翼の揚力を試す迎え角シミュレーター

この模型が見せるもの

重さが 1 トンを超える軽飛行機は、2 枚の薄いアルミの翼に支えられて、時速 100 km ほどで滑走路を離れます。この展示では、そうした翼の断面を風洞に入れ、まわりで空気が何をしているか、それが合わせてどれだけの力になるかを見せます。

展示の断面は NACA 2412 で、セスナ 172 に使われている翼型の仲間です。流線、動く点、外板の色はどれも、迎え角やフラップを変えるたびにブラウザの中で走る計算から出ています。隅の数値は、同じ迎え角と速度を機体全体にあてはめたものです。対象は 1,111 kg のセスナ 172R で、翼面積は 16.2 m²、翼幅は 11.0 m です。

外板の青は、翼のまわりの乱されていない空気より圧力が低いことを、赤は高いことを表します。赤い矢印は揚力、灰色の矢印は抗力で、翼の上の黒い目盛りは機体の重さを示します。赤い矢印の先が目盛りに届くと、翼が機体を支えていることになります。

式で書ける翼の形

1933 年、米国航空諮問委員会(NACA)は Report 460 で、互いに関連する 78 の翼型の風洞試験の結果を発表しました。この仲間の翼型はすべて、二つの簡単な式から作られます。それぞれの翼型は 4 けたの数字で呼ばれます。2412 の最初の数字は最大キャンバーで、翼弦の 2% です。2 番目の数字は、その最大の位置を前縁から 40% 後ろに置くことを表します。最後の 2 けたは厚さで、翼弦の 12% です。

キャンバー線は、x = p でつながる二つの放物線です。x は翼弦にそって測り、前縁が 0、後縁が 1 です。

• x < p のとき: y_c = (m / p²)(2px − x²)
• x ≥ p のとき: y_c = (m / (1 − p)²)((1 − 2p) + 2px − x²)

ここで m = 0.02、p = 0.4 です。そのうえで、この線のまわりに厚さをつけます。

y_t = 5t (0.2969√x − 0.1260x − 0.3516x² + 0.2843x³ − 0.1036x⁴)、t = 0.12

Report 460 は最後の係数に −0.1015 を使っていて、後縁にわずかな厚さが残ります。模型では上面と下面がとがった点で合わさるように −0.1036 を使っています。流れの計算にはそれが必要だからです。上面と下面は、キャンバー線から直角に y_t だけ離れた点として求めます。点は、表面がいちばん強く曲がる前縁と後縁の近くほど細かく並べています。

空気が再び出会わないわけ

揚力の説明としていちばんよく聞くのは、翼の上面は下面より長いので、上を通る空気は後縁で下からの空気と同時に出会うために速く流れなければならない、というものです。速い空気は圧力が低いので、翼は上へ押される、という説明です。

NASA グレン研究センターは、この「等時間通過」説を、揚力のまちがった説明のなかでもとくによく見られるものの一つに挙げています。同センターのページは二つの問題を指摘しています。物理の法則には、二つの空気のかたまりが再び出会わなければならない理由はありません。また、この説が予想する速さでは、実際の翼が生む揚力にはまったく足りません。実際には、上面の空気は等時間通過に必要な速さよりずっと速く流れ、先に後縁に着きます。

模型で確かめられます。「時間マーカー」をオンにしてください。オレンジの線は、左から同時に出発した点どうしを結んでいます。翼のそばを通るとき、線は上面側で前へ曲がり、下面側では遅れます。迎え角 3.5° で、流れを上下に分ける線の両側に翼弦の 0.02 倍だけ離れて出発した二つのかたまりは、後縁に着くまでの時間が翼弦 0.24 個分の移動時間だけずれます。上のかたまりが後縁に着いたとき、下のかたまりはまだ道のりの約 80% までしか進んでいません。時速 180 km、翼弦 1.47 m なら、このずれは 0.24 × 1.47 m ÷ 50 m/s = 7 ミリ秒です。二つのかたまりが再びいっしょになることはありません。

数値を見ると、等時間通過では説明できない理由がわかります。この翼型では、上面は下面より 1.4% 長いだけです(翼弦の 1.028 倍と 1.014 倍)。上面の空気が 1.4% 速いだけなら、圧力差は動圧の約 (1.014² − 1) = 0.029 倍で、揚力係数は 0.03 ほどにしかなりません。流れの計算では 6° で 0.99 となり、その 30 倍以上です。上面の空気は一様流の 1.9 倍の速さに達しています。NASA が指摘するように、ライト兄弟の翼は上と下の長さが同じ薄い曲がった板でしたが、問題なく揚力を生んでいました。

揚力を本当に生んでいるもの

気流に対して傾いた翼や、曲がった翼は、そばを通る空気を下向きに曲げます。後縁のうしろの流線を見てください。少し下を向いて翼を離れていきます。NASA はこれをはっきり、気体の流れが固体によって曲げられるときに揚力が生じる、と述べています。

これを足し合わせる方法は二つあり、どちらも同じ結果になります。一つは表面全体の圧力を足し合わせる方法で、外板の色が示しているのがこれです。上面は圧力が低く、下面は高くなっています。もう一つは、曲げられた空気の運動量の変化を足し合わせる方法で、ニュートンの第 3 法則です。どちらも同じ力になります。NASA の「ベルヌーイかニュートンか」という議論についてのページは、どちらの立場も正しく、議論はどちらかを誤って使うことから生まれると述べています。

流れがどこで分かれるかに注目してください。6° では、空気は前縁の少し下、オレンジのよどみ線のところで翼に当たります。その線のすぐ上の空気は、前縁を前向きに回りこんでから上面を後ろへ流れなければなりません。この急な曲がり角で圧力がいちばん低くなります。計算では、前縁のすぐ後ろで圧力係数が −2.5、よどみ線そのものでは +1 です。

流線の計算方法

流線はパネル法で求めています。断面を 120 枚のまっすぐなパネルに分けます。各パネルには湧き出しの層をのせ、輪郭全体には強さが一つだけの一様な渦をのせます。どのパネルも空気が通り抜けず、とがった後縁から流れがなめらかに離れるように、これらの強さを決めます。この最後の条件をクッタの条件といい、揚力の大きさはこれで決まります。強さがわかれば、どの点の速度も求められ、流線は左から一歩ずつたどって描きます。

これはポテンシャル流です。空気を摩擦がなく圧縮もされないものとして扱うので、境界層がなく、それだけでは失速も抗力も予測できません。小さな迎え角で軽飛行機くらいの速さの翼なら、流線と圧力のようすはよく表せます。断面だけなら、0° で揚力係数 0.26、1 度ごとに約 0.12 ずつ増えます。

展示のうち二つの部分は、わざと簡単にしています。

• 失速を超えると、計算は失速の少し手前の角度のままにして、図全体を選んだ角度まで回し、上面のうしろのはがれた領域は計算ではなく決まりごとで描いています。そこでうず巻く点は、流れがはがれた場所を示すもので、計算した後流ではありません。
• 数値の表示はパネル法から出たものではありません。実際の翼は翼端と摩擦で揚力を失うので、下で説明する有限翼の揚力曲線を使っています。

揚力の式で数値を確かめる

翼の揚力は

L = ½ ρ v² S C_L

です。ρ は空気の密度、v は対気速度、S は翼面積、C_L は揚力係数です。数値の表示は、いまの値をこの式に入れて書き出しています。模型は海面上の標準大気 ρ = 1.225 kg/m³ と、セスナの翼面積 16.2 m² を使っています。重さは 1,111 kg × 9.81 m/s² = 10,899 N、つまり 10.9 kN です。

時速 220 km の水平飛行。 220 km/h は 61.1 m/s なので、½ρv² = 0.5 × 1.225 × 61.1² = 2,287 Pa です。必要な揚力係数は 10,899 ÷ (2,287 × 16.2) = 0.294 になります。

揚力曲線。 翼全体では C_L = a (α − α₀) です。薄翼理論による 2412 断面のゼロ揚力角 α₀ は −2.08° で、キャンバーのある断面は 0° でも揚力を生みます。傾き a は、断面について薄翼理論が与える 1 ラジアンあたり 2π から出発し、有限の翼幅の分を a = 2π ÷ (1 + 2π ÷ (π e AR)) で小さくします。アスペクト比は AR = b² ÷ S = 11.0² ÷ 16.2 = 7.47、e = 0.8 は仮定した翼幅効率です。すると a = 1 ラジアンあたり 4.71、1 度あたり 0.0822 になります。NASA の吹きおろしのページにも同じ形の補正 C_L = C_L0 ÷ (1 + C_L0 ÷ (π AR)) があり、これは e = 1 の場合にあたります。

したがって必要な角度は α = −2.08° + 0.294 ÷ 0.0822 = 1.5° で、ガイドのステップ 5 で使っている値です。公表されているセスナの巡航速度 122 ノット(226 km/h)では、同じ計算で C_L = 0.279、α = 1.3° になります。

速さの二乗。 速さを 110 km/h から 220 km/h へ 2 倍にすると、動圧は 4 倍になります。速度のスライダーを動かすと、揚力が速さよりずっと大きく変わるのがわかります。

失速

揚力が迎え角にそってまっすぐ増えるのは、ある点までです。NASA のガイドは、薄い翼型では約 ±10° の範囲で揚力が角度に比例すること、失速の点を数学的に予測するのはとても難しく、技術者は風洞試験に頼っていることを述べています。失速を超えると、境界層が上面からはがれ、翼の実質的な形が変わって、揚力が下がります。

模型では、フラップを出していない翼の最大揚力係数を 1.5 とし、17.2° でそこに達するとして、最後の 2° で曲線を丸めています。すると失速速度は

v_s = √(2W ÷ (ρ S C_Lmax)) = √(2 × 10,899 ÷ (1.225 × 16.2 × 1.5)) = 27.1 m/s、つまり 97 km/h

です。迎え角を 17° より大きくすると、展示の上で三つのことが同時に起こります。流線が上面の後ろ側から離れ、外板の青が薄れ、抗力の矢印がのびます。揚力曲線の上の点は、山の向こう側をすべり下ります。

フラップ

フラップは断面の後ろ 25% の部分で、翼弦の 75% の位置にヒンジがあります。フラップを下げるとキャンバー線の後ろが下へ曲がり、どの角度でも断面の揚力が増えます。NASA はフラップを次のように説明しています。実質的なキャンバーを大きくして揚力を増やし、後ろを向いた大きな面が抗力を加えて、着陸のために機体を減速させる助けになる、というものです。

数値の表示では、30° のフラップは同じ角度での揚力係数を 0.6 増やし、ゼロ揚力角を −2.08° から −2.08° − 0.6 ÷ 0.0822 = −9.4° へ移します。最大揚力係数は 1.88 まで上がります。この値は、フラップを全部下げたときの失速速度が 87 km/h(47 ノット)になるように選んだもので、これはセスナ 172R について公表されている、エンジン出力なし・フラップ下げの失速速度です。フラップに関する二つの数値は、この一つの公表値に合わせた模型の仮定で、測定値ではありません。

時速 100 km では ½ρv² が 473 Pa で、翼には C_L = 1.42 が必要です。フラップを下げると α = −9.4° + 1.42 ÷ 0.0822 = 7.9° で、失速まで 6.6° のゆとりがあります。フラップを上げたままだと、同じ揚力に約 15° が必要で、失速まで 2° もありません。飛行機がフラップを下げて着陸するのは、この差のためです。

パネル法だけで計算すると、フラップによる揚力の増え方はずっと大きくなります(断面の 0° での揚力係数が 0.26 から 2.40 になります)。パネル法は境界層について何も知らないからです。実際のフラップでは、境界層のせいで空気がヒンジの折れ目に沿いきれないので、増え方はもっと小さくなります。

翼の中

「内部を見る」をオンにすると外板が透明になります。軽飛行機の翼は、内側から形を保たれた薄い殻です。主桁は断面のいちばん厚いところの近くにある梁で、曲げの荷重の大部分を胴体へ伝えます。後桁は箱を閉じ、フラップのヒンジを支えます。リブは外板を翼型の形に保ち、軽くするために穴があけてあります。この模型では、桁は翼弦の 27% と 71% の位置にあります。この位置は見やすさのために決めたもので、セスナの図面から写したものではありません。

離陸の計算から分かること

100 km/hでは模型の重量を支えるのに C_L = 1.42 が必要です。ただし、これは指定された離陸速度ではなく、選んだ速度と密度での力の釣り合いです。離陸には滑走路上の加速、機首を上げるための昇降舵の効き、障害物を越える上昇経路も必要です。揚力の式にはこれらの条件がありません。計算が正しくても、この式だけで安全な滑走路長は求められません。

密度と面積を保ち、速度を120 km/hにすると33.3 m/s、動圧は約681 Paです。水平飛行に必要な係数は10,899 ÷ (681 × 16.2) = 0.988になります。100 km/hの場合より小さい迎角で同じ重量を支えられます。機体が軽くなったのではなく、翼に働く圧力の尺度が増したのです。迎角を固定すれば増えた揚力が機体を加速させ、自動的に水平飛行になるわけではありません。

計算上の限界と運用速度は区別します。セスナ172R情報マニュアルの出力なしの失速速度は、フラップ上げで51 KCAS、下げで47 KCASです。KCASはノット表示の較正対気速度であり対地速度ではありません。模型のフラップ上げの97 km/hは近似で、全ての公表値の再現ではありません。全下げの係数は公表失速速度に合わせていますが、一致する値があっても空力模型全体の検証にはなりません。

この図を操縦用チェックリストには使えません。マニュアルの性能表は重量、フラップ設定、大気条件を指定し、地上滑走と障害物越えの距離を分けます。実際の操縦にはその機体の最新マニュアルを使います。下記の保存版情報マニュアルは数値の説明用であり運航用ではありません。

速度表示より臨界迎角が重要な理由

最大 C_L 約1.5はこの表示の仮定であり、全ての翼の性質ではありません。最大値は断面形状と境界層の状態に依存し、表面の汚れでも変わります。レイノルズ数は粘性と慣性の相対的な影響を表します。滑らかなポテンシャル流の図や最大係数だけでは、これらを全て扱えません。実翼の限界には風洞試験と飛行試験が必要です。

境界層は摩擦で空気が減速する、表皮に接した薄い領域です。前縁近くの低圧のピークから後縁へ、圧力は一般に回復します。境界層の空気は高くなる圧力に逆らって進みます。運動量を失いすぎると剥離します。迎角の増加は圧力回復を急にし、大きな剥離領域を生じさせることがあります。そのため翼を傾け続けても揚力は無限には増えません。

フラップはキャンバーを増やしますが、前縁スラットは別の働き方です。翼の前方に隙間を開き、流れと圧力分布を変えて主翼が剥離前により大きい迎角で働けるようにします。有効面積を増やす高揚力装置もあります。装置ごとの試験資料が必要で、共通の倍率はありません。この展示には後縁フラップに加えてスラットもありますが、その効果はパネル法の計算ではなく規則として入れています。最大揚力係数に 0.45 を足すので、失速は約 5° 遅くなります。本物のスラットには個別の試験資料が必要です。

要求される力も失速に関わります。釣り合いを保つ水平旋回では重量より大きい合力を支える必要があります。最大係数が一定なら失速速度は荷重倍数の平方根に比例します。同じ機体でも旋回中はより高い速度で臨界迎角に達し得ます。この表示は揚力と重量だけを比較し、バンク角や運動荷重を再現しません。釣り合いの表示は飛行の安全表示ではありません。

翼端の渦に伴う抗力

揚力を生む翼の下面は一般に上面より高圧です。自由な翼端では空気が端を回り、後方に巻き上がった後流ができます。その下降運動が局所的な相対風の向きを変え、空気力には上向きだけでなく後ろ向きの成分も生じます。これが有限翼の揚力発生に伴う誘導抗力です。

NASAの式は C_Di = C_L² ÷ (π e AR)です。表示のAR = 7.47と仮定したe = 0.8では、C_L = 0.294でC_Diは約0.0046、C_L = 1.42では約0.107です。低速で係数が増えても、動圧も変わるため力が同じ比率で増えるわけではありません。同じ重量と翼で水平飛行すると低速ほど誘導抗力が増えます。有害抗力は一般に逆の傾向なので、最低速でも最高速でも全抗力の最小は保証されません。

ウィングレットは翼端付近の荷重分布と流れを変えます。端を回る流れを全て止める栓ではなく、揚力を生む機体の後流も消しません。NASAはボーイング707型機のウィングレット飛行試験で燃料使用量が6.5%減ったと報告しています。特定の試験の結果で、全ての旅客機、路線、形状に約束された削減率ではありません。同じ資料は、小型試験の一部の形状では表面積の増加で抗力が悪化したと説明しています。

この切断模型は断面であり機体全体の後流ではありません。有限翼幅の補正は数値の揚力曲線に反映されますが、色付き流線は翼端渦を解いていません。舞台の手前の翼端に描いたらせんは、揚力係数が大きいほど強くなる規則で描いた図で、計算した後流ではありません。ウィングレットの操作はありません。設計者はグライダーの長い翼、空港ゲートの翼幅制限、翼の曲げ荷重を考慮して翼幅延長と翼端装置を選びます。抗力の利益は構造と濡れ面積の追加に見合う必要があります。

薄い空気と長い離陸滑走

高度スライダーが海面のとき、画面は 1.225 kg/m³ を使います。スライダーは標準大気に従い、エベレストの高さ 8,849 m では約 0.475 kg/m³ になります。紙上で重量、面積、係数を保ち、ρ = 1.0 kg/m³と仮定すると、同じ真対気速度での揚力は1.0 ÷ 1.225 = 0.816倍です。同じ揚力には速度比√(1.225 ÷ 1.0) = 1.107が必要です。濃い空気で100 km/hが必要な条件は、この例の薄い空気では真対気速度約111 km/hになります。これは仮定した密度比較で、舞台の高度設定ではありません。

指示対気速度は計器で検出した圧力に基づきます。計器と圧縮性の補正を無視すると、同じ揚力に必要な指示速度は密度が下がってもほぼ同じで、真対気速度が上がります。無風なら対地速度も上がります。数字が大きいだけで失速余裕が増えたと解釈してはいけません。空力的に重要なのは動圧と迎角です。

FAAはこれに対応する大気の指標を密度高度と呼びます。標高の高い空港と暑い日はどちらも密度高度を高めます。低密度は推進装置の推力や出力も下げ得ます。より高い対地速度が必要なのに加速が弱くなり、どちらも離陸滑走を長くします。離陸後の上昇性能も悪くなり得るため、滑走路の先に障害物がある場合に重要です。

全ての滑走距離に足せる共通の割合はありません。風は揚力に必要な対気速度を変えずに対地速度を変えます。勾配と路面は加速を、重量は必要な力を変えます。性能表の指定条件と補正規則を使う必要があります。舞台の離陸の場面は、丸めたモデル値で高度と重さを変えるだけで、気温、風、滑走路の勾配は入れておらず、障害物越えの距離も計算しません。

操作で確かめる実験

フラップを0°にし、迎角を変えずに110 km/hと220 km/hを比較します。動圧が四倍になるので揚力も四倍になるはずです。これは迎角固定の実験で、二つの定常水平飛行の比較ではありません。その後迎角を下げて揚力を重量に合わせると係数も変わり、最終的な力には最初の四倍の関係が当てはまりません。

次に100 km/hを保ち、フラップ0°と30°を比較します。それぞれ赤い揚力矢印が黒い重量目盛に届くよう迎角を調節します。フラップを下げると小さい角度で足りるのはキャンバー増加の効果です。ただで揚力が得られるわけではありません。抗力も増え、模型の最大係数と失速角は別に定めてあります。矢印と揚力曲線の点を見て、ピーク後の力の釣り合いを通常の運用点と誤認しないようにします。

最後に3.5°で時間マーカーを表示します。偶然向かい合った点でなく、同時に放出された粒子を結ぶオレンジ色の線を追います。上側が先行します。等時間説を直接試しますが、全ての圧力や下流の運動量流束を測っているわけではありません。圧力の色は同じ計算流れの別表示です。色を消しても物理から圧力が消えるわけではありません。

各表示の限界を分けて考えます。内部表示は荷重を支える桁とリブを見せ、空力の式を変えません。流線は定常速度場の経路であり、空気の硬いレールではありません。失速後の剥離は説明用の図です。渦が本物らしく見えても、測定した乱流や機体のバフェットの予測にはなりません。

舞台を直接さわることもできます。翼そのものをドラッグすると迎え角が変わり、光るハンドルをドラッグするとフラップを下げ、スラットを出し、スポイラーを立てられます。スラットを出したまま 140 km/h で 19° にしてみてください。何もない翼ならもう失速している角度ですが、スラット付きの翼は持ちこたえます。180 km/h でスポイラーを立てると、迎え角は同じなのに揚力が重さを下回ります。離陸ボタンを押すと滑走路に切り替わります。セスナ 172R、A320、747-400、グライダー ASK 21 から 1 機と重さ、空港の高さを選ぶと、離陸の姿勢での揚力が重さに届いたところで滑走が終わります。このモデルでは、8,849 m で最大重量の A320 は 4,000 m の滑走路を使い切っても浮けず、軽くすると浮きます。これらは丸めたモデル値で、認証された性能値ではありません。