Originalgröße: Gegenstände maßstabsgetreu am Bildschirm

Warum ein Bild auf dem Bildschirm fast nie Originalgröße hat

Wer nach „Wie groß ist ein Diamant mit 1 Karat“ sucht, findet Fotos, die auf einem Telefon 2 cm und auf einem Monitor 6 cm breit sind. Das Bild weiß nicht, wie groß der Bildschirm ist, und die Webseite weiß es ebenfalls nicht. Dieses Exponat behebt das mit einem Gegenstand, den fast jeder bei sich trägt: einer Bankkarte. Sobald die Karte auf dem Bildschirm mit der Karte in der Hand übereinstimmt, wird jedes Modell auf dem Tisch in seiner wirklichen Größe gezeichnet, und das Lineal am unteren Rand misst wirkliche Millimeter.

Die 117 Gegenstände wurden ausgewählt, weil ihre Größen von jemandem veröffentlicht werden, der sie beruflich misst oder festlegt. Münzen und Banknoten stammen von den ausgebenden Münzprägestätten und Zentralbanken, Papier und Batterien aus den Normen, die ihre Größen festlegen, Bälle aus den jeweiligen Sportregeln, Insekten aus Universitätssammlungen und von Gesundheitsbehörden, der Augapfel aus einer klinischen Studie und Fossilien, Edelsteine und Gemälde aus den Museen, die sie aufbewahren. Ein Gegenstand kam nur auf den Tisch, wenn sich eine solche Quelle finden ließ. Nennt eine Quelle für eine Abmessung keinen Wert, etwa für die Dicke einer koreanischen Münze, verwendet das Modell einen eigenen Wert, den der Katalog nicht anzeigt.

Eine Karte, die überall dieselbe Größe hat

Bankkarten, die meisten Ausweiskarten und viele Führerscheine haben dasselbe Format namens ID-1, das in der internationalen Norm ISO/IEC 7810 festgelegt ist. Eine ID-1-Karte ist 85,60 mm lang und 53,98 mm breit, mit abgerundeten Ecken von etwa 3,18 mm Radius und einer Dicke von 0,76 mm. Die Norm stammt aus der Zeit geprägter Kreditkarten und wurde in Zoll ausgearbeitet, weshalb die Millimeterwerte ungewöhnlich aussehen: 85,60 mm sind 3,370 Zoll und 53,98 mm sind 2,125 Zoll.

Weil das Format so eng festgelegt ist, eignet sich eine Karte aus jedem Land als Referenz. Die Modellkarte auf dem Tisch verwendet genau diese Zahlen. Hält man eine echte Karte an den Bildschirm und verschiebt den Maßstabsregler, erfährt die Seite, wie viele CSS-Pixel ein Millimeter auf diesem Bildschirm beansprucht. Der Wert wird im lokalen Speicher des Browsers auf diesem Gerät gespeichert und sonst nirgendwo. Ein anderer Browser, ein anderes Gerät oder ein privates Fenster beginnt wieder mit dem Standardwert.

Warum die Seite die Bildschirmgröße nicht kennen kann

Webseiten werden in CSS-Pixeln angeordnet, nicht in den physischen Bildpunkten des Displays. Die CSS-Spezifikation definiert ein absolutes Zoll als genau 96 CSS-Pixel, also sind 1 mm = 96 ÷ 25,4 = 3,7795 CSS-Pixel. Diesen Wert verwendet das Exponat vor der Kalibrierung, und solange steht in der Anzeige „Nicht kalibriert“.

Das Problem ist, dass ein CSS-Pixel nicht an eine physische Länge auf dem Glas gebunden ist. Die Spezifikation bezieht es auf ein „Referenzpixel“, einen Winkel von etwa 0,0213 Grad aus Armlänge betrachtet, und erlaubt jedem Gerät einen Maßstab, der bei seinem üblichen Betrachtungsabstand angenehm aussieht. Ein Telefon, das 30 cm vor dem Gesicht gehalten wird, und ein 70 cm entfernter Monitor bezeichnen ihren Text beide als „16 px“, doch auf dem Glas sind die Buchstaben sehr unterschiedlich groß.

Unter den CSS-Pixeln liegen die Gerätepixel. Das Verhältnis zwischen beiden ist für Skripte als window.devicePixelRatio verfügbar. Ein Telefon mit einem Verhältnis von 3 zeichnet jedes CSS-Pixel mit einem Block aus 3 × 3 Gerätepixeln. Dieses Verhältnis sagt dem Browser, wie scharf er zeichnen soll, verrät aber weiterhin nichts über die physische Größe, weil der Hersteller sowohl die Pixeldichte des Panels als auch das Verhältnis festlegt. Hinzu kommt, dass die Anzeigeskalierung des Betriebssystems und der eigene Zoom des Browsers dieses Verhältnis erneut verändern. Mit Strg und + wird das CSS-Pixel größer.

Die ehrliche Antwort lautet daher, dass ein Browser die physische Größe seines Bildschirms nicht zuverlässig auslesen kann. Manche Betriebssysteme melden nativen Anwendungen eine Größe, aber Browser geben sie nicht an Webseiten weiter. Verlässlich ist nur der Vergleich des Bildschirms mit etwas, dessen Größe bereits bekannt ist. Das ist die Aufgabe der Karte.

Wie die Modelle ihre wirkliche Größe behalten

Die meisten 3D-Szenen verwenden eine perspektivische Kamera, die nähere Dinge größer erscheinen lässt. Für einen Automotor ist das richtig, hier ist es falsch. Würde die Kamera näher kommen, würde eine Ameise wachsen. Dieses Exponat ersetzt die perspektivische Projektion der Bühne durch eine orthografische: Jeder Punkt wird gerade auf den Bildschirm projiziert, sodass eine 26,50 mm breite Münze 26,50 × Maßstab CSS-Pixel bedeckt, unabhängig davon, ob die Kamera nah oder fern ist. Aus demselben Grund ist der Zoom abgeschaltet. Ziehen verschiebt den Tisch unter der Kamera, statt den Betrachter näher heranzubewegen. Die einzige Ausnahme ist die unten beschriebene Vergrößerung, die alles um eine Zehnerpotenz vergrößert und dies in der Anzeige angibt.

Die Szene ist in Millimetern modelliert. Mit dem Standardmaßstab von 3,7795 px/mm ist die 85,60 mm breite Karte 323,5 CSS-Pixel breit. Wird der Regler auf 5,00 px/mm verschoben, werden daraus 428,0 Pixel, während die 500-Won-Münze von 100,2 auf 132,5 Pixel wächst. Alle ändern sich um denselben Faktor, weil alle durch dieselbe Projektion gezeichnet werden.

Originalgröße gilt nur beim senkrechten Blick von oben. Im letzten Schritt der Führung wird der Tisch geneigt, um die Körperlichkeit der Modelle zu zeigen. Bei schräger Betrachtung verkürzen sich Längen in Blickrichtung um den Kosinus des Neigungswinkels, sodass eine unter 50 Grad betrachtete Münze nur etwa 64 Prozent so tief wie breit aussieht.

Die Gegenstände und die Herkunft ihrer Zahlen

Die Münzen lassen sich am einfachsten mit dem eigenen Kleingeld überprüfen. Die Bank of Korea nennt für die 500-Won-Münze 26,50 mm Durchmesser und 7,70 g sowie für die 100-Won-Münze 24,00 mm und 5,42 g, beide aus Kupfernickel. Die Royal Mint nennt für den britischen Penny 20,30 mm Durchmesser und für die Variante aus verkupfertem Stahl eine Dicke von 1,65 mm. Die Tabelle der Bank of Korea nennt keine Dicke, weshalb die koreanischen Münzen eine modellierte Dicke erhalten, die von oben ohnehin nicht zu sehen ist.

Die Insekten haben Größenbereiche, weil Tiere unterschiedlich groß sind. Der Ameisenbestimmungsschlüssel der University of California nennt für Arbeiterinnen der Rasenameise eine Länge von 3/16 Zoll, etwa 4,8 mm, und merkt an, dass alle Arbeiterinnen gleich groß sind. Das Animal Diversity Web der University of Michigan nennt für den Siebenpunkt-Marienkäfer 6,5 bis 7,8 mm Länge und für Honigbienenarbeiterinnen 10 bis 15 mm. Die Modelle liegen mit 7,2 mm und 12,5 mm ungefähr in der Mitte dieser Bereiche.

Der Diamant mit 1 Karat erforderte eine kleine Rechnung. Ein Karat ist ein Gewicht, keine Größe: GIA definiert ein metrisches Karat als 0,2 g. Laut Handbook of Mineralogy hat Diamant eine Dichte von 3,515 g/cm³, sodass 200 mg Diamant ein Volumen von 200 ÷ 3,515 = 56,90 mm³ besitzen. Das Modell ist ein runder Brillant mit einer Tafel von 53 Prozent seiner Breite, einem Kronenwinkel von etwa 34,5 Grad und einem Pavillonwinkel von etwa 40,75 Grad, üblichen Proportionen für einen gut geschliffenen Stein. Die Größe ergibt sich, indem der facettierte Stein skaliert wird, bis sein Volumen 56,90 mm³ beträgt. Der resultierende Durchmesser liegt bei etwa 6,42 mm. Juweliere nennen für einen gut geschliffenen runden Einkaräter gewöhnlich 6,4 bis 6,5 mm; ein tieferer Schliff verbirgt mehr Gewicht unter der Oberfläche und wirkt von oben kleiner.

Der Augapfel folgt einer Studie von 2014, die CT-Aufnahmen von 250 Erwachsenen mit gesunden Augen vermessen hat. Sie nennt für das erwachsene Auge etwa 24,2 mm Durchmesser, wobei die Einzelwerte ungefähr zwischen 21 und 27 mm liegen. Die klare Hornhaut vorne ist etwa 11,8 mm breit.

Der T.-rex-Zahn ist laut Australian Museum einschließlich Wurzel etwa 30 cm lang. Nur die Krone ragte über das Zahnfleisch. Die Wurzel, die den Zahn im Kiefer hielt, machte einen großen Teil dieser Länge aus. In Originalgröße ist der Zahn breiter als die meisten Laptopbildschirme, sodass ein Teil über den Rand hinausragt. Das ist beabsichtigt: Um die Spitze zu sehen, muss der Tisch verschoben werden.

Die Coco de Mer ist die Doppelnuss einer Palme, die wild nur auf zwei Inseln der Seychellen wächst. Das Herbarium der University of Reading, das ein Exemplar besitzt, beschreibt die Frucht als 40 bis 50 cm breit und als Hülle des größten Samens im Pflanzenreich. Das Modell misst 45 cm. Auf einem Telefon ist immer nur ein kleiner Ausschnitt ihrer Oberfläche sichtbar.

Münzen aus fünf Ländern

Münzen eignen sich am besten für eine zweite Kontrolle, weil fast jeder eine besitzt und ihre Hersteller die Größen auf 0,01 mm genau veröffentlichen. Der Katalog enthält 32 Münzen aus Korea, Japan, den Vereinigten Staaten, dem Euroraum und dem Vereinigten Königreich.

Manche Paare sind so ähnlich, dass man sich täuschen kann. Die koreanische 500-Won- und die japanische 500-Yen-Münze messen beide 26,5 mm im Durchmesser. Die 5-Eurocent-Münze misst 21,25 mm, die 10-Cent-Münze nur 19,75 mm, sodass die weniger wertvolle Münze größer ist. Die britischen 20p- und 50p-Münzen haben sieben gekrümmte Seiten. Jede Seite ist ein Kreisbogen mit dem Mittelpunkt in der gegenüberliegenden Ecke, sodass die Münze in jeder Messrichtung dieselbe Breite hat und weiterhin durch einen Münzschlitz rollt. Das Modell zeichnet sie entsprechend mit einer Breite von 21,4 mm und 27,3 mm.

Bei der Dicke unterscheiden sich die Quellen. United States Mint, Europäische Zentralbank und Royal Mint veröffentlichen sie alle, sodass 22 Münzen eine echte Dicke erhalten, von 1,35 mm beim US-Dime bis 2,8 mm bei der zwölfseitigen £1-Münze. Bank of Korea und Japan Mint nennen Durchmesser und Gewicht, aber keine Dicke. Diese Münzen bekommen eine Modelldicke, der Katalog zeigt nur ihren Durchmesser, und sie werden beim Dickentest ausgelassen.

Banknoten und Papier

Banknoten zeigen unterschiedliche Gestaltungsentscheidungen. Jede US-Banknote von 1 Dollar bis 100 Dollar misst 6,14 mal 2,61 Zoll, also 155,96 mal 66,29 mm, und ist etwa 0,11 mm dick. Der Euro macht es umgekehrt: Der 5-Euro-Schein misst 120 mal 62 mm, und mit jeder Wertstufe steigt die Länge bis auf 160 mal 82 mm beim 500-Euro-Schein, damit Menschen mit eingeschränktem Sehvermögen die Scheine anhand ihrer Größe unterscheiden können. Koreanische Banknoten liegen dazwischen. Alle sind 68 mm hoch und werden je Wertstufe 6 mm länger, von 136 mm bei 1000 Won bis 154 mm bei 50.000 Won.

Papier folgt ISO 216. Ein A0-Bogen hat eine Fläche von einem Quadratmeter und ein Seitenverhältnis von 1 zur Quadratwurzel aus 2; jedes kleinere Format entsteht durch Halbieren des nächstgrößeren. Deshalb misst A4 210 mal 297 mm, A5 148 mal 210 mm und A6 105 mal 148 mm. Wird ein beliebiger A-Bogen halbiert, bleibt das Verhältnis seiner Seiten gleich. Nordamerika verwendet stattdessen Letter mit 8,5 mal 11 Zoll, das 6 mm breiter und 18 mm kürzer als A4 ist. Umschläge folgen ISO 269: Ein DL-Umschlag mit 110 mal 220 mm nimmt einen dreifach gefalteten A4-Bogen auf. Keiner dieser Bögen passt in Originalgröße auf ein Telefon, was deutlich daran erinnert, wie klein ein Telefonbildschirm ist.

Batterien, Speicherkarten und Scheiben

Batteriegrößen werden durch IEC 60086 festgelegt, und die Datenblätter der Hersteller geben die Höchstabmessungen an. Eine AA-Zelle misst 14,5 mm im Durchmesser und 50,5 mm in der Länge, eine AAA-Zelle 10,5 mal 44,5 mm und eine D-Zelle 34,2 mal 61,5 mm. Der Name einer Knopfzelle nennt ihre Größe: Eine CR2032 hat 20 mm Durchmesser und 3,2 mm Dicke. Speicherkarten folgen der SD Association: 32 mal 24 mm für SD und 15 mal 11 mm für microSD, kleiner als die meisten Fingernägel. Eine CD hat 120 mm Durchmesser, ein Loch von 15 mm und eine Dicke von 1,2 mm, alles festgelegt in ECMA-130. Die SIM-Karte im Telefon begann als vollständige ID-1-Karte und wurde dreimal verkleinert, auf 25 mal 15 mm, dann 15 mal 12 mm und schließlich als Nano-SIM auf 12,3 mal 8,8 mm.

Bälle mit Größen nach dem Regelwerk

Sportverbände schreiben Ballgrößen in ihre Regeln, allerdings häufig als Umfangsbereich, weil ein Ball leichter mit einem Maßband als mit einem Messschieber zu messen ist. Das Modell verwendet die Mitte des Bereichs und teilt sie durch Pi. Ein Fußball muss 68 bis 70 cm Umfang haben; sein Durchmesser liegt also zwischen 21,6 und 22,3 cm, und das Modell misst 22,0 cm. Ein Basketball der Größe 7 hat 749 bis 780 mm Umfang, ungefähr 23,8 bis 24,8 cm Durchmesser. Ein Baseball hat 9 bis 9,25 Zoll Umfang, also 72,8 bis 74,8 mm Durchmesser. Manche Regeln nennen einen Durchmesser: Ein Tischtennisball misst genau 40 mm, ein Poolbillardball 2,25 Zoll, und ein Golfball muss mindestens 1,680 Zoll messen, ganz ohne Obergrenze.

Kleiner als ein Millimeter

In Originalgröße sind manche Gegenstände kleiner als ein Pixel. Ein rotes Blutkörperchen hat etwa 7,5 µm Durchmesser und würde beim Standardmaßstab ungefähr 0,03 CSS-Pixel bedecken. Dafür besitzt das Exponat die Vergrößerung, die den Maßstab mit 10, 100, 1000 oder 10.000 multipliziert. Das Raster auf dem Tisch und das Lineal werden dabei kleiner, sodass das Lineal auf Mikrometer umschaltet und das Modell weiterhin korrekt misst; die Anzeige meldet, dass die Ansicht vergrößert ist und nicht mehr Originalgröße zeigt.

Die winzigen Gegenstände stammen aus den Quellen, die sie definieren oder messen. Das kleinste dokumentierte erwachsene Insekt, eine männliche Zwergwespe, ist 0,139 mm lang. Ein Kopflaus-Ei misst laut CDC etwa 0,8 mal 0,3 mm. Sedimentgrößen stammen aus der von Geologen verwendeten Wentworth-Skala: Ton ist feiner als 1/256 mm, Schluff reicht bis 1/16 mm, Sand von dort bis 2 mm, danach folgen Feinkies, Kiesel bis 64 mm und Steine bis 256 mm. Der Katalog zeigt jeweils das größte Korn jeder Klasse, weshalb auf dem Etikett „bis zu“ steht.

Augen, Eier und Tiere

Augen bilden eine anschauliche Reihe. Ein erwachsener menschlicher Augapfel hat etwa 24,2 mm Durchmesser. Ein Straußenauge misst etwa 5 cm, das größte Auge aller Landtiere und größer als dessen Gehirn. Das im neuseeländischen Te Papa gemessene Auge des Kolosskalmars hat etwa 27 cm Durchmesser, ist breiter als ein Fußball und das größte bei einem Tier vermessene Auge. Die Eier reichen vom 1,3 cm langen Ei des Rubinkehlkolibris bis zum Straußenei mit etwa 15 mal 13 cm. Auch ein Neugeborenes ist dabei, mit 49,9 cm, dem WHO-Median der Körperlänge bei der Geburt für Jungen.

Museumsobjekte

Museen veröffentlichen die Größen ihrer berühmten Objekte, und manche davon überraschen Menschen. Die Mona Lisa misst 77 mal 53 cm, ungefähr so viel wie ein kleines Poster. Der Hope-Diamant wiegt 45,52 Karat, ist aber nur 25,60 mm lang. Der internationale Kilogrammprototyp, der die Einheit von 1889 bis 2019 definierte, ist ein Zylinder mit 39 mm Höhe und 39 mm Durchmesser. Die Venus von Willendorf ist 11 cm hoch, klein genug für eine Hand. Der Stein von Rosette ist 112,3 cm hoch, 75,7 cm breit und 28,4 cm dick und liegt mit der Vorderseite nach oben auf dem Tisch, sodass die Inschriften betrachtet werden können.

Größer als der Bildschirm

Manche Gegenstände sind nur abschnittsweise sichtbar. Der National Park Service nennt für den Zeigefinger der Freiheitsstatue 8 Fuß Länge und für eines ihrer Augen 2 Fuß 6 Zoll Breite. Ein Spiegelsegment des Webb-Teleskops misst zwischen gegenüberliegenden Seiten 1,32 m. SUE, der T. rex im Field Museum, hat einen etwa 5 Fuß langen Schädel. Am größten ist der Blauwal, für den NOAA Fisheries bis zu 110 Fuß, ungefähr 33,5 m, angibt. Auf einem 30 cm breiten Laptopbildschirm sind das mehr als hundert Bildschirme.

Ist ein Gegenstand breiter als der Bildschirm, erscheint am oberen Bühnenrand ein Streifen. Er zeigt die Länge des Gegenstands und welcher Teil davon gerade auf dem Bildschirm zu sehen ist. Mit „Entlangschieben“ oder durch Antippen des Streifens kann man von einem Ende zum anderen wandern. Die Anzeige zählt, wie viele Bildschirme der Gegenstand beim aktuellen Maßstab breit ist.

Die eigene Hand als Lineal

Menschen beurteilen Größen anhand ihres eigenen Körpers. Wird „Eigene Hand“ eingeschaltet, erscheint der Umriss einer Hand auf dem Tisch. Die eigene Hand wird mit einem Lineal von der Handgelenksfalte bis zur Spitze des Mittelfingers gemessen und „Handlänge“ auf diesen Wert eingestellt. Die Proportionen des Umrisses sind ein Modell; seine Länge entspricht der eigenen. Ein T.-rex-Zahn samt Wurzel ist länger als die meisten erwachsenen Hände. Ein 5-Euro-Schein ist kürzer.

Was sich ausprobieren lässt

Unter den Bedienelementen stehen sechs kleine Aufgaben. Den Bildschirm kalibrieren. Drei Gegenstände finden, die kleiner als 1 mm sind. Drei Gegenstände finden, die länger als die eigene Hand sind. Die Dicke von drei Münzen auf 0,15 mm genau schätzen: Die Münze steht auf ihrer Kante, sodass ihre Dicke in Originalgröße gezeichnet wird, und ein roter Balken zeigt daneben die Schätzung. Die gesamte Länge von etwas abgehen, das mehr als zehn Bildschirme breit ist. Fünfmal hintereinander den längeren von zwei Gegenständen auswählen. Jede abgeschlossene Aufgabe öffnet eine weitere Karte mit verborgenen Fakten. Die Aufgaben werden im Browser geprüft und nur hier gespeichert.

Wie 117 Gegenstände auf einem Telefon schnell bleiben

Alle Gegenstände gleichzeitig zu zeichnen würde ein Telefon verlangsamen, und die meisten wären ohnehin außerhalb des Bildschirms. Gegenstände werden erst beim ersten Anzeigen aufgebaut. In der Größenreihe, in der alle 117 vom roten Blutkörperchen bis zum Blauwal hintereinanderstehen, zeichnet das Exponat nur die Gegenstände nahe dem Bildschirm und baut beim Ziehen höchstens zwei neue pro Bild auf. Münzen, Bälle, Banknoten und Bögen teilen sich jeweils eine Form, die auf die Größe skaliert wird, und die Texturen sind kleine Zeichenflächen, die beim ersten Erscheinen des Gegenstands gezeichnet werden. Auf langsam zeichnenden Geräten sind die Materialien einfacher und die Schatten ausgeschaltet.

Was das Modell vereinfacht

Ameise, Marienkäfer und Biene bestehen aus glatten Ellipsoiden und dünnen Röhren. Echte Beine haben mehr Gelenke, echte Marienkäferflecken variieren, und echte Bienen tragen verzweigte Haare, die ein Modell dieser Größe nicht darstellen kann. Die gesamte Länge, also der Teil, um den es im Exponat geht, folgt den angegebenen Quellen.

Der Diamant besitzt 16 Facetten um die Krone und 16 um den Pavillon, weit weniger als ein echter runder Brillant. Sein Volumen und damit sein Durchmesser werden aus dem tatsächlich aufgebauten Modell berechnet.

Die Münzen tragen ihren Wert als erhabene Zahl statt des vollständigen Münzbilds. Handumriss, Walgestalt, Venusfigur und SUEs Schädel sind grobe Formen; nur ihre Gesamtlängen folgen den Quellen. Die Mona Lisa ist ein einfacher Platzhalter auf einer Tafel der richtigen Größe, keine Kopie des Gemäldes. Die Dicke von Papier, den meisten Banknoten und koreanischen sowie japanischen Münzen ist ein Modellwert, weil die Quellen keine nennen. Der T.-rex-Zahn ist ein gekrümmter Kegel mit leicht abgeflachtem Querschnitt und kleinen Zacken entlang der Kronenränder. Die Coco de Mer besteht aus zwei verbundenen Lappen.

Die Kalibrierung überprüfen

Nachdem die Karte angepasst wurde, wird eine echte Münze auf dem Bildschirm über ihr Modell gelegt. Stimmen die Ränder überein, ist die Kalibrierung gut. Ein Kunststofflineal entlang des Bildschirmlineals sollte denselben Wert anzeigen. Wird der Browserzoom oder die Anzeigeskalierung geändert, ändert sich die Größe des CSS-Pixels, und die Kalibrierung muss wiederholt werden. Die Schaltfläche „96 dpi“ löscht den gespeicherten Wert und kehrt zum Standard zurück.

Doppelter Durchmesser bedeutet nicht doppelte Masse

Mit dem Diamanten lässt sich Länge von Volumen unterscheiden, ohne dem Katalog einen weiteren Gegenstand hinzuzufügen. Man stelle sich einen zweiten Stein mit genau derselben Form und Dichte vor, dessen sämtliche Längenabmessungen aber verdoppelt sind. Dies ist eine Rechnung über ähnliche Körper, kein zweites vermessenes Exemplar. Sein Durchmesser läge bei etwa 12,84 mm statt 6,42 mm. Jeder Querschnitt hätte die vierfache Fläche, und durch Aufschichten dieser Querschnitte über die doppelte Höhe entstünde das achtfache Volumen. Bei gleicher Dichte steigt auch die Masse um das Achtfache: Aus einem Stein mit 1 Karat wird ein Stein mit 8 Karat, der 1,6 g statt 0,2 g wiegt.

In Symbolen ergibt ein Längenfaktor k einen Flächenfaktor k² und einen Volumenfaktor k³. Oft ist die umgekehrte Rechnung nützlicher. Ein Diamant mit 2 Karat und denselben Proportionen hätte einen Durchmesser von etwa 6,42 × ∛2 = 8,09 mm, nicht 12,84 mm. Das ist nur etwa 26 % breiter als das Modell mit 1 Karat. Auf einem Foto ohne Lineal kann dieser bescheidene Unterschied schwer einzuschätzen sein. Die Rechnung setzt voraus, dass der Schliff geometrisch ähnlich bleibt; zwei echte Steine mit verschiedenen Tiefen müssen diesem Durchmesserverhältnis nicht folgen.

Das erklärt auch, warum der Tisch aus einem Umriss allein kein Gewicht liefern kann. Eine hohle und eine massive Kugel können denselben Außendurchmesser, aber sehr unterschiedliche Massen haben. Der Längenkatalog modelliert keine inneren Hohlräume und weist seinen Gegenständen keine gemeinsame Dichte zu. Die Vergrößerung ändert den Darstellungsmaßstab, nicht die physische Masse des Gegenstands. Die Volumenrechnung verwendet die im Handbook of Mineralogy angegebene Diamantdichte und die oben beschriebenen Modellproportionen.