Poulies et cric hydraulique : soulevez caisse et voiture

Ce que montre le modèle

Essayez de soulever du sol un sac de ciment de 50 kg : vous sentirez chacun de ses 490 newtons. Un maçon muni d’une corde et de quelques poulies peut monter la même charge avec une traction qu’une seule main suffit à fournir, et un mécanicien peut soulever une voiture entière en actionnant une petite poignée. Ni l’un ni l’autre n’obtient quoi que ce soit pour rien. Tous deux échangent de la force contre de la distance, et cette exposition chiffre cet échange.

Le sol de l’atelier est dessiné à taille réelle, en mètres. À gauche, une caisse de pin de 50 kg est suspendue à un portique d’acier par un palan à poulies. Le curseur « Brins de corde » moufle la même corde de six façons, d’une simple poulie fixe à des moufles de trois réas chacune, ce qui donne de un à six brins qui portent la caisse. Pour les nombres impairs, le bout de la corde est attaché à la moufle mobile. La corde est un vrai tube dans le modèle. Elle s’enroule sur chaque réa, sa longueur ne change jamais, et la corde qui sort des moufles passe dans la main et s’accumule en tas sur le sol. Des repères rouges tous les 0,4 m permettent de la suivre.

À droite, une voiture de 1200 kg repose sur un élévateur soulevé par un seul piston hydraulique. Une main actionne à côté un levier de pompe. Le cylindre de la pompe, les deux clapets anti-retour et le piston sont ouverts en coupe, si bien qu’on voit les billes bouger et le niveau d’huile changer. Le panneau dans le coin indique la force et la distance des deux côtés, calculées à partir des dimensions réelles du modèle.

Pourquoi une poulie fixe ne fait que changer de direction

Commencez par une poulie boulonnée à la poutre et la corde attachée directement à la caisse. La corde monte, passe sur le réa et redescend jusqu’à votre main. Si le réa tourne librement, la tension est la même des deux côtés, car rien ne fait tirer un côté plus fort que l’autre. La caisse est suspendue à un seul brin, qui porte donc tout le poids : 50 kg × 9,81 m/s² = 490,5 N. Votre main tire elle aussi avec 490,5 N.

Ce que vous gagnez, c’est la direction. Tirer vers le bas est plus facile que soulever vers le haut, parce qu’on peut suspendre son propre poids du corps à la corde. La caisse monte aussi exactement aussi vite que la corde se déplace : tirez 1 m de corde et la caisse monte de 1 m. Dans le modèle, la première étape montre ce cas, avec un seul brin numéroté 1.

La poulie mobile et le décompte des brins

Suspendez maintenant une seconde poulie à la caisse. Attachez la corde à la moufle fixe, faites-la descendre sous la poulie mobile, remonter sur la poulie fixe puis redescendre jusqu’à votre main. Regardez la poulie mobile et tout ce qui y est suspendu. Deux brins la soutiennent, et chacun porte la même tension : il ne lui faut donc que la moitié du poids, soit 245 N. Le brin que vous tenez est la même corde, de sorte que votre traction est elle aussi de 245 N.

On en tire la règle de tout palan à poulies. Comptez les brins qui soutiennent la moufle mobile. S’il y en a n, et que les réas tournent librement, la traction est le poids divisé par n. Les ingénieurs appellent n l’avantage mécanique idéal. Les moufles du modèle avec deux réas en haut et deux en bas donnent quatre brins et une traction de 123 N ; avec trois et trois, on obtient six brins et 82 N. Les petits chiffres bleus sur la corde comptent les brins pour vous. Le réa supplémentaire de la moufle fixe, qui ramène la corde vers votre main, ne s’ajoute pas au décompte, puisqu’il ne porte pas la caisse.

Force fois distance : la corde dont on paie le prix

Le prix se paie à la main. Quand la caisse monte de 0,5 m, chacun des six brins raccourcit de 0,5 m. Ces 3 m de corde doivent bien aller quelque part : ils sortent par votre main et s’ajoutent au tas. En général, la corde tirée vaut n fois la hauteur gagnée. La valeur « corde tirée » du modèle est ce produit, et le tas sur le sol grandit de la même longueur.

Multipliez la force par la distance et les deux côtés s’accordent. Avec quatre brins et une montée de 0,5 m, la main tire à 122,6 N sur 2 m, soit 245 J de travail. La caisse gagne 490,5 N × 0,5 m = 245 J d’énergie potentielle. Les poulies déplacent le travail ; elles ne peuvent pas l’augmenter. C’est la même règle que pour un levier ou un train d’engrenages, et l’affichage donne les deux côtés pour que vous les voyiez coïncider chaque fois que le frottement est coupé. Sans frottement, le modèle ignore aussi deux autres choses : le poids de la moufle mobile et celui de la corde.

Le frottement, et pourquoi les palans s’arrêtent vers six brins

De vrais réas frottent sur leur axe, et la corde doit se courber autour de chacun. Chaque fois que la corde passe un réa en allant vers la main, sa tension doit augmenter un peu pour payer cela. L’interrupteur « Frottement des réas » du modèle suppose que chaque réa transmet 95 % de la tension. En partant du bout fixe et en allant vers la main, les six brins portent alors des tensions un peu différentes, et la traction devient le poids divisé par 0,95 + 0,95² + … + 0,95⁶ = 5,03 au lieu de 6. La traction passe de 82 N à 97 N. Le travail fourni reste la force fois la corde tirée, mais seuls 84 % en arrivent à la caisse ; le reste se transforme en chaleur dans les paliers et dans la corde.

Ajouter des réas continue d’aider, mais de moins en moins. Avec 5 % perdus par réa, la somme ne peut jamais dépasser 0,95 ÷ 0,05 = 19, de sorte qu’aucun palan de ce type ne peut faire descendre la caisse de 490 N sous environ 26 N, quel que soit le nombre de réas que vous accrochez. Bien avant ce point, la corde à tirer devient absurde : un palan à 19 brins demande 19 m de corde pour chaque mètre de levée. C’est pourquoi la plupart des palans manuels s’arrêtent à quatre à six brins, et pourquoi les grandes grues utilisent des treuils et des tambours plutôt que davantage de réas.

Le principe de Pascal dans une boîte d’huile fermée

Un cric hydraulique fait le même échange avec un liquide. L’huile se comprime à peine, de sorte qu’en poussant sur elle en un point, on augmente la pression partout dans un système fermé de la même quantité. C’est le principe de Pascal. La pression est une force par unité de surface : la même pression sur une plus grande surface donne donc une plus grande force.

Dans le modèle, le petit piston mesure 20 mm de diamètre et le grand piston 120 mm. La surface varie comme le carré du diamètre, si bien que le grand piston a (120 ÷ 20)² = 36 fois la surface. La voiture pèse 1200 kg × 9,81 = 11 772 N. Répartie sur les 0,0113 m² du grand piston, cette charge demande une pression de 1,04 MPa, soit environ dix fois la pression atmosphérique. La même pression de 1,04 MPa sur les 0,000314 m² du petit piston ne demande que 327 N.

La distance se paie de nouveau. Chaque course de 50 mm du petit piston refoule 15,7 cm³ d’huile dans le cylindre du grand piston. Répartie sur une surface 36 fois plus grande, cette huile soulève le piston de 50 ÷ 36 = 1,39 mm. Le travail fourni par coup est de 327 N × 0,05 m = 16,4 J, et la voiture gagne 11 772 N × 0,00139 m = 16,4 J. Soulever la voiture de 0,3 m demande 216 coups.

Dans le cric : piston plongeur, deux clapets anti-retour et soupape de retour

Une seule poussée ne soulèverait la voiture que de 1,39 mm : la pompe doit donc se remplir et pousser de nouveau, et l’huile ne doit pas redescendre entre-temps. Deux clapets anti-retour s’en chargent. Chacun est une bille appuyée sur un siège rond par un petit ressort. L’huile qui pousse du côté du siège soulève la bille et passe ; l’huile qui pousse dans l’autre sens ne fait qu’appuyer la bille plus fort sur son siège.

Quand vous relevez le levier, le piston plongeur monte et la pression baisse dans la chambre de la pompe. Le clapet d’entrée s’ouvre et l’huile arrive du réservoir, tandis que le clapet de sortie reste fermé, car la forte pression du côté du grand piston plaque sa bille. Quand vous appuyez sur le levier, la pression de la chambre monte au-dessus de celle du grand piston. La bille d’entrée se referme d’un coup, la bille de sortie se soulève, et l’huile part vers le piston. Dans le modèle, le passage d’huile s’illumine pendant chaque moitié de la course, et les billes se soulèvent de leur siège.

Le levier multiplie la force une fois de plus avant l’huile. La main saisit le levier à 0,5 m du pivot et le piston plongeur y est relié à 0,1 m, de sorte que la main n’a besoin que de 327 ÷ 5 = 65 N, à peu près l’effort pour tenir un sac de 6,7 kg. La soupape de retour est la troisième soupape. En l’ouvrant, on relie le grand piston au réservoir et le poids de la voiture repousse l’huile. Activez-la dans les commandes : la voiture descend à vitesse régulière pendant que le réservoir se remplit.

Les chiffres pour la voiture

Les curseurs des pistons montrent comment les choix de conception se contrarient. Prenez un petit piston de 40 mm et un grand piston de 60 mm : le rapport des surfaces tombe à 2,25. Chaque coup soulève maintenant la voiture de 22 mm, mais le petit piston demande 5232 N et la main au levier 1046 N, plus qu’une personne ne peut pousser. Dans l’autre sens, avec un piston plongeur de 10 mm sous un grand piston de 200 mm, le rapport est de 400. La main a besoin de moins de 6 N, mais chaque coup ne soulève la voiture que de 0,125 mm et 0,3 m demandent 2400 coups. Les vrais crics à main choisissent des rapports intermédiaires, avec un long levier, si bien qu’une personne peut soulever une voiture en une minute ou deux de pompage.

La pression est le nombre qui fixe la taille de tout le reste. À 1,04 MPa, l’huile du modèle est douce ; un petit cric bouteille à piston de 30 mm qui porte une tonne travaille à plus de dix fois cette valeur, et c’est pourquoi les cylindres de crics sont en acier à parois épaisses.

Exemple traité : la même voiture soulevée de deux façons

Prenez la voiture de 1200 kg de l’exposition. Elle pèse 11 772 N, et la soulever de 0,3 m revient à lui donner 11 772 × 0,3 = 3532 J d’énergie potentielle. Toute machine qui y parvient doit recevoir au moins ce travail. Les deux machines ci-dessous ne diffèrent que par la façon de le répartir entre force et distance.

D’abord le palan à poulies. C’est une hypothèse, car l’exposition n’y suspend que la caisse de 50 kg : on agrandit le montage à six brins jusqu’à la voiture, avec une corde assez solide et la même perte de 5 % par réa. Sans frottement, la traction est de 11 772 ÷ 6 = 1962 N, le poids d’une masse de 200 kg. La corde tirée est de 6 × 0,3 = 1,8 m, et la main fournit 1962 × 1,8 = 3532 J. Avec le frottement, le diviseur devient 5,03, donc la traction est de 11 772 ÷ 5,03 = 2339 N, et la main fournit 2339 × 1,8 = 4210 J. Sur ce total, 3532 ÷ 4210 = 84 % arrivent à la voiture.

Voyons maintenant le cric avec ses dimensions par défaut. La main a besoin de 65 N, et chaque coup de levier déplace la main de 5 × 0,05 = 0,25 m pendant que la voiture monte de 1,39 mm. La soulever de 0,3 m demande 216 coups, donc la main parcourt 216 × 0,25 = 54 m et fournit 65,4 × 54 = 3532 J. L’énergie est la même que pour le palan. Seule la forme de la facture change : 65 N sur 54 m au lieu de 1962 N sur 1,8 m.

Le cric cache une jolie règle. Pour n’importe quel couple de dimensions de pistons, la force de la main multipliée par le nombre de coups nécessaires pour 0,3 m donne 14 126 N. Un piston plongeur de 24 mm sous un grand piston de 120 mm a un rapport de surfaces de 25 : la main a besoin de 94 N pour 150 coups. Un piston plongeur de 14 mm sous un grand piston de 140 mm a un rapport de 100 : la main a besoin de 23,5 N pour 600 coups. Les deux donnent 14 126 une fois multipliés. Choisir les dimensions des pistons ne fait que décider où le cric se place sur cette droite : poussées faciles et nombreux coups, ou poussées dures et peu de coups.

Pourquoi le frottement se compose : la règle du cabestan

Le frottement fixe de 5 % par réa du modèle est une simplification qu’il vaut la peine d’examiner. Une corde appuyée contre une surface courbe presse sur elle, et le frottement qui en résulte est proportionnel à cette pression. En le calculant pour un petit morceau de corde puis en additionnant les morceaux, on obtient un résultat net, souvent appelé équation du cabestan : la tension du côté chargé vaut au plus la tension du côté léger multipliée par e élevé à μθ, où μ est le coefficient de frottement et θ l’angle d’enroulement de la corde, en radians. Une démonstration se trouve dans les notes de cours du MIT sur la modélisation des systèmes dynamiques.

L’exposant explique deux choses à la fois. Un réa qui tourne sur un bon palier reste très loin de cette limite, parce que la corde roule dans la gorge au lieu de glisser dessus, et il ne reste que le frottement du palier et la flexion de la corde. Les 5 % du modèle représentent ces deux pertes. Et dans un palan, les pertes se multiplient d’un réa au suivant, c’est pourquoi la somme de la section précédente est une série géométrique.

Le cabestan d’un marin montre l’autre face de la même équation. Supposons μ = 0,3 entre une corde et un tambour immobile, et deux tours complets, donc θ = 4π = 12,57 rad. Le facteur vaut e^3,77 = 43. Un marin qui tient le bout libre avec 100 N peut retenir 4300 N de l’autre côté. Ici rien ne fait tourner le tambour. La corde glisserait si la traction montait plus haut, mais c’est le frottement qui retient. Le palan fait l’échange inverse : il veut un frottement aussi faible que possible et perd 5 % à chaque fois.

Grues, ascenseurs, pelles et freins

Grues de chantier romaines. Un relief du tombeau des Haterii, une famille de bâtisseurs qui travailla au Colisée, se trouve aujourd’hui aux Musées du Vatican. À gauche, il montre une grue entraînée par une grande roue que des hommes font tourner. Vitruve décrit la même famille de machines au livre 10, du trispastos à trois poulies jusqu’au polyspaston. Une roue à marcher fait tourner un tambour, le tambour enroule la corde, et la moufle divise de nouveau la charge avant qu’elle n’atteigne la pierre : les deux multiplications s’ajoutent. Les bâtisseurs payaient aussi en distance : chaque mètre de montée de la moufle exigeait n mètres de corde.

Grues hydrauliques. En 1846, William Armstrong installa la première grue hydraulique sur le quai de Newcastle pour décharger le charbon, après que le réseau d’eau de la ville de 1845 lui eut donné la pression nécessaire. Elle fonctionnait avec la pression excédentaire de l’alimentation en eau de la ville. C’est le principe de Pascal utilisé à un usage très différent de celui d’un cric de voiture : la pression vient de l’extérieur et un piston, à la grue, la transforme en traction.

Ascenseurs. La plupart des cabines d’ascenseur sont suspendues à des câbles d’acier passant sur une poulie motrice, avec un contrepoids de l’autre côté. Supposons, à titre d’hypothèse, une cabine de 1000 kg, une charge nominale de 800 kg et un contrepoids de 1400 kg, soit la cabine plus la moitié de la charge. Avec une cabine pleine, le moteur retient 1800 − 1400 = 400 kg de déséquilibre. Avec une cabine vide, il retient 1400 − 1000 = 400 kg dans l’autre sens. Sans contrepoids, le moteur devrait porter tout le poids de la cabine, jusqu’à 1800 kg, à chaque trajet. Le récit de l’histoire des ascenseurs de la National Academy of Engineering dit que le premier contrepoids n’apparaît pas avant 1670, et que les contrepoids et le mouflage deux pour un réduisent la puissance nécessaire. Le mouflage deux pour un est le cas n = 2 de cette exposition : la cabine se déplace à la moitié de la vitesse de la corde et la corde porte la moitié du poids de la cabine. Elisha Otis a présenté son frein de sécurité à l’Exposition universelle de New York de 1854 en faisant couper la corde à la hache alors qu’il se tenait sur la plate-forme, selon l’ASME et le National Inventors Hall of Fame. Le frein n’a pas du tout changé l’avantage mécanique. Il a rendu la machine assez sûre pour des personnes.

Pelles hydrauliques. La fiche technique d’une pelle de 22,6 tonnes d’un constructeur, SANY, donne un tarage du limiteur de pression de 34,3 MPa pour les circuits d’outils et un vérin de flèche de 120 mm d’alésage. Cet alésage est celui du grand piston de cette exposition. La pression est 34,3 ÷ 1,04 = 33 fois plus élevée, si bien que la poussée au tarage peut atteindre 34,3 MPa × 0,01131 m² = 388 kN, contre 11,8 kN pour le piston du modèle. C’est une limite supérieure fixée par le limiteur de pression, pas la force que la flèche délivre : la géométrie du bras, les autres vérins et le débit de la pompe décident de ce qui arrive au godet. Cela montre pourquoi les pelles utilisent l’hydraulique : une pression 33 fois plus élevée concentre autant de force dans un cylindre de la taille du grand piston de cette exposition.

Freins de voiture. OpenStax traite un exemple de frein. Le conducteur appuie avec 100 N, un levier porte cet effort à 500 N sur un cylindre de pédale de 5 mm d’alésage, et chacun des quatre cylindres de roue a 25 mm d’alésage. Le rapport des surfaces est de (25 ÷ 5)² = 25, donc chaque cylindre de roue pousse avec 12 500 N. L’huile qu’un cylindre de roue reçoit vient du cylindre de pédale : le piston du cylindre de pédale doit donc parcourir 25 fois la distance du piston de roue, et comme quatre roues se partagent l’huile, il parcourt 100 fois la distance de chacun. OpenStax ajoute que les freins assistés ont une pompe motorisée qui fait l’essentiel du travail. L’exemple ne couvre donc que la multiplication entre la pédale et la roue.

Les nombres impairs de brins

Le nombre de brins qui portent la charge n’a pas besoin d’être pair. Si le bout de la corde est attaché à la moufle supérieure, la corde descend et remonte toujours par paires, et le nombre est 2, 4 ou 6. Attachez plutôt le bout à la moufle mobile, à un petit œil appelé ganse, et ce premier tronçon de corde porte aussi la charge. Deux réas en haut et un en bas donnent alors trois brins, et trois en haut avec deux en bas en donnent cinq. Vitruve utilisait exactement ces deux noms : le trispastos pour trois poulies et le pentaspastos pour cinq.

Choisissez 3 ou 5 sur le banc des poulies et comptez les brins numérotés. Sans frottement, la traction est de 490,5 ÷ 3 = 164 N et de 490,5 ÷ 5 = 98 N, et la corde tirée vaut trois ou cinq fois la levée. Le modèle vérifie la corde dessinée : monter la moufle du bas de 0,5 m raccourcit le trajet entre le bout fixe et la main d’exactement 1,5 m ou 2,5 m. Les manuels de gréement utilisent la même astuce quand ils retournent une moufle pour gagner un brin : le côté d’où part le brin de tirage, fixe ou mobile, décide s’il s’ajoute au décompte.

Le palan différentiel à chaîne

Un palan à nombreux brins demande beaucoup de corde. Thomas Aldridge Weston a trouvé le moyen de s’en passer avec deux roues à chaîne de tailles légèrement différentes, fixées sur un même axe, et une seule chaîne sans fin. Une boucle de la chaîne pend autour d’un réa qui porte le crochet ; l’autre boucle pend librement pour la main. À chaque tour de l’axe, une grande circonférence de chaîne s’enroule sur la grande roue et une petite circonférence se déroule de la petite roue : la boucle de la charge raccourcit de la différence, et le crochet monte de la moitié de celle-ci. L’avantage mécanique est 2R ÷ (R − r).

Le modèle utilise des roues à chaîne de 10 et 9 alvéoles, donc l’avantage est 2 × 10 ÷ 1 = 20, et 200 kg ne demandent qu’environ 98 N sur la chaîne de manœuvre quand rien n’est perdu. Le prix est encore la distance : 20 m de chaîne de manœuvre pour chaque mètre de levée. Les roues de 10 et 8 donnent 10, et celles de 15 et 14 donnent 30.

La collection du Powerhouse, à Sydney, conserve un palan de ce type de deux tonnes fabriqué par Tangyes, de Birmingham. Ses notices racontent comment les frères Tangye ont mis au point une chaîne à pas calibré pour que les maillons s’insèrent bien dans les alvéoles, ont présenté le palan en cinq tailles, de 10 cwt à 3 tonnes, à l’Exposition internationale de 1862, et en ont vendu environ 3000 exemplaires en neuf mois.

Les palans à chaîne sont lents et dissipent de l’énergie, et cela fait partie de leur intérêt. Dans le modèle, chaque passage autour du réa du bas et de l’axe conserve 95 % de la force. Le palan 10 et 9 soulève alors avec un rendement de 49 %, et en dessous d’environ 50 % une machine de ce genre ne tourne pas à l’envers sous sa charge. Lâchez la chaîne de manœuvre et la charge reste où elle est.

Ce que perdent les vraies poulies

Les 5 % de perte du modèle ne sont pas une estimation au hasard. Petzl, fabricant d’équipement de travail sur corde et de secours, indique un rendement pour chaque poulie. La RESCUE M et la SPIN L1, avec des réas de 38 mm sur roulements à billes étanches, sont données à 95 %. La petite FIXE, avec un réa de 21 mm sur coussinets autolubrifiants, est donnée à 71 % : seuls 71 % de la traction ressortent de l’autre côté.

Cet écart grandit vite. Avec des poulies FIXE, quatre brins divisent le poids par 0,71 + 0,71² + 0,71³ + 0,71⁴ = 1,83 : la traction reste donc supérieure à la moitié de ce qu’exigerait une seule poulie sans frottement. Cinq brins atteignent 2,006, et six seulement 2,13, parce que la somme ne peut jamais dépasser 0,71 ÷ 0,29 = 2,45. Les équipes de secours utilisent donc peu de poulies efficaces plutôt que beaucoup de poulies bon marché. Réglez le banc des poulies sur le type FIXE et regardez les barres s’aplatir après trois brins.

Dans un vérin de flèche de pelle

Derrière l’élévateur de voiture, un vérin à double effet soulève une flèche. Son alésage, 120 mm, sa course, 1285 mm, et son tarage du limiteur de pression, 34,3 MPa, viennent de la fiche technique du SANY SY215C ; le banc est dessiné à l’échelle 0,45 et sa géométrie est un modèle. L’huile entre côté fond pour pousser le piston vers l’extérieur. Pour le ramener, la pompe alimente le côté tige, où la tige occupe une partie de la surface : la même pression tire alors avec moins de force, mais la tige se déplace plus vite.

La pression est fixée par la charge, pas par la pompe. Avec 3000 kg au bout et le vérin sorti de 0,6 m, le vérin doit pousser environ 105 kN et l’huile se tient près de 9,3 MPa. Mettez 12 000 kg au bout et la pression nécessaire dépasserait 34,3 MPa ; le limiteur de pression s’ouvre, l’huile retourne au réservoir et rien ne monte. La pompe ne décide que de la vitesse : une pompe à 222 L/min ferait sortir un piston de 120 mm à 0,33 m/s.

La même règle fixe la taille des vérins industriels. Enerpac propose un vérin à double effet, le BRD256, d’alésage 63,5 mm et de piston 47,8 mm. À ses 700 bar nominaux, il pousse 222 kN et ne tire que 98 kN, parce que la surface effective passe de 31,7 cm² à 13,7 cm² côté retour.

Le circuit de frein sur le banc

À l’avant du sol, un circuit de frein reprend l’exemple traité d’OpenStax. Une poussée de 100 N sur la pédale devient 500 N sur le cylindre de pédale grâce à un levier de 5 pour 1. Le cylindre de pédale mesure 5 mm de diamètre et le piston d’étrier 25 mm : la pression dans la conduite est donc d’environ 25,5 MPa et le piston d’étrier serre avec 12 500 N. Le piston du cylindre de pédale doit parcourir 25 fois la distance du piston d’étrier ; avec quatre roues qui puisent dans la même huile, ce serait 100 fois.

Appuyez sur « Lancer la roue à 50 km/h » et réglez une force sur la pédale. Le coefficient de frottement des plaquettes de 0,4, leur rayon de 0,11 m et l’inertie de la roue sont des valeurs du modèle choisies pour donner des distances d’arrêt raisonnables : le nombre de tours est donc une illustration. À 100 N, la roue a besoin d’environ 4,2 tours pour s’arrêter, et à 250 N d’environ 1,7.

D’où la liste des machines tire ses chiffres

Chaque entrée de « Machines qui soulèvent » cite une source, et les chiffres de sa carte sont ceux que donne cette source : les pages produits de Petzl pour le rendement des poulies, la collection du Powerhouse pour le palan de Weston, la fiche technique de SANY pour les dimensions et pressions des vérins, le catalogue d’Enerpac pour le BRD256, la fiche d’information de la NASA pour le transporteur à chenilles, les dossiers de monuments de l’ASME pour la presse de 50 000 tonnes, le Canal and River Trust pour l’ascenseur à bateaux d’Anderton, Scottish Canals pour la roue de Falkirk, le site de Tower Bridge pour ses machines hydrauliques et le manuel de maintenance de la FAA pour les pressions des avions. Les cartes marquées « calculé à partir des chiffres de la source » combinent ces nombres : par exemple, 16 vérins de 23 pouces d’alésage à 3000 psi sur le transporteur de la NASA donnent environ 19,9 millions de livres-force, et ces calculs sont vérifiés dans le fichier de test de l’exposition.

Idées reçues

• « Une poulie rend la charge plus légère. » La caisse pèse toujours 490,5 N. Ce qui change, c’est le nombre de brins qui se la partagent. Chaque brin porte 490,5 ÷ n N quand les réas sont libres, et la main doit déplacer la corde n fois plus loin.
• « Il faut compter chaque roue de la moufle. » Comptez les brins qui soutiennent la moufle mobile. Un réa qui ne fait que renvoyer la corde vers votre main ajoute du frottement et rien au décompte, comme le réa supplémentaire de la moufle fixe.
• « Vingt poulies valent mieux que six. » Avec 5 % perdus par réa, le diviseur ne peut jamais dépasser 19, et chaque réa de plus apporte moins que le précédent. À six brins, le modèle obtient déjà 5,03 sur un maximum possible de 6. Au-delà, la corde supplémentaire à tirer et les pièces supplémentaires à contrôler sont un vrai coût.
• « Le grand piston a plus de pression. » La pression est la même aux deux pistons, 1,04 MPa avec les dimensions par défaut. Le grand a plus de force parce qu’il a plus de surface.
• « Le cric fabrique de l’énergie en plus. » Un coup apporte 16,4 J au piston plongeur et la voiture gagne 16,4 J. Dans un vrai cric, une partie s’en va en chaleur dans les joints et l’huile, de sorte qu’un peu moins arrive.
• « Le principe de Pascal est le seul multiplicateur d’un cric. » Il y en a deux. Le levier donne 5, les pistons donnent 36, de sorte que la poussée de la main arrive à la voiture multipliée par 180 : 11 772 N ÷ 65,4 N = 180.
• « Hydraulique veut dire huile à haute pression. » Le cric par défaut travaille à 1,04 MPa. Réglez « Petit piston » sur 10 mm et « Grand piston » sur 100 mm : la pression monte à 1,50 MPa. Réglez 20 mm et 200 mm : elle tombe à 0,37 MPa, alors que la force sur la voiture est la même, 11 772 N, dans les deux cas. La pression dépend de la charge et de la surface du grand piston, pas de la vigueur avec laquelle on pompe.

À essayer à l’écran

1. Réglez « Brins de corde » sur sa première position et « Hauteur de la caisse » sur 0,5 m. Le panneau affiche une traction de 490,5 N et une corde tirée de 0,5 m. Passez à 2, 4 et 6 brins et regardez la traction tomber à 245, 123 et 82 N pendant que la corde tirée monte à 1, 2 et 3 m.
2. À chaque réglage, multipliez la traction par la corde tirée. Vous obtenez 245 J à chaque fois tant que « Frottement des réas » est coupé, et les lignes de travail et de rendement du panneau concordent.
3. Activez « Frottement des réas » et reparcourez les réglages. La traction devrait afficher environ 516, 265, 139 et 97 N, avec des rendements de 95, 93, 88 et 84 %. Pour 1 brin, la traction est de 490,5 ÷ 0,95.
4. Ouvrez « Noms des pièces » et repérez les chiffres bleus sur la corde. Comptez les brins qui descendent jusqu’à la moufle mobile et comparez avec le curseur.
5. Laissez « Petit piston » à 20 mm et « Grand piston » à 120 mm. Le panneau donne un rapport des surfaces de 36, une pression d’huile de 1,04 MPa, 327 N sur le petit piston et 65 N au bout du levier. Cliquez une fois sur le levier de pompe : la voiture monte d’environ 1,4 mm.
6. Réglez « Hauteur de la voiture » sur 0,3 m et lisez la ligne des coups : 216. Puis passez « Petit piston » à 40 mm et « Grand piston » à 60 mm. Le rapport des surfaces est de 2,25 et le bout du levier demande maintenant environ 1046 N, ce que le panneau signale comme trop dur pour une personne. Essayez plutôt 10 mm et 200 mm : environ 6 N, mais 2400 coups.
7. Cherchez un couple de dimensions pour lequel le bout du levier demande moins de 30 N, par exemple 14 mm et 140 mm. Lisez la ligne des coups pour 0,3 m. Puis cherchez un couple facile à pousser qui demande peu de coups. Il n’y en a pas : la force fois les coups reste à 14 126.
8. Activez « Soupape de retour » avec la voiture levée. La voiture descend à vitesse régulière et le niveau d’huile du réservoir monte.

Là où le modèle est plus simple que la réalité

De vraies moufles placent leurs réas côte à côte sur un même axe, de sorte que les brins se serrent les uns contre les autres et sont difficiles à compter. Le modèle étale les réas le long de la poutre pour que chaque brin pende de son côté. Les règles de force et de longueur ne dépendent pas de cette disposition.

Le modèle traite la corde comme inextensible et parfaitement souple, et il néglige le poids de la moufle mobile, de la corde, de la plate-forme de levage et du piston. L’interrupteur de frottement utilise une perte fixe de 5 % par réa ; les pertes réelles dépendent du palier, de la raideur de la corde et de la netteté de sa courbure. Côté hydraulique, l’huile est considérée comme incompressible et sans fuite, les joints n’ont pas de frottement et le poids de l’huile elle-même est ignoré, si bien que la pression est la même à toute hauteur. Un vrai élévateur a aussi besoin d’un verrou de sécurité pour que la voiture ne repose jamais sur l’huile seule.

D’Archimède à Bramah

Les palans à poulies sont très anciens. Au Ier siècle av. J.-C., l’ingénieur romain Vitruve décrit, au livre 10 de son traité d’architecture, des machines de levage selon le nombre de poulies de leurs moufles : une moufle de trois est le trispastos et une machine à nombreuses poulies le polyspaston.

L’histoire de poulies la plus connue concerne Archimède et vient de la Vie de Marcellus de Plutarque, écrite environ 300 ans après la mort d’Archimède en 212 av. J.-C. Plutarque dit qu’Archimède déclara au roi Hiéron de Syracuse qu’on pouvait déplacer n’importe quel poids avec n’importe quelle force, et que, s’il y avait un autre monde où aller, il pourrait déplacer celui-ci. Invité à en faire la démonstration, il prit un navire marchand à trois mâts que de nombreux hommes avaient halé à terre, le chargea de passagers et de fret et, assis à distance, le tira vers lui avec un système de poulies composées. C’est un récit rapporté bien après les faits, pas un témoignage direct, mais il montre que l’idée était déjà liée à son nom.

Blaise Pascal a établi le principe hydraulique dans son traité de l’équilibre des liqueurs, achevé vers 1654 et imprimé en 1663, un an après sa mort. La pression dans un liquide fermé peut multiplier la force, et l’on attribue d’ordinaire à Pascal l’idée de la presse hydraulique pour cette raison. Faire de cette idée une machine qui marche demandait des joints capables de tenir une forte pression. Joseph Bramah, le serrurier londonien, a fait breveter la presse hydraulique en 1795, et le même agencement, un petit piston de pompe et un grand piston reliés par de l’huile, est le cœur de tous les crics à pompe manuelle d’aujourd’hui.

Comment les chiffres ont été vérifiés

L’affichage utilise W = mg avec g = 9,81 m/s², F = W ÷ n pour les palans idéaux et F = W ÷ (e + e² + … + eⁿ) avec e = 0,95 pour le cas avec frottement, corde tirée = n × h, l’avantage du palan à chaîne 2R ÷ (R − r), p = W ÷ A₂, F₁ = p × A₁ et montée par coup = 50 mm × A₁ ÷ A₂. Ces formules concordent avec les valeurs calculées à la main, et le trajet de corde dessiné dans le modèle confirme que monter la moufle mobile de 0,5 m fait passer exactement n × 0,5 m de corde par la main.