Flaschenzug und Wagenheber: Kiste und Auto heben

Was das Modell zeigt

Wie funktioniert ein Flaschenzug? Versuchen Sie, einen Zementsack von 50 kg vom Boden zu heben, dann spüren Sie jedes seiner 490 Newton. Ein Bauarbeiter mit einem Seil und ein paar Rollen hebt dieselbe Last mit einer Zugkraft, die eine Hand aufbringen kann, und ein Mechaniker hebt ein ganzes Auto, indem er einen kleinen Hebel pumpt. Keiner von beiden bekommt etwas geschenkt. Beide tauschen Kraft gegen Weg, und dieses Exponat versieht den Tausch mit Zahlen.

Der Werkstattboden ist in Originalgröße gezeichnet, in Metern. Links hängt eine Kiste aus Kiefernholz von 50 kg an einem Stahlportal an einem Flaschenzug. Der Regler „Seilstränge“ schert dasselbe Seil auf sechs Arten ein, von einer einzelnen festen Rolle bis zu Blöcken mit je drei Rollen, sodass ein bis sechs Seilstränge die Kiste halten. Bei ungerader Zahl ist das Seilende am losen Block befestigt. Das Seil ist im Modell ein echter Schlauch. Es legt sich um jede Rolle, es ändert nie seine Länge, und das Seil, das die Blöcke verlässt, läuft durch die Hand und häuft sich als Schlaufe auf dem Boden. Rote Markierungen alle 0,4 m helfen, ihm zu folgen.

Rechts steht ein Auto von 1200 kg auf einer Hebebühne, die ein einzelner hydraulischer Presskolben anhebt. Eine Hand bedient daneben einen Pumpenhebel. Der Pumpenzylinder, beide Rückschlagventile und der Presskolben sind aufgeschnitten, sodass Sie die Kugeln wandern und den Ölstand sich ändern sehen. Das Feld in der Ecke zeigt die Kraft und den Weg auf beiden Seiten, berechnet aus den tatsächlichen Maßen des Modells.

Warum eine feste Rolle nur die Richtung ändert

Beginnen Sie mit einer Rolle, die am Balken befestigt ist, und einem Seil, das direkt an der Kiste hängt. Das Seil läuft nach oben, über die Rolle und nach unten zu Ihrer Hand. Wenn sich die Rolle frei dreht, ist die Seilkraft auf beiden Seiten gleich, weil nichts da ist, das eine Seite stärker ziehen ließe als die andere. Die Kiste hängt an einem Seilstrang, also trägt dieser Strang das ganze Gewicht: 50 kg × 9,81 m/s² = 490,5 N. Ihre Hand zieht ebenfalls mit 490,5 N.

Was Sie gewinnen, ist die Richtung. Nach unten zu ziehen ist leichter, als nach oben zu heben, weil Sie Ihr eigenes Körpergewicht ans Seil hängen können. Die Kiste steigt außerdem genau so schnell, wie sich das Seil bewegt. Ziehen Sie 1 m Seil, steigt die Kiste um 1 m. Im Modell zeigt der erste Schritt diesen Fall mit einem einzelnen Seilstrang, der mit 1 nummeriert ist.

Die lose Rolle und das Zählen der Seilstränge

Hängen Sie nun eine zweite Rolle an die Kiste. Binden Sie das Seil am festen Block an, führen Sie es unter der losen Rolle hindurch, wieder hinauf über die feste Rolle und nach unten zu Ihrer Hand. Betrachten Sie die lose Rolle und alles, was an ihr hängt. Zwei Seilstränge halten sie, und jeder trägt dieselbe Seilkraft, also braucht jeder nur das halbe Gewicht: 245 N. Der Strang in Ihrer Hand ist dasselbe Seil, daher beträgt auch Ihre Zugkraft 245 N.

Daraus ergibt sich die Regel für jeden Flaschenzug. Zählen Sie die Seilstränge, die den losen Block halten. Sind es n, und drehen sich die Rollen frei, ist die Zugkraft das Gewicht geteilt durch n. Ingenieure nennen n die ideale Kraftübersetzung. Die Blöcke des Modells mit zwei Rollen oben und zwei unten ergeben vier Stränge und eine Zugkraft von 123 N; drei und drei ergeben sechs Stränge und 82 N. Die kleinen blauen Zahlen am Seil zählen die Stränge für Sie. Die zusätzliche Rolle am festen Block, die das Seil zu Ihrer Hand herunterführt, zählt nicht mit, weil sie die Kiste nicht hält.

Kraft mal Weg: Das Seil, mit dem Sie zahlen

Der Preis zeigt sich an der Hand. Steigt die Kiste um 0,5 m, wird jeder der sechs Seilstränge um 0,5 m kürzer. Diese 3 m Seil müssen irgendwohin, und sie kommen durch Ihre Hand in die Schlaufe. Allgemein ist das gezogene Seil das n-Fache der gewonnenen Höhe. Der Wert „Seil gezogen“ im Modell ist genau dieses Produkt, und die Schlaufe auf dem Boden wächst um dieselbe Länge.

Multiplizieren Sie Kraft mit Weg, dann stimmen beide Seiten überein. Bei vier Strängen und 0,5 m Hub zieht die Hand mit 122,6 N über 2 m, das sind 245 J Arbeit. Die Kiste gewinnt 490,5 N × 0,5 m = 245 J an potenzieller Energie. Die Rollen verteilen die Arbeit um; hinzufügen können sie nichts. Es ist dieselbe Regel, die einen Hebel oder ein Zahnradgetriebe bestimmt, und die Anzeige gibt beide Seiten aus, sodass Sie sehen, dass sie übereinstimmen, solange die Reibung ausgeschaltet ist. Bei ausgeschalteter Reibung lässt das Modell zwei weitere Dinge weg: das Gewicht des losen Blocks und das Gewicht des Seils.

Reibung, und warum Flaschenzüge bei etwa sechs Strängen enden

Echte Rollen reiben auf ihren Achsen, und das Seil muss sich um jede biegen. Jedes Mal, wenn das Seil auf dem Weg zur Hand eine Rolle passiert, muss seine Seilkraft ein wenig steigen, um dafür zu zahlen. Der Schalter „Rollenreibung“ des Modells nimmt an, dass jede Rolle 95 % der Seilkraft weitergibt. Vom festen Ende zur Hand gerechnet tragen die sechs Seilstränge dann leicht unterschiedliche Seilkräfte, und die Zugkraft ist das Gewicht geteilt durch 0,95 + 0,95² + … + 0,95⁶ = 5,03 statt durch 6. Die Zugkraft steigt von 82 N auf 97 N. Die eingebrachte Arbeit ist weiter Kraft mal gezogenes Seil, doch nur noch 84 % davon erreichen die Kiste; der Rest wird in den Lagern und im Seil zu Wärme.

Zusätzliche Rollen helfen weiter, aber jedes Mal weniger. Bei 5 % Verlust je Rolle kann die Summe nie größer werden als 0,95 ÷ 0,05 = 19, deshalb kann kein Flaschenzug dieser Art die Kiste von 490 N unter etwa 26 N bringen, egal wie viele Rollen Sie aufhängen. Lange vorher wird das zu ziehende Seil absurd: Ein Flaschenzug mit 19 Strängen braucht 19 m Seil für jeden Meter Hub. Darum enden die meisten Handflaschenzüge bei vier bis sechs Strängen, und darum nehmen große Kräne Winden und Trommeln statt weiterer Rollen.

Das Pascalsche Prinzip in einer geschlossenen Ölbox

Ein hydraulischer Wagenheber macht denselben Tausch mit einer Flüssigkeit. Öl lässt sich kaum zusammendrücken, deshalb erhöht ein Druck an einer Stelle den Druck in einem geschlossenen System überall um denselben Betrag. Das ist das Pascalsche Prinzip. Druck ist Kraft pro Fläche, also erzeugt derselbe Druck auf einer größeren Fläche eine größere Kraft.

Im Modell ist der kleine Kolben 20 mm dick und der Presskolben 120 mm. Die Fläche wächst mit dem Quadrat des Durchmessers, der Presskolben hat also (120 ÷ 20)² = 36-mal die Fläche. Das Auto wiegt 1200 kg × 9,81 = 11.772 N. Verteilt über die 0,0113 m² des Presskolbens braucht das einen Druck von 1,04 MPa, etwa das Zehnfache des Atmosphärendrucks. Derselbe Druck von 1,04 MPa auf den 0,000314 m² des kleinen Kolbens erfordert nur 327 N.

Wieder zahlt der Weg. Jeder Druck von 50 mm auf den kleinen Kolben schiebt 15,7 cm³ Öl in den Zylinder des Presskolbens. Auf die 36-fache Fläche verteilt, hebt dieses Öl den Presskolben um 50 ÷ 36 = 1,39 mm. Die Arbeit pro Hub ist 327 N × 0,05 m = 16,4 J, und das Auto gewinnt 11.772 N × 0,00139 m = 16,4 J. Das Auto um 0,3 m zu heben, braucht 216 Hübe.

Im Wagenheber: Plunger, zwei Rückschlagventile und ein Ablassventil

Ein einzelner Druck würde das Auto nur um 1,39 mm heben, also muss die Pumpe nachfüllen und wieder drücken, und das Öl darf dazwischen nicht zurücklaufen. Das erledigen zwei Rückschlagventile. Jedes ist eine Kugel, die eine kleine Feder auf einen runden Sitz drückt. Öl, das von der Sitzseite drückt, hebt die Kugel an und strömt vorbei; Öl, das von der anderen Seite drückt, presst die Kugel nur fester auf ihren Sitz.

Heben Sie den Hebel, steigt der Plunger, und der Druck im Pumpenraum fällt. Das Einlassventil öffnet, und Öl strömt aus dem Tank herein, während das Auslassventil geschlossen bleibt, weil der hohe Druck auf der Seite des Presskolbens seine Kugel nach unten hält. Drücken Sie den Hebel, steigt der Druck im Raum über den Druck des Presskolbens. Die Einlasskugel schlägt zu, die Auslasskugel hebt ab, und Öl fließt zum Presskolben. Im Modell leuchtet der Ölkanal während jeder Hälfte des Hubs, und die Kugeln heben sich von ihren Sitzen.

Der Hebel vervielfacht die Kraft noch einmal, bevor das Öl ins Spiel kommt. Die Hand greift den Hebel 0,5 m vom Drehpunkt entfernt, und der Plunger ist 0,1 m davon angelenkt, also braucht die Hand nur 327 ÷ 5 = 65 N, ungefähr so viel, wie es kostet, eine Tüte von 6,7 kg zu halten. Das Ablassventil ist das dritte Ventil. Wenn man es öffnet, verbindet es den Presskolben mit dem Tank, und das Gewicht des Autos drückt das Öl zurück. Schalten Sie es in den Bedienelementen ein, dann sinkt das Auto gleichmäßig, während sich der Tank wieder füllt.

Die Zahlen für das Auto

Die Regler für die Kolben zeigen, wie die Entwurfsentscheidungen gegeneinander ziehen. Machen Sie den kleinen Kolben 40 mm und den Presskolben 60 mm, dann fällt das Flächenverhältnis auf 2,25. Jeder Hub hebt das Auto nun um 22 mm, doch der kleine Kolben braucht 5232 N und die Hand am Hebel 1046 N, mehr als ein Mensch drücken kann. Gehen Sie in die andere Richtung, ein Plunger von 10 mm unter einem Presskolben von 200 mm, dann beträgt das Verhältnis 400. Die Hand braucht weniger als 6 N, aber jeder Hub hebt das Auto um 0,125 mm, und 0,3 m dauern 2400 Hübe. Echte Handwagenheber wählen Verhältnisse zwischen diesen Werten und einen langen Hebel, damit ein Mensch ein Auto in ein bis zwei Minuten Pumpen heben kann.

Der Druck ist die Zahl, die die Größe von allem anderen bestimmt. Bei 1,04 MPa ist das Öl im Modell harmlos; ein kleiner Flaschenwagenheber mit einem Presskolben von 30 mm, der eine Tonne hält, arbeitet mit mehr als dem Zehnfachen davon, weshalb Wagenheberzylinder dickwandig aus Stahl sind.

Rechenbeispiel: dasselbe Auto auf zwei Arten gehoben

Nehmen Sie das Auto von 1200 kg aus dem Exponat. Es wiegt 11.772 N, und es um 0,3 m zu heben heißt, ihm 11.772 × 0,3 = 3532 J potenzielle Energie zu geben. Jede Maschine, die das schafft, muss mindestens so viel Arbeit aufnehmen. Die beiden folgenden Maschinen unterscheiden sich nur darin, wie sie diese Arbeit auf Kraft und Weg verteilen.

Zuerst der Flaschenzug. Das ist eine Annahme, denn das Exponat hängt nur die Kiste von 50 kg daran: Skalieren Sie die Einscherung mit sechs Strängen auf das Auto hoch, mit einem ausreichend starken Seil und denselben 5 % Verlust je Rolle. Ohne Reibung beträgt die Zugkraft 11.772 ÷ 6 = 1962 N, die Gewichtskraft einer Masse von 200 kg. Das gezogene Seil ist 6 × 0,3 = 1,8 m, die Hand leistet also 1962 × 1,8 = 3532 J. Schalten Sie die Reibung ein, wird der Teiler 5,03, die Zugkraft ist dann 11.772 ÷ 5,03 = 2339 N, und die Hand leistet 2339 × 1,8 = 4210 J. Davon erreichen 3532 ÷ 4210 = 84 % das Auto.

Nun der Wagenheber mit seinen Standardgrößen. Die Hand braucht 65 N, und jeder Hub des Hebels bewegt die Hand um 5 × 0,05 = 0,25 m, während das Auto um 1,39 mm steigt. Um 0,3 m zu heben, braucht es 216 Hübe, die Hand legt also 216 × 0,25 = 54 m zurück und leistet 65,4 × 54 = 3532 J. Die Energie ist dieselbe wie beim Flaschenzug. Nur die Form der Rechnung ist anders: 65 N über 54 m statt 1962 N über 1,8 m.

Der Wagenheber verbirgt eine hübsche Regel. Für jedes Paar von Kolbengrößen ergibt die Handkraft mal die Zahl der Hübe für 0,3 m immer 14.126 N. Ein Plunger von 24 mm unter einem Presskolben von 120 mm hat ein Flächenverhältnis von 25, die Hand braucht also 94 N bei 150 Hüben. Ein Plunger von 14 mm unter einem Presskolben von 140 mm hat ein Verhältnis von 100, die Hand braucht 23,5 N bei 600 Hüben. Beide ergeben multipliziert 14.126. Die Wahl der Kolbengrößen entscheidet nur, wo auf dieser Linie der Wagenheber liegt: leichte Drücke und viele Hübe oder harte Drücke und wenige.

Warum Reibung sich potenziert: die Capstan-Regel

Die pauschalen 5 % je Rolle im Modell sind eine Vereinfachung, die einen Blick wert ist. Ein Seil, das an einer gekrümmten Fläche anliegt, drückt auf sie, und die entstehende Reibung ist diesem Druck proportional. Rechnet man das für ein kurzes Seilstück aus und addiert die Stücke, ergibt sich ein klares Ergebnis, oft Capstan-Gleichung genannt: Die Seilkraft auf der schweren Seite ist höchstens die Seilkraft auf der leichten Seite mal e hoch μθ, wobei μ der Reibungskoeffizient und θ der Winkel ist, um den sich das Seil legt, im Bogenmaß. Eine Herleitung gehört zu den Kursunterlagen des MIT zur Modellierung dynamischer Systeme.

Der Exponent erklärt zwei Dinge auf einmal. Eine Rolle, die sich auf einem guten Lager dreht, bleibt weit von dieser Grenze entfernt, weil das Seil in der Rille abrollt, statt auf ihr zu gleiten, und nur die Lagerreibung und das Biegen des Seils übrig bleiben. Die 5 % im Modell stehen für diese beiden. Und in einem Flaschenzug multiplizieren sich die Verluste von einer Rolle zur nächsten, weshalb die Summe im früheren Abschnitt eine geometrische Reihe ist.

Das Spill eines Seemanns zeigt die andere Seite derselben Gleichung. Nehmen Sie μ = 0,3 zwischen einem Seil und einer stehenden Trommel und zwei volle Windungen an, also θ = 4π = 12,57 rad. Der Faktor ist e^3,77 = 43. Ein Seemann, der das lose Ende mit 100 N hält, kann auf der anderen Seite 4300 N halten. Nichts dreht die Trommel in diesem Fall. Das Seil würde rutschen, wenn die Zugkraft höher stiege, doch die Reibung leistet das Halten. Der Flaschenzug nutzt den umgekehrten Tausch: Er will die Reibung so klein wie möglich und verliert jedes Mal 5 %.

Kräne, Aufzüge, Bagger und Bremsen

Römische Baukräne. Ein Relief vom Grab der Haterier, einer Baumeisterfamilie, die am Kolosseum arbeitete, befindet sich heute in den Vatikanischen Museen. Links zeigt es einen Kran, der von einem großen Rad angetrieben wird, das Menschen bewegen. Vitruv beschreibt dieselbe Familie von Maschinen in Buch 10, vom Trispastos mit drei Rollen bis zum Polyspaston. Ein Tretrad dreht eine Trommel, die Trommel wickelt das Seil auf, und der Rollenblock teilt die Last noch einmal, bevor sie den Stein erreicht, sodass sich die beiden Übersetzungen verbinden. Auch die Baumeister zahlten mit Weg: Jeder Meter, den der Block stieg, kostete n Meter Seil.

Hydraulische Kräne. 1846 stellte William Armstrong am Kai von Newcastle den ersten Hydraulikkran auf, um Kohle zu entladen, nachdem ihm die städtische Wasserversorgung von 1845 den nötigen Druck geliefert hatte. Der Kran lief mit dem Überdruck im Wassernetz der Stadt. Das ist das Pascalsche Prinzip für einen Zweck, der einem Wagenheber sehr unähnlich ist: Der Druck kommt von außen, und ein Kolben am Kran macht daraus einen Zug.

Aufzüge. Die meisten Aufzugskabinen hängen an Stahlseilen über einer Treibscheibe, mit einem Gegengewicht auf der anderen Seite. Nehmen Sie als Annahme eine Kabine von 1000 kg, eine Nennlast von 800 kg und ein Gegengewicht von 1400 kg an, das ist die Kabine plus die halbe Last. Bei voller Kabine hält der Motor 1800 − 1400 = 400 kg Ungleichgewicht. Bei leerer Kabine hält er 1400 − 1000 = 400 kg in die andere Richtung. Ohne Gegengewicht müsste der Motor bei jeder Fahrt das ganze Gewicht der Kabine tragen, bis zu 1800 kg. Der Bericht der National Academy of Engineering über die Geschichte des Aufzugs sagt, dass das erste Gegengewicht nicht vor 1670 erschien und dass Gegengewichte und Zwei-zu-eins-Einscherung die nötige Leistung senken. Die Zwei-zu-eins-Einscherung ist der Fall n = 2 dieses Exponats: Die Kabine bewegt sich mit der halben Geschwindigkeit des Seils, und das Seil trägt das halbe Gewicht der Kabine. Elisha Otis führte seine Fangbremse 1854 auf der Weltausstellung in New York vor, indem er das Seil mit einer Axt durchtrennen ließ, während er auf der Plattform stand, so ASME und die National Inventors Hall of Fame. Die Bremse änderte an der Kraftübersetzung gar nichts. Sie machte die Maschine sicher genug für Menschen.

Bagger. Das Datenblatt eines Baggers von 22,6 Tonnen eines Herstellers, SANY, nennt für die Arbeitskreise einen Ansprechdruck des Überdruckventils von 34,3 MPa und einen Auslegerzylinder mit 120 mm Bohrung. Diese Bohrung entspricht dem Presskolben in diesem Exponat. Der Druck ist 34,3 ÷ 1,04 = 33-mal höher, deshalb kann die Schubkraft an der Ansprechgrenze 34,3 MPa × 0,01131 m² = 388 kN erreichen, gegenüber 11,8 kN beim Presskolben des Modells. Das ist eine obere Grenze, die das Überdruckventil setzt, nicht die Kraft, die der Ausleger liefert: Die Geometrie des Stiels, die anderen Zylinder und der Pumpenstrom entscheiden mit, was am Löffel ankommt. Es zeigt aber, warum Bagger Hydraulik nutzen: Ein 33-mal höherer Druck packt so viel Kraft in einen Zylinder von der Größe des Presskolbens dieses Exponats.

Autobremsen. OpenStax rechnet ein Bremsenbeispiel durch. Der Fahrer drückt mit 100 N, ein Hebel macht daraus 500 N auf einen Pedalzylinder mit 5 mm Bohrung, und jeder der vier Radzylinder hat 25 mm Bohrung. Das Flächenverhältnis ist (25 ÷ 5)² = 25, also drückt jeder Radzylinder mit 12.500 N. Das Öl, das ein Radzylinder aufnimmt, kommt aus dem Pedalzylinder, daher muss der Kolben des Pedalzylinders 25-mal so weit laufen wie der Radkolben, und wenn sich vier Räder das Öl teilen, bewegt er sich 100-mal so weit wie jeder von ihnen. OpenStax fügt hinzu, dass Servobremsen eine motorisierte Pumpe haben, die den Großteil der Arbeit leistet. Das Beispiel deckt also nur die Übersetzung zwischen Pedal und Rad ab.

Ungerade Zahlen von Seilsträngen

Die Zahl der Seilstränge, die die Last halten, muss nicht gerade sein. Ist das feste Ende am oberen Block befestigt, läuft das Seil immer paarweise nach unten und oben, und die Zahl wird 2, 4 oder 6. Binden Sie das feste Ende stattdessen an den losen Block, an ein kleines Auge, das Befestigungsauge, dann hält auch dieses erste Seilstück die Last. Zwei Rollen oben und eine unten ergeben dann drei Stränge, drei oben und zwei unten ergeben fünf. Vitruv verwendete genau diese beiden Namen: Trispastos für drei Rollen und Pentaspastos für fünf.

Wählen Sie auf dem Flaschenzug-Prüfstand 3 oder 5 und zählen Sie die nummerierten Stränge. Ohne Reibung beträgt die Zugkraft 490,5 ÷ 3 = 164 N und 490,5 ÷ 5 = 98 N, und das gezogene Seil ist das Drei- oder Fünffache des Hubs. Das Modell prüft das gezeichnete Seil: Wird der untere Block um 0,5 m angehoben, verkürzt sich der Weg vom festen Ende zur Hand um genau 1,5 m oder 2,5 m. Bücher über das Takeln nutzen denselben Kniff, wenn sie einen Block umdrehen, um einen Strang zu gewinnen: Die Seite, von der der ziehende Strang ausgeht, fest oder lose, entscheidet, ob er zur Zahl zählt.

Der Differenzial-Kettenzug

Ein Flaschenzug mit vielen Strängen braucht viel Seil. Thomas Aldridge Weston fand einen Ausweg mit zwei Kettenrädern von leicht unterschiedlicher Größe auf einer Achse und einer einzigen endlosen Kette. Eine Schlaufe der Kette hängt um eine Rolle herunter, die den Haken trägt; die andere Schlaufe hängt frei für die Hand. Mit jeder Umdrehung der Achse wird ein großer Umfang Kette auf das große Rad gewickelt und ein kleiner Umfang vom kleinen Rad abgegeben, sodass sich die Lastschlaufe um die Differenz verkürzt und der Haken um die Hälfte davon steigt. Die Kraftübersetzung ist 2R ÷ (R − r).

Das Modell nutzt Kettenräder mit 10 und 9 Taschen, der Vorteil ist also 2 × 10 ÷ 1 = 20, und 200 kg brauchen ohne Verluste nur etwa 98 N an der Handkette. Der Preis ist wieder der Weg: 20 m Handkette für jeden Meter Hub. Die Räder 10 und 8 ergeben 10, und 15 und 14 ergeben 30.

Die Powerhouse-Sammlung in Sydney besitzt einen solchen Block für zwei Tonnen, gebaut von Tangyes in Birmingham. Ihre Beschreibung erklärt, wie die Brüder Tangye eine Gelenkkette entwickelten, damit die Glieder sauber in den Taschen sitzen, den Block auf der Internationalen Ausstellung von 1862 in fünf Größen von 10 cwt bis 3 Tonnen zeigten und in neun Monaten etwa 3000 Sätze verkauften.

Kettenzüge sind langsam und verlustreich, und das gehört zu ihrem Reiz. Im Modell behält jeder Lauf um die untere Rolle und die Achse 95 % der Kraft. Der Block 10 und 9 hebt dann mit 49 % Wirkungsgrad, und unterhalb von etwa 50 % läuft eine solche Maschine unter ihrer Last nicht rückwärts. Lassen Sie die Handkette los, und die Last bleibt, wo sie ist.

Was echte Rollen verlieren

Die 5 % Verlust im Modell sind nicht geraten. Petzl, ein Hersteller von Ausrüstung für Seilzugang und Rettung, druckt für jede Rolle einen Wirkungsgrad. Die RESCUE M und die SPIN L1 mit Rollen von 38 mm auf gekapselten Kugellagern sind mit 95 % angegeben. Die kleine FIXE mit einer Rolle von 21 mm auf selbstschmierenden Gleitbuchsen ist mit 71 % angegeben: Nur 71 % der Zugkraft kommen auf der anderen Seite an.

Dieser Unterschied wächst schnell. Mit FIXE-Rollen teilen vier Seilstränge das Gewicht durch 0,71 + 0,71² + 0,71³ + 0,71⁴ = 1,83, die Zugkraft beträgt also immer noch mehr als die Hälfte dessen, was eine einzelne reibungsfreie Rolle bräuchte. Fünf Stränge erreichen 2,006 und sechs nur 2,13, weil die Summe nie über 0,71 ÷ 0,29 = 2,45 steigen kann. Rettungsteams nehmen deshalb wenige, effiziente Rollen statt vieler billiger. Stellen Sie den Prüfstand auf den Typ FIXE und sehen Sie zu, wie die Balken nach drei Strängen flacher werden.

Im Auslegerzylinder eines Baggers

Hinter der Autohebebühne hebt ein doppeltwirkender Zylinder einen Ausleger. Seine Bohrung von 120 mm, sein Hub von 1285 mm und der Ansprechdruck des Überdruckventils von 34,3 MPa stammen aus dem Datenblatt des SANY SY215C; der Prüfstand ist im Maßstab 0,45 gezeichnet, und seine Geometrie ist ein Modell. Öl tritt auf der Kolbenseite ein, um den Kolben hinauszuschieben. Zum Zurückziehen speist die Pumpe die Stangenseite, wo die Kolbenstange einen Teil der Fläche einnimmt, sodass derselbe Druck mit weniger Kraft zieht, die Stange aber schneller bewegt.

Der Druck wird von der Last bestimmt, nicht von der Pumpe. Bei 3000 kg an der Spitze und einem Zylinder, der 0,6 m ausgefahren ist, muss der Zylinder etwa 105 kN schieben, und das Öl steht bei rund 9,3 MPa. Legen Sie 12.000 kg an die Spitze, würde der nötige Druck 34,3 MPa überschreiten; das Überdruckventil öffnet, das Öl geht in den Tank zurück, und nichts steigt. Die Pumpe bestimmt nur die Geschwindigkeit: Eine Pumpe mit 222 L/min würde einen Kolben von 120 mm mit 0,33 m/s hinausschieben.

Dieselbe Regel legt die Größe industrieller Zylinder fest. Enerpac führt einen doppeltwirkenden Zylinder, den BRD256, mit 63,5 mm Bohrung und einem Kolben von 47,8 mm. Bei seinen angegebenen 700 bar drückt er mit 222 kN und zieht nur mit 98 kN, weil die wirksame Fläche auf der Rückseite von 31,7 cm² auf 13,7 cm² sinkt.

Der Bremskreis auf dem Prüfstand

Vorn auf dem Boden nutzt ein Bremskreis das Rechenbeispiel von OpenStax. Ein Druck von 100 N auf das Pedal wird über einen 5-zu-1-Hebel zu 500 N auf dem Pedalzylinder. Der Pedalzylinder ist 5 mm dick und der Sattelkolben 25 mm, daher beträgt der Leitungsdruck etwa 25,5 MPa, und der Sattelkolben presst mit 12.500 N. Der Kolben des Pedalzylinders muss 25-mal so weit laufen wie der Sattelkolben; wenn vier Räder aus demselben Öl schöpfen, wären es 100-mal.

Drücken Sie „Rad auf 50 km/h drehen“ und stellen Sie eine Pedalkraft ein. Der Reibwert der Beläge von 0,4, der Belagradius von 0,11 m und das Trägheitsmoment des Rads sind Modellwerte, gewählt, um sinnvolle Bremswege zu ergeben, die Zahl der Umdrehungen ist also eine Veranschaulichung. Bei 100 N braucht das Rad etwa 4,2 Umdrehungen bis zum Stillstand, bei 250 N etwa 1,7.

Woher die Liste der Maschinen ihre Zahlen hat

Jeder Eintrag in „Maschinen zum Heben“ nennt eine Quelle, und die Zahlen auf seiner Karte sind die, die diese Quelle angibt: Produktseiten von Petzl für den Wirkungsgrad der Rollen, die Powerhouse-Sammlung für den Weston-Block, das SANY-Datenblatt für Zylindergrößen und Drücke, der Enerpac-Katalog für den BRD256, das NASA-Datenblatt für den Raupentransporter, die ASME-Denkmalunterlagen für die Presse von 50.000 Tonnen, der Canal and River Trust für das Schiffshebewerk Anderton, Scottish Canals für das Falkirk Wheel, die Website der Tower Bridge für ihre hydraulischen Maschinen und das FAA-Wartungshandbuch für Flugzeugdrücke. Karten mit dem Hinweis „aus den Quellenwerten berechnet“ verbinden diese Zahlen, zum Beispiel ergeben 16 Zylinder mit 23 Zoll Bohrung bei 3000 psi am NASA-Raupentransporter etwa 19,9 Millionen Pfund Kraft, und diese Rechnungen werden in der eigenen Testdatei des Exponats geprüft.

Häufige Missverständnisse

• „Eine Rolle macht die Last leichter.“ Die Kiste wiegt weiterhin 490,5 N. Es ändert sich, wie viele Seilstränge sie sich teilen. Jeder Strang trägt 490,5 ÷ n N, wenn die Rollen frei laufen, und die Hand muss das Seil n-mal so weit bewegen.
• „Man zählt jedes Rad im Block.“ Zählen Sie die Seilstränge, die den losen Block halten. Eine Rolle, die das Seil nur zu Ihrer Hand hin umlenkt, bringt Reibung und nichts für die Zahl, wie die zusätzliche Rolle am festen Block.
• „Zwanzig Rollen schlagen sechs.“ Bei 5 % Verlust je Rolle kann der Teiler nie über 19 steigen, und jede weitere Rolle bringt weniger als die vorige. Bei sechs Strängen holt das Modell schon 5,03 von möglichen 6 heraus. Darüber hinaus sind das zusätzliche Seil und die zusätzlichen Teile, die man prüfen muss, ein echter Preis.
• „Der große Kolben hat mehr Druck.“ Der Druck ist an beiden Kolben gleich, bei den Standardgrößen 1,04 MPa. Der große hat mehr Kraft, weil er mehr Fläche hat.
• „Der Wagenheber erzeugt zusätzliche Energie.“ Ein Hub bringt 16,4 J am Plunger ein, und das Auto gewinnt 16,4 J. In einem echten Wagenheber geht ein Teil als Wärme in den Dichtungen und im Öl verloren, sodass etwas weniger ankommt.
• „Das Pascalsche Prinzip ist die einzige Übersetzung im Wagenheber.“ Es sind zwei. Der Hebel gibt 5, die Kolben geben 36, sodass die Kraft der Hand 180-mal vergrößert beim Auto ankommt: 11.772 N ÷ 65,4 N = 180.
• „Hydraulik heißt Öl unter hohem Druck.“ Der Standard-Wagenheber läuft mit 1,04 MPa. Stellen Sie „Kleiner Kolben“ auf 10 mm und „Großer Kolben“ auf 100 mm, steigt der Druck auf 1,50 MPa. Bei 20 mm und 200 mm fällt er auf 0,37 MPa, obwohl die Kraft auf das Auto in beiden Fällen dieselben 11.772 N beträgt. Der Druck hängt von der Last und der Fläche des Presskolbens ab, nicht davon, wie kräftig jemand pumpt.

Am Bildschirm ausprobieren

1. Stellen Sie „Seilstränge“ auf die erste Position und „Kistenhöhe“ auf 0,5 m. Das Feld zeigt eine Zugkraft von 490,5 N und ein gezogenes Seil von 0,5 m. Gehen Sie durch 2, 4 und 6 Stränge und sehen Sie, wie die Zugkraft auf 245, 123 und 82 N fällt, während das gezogene Seil auf 1, 2 und 3 m steigt.
2. Multiplizieren Sie bei jeder Einstellung die Zugkraft mit dem gezogenen Seil. Es ergibt jedes Mal 245 J, solange „Rollenreibung“ aus ist, und die Zeilen für Arbeit und Wirkungsgrad im Feld stimmen überein.
3. Schalten Sie „Rollenreibung“ ein und gehen Sie die Einstellungen zurück. Die Zugkraft sollte etwa 516, 265, 139 und 97 N anzeigen, bei Wirkungsgraden von 95, 93, 88 und 84 %. Bei 1 Strang ist die Zugkraft 490,5 ÷ 0,95.
4. Öffnen Sie „Teilenamen“ und suchen Sie die blauen Zahlen am Seil. Zählen Sie die Stränge, die zum losen Block hinunterlaufen, und vergleichen Sie mit dem Regler.
5. Lassen Sie „Kleiner Kolben“ auf 20 mm und „Großer Kolben“ auf 120 mm. Das Feld zeigt ein Flächenverhältnis von 36, einen Öldruck von 1,04 MPa, 327 N am kleinen Kolben und 65 N am Hebelende. Klicken Sie einmal auf den Pumpenhebel, und das Auto steigt um etwa 1,4 mm.
6. Stellen Sie „Autohöhe“ auf 0,3 m und lesen Sie die Zeile für die Hübe ab: 216. Ändern Sie dann „Kleiner Kolben“ auf 40 mm und „Großer Kolben“ auf 60 mm. Das Flächenverhältnis ist 2,25, und das Hebelende braucht nun etwa 1046 N, was das Feld als zu schwer für eine Person kennzeichnet. Versuchen Sie stattdessen 10 mm und 200 mm: etwa 6 N, aber 2400 Hübe.
7. Suchen Sie ein Paar von Größen, bei dem das Hebelende unter 30 N braucht, etwa 14 mm und 140 mm. Lesen Sie die Zeile für die Hübe bei 0,3 m ab. Suchen Sie dann ein Paar, das leicht zu drücken ist und wenige Hübe braucht. Es gibt keines: Kraft mal Hübe bleibt bei 14.126.
8. Schalten Sie „Ablassventil“ ein, während das Auto oben ist. Das Auto sinkt gleichmäßig, und der Ölstand im Tank steigt.

Wo das Modell einfacher ist als die Wirklichkeit

Echte Blöcke setzen ihre Rollen nebeneinander auf eine Achse, sodass die Seilstränge dicht beieinanderliegen und schwer zu zählen sind. Das Modell verteilt die Rollen entlang des Balkens, damit jeder Strang für sich hängt. Die Regeln für Kraft und Länge hängen von dieser Anordnung nicht ab.

Das Modell behandelt das Seil als undehnbar und vollkommen biegsam und lässt das Gewicht des losen Blocks, des Seils, der Hebebühne und des Presskolbens weg. Der Reibungsschalter nutzt einen pauschalen Verlust von 5 % je Rolle; echte Verluste hängen vom Lager, von der Steifigkeit des Seils und davon ab, wie scharf es gebogen wird. Auf der hydraulischen Seite gilt das Öl als inkompressibel und leckfrei, die Dichtungen haben keine Reibung, und das Gewicht des Öls selbst bleibt unberücksichtigt, sodass der Druck in jeder Höhe gleich ist. Eine echte Hebebühne braucht außerdem eine Verriegelung, damit das Auto nie allein auf dem Öl ruht.

Von Archimedes bis Bramah

Flaschenzüge sind sehr alt. Im ersten Jahrhundert v. Chr. beschrieb der römische Ingenieur Vitruv in Buch 10 seines Werks über die Architektur Hebemaschinen nach der Zahl der Rollen in ihren Blöcken, wobei ein Block mit drei Rollen der Trispastos und eine Maschine mit vielen Rollen der Polyspaston war.

Die bekannteste Flaschenzug-Geschichte handelt von Archimedes und stammt aus Plutarchs Leben des Marcellus, geschrieben etwa 300 Jahre nach Archimedes' Tod im Jahr 212 v. Chr. Plutarch berichtet, Archimedes habe König Hieron von Syrakus gesagt, jedes Gewicht lasse sich mit jeder beliebigen Kraft bewegen, und wenn es eine andere Welt gäbe, auf die er gehen könnte, würde er diese bewegen. Aufgefordert, es vorzuführen, nahm er ein dreimastiges Handelsschiff, das viele Männer an Land gezogen hatten, belud es mit Passagieren und Fracht und zog es, aus der Ferne sitzend, mit einem System zusammengesetzter Flaschenzüge zu sich heran. Es ist eine lange nach den Ereignissen erzählte Geschichte, kein Augenzeugenbericht, aber sie zeigt, dass die Idee schon mit seinem Namen verbunden war.

Blaise Pascal arbeitete das hydraulische Prinzip in seiner Abhandlung über das Gleichgewicht der Flüssigkeiten aus, die um 1654 fertig war und 1663 gedruckt wurde, ein Jahr nach seinem Tod. Druck in einer geschlossenen Flüssigkeit kann Kraft vervielfachen, und Pascal wird deshalb meist der Gedanke der hydraulischen Presse zugeschrieben. Um die Idee in eine funktionierende Maschine zu verwandeln, brauchte es Dichtungen, die hohem Druck standhalten. Joseph Bramah, der Londoner Schlosser, ließ die hydraulische Presse 1795 patentieren, und dieselbe Anordnung, ein kleiner Pumpenkolben und ein großer Presskolben, durch Öl verbunden, ist bis heute das Herz jedes handbetriebenen Wagenhebers.

Wie die Zahlen geprüft wurden

Die Anzeige nutzt W = mg mit g = 9,81 m/s², F = W ÷ n für ideale Flaschenzüge und F = W ÷ (e + e² + … + eⁿ) mit e = 0,95 für den Reibungsfall, gezogenes Seil = n × h, die Kraftübersetzung des Kettenzugs 2R ÷ (R − r), p = W ÷ A₂, F₁ = p × A₁ und Hubhöhe pro Hub = 50 mm × A₁ ÷ A₂. Diese Werte stimmen mit Handrechnungen überein, und der im Modell gezeichnete Seilweg bestätigt, dass ein Anheben des losen Blocks um 0,5 m genau n × 0,5 m Seil durch die Hand führt.