e tambores em vez de mais roldanas.

O princípio de Pascal em uma caixa fechada de óleo

Um macaco hidráulico faz a mesma troca com um líquido. O óleo quase não se comprime, então empurrá-lo em um ponto aumenta a pressão em todo o sistema fechado na mesma medida. Esse é o princípio de Pascal. Pressão é força por área, então a mesma pressão agindo sobre uma área maior produz uma força maior.

No modelo, o pistão pequeno tem 20 mm de diâmetro e o pistão grande 120 mm. A área é proporcional ao quadrado do diâmetro, então o pistão grande tem (120 ÷ 20)² = 36 vezes a área. O carro pesa 1200 kg × 9,81 = 11.772 N. Distribuído pelos 0,0113 m² do pistão grande, isso exige uma pressão de 1,04 MPa, cerca de dez vezes a pressão atmosférica. A mesma pressão de 1,04 MPa sobre os 0,000314 m² do pistão pequeno exige apenas 327 N.

A distância cobra de novo. Cada aperto de 50 mm do pistão pequeno empurra 15,7 cm³ de óleo para dentro do cilindro do pistão grande. Distribuído por 36 vezes a área, esse óleo levanta o pistão grande 50 ÷ 36 = 1,39 mm. O trabalho aplicado por bombeada é 327 N × 0,05 m = 16,4 J, e o carro ganha 11.772 N × 0,00139 m = 16,4 J. Levantar o carro 0,3 m exige 216 bombeadas.

Dentro do macaco: êmbolo, duas válvulas de retenção e uma válvula de liberação

Um único aperto levantaria o carro só 1,39 mm, então a bomba precisa se encher de novo e empurrar outra vez, e o óleo não pode voltar entre uma coisa e outra. Duas válvulas de retenção cuidam disso. Cada uma é uma esfera pressionada contra uma sede redonda por uma pequena mola. O óleo que empurra pelo lado da sede levanta a esfera e passa por ela; o óleo que empurra no sentido contrário só aperta a esfera com mais força contra a sede.

Quando você ergue a alavanca, o êmbolo sobe e a pressão na câmara da bomba cai. A válvula de entrada se abre e o óleo entra vindo do reservatório, enquanto a válvula de saída continua fechada porque a alta pressão do lado do pistão grande mantém a esfera dela para baixo. Quando você abaixa a alavanca, a pressão na câmara passa da pressão do pistão grande. A esfera de entrada se fecha de golpe, a de saída se levanta e o óleo vai para o pistão grande. No modelo, a passagem do óleo brilha durante cada metade do curso, e as esferas se erguem das sedes.

A alavanca multiplica a força mais uma vez antes de o óleo fazê-lo. A mão segura a alavanca a 0,5 m do pivô e o êmbolo está ligado a 0,1 m dele, então a mão precisa de apenas 327 ÷ 5 = 65 N, mais ou menos o esforço para segurar uma sacola de 6,7 kg. A válvula de liberação é a terceira válvula. Abri-la liga o pistão grande ao reservatório, e o peso do carro empurra o óleo de volta. Ligue-a nos controles e o carro desce a um ritmo constante enquanto o reservatório se enche de novo.

Os números do carro

Os controles dos pistões mostram como as escolhas de projeto puxam em direções opostas. Faça o pistão pequeno com 40 mm e o grande com 60 mm, e a razão das áreas cai para 2,25. Cada bombeada agora levanta o carro 22 mm, mas o pistão pequeno precisa de 5232 N e a mão na alavanca de 1046 N, mais do que uma pessoa consegue empurrar. Vá para o outro lado, um êmbolo de 10 mm sob um pistão grande de 200 mm, e a razão é 400. A mão precisa de menos de 6 N, mas cada bombeada levanta o carro 0,125 mm e levantar 0,3 m leva 2400 bombeadas. Os macacos manuais reais escolhem razões entre essas, com uma alavanca longa, para que uma pessoa consiga levantar um carro em um ou dois minutos de bombeamento.

A pressão é o número que define o tamanho de todo o resto. A 1,04 MPa, o óleo do modelo é suave; um macaco de garrafa pequeno, com um pistão de 30 mm segurando uma tonelada, trabalha com mais de dez vezes isso, e é por isso que os cilindros de macaco são de aço de paredes grossas.

Exemplo resolvido: o mesmo carro levantado de duas maneiras

Pegue o carro de 1200 kg da exposição. Ele pesa 11.772 N, e levantá-lo 0,3 m significa dar a ele 11.772 × 0,3 = 3532 J de energia potencial. Qualquer máquina que faça isso precisa receber ao menos essa quantidade de trabalho. As duas máquinas abaixo diferem apenas na maneira de repartir esse trabalho entre força e distância.

Primeiro a talha de cordas. Isto é uma suposição, porque a exposição pendura nela apenas a caixa de 50 kg: amplie a montagem de seis ramais para o carro, com uma corda forte o bastante e a mesma perda de 5 % por roldana. Sem atrito, a tração é 11.772 ÷ 6 = 1962 N, o peso de uma massa de 200 kg. A corda puxada é 6 × 0,3 = 1,8 m, então a mão realiza 1962 × 1,8 = 3532 J. Ligue o atrito e o divisor passa a ser 5,03, então a tração é 11.772 ÷ 5,03 = 2339 N, e a mão realiza 2339 × 1,8 = 4210 J. Desse total, 3532 ÷ 4210 = 84 % chegam ao carro.

Agora o macaco com as medidas padrão. A mão precisa de 65 N, e cada curso da alavanca move a mão 5 × 0,05 = 0,25 m enquanto o carro sobe 1,39 mm. Levantá-lo 0,3 m leva 216 bombeadas, então a mão percorre 216 × 0,25 = 54 m e realiza 65,4 × 54 = 3532 J. A energia é a mesma da talha. Só muda a forma da conta: 65 N ao longo de 54 m em vez de 1962 N ao longo de 1,8 m.

O macaco esconde uma regra elegante. Para qualquer par de tamanhos de pistão, a força da mão multiplicada pelo número de bombeadas necessárias para 0,3 m dá 14.126 N. Um êmbolo de 24 mm sob um pistão grande de 120 mm tem razão de áreas 25, então a mão precisa de 94 N durante 150 bombeadas. Um êmbolo de 14 mm sob um pistão grande de 140 mm tem razão 100, então a mão precisa de 23,5 N durante 600 bombeadas. Os dois multiplicam para 14.126. Escolher os tamanhos dos pistões só decide em que ponto dessa linha o macaco fica: empurrões fáceis e muitas bombeadas, ou empurrões duros e poucas bombeadas.

Por que o atrito se acumula: a regra do cabrestante

Os 5 % fixos por roldana do modelo são uma simplificação que vale a pena examinar. Uma corda apoiada em uma superfície curva pressiona essa superfície, e o atrito resultante é proporcional a essa pressão. Calculando para um pedacinho de corda e somando os pedaços, chega-se a um resultado limpo, muitas vezes chamado de equação do cabrestante: a tensão do lado pesado é no máximo a tensão do lado leve vezes e elevado a μθ, onde μ é o coeficiente de atrito e θ é o ângulo de enrolamento da corda, em radianos. Uma dedução dela faz parte das notas de aula do MIT sobre modelagem de sistemas dinâmicos.

O expoente explica duas coisas ao mesmo tempo. Uma roldana que gira sobre um bom mancal fica longe desse limite, porque a corda rola na canaleta em vez de deslizar nela, e sobram apenas o atrito do mancal e a flexão da corda. Os 5 % do modelo representam isso. E em uma talha, as perdas se multiplicam de uma roldana para a seguinte, e é por isso que a soma da seção anterior é uma série geométrica.

O cabrestante de um marinheiro mostra o outro lado da mesma equação. Suponha μ = 0,3 entre uma corda e um tambor parado e duas voltas completas, então θ = 4π = 12,57 rad. O fator é e^3,77 = 43. Um marinheiro que segura a ponta solta com 100 N consegue segurar 4300 N do outro lado. Nada está girando o tambor nesse caso. A corda escorregaria se a tração fosse maior, mas é o atrito que faz a retenção. A talha usa a troca oposta: quer o atrito o menor possível e perde 5 % a cada vez.

Guindastes, elevadores, escavadeiras e freios

Guindastes de construção romanos. Um relevo do túmulo dos Haterii, uma família de construtores que trabalhou no Coliseu, está hoje nos Museus Vaticanos. À esquerda, mostra um guindaste movido por uma grande roda acionada por pessoas. Vitrúvio descreve a mesma família de máquinas no Livro 10, do trispasto de três polias ao polispasto. Uma roda de caminhada gira um tambor, o tambor enrola a corda e o moitão divide a carga mais uma vez antes de ela chegar à pedra, de modo que as duas multiplicações se somam. Os construtores também pagavam em distância: cada metro que o moitão subia consumia n metros de corda.

Guindastes hidráulicos. Em 1846, William Armstrong instalou o primeiro guindaste hidráulico no cais de Newcastle para descarregar carvão, depois que o sistema de água da cidade, de 1845, lhe deu a pressão para usar. Ele funcionava com a pressão excedente da rede de água da cidade. É o princípio de Pascal usado para um fim bem diferente do de um macaco de carro: a pressão vem de fora e um pistão no guindaste a converte em tração.

Elevadores. A maioria das cabines de elevador pende de cabos de aço sobre uma polia motriz, com um contrapeso do outro lado. Suponha, como hipótese, uma cabine de 1000 kg, uma carga nominal de 800 kg e um contrapeso de 1400 kg, que é a cabine mais metade da carga. Com a cabine cheia, o motor sustenta 1800 − 1400 = 400 kg de desequilíbrio. Com a cabine vazia, sustenta 1400 − 1000 = 400 kg no sentido oposto. Sem o contrapeso, o motor teria de carregar o peso inteiro da cabine, até 1800 kg, a cada viagem. O relato da National Academy of Engineering sobre a história dos elevadores diz que o primeiro contrapeso não apareceu antes de 1670, e que contrapesos e a montagem de dois para um reduzem a potência necessária. A montagem de dois para um é o caso n = 2 desta exposição: a cabine anda à metade da velocidade da corda e a corda carrega metade do peso da cabine. Elisha Otis mostrou seu freio de segurança na Feira Mundial de Nova York de 1854 mandando cortar a corda com um machado enquanto estava de pé na plataforma, segundo a ASME e o National Inventors Hall of Fame. O freio não mudou em nada a vantagem mecânica. Ele tornou a máquina segura o bastante para pessoas.

Escavadeiras. A folha de dados de uma escavadeira de 22,6 toneladas de um fabricante, a SANY, dá uma pressão de ajuste da válvula de alívio de 34,3 MPa para os circuitos dos implementos e um cilindro de lança com 120 mm de diâmetro interno. Esse diâmetro é igual ao do pistão grande desta exposição. A pressão é 34,3 ÷ 1,04 = 33 vezes maior, então o empuxo na pressão de alívio pode chegar a 34,3 MPa × 0,01131 m² = 388 kN, contra 11,8 kN do pistão grande do modelo. Esse é um limite superior definido pela válvula de alívio, não a força que a lança entrega: a geometria do braço, os outros cilindros e a vazão da bomba decidem o que chega à caçamba. Mesmo assim, mostra por que as escavadeiras usam hidráulica: uma pressão 33 vezes maior concentra essa força em um cilindro do tamanho do pistão grande desta exposição.

Freios de carro. A OpenStax resolve um exemplo de freio. O motorista pisa com 100 N, uma alavanca eleva isso para 500 N em um cilindro de pedal com 5 mm de diâmetro interno, e cada um dos quatro cilindros de roda tem 25 mm de diâmetro interno. A razão das áreas é (25 ÷ 5)² = 25, então cada cilindro de roda empurra com 12.500 N. O óleo que um cilindro de roda recebe vem do cilindro do pedal, então o pistão do cilindro do pedal precisa percorrer 25 vezes a distância do pistão da roda, e com quatro rodas dividindo o óleo ele se move 100 vezes a distância de cada uma. A OpenStax acrescenta que os freios assistidos têm uma bomba motorizada que faz a maior parte do trabalho. O exemplo cobre, portanto, apenas a multiplicação entre o pedal e a roda.

Números ímpares de ramais de corda

O número de ramais de corda que sustentam a carga não precisa ser par. Se a ponta fixa está amarrada ao moitão de cima, a corda sempre desce e sobe em pares, e a contagem dá 2, 4 ou 6. Amarre a ponta fixa ao moitão móvel, em um pequeno olhal chamado olhal do moitão, e esse primeiro trecho de corda também sustenta a carga. Duas roldanas em cima e uma embaixo dão então três ramais, e três em cima com duas embaixo dão cinco. Vitrúvio usou exatamente estes dois nomes: o trispasto para três polias e o pentaspasto para cinco.

Escolha 3 ou 5 na bancada de polias e conte os ramais numerados. Sem atrito, a tração é 490,5 ÷ 3 = 164 N e 490,5 ÷ 5 = 98 N, e a corda puxada é três ou cinco vezes a subida. O modelo confere a corda desenhada: levantar o moitão de baixo 0,5 m encurta o caminho da ponta fixa até a mão em exatamente 1,5 m ou 2,5 m. Os manuais de cordame usam o mesmo truque quando viram um moitão de cabeça para baixo para ganhar um ramal: o lado de onde sai o ramal de tração, fixo ou móvel, decide se ele entra na contagem.

A talha diferencial de corrente

Uma talha com muitos ramais precisa de muita corda. Thomas Aldridge Weston encontrou um jeito de contornar isso, com duas rodas de corrente de tamanhos ligeiramente diferentes fixadas no mesmo eixo e uma única corrente sem fim. Uma volta da corrente pende em torno de uma roldana que carrega o gancho; a outra volta pende solta para a mão. A cada giro do eixo, uma circunferência grande de corrente é enrolada na roda maior e uma circunferência pequena é liberada pela roda menor, de modo que a volta da carga encurta pela diferença e o gancho sobe metade dela. A vantagem mecânica é 2R ÷ (R − r).

O modelo usa rodas de corrente com 10 e 9 alvéolos, então a vantagem é 2 × 10 ÷ 1 = 20 e 200 kg exigem apenas cerca de 98 N na corrente de mão quando nada se perde. O custo é de novo a distância: 20 m de corrente de mão para cada metro de elevação. As rodas de 10 e 8 dão 10, e as de 15 e 14 dão 30.

A coleção do Powerhouse, em Sydney, guarda um bloco desse tipo de duas toneladas, fabricado pela Tangyes de Birmingham. As notas do museu descrevem como os irmãos Tangye desenvolveram uma corrente de passo para que os elos se assentassem bem nos alvéolos, apresentaram o bloco em cinco tamanhos, de 10 cwt a 3 toneladas, na Exposição Internacional de 1862, e venderam cerca de 3000 conjuntos em nove meses.

As talhas de corrente são lentas e têm perdas, e isso faz parte do seu atrativo. No modelo, cada passagem pela roldana inferior e pelo eixo conserva 95 % da força. O bloco 10 e 9 levanta então com rendimento de 49 %, e abaixo de cerca de 50 % uma máquina desse tipo não anda para trás sob a carga. Solte a corrente de mão e a carga fica onde está.

O que as polias reais perdem

Os 5 % de perda do modelo não são um palpite. A Petzl, fabricante de equipamentos de acesso por corda e resgate, imprime um rendimento para cada polia. A RESCUE M e a SPIN L1, com roldanas de 38 mm sobre rolamentos de esferas selados, têm 95 %. A pequena FIXE, com uma roldana de 21 mm sobre buchas autolubrificantes, tem 71 %: só 71 % da tração sai do outro lado.

Essa diferença cresce depressa. Com polias FIXE, quatro ramais de corda dividem o peso por 0,71 + 0,71² + 0,71³ + 0,71⁴ = 1,83, então a tração ainda é mais da metade do que uma única polia sem atrito exigiria. Cinco ramais chegam a 2,006, e seis apenas a 2,13, porque a soma nunca passa de 0,71 ÷ 0,29 = 2,45. Por isso as equipes de resgate usam poucas polias eficientes em vez de muitas baratas. Ajuste a bancada de polias para o tipo FIXE e veja as barras se achatarem depois de três ramais.

Dentro de um cilindro de lança de escavadeira

Atrás do elevador de carros, um cilindro de dupla ação levanta uma lança. Seu diâmetro interno, 120 mm, o curso, 1285 mm, e o ajuste da válvula de alívio, 34,3 MPa, vêm da folha de dados da SANY SY215C; a bancada está desenhada na escala 0,45 e sua geometria é um modelo. O óleo entra pelo lado do fundo para empurrar o pistão para fora. Para recolhê-lo, a bomba alimenta o lado da haste, onde a haste ocupa parte da área, então a mesma pressão puxa com menos força, mas move a haste mais depressa.

A pressão é definida pela carga, não pela bomba. Com 3000 kg na ponta e o cilindro 0,6 m para fora, o cilindro precisa empurrar cerca de 105 kN e o óleo fica perto de 9,3 MPa. Ponha 12.000 kg na ponta e a pressão necessária passaria de 34,3 MPa; a válvula de alívio se abre, o óleo volta ao reservatório e nada sobe. A bomba decide apenas a velocidade: uma bomba de 222 L/min empurraria um pistão de 120 mm para fora a 0,33 m/s.

A mesma regra define o tamanho dos cilindros industriais. A Enerpac lista um cilindro de dupla ação, o BRD256, com 63,5 mm de diâmetro interno e um êmbolo de 47,8 mm. Na pressão nominal de 700 bar ele empurra 222 kN e puxa apenas 98 kN, porque a área efetiva cai de 31,7 cm² para 13,7 cm² no lado do retorno.

O circuito de freio na bancada

Na frente do piso, um circuito de freio usa o exemplo resolvido da OpenStax. Um empurrão de 100 N no pedal vira 500 N no cilindro do pedal por meio de uma alavanca de 5 para 1. O cilindro do pedal tem 5 mm de diâmetro e o pistão da pinça 25 mm, então a pressão na tubulação é de cerca de 25,5 MPa e o pistão da pinça aperta com 12.500 N. O pistão do cilindro do pedal precisa percorrer 25 vezes a distância do pistão da pinça; com quatro rodas tirando do mesmo óleo, seriam 100 vezes.

Toque em "Girar a roda até 50 km/h" e defina uma força no pedal. O coeficiente de atrito da pastilha de 0,4, o raio da pastilha de 0,11 m e a inércia da roda são valores do modelo escolhidos para dar distâncias de frenagem razoáveis, então o número de voltas é uma ilustração. Com 100 N, a roda precisa de cerca de 4,2 voltas para parar, e com 250 N cerca de 1,7.

De onde a lista de máquinas tira seus números

Cada item de "Máquinas que levantam" cita uma fonte, e os números do seu cartão são os que essa fonte informa: as páginas de produto da Petzl para o rendimento das polias, a coleção do Powerhouse para o bloco Weston, a folha de dados da SANY para tamanhos e pressões dos cilindros, o catálogo da Enerpac para o BRD256, a ficha técnica da NASA para o transportador de esteiras, os documentos de marco histórico da ASME para a prensa de 50.000 toneladas, o Canal and River Trust para o elevador de barcos de Anderton, a Scottish Canals para a Roda de Falkirk, o site da Tower Bridge para seus motores hidráulicos e o manual de manutenção da FAA para as pressões das aeronaves. Os cartões marcados "calculado a partir dos números da fonte" combinam esses números; por exemplo, 16 cilindros de 23 polegadas de diâmetro interno a 3000 psi no transportador da NASA dão cerca de 19,9 milhões de libras de força, e essas contas são conferidas no arquivo de testes da própria exposição.

Equívocos comuns

• "Uma polia deixa a carga mais leve." A caixa continua pesando 490,5 N. O que muda é quantos ramais de corda a dividem. Cada ramal carrega 490,5 ÷ n N quando as roldanas giram livres, e a mão precisa mover a corda n vezes a distância.
• "Conte todas as rodas do moitão." Conte os ramais de corda que sustentam o moitão móvel. Uma roldana que só desvia a corda em direção à sua mão acrescenta atrito e nada à contagem, como a roldana extra do moitão fixo.
• "Vinte polias vencem seis." Com 5 % perdidos por roldana, o divisor nunca passa de 19, e cada roldana a mais acrescenta menos que a anterior. Com seis ramais, o modelo já tira 5,03 de um máximo possível de 6. Além disso, a corda extra para puxar e as peças extras para inspecionar são um custo real.
• "O pistão grande tem mais pressão." A pressão é a mesma nos dois pistões, 1,04 MPa com as medidas padrão. O grande tem mais força porque tem mais área.
• "O macaco cria energia extra." Uma bombeada coloca 16,4 J no êmbolo e o carro ganha 16,4 J. Em um macaco real, parte dela sai como calor nas vedações e no óleo, então chega um pouco menos.
• "O princípio de Pascal é o único multiplicador de um macaco." São dois. A alavanca dá 5, os pistões dão 36, então o empurrão da mão chega ao carro 180 vezes maior: 11.772 N ÷ 65,4 N = 180.
• "Hidráulico quer dizer óleo sob alta pressão." O macaco padrão trabalha a 1,04 MPa. Ajuste "Pistão pequeno" para 10 mm e "Pistão grande" para 100 mm e a pressão sobe para 1,50 MPa. Ajuste 20 mm e 200 mm e ela cai para 0,37 MPa, embora a força sobre o carro seja a mesma de 11.772 N nos dois casos. A pressão depende da carga e da área do pistão grande, não da força com que alguém bombeia.

Experimente na tela

1. Coloque "Ramais de corda" na primeira posição e "Altura da caixa" em 0,5 m. O painel indica tração de 490,5 N e corda puxada de 0,5 m. Passe por 2, 4 e 6 ramais e veja a tração cair para 245, 123 e 82 N enquanto a corda puxada sobe para 1, 2 e 3 m.
2. Em cada ajuste, multiplique a tração pela corda puxada. Dá 245 J todas as vezes enquanto o "Atrito das roldanas" está desligado, e as linhas de trabalho e rendimento do painel concordam.
3. Ligue o "Atrito das roldanas" e volte pelos ajustes. A tração deve indicar cerca de 516, 265, 139 e 97 N, com rendimentos de 95, 93, 88 e 84 %. Com 1 ramal, a tração é 490,5 ÷ 0,95.
4. Abra "Nomes das peças" e encontre os números azuis na corda. Conte os ramais que descem até o moitão móvel e compare com o controle.
5. Deixe "Pistão pequeno" em 20 mm e "Pistão grande" em 120 mm. O painel indica razão das áreas de 36, pressão do óleo de 1,04 MPa, 327 N no pistão pequeno e 65 N na ponta da alavanca. Clique uma vez na alavanca da bomba e o carro sobe cerca de 1,4 mm.
6. Ajuste "Altura do carro" para 0,3 m e leia a linha das bombeadas: 216. Depois mude "Pistão pequeno" para 40 mm e "Pistão grande" para 60 mm. A razão das áreas é 2,25 e a ponta da alavanca agora precisa de cerca de 1046 N, o que o painel marca como demais para uma pessoa. Tente 10 mm e 200 mm: cerca de 6 N, mas 2400 bombeadas.
7. Encontre um par de tamanhos em que a ponta da alavanca precise de menos de 30 N, como 14 mm e 140 mm. Leia a linha das bombeadas para 0,3 m. Depois procure um par que seja fácil de empurrar e exija poucas bombeadas. Não existe: força vezes bombeadas fica em 14.126.
8. Ligue a "Válvula de liberação" com o carro levantado. O carro desce a um ritmo constante e o nível do óleo no reservatório sobe.

Onde o modelo é mais simples que a realidade

Os moitões reais colocam suas roldanas lado a lado em um só eixo, de modo que os ramais de corda ficam agrupados e são difíceis de contar. O modelo espalha as roldanas ao longo da viga para que cada ramal pendure sozinho. As regras de força e de comprimento não dependem desse arranjo.

O modelo trata a corda como inextensível e perfeitamente flexível, e deixa de fora o peso do moitão móvel, da corda, da plataforma elevatória e do pistão grande. O interruptor de atrito usa uma perda fixa de 5 % por roldana; as perdas reais dependem do mancal, da rigidez da corda e da curvatura da dobra. No lado hidráulico, o óleo é tratado como incompressível e sem vazamentos, as vedações não têm atrito e o peso do próprio óleo é ignorado, de modo que a pressão é a mesma em todas as alturas. Um elevador real também precisa de uma trava de segurança para que o carro nunca fique apoiado só no óleo.

De Arquimedes a Bramah

As talhas de polias são muito antigas. No século I a.C., o engenheiro romano Vitrúvio descreveu, no Livro 10 de sua obra sobre arquitetura, máquinas de içar classificadas pelo número de polias de seus moitões, sendo o de três o trispasto e a máquina de muitas polias o polispasto.

A história de polias mais conhecida é a de Arquimedes, e vem da Vida de Marcelo, de Plutarco, escrita cerca de 300 anos depois da morte de Arquimedes, em 212 a.C. Plutarco diz que Arquimedes contou ao rei Hierão de Siracusa que qualquer peso dado podia ser movido por qualquer força dada, e que, se houvesse outro mundo para onde ir, ele poderia mover este. Pedida uma demonstração, ele pegou um navio mercante de três mastros que muitos homens tinham puxado para terra, carregou-o de passageiros e carga e, sentado à distância, puxou-o em sua direção com um sistema de polias compostas. É uma história contada muito tempo depois dos fatos, não o relato de uma testemunha, mas mostra que a ideia já estava ligada ao seu nome.

Blaise Pascal elaborou o princípio hidráulico em seu tratado sobre o equilíbrio dos líquidos, concluído por volta de 1654 e impresso em 1663, um ano depois da sua morte. A pressão em um líquido fechado pode multiplicar a força, e Pascal costuma receber o crédito pela ideia da prensa hidráulica por esse motivo. Transformar a ideia em uma máquina que funcionasse exigia vedações capazes de suportar alta pressão. Joseph Bramah, o serralheiro londrino, patenteou a prensa hidráulica em 1795, e o mesmo arranjo, um pequeno pistão de bomba e um grande pistão ligados por óleo, é o coração de todo macaco acionado à mão hoje.

Como os números foram conferidos

O painel usa W = mg com g = 9,81 m/s², F = W ÷ n para talhas ideais e F = W ÷ (e + e² + … + eⁿ) com e = 0,95 para o caso com atrito, corda puxada = n × h, a vantagem da talha de corrente 2R ÷ (R − r), p = W ÷ A₂, F₁ = p × A₁ e subida por bombeada = 50 mm × A₁ ÷ A₂. Esses valores concordam com os cálculos à mão, e o trajeto da corda desenhado no modelo confirma que levantar o moitão móvel 0,5 m faz passar exatamente n × 0,5 m de corda pela mão.