Cómo funcionan las poleas y el gato hidráulico

Qué muestra el modelo

Intenta levantar del suelo un saco de cemento de 50 kg y notarás cada uno de sus 490 newton. Un albañil con una cuerda y unas cuantas poleas puede subir la misma carga con un tirón que se maneja con una sola mano, y un mecánico puede subir un coche entero bombeando una palanca pequeña. Ninguno de los dos consigue algo a cambio de nada. Los dos cambian fuerza por distancia, y esta exposición pone cifras a ese cambio.

El suelo del taller está dibujado a tamaño real, en metros. A la izquierda, una caja de pino de 50 kg cuelga de un pórtico de acero mediante un aparejo de poleas. El control «Tramos de cuerda» pasa la misma cuerda de seis maneras, desde una sola polea fija hasta bloques de tres roldanas cada uno, con entre uno y seis tramos de cuerda sosteniendo la caja. En los números impares, el extremo de la cuerda se ata al bloque móvil. La cuerda es un tubo real en el modelo. Rodea cada roldana, nunca cambia de longitud, y la cuerda que sale de los bloques pasa por la mano y se amontona en un rollo en el suelo. Unas marcas rojas cada 0,4 m permiten seguirla.

A la derecha, un coche de 1200 kg está sobre un elevador que sube con un único émbolo hidráulico. Una mano acciona al lado una palanca de bomba. El cilindro de la bomba, las dos válvulas antirretorno y el émbolo están seccionados para que veas moverse las bolas y cambiar el nivel del aceite. El panel de la esquina indica la fuerza y la distancia en ambos lados, calculadas a partir de las medidas reales del modelo.

Por qué una polea fija solo cambia la dirección

Empieza con una polea atornillada a la viga y la cuerda atada directamente a la caja. La cuerda sube, pasa por encima de la roldana y baja hasta tu mano. Si la roldana gira libremente, la tensión es la misma a ambos lados, porque nada hace que un lado tire más fuerte que el otro. La caja cuelga de un único tramo de cuerda, así que ese tramo soporta todo el peso: 50 kg × 9,81 m/s² = 490,5 N. Tu mano también tira con 490,5 N.

Lo que ganas es dirección. Tirar hacia abajo es más fácil que levantar hacia arriba, porque puedes colgar el peso de tu propio cuerpo de la cuerda. Además, la caja sube exactamente a la misma velocidad a la que se mueve la cuerda. Si recoges 1 m de cuerda, la caja sube 1 m. En el modelo, el primer paso muestra este caso, con un único tramo de cuerda numerado como 1.

La polea móvil y la cuenta de los tramos de cuerda

Ahora cuelga una segunda polea de la caja. Ata la cuerda al bloque fijo, hazla bajar por debajo de la polea móvil, vuelve a subirla por encima de la polea fija y bájala hasta tu mano. Fíjate en la polea móvil y en todo lo que cuelga de ella. Dos tramos de cuerda la sostienen, y cada uno soporta la misma tensión, así que a cada uno le toca solo la mitad del peso: 245 N. El tramo que tienes en la mano es la misma cuerda, de modo que tu tirón también es de 245 N.

Eso da la regla para cualquier aparejo de poleas. Cuenta los tramos de cuerda que sostienen el bloque móvil. Si son n y las roldanas giran libremente, la tracción es el peso dividido entre n. Los ingenieros llaman a n la ventaja mecánica ideal. Los bloques del modelo con dos roldanas arriba y dos abajo dan cuatro tramos y una tracción de 123 N; con tres y tres hay seis tramos y 82 N. Los pequeños números azules de la cuerda cuentan los tramos por ti. La roldana adicional del bloque fijo que baja la cuerda hasta tu mano no suma a la cuenta, porque no sostiene la caja.

Fuerza por distancia: la cuerda con la que pagas

El precio se ve en la mano. Cuando la caja sube 0,5 m, cada uno de los seis tramos de cuerda se acorta 0,5 m. Esos 3 m de cuerda tienen que ir a alguna parte, y salen por tu mano hasta el rollo. En general, la cuerda recogida es n veces la altura ganada. La cifra de «cuerda recogida» del modelo es ese producto, y el rollo del suelo crece en la misma cantidad.

Multiplica la fuerza por la distancia y los dos lados coinciden. Con cuatro tramos y una elevación de 0,5 m, la mano tira con 122,6 N a lo largo de 2 m, lo que son 245 J de trabajo. La caja gana 490,5 N × 0,5 m = 245 J de energía potencial. Las poleas reparten el trabajo de otra manera, pero no pueden aumentarlo. Es la misma regla que rige una palanca o un tren de engranajes, y la lectura del panel muestra ambos lados para que veas que coinciden siempre que el rozamiento esté desactivado. Con el rozamiento desactivado, el modelo ignora además otras dos cosas: el peso del bloque móvil y el peso de la cuerda.

Rozamiento, y por qué los aparejos se detienen hacia los seis tramos

Las roldanas reales rozan con sus ejes y la cuerda tiene que doblarse alrededor de cada una. Cada vez que la cuerda pasa por una roldana camino de la mano, su tensión tiene que subir un poco para pagarlo. El interruptor «Rozamiento de las roldanas» del modelo supone que cada roldana transmite el 95 % de la tensión. Si se parte del extremo fijo y se avanza hacia la mano, los seis tramos de cuerda soportan entonces tensiones ligeramente distintas, y la tracción pasa a ser el peso dividido entre 0,95 + 0,95² + … + 0,95⁶ = 5,03 en lugar de entre 6. La tracción sube de 82 N a 97 N. El trabajo aportado sigue siendo la fuerza por la cuerda recogida, pero ahora solo el 84 % llega a la caja; el resto se convierte en calor en los cojinetes y en la cuerda.

Añadir roldanas sigue ayudando, pero cada vez menos. Con un 5 % perdido por roldana, la suma nunca puede superar 0,95 ÷ 0,05 = 19, de modo que ningún aparejo de este tipo puede bajar la caja de 490 N por debajo de unos 26 N, por muchas roldanas que se cuelguen. Mucho antes de llegar ahí, la cuerda que hay que recoger se vuelve absurda: un aparejo de 19 tramos necesita 19 m de cuerda por cada metro de elevación. Por eso la mayoría de los aparejos manuales se quedan en cuatro a seis tramos, y por eso las grandes grúas usan tornos y tambores en lugar de más roldanas.

El principio de Pascal en una caja cerrada de aceite

Un gato hidráulico hace el mismo intercambio con un líquido. El aceite apenas se comprime, así que empujarlo en un punto aumenta la presión de todo un sistema sellado en la misma cantidad. Es el principio de Pascal. La presión es fuerza por área, de modo que la misma presión actuando sobre un área mayor produce una fuerza mayor.

En el modelo, el émbolo pequeño tiene 20 mm de diámetro y el grande, 120 mm. El área crece con el cuadrado del diámetro, así que el émbolo grande tiene (120 ÷ 20)² = 36 veces el área. El coche pesa 1200 kg × 9,81 = 11 772 N. Repartidos sobre los 0,0113 m² del émbolo grande, hace falta una presión de 1,04 MPa, unas diez veces la presión atmosférica. Esos mismos 1,04 MPa sobre los 0,000314 m² del émbolo pequeño solo requieren 327 N.

La distancia vuelve a cobrar su parte. Cada pulsación de 50 mm del émbolo pequeño empuja 15,7 cm³ de aceite al cilindro grande. Repartido sobre 36 veces el área, ese aceite sube el émbolo 50 ÷ 36 = 1,39 mm. El trabajo aportado por embolada es 327 N × 0,05 m = 16,4 J, y el coche gana 11 772 N × 0,00139 m = 16,4 J. Subir el coche 0,3 m exige 216 emboladas.

Dentro del gato: émbolo, dos válvulas antirretorno y una válvula de descarga

Un solo empujón solo subiría el coche 1,39 mm, así que la bomba tiene que volver a llenarse y empujar de nuevo, y el aceite no debe retroceder entre una embolada y otra. De eso se encargan dos válvulas antirretorno. Cada una es una bola apretada contra un asiento redondo por un pequeño muelle. El aceite que empuja desde el lado del asiento levanta la bola y pasa; el que empuja en sentido contrario solo aprieta la bola con más fuerza contra su asiento.

Cuando levantas la palanca, el émbolo sube y la presión en la cámara de la bomba baja. La válvula de entrada se abre y entra aceite desde el depósito, mientras que la válvula de salida sigue cerrada porque la alta presión del lado del émbolo grande mantiene su bola apretada. Cuando pulsas la palanca, la presión de la cámara sube por encima de la del émbolo grande. La bola de entrada se cierra de golpe, la de salida se levanta y el aceite va hacia el émbolo grande. En el modelo, el conducto de aceite brilla durante cada mitad de la embolada y las bolas se despegan de sus asientos.

La palanca multiplica la fuerza una vez más antes de que intervenga el aceite. La mano agarra la palanca a 0,5 m del pivote y el émbolo está unido a 0,1 m de él, así que la mano solo necesita 327 ÷ 5 = 65 N, más o menos lo que cuesta sostener una bolsa de 6,7 kg. La válvula de descarga es la tercera válvula. Al abrirla, el émbolo grande se conecta con el depósito y el peso del coche devuelve el aceite. Actívala en los controles y el coche baja a un ritmo constante mientras el depósito se llena.

Las cifras del coche

Los controles de los émbolos muestran cómo tiran en sentidos opuestos las decisiones de diseño. Si pones el émbolo pequeño en 40 mm y el grande en 60 mm, la relación de áreas baja a 2,25. Cada embolada sube ahora el coche 22 mm, pero el émbolo pequeño necesita 5232 N y la mano en la palanca, 1046 N, más de lo que una persona puede empujar. Si vas en sentido contrario, con un émbolo de 10 mm bajo uno grande de 200 mm, la relación es 400. La mano necesita menos de 6 N, pero cada embolada sube el coche 0,125 mm y subir 0,3 m exige 2400 emboladas. Los gatos manuales reales eligen relaciones intermedias, con una palanca larga, para que una persona pueda subir un coche en uno o dos minutos de bombeo.

La presión es la cifra que fija el tamaño de todo lo demás. A 1,04 MPa, el aceite del modelo es suave; un gato de botella pequeño con un émbolo de 30 mm que sostiene una tonelada trabaja a más de diez veces esa presión, y por eso los cilindros de los gatos son de acero de paredes gruesas.

Ejemplo resuelto: el mismo coche levantado de dos maneras

Toma el coche de 1200 kg de la exposición. Pesa 11 772 N, y subirlo 0,3 m significa darle 11 772 × 0,3 = 3532 J de energía potencial. Cualquier máquina que lo haga tiene que absorber al menos ese trabajo. Las dos máquinas siguientes se diferencian solo en cómo lo reparten entre fuerza y distancia.

Primero, el aparejo de poleas. Esto es una suposición, porque la exposición solo cuelga del aparejo la caja de 50 kg: escala el montaje de seis tramos hasta el coche, con una cuerda suficientemente resistente y la misma pérdida del 5 % por roldana. Sin rozamiento, la tracción es 11 772 ÷ 6 = 1962 N, el peso de una masa de 200 kg. La cuerda recogida es 6 × 0,3 = 1,8 m, así que la mano hace 1962 × 1,8 = 3532 J. Activa el rozamiento y el divisor pasa a ser 5,03, de modo que la tracción es 11 772 ÷ 5,03 = 2339 N, y la mano hace 2339 × 1,8 = 4210 J. De eso, 3532 ÷ 4210 = 84 % llega al coche.

Ahora, el gato con sus medidas por defecto. La mano necesita 65 N, y cada recorrido de la palanca mueve la mano 5 × 0,05 = 0,25 m mientras el coche sube 1,39 mm. Subirlo 0,3 m exige 216 emboladas, así que la mano recorre 216 × 0,25 = 54 m y hace 65,4 × 54 = 3532 J. La energía es la misma que con el aparejo. Solo cambia la forma de la factura: 65 N a lo largo de 54 m en lugar de 1962 N a lo largo de 1,8 m.

El gato esconde una regla curiosa. Para cualquier pareja de tamaños de émbolo, la fuerza de la mano multiplicada por el número de emboladas necesarias para 0,3 m da 14 126 N. Un émbolo de 24 mm bajo uno grande de 120 mm tiene una relación de áreas de 25, así que la mano necesita 94 N durante 150 emboladas. Un émbolo de 14 mm bajo uno grande de 140 mm tiene una relación de 100, así que la mano necesita 23,5 N durante 600 emboladas. Ambos productos dan 14 126. Elegir los tamaños de los émbolos solo decide en qué punto de esa línea se sitúa el gato: empujes fáciles y muchas emboladas, o empujes duros y pocas.

Por qué el rozamiento se acumula: la regla del cabrestante

El 5 % fijo por roldana del modelo es una simplificación que merece una mirada. Una cuerda apoyada sobre una superficie curva presiona sobre ella, y el rozamiento resultante es proporcional a esa presión. Si se calcula para un trozo corto de cuerda y se suman los trozos, sale un resultado limpio, que a menudo se llama ecuación del cabrestante: la tensión en el lado cargado es como máximo la tensión en el lado ligero multiplicada por e elevado a μθ, donde μ es el coeficiente de rozamiento y θ es el ángulo que abraza la cuerda, en radianes. Una deducción aparece en los apuntes del curso del MIT sobre modelado de sistemas dinámicos.

El exponente explica dos cosas a la vez. Una roldana que gira sobre un buen cojinete se mantiene muy lejos de este límite, porque la cuerda rueda sobre la garganta en lugar de deslizar sobre ella, y solo quedan el rozamiento del cojinete y la flexión de la cuerda. El 5 % del modelo representa esas pérdidas. Y en un aparejo, las pérdidas se multiplican de una roldana a la siguiente, y por eso la suma de la sección anterior es una serie geométrica.

El cabrestante de un marinero muestra el otro lado de la misma ecuación. Supón μ = 0,3 entre una cuerda y un tambor fijo y dos vueltas completas, de modo que θ = 4π = 12,57 rad. El factor es e^3,77 = 43. Un marinero que sujeta el extremo suelto con 100 N puede sostener 4300 N en el otro. En este caso nada hace girar el tambor. La cuerda resbalaría si el tirón fuera mayor, pero es el rozamiento el que sostiene. El aparejo usa el intercambio opuesto: quiere el rozamiento lo más pequeño posible y pierde un 5 % cada vez.

Grúas, ascensores, excavadoras y frenos

Grúas de construcción romanas. Un relieve de la tumba de los Haterii, una familia de constructores que trabajó en el Coliseo, se conserva hoy en los Museos Vaticanos. A la izquierda muestra una grúa accionada por una gran rueda que hacen girar personas. Vitruvio describe la misma familia de máquinas en el libro 10, desde el trispastos de tres poleas hasta el polyspaston. Una rueda de pisar hace girar un tambor, el tambor enrolla la cuerda y el bloque de poleas vuelve a dividir la carga antes de que llegue a la piedra, de modo que las dos multiplicaciones se suman. Los constructores también pagaban en distancia: cada metro que subía el bloque costaba n metros de cuerda.

Grúas hidráulicas. En 1846, William Armstrong instaló en el muelle de Newcastle la primera grúa hidráulica, para descargar carbón, después de que el sistema municipal de agua de 1845 le diera la presión necesaria. Funcionaba con la presión sobrante del suministro de agua de la ciudad. Es el principio de Pascal usado con un fin muy distinto al de un gato de coche: la presión viene de fuera y un pistón de la grúa la convierte en tracción.

Ascensores. La mayoría de las cabinas de ascensor cuelgan de cables de acero sobre una polea motriz, con un contrapeso al otro lado. Supón, como hipótesis, una cabina de 1000 kg, una carga nominal de 800 kg y un contrapeso de 1400 kg, que es la cabina más la mitad de la carga. Con la cabina llena, el motor sostiene 1800 − 1400 = 400 kg de desequilibrio. Con la cabina vacía sostiene 1400 − 1000 = 400 kg en sentido contrario. Sin el contrapeso, el motor tendría que cargar con todo el peso de la cabina, hasta 1800 kg, en cada viaje. El relato de la National Academy of Engineering sobre la historia de los ascensores dice que el primer contrapeso no apareció antes de 1670, y que los contrapesos y el montaje dos a uno reducen la potencia necesaria. El montaje dos a uno es el caso n = 2 de esta exposición: la cabina se mueve a la mitad de la velocidad de la cuerda y la cuerda soporta la mitad del peso de la cabina. Elisha Otis mostró su freno de seguridad en la Exposición Universal de Nueva York de 1854 haciendo cortar la cuerda con un hacha mientras él estaba de pie en la plataforma, según la ASME y el National Inventors Hall of Fame. El freno no cambió en absoluto la ventaja mecánica. Hizo que la máquina fuera lo bastante segura para las personas.

Excavadoras. La hoja de datos de una excavadora de 22,6 toneladas de un fabricante, SANY, da una presión de la válvula de alivio de 34,3 MPa para los circuitos de los implementos y un cilindro de pluma con un diámetro interior de 120 mm. Ese diámetro es el mismo que el del émbolo grande de esta exposición. La presión es 34,3 ÷ 1,04 = 33 veces mayor, así que el empuje a la presión de alivio puede llegar a 34,3 MPa × 0,01131 m² = 388 kN, frente a los 11,8 kN del émbolo del modelo. Es un límite superior fijado por la válvula de alivio, no la fuerza que entrega la pluma: la geometría del brazo, los demás cilindros y el caudal de la bomba deciden lo que acaba llegando a la cuchara. Sí muestra por qué las excavadoras usan hidráulica: una presión 33 veces mayor mete esa fuerza en un cilindro del tamaño del émbolo grande de esta exposición.

Frenos de coche. OpenStax resuelve un ejemplo de freno. El conductor pisa con 100 N, una palanca lo eleva a 500 N sobre un cilindro de pedal de 5 mm de diámetro interior, y cada uno de los cuatro cilindros de rueda tiene 25 mm de diámetro interior. La relación de áreas es (25 ÷ 5)² = 25, así que cada cilindro de rueda empuja con 12 500 N. El aceite que absorbe un cilindro de rueda sale del cilindro del pedal, por lo que el pistón del cilindro del pedal tiene que recorrer 25 veces la distancia del pistón de la rueda, y con cuatro ruedas que se reparten el aceite se mueve 100 veces la de cada una. OpenStax añade que los frenos asistidos tienen una bomba motorizada que hace la mayor parte del trabajo. Por tanto, el ejemplo cubre solo la multiplicación entre el pedal y la rueda.

Números impares de tramos de cuerda

El número de tramos de cuerda que sostienen la carga no tiene por qué ser par. Si el extremo fijo se ata al bloque superior, la cuerda siempre baja y sube por pares, y la cuenta sale 2, 4 o 6. Si en cambio atas el extremo fijo al bloque móvil, en un ojal pequeño llamado gaza, ese primer tramo de cuerda también sostiene la carga. Dos roldanas arriba y una abajo dan entonces tres tramos, y tres arriba con dos abajo dan cinco. Vitruvio usó exactamente estos dos nombres: trispastos para tres poleas y pentaspastos para cinco.

Elige 3 o 5 en el banco de poleas y cuenta los tramos numerados. Sin rozamiento, la tracción es 490,5 ÷ 3 = 164 N y 490,5 ÷ 5 = 98 N, y la cuerda recogida es tres o cinco veces la elevación. El modelo comprueba la cuerda dibujada: al subir el bloque inferior 0,5 m, el recorrido desde el extremo fijo hasta la mano se acorta exactamente 1,5 m o 2,5 m. Los manuales de aparejos usan el mismo truco cuando dan la vuelta a un bloque para ganar un tramo: el lado del que sale el tramo de tiro, fijo o móvil, decide si suma a la cuenta.

El polipasto diferencial de cadena

Un aparejo con muchos tramos necesita mucha cuerda. Thomas Aldridge Weston encontró una forma de evitarlo con dos ruedas de cadena de tamaño ligeramente distinto fijadas a un mismo eje y una única cadena sin fin. Un lazo de la cadena cuelga alrededor de una roldana que lleva el gancho; el otro cuelga libre para la mano. Cada vuelta del eje enrolla una circunferencia grande de cadena en la rueda mayor y suelta una circunferencia pequeña de la rueda menor, de modo que el lazo de la carga se acorta en la diferencia y el gancho sube la mitad de ella. La ventaja mecánica es 2R ÷ (R − r).

El modelo usa ruedas de cadena con 10 y 9 alvéolos, así que la ventaja es 2 × 10 ÷ 1 = 20 y 200 kg necesitan solo unos 98 N en la cadena de mano cuando no se pierde nada. El coste vuelve a ser la distancia: 20 m de cadena de mano por cada metro de elevación. Las ruedas de 10 y 8 dan 10, y las de 15 y 14 dan 30.

La colección del Powerhouse de Sídney conserva un bloque de este tipo de dos toneladas fabricado por Tangyes de Birmingham. Sus notas describen cómo los hermanos Tangye desarrollaron una cadena de paso para que los eslabones asentaran limpiamente en los alvéolos, presentaron el bloque en cinco tamaños, de 10 cwt a 3 toneladas, en la Exposición Internacional de 1862, y vendieron unos 3000 juegos en nueve meses.

Los polipastos de cadena son lentos y tienen pérdidas, y eso forma parte de su atractivo. En el modelo, cada paso por la roldana inferior y por el eje conserva el 95 % de la fuerza. El bloque de 10 y 9 levanta entonces con un rendimiento del 49 %, y por debajo de un 50 % aproximadamente una máquina de este tipo no retrocede bajo su carga. Si sueltas la cadena de mano, la carga se queda donde está.

Lo que pierden las poleas reales

El 5 % de pérdida del modelo no es una conjetura. Petzl, fabricante de equipos para acceso con cuerda y rescate, imprime un rendimiento para cada polea. Las RESCUE M y SPIN L1, con roldanas de 38 mm sobre rodamientos de bolas sellados, tienen un rendimiento del 95 %. La pequeña FIXE, con una roldana de 21 mm sobre casquillos autolubricantes, tiene un 71 %: solo el 71 % de la tracción sale por el otro lado.

Esa diferencia crece deprisa. Con poleas FIXE, cuatro tramos de cuerda dividen el peso entre 0,71 + 0,71² + 0,71³ + 0,71⁴ = 1,83, de modo que la tracción sigue siendo más de la mitad de la que necesitaría una sola polea sin rozamiento. Cinco tramos llegan a 2,006 y seis solo a 2,13, porque la suma nunca puede pasar de 0,71 ÷ 0,29 = 2,45. Por eso los equipos de rescate usan pocas poleas eficientes en lugar de muchas baratas. Pon el banco de poleas en el tipo FIXE y observa cómo se aplanan las barras después de tres tramos.

Dentro del cilindro de pluma de una excavadora

Detrás del elevador de coches, un cilindro de doble efecto levanta una pluma. Su diámetro interior, 120 mm, su carrera, 1285 mm, y la presión de la válvula de alivio, 34,3 MPa, proceden de la hoja de datos de la SANY SY215C; el banco está dibujado a escala 0,45 y su geometría es un modelo. El aceite entra por el lado del fondo para empujar el pistón hacia fuera. Para recogerlo, la bomba alimenta el lado del vástago, donde el vástago ocupa parte del área, de modo que la misma presión tira con menos fuerza pero mueve el vástago más deprisa.

La presión la fija la carga, no la bomba. Con 3000 kg en la punta y el cilindro extendido 0,6 m, el cilindro tiene que empujar unos 105 kN y el aceite está cerca de 9,3 MPa. Si pones 12 000 kg en la punta, la presión necesaria pasaría de 34,3 MPa; la válvula de alivio se abre, el aceite vuelve al depósito y nada sube. La bomba decide solo la velocidad: una bomba de 222 L/min sacaría un pistón de 120 mm a 0,33 m/s.

La misma regla fija el tamaño de los cilindros industriales. Enerpac lista un cilindro de doble efecto, el BRD256, con un diámetro interior de 63,5 mm y un émbolo de 47,8 mm. A sus 700 bar nominales empuja 222 kN y tira con solo 98 kN, porque el área efectiva baja de 31,7 cm² a 13,7 cm² en el lado del retorno.

El circuito de freno en el banco

Al frente del suelo, un circuito de freno usa el ejemplo resuelto de OpenStax. Un empuje de 100 N en el pedal se convierte en 500 N sobre el cilindro del pedal mediante una palanca de 5 a 1. El cilindro del pedal tiene 5 mm de diámetro y el pistón de la pinza, 25 mm, así que la presión en el tubo es de unos 25,5 MPa y el pistón de la pinza aprieta con 12 500 N. El pistón del cilindro del pedal debe recorrer 25 veces la distancia del pistón de la pinza; con cuatro ruedas que toman del mismo aceite serían 100 veces.

Pulsa «Girar la rueda hasta 50 km/h» y fija una fuerza en el pedal. El coeficiente de rozamiento de la pastilla de 0,4, el radio de la pastilla de 0,11 m y la inercia de la rueda son valores del modelo elegidos para dar distancias de frenado razonables, así que el número de vueltas es una ilustración. Con 100 N, la rueda necesita unas 4,2 vueltas para detenerse, y con 250 N, unas 1,7.

De dónde saca sus cifras la lista de máquinas

Cada entrada de «Máquinas que levantan» nombra una fuente, y las cifras de su tarjeta son las que esa fuente da: las páginas de producto de Petzl para el rendimiento de las poleas, la colección del Powerhouse para el bloque Weston, la hoja de datos de SANY para los tamaños y presiones de los cilindros, el catálogo de Enerpac para el BRD256, la ficha de la NASA para el transportador de orugas, los documentos de hitos de la ASME para la prensa de 50 000 toneladas, el Canal and River Trust para el elevador de barcos de Anderton, Scottish Canals para la rueda de Falkirk, el sitio del Tower Bridge para sus motores hidráulicos y el manual de mantenimiento de la FAA para las presiones de los aviones. Las tarjetas marcadas «calculado a partir de las cifras de la fuente» combinan esos números; por ejemplo, 16 cilindros de 23 pulgadas de diámetro interior a 3000 psi en el transportador de orugas de la NASA dan unos 19,9 millones de libras de fuerza, y esas sumas se comprueban en el archivo de pruebas de la propia exposición.

Malentendidos frecuentes

• «Una polea hace la carga más ligera». La caja sigue pesando 490,5 N. Lo que cambia es cuántos tramos de cuerda se la reparten. Cada tramo soporta 490,5 ÷ n N cuando las roldanas están libres, y la mano tiene que mover la cuerda n veces más lejos.
• «Cuenta todas las ruedas del bloque». Cuenta los tramos de cuerda que sostienen el bloque móvil. Una roldana que solo desvía la cuerda hacia tu mano añade rozamiento y no suma nada a la cuenta, como la roldana adicional del bloque fijo.
• «Veinte poleas superan a seis». Con un 5 % perdido por roldana, el divisor nunca puede pasar de 19, y cada roldana adicional aporta menos que la anterior. Con seis tramos, el modelo ya saca 5,03 de un máximo posible de 6. Más allá, la cuerda extra que hay que recoger y las piezas extra que hay que revisar son un coste real.
• «El émbolo grande tiene más presión». La presión es la misma en los dos émbolos, 1,04 MPa con las medidas por defecto. El grande tiene más fuerza porque tiene más área.
• «El gato fabrica energía de más». Una embolada aporta 16,4 J en el émbolo y el coche gana 16,4 J. En un gato real, parte sale como calor en los retenes y en el aceite, así que llega algo menos.
• «El principio de Pascal es el único multiplicador de un gato». Hay dos. La palanca da 5, los émbolos dan 36, y por eso el empuje de la mano llega al coche multiplicado por 180: 11 772 N ÷ 65,4 N = 180.
• «Hidráulico significa aceite a alta presión». El gato por defecto trabaja a 1,04 MPa. Pon «Émbolo pequeño» en 10 mm y «Émbolo grande» en 100 mm, y la presión sube a 1,50 MPa. Pon 20 mm y 200 mm y baja a 0,37 MPa, aunque la fuerza sobre el coche es la misma, 11 772 N, en ambos casos. La presión depende de la carga y del área del émbolo grande, no de lo fuerte que alguien bombee.

Pruébalo en la pantalla

1. Pon «Tramos de cuerda» en su primera posición y «Altura de la caja» en 0,5 m. El panel marca una tracción de 490,5 N y una cuerda recogida de 0,5 m. Pasa por 2, 4 y 6 tramos y observa cómo la tracción baja a 245, 123 y 82 N mientras la cuerda recogida sube a 1, 2 y 3 m.
2. En cada ajuste, multiplica la tracción por la cuerda recogida. Sale 245 J cada vez mientras «Rozamiento de las roldanas» esté desactivado, y las líneas de trabajo y rendimiento del panel coinciden.
3. Activa «Rozamiento de las roldanas» y vuelve atrás por los ajustes. La tracción debería marcar unos 516, 265, 139 y 97 N, con rendimientos del 95, 93, 88 y 84 %. Con 1 tramo, la tracción es 490,5 ÷ 0,95.
4. Abre «Nombres de piezas» y busca los números azules de la cuerda. Cuenta los tramos que bajan hasta el bloque móvil y compáralos con el control.
5. Deja «Émbolo pequeño» en 20 mm y «Émbolo grande» en 120 mm. El panel da una relación de áreas de 36, una presión de aceite de 1,04 MPa, 327 N en el émbolo pequeño y 65 N en el extremo de la palanca. Haz clic una vez en la palanca de la bomba y el coche sube unos 1,4 mm.
6. Pon «Altura del coche» en 0,3 m y lee la línea de emboladas: 216. Después cambia «Émbolo pequeño» a 40 mm y «Émbolo grande» a 60 mm. La relación de áreas es 2,25 y el extremo de la palanca necesita ahora unos 1046 N, algo que el panel marca como demasiado para una persona. Prueba en cambio con 10 mm y 200 mm: unos 6 N, pero 2400 emboladas.
7. Busca una pareja de tamaños en la que el extremo de la palanca necesite menos de 30 N, como 14 mm y 140 mm. Lee la línea de emboladas para 0,3 m. Después busca una pareja que sea fácil de empujar y necesite pocas emboladas. No existe: la fuerza por las emboladas se queda en 14 126.
8. Activa «Válvula de descarga» con el coche subido. El coche baja a un ritmo constante y el nivel de aceite del depósito sube.

Dónde el modelo es más simple que la realidad

Los bloques reales ponen sus roldanas una al lado de otra en un mismo eje, de modo que los tramos de cuerda quedan apretados y son difíciles de contar. El modelo reparte las roldanas a lo largo de la viga para que cada tramo cuelgue por separado. Las reglas de fuerza y longitud no dependen de esa disposición.

El modelo trata la cuerda como inextensible y perfectamente flexible, y deja fuera el peso del bloque móvil, de la cuerda, de la plataforma elevadora y del émbolo. El interruptor de rozamiento usa una pérdida fija del 5 % por roldana; las pérdidas reales dependen del cojinete, de la rigidez de la cuerda y de lo cerrada que sea su curva. En el lado hidráulico, el aceite se trata como incompresible y sin fugas, los retenes no tienen rozamiento y se ignora el peso del propio aceite, de modo que la presión es la misma a cualquier altura. Un elevador real necesita además un seguro mecánico para que el coche nunca descanse solo sobre el aceite.

De Arquímedes a Bramah

Los aparejos de poleas son muy antiguos. En el siglo I a. C., el ingeniero romano Vitruvio describió, en el libro 10 de su obra sobre arquitectura, las máquinas de elevación según el número de poleas de sus bloques: un bloque de tres era el trispastos y una máquina con muchas poleas, el polyspaston.

La historia más conocida de poleas trata de Arquímedes y procede de la Vida de Marcelo de Plutarco, escrita unos 300 años después de la muerte de Arquímedes en 212 a. C. Plutarco cuenta que Arquímedes le dijo al rey Hierón de Siracusa que cualquier peso dado podía moverse con cualquier fuerza dada, y que si hubiera otro mundo al que ir, podría mover este. Cuando le pidieron una demostración, tomó un barco mercante de tres mástiles que muchos hombres habían varado, lo cargó de pasajeros y mercancías y, sentado a distancia, lo arrastró hacia sí con un sistema de poleas compuestas. Es una historia contada mucho después de los hechos, no el relato de un testigo, pero muestra que la idea ya estaba unida a su nombre.

Blaise Pascal formuló el principio hidráulico en su tratado sobre el equilibrio de los líquidos, terminado hacia 1654 e impreso en 1663, un año después de su muerte. La presión en un líquido cerrado puede multiplicar la fuerza, y por eso se suele atribuir a Pascal la idea de la prensa hidráulica. Convertir la idea en una máquina que funcionara exigía retenes capaces de resistir una presión alta. Joseph Bramah, el cerrajero londinense, patentó la prensa hidráulica en 1795, y la misma disposición, un pequeño émbolo de bomba y un gran émbolo unidos por aceite, es el corazón de todos los gatos de bombeo manual actuales.

Cómo se comprobaron las cifras

La lectura del panel usa W = mg con g = 9,81 m/s², F = W ÷ n para los aparejos ideales y F = W ÷ (e + e² + … + eⁿ) con e = 0,95 para el caso con rozamiento, cuerda recogida = n × h, la ventaja del polipasto de cadena 2R ÷ (R − r), p = W ÷ A₂, F₁ = p × A₁ y subida por embolada = 50 mm × A₁ ÷ A₂. Coinciden con los valores calculados a mano, y el recorrido de la cuerda dibujada en el modelo confirma que subir el bloque móvil 0,5 m hace pasar por la mano exactamente n × 0,5 m de cuerda.