船舶浮力：钢船为什么能浮起来

模型展示什么

把一枚钢螺栓丢进浴缸，它会立刻下沉。集装箱船也由同样的钢材制成，重达数千吨，却能浮在水上，甲板高出水面数米。本展品把这样一艘船放进玻璃水槽，你可以装货、更换水质、把船推斜，观察什么让它浮起来，又是什么让它保持直立。

船按 1:50 绘制。船体长 84 m、宽 20 m、深 9 m，舭部圆滑，船首收窄至尖锐的首柱，船尾在平坦的方艉下方向艉鳍收拢。驾驶室位于船尾，货舱内和舱口盖上都能放置每个重 20 吨的集装箱。「货物」滑块最多装载 6,000 t，「甲板配载比例」决定其中多少放在舱口上方，「水密度」范围为 990 至 1,035 kg/m³。「释放前横倾角」将船倾斜后释放。「船中剖面」把模型剖开，让你看到重心 G、浮心 B 和稳心 M；「钢块」把一块钢立方体放进水槽作比较。角落面板显示各项设置对应的数值。

控件下方还有更多内容：可改变船型、船宽和舭部半径、添加压载水并让水舱保持半满的船体试验台；根据温度和盐分计算密度的水质面板；载重线和载重量；收录 37 艘真实船舶及稳性事故的目录；八项挑战；以及四条隐藏知识。

钢船为什么能浮起来

水会对放入其中的物体施加压力，而且压力随深度增加。浮着的船体两侧，左右压力相互抵消，但船底受到的压力向上推。把整个船底受到的向上推力相加，就得到浮力。NASA 的 Glenn Research Center 对阿基米德原理的表述是：浮力等于物体排开流体的重量。

因此，只要船在水达到舷侧顶部之前，能排开与自身等重的水，就能浮起来。模型中的空船重 1,900 t。海水密度为 1,025 kg/m³，所以船必须排开 1,900 ÷ 1.025 = 1,854 m³ 的海水。模型不断尝试不同水线，直到某条水线以下的体积恰好为 1,854 m³，由此找出吃水，即船底在水线以下的深度。对应吃水为 1.40 m。舷侧高 9 m，因此水面以上还剩 7.60 m 干舷。

像第二步那样打开「船中剖面」，剖面中的深蓝区域就是该截面排开的水。B 是全部排开水体的中心，位于龙骨上方 0.72 m。若船是箱体，B 会恰好处于吃水的一半，即 0.70 m；圆滑的舭部削去了底部附近少量体积，因此 B 略高一些。船重通过 G 向下作用，浮力通过 B 向上作用。船直立时，两者位于同一条竖线上，大小相等，船不运动。

同样的钢材变成实心块

第三步把一块钢立方体放入水槽。它恰好包含空船的全部钢材，重 1,900 t，密度为 7,850 kg/m³。体积为 1,900,000 ÷ 7,850 = 242 m³，立方体边长为 6.23 m。完全浸没时，它排开 242 m³ 海水，这些水重 248 t。水托住 248 t，其余 1,652 t 由槽底承受。

钢材本身没有改变。改变的是它围成的体积。同样的钢材展开成这个船体后，在甲板下围出 13,455 m³ 空间，船只需让其中 1,854 m³ 没入水中就能获得支撑。船主要是一个大而轻、周围包着钢材的水密空间。

模型怎样测量曲面船体

真实船体的体积不能用一个公式直接表示。船舶设计师把船体切分成称为站位的薄片，在一系列高度测量每个切片的半宽，再把切片相加。模型也是如此。它用船长方向各点及龙骨上方各高度的半宽定义船体：平底经过半径 2.2 m 的圆弧舭部向上弯折，船中段舷侧平直，水线向首柱收窄，船尾下部收拢成艉鳍，上部止于方艉。你看到的 3D 表面就由这些半宽精确绘成。

计算时，船体被分成间隔 2.1 m 的 41 个站位，每个截面又分成 18 个高度，舭部的间隔更密。辛普森法则将站位相加：两端各计一次，中间依次乘四、乘二，最后整体乘以间距的三分之一。体积、B 的高度、水线面面积和水线面二次矩都来自同一次求和。为检验方法，程序还会把船体设为简单箱体再运行。此时它能将箱体公式（T = W ÷ ρLB、KB = T ÷ 2、BM = B² ÷ 12T）的结果复现到小数点后六位。

这个船体的结果是：装载 3,000 t 货物时，吃水为 3.40 m，方形系数为 0.838，即外包的 84 × 20 × 3.40 m 箱体中实际被水下船体占据的比例。水线面占 84 × 20 m 矩形面积的 0.892。同长、同宽、同深的箱体承载同样货物时，吃水为 2.85 m。

装载：吃水与排水量的数值

每吨货物都必须由额外一吨水托住。船体与货物合计的总重量称为排水量，因为它等于排开水的重量。船上装有 4,500 t 集装箱时，排水量为 6,400 t，排水体积为 6,244 m³，吃水为 4.36 m。

吃水每增加一厘米所需的吨数 TPC，等于水线面面积乘一厘米，再乘密度。箱体在每个吃水下的值都相同。曲面船体则不然：水面越过舭部和收窄的首尾时，水线面会增大。模型空船吃水 1.40 m 时，TPC 为 14.53 t；在 3.40 m 时为 15.37 t；夏季吃水 5.10 m 时为 15.78 t。平面尺寸相同的箱形船体每增加一厘米吃水需要 17.22 t。

海水与河水

盐使海水更密。采用常用的约整数值，一立方米海水质量为 1,025 kg，一立方米淡水为 1,000 kg。为了在河中由同样重量的水托住，船必须多排开 2.5% 的体积，因此会沉得更深。

把货物设为 3,000 t，海水中的吃水为 3.40 m。将密度滑至 1,000 kg/m³，吃水变成 3.48 m，深了 8 cm。接近夏季载重线时，差距更大。在海水中装到 5.10 m 吃水时，船的排水量为 7,559 t。在淡水中，同样的 7,559 t 需要 5.22 m 吃水，多出 120 mm。这 120 mm 就是该船体的淡水超额量。它通常写成排水量除以 40 倍 TPC：7,559 ÷ (40 × 15.78) = 12.0 cm。

水温和盐分

这些约整数值掩盖了一定的变化范围。海水密度取决于盐分、温度和压力，海洋学家用 UNESCO 于 1981 年发布的国际海水状态方程 EOS-80 计算。算法和校验值见 Fofonoff 与 Millard（1983）编写的 UNESCO 海洋科学技术论文第 44 号。在水面处，方程由纯水密度关于温度的多项式，加上盐度 S、S 的 1.5 次方及 S 平方的项组成。

水质面板采用这个水面方程。模型能复现报告本身的校验值：5 °C 淡水为 999.96675 kg/m³；5 °C、盐度 35 时为 1,027.67547 kg/m³；25 °C、盐度 35 时为 1,023.34306 kg/m³。该船装载 5,600 t 货物时的一些结果如下：

• 盐度 35、0 °C：1,028.1 kg/m³，吃水 5.05 m。
• 盐度 35、15 °C：1,026.0 kg/m³，吃水 5.06 m。
• 盐度 35、30 °C：1,021.7 kg/m³，吃水 5.08 m。
• 4 °C 淡水：999.97 kg/m³，吃水 5.18 m。
• 25 °C 淡水：997.05 kg/m³，吃水 5.20 m。

海水从冷变暖，使这艘船多下沉 3 cm。从咸水变为淡水则多下沉 13 cm。盐分的影响远大于温度，这就是载重线规则设置一条淡水线，却通过季节区域处理温度影响的原因。

载重线标志

船沉得太深，水面以上剩余的船体就太少。海浪更容易涌上甲板，进水后维持漂浮的备用体积也更少。这个备用体积称为储备浮力，水面以上船体的高度称为干舷。

模型舷侧的标志遵循英国 Merchant Shipping (Load Line) Regulations 1998。一个直径 300 mm 的圆环被长 450 mm 的横条穿过，横条上缘经过圆心，圆心位于夏季载重线上。圆心前方 540 mm 处，一条竖线连接长 230 mm 的短线：S 表示夏季，W 表示冬季，T 表示热带，F 表示淡水，TF 表示热带淡水。各线的上缘表示相应条件下船舶允许的最大吃水，较高处的甲板线标示干舷甲板。模型中 S 位于 5.10 m，F 位于 5.22 m。作为示意，W 和 T 分别画在 S 下方和上方，相差夏季吃水的 1/48。

第五步中，船在海水中装载 5,600 t，水面位于船体上 5.06 m 处，比 S 低 4 cm。第六步将同一艘船移入淡水。船下沉 12 cm，吃水达到 5.18 m，越过 S 线但仍低于 F。这正是 F 线的用途：在河港装载的船可以在当地沉得更深，因为到海里后它会升高。

载重量与普利姆索尔线

载重线限制吃水，而吃水确定排水量。到 S 线时，这艘船排水量为 7,559 t。减去空船，即船体、发动机和设备的 1,900 t，剩下 5,659 t。这个数就是载重量：在夏季标志处，船可承载的全部货物、压载水、燃料、水和物料。船舶买卖和租赁使用载重量报价，因为它决定盈利能力。

面板中的「装至 S 线」以 100 t 为步长，寻找在所选水质下使水线不超过标线的最大货量。海水中不加压载水时，为 5,600 t，即 280 个集装箱。添加 500 t 压载水，可装货物也相应减少 500 t。目录中船厂的数据展示了同一概念的真实尺度：一艘 Handysize 散货船的设计载重量为 38,800 t，夏季吃水 10.50 m；一艘 Valemax 矿砂船为 400,000 t，吃水 23.0 m。

G、B 和 M：船为什么会恢复直立

浮起来是一回事，保持直立是另一回事。波浪使船倾斜时，水下船体的形状会改变。低侧浸得更深，高侧抬起，因此排开水体的中心 B 移向低侧。G 不动，因为货物固定在船上。

此时重量通过 G 向下作用，浮力通过 B 向上作用，两股力不再位于同一直线上。它们形成力偶。如果 B 向外移动得比 G 更远，力偶就让船转回。两条作用线之间的水平距离称为复原力臂 GZ，复原力矩等于排水量乘 GZ。

对于小角度，有一个简便判据。通过移位后的 B 画竖线，它与船体中线相交于稳心 M。若 G 在 M 下方，船会恢复；若 G 在 M 上方，就不会。两者之间的距离称为初稳性高 GM。

这艘船的数值

M 高于 B 的距离为 BM = I ÷ V，其中 I 是水线面对中线的面积二次矩，V 是排水体积。矩形的 I = L × B³ ÷ 12。对于曲面船体，模型逐站累加水线半宽立方的三分之二。随后 KM = KB + BM，GM = KM − KG，其中 K 是龙骨。

装载 3,000 t 货物且 30% 在甲板上时，船的排水量为 4,900 t，吃水为 3.40 m。水线面的 I 为 45,319 m⁴，排水体积为 4,780 m³，因此 BM 为 9.48 m。KB 为 1.75 m，因此 KM 为 11.23 m。150 个集装箱的合成重心位于龙骨上方 5.71 m；结合空船的 4.4 m，得到 KG 为 5.20 m。GM 为 6.03 m。相同长、宽、深且 KG 相同的箱体，BM 为 11.71 m，GM 为 7.94 m：真实船体收窄的首尾削去了对稳性作用较大的水线面。

小角度时，GZ 接近 GM × sin θ。对于直舷船体，在舭部露出水面或甲板边缘入水之前，有一个更好的公式：GZ = sin θ × (GM + ½ × BM × tan² θ)。10° 时它给出 1.073 m；模型自身把每个站位旋转，在共同水线处切割并求出水下部分中心，算得 1.072 m。更大角度时，只采用剖面切割计算。角落的小图和船体试验台的大图都显示当前装载下从 0° 至 90° 的 GZ。这种装载的最大复原力臂为 3.00 m，出现在 36°。

释放后的横摇由这条曲线决定。模型把回转半径取为船宽的 0.4 倍，即 8 m，得到小角度横摇周期为 2π × 8 ÷ √(9.81 × 6.03) = 6.5 s。屏幕上的横摇加快三倍，以免等待太久。

堆得太高

重量上移，G 就升高。把 5,000 t 集装箱全部放在甲板上，在中部箱位堆四层，其重心位于龙骨上方 14.38 m。KG 变为 11.63 m。吃水为 4.68 m，因此 KM 为 2.41 + 7.01 = 9.42 m，GM 为 −2.21 m。G 位于 M 上方。

第八步中，船仅倾斜 10° 就被释放。从 0° 至 90° 的每个角度，GZ 都为负，因此产生的不是复原力矩，而是倾覆力矩，船于是翻覆。模型不会阻止它，因为物理上没有任何因素会阻止。

较小的负 GM 可能产生不同结局。装载 6,000 t 且 70% 在甲板上时，GM 为 −0.08 m，船会倾斜，直到 B 向外移动得足够远，再次位于 G 下方，约为 10°。随后船以这个角度漂浮，并围绕它横摇，最大复原力臂仅为 0.12 m，出现在 22°。这称为不稳定平衡横倾角，很容易误认为货物不均造成的横倾。处理方法也不同：横向移动重量来纠正这种横倾，可能使船猛然倒向另一侧。在双层底低处增加 600 t 压载水，可使 GM 回到 +0.30 m，但代价是吃水达到 5.69 m，超过 S 线。

GM 为正也不是全部。若 3,500 t 全放在甲板上，GM 为 +0.64 m，船能从小角度倾斜恢复，但 GZ 在约 38° 时重新降为零。将横倾角设为 40° 后释放，船就会翻覆。曲线保持为正的角度范围，与它起初上升的陡峭程度同样重要。

改变船体

船体试验台允许你直接改变形状。四种船型具有相同长、宽、深：默认的支线集装箱船；水线仅在最后 11 m 才收窄的肥大型油船；船首在 36 m 范围内收窄的瘦削快速船型；以及圆舭驳船。同样装载 3,000 t 货物时：

• 肥大型：吃水 3.12 m，方形系数 0.91，GM 6.97 m。
• 支线船：吃水 3.40 m，方形系数 0.84，GM 6.03 m。
• 瘦削型：吃水 3.88 m，方形系数 0.73，GM 4.94 m。
• 驳船：吃水 2.93 m，方形系数 0.97，GM 7.67 m。

船体越肥大，吃水越浅，复原越硬，因为宽阔且延伸到首尾附近的水线面会产生较大的 I。瘦削船以较小的 GM 换取速度。

船宽的影响最大。BM = I ÷ V，而 I 随船宽的立方增长，V 只与船宽成正比。装载 3,000 t 时，船宽 16 m 得到 BM 4.99 m、GM 1.46 m；船宽 24 m 则得到 BM 16.09 m、GM 12.45 m。舭部半径的影响较小。在 3,000 t 下，将舭部半径从 3.5 m 改为 5 m，GM 从 6.11 m 变为 5.68 m，因为船体吃水加深，而水线宽度不变。

压载水与未满水舱

压载水是泵入船体低处水舱的海水。模型压载水位于双层底，重心在龙骨上方 0.6 m，最多 1,500 t。它同时产生两种作用：增加排水量，使船沉得更深、BM 降低；同时把 G 拉低。低处重量的作用几乎总是占上风。

压满的水舱表现得像固体重量。只装了一部分水的水舱则不同。船横倾时，水流向低侧，水的重心外移，对复原力臂的作用相当于将 G 抬高 GG′ = ρ × i ÷ Δ，其中 i 是自由液面对自身中线的面积二次矩，Δ 是排水量。US Naval Academy 的课程笔记将其称为自由液面修正。矩形液面的 i = l × b³ ÷ 12。

模型的未满水舱长 20 m、宽 16 m，因此 i = 20 × 16³ ÷ 12 = 6,827 m⁴。第十步中，船装有 4,000 t 货物、其中 60% 在甲板上，并有 900 t 压载水，排水量为 6,800 t。水舱压满时，GM 为 3.24 m。让水舱未满，则 GG′ = 1.025 × 6,827 ÷ 6,800 = 1.03 m，GM 因而降至 2.21 m。中线舱壁把一个 16 m 宽的水舱分成两个 8 m 宽的水舱；由于宽度以立方计入，i 降为四分之一，损失降至 0.26 m。这就是海军学院笔记将分舱和防荡板列为限制影响的方法，以及 MIT 海洋系统笔记将尽量减少未满水舱列为浮式平台设计目标的原因。

规则对 GM 和 GZ 的要求

GM 为正还不足以获准航行。英国 Maritime and Coastguard Agency 在 MSIS43 通告中刊载的 IMO 完整稳性规则一般衡准提出六项要求：GZ 曲线下方面积在 30° 以内至少为 0.055 m·rad，40° 以内至少为 0.09 m·rad，30° 至 40° 之间至少为 0.03 m·rad；在 30° 或以上的复原力臂至少为 0.20 m；最大复原力臂出现在 25° 或以上；初始 GM 至少为 0.15 m。对于海岸警卫队要求证明符合要求的 100 m 以下船舶，46 CFR 170.173 以其他单位给出相同数值。船体试验台用一张随每次改变更新的表格显示全部六项。

将模型装载情况与之比较。6,000 t 且 60% 在甲板上时，GM 为 0.78 m，30° 的 GZ 为 0.41 m，最大 GZ 出现在 26°，三个面积为 0.135、0.175 和 0.040 m·rad，因此六项全部通过。改为 70% 在甲板上，GM 为 −0.08 m：六项全部不通过。在试验台将船宽增至 22 m，同样 6,000 t 且 70% 在甲板上时，吃水为 4.85 m，GM 为 1.72 m，六项又全部通过。若 3,500 t 全在甲板上，五项通过，但 30° 至 40° 的面积仅为 0.014 m·rad，因为曲线已在向 38° 时的零值下降。

横摇周期能说明在船上会怎样感受到 GM。US Naval Academy 的船舶设计笔记把复原力臂随横倾快速增大的船称为硬稳性船：横摇快，若过硬，急剧加速度会损害结构并伤人。复原力臂增长缓慢的船为软稳性船：横摇慢，离倾覆的余量也小。空船模型的 3.7 s 属于偏硬的一端；6,000 t 且 60% 在甲板上时的 18.2 s 则属于偏软的一端。

计算示例：三种装载并排比较

以下是模型自身计算得出的三种海水装载情况。

• 空船，1,900 t。 T = 1.40 m，干舷 7.60 m。BM 为 22.14 m，因此 KM 为 22.86 m，KG 为空船的 4.40 m，GM 为 18.46 m。小角度横摇周期为 3.7 s。空船体漂浮时稳性很硬，会迅速弹回。
• 3,000 t 货物，30% 在甲板上。 W = 4,900 t，T = 3.40 m，干舷 5.60 m。BM 降至 9.48 m，KM 降至 11.23 m，KG 升至 5.20 m，GM 为 6.03 m。横摇周期为 6.5 s。
• 6,000 t 货物，50% 在甲板上。 W = 7,900 t，T = 5.32 m，干舷 3.68 m。BM 仅为 6.18 m，KM 为 8.92 m，KG 为 7.87 m，GM 为 1.06 m。横摇周期延长至 15.6 s，最大复原力臂为 0.59 m，出现在 26°。

随着船装满，有两种作用使 GM 降低。更深的船体具有更小的 BM，因为 V 比水线面的 I 增长更快；货物还会抬高 KG。从空船到 6,000 t，KM 从 22.9 m 降至 8.9 m。此后货物位置决定剩余稳性：6,000 t 时，60% 在甲板上使 GM 剩 0.78 m，70% 则剩 −0.08 m。每把 10% 货物从货舱移到甲板，GM 就损失 0.3 至 0.9 m。

6,000 t 时，能容纳 130 个 20 t 集装箱的货舱装不下全部 300 个集装箱。至少 170 个，约 57%，必须放在甲板上。因此在 6,000 t 时，「甲板配载比例」滑块未超过 57% 之前不会改变任何结果。

目录中的真实船舶

目录有 37 个条目：集装箱船、滚装船、散货船、油船、液化气船、军舰、潜艇、破冰船、帆船、海上皮划艇，以及五起稳性事故中的船。每张卡片都按来源刊载的数据给出数值，下方链接来源。来源使用英尺或长吨时，卡片换算单位（1 ft = 0.3048 m，1 长吨 = 1.016047 t），并标为计算值。

应查看什么来源取决于船舶。集装箱船来自 Port of Hamburg 的大型到港船页面，其中列出长、宽、吃水和载箱量：例如 HMM Algeciras 长 399.9 m、宽 61 m、吃水 16.52 m，可载 23,964 TEU。散货船、油船和液化气船采用船厂 CSSC 发布的设计参数。军舰和潜艇来自 US Navy 资料，破冰船及训练帆船 Eagle 来自 US Coast Guard，Vasa 来自 Vasa Museum，Cutty Sark 来自 Royal Museums Greenwich，皮划艇来自制造商。

卡片具备长、宽、吃水和排水量时，面板计算方形系数 Cb = Δ ÷ (1.025 × L × B × T)。破冰船 Healy（128 m、25 m、8.9 m、满载 16,419 长吨）算得 0.57；汽车运输船 Golden Ray 出港时为 0.51；世越号在夏季吃水时为 0.48。这些数低于真实值，因为卡片长度是总长，即水面上从首到尾的长度，而 Cb 按水线长或垂线间长定义。卡片会说明这一点。

打开卡片也会改变模型。模型以自身 84 m 长度采用该船的长宽比，并选择最接近的船型：油船和散货船采用肥大型，军舰、潜艇及皮划艇采用瘦削型。此时模型数值仍是模型的数值，而非真实船舶的。

稳性事故报告

事故卡片严格遵循官方调查所写的内容。卡片若还改变模型装载，是为了在模型船上展示同类问题，卡片也说明这些并非真实船舶的数据。

Herald of Free Enterprise，1987。 这艘滚装渡船总长 131.9 m，宽 22.7 m。英国 Department of Transport 的正式调查认定，它因内外船首门开启出海而倾覆。海水涌上车辆甲板，船在驶过 Zeebrugge 外防波堤约四分钟后倾覆。报告记录 188 人遇难：不少于 150 名乘客和 38 名船员。

世越号，2014。 Korea Maritime Safety Tribunal 的特别调查报告（2014 年 12 月）给出总长 145.61 m、宽 22.00 m、总吨位 6,825。购入后，上层甲板加建客舱；报告称这使船自身重心从 11.27 m 升至 11.78 m，约升高 0.51 m。为使改装后符合稳性标准，批准条件要求至少约 1,703 t 压载水、最多 987 t 货物。报告认定，最后一次从仁川出港时，压载水约 761.2 t，货物约 2,142.7 t，且系固不良。2014 年 4 月 16 日在屏风岛附近转弯时，船严重左倾，货物移位，失去复原能力。报告将原因归于这些因素的共同作用。Central Maritime Safety Tribunal 于 2026 年就上诉作出裁决（第 2026-001 号），认定原因相同：船的稳性低于标准、载货超过批准量，在转弯时因复原力臂小于横倾力矩而横倾，积载和绑扎不良的货物发生移位。裁决推定卡滞的舵机阀对右转有一定影响，但认为难以认定它启动了转弯；认定舵手的大舵角在船舶设计和稳性规则允许范围内，也属于紧急情况下的职责，因而不能据此追责或归咎于他；并未接受外力作用的主张。裁决记录 304 人遇难。

Hoegh Osaka，2015。 这艘汽车运输船总长 179.9 m，下一节将详细说明。

Golden Ray，2019。 这艘汽车运输船长 200 m，宽 35.4 m。离开 Jacksonville 时，排水量 35,044 t，船中吃水 9.4 m。National Transportation Safety Board 认定，在 Brunswick 倾覆的可能原因是大副在稳性计算程序中输错压载水量，导致他错误判断船舶稳性，使船在转弯作用力下的复原力臂不足。NTSB 还发现，船离港时不符合国际稳性标准，而且开启的水密门使船倾覆后进水。船上 24 人全部获救。

每起事故中，关键数值在离港前都已知或可查明。GM 和 GZ 曲线并非罕见参数；每次船舶开航，装载计算机或稳性手册都会计算它们。

Vasa，1628

Stockholm 的 Vasa Museum 保存着一艘真实展示这一问题的军舰。1628 年 8 月 10 日，新造的 Vasa 在 Stockholm 港启航。一阵风使它左倾，它慢慢恢复；更强的一阵风将船推得更斜，水从下层炮甲板开启的炮门涌入，几分钟内，船沉到 32 m 深的水底。博物馆表示，相对于水线下较小的船体，上层建筑太高、结构太重，使重心过高。

谁决定船能沉多深

据 Royal Museums Greenwich，Venice 的船早在 12 世纪就标有十字。在英国，议员 Samuel Plimsoll 于 1870 年开始调查不适航船舶，1872 年随后成立皇家委员会。1876 年 Merchant Shipping Act 强制设置载重线，1894 年法律确定了线的位置，1906 年起，到访英国港口的外国船也必须设置。

International Maritime Organization 记录，首个国际载重线公约签订于 1930 年。现行 International Convention on Load Lines 于 1966 年 4 月 5 日通过，1968 年 7 月 21 日生效。它要求所有核定载重线与甲板线一起标在船中两舷，其规则考虑不同区域和季节，因此一艘船会有多条线。1988 年议定书于 2000 年 2 月 3 日生效，修订了部分技术附件。

其他案例：潜艇、Vasa 与 Hoegh Osaka 详解

潜艇。 水面船有水线面，M 和 BM 由它决定。潜航的潜艇没有水线面：排水体积就是整个船体，任何横倾角都相同。B 固定在船体内，因此只有 B 在 G 上方，潜艇才能保持直立。海军学院笔记写作 GZ = BG × sin φ，这条曲线在艇体侧躺时达到峰值 BG。BG 为 0.30 m 的潜艇，在 10° 时的复原力臂为 0.052 m（0.30 × sin 10°），且永不超过 0.30 m。这是为说明尺度而假设的数值，不是真实潜艇数据。

同一笔记说明潜艇怎样在漂浮与潜航间转换。阿基米德原理仍适用，只是整个船体体积都在水下。主压载水舱是艇上最大的舱。排空时，它们使艇在水面具有正浮力；灌水后，艇接近中性浮力。它们是无需承受海水压力的「软舱」，因为灌水后内外压力相等。较小的可变压载水舱进行精细调整。模型船体仅对应水面情况。

Vasa。 University of Portland 发布的案例研究描述，船在下水前进行过粗略稳性测试：三十名男子在甲板上来回跑，横跨三次后，因船摇得太厉害、似乎可能翻覆，测试被叫停。同一记述称，浅龙骨没有容纳额外所需压载物的空间，船载有约 120 吨，而所需量会超过其两倍。增加压载会使最低的炮门接近水面。用模型术语说，Vasa 的 GM 太小，复原力臂在小角度就消失。Vasa Museum 将结局记为 1628 年 8 月 10 日：阵风使船横倾，水从炮门进入，船沉于约 32 m 深处。

Hoegh Osaka。 2015 年 1 月 3 日，这艘车辆运输船离开 Southampton 前往 Bremerhaven，在 The Solent 出现横倾。Marine Accident Investigation Branch（MAIB）报告称，横倾超过 40°，货物移位，船失去操舵和动力，于 2115 时在 Bramble Bank 搁浅。全体船员获救。出发前，大副装载计算机给出 GM = 1.46 m。要求为 1.34 m，因此数值看似可接受。MAIB 按最终货物清单重建装载，得到 1.29 m，略低于要求，并称实际数值明显更差，因为压载水量未经核实、各记录货重不一致，且没有货物重心高度数据。MAIB 还指出，与 2006 年 Cougar Ace 不同，事故发生时没有转移压载水。大副的数值高于最低值 0.12 m，而 MAIB 重建值低于它 0.05 m。模型在 6,000 t 下，将 10% 货物从货舱移到甲板，GM 就改变 0.3 至 0.9 m，因此货物实际位置和重量的误差很容易吃掉这种余量。

常见误解

• 「钢材轻，所以能浮。」 钢的密度约为海水的 7.7 倍。船体靠围成的体积漂浮。船体灌满水就会下沉，舱室进水正是如此。
• 「载重线标示最大重量。」 它标示特定水质中允许的最大吃水，属于干舷规则。船的水线未达到标志也可能有危险：模型中 5,500 t 且 90% 在甲板上时，吃水 5.00 m，低于 S 线 10 cm，GM 却为 −1.77 m。
• 「GM 越大越好。」 它使船更有力地恢复，也横摇得更快。在极硬的一端，空船模型 3.7 s 就弹回。船载的货物和乘客都不喜欢这样的加速度。
• 「M 是固定点。」 M 是小角度横倾时通过 B 的直线与中线的交点。它随吃水移动，因为船下沉时 BM = I ÷ V 会改变；大角度时它失去意义。因此大角度曲线根据实际横倾船体计算。
• 「装在低处，稳性就不用管。」 舱内货物让 G 保持较低，但任何货物也会加深吃水、降低 KM。3,000 t 几乎全部在舱内时，模型 GM 为 6.62 m，已远低于空船的 18.46 m。
• 「浮心是船上的一个点。」 它属于排开的水体。水下船体形状每次改变，它都会移动。
• 「温水没有影响。」 有一点影响。同样装载下，这艘船在 30 °C 海水中比在 0 °C 海水中深 3 cm。盐分影响约为其四倍。

在屏幕上试一试

1. 将「货物」设为 0，打开「船中剖面」。面板显示 T = 1.40 m、KB 0.72 m。打开「部件名称」，找到 G、B 和 M。
2. 打开「钢块」。立方体下沉，面板显示相对于 1,900 t 钢材，它仅排开 242 m³、248 t 的水。
3. 将「货物」设为 5,600。「水密度」为 1,025 时，吃水 5.06 m。将密度滑至 1,000，吃水变成 5.18 m。从舷侧标志读出 12 cm 的差异。
4. 将「货物」设为 6,000，「甲板配载比例」设为 60，「释放前横倾角」设为 15。释放并数横摇：屏幕上比 18.2 s 约快三倍。再将比例提高到 70，将横倾设为 0：船倾至约 10° 并保持在那里。
5. 保持 6,000 t 和甲板上 70%，打开船体试验台。将船宽增至 22 m，看规则表变为六项通过。
6. 加入 900 t 压载水，打开「未满压载舱」，观察 GM 降低约一米。打开「中线舱壁」，大部分损失会恢复。
7. 在水质面板选择「淡水，4 °C」，再选择「盐分 35 g/kg，0 °C」，读取吃水变化。

模型比真实船舶简化在哪里

船体虽是曲面，却来自公式，而非真实船舶的型线图。它没有球鼻艏、螺旋桨孔，也没有成形艉框，船首是尖首柱，而非倾斜首柱。船保持平吃水：模型假设纵向上重心始终位于浮心正上方，因此不会像真实装载那样出现首倾或尾倾。

甲板被视为水密，因此大角度时计算仍计入浸没的船体体积。真实船舶有舱口、通风口和门；Vasa 和 Herald of Free Enterprise 正是因开口进水而损失。甲板集装箱、首楼和驾驶室增加重量，却不增加浮力。每个集装箱恰重 20 t，货物横向均匀分布，因此 G 保持在中线上，且仅允许一个压载舱未满。横摇采用固定回转半径和简单阻尼项，船或钢块放入时槽内水位也不升高。

数值如何校验

独立检查程序将每项计算与另一种独立算法比较。把船体设为箱体时，站位积分将 T = W ÷ ρLB、KB = T ÷ 2、BM = B² ÷ 12T、TPC 和直舷 GZ 公式复现到小数点后六位；其大角度 GZ 在 30°、60°、90° 和 120° 时与箱形截面的简单 2D 切割结果吻合。曲面船体的体积、KB 和 BM 又通过将船体切分成 1,680 × 400 条小条带重算，误差在 0.3% 以内。小角度 GZ 除以 sin 1°，与 GM 相差不超过 0.03%。KG 逐个集装箱重算；自由液面修正和淡水超额量手算；海水密度与 UNESCO 校验值比较；导览步骤中每个引述数值以及每项挑战的一种解法也都核验。