纸飞机：折法与橡筋动力模型飞行

一张会飞的纸

松手放下一张打印纸，它从不会笔直落下。它先向一侧滑动，停住，翻面，再滑回来，最后落在你没有预料到的地方。把同一张纸折十几次再扔出去，它却能沿着平稳的路线飞过学校体育馆。没有添加任何东西。没有发动机，没有胶水，连额外一克重量也没有。折叠只是把纸从一个地方移到了另一个地方。

本展览介绍这些折叠的作用。桌上有十二种纸飞机，每一种都由一张 A4 纸逐步折成。你可以在任意一步停下，转动模型，再展开它，查看留下的折痕。飞机折好后，人体模型会把它掷向体育馆另一端，你看到的飞行根据刚才折出的形状计算：机翼面积、翼展、重量分布以及升降舵的弯折程度。还有另一类模型，即橡筋动力飞机，由扭紧的橡筋环带动螺旋桨旋转，持续几秒或接近 30 分钟。

场景中的数值是模型值。它们来自简化的飞行模型和实际折叠几何形状，而非风洞。文中涉及的纪录（纸飞机最远飞行距离、最长留空时间、橡筋动力室内模型最长飞行时间）来自吉尼斯世界纪录和世界航空运动联合会 FAI。

模型左上方的标签页可以切换三种活动。「折叠」在切割垫上逐步展示折法，每次移动都有箭头，折线画在纸上，一双人体模型的手显示握持位置。「飞行」把折好的飞机放进学校体育馆、大厅或运动场投掷线起点的一只手中。「橡筋动力」切换到工作台，在那里逐件组装三种橡筋动力模型，再上弦放飞。控制面板下方的实验室包含十二项任务、所有已折叠并放飞的飞机列表、场景中的十三件隐藏物品、纪录，以及一叠每张都以「其实」开头的卡片。

为什么平纸飘摆，纸飞机却能滑翔

2022 年，纽约大学应用数学实验室的一组研究人员与康奈尔大学的一位物理学家着手回答一个看似属于儿童的问题：纸飞机要具备什么条件才能平稳滑翔？他们发表于《Journal of Fluid Mechanics》的论文从下落的纸张讲起。平整且重量分布均匀的纸会不断翻滚。为了让它滑翔，他们沿前缘贴上薄金属胶带，每次多贴一点，再次投出。

结果呈现出明确的规律。重量位于纸张中心或只略微偏前时，纸会飘摆或翻滚。重量远在前方时，它会俯冲坠地。只有在两者之间，也就是研究人员所说的「最佳区间」，它才会滑翔。纽约大学新闻稿指出，真正的纸飞机通过两种办法之一达到这种状态：将前缘反复折叠，或加一个回形针。两者都会使质心前移。

这是在桌面上首先要留意的现象。每次把纸折向机头，前方就会增加一层。例如飞镖型先将两个角折向中线，再把新形成的斜边向内折一次。折好时，飞机前面三分之一的部分有六层或八层纸，后面三分之一只有两层。纸没有变重，但重量向前移了。

纽约大学团队还根据测量结果建立了「飞行模拟器」，用数学模型再现他们观察到的飘摆、翻滚、滑翔和俯冲。研究人员表示，纸飞机保持平飞的方式与带尾翼的常规飞机的稳定机制截然不同，这也是这样一个简单物体需要用流体力学论文来解释的部分原因。

折叠模型怎样工作

折叠按照纸的实际性质建模：纸不会拉伸。每一步都指定一条折线以及要移动的纸张部分。移动前，折线经过的每块纸片都会沿线切分，这样移动部分就能像刚性折片一样绕线转动，其余部分保持不动。平折会让折片转过 180 度，并叠在上方（谷折）或下方（山折）。最后几步并不折平：机翼在机身两侧各向下转约 85 度，翼尖弯折，后缘上翘形成升降舵。

由于纸始终只是切分和转动，从不拉伸，每一步的总面积都恰好保持为一张 A4 纸的面积 623.7 cm²。本页发布前运行的检查会确认十二种飞机的每一步都符合这一点。你可以在最后打开折痕图，它就是纸张所有切分线的记录，并根据从纸张正面看是谷折还是山折来着色。蓝色虚线表示谷折，红色点划线表示山折，较浅的线表示折过后又展开的折痕。

同一条折痕从一侧看像谷折，从另一侧看却像山折。折片已经翻过来时，你看到的谷折在纸张正面就是山折。折痕图始终按照正面视角绘制，所以对每一步都做谷折的人来说，其中有些线会出乎意料。

升力、阻力和滑翔角

滑翔机没有发动机，因此始终在空气中向下飞行。NASA 格伦研究中心在其《Beginner's Guide to Aeronautics》中以莱特兄弟的滑翔机为例解释了基本几何关系，并把纸飞机称为滑翔机最明显的例子。稳定滑翔时，飞机沿着以滑翔角向下倾斜的直线下降。三个力达到平衡：重力竖直向下，阻力沿航迹向后，升力与航迹垂直。通过几何推导，NASA 表明滑翔角的正切等于阻力除以升力：

tan(滑翔角) = D / L = 阻力系数 / 升力系数

反过来看，升阻比 L/D 表示滑翔机每下降一米能前进多远。L/D 为 5 的飞机每损失一米高度就能飞行 5 m。从离地 1.9 m 的手中水平掷出，在完全稳定的滑翔中，这样的飞机大约能前进 9.5 m 才落地。一次良好投掷的大部分距离来自投掷赋予的额外速度和高度，飞机随后逐渐消耗它们。

升力和阻力本身遵循 NASA 的升力及阻力方程：

L = C_L × ½ ρ V² × A, D = C_D × ½ ρ V² × A

其中 ρ 是空气密度（室内约为每立方米 1.2 kg），V 是速度，A 是机翼面积，C_L 和 C_D 是升力系数和阻力系数。NASA 指出，这两个系数把形状和角度的所有复杂影响分别归纳为一个数字，通常通过风洞测量。本展览根据折叠形状估算它们，所以读数称之为模型值。

速度的平方很重要。一架能以 3 m/s 稳定飞行的飞机，以 12 m/s 掷出时受到的升力是所需升力的 16 倍。额外的升力不会让它保持平飞，而会使航迹向上弯曲，往往形成筋斗。观察特技飞机：由于升降舵大幅上翘，它只需很低的速度就能产生很大升力，因此用力投掷会让它径直向上翻过去。

短机翼，下降快

纸飞机的机翼短而宽。由 A4 纸折成的飞镖型翼展约 16 cm，机翼面积约 266 cm²（由折叠形状得到的模型值），因此其展弦比，即翼展平方除以面积，约为 1。客机机翼的展弦比约为 9，高性能滑翔机则超过 20。

NASA 关于诱导阻力的页面解释了这为什么重要。空气从机翼下方的高压区绕过翼尖流向上方的低压区，卷成两个涡。这种旋流带来额外阻力，它随升力系数的平方增大，随展弦比增大而减小：

C_Di = C_L² / (π × AR × e)

其中 e 是效率因子，NASA 给出的矩形机翼数值约为 0.7。展弦比为 1 时，诱导阻力比细长机翼大得多。NASA 的机翼几何页面清楚说明了这种取舍：展弦比更高，阻力更小，升阻比更高，滑翔角更好。这是模型中飞镖型纸飞机的 L/D 只有约 5 的主要原因，也是远距离设计尽量在纸张允许的范围内保持机翼宽而平的原因。

短机翼的角度每增加一度，升力增量也更小。模型使用经典的有限翼修正，其中每弧度 2π 的二维升力线斜率受翼尖涡下洗影响而降低：a = a0 / (1 + a0 / (π AR))。展弦比为 1 时，结果约为每弧度 2.1，只有无限长机翼数值的三分之一。

真飞机的数值从哪里来

NASA 面向中学课堂的纸飞机活动要求学生从五种设计中折一种，分别测试飞行距离和留空时间，再用 NASA 的 FoilSim 程序把翼型升力与机翼表面积联系起来。本展览也遵循相同的过程：测量形状，估算升力，与飞机实际表现比较。活动最后要求学生折出更好的飞机，并解释改动为什么有效。

平衡：质心与升力中心

如果一阵抬高机头的风同时产生把机头压回去的力，飞机在俯仰方向上就是稳定的。对于没有独立尾翼的机翼，只有质心位于额外升力作用点之前才会这样，这个点称为中性点，在这里也叫升力中心。两点距离除以机翼平均弦长，就是静稳定裕度。读数中称之为平衡裕度。

NASA 的重心页面介绍了工程师如何找到平衡点：对于具有对称线的均匀物体，它就在这条线上；对于复杂物体，它是各部分位置按重量计算的加权平均。本展览对折叠纸张做的正是这个计算。每块纸每平方厘米的质量相同，普通复印纸为每平方米 80 g，因此质心就是所有纸片在折叠后位置的面积加权平均。飞镖型的质心约在纸张长度中点后方 13 mm。

升力中心更难确定。细长平直机翼的升力中心约在前缘后方四分之一弦长处。对于很短的机翼，细长翼理论将其向后移，靠近面积中心。模型根据展弦比混合这两种情况，得到飞镖型的升力中心约在中点后方 18 mm。未加配重的飞镖型平衡裕度只有约弦长的3%：能飞，但勉强稳定。

在机头加一个回形针（模型中为 0.5 g），质心前移约 14 mm；裕度增至约12%。两个回形针达到18%，三个达到24%。场景中可以看到两个标记移动：黑黄球是质心，蓝环是升力中心。

裕度并非越大越好。机头很重的飞机倾向于以小迎角飞行，因此必须飞得很快才能产生足够升力。在模型中，飞镖型的稳定滑翔速度从无回形针时约 2.9 m/s，增加到一个回形针时约 4.2 m/s、两个时 5.3 m/s。这就是纽约大学结果中「俯冲坠地」的那一端。

为什么重量偏后的飞机不一定翻转

纽约大学的研究指出了教科书中的飞机没有体现的现象：平板的压力中心会随角度变化。小角度时它靠近四分之一弦长处；平板向 90 度倾斜时，它向后移到中央。模型包含这种移动。因此，质心略微位于升力中心后方的飞机不会简单地翻转。它会抬头，直到压力中心后移得足够远，在大迎角下达到平衡，然后以部分失速状态缓慢而陡峭地下降。没有回形针的折边滑翔机就是这样：它会失速并缓缓下沉，而不是滑翔。两个回形针能纠正它。

重量正好位于中央的纸，在小于 90 度的任何角度都没有这样的平衡点，因此会翻滚。把一张普通纸平拿后松手，就能看到区别。

升降舵：决定速度的一点弯折

大多数纸飞机说明最后都会说「把后边缘略微向上弯」。这些弯边就是升降舵。将后缘向上弯会使机翼形成反弯度，从而抬起机头。在模型中，它表现为与弯折程度成正比的抬头俯仰力矩。平衡裕度稳定时，飞机会在一个迎角下稳定下来，此时抬头力矩与作用于质心后方的升力所产生的低头力矩相互平衡。升降舵偏转更大意味着配平角更高，同样速度下升力更多，因此滑翔更慢。

对于未加配重的飞镖型，模型给出以下配平滑翔状态（模型值）：

最佳 L/D 在中间。升降舵偏转太小，飞机相对其机翼飞得太快，阻力会白白消耗高度；偏转太大，则会接近失速飞行，阻力急剧上升。移动升降舵滑块并观察虚线：它表示当前设置下下一次投掷的航迹，每次移动控制项都会重新计算。

升降舵也解释了一个常见问题：飞机爬升，停住，然后下坠。升降舵偏转很大时，飞机只需很低的速度就能飞行，因此正常投掷对它来说已经太快。额外升力让航迹上弯，飞机在顶点减速，如果爬升足够陡，就会失速。减小一点升降舵偏转，或投得更轻、更平。

投掷：速度、角度，以及为什么用力会翻筋斗

掷出的飞机最初速度远高于稳定滑翔速度。之后会发生什么，取决于配平。配平速度为 3 m/s、以 11 m/s 掷出的飞机，其升力约为所需的 13 倍。它会爬升、减速，再转入平稳滑翔，常伴随称为长周期振荡的轻微上下起伏。在模型中，飞镖型以 11 m/s、6 度从 1.9 m 高处掷出，会升至约 4.4 m，再滑翔下降，约 7 秒后落在约 24 m 远处。

投得更用力，它就会爬得更高再稳定下来：在大厅中，同一架飞镖型以 25 m/s 掷出，会升至接近 10 m，落在约 31 m 远处。距离不会随投掷速度一直增加，因为大部分额外速度变成了高度并被阻力消耗。远距离型和箭型的升降舵偏转很小，机头配重很大，配平速度更高，能保留更多投掷速度。

另一种情况是留空投掷。日本折纸飞机协会留空项目的参赛者会尽可能高地将飞机近乎竖直向上掷出；协会的项目页面说，这项比赛由向上的投掷和飞机配平决定。在模型中，留空滑翔机近乎竖直投出后，在体育馆中爬升约 10 m，在顶点几乎完全停下，然后必须翻转。上反角较大（机翼抬起成浅 V 形）的飞机倒置时会自行滚转回正；模型用顶点处的一次半滚转表现这一过程，再让飞机盘旋滑翔下降。

模型下方栏中的投掷板能让你迅速体会这一点。从红点拖动：拖动长度决定速度，方向决定角度。然后用投掷速度和角度滑块试同一架飞机，虚线会在投掷前显示结果。

上反角和转弯

上反角是机翼高于水平面的角度。NASA 的机翼几何页面说，设置它是为了滚转稳定性：带一定上反角的机翼发生轻微滚转后会回到原位。这里纸飞机的上反角约为 3 至 12 度，由折叠形状测得。「转弯」滑块使飞机倾斜形成坡度，让一部分升力把它拉向侧面，进入圆周飞行。室内留空飞行会有意盘旋，使飞机留在大厅内。

风

运动场上有风。逆风降低飞机相对地面的速度，却不降低相对空气的速度，因此落点更近；顺风会带它飞得更远。场地前方约 22 m 处还有一股上升热气流，空气缓缓上升，慢速飞机能多留空一会儿。模型中的体育馆和大厅没有风，这也是吉尼斯在室内测量距离纪录的原因之一。

十二种飞机，十二种取舍

十二种设计都由同一张 5 g 纸折成。差异来自折叠将纸放在什么位置。表中列出模型在各机型默认配平下的结果（模型值；距离对应体育馆内的默认投掷）。

有几个明显的规律。三角翼的翼面远大于其他机型，因为它的角只折过一次，但大部分纸位于后方，质心太靠后：加回形针之前它会失速。箭型恰好相反：经过三次收窄，机翼很小，平衡位置很靠前，因此飞得快而直，却下沉很快。翼梢小翼飞镖型的上翘翼尖减少了一部分升力面积，也使升力中心前移。折边滑翔机是纽约大学实验的纸张版本：它唯一的机头配重来自卷起的前缘，单靠这一点还略显不足。留空滑翔机和特技飞机在表中表现较差，是因为其默认投掷并非为了距离：一个向上，另一个翻筋斗。

飞镖型和中村锁式等名称是这些形状的常用名称。这里的折叠顺序是为展览绘制的通用版本，并非照搬任何特定已发表图纸。

模型无法展示的折纸技巧

真实折纸中有些习惯和折叠顺序一样重要。用拇指指甲沿每条折痕用力压实，使纸层保持平整。保持两侧一致：左翼和右翼的折法相差几毫米，飞机就会转弯。每次投掷前，从后方检查机翼。从机尾看，两翼都应以相同的浅 V 形抬起，升降舵也应弯起相同的小角度。模型中的两侧始终完美一致，这也是其飞机比大多数纸飞机飞得更直的原因之一。

距离纪录

吉尼斯世界纪录设有纸飞机最远飞行距离纪录。纪录页面公布的规则说，这项纪录由个人在室内投掷纸飞机创造，距离以米计，精确到 0.01 m，飞机必须由一张纸折成且能飞行，并具有清晰可辨的机翼。

现纪录为 98.43 m。2025 年 12 月 28 日，Liu Liwen 在中国上海、其他五名学生的支持下掷出这一距离；吉尼斯表示，这个团队研究了工程学和空气动力学，并为此次挑战进行了长期训练。

纪录逐步提高：

• 根据吉尼斯 2022 年的新闻报道，该项首个吉尼斯纪录由 Tony Felch 于 1985 年在美国威斯康星州拉克罗斯创造：58.82 m。
• 2012 年 2 月 26 日，四分卫 Joe Ayoob 和纸飞机设计师 John M. Collins（美国）达到 69.14 m。
• 2022 年 4 月 16 日，在韩国大邱，三人团队达到 77.134 m。Kim Kyu Tae 负责投掷，Shin Moo Joon 负责折叠，马来西亚的 Chee Yie Jian 负责设计。共测量八次投掷；即使最短的 71.813 m 也足以打破 2012 年纪录。团队使用了 John Collins 用过的同款硬挺 100 g 纸（Conqueror CX22），并在挑战前两个月完成一次 78 m 的室内试飞。
• 吉尼斯后来报道，美国的 Dillon Ruble 及其团队达到 88.31 m。
• 然后是上海的 98.43 m 投掷。

本展览大厅的投掷线旁，在这些距离处立有纪录标记。模型中表现最好的纸飞机用力投掷能达到 30 至 45 m。这一差距如实存在。纪录飞机从较重、较硬挺的纸出发，专为一个目标设计制作，经过数百次试投配平，投掷者的出手速度和精度也远超人体模型。

大邱团队怎样谈纸张

吉尼斯有关大邱纪录的报道包含一些实用建议。Shin Moo Joon 说，大多数韩国比赛使用 80 g 优质复印纸，并推荐普通飞行也用 80 g 纸。Chee Yie Jian 介绍了两类距离飞机：「精准的细长飞镖」和飞得较慢却「往往有自己想法」的滑翔机。他的建议是先确定距离或时间目标，再由目标反推设计。三人一直在线协作；创造纪录时，Chee 从未与另外两人见过面。

留空纪录

吉尼斯纸飞机最长飞行时间纪录为 31.2 秒，由七人团队于 2026 年 2 月 11 日在中国江苏昆山创造。同一团队的部分成员也参与过距离纪录挑战。

此前纪录属于日本的户田拓夫，成绩是 2010 年 12 月 19 日的 29.2 秒。根据协会自身页面，户田是日本折纸飞机协会会长，他于 1995 年创立该协会（2013 年更为现名），并于 2001 年开设纸飞机博物馆。大邱团队的 Shin Moo Joon 告诉吉尼斯，观看户田 2010 年的挑战让他成为纸飞机爱好者。

协会比赛体现了这两个目标有多不同。留空项目用 A5 纸；距离项目用 A4。较小的纸让飞机更轻，翼载荷更低，下降更慢。而且投掷方向向上。在模型中，留空滑翔机靠高度获得时间：约 10 m 高度和略高于每秒半米的下沉率构成其大部分飞行。真实纪录飞机单位翼面积所承载的重量，比这里任何一架 A4 折纸飞机都低。

世界锦标赛

吉尼斯也记录最大规模的纸飞机比赛。Red Bull Paper Wings 于 2006 年首次举行，每三年举办一次，2022 年首轮有 61,210 名参赛者。经过超过 500 场资格赛，来自 57 个国家的 171 名选手进入奥地利萨尔茨堡的决赛。锦标赛分为距离、留空和特技飞行三项。距离冠军、塞尔维亚的 Lazar Krstić 掷出 61.11 m，为该锦标赛当时的最远成绩；留空冠军、巴基斯坦的 Rana Muhammad Usman Saeed 留空 16.39 秒。

最大的纸飞机

有记录的最大纸飞机翼展为 20.04 m。它由 Progetto Icarus 和 Jakidale 于 2026 年 6 月 25 日在意大利博洛尼亚制作，长约 7 m，重约 28.5 kg，完全由纸和胶水制成。在大厅里向上看。

7 马赫的纸飞机

2008 年，东京大学研究人员与日本折纸飞机协会合作，研究准备从国际空间站放飞的纸飞机。据当时《Science》报道，一个折成航天飞机形状的原型在该大学的高超声速风洞中接受测试，经受住了 7 马赫、约 8,500 km/h 的气流和 200 °C 的温度。桌上藏着一架这样的小航天飞机。

橡筋动力：手动上弦的发动机

橡筋动力模型将能量储存在橡筋条形成的环中。反向转动螺旋桨会扭紧橡筋环；每转一圈就增加一点扭转，直到橡筋股开始打结，先形成一排小结，再在第一层结上形成第二层。松手后，橡筋环退扭，带动螺旋桨。

一克橡筋能储存多少能量？美国航空模型协会 AMA 发表的一篇经典《Model Aviation》文章中，对 1970 年代末比赛用橡筋的测试得出每磅 3,450 和 3,725 英尺磅的能量。换算为公制，3,450 ft·lb/lb 约为每克 10.3 焦耳。这就是模型在断裂点采用的数值。橡筋发动机释放的能量少于上弦所需的能量；模型取约四分之三。

同一篇文章给出了模型制作者计算最大上弦圈数的公式：

圈数（最大） = K × 长度 × √(长度 / 重量)

长度以英寸计，重量以盎司计，那批橡筋的 K 约为 5.7。更长、更细的发动机能承受更多圈。代入 0.4 g、约 23 cm 的 F1D 发动机，公式得出约 1,300 圈，这也是世界冠军 Brett Sanborn 告诉桑迪亚国家实验室的 F1D 模型上弦圈数。AMA 文章还提醒，橡筋温暖时能储存更多能量，但在烈日下上弦更容易断裂。

模型中，橡筋扭矩在最初百分之几的圈数内迅速增加，随后变平，在接近最大圈数、形成结时又急剧上升。这一形状是模型设定；顶端能量由 AMA 数值确定。不列颠哥伦比亚大学物理教学页面用同一种玩具说明同样的知识：拉伸或扭转橡皮筋所储存的能量是弹性势能，橡筋动力飞机将它转化为运动和高度。

螺旋桨

螺旋桨叶片是一片扭转的小机翼。叶片各截面绕圆周运动，其安装角使它每转一圈理论上前进一个螺距：叶片角等于螺距除以 2πr 的反正切，靠近桨毂处陡，靠近叶尖处平。场景中的螺旋桨就是这样构造的，「螺旋桨螺距」滑块会重新扭转它。

螺旋桨必须吸收橡筋扭矩。螺距更大的螺旋桨以相同速度旋转时需要更大扭矩，因此转得更慢，橡筋退扭时间更长。模型中，学校比赛机上弦 800 圈，螺距为 10 cm 时发动机运行约 17 秒，螺距为 27 cm 时约 38 秒，整个飞行从约 47 秒增加到约 66 秒（模型值）。代价是推力：慢转的螺旋桨推力更小，模型爬升更缓。

上弦、爬升、巡航、滑翔

良好的橡筋动力飞行分三部分。刚放飞时扭矩高，螺旋桨快，模型爬升。随着圈数减少，扭矩落到曲线的平坦部分，模型近乎水平巡航。橡筋几乎完全退扭时，螺旋桨减速并停止，模型滑翔下降。室内的天花板设定了上限。爬升太快就会撞顶，损失能量。有一项任务要求在体育馆内不碰天花板飞行 40 秒：减少圈数或增大螺距，是实现它的两种办法。

模型沿配平圆周飞行：沿航迹计算升力、推力、阻力和重力，由坡度角确定圆周。真实模型通过轻弯垂尾和调整机翼、尾翼倾角来配平；这里用一个数字完成。

更长的橡筋，更重的飞机

「橡筋长度」滑块改变环的长度，保持粗细不变。更长的环可上更多圈，储存更多能量，但也更重，因此模型必须飞得更快才能留空。在模型中，学校比赛机用 24 cm 环上到一半圈数时约飞 48 秒，标准 40 cm 环约 56 秒，60 cm 环约 67 秒，同时重量从 9.8 g 增至 11 g。时间增幅小于橡筋增幅，这是每个橡筋模型制作者都要权衡的取舍。

F1D：0.4 克橡筋飞行 30 分钟

F1D 是 FAI 室内橡筋动力模型的最高级别。FAI 运动规则规定了限制：单翼机翼展不超过 550 mm，升力面弦长不超过 200 mm，尾翼翼展不超过 450 mm，不含橡筋发动机的重量至少 1.4 g，润滑后的橡筋发动机不超过 0.4 g。模型必须由参赛者制作。FAI 室内模型页面说，这类模型通常使用轻木框架，覆盖透明微膜或塑料膜，选手有六次正式飞行机会，取最佳两次计分。

Brett Sanborn 担任工程师的桑迪亚国家实验室在 2018 年介绍了他的模型：硼纤维加强的轻木框架，机翼和尾翼覆盖 0.5 微米厚的 Mylar 膜，一架模型需制作 40 至 50 小时。他将橡筋上弦约 1,300 圈。模型以每秒 2 至 3 英尺、低于步行的速度飞行，螺旋桨每分钟转约 50 圈。他告诉桑迪亚：「螺旋桨在整个飞行过程中都在转。没有滑翔时间。」通过匹配橡筋与螺旋桨来延长飞行时间：一侧是粗细、长度、总圈数和扭矩，另一侧是螺距、直径及飞行中螺距的变化。

FAI 列出的 F1D 比赛留空世界纪录，两次飞行合计为 58 分 38 秒，由美国的 Yuan Kang Lee 于 2024 年 3 月 26 日创造。当时正值 2024 年 F1D 世界锦标赛，于 2024 年 3 月 23 至 26 日在罗马尼亚 Slănic Prahova 的盐矿举行，Lee 获得成年组冠军，Sanborn 第二。Sanborn 向桑迪亚形容场地是地下深处约 200 英尺高、形似大教堂的大厅，恒定温度对「橡筋能量糟糕得多」。

本展览的 F1D 模型按级别限制制作：1.4 g 机体加 0.4 g 橡筋，55 cm 翼展，48 cm 螺旋桨。在模型中，它上弦约 1,300 圈，以约 0.6 m/s 飞行，螺旋桨约为 50 至 60 rpm。在大厅中上满弦约能飞 30 分钟。场景时钟比实际时间快 40 倍，你不必等待。

爬到屋顶

室内比赛按天花板高度划分场地，FAI 运动规则的 F1D 部分也引用这些高度类别。高场地能让模型爬进屋顶附近缓慢、静止的空气，充分利用全部橡筋。在体育馆（模型中为 11 m），同一架 F1D 模型会达到天花板，必须减少上弦。AMA 关于印第安纳州 West Baden Springs Hotel 中庭 2018 年世界锦标赛的报道说明了建筑内空气的重要性：寒冷阴天时，中庭气流紊乱，大多数飞行遇到下降气流；后来阳光照到地板，空气平静下来，成绩随之提高。

Pénaud 和 Planophore

橡筋发动机比飞机更早。1871 年 8 月 18 日，在巴黎杜伊勒里花园，Alphonse Pénaud 向法国航空学会成员展示一架橡筋动力模型。据 FAI 2021 年《CIAM Flyer》，它用 11 秒飞了 40 m。他称其为 Planophore。它翼展 46 cm，长 51 cm，重 16 g，其中 5 g 是橡筋，使用直径 21 cm 的推进式螺旋桨。Otto Lilienthal 直到二十年后的 1891 年才驾驶滑翔机飞行。AMA 的 Pénaud 传记补充说，有记录的飞行时间为 11 至 13 秒，距离为 130 至 200 英尺。

Planophore 的设计具有稳定性。FAI 指出，它的尾翼位于后方螺旋桨之前，翼尖上翘形成上反角效应，因此能自行保持水平。《CIAM Flyer》说，Pénaud 还认识到，同等重量的橡筋发动机储能远高于钢弹簧，甚至高于蒸汽机。

Pénaud 还制作过小直升机，用一根橡皮筋驱动两个螺旋桨反向旋转。其中一个玩具来到莱特家。在休斯敦大学广播系列《The Engines of Our Ingenuity》中，John Lienhard 讲述主教 Milton Wright 买下一个 Pénaud 玩具直升机，带回家给儿子们。不列颠哥伦比亚大学教学页面讲了后续：兄弟俩一直玩到它坏掉，然后自行制作了几个。不同来源对这份礼物的年份说法不一。

本展览的 Planophore 使用 Pénaud 已发表的尺寸。它的机翼面积、螺旋桨螺距及 1871 年橡筋的强度未知，均为估计；通过调整这些值，使适量上弦后飞行距离大致符合 1871 年记录。

本页模型怎样工作

你看到的所有飞行都由计算产生。下面列出简化之处，以便正确理解数值。

折叠引擎。 纸由沿每条折线切分的平面片组成。每片保持形状，只发生转动。叠层之间绘制出不足一毫米的间隔。真纸会弯曲、回弹，而且有厚度；折痕从不完全锐利。

从折叠获得几何形状。 飞机折好后，模型根据纸面积测质量（每平方米 80 g），根据折叠纸片测质心和转动惯量，根据俯视时接近水平的纸测机翼面积与翼展，再按上文方法由轮廓估算升力中心。翼尖、龙骨和翼梢小翼分别计算。

空气动力学。 升力和阻力使用 NASA 方程，根据测得的展弦比使用有限翼升力线斜率和诱导阻力，根据机身中龙骨及折叠部分的比例设置零升阻力，并在约 13 度、机翼失速后平滑过渡到平板特性。压力中心随角度增大向后移动，如同平板。升降舵增加抬头俯仰力矩，空气从后方来时其符号改变。

飞行。 投出的飞机是刚体，沿航向在竖直平面内运动，包含俯仰和俯仰角速度。坡度角使它转弯。模型中，带上反角的倒置飞机通过半滚转自行回正；真实飞机是在三维中完成，伴随模型省略的偏航和滚转。撞墙结束飞行；碰天花板会损失速度。运动场的风是稳定逆风或顺风，并有一股上升热气流。

橡筋。 橡筋按上述方式储能，扭矩曲线是模型设定。螺旋桨按其螺距和空速吸收扭矩。模型沿配平圆周飞行，爬升和俯冲受限，如同调整良好的真实模型。

检查。 十二种飞机都经过折叠和测试：纸面积从不改变，没有折叠拉伸纸片，关闭阻力时飞行模型严格守恒能量、打开阻力时能量持续减少，模型中的稳定滑翔符合 NASA 的 tan(滑翔角) = D/L，以及橡筋模型能量收支平衡：储存在橡筋中的能量等于最终转为高度、速度、阻力和螺旋桨损耗的能量，误差仅为千分之几个百分点。

可以试试

• 折出折边滑翔机，投掷并观察失速。再加两个回形针，或增大升降舵偏转，然后再投。
• 用相同速度投掷同一架飞机，分别将升降舵设为 0、3、6 和 10 度。记下每次距离。
• 折好中村锁式后打开折痕图，找到锁住折片的小三角形。
• 使用投掷板：从红点拖动。拖得长，投得快；拖得陡，投得高。
• 输入你自己的身高。较高的投掷者出手位置更高，每次投掷都会多一点距离。
• 在大厅比较纪录标记与你最佳投掷之间的距离。
• 在体育馆将学校比赛机上满弦，数一数撞顶次数。再把圈数减半。
• 改变螺旋桨螺距，观察发动机运行和螺旋桨转速怎样变化。
• 寻找十三件隐藏物品。有些在体育馆，有些在大厅，有些在两张桌上。